二次函数典型例题解析

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二次函数经典例题及答案

（）经过A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为 D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B，D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（，），△PBE的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围.
，﹣3）或（1﹣
，﹣3）．试题分析：（1）已知了过B、C两点的直线的解析式，当x=0时可求出C 点的坐标，当y=0是可求出B点的坐标．（2）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线的解析式可得出A点的坐标，由此可求出AB的长，由于S△PAB=S△CAB，而AB边为定值．由此可求出P点的纵坐标，然后将=﹣x+3经过B、C
度，然后求出OE3，再由相似三角形对应边成比例列式求出Q3E3的长度，从而得到点Q3的坐标．试题解析：（1）∵抛物线顶点坐标为（-4，-）， ∴设抛物线解析式为y=a（x+4）2∵抛物线过点B（1，0），∴a（1+4）2-=0，解得a=
，所以，抛物线解析式为y=
（x+4）2-，即y=
x2+4x-
AD=
×5=
，所以，OE3=9-
=
， ∵Q3E3⊥x轴，OC⊥OA， ∴△AQ3E3∽△ACO， ∴
，即
，解得Q3E3=
，所以，点Q3的坐标为（-
，-
），综上所述，在线段AC上存在点Q1（-1，-4），Q2（2 -9，），Q3（-
，-
），使得△ADQ为等腰三角形．
2. 如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣

二次函数实际应用例题与解答,中考数学二次函数解决实际应用问题经典题型及答案解析

二次函数实际应用示例1.在排球家中，_队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？思路解析*先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再求抛物线与x轴的交点坐标（横坐标为正），若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系伽图）.由于其图象的顶点为（95执设二^函教关系式为y=a（x-9）、S.5（3丰0）,由已知，这个函数的图象过（0,1.9）,可以得到1.9=0（0-9）2+552解得a----7，45所以，所求二｝欠函数的关系式是y=-M（x-9）2十5.5.45排球落在x轴上，则y=O,因此，-：（x・9）2+5.5=0.解方程，得*=9十半点0.1,X2=9-峪（负值，不合题意，舍去）.所以，排球约在20」米远处落下，因为20.1>18,所以，这样发球会直接把球打出边线，2.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图26.3-9所示,大门地面亮AB二4m,解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为X轴，建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4),设二｝欠函数关系式为y=a(x-4)2-4(g0),由已知，这个函数的图象过(024),可以得到24=3(0-4)2+4.解得a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4当x二7时，y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为3.1=3+0.1,0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.答：这个球能投中.综合•应用4.(2010安徽模拟)如图26.3-10,在平面直角坐标系中，二｝欠函数y=ax2十c(a ")的图象过正方形ABO(:的三个顶点A、B、C,则ac的值是.思路解析：图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为2m「则A(0r2整m)、B(-皿阳7^所)、C(72w r把A、B的坐标值代入y=a*十c中，得a=四，c=2&,所以Imac=—X =2.2ni5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放乔，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种;SB〔000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克螯死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元⑴设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售点颔Q元，写出Q关于x的函数关系式；⑶该经销商将这批蟹放弄多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？思路解析：⑴市场价每天上升1元，则P=30+X；(2)销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；(3)根据利润计算式表达，可没利润为w元，用函数瞄解决.答案：⑴P=30+x.(2)Q=(30+x)(1000-10x)+20-10x=-10x2+900x+30000.⑶设利润为w元，则w=(-10x2+900x+30000)-30-1000-400x=-10(x-Z5)2-»-6250.」.当x=25时，w有最大值，最大值为6250.答；经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大?IJ润，6.将一条长为20cm的铁丝雪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成f正方形.⑴要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝磐成两段后的长:度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm?吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.思路解析；用方程或函数考虑.设其中一段长为x cm,列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.方法一：⑴解：设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm.由题意得(三沪+(竺1沪=17.4 4解得冶=16,x2=4.当为=16时，20-x=4;当x2=4时，20-x=16.答：这段铁丝雪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：(料牛)5.整理，得x<20x+104=0.•,A=b2-4ac=-16<0,.,此方程无配即不能雪成两段使得面积和为12新.方法二：剪成两段后其中一段为x cm,两个正方形面积的和为yen?.则y=弓尸+=;(x.10)2+12.5(0<x<20)・当y=17时，有上(乂-10)112.5=17.S解方程，得Xi=16,x2=4.当xi=16时,20*4;当X2二4时，20*16.答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：函数y=|(x-10)2+1Z5中，a二;>0,当x=10时，函数有最小值，最小值88为12.5.•.・12v125,所以不能勇成两段使得面积和为12cm2.7.我市英山县某茶厂种植，春蕊牌“绿茶，由历任来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(jt)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z齿)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图②的抛物肆图263-11①图26.3-11-②⑴写出图①中表示的市场销售单价y团)与上市时间t庆)(t>0)的函数关系式;(2)求出图②中表示的种梢成本单价z员)与上市时间t庆)(t>0)的函敬关系式;⑶认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价缺？(说明：市场铠售单价和种植成本单价的单位：元/500克.)思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函薮表示市场销售单价，种植成本是一E碰物线，再分别计算各时段的纯收益单价，匕咸得出结论.解：(1)①当0冬X三120时，y=-|x-b160;②当120<xE50时,y=80;2③当150UX式180时，y=±x-+20.5(2)设z=a(x・110)」20,N OC1把X=6O,y=W代入，^=a(60-110)120解得。

二次函数经典例题

二次函数经典例题二次函数是数学中常见且重要的函数之一。

在学习二次函数的过程中，我们经常会遇到一些经典的例题。

本文将介绍几个常见的二次函数例题，并进行详细的解答。

通过这些例题的讲解，相信大家能够更好地理解和掌握二次函数的知识。

例题一：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(2, 3)，过点(1, 4)。

求此二次函数的解析式。

解答：首先，我们知道二次函数的顶点坐标可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)y = c - b^2 / (4a)将已知的顶点坐标代入，得到：2 = -b / (2a) --①3 = c - b^2 / (4a) --②另外，由题目可知二次函数过点(1, 4)，将该点带入二次函数的解析式中，得到：4 = a + b + c --③根据以上三个方程式，我们可以求解出a、b、c的值，进而得到二次函数的解析式。

例题二：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴相交于点(-1, 0)和(3, 0)，且顶点坐标为(2, 3)。

求此二次函数的解析式。

解答：根据题意可知，二次函数与x轴相交于两点，说明该二次函数有两个实根。

根据韦达定理，二次函数的两个实根的和等于它们的系数的相反数，乘积等于常数项与二次项系数的比值。

设二次函数的解析式为y = a(x + 1)(x - 3)，其中a为常数。

将顶点坐标(2, 3)代入二次函数的解析式中，可得：3 = a(2 + 1)(2 - 3)3 = -3aa = -1将a的值代入解析式中，即得到二次函数的解析式为y = -(x + 1)(x - 3)。

通过以上两个例题的解答，我们可以看到二次函数的求解过程需要运用到一些基本的二次函数性质和定理。

只有深入理解并掌握了这些知识，才能在解答二次函数的例题时游刃有余。

例题三：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点(-1, 5)和(3, 9)，且在x = 2处的函数值为4。

二次函数与实际问题典型例题

二次函数与实际问题典型例题摘要：一、二次函数的应用背景1.二次函数在实际问题中的重要性2.常见实际问题与二次函数的关系二、二次函数典型例题解析1.例题一：抛物线与直角三角形的面积问题2.例题二：抛物线与最值问题3.例题三：抛物线与交点问题4.例题四：抛物线与对称性问题三、解决二次函数实际问题的方法与技巧1.利用二次函数的基本性质2.代数法与几何法的结合3.合理运用已知条件四、总结1.二次函数与实际问题的紧密联系2.解决二次函数实际问题的策略与方法正文：二次函数在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解许多现实中的现象，还能为解决实际问题提供有力的工具。

本文将通过解析几道典型的二次函数实际问题例题，来探讨如何巧妙地运用二次函数来解决实际问题。

首先来看一道抛物线与直角三角形的面积问题。

题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与x 轴相交于A、B 两点，且AB = 4，点C 到AB 的距离为h。

求抛物线与三角形ABC 的面积。

解析：通过将抛物线与x 轴相交的点A、B 坐标代入解析式，可以求得a、b、c 的值，进一步计算出顶点坐标。

由于已知AB = 4，可以根据顶点到AB 的距离公式求得h，最后利用三角形面积公式计算出结果。

接下来是抛物线与最值问题。

题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 在x = 1 处取得最小值，求a、b、c 的值。

解析：根据抛物线的性质，可以知道当a > 0 时，抛物线开口向上，此时可以通过配方法将解析式转化为顶点式，从而求得最小值点的坐标。

当a < 0 时，抛物线开口向下，此时可以通过配方和换元法求得最值。

再来一道抛物线与交点问题。

题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与直线y = mx + n 相交于不同的两点，求a、b、c、m、n 的关系。

解析：将直线方程代入抛物线方程，消去y 得到一个关于x 的二次方程，通过求解该方程可以得到交点的横坐标，再代入直线方程求得纵坐标，从而得到交点坐标。

二次函数与实际问题典型例题

二次函数与实际问题典型例题【实用版】目录1.二次函数与实际问题的关系2.典型例题解析3.总结与建议正文二次函数与实际问题的关系二次函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题中有着广泛的应用。

通过对二次函数的学习和理解，我们可以更好地解决实际问题，提高自己的数学素养。

典型例题解析例题 1：某商场在推出优惠活动，满 200 元打 8 折，满 300 元打7 折。

现在，小明想买一件价格为 x 元的商品，请问小明应该如何选择，才能使自己所花费的钱最少？解：将小明要购买的商品价格设为 x 元，那么他需要支付的金额可以表示为 f(x)=x+0.2(x-200)+0.3(x-300)，其中 x>300。

通过求导，可以得到 f(x) 的最小值出现在 x=400，此时小明需要支付的金额为f(400)=360 元。

所以，小明应该选择购买价格为 400 元的商品，才能使自己所花费的钱最少。

例题 2：一个农民有一块形状为抛物线的土地，他想在土地上种植庄稼，使得种植的庄稼面积最大。

已知土地的顶点为 (1,2)，抛物线方程为y=a(x-1)^2+2。

请问农民应该如何种植庄稼？解：由于 a<0，所以抛物线开口向下。

根据二次函数的性质，顶点是函数的最大值点。

所以，农民应该在土地的顶点处种植庄稼，即 x=1，此时庄稼的面积最大，为 2。

总结与建议通过对二次函数与实际问题的典型例题进行解析，我们可以发现数学知识在解决实际问题中的重要性。

为了更好地应对类似的问题，我们建议：1.加强对二次函数概念的学习，了解其性质和应用；2.多做练习题，提高自己对二次函数问题的解题能力；3.注重数学知识的实际应用，学会将理论知识运用到实际问题中。

二次函数经典例题

时，y最大值=4，可
3.-2≤x≤1在对称轴的右侧：在对称轴的右侧，y随x
的增大而减小，则x= m=
时，y最大值=4，可解得
综上所述：当y=-(x-m)²+m²+1有最大值4时，m=
例2：已知二次函数y=ax²+bx+c(a 0),如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（）
A.有最小值-5，最大值0 B.有最小值-3，最大值6 C.有最小值-5，最大值6 D.有最小值2，最大值6
例1：当-2≤x≤1时，二次函数y=-(x-m)²+m²+1有最大
值4，则实数m的值为
：
分析：二次函数开口向下，其增减性与对称轴x=m有关.
对于-2≤x≤1与直线x=m有以下三种位置关系：
1.-2≤x≤1在对称轴的左侧：在对称轴的左侧，y随 x的增大而增大，则x= 时，y最大值=4，可解得m=
2.-2≤x≤1在对称轴的两侧，x= 解得m=
P C
E
y=-x-3
解：（1）直线y=x﹣3与坐标轴的交点A（3，0）， B（0，﹣3）,则
解得
，∴此抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3．（2）抛物线的顶点D（1，﹣4），与x轴的另一个交点C（﹣1，0）．设P（a，a2﹣2a﹣3），则（ ×4×|a2﹣2a﹣3|）：（ ×4×4）=5：4．
列结论：①abc›0,②2a+b=0,③当m≠1时,a+b›am²+bm,
④a-b+c›0,⑤若ax1²+bx1=ax2²+bx2,且x1≠x2,x1+x2=2,其中正
确的有（）
A. ①②③
B.②④
C. ②⑤ y
D. ②③⑤

二次函数经典例题及解答

二次函数经典例题及解答二次函数一、中考导航图1.二次函数的意义2.二次函数的图像3.二次函数的性质顶点对称轴开口方向增减性4.待定系数法确定二次函数解析式5.二次函数与一元二次方程的关系三、中考知识梳理1.二次函数的图像二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像可以通过配方法化简为y=a(x+（b/2a））2+(4ac-b2)/4a2的形式。

确定顶点坐标后，可以对称求点列表并画图，或者使用顶点公式来求得顶点坐标。

2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定。

当a>0时，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大。

当a0）或左增右减（a<0）。

此时，当x=-b/2a时，y取最值，最小值或最大值的大小为|(4ac-b2)/4a|。

3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法待定系数法是通过给定的条件来确定二次函数的解析式。

可以任意给定三个点或三组x，y的值来确定解析式，组成三元一次方程组来求解。

也可以在给定条件中已知顶点坐标、对称轴或最值时，设解析式为y=a(x-h)2+k。

在给定条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴时，设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解。

4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点可以转化为一元二次方程ax2+bx+c=0的解。

当抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不相等实根；当抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等实根；当抛物线与x轴无交点时，方程无实根。

5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的开口方向由a的符号来确定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

b的符号可以表示抛物线与y轴的交点在y轴的上方或下方。

c的符号可以表示抛物线与x轴的交点在x轴的上方或下方。

四、中考题型例析1.确定二次函数解析式例1：求满足以下条件的二次函数的解析式：1）图像经过点A（-1，3）、B（1，3）、C（2，6）；2）图像经过点A（-1，0）、B（3，0），函数有最小值-8；3）图像顶点坐标是（-1，9），与x轴两交点间的距离是6.分析：此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式。

二次函数经典例题及解答

定义
一般形式为$y = ax^2 + bx + c$ （$a neq 0$）的函数称为二次函数。
图像特征
二次函数的图像是一条抛物线，开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。
对称轴与顶点坐标求解
对称轴
对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。
05
当$-2 leq x < 1$时，由$a geq frac{x^2 + 3}{x - 1}$恒成立，得$a geq (frac{x^2 + 3}{x - 1})_{max}$。
03
当$x = 1$时，不等式恒成立，$a in R$；
06
综合以上情况，可求得$a$的取值范围。
转化思想在恒成立问题中运用
对称轴和顶点坐标公式记忆错误。避免策略
通过多做练习加深记忆，同时理解公式的推导过程。
判别式 $Delta$ 使用不当，导致…
正确理解判别式的含义和使用方法，结合二次函数的图像进行分析。
忽略二次函数图像与性质的综合运用。避免策略
在解题时注重数形结合，充分利用二次函数的图像和性质进行分析和求解。
拓展延伸：高阶导数在二次函数研究中的应用
第四步
求极限。根据单调性，求出开区间上的极限值，即为最值。
含参数最值问题处理方法
第一步
确定参数范围。根据题目条件，确定参数的取值范围。
01
第三步
求导数。对新函数进行求导，得到导函数。
03
第五步
判断单调性。根据二次函数的开口方向和临界点的位置，判断新函数在参数范围内的单

二次函数经典例题及答案

例1 如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB ＝20米，顶点M 距水面6米（即MO ＝6米），小孔顶点N 距水面4.5米（NC ＝4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF ．分析：如图2，由这个实际问题抽象出的数学模型题目已经给出，观察图象可知抛物线的对称轴为y 轴，顶点为（0，6），故可设函数关系式为y =ax 2+6．又因为AB ＝20，所以OB ＝10，故B （10，0）又在抛物线上，可代入求值．解：设抛物线所对应的函数关系式为y =ax 2+6．依题意，得B （10，0）．所以a ×102＋6＝0．解得a =-0.06．即y =-0.06x 2+6．当y =4.5时，-0.06x 2+6=4.5，解得x =±5．所以DF ＝5，EF ＝10．即水面宽度为10米．例2 如图3所示，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．求抛物线的关系式．分析：函数图象的对称轴为y 轴，故设篮球运行的路线所对应的函数关系式为y =ax 2+k （a ≠0，k ≠0）．解：设函数关系式为y =ax 2+k （a ≠0），由题意可知，A 、B 两点坐标为（1.5，3.05），（0，3.5）．则 1.52a+k=3.05,k=3.5.⎧⎨⎩解得a =-0.2，所以抛物线对应的函数关系式为y =-0.2x 2+3.5．二、在几何图形中，利用图形的面积、相似三角形等有关知识获得y 与x 的关系式例3 如图4，在矩形ABCD 中，AD ＝12，AB ＝8，在线段BC 上任取一点P ，连接DP ，作射线PE ⊥DP ，PE 与直线AB 交于点E ．（1）设CP ＝x ，BE ＝y ，试写出y 关于x 的函数关系式．（2）当点P 在什么位置时，线段BE 最长？析解：在几何图形中，求函数关系式时，通常把两个变量放入两个图形，利用两个图形相似，或者在一个图形中利用面积建立它们之间的数量关系．本题要求y 与x 之间的关系式，通过观察可以发现y 、x 分别是△BPE 、△CDP 的边，而且由∠EPB ＋∠DPC ＝90°，∠DPC ＋∠PDC ＝90°，可得∠EPB ＝∠PDC ，又由∠B ＝∠C ＝90°，容易得到△BPE ∽△CDP ．所以有BP BE CD CP =．即128x yx-=．故y 关于x 的函数关系式为21382y x x =-+．当62bx a=-=时，y 有最大值，y 最大24942ac b y a -==最大．即当点P 距点C 为6时，线段BE 最长．例4 某班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大．小组讨论后，同学们设计了三种铝合金框架，图案如图5（1）、5（2）、5（3），请你根据以下图案回答下列问题：（题中的铝合金材料总长度均各指图11中所有黑线的长度和）（1）在图案（1）中，如果铝合金材料总长度为6m ，当AB 为1m 时，长方形框架ABCD 的面积是_____m 2；（2）图案（2）中，如果铝合金总长度为6m ，设AB 为x m ，长方形框架ABCD 的面积为S m 2，那么S ＝_______（用含x 的代数式表示）；当AB ＝______m 时，长方形框架ABCD 的面积S 最大，在图案（3）中，如果铝合金材料总长度为lm ，当AB ＝______m 时，长方形框架ABCD 的面积S 最大．（3）在经过这三种情况的试验后，他们发现对于图案（4）这样的情形也存在着一定的规律．探索：如图（4），如果铝合金材料长度为lm ，共有n 条竖档，那么当竖档AB 长为多少时，长方形框架ABCD 的面积S 最大．分析：解此类问题通常是建立面积与线段长的函数关系式，然后利用二次函数的图象或性质求最大值（或最小值），在这类问题中常用到下列图形的面积公式：三角形、矩形、正方形、平行四边形、梯形和圆等．解：（1）43；（2）22x x -+，1，8l ；（3）设AB 长为x cm ，那么AD 为3l nx-， 2333l nx n l S x x x -==-+．当2lx n =时，S 最大．注：关于二次函数的实际应用，体现在生活中的方方面面，在此我们不再一一列举，关键是同学们掌握这种处理实际问题的思路，达到举一反三的效果，不管题目背景如何变化，但它万变不离其宗，只要我们有了这种方法，任何问题都可以迎刃而解． 25.（1）当0x =时，6y =，C ∴点坐标为(06)，当0y =时，60x +=，6x ∴=- , A ∴点坐标为(60)-，………………………… 1分（2）抛物线2(0)y ax bx a =+<经过(60)A -，，(00)O ，, ∴对称轴32bx a=-=-， ∴6b a =.① 当3x =-时，代入6y x =+得363y =-+=，∴B 点坐标为(33)-，. 点B 在抛物线2y ax bx =+上，∴393a b =-.②联立①、②解得1,23a b =-=-.∴该抛物线的函数关系式为2123y x x =--.……………………………………………3分（3）AC 与D 相切，理由如下：联结AD ， AO OC =， 45ACO CAO ∴∠=∠=︒.B D x 与关于轴对称，∴45BAO DAO ==∠∠ .90BAD ∴=∠.又AD D 是的半径，AC ∴与D相切。

二次函数经典例题

二次函数经典例题以下是几个经典的二次函数例题：1.已知二次函数f(x)的图像顶点坐标为(2, 3)，过点(-1, 7)，求该二次函数的解析式。

解答：设二次函数的解析式为f(x) = ax^2 + bx + c。

由已知条件可得到以下方程： f(-1) = 7，即 a(-1)^2 + b(-1) + c = 7 f(2) = 3，即a(2)^2 + b(2) + c = 3联立这两个方程，可以得到以下方程组： a - b + c = 7 -- 方程(1) 4a + 2b + c = 3 -- 方程(2)解方程组得到 a = -2，b = 7，c = -2。

所以该二次函数的解析式为f(x) = -2x^2 + 7x - 2。

2.求二次函数y = x^2 + 4x - 5的图像的对称轴和顶点。

解答：二次函数的对称轴公式为x = -b/2a。

将函数中的系数带入公式计算，即 -4 / (2*1) = -2。

所以对称轴的方程为 x = -2。

对称轴上的点的横坐标就是对称轴的x 值，所以顶点的横坐标为 -2。

将 -2 代入原函数，即可求得纵坐标： y = (-2)^2 + 4*(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9所以顶点坐标为 (-2, -9)。

3.已知二次函数图像经过点(1, 0)，且在x轴上有两个零点，求该二次函数的解析式。

解答：因为在x轴上存在两个零点，即函数图像与x轴相交处，所以函数必然可以因式分解为二次多项式的形式。

设二次函数的解析式为 f(x) = a(x - r)(x - s)，其中 r 和 s 分别是函数的两个零点。

由已知条件，可以得到以下方程：f(1) = 0，代入解析式可得如下方程： a(1 - r)(1 - s) = 0联立这个方程和已知条件，我们可以解出两个零点 r 和 s。

由于函数经过点 (1, 0)，所以 1 是其中一个零点，可得 a(1 - s) = 0。

根据题目要求，另一个零点不等于 1，所以 a = 0。

二次函数与实际问题典型例题

二次函数与实际问题典型例题摘要：1.二次函数基础知识回顾2.二次函数在实际问题中的应用3.典型例题解析4.结论与建议正文：一、二次函数基础知识回顾二次函数是数学中的一种重要函数类型，其一般形式为y = ax^2 + bx + c（其中a、b、c为常数，且a ≠ 0）。

在初中和高中数学课程中，二次函数占有重要地位，与实际问题的结合尤为紧密。

二、二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中的应用广泛，如几何图形、物理运动、经济学等。

以房间定价问题为例，设房间定价为x元，宾馆利润为y，则y = (x - 20)[50 - (x - 180)/10]（1/10）（x - 20）（680 - x）。

当(x - 20)(680 - x) = 660时，即x = 350时，宾馆利润最大。

三、典型例题解析1.面积问题：已知长为x，宽为（40-2x）/2，求面积最大值。

根据抛物线面积表达式，开口向下，当x = 10时，有最大面积为100cm。

2.最值问题：已知二次函数y = 5000(1/x)^2，求销售量最大值。

根据题意，第二年的销售量比第一年多销售x，第三年比第二年多销售x，于是得出y= 5000(1/x)^2。

通过求导可知，当x = 1时，销售量最大。

四、结论与建议二次函数在实际问题中的应用广泛，掌握其基本知识和解题方法至关重要。

在学习过程中，要关注开口向上向下、最值问题等关键点，同时熟练掌握多种解题方法。

在实际应用中，要善于将二次函数模型与实际问题相结合，灵活运用知识解决实际问题。

以上就是关于二次函数与实际问题的典型例题解析，希望对大家的学习有所帮助。

二次函数经典例题讲解

二次函数经典例题讲解二次函数是一种重要的数学函数，其形式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中a、b、c是常数，且$aeq0$。

它的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

下面我们来介绍一个经典的二次函数例题，并讲解其解题思路和方法。

【例题】已知二次函数$f(x)=-x^2+4x-5$，求：（1）函数的极值和取到极值时的$x$值；（2）函数的零点；（3）函数的图像在坐标系中的形状。

【解题思路】(1) 首先，我们需要确定该二次函数的开口方向。

由于二次项系数$a=-1$小于0，所以该二次函数的图像开口向下。

因此，其顶点是该函数的最大值点。

(2) 我们可以通过求导数的方法来求得该函数的极值点。

具体地，求导后令导数等于0，即$f"(x)=-2x+4=0$，解得$x=2$。

将其代入原函数中，则有$f(2)=-1times2^2+4times2-5=3$。

因此，该函数的最大值为3，最大值点是$(2,3)$。

(3) 函数的零点是指函数与$x$轴交点的横坐标。

因此，我们需要求得方程$f(x)=-x^2+4x-5=0$的解。

通过配方法可得$(x-2)^2-1=0$，即$(x-2+sqrt{1})(x-2-sqrt{1})=0$。

解得$x=2pm1$，即$x=1$或$x=3$。

因此，函数的零点是$x=1$和$x=3$。

(4) 最后，我们可以根据前面求得的函数极值点、零点和开口方向，绘制出该二次函数在坐标系中的图像。

具体地，我们可以确定顶点$(2,3)$以及零点$(1,0)$和$(3,0)$，并连接它们，即可得到该二次函数的图像。

中考二次函数经典例题及解析

中考二次函数经典例题及解析中考二次函数经典例题及解析一、引言二次函数是中学数学中的重要内容，也是中考数学考试中常见的题型。

通过解析经典的二次函数例题，我们可以更好地理解和掌握二次函数的特点和解题方法。

本文将结合多个经典的中考二次函数例题，深入分析题目，探讨解题思路和方法，帮助读者全面理解二次函数的应用。

二、例题一题目：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点（1，1），（2，4），（3，9）。

求a，b，c的值。

解析：根据已知条件，代入三个点的坐标，得到三个方程：a+b+c=14a+2b+c=49a+3b+c=9通过解方程组，可以求解出a，b，c的值，进而得到二次函数的表达式。

三、例题二题目：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像的对称轴为x=2，顶点在直线y=1-x上。

求a，b，c的值。

解析：根据已知条件，对称轴为x=2，顶点在直线y=1-x上，可以列出方程：-b/(2a)=21-4a+2b+c=0通过求解方程组，可以得到a，b，c的值，进而得到二次函数的表达式。

四、例题三题目：已知二次函数经过点（1，-3），且在x轴上的交点为x=4。

求函数的解析式。

解析：根据已知条件，可以列出方程：a+b+c=-316a+4b+c=0通过解方程组，可以求解出a，b，c的值，进而得到二次函数的解析式。

五、总结通过以上例题的解析，我们可以看到在解二次函数相关题目时，首先需要根据题目的条件列方程，并运用相关的解方程技巧得到二次函数的系数a，b，c的值，从而得到二次函数的解析式。

在解题过程中，我们还可以借助对称轴和顶点等概念来辅助求解，这些解题方法和技巧都是我们在中考数学中必须掌握的知识点。

个人观点和理解：二次函数作为中学数学中的重要内容，其在中考数学中的考查也是至关重要的。

掌握二次函数的特点和解题方法，不仅有助于解题，还可以帮助我们更深入地理解函数的性质和应用。

通过解析经典的二次函数例题，我们可以更好地掌握二次函数的知识，并在中考数学中取得更好的成绩。

培优专题01 二次函数含参数最值问题(解析版)

培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x =-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a ab =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数)f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；[,1]t t +【例4】已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；上的最大值为【例1】已知函数2()f x x mx m =-+-.(1)若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若当1x >时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明上单调递减，应满足【例2】已知二次函数的图象过点，且不等式20ax bx c ++≤1(1)求()f x 的解析式：24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.(1)若函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，求,a b 的值；时，函数【例4】已知函数，R b ∈.(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.【例5】在①2,2x ∀∈-，②1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间]22-,上的值域；【例1】已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立．(1)求二次函数()f x 的解析式；(1)若x f 为偶函数，求a 的值；(1)当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间；)x(1)当2a =时，求f x 的单调增区间；，所以(1)若函数f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；2g x xf x m =+在[]1,2的最小值为7，求实数m 的值.【例1】已知a ，b 是常数，0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，且方程()f x x =有两个相等的实数根．(1)求a ，b 的值；(2)是否存在实数m ，n ()m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在，求出实数m ，=【例2】已知函数()1,111,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.(1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值；(2)若存在实数,(1)a b a b <<，使得函数()y f x =的定义域为[],a b 时，其值域为[],ma mb ，求实数m 的取值【例3】已知函数()22f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠．(1)设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值．【例4】已知二次函数，满足对任意实数(3)(1)f x f x -=-，且关于x 的方程()2f x x =有两个相等的实数根.(1)求函数()f x 的解析式：(2)是否存在实数m 、()n m n <，使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦?若存在，求出m ，n 的值；【例5】已知函数－2x ＋b 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为的保值区间．(1)若b ＝0，求函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间；m n <【例6】已知函数()2f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数【例7】已知是定义在R 上的函数，且0f x f x +-=，当0x >时，(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x =，当(),1x ∞∈-时()223g x x mx m =-+-，()g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围；(3)是否存在正实数a b ，，当[],x a b ∈时，()()h x f x =且()h x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出a b ，，若不【例1】已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-．(1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．证明：对任意1,2x ∈，总存在1,3x ∈-，使得f x g x =成立．【例2】函数y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()261+-=+x x f x x .(1)求()f x 的对称中心；(2)已知函数()g x 同时满足：①()11+-g x 是奇函数；②当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+.若对任意的0,2x ∈1,5x ∈，使得()()g x f x =所以【例3】已知函数(1)若函数()g x 的值域为[0,)+∞，求a 的取值集合；[2,2]x ∈-[2,2]x ∈-f x g x =。

中考二次函数压轴题经典例题

中考二次函数压轴题经典例题一、一类中考二次函数高分难题：如考题：“某费用与生产成本的平方成正比，生产成本为每件5元时，总费用为125元，生产成本为每件10元时，总费用为多少元?”解：依题意可知费用与生产成本的平方之间的关系式为y=kx²，经过点（5,125），代入上式得k=5。

于是，当生产成本为每件10元时，总费用y=5x²=5×10²=500元。

二、二次函数的解析式与图像：题目：“已知函数y = ax² + bx + c（a ≠ 0）如果x1、x2是y = 0的解，试求函数的解析式。

”解：如果已知x1、x2是y=0的解，那么二次函数的解析式可以表示为y=a(x-x1)(x-x2)。

对x进行配平方，得y=ax²-(x1+x2)ax+ax1x2，与y=ax²+bx+c相比，可以得出b=-(x1+x2)a, c=ax1x2。

由此可以看出，二次函数的系数与其解之间存在着规律性的联系。

三、二次函数的最值问题：题目：“设函数y=ax²+bx+c，在点(0,c)处取得最值，已知a,c>0, c是常数，求a，b 的取值范围。

”解：本题主要考查了函数的极值点。

首先明确这样一个概念：一个函数在它的极值点处的导数等于0。

设二次函数y=ax²+bx+c的极值点为x0，将它代入导数等于0的方程式得到x0=-b/2a，所以二次函数的对称轴为x=-b/2a。

因为函数在点(0,c)处取得最值，那么有x0=0，将x0=0代入上式，解得b=0。

又因为a,c>0，且当a>0时，抛物线开口朝上，函数的最小值点在对称轴上，与题意相符。

故a>0，所以a,b的取值范围是：a>0，b=0。