《二次函数图象信息题归类》中学数学课件
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二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
《二次函数的图像与性质》数学教学PPT课件(4篇)
2.知道二次函数 y ax2 + c 及 y a(x h)2与 y ax2
的联系；
3.掌握二次函数 y = ax2 + c 及 y a(x h)2 的性
质，并会应用.
用描点法画出y=-2x2的图象，并指出它的开 口方向、对称轴以及顶点坐标.
参照下表画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象.
【规律总结】
二次函数y=ax2的“两关系四对等” 1.a＞0⇔开口向上⇔有最小值⇔
x＞0时，y随x的增大而增大， x＜0时，y随x的增大而减小. 2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔
x＞0时，y随x的增大而减小， x＜0时，y随x的增大而增大.
1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间 t(s)的关系式是:h=4.9t2，h是t的二次 函数，它的图象的 顶点坐标是（0，0）. 2.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式. y = -2x2 （2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上. 不在抛物线上 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
m 1 x， 5
E F
4．已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y
＝ ax2，则下面图中，可以成立的是( C )
5．填空：已知二次函数
(1)其中开口向上的有_②__③__⑥__(填题号)； (2)其中开口向下且开口最大的是__⑤__(填题号)； (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后
（0,0） （0,0）
最小 值0最值是大是
（0,c）
0最小 值是
（0,c）
最c 大 值是
y随x的
增大而减 小
y随x的
增大而增
大 y随x的
的联系；
3.掌握二次函数 y = ax2 + c 及 y a(x h)2 的性
质，并会应用.
用描点法画出y=-2x2的图象，并指出它的开 口方向、对称轴以及顶点坐标.
参照下表画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象.
【规律总结】
二次函数y=ax2的“两关系四对等” 1.a＞0⇔开口向上⇔有最小值⇔
x＞0时，y随x的增大而增大， x＜0时，y随x的增大而减小. 2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔
x＞0时，y随x的增大而减小， x＜0时，y随x的增大而增大.
1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间 t(s)的关系式是:h=4.9t2，h是t的二次 函数，它的图象的 顶点坐标是（0，0）. 2.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式. y = -2x2 （2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上. 不在抛物线上 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
m 1 x， 5
E F
4．已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y
＝ ax2，则下面图中，可以成立的是( C )
5．填空：已知二次函数
(1)其中开口向上的有_②__③__⑥__(填题号)； (2)其中开口向下且开口最大的是__⑤__(填题号)； (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后
（0,0） （0,0）
最小 值0最值是大是
（0,c）
0最小 值是
（0,c）
最c 大 值是
y随x的
增大而减 小
y随x的
增大而增
大 y随x的
二次函数图像和性质复习PPT课件
二次函数复习
.
1
1.二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数， a≠0）的函数叫做二次函数
自变量x的取值范围是：任意实数
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.
.
2
2.二次函数的表达式：
（1 ）二次函数的一般形式:函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)
解这个方程组得
a 1
b
4
c 3
∴这个函数的解析式是：y=x2-4x+3
.
10
练习：根据下列已知条件， 求二次函数的解析式：
(1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5)
(2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1)
(3)抛物线过原点，且过点(3,－27)
(4)已知二次函数的图象经过点（1，0）， (3，0),(0，6)求二次函数的解析式。
∴ PQ=CO=3, ∴ |y|=3，
-1 B0
∴ 3= -x2+2x+3, ∴x1=0,x2=2 。
P
3 Q Ax
∴p(2,3)
或-3= -x2+2x+3， x2_2x-6=0
x=1±√7，∴p(1+√7,-3),p. (1-√7 ,-3)
12
在对称轴右侧，y随x的增大而. 减小
y x
y x
4
1、下列函数中，是二次函数的是 ① ② ③ ⑦ .
① yx2 4x1 ② y 2x2
③ y1(x1)24
2
④ y 4 ⑤ ym2xnxp ⑥ y 3x
⑦
x
⑧
y 3(x2)x (1)
y(x1)2x2
.
1
1.二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数， a≠0）的函数叫做二次函数
自变量x的取值范围是：任意实数
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.
.
2
2.二次函数的表达式：
（1 ）二次函数的一般形式:函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)
解这个方程组得
a 1
b
4
c 3
∴这个函数的解析式是：y=x2-4x+3
.
10
练习：根据下列已知条件， 求二次函数的解析式：
(1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5)
(2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1)
(3)抛物线过原点，且过点(3,－27)
(4)已知二次函数的图象经过点（1，0）， (3，0),(0，6)求二次函数的解析式。
∴ PQ=CO=3, ∴ |y|=3，
-1 B0
∴ 3= -x2+2x+3, ∴x1=0,x2=2 。
P
3 Q Ax
∴p(2,3)
或-3= -x2+2x+3， x2_2x-6=0
x=1±√7，∴p(1+√7,-3),p. (1-√7 ,-3)
12
在对称轴右侧，y随x的增大而. 减小
y x
y x
4
1、下列函数中，是二次函数的是 ① ② ③ ⑦ .
① yx2 4x1 ② y 2x2
③ y1(x1)24
2
④ y 4 ⑤ ym2xnxp ⑥ y 3x
⑦
x
⑧
y 3(x2)x (1)
y(x1)2x2
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
初三二次函数课件ppt课件
02
二次函数的解析式
一般式
总结词
最通用的二次函数形式，包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a≠0。它可以表示任意二次 函数，通过调整系数a、b和c的值，可以改变函数的形状、开口方向和大小。
顶点式
总结词
包含顶点坐标的二次函数形式。
详细描述
顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。通过顶点式可以直接 读出顶点的坐标，并且可以快速判断抛物线的开口方向和对称轴。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括沿x轴方向的伸缩和沿y轴方向的伸缩。沿x轴方向的伸缩是指将图像在x轴方向上放大或 缩小，对应的函数变换是将x替换为kx(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。沿y轴方向的伸缩是指将图 像在y轴方向上放大或缩小，对应的函数变换是将y替换为ky(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。
利用二次函数求面积
详细描述
通过设定一个变量为常数，将 二次函数转化为一次函数，再 根据一次函数的性质求出面积 。
总结词
几何图形面积
详细描述
在几何图形中，如矩形、三角 形、圆等，可以利用二次函数
来求解面积。
生活中的二次函数问题
总结词
生活中的二次函数
总结词
实际应用案例
详细描述
在生活中，许多问题都可以用二次函数来 描述和解决，如速度、加速度、位移等物 理量之间的关系。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由系数$a$决定。
《二次函数图象信息题的四种常见类型》PPT课件
【点拨】关于 x 的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0 的解 x1，x2， 可以看作二次函数 y＝(x＋1)(x－2)的图象与直线 y＝m(m＞0)交 点的横坐标．
∵二次函数 y＝(x＋1)(x－2)的图象与 x 轴的交点坐标为(－1，0)， (2，0)， ∴当 m＞0 时，就是抛物线位于 x 轴上方的部分，此时 x＜－1 或 x＞2. 又∵x1＜x2，∴x1＜－1＜2＜x2. 【答案】A
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
人教版 九年级上
第二十二章 二次函数
第2节 二次函数与一元二次方程 第3课时 二次函数图象信息题的四种
常见类型
提示：点击 进入习题
1D 2B 3A 4D 5A
6 x1＝0，x2＝2 7D 8 见习题
答案显示
1．(2018·毕节)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示， 下列结论： ①abc＞0；②2a＋b＞0； ③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0. 其中正确的个数是( D ) A．1 B．2 C．3 D．4
4．(中考·黄石)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则
当函数值 y＞0 时，x 的取值范围是( D )
A．x＜－1
B．x＞3
C．－1＜x＜3 D．x＜－1 或 x＞3
5．如图，一次函数 y1＝kx＋n 与二次函数 y2＝ax2＋bx＋c 的图 象相交于 A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于 x 的不等式 kx＋ n≥ax2＋bx＋c 的解集为( A ) A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9 C．－1＜x≤9 D．x≤－1 或 x≥9
∵二次函数 y＝(x＋1)(x－2)的图象与 x 轴的交点坐标为(－1，0)， (2，0)， ∴当 m＞0 时，就是抛物线位于 x 轴上方的部分，此时 x＜－1 或 x＞2. 又∵x1＜x2，∴x1＜－1＜2＜x2. 【答案】A
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
人教版 九年级上
第二十二章 二次函数
第2节 二次函数与一元二次方程 第3课时 二次函数图象信息题的四种
常见类型
提示：点击 进入习题
1D 2B 3A 4D 5A
6 x1＝0，x2＝2 7D 8 见习题
答案显示
1．(2018·毕节)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示， 下列结论： ①abc＞0；②2a＋b＞0； ③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0. 其中正确的个数是( D ) A．1 B．2 C．3 D．4
4．(中考·黄石)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则
当函数值 y＞0 时，x 的取值范围是( D )
A．x＜－1
B．x＞3
C．－1＜x＜3 D．x＜－1 或 x＞3
5．如图，一次函数 y1＝kx＋n 与二次函数 y2＝ax2＋bx＋c 的图 象相交于 A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于 x 的不等式 kx＋ n≥ax2＋bx＋c 的解集为( A ) A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9 C．－1＜x≤9 D．x≤－1 或 x≥9
二次函数阶段专题复习课件ppt
详细描述
根据二次函数的单调 性，判断函数在某个 区间的单调性；
根据二次函数的奇偶 性，判断函数的奇偶 性并求出函数的对称 轴；
根据二次函数的周期 性，求函数的周期并 观察图像的变化规律 。
综合练习题及答案
详细描述
根据二次函数与实际问题的综合 应用，解决实际问题并求出最优 解；
总结词：二次函数与其他知识点 的综合应用
求二次函数的最大值或最小值的方法是：先确定函数的对称 轴，再根据a的符号确定最大值或最小值的坐标，最后代入函 数解析式计算最大值或最小值。
02
知识点详解
二次函数的表达式及求解
表达式
$y = ax^{2} + bx + c$
求法
通过已知的三个点或顶点及对称轴可求得 $a$、$b$、$c$的值，进而得到二次函数 的表达式
2023
二次函数阶段专题复习课 件ppt
目 录
• 知识点概述 • 知识点详解 • 经典例题解析 • 易错点及应对策略 • 练习题及答案
01
知识点概述
什么是二次函数
1
二次函数是指形如`y = ax^2 + bx + c`（其中a 、b、c为常数，且a≠0）的函数。
2
二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为(b/2a,c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a。
二次函数与实际问题的结合
要点一
总结词
要点二
详细描述
了解二次函数与实际问题的联系，能 够建立数学模型并解决实际问题。
二次函数与实际问题结合广泛，如最 优化问题、经济问题、物理问题等。 通过对实际问题的分析，可以更好地 理解二次函数的应用价值。
要点三
示例题目
第1讲二次函数的图象和性质复习课件(共39张PPT)
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
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第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
全效优等生
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
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从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
全效优等生
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
全效优等生
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
《二次函数》PPT优秀课件
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是 函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1 （是）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式 ，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数是否是 二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1
正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面 积为y,显然对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的 具体关系可以表示为
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些 是常数、自变量和函数．
函数解析式 y=6x2
自变量 x
函数 y
这些函数有什么 共同点？
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫做二 次函数.
y =-2x2+40x=-2×122+40×12=192（m2）.
xm
xm
y m2
（40-2x ）m
方法点拨:确定实际问题中的二次函数关系式时，常常用到生活中的经验及数 学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等.
巩固练习
做一做: ①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式； ②王先生存入银行2万元,先y=存πx一2 个(x一>0年) 定期，一年后银行将本息自动转存为 又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万 元,写出y与x之间的函数关系式； ③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
二次函数的图象和性质初中数学课件
增大
当x>0时，y随x的增大而
减小 ，
.
5.(1)已知点(-1，y1), (-3，y2)都在二次函数y=-5x2的图象
上，则y1，y2的大小关系是
y1 ＞y2 .
(2)已知点(-2，y1), (3，y2)都在二次函数y=7x2的图象上，
则y1 ，y2的大小关系是
y1 ＜y2
.
22.1二次函数的图象和性质
第2课时 二次函数y=ax²
的图象和性质
温故知新
图象的形状；
图象的形状；
图象的位置；
性质：y随x的增
大如何变化.
一
次
函
数
类比
y=kx
(k≠0)
由
特
殊
到
一
般
二
次
函
数
y=ax²
(a≠0)
k＞0，k＜0，
a＞0，a＜0，
y=x，y=-x.
y=x²，y=-x².
图象的位置；
性质：y随x的增
二次函数 y = ax 2 的图象特征．
(1)在同一直角坐标系中，画出a<0的几个二次函数的图象，并
考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.
(2)当a<0时，说出二次函数 y = ax 2 的图象特征．
y
1
-8
-
-2
-
0
0
0
1
-
-
-2
2
-2
-8
…
…
…
1
2
-1
1
3
2
当x>0时，y随x的增大而
减小 ，
.
5.(1)已知点(-1，y1), (-3，y2)都在二次函数y=-5x2的图象
上，则y1，y2的大小关系是
y1 ＞y2 .
(2)已知点(-2，y1), (3，y2)都在二次函数y=7x2的图象上，
则y1 ，y2的大小关系是
y1 ＜y2
.
22.1二次函数的图象和性质
第2课时 二次函数y=ax²
的图象和性质
温故知新
图象的形状；
图象的形状；
图象的位置；
性质：y随x的增
大如何变化.
一
次
函
数
类比
y=kx
(k≠0)
由
特
殊
到
一
般
二
次
函
数
y=ax²
(a≠0)
k＞0，k＜0，
a＞0，a＜0，
y=x，y=-x.
y=x²，y=-x².
图象的位置；
性质：y随x的增
二次函数 y = ax 2 的图象特征．
(1)在同一直角坐标系中，画出a<0的几个二次函数的图象，并
考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.
(2)当a<0时，说出二次函数 y = ax 2 的图象特征．
y
1
-8
-
-2
-
0
0
0
1
-
-
-2
2
-2
-8
…
…
…
1
2
-1
1
3
2
沪科版九年级数学上册《专题二 二次函数图象信息题归类》课件(共17张PPT)
专题二 二次函数图象信息题归类
类型之一：由某一函数的图象确定其他函数图象的位置
1．二次函数 y＝ax2＋bx 的图象如图所示，那么一次函数 y＝ax＋b 的图象大致是( C )
2．函数 y＝ax2＋a 与 y＝ax(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是 ( D)
3．已知正比例函数 y＝ax 与反比例函数 y＝kx在同一坐标系中的图 象如图所示，判断二次函数 y＝ax2＋k 在坐标系中的大致图象是( B )
10．如图所示，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y ＝ax2＋bx＋c的顶点为A，且经过点B.求该抛物线的解析式．
解：由直线 y＝－x－2，令 x＝0，则 y＝－2，∴点 B 的坐标为(0，－2)； 令 y＝0，则 x＝－2，∴点 A 的坐标为(－2，0)．∵抛物线的顶点为 A，所以设 抛物线的解析式为 y＝a(x＋2)2.∵抛物线过点 B，∴－2＝4a，解得 a＝－12.∴抛 物线的解析式为 y＝－12(x＋2)2，即 y＝－12x2－2x－2
c的解集为( )
A
A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9
C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥9
15．如图所示，抛物线 y＝x2＋1 与双曲线 y＝kx的交点 A 的横坐标 是 1，则关于 x 的不等式－kx＋x2＋1＜0 的解集是( D )
A．x＞1 B．x＜－1 C．－1＜x＜0 D．0＜x＜1
16．已知函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)当x取何值时，y＝0? (2)方程x2－2x－3＝0的解是什么？ (3)当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0? (4)不等式x2－2x－3＜0的解集是什么？
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
类型之一：由某一函数的图象确定其他函数图象的位置
1．二次函数 y＝ax2＋bx 的图象如图所示，那么一次函数 y＝ax＋b 的图象大致是( C )
2．函数 y＝ax2＋a 与 y＝ax(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是 ( D)
3．已知正比例函数 y＝ax 与反比例函数 y＝kx在同一坐标系中的图 象如图所示，判断二次函数 y＝ax2＋k 在坐标系中的大致图象是( B )
10．如图所示，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y ＝ax2＋bx＋c的顶点为A，且经过点B.求该抛物线的解析式．
解：由直线 y＝－x－2，令 x＝0，则 y＝－2，∴点 B 的坐标为(0，－2)； 令 y＝0，则 x＝－2，∴点 A 的坐标为(－2，0)．∵抛物线的顶点为 A，所以设 抛物线的解析式为 y＝a(x＋2)2.∵抛物线过点 B，∴－2＝4a，解得 a＝－12.∴抛 物线的解析式为 y＝－12(x＋2)2，即 y＝－12x2－2x－2
c的解集为( )
A
A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9
C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥9
15．如图所示，抛物线 y＝x2＋1 与双曲线 y＝kx的交点 A 的横坐标 是 1，则关于 x 的不等式－kx＋x2＋1＜0 的解集是( D )
A．x＞1 B．x＜－1 C．－1＜x＜0 D．0＜x＜1
16．已知函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)当x取何值时，y＝0? (2)方程x2－2x－3＝0的解是什么？ (3)当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0? (4)不等式x2－2x－3＜0的解集是什么？
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
《二次函数——二次函数的图象与性质》数学教学PPT课件(9篇)
D．两图象关于x轴对称
（来自《典中点》）
知1－练
4
已知A(m，a)和B(n，a)两点都在抛物线y＝x2上，
则m，n之间的关系正确的是( B )
A．m＝n
B．m＋n＝0
C．m＋n>0
D．m＋n<0
（来自《典中点》）
知1－练
5
如图，圆的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2
是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是
解：
(1)列表：
x
y
…
…
－3
9
－2
4
－1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
…
…
知1－讲
(2)描点；
y
10
(3)连线．
8
y=x2
6
4
2
-4
-3
-2
-1
0
-2
1
2
3
4
x
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
七点法，即先取原点，然后在原点两侧对称地取六
个点，由于关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，
纵坐标相等，所以先计算y轴右侧三个点的坐标，则左
第二章
二次函数
二次函数的图象与性质
第1课时
1
2
课堂讲解
课时流程
逐点
导讲练
二次函数 y = x2与 y = -x2的图象
二次函数 y = x2与 y = -x2的性质
课堂
小结
作业
提升
回顾旧知
(1)一次函数的图象是什么？
一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？
（来自《典中点》）
知1－练
4
已知A(m，a)和B(n，a)两点都在抛物线y＝x2上，
则m，n之间的关系正确的是( B )
A．m＝n
B．m＋n＝0
C．m＋n>0
D．m＋n<0
（来自《典中点》）
知1－练
5
如图，圆的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2
是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是
解：
(1)列表：
x
y
…
…
－3
9
－2
4
－1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
…
…
知1－讲
(2)描点；
y
10
(3)连线．
8
y=x2
6
4
2
-4
-3
-2
-1
0
-2
1
2
3
4
x
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
七点法，即先取原点，然后在原点两侧对称地取六
个点，由于关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，
纵坐标相等，所以先计算y轴右侧三个点的坐标，则左
第二章
二次函数
二次函数的图象与性质
第1课时
1
2
课堂讲解
课时流程
逐点
导讲练
二次函数 y = x2与 y = -x2的图象
二次函数 y = x2与 y = -x2的性质
课堂
小结
作业
提升
回顾旧知
(1)一次函数的图象是什么？
一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？
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5．(2016· 达州)如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交于点 A(－1，0)，与 y 轴的交点 B 在(0，－2)和(0，－1)之间(不 包括这两点)，对称轴为直线 x＝1.下列结论：①abc＞0；②4a＋2b 1 2 ＋c＞0；③4ac－b ＜8a；④3<a<3；⑤b＞c.
15．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋
bx＋c＞0的解集是( C ) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1
16．已知函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
(1)当x取何值时，y＝0? (2)方程x2－2x－3＝0的解是什么？ (3)当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0? (4)不等式x2－2x－3＜0的解集是什么？
13．利用函数图象求方程x2－4x＋3＝0的解． 解：方法一：如图①，画出函数y＝x2－4x＋3的图象，它与x轴 的交点的横坐标为1，3，所以方程x2－4x＋3＝0的解是x1＝1， x2＝3 方法二：如图②，画出函数y＝x2－4x和y＝－3的图象
，两函数图象的交点横坐标为1，3，所以方程x2－4x＋3＝0的
解是x1＝1，x2＝3
类型之五
利用二次函数图象解不等式
14．如图所示，一次函数y1＝kx＋n(k≠0)与二次函数y2＝ax2＋bx＋
c(a≠0)的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx
＋n≥ax2＋bx＋c的解集为( ) A
A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9
C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥9
第二十二章 二次函数
专题训练(二) 二次函数图象信息题归类
类型之一
由某一函数的图象确定其他函数图象的位置
1 ． (2016· 泰安 ) 二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 的图象如图所示，那么一次 函数y＝ax＋b的图象大致是( A )
A
BБайду номын сангаас
C
D
2．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n
2
其中含所有正确结论的选项是( D ) A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c， N＝4a－2b＋c，P＝2a－b，则M，N，P中，值小于0的数有( A ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图所示，则m的值是( B ) A．－8 B．8 C．±8 D．6
类型之四
利用二次函数图象求一元二次方程的根
11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标(－1，－3.2)及部
分图象(如图所示)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝
0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝( D )
A．－1.3 B．－2.3
C．－0.3 D．－3.3
12．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，若关于x的 一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解为x1＝3，则另一个解x2 ＝________. －1
解：(1)由图象知，函数y＝x2－2x－3与x轴的交点为(－1，0)，(3 ，0)，所以当x＝－1或3时，y＝0 解为x1＝－1，x2＝3 ＜－1或x＞3时，y＞0 3 (2)由图象知，x2－2x－3＝0的
(3)由图象知，当－1＜x＜3时，y＜0，当x (4)不等式x2－2x－3＜0的解集为－1＜x＜
类型之三
利用二次函数图象求二次函数的解析式
8．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c如图所示，则此抛物线的解析式 为____________ ． y＝－x2＋2x＋ 3
9．如图所示，有一个抛物线形拱桥，其最大高度为10 m，跨度
为50 m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，则抛物线的函 2 2 4 y＝－125x ＋5 x 数解析式为____________ ．
的图象经过( C )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数 y＝ax＋b的图象可能是( D )
类型之二
由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值
4．(2016·常德)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列 结论：①b＜0；②c＞0；③a＋c＜b；④b2－4ac＞0.其中正确的个数 是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图所示，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物 线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A，且经过点B.求该抛物线的解析式．
解： 由直线 y＝－x－2， 令 x＝0， 则 y＝－2.∴点 B 的坐标为(0， －2)；令 y＝0，则 x＝－2，∴点 A 的坐标为(－2，0)．∵抛物 线的顶点为 A，所以设抛物线的解析式为 y＝a(x＋2)2，∵抛物 1 线过点 B，∴－2＝4a，解得 a＝－2.∴抛物线的解析式为 y＝－ 1 1 2 2 2(x＋2) ，即 y＝－2x －2x－2