江苏省南京市2016届高三上学期初情调研考试数学试题(终稿) Word版含答案

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南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学(word包含答案)

南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学 2016.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知全集U ＝{－1，2，3，a }，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为▲________． 2．设复数z 满足z (1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ▲ ． 3．甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是▲________．4．从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是▲________．5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．6．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β．给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m∥α．其中正确的命题是▲________． (填．写．所有正确命题的．．．．．．．序号．．)． 7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则a 8a 6＝ ▲ ．8．设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为▲________．（第5题图）9．如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是▲________．10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是▲________．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →．若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝▲________．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为▲________．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1e x ，x ≥a ，－x －1，x ＜a ，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为▲________．14．若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ．（1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A ＋1tan C 的值．（第11题图）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点．（1）若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）若A 1B ∥平面ADC 1，求BDDC的值．17． (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，1)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．（第16题图）ABCDA 1B 1C1（第17题图）如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5千米，BC ＝8千米，CD ＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两管理员到达D 的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围；（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D ，且乙从A 到D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围．19．(本小题满分16分)设函数f (x )＝－x 3＋mx 2－m (m ＞0)．（1）当m ＝1时，求函数f (x )的单调减区间；（2）设g (x )＝|f (x )|，求函数g (x )在区间[0，m ]上的最大值；（3）若存在t ≤0，使得函数f (x )图象上有且仅有两个不同的点，且函数f (x )的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t )，试求m 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝S n +1n．（1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ①当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad的值；②求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∈N *，r ＜t )使得b t b r ＝t ＋2r ＋2，求q的值．（第18题图）CB AD南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2016.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知半圆O 的半径为2，P 是直径BC 延长线上的一点，P A 与半圆O 相切于点A ， H 是OC 的中点，AH ⊥BC ．（1）求证：AC 是∠P AH 的平分线；（2）求PC 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ（θ为参数），点M 的极坐标为(1，π2)．若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．D ．选修4—5：不等式选讲求函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．（1）求X是奇数的概率；（2）求X的概率分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，P n(x n0，y n0)，n∈N*．记直线AP n的斜率为k n．（1）若k1＝2，求P1的坐标；（2）若k1为偶数，求证：k n为偶数．南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．5 2．3－i 3．0.02 4．35 5．8 6．①④7．4 8． 5 9．4 10．[－1，3] 11．32 12．313．(－1－1e 2，2) 14．24二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）因为m ·n ＝3b cos B ，所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B ．由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ，···························································3分所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B ．因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13．····················································7分（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ．由正弦定理，得sin 2B ＝sin A ·sin C ． ·········································································9分因为cos B ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sin B ＝223．······················································11分又1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A ·sin C ＋sin A ·cos C sin A ·sin C＝sin(A ＋C )sin A ·sin C ＝sin B sin A ·sin C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝324．·································································14分 16．(本小题满分14分)证明：（1）因为AB ＝AC ，点D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ． ·················································2分因为ABC －A 1B 1C 1 是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC ．因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD ． ···················································4分因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥平面BCC 1B 1．因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1． ·············································6分(2)连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为AC 1中点． ·············································8分因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ，所以A 1B ∥OD ． ··················································12分因为O 为AC 1中点，所以D 为BC 中点，所以BDDC ＝1． ··································································14分17．(本小题满分14分)解：（1）由题意，得c a ＝22，4a 2＋1b2＝1，解得a 2＝6，b 2＝3．所以椭圆的方程为x 26＋y 23＝1． ··································································2分（2）①解法一椭圆C 的右焦点F (3，0)．设切线方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，所以|－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)．······························4分由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －3)，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝43＋325，y ＝－6＋65，或⎩⎨⎧x ＝43－325，y ＝－6－65．所以点P ，Q 的坐标分别为(43＋325，－6＋65)，(43－325，－6－65)，所以PQ ＝665． ·································6分因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△O PQ 的面积为635．因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，△O PQ 的面积也为635．综上所述，△O PQ 的面积为635． ·································8分 ②解法二椭圆C 的右焦点F (3，0)．设切线方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，所以|－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)．·······························4分把切线方程 y ＝2(x －3)代入椭圆C 的方程，消去y 得5x 2－83x ＋6＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝835．由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e( x 1＋x 2)＝2×6－22×835＝665．·····················6分因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△O PQ 的面积为635．因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，所以△O PQ 的面积为635．综上所述，△O PQ 的面积为635． ·································8分 ②解法一：(i)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x ＝2或x ＝－2．当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ ． ·································10分(ii) 若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0．因为直线与圆相切，所以|m |1＋k2＝2，即m 2＝2k 2＋2．将直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2．·································12分因为OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)×2m 2－61＋2k 2＋km ×(－4km 1＋2k2)＋m 2．将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ·····································14分解法二：设切点T (x 0，y 0)，则其切线方程为x 0x ＋y 0y －2＝0，且x 20＋y 20＝2．(i)当y 0＝0时，则直线PQ 的直线方程为x ＝2或x ＝－2．当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ ． ··································10分(ii) 当y 0≠0时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0x ＋y 0y －2＝0，x 26＋y 23＝1，消去y 得(2x 20＋y 20)x 2－8x 0x ＋8－6y 20＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8x 02x 20＋y 20，x 1x 2＝8－6y 202x 20＋y 20． ······························12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(2－x 0x 1)( 2－x 0x 2)y 02＝－8(x 02＋y 20)＋16y 02(2x 20＋y 20)．因为x 20＋y 20＝2，代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ·····································14分 18．(本小题满分16分)解：(1)由题意，可得AD ＝12千米．由题可知|126－16v |≤14， ··············································2分解得649≤v ≤647． ··············································4分(2) 解法一：经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )．由于先乙到达D 地，故16v ＜2，即v ＞8． ················································6分①当0＜vt ≤5，即0＜t ≤5v时，f (t )＝(6t )2＋(vt )2－2×6t ×vt ×cos ∠DAB ＝(v 2－485v ＋36) t 2．因为v 2－485v ＋36＞0，所以当t ＝5v时，f (t )取最大值，所以(v 2－485v ＋36)×(5v )2≤25，解得v ≥154． ·········································9分②当5＜vt ≤13，即5v ＜t ≤13v 时，f (t )＝(vt －1－6t )2＋9＝(v －6) 2 (t －1v －6)2＋9．因为v ＞8，所以1v －6＜5v，(v －6) 2＞0，所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值，所以(v －6) 2 (13v －1v －6)2＋9≤25，解得398≤v ≤394． ········································13分③当13≤vt ≤16， 13v ≤t ≤16v 时，f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2，因为12－6t ＞0，16－vt ＞0，所以当f (t )在(13v ，16v )递减，所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值，(12－6×13v )2＋(16－v ×13v )2≤25，解得398≤v ≤394．因为v ＞8，所以 8＜v ≤394． ·············································16分解法二：设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )．由于先乙到达D 地，故16v＜2，即v ＞8． ·················································6分以A 点为原点，AD 为x 轴建立直角坐标系， ①当0＜vt ≤5时，f (t )＝(45vt －6t )2＋(35vt )2．由于(45vt －6t )2＋(35vt )2≤25，所以(45v －6)2＋(35v )2≤25t 2对任意0＜t ≤5v都成立，所以(45v －6)2＋(35v )2≤v 2，解得v ≥154． ···············································9分②当5＜vt ＜13时，f (t )＝(vt －1－6t )2＋32．由于(vt －1－6t )2＋32≤25，所以－4≤vt －1－6t ≤4对任意5v ＜t ＜13v 都成立，即⎩⎨⎧v －6≤5t ，－3t≤v －6，对任意5v ≤t ≤13v 都成立，所以⎩⎨⎧v －6≤5v 13，－3v 13≤v －6，解得398≤v ≤394． ···············································13分 ③当13≤vt ≤16即13v ≤t ≤16v ，此时f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2．由①及②知：8＜v ≤394，于是0＜12－6t ≤12－78v ≤12－78394＝4，又因为0≤16－vt ≤3，所以f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2≤42＋32＝25恒成立．综上①②③可知8＜v ≤394． ·············································16分19．(本小题满分16分)解：（1）当m ＝1时，f (x )＝－x 3＋x 2－1．f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)．由f ′(x )＜0，解得x ＜0或x ＞23．所以函数f (x )的减区间是(－∞，0)和(23，＋∞)． ······································2分（2）依题意m ＞0．因为f (x )＝－x 3＋mx 2－m ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2mx ＝－x (3x －2m )．由f ′(x )＝0，得x ＝2m3或x ＝0．当0＜x ＜2m 3时，f ′(x )＞0，所以f (x )在上为增函数；上为减函数；所以，f (·················································4分．···············································6分·······8分y －(－x 13＋mx 12－m )＝(－3x 12＋2mx 1)(x －x 1)，y －(－x 23＋mx 22－m )＝(－3x 22＋2mx 2)(x －x 2)． ···········································10分将(2，t )代入两条切线方程，得t －(－x 13＋mx 12－m )＝(－3x 12＋2mx 1)(2－x 1)，t －(－x 23＋mx 22－m )＝(－3x 22＋2mx 2)(2－x 2)．因为函数f (x )图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程t －(－x 3＋mx 2－m )＝(－3x 2＋2mx )(2－x )有且仅有不相等的两个实根．···········12分整理得t ＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m ．设h (x )＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m ，h ′(x )＝6x 2－2(6＋m )x ＋4m ＝2(3x －m )(x －2)． ①当m ＝6时，h ′(x )＝6(x －2)2≥0，所以h (x )单调递增，显然不成立． ②当m ≠6时， h ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝m 3．列表可判断单调性，可得当x ＝2或x ＝m3，h (x )取得极值分别为h (2)＝3m －8，或h (m 3)＝－127m 3＋23m 2－m ．要使得关于x 的方程t ＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m 有且仅有两个不相等的实根，则t ＝3m －8，或t ＝－127m 3＋23m 2－m ． ·······························14分因为t ≤0，所以3m －8≤0，（*），或－127m 3＋23m 2－m ≤0．（**）解（*），得m **·································16分20．(本小题满分16分)解：（1）①因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列，所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3a ＋3d 2＝3(2a ＋d )＋4a ＋6d 3，解得，a d ＝34． ····································4分② 由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(n ＋1)a ＋(n ＋1)nd2n＜a ＋(n ＋1)d ，整理得⎩⎨⎧n 2－n －2ad≤0，n 2＋n －2a d＞0，········································6分解得－1＋1＋8a d 2＜n ≤1＋1＋8a d2， ········································8分由于1＋1＋8a d2－－1＋1＋8a d2＝1且－1＋1＋8ad2＞0．因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋2． ·········································10分（2）因为b tb r ＝a 1(1－q t ＋1)t (1－q )a 1(1－q r ＋1)r (1－q )＝t ＋2r ＋2，所以q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)．设f (n )＝q n ＋1－1n (n ＋2)，n ≥2，n ∈N *．则f (n ＋1)－f (n )＝q n ＋2－1(n ＋1)(n ＋3)－q n ＋1－1n (n ＋2)＝q n ＋1[(q －1)n 2＋2(q －2)n －3]＋2n ＋3n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，因为q ＞2，n ≥2，所以(q －1)n 2＋2(q －2)n －3＞n 2－3≥1＞0，所以f (n ＋1)－f (n )＞0，即f (n ＋1)＞f (n )，即f (n )单调递增．··································12分所以当r ≥2时，t ＞r ≥2，则f (t )＞f (r )，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q r ＋1－1r (r ＋2)，这与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)互相矛盾．所以r ＝1，即q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13． ···································14分若t ≥3，则f (t )≥f (3)＝q 4－115 ＝q 2－13·q 2＋15＞q 2－13，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q 2－13，与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13相矛盾．于是t ＝2，所以q 3－18＝q 2－13，即3q 2－5q －5＝0．又q ＞2，所以q ＝5＋856． ···········································16分南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2016.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：(1)连接AB ．因为P A 是半圆O 的切线，所以∠P AC ＝∠ABC ．因为BC 是圆O 的直径，所以AB ⊥AC ．又因为AH ⊥BC ，所以∠CAH ＝∠ABC ，所以∠P AC ＝∠CAH ，所以AC 是∠P AH 的平分线． ···········································5分 (2)因为H 是OC 中点，半圆O 的半径为2，所以BH ＝3，CH ＝1．又因为AH ⊥BC ，所以AH 2＝BH ·HC ＝3，所以AH ＝3．在Rt △AHC 中，AH ＝3，CH ＝1，所以∠CAH ＝30°．由(1)可得∠P AH ＝2∠CAH ＝60°，所以P A ＝23．由P A 是半圆O 的切线，所以P A 2＝PC ·PB ，所以PC ·(PC ＋BC )＝(23)2＝12，所以PC ＝2． ···········································10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 对应的变换下得到点Q (x ′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x ′y ′，即x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，所以x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2． ················································5分代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2(x ′－y ′2)2＝1，即x ′2＋y ′2＝2，所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2． ···········································10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：M 的极坐标为(1，π2)，故直角坐标为M (0，1)，且P (2cos θ，sin θ)，所以PM ＝(2cos θ)2＋(sin θ－1)2＝－3sin 2θ－2sin θ＋5，sin θ∈[－1，1]． ·················5分当sin θ＝－13时，PM max ＝433，此时cos θ＝±223．所以，PM 的最大值是433，此时点P 的坐标是(±423，－13)．·······························10分D ．选修4—5：不等式选讲解：函数定义域为[0，4]，且f (x )≥0．由柯西不等式得[52＋(2)2][(x )2＋(4－x )2)]≥(5·x ＋2·4－x )2，······················5分即27×4≥(5·x ＋2·4－x )2，所以5x ＋8－2x ≤63．当且仅当2x ＝54－x ，即x ＝10027时，取等号．所以，函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值为63． ··································10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）记“X 是奇数”为事件A ，能组成的三位数的个数是48． ·································2分 X 是奇数的个数有28，所以P (A )＝2848＝712．答：X 是奇数的概率为712． ·································4分（2） X 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．当 X ＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P (X ＝3)＝448＝112；当 X ＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P (X ＝4)＝448＝112；当 X ＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P (X ＝5)＝848＝16；当 X ＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P (X ＝6)＝1048＝524；当 X ＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P (X ＝7)＝1048＝524；当 X ＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P (X ＝8)＝648＝18；当 X ＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P (X ＝9)＝648＝18；······························8分所以X 的概率分布列为：。

江苏省南京市、盐城市2016届高三上学期第一次模拟考试数学试题解析(解析版)

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}210A x x =-=，{}1,2,5B =-，则AB = ▲ .【答案】{}1- 【解析】试题分析：{}{}{}210=|11,1A x x x x =-==±=-，{}1AB =-考点：集合的运算 2.已知复数21iz i+=-（i 是虚数单位），则||z = ▲ .【解析】试题分析：2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i +++===+--+，||z ===考点：复数的运算和模3.书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ . 【答案】310【解析】试题分析：取出的两本书共有54102⨯=种不同组合，其中两本书都是数学书的组合有3232⨯=种，则取出的两本书都是数学书的概率为310考点：古典概型概率4.运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ .【答案】17 【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17 考点：循环结构流程图5.某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为 ▲ . 【答案】17 【解析】试题分析：高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人考点：分层抽样6.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,3)P ，则其焦点到准线的距离为 ▲ . 【答案】92【解析】试题分析：由题意设抛物线方程为22y px =，又因为过点(1,3)P ，则p=92即为焦点到准线距离考点：抛物线性质7.已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ .【答案】3- 【解析】试题分析：可行域为一个三角形及其内部，其三个顶点坐标分别为(1,0),(5,0),(1,4)A B C -,当目标函数过S ←1For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S第4题图点(1,4)C 时z 取最小值3- 考点：线性规划8.设一个正方体与底面边长为▲ . 【答案】2 【解析】试题分析：设正四棱锥底面正方形ABCD 的中心为O ,顶点为P ,则AO =则2OP h ==，则正四棱锥的体积为231283V a =⨯⨯==，得2a = 考点：正四棱锥体积9.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若5a =，4A π=，3cos 5B =，则边c = ▲ . 【答案】7考点：正余弦定理10.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲ 【答案】20 【解析】试题分析：9663633S S S S S S S --=-,263396()()S S S S S -=-,22633963333(5)2510101020S S S S S S S S S -+-===++≥+=（）,当且仅当35S =时取“=”，则96S S -最小值为20.考点：等比数列性质11.如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅的值为 ▲ .【答案】2- 【解析】试题分析：2221()()[()]()()3333AD BC AC CD BC AC CB BC AC AB AC BC AB AC AC AB ⋅=+⋅=+⋅=+-⋅=+⋅-222116132333AB AB AC AC =-+⋅+=-++=-考点：向量数量积12.过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 ▲ . 【答案】340x y ±+=考点：直线与圆位置关系13.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22x x mf x =+，设(),1,()(),1,f x x g x f x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ 【答案】33[,]22-AB C D第11题【解析】试题分析：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，则有1m =，所以1()22xxf x =-，可以作出的图象（如图1），再由图像变换可以得到图2. 3()(,),1,2()3()[,),1,2f x xg x f x x ⎧∈+∞>⎪⎪=⎨⎪-∈-+∞≤⎪⎩ “函数()y g x t =-有且只有一个零点”等价于“函数1()y g x =与函数2y t =只有一个交点”，数形结合可以得到33[,]22t ∈- 考点：函数零点14.设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】1(0,]1e + 【解析】试题分析：由 x e <时，32y x x =-+图象，及线段PQ 中点恰好在y 轴上，可得 0a >，且点,P Q 分别在两段图象上，所以可以设32(,),(,ln )()P x x x Q x a x x e -+≥，.因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，所以OP OQ ⊥即0OP OQ ⋅= 故有232ln ()0x a x x x -++=，整理得1,()(1)ln a x e x x =≥+,此时11(0,](1)ln 1x x e ∈++，所以1(0,]1a e ∈+ 考点：函数性质二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设函数()sin()(0,0,,)22f x A x A x R ππωϕωϕ=+>>-<<∈的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）当[,]22x ππ∈-时，求()f x 的取值范围.【答案】（1）()2sin()6f x x π=+（2）()[f x ∈【解析】试题分析：（1）求形如()sin()f x A x ωϕ=+三角函数解析式，一由函数最大值得2A =，二由最高点到相邻零点求周期：54632T πππ=-=，进而求1ω=，三由最高点坐标代入解析式求2()32k k Z ππϕπ+=+∈ 由22ππϕ-<<确定6πϕ=（2）由正弦函数性质求()f x 值域，这一般结合三角函数图像：当[,]22x ππ∈-时，2[,]633x πππ+∈-，因此sin()[6x π+∈，即()[f x ∈. 试题解析：（1）由图象知，2A =， …………2分又54632T πππ=-=，0ω>，所以22T ππω==，得1ω=. …………4分所以()2sin()f x x ϕ=+，将点(,2)3π代入，得2()32k k Z ππϕπ+=+∈，即2()6k k Z πϕπ=+∈，又22ππϕ-<<，所以6πϕ=. …………6分所以()2sin()6f x x π=+. …………8分（2）当[,]22x ππ∈-时，2[,]633x πππ+∈-， …………10分所以sin()[62x π+∈-，即()[f x ∈. …………14分考点：三角函数解析式第15题图16.如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 是正方形，点O 是侧面11ACC A 的中心，2ACB π∠=，M 是棱BC 的中点.（1）求证：//OM 平面11ABB A ；（2）求证：平面1ABC ⊥平面1A BC .【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发进行论证：而线线平行，一般结合平面几何条件，如中位线给予论证（2）证明面面垂直，一般利用线面垂直给予证明：即证1AC ⊥面1A BC . 而线面垂直证明，一般要多次利用线面垂直性质及判定定理进行论证：先由平面几何条件11ACC A 是正方形得11AC AC ⊥，再由BC AC ⊥（已知），1CC BC ⊥（直棱柱性质推导）得BC ⊥面11ACC A .因而有BC ⊥1AC ，这样就论证了1AC ⊥面1A BC .试题解析：（1）在1A BC ∆中，因为O 是1AC 的中点，M 是BC 的中点，所以1//OM A B . ..............4分又OM ⊄平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以//OM 平面11ABB A . ..............6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥底面ABC ，所以1CC BC ⊥，又2ACB π∠=，即BC AC ⊥，而1,CC AC ⊂面11ACC A ，且1CC AC C =，所以BC ⊥面11ACC A . ..............8分ACBM OA 1C 1B 1第16题图而1AC ⊂面11ACC A ，所以BC ⊥1AC ，又11ACC A 是正方形，所以11AC AC ⊥，而,BC 1AC ⊂面1A BC ，且1BC AC C =，所以1AC ⊥面1A BC . .............12分又1AC ⊂面1ABC ，所以面1ABC ⊥面1A BC . ..............14分考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理17.如图所示，,A B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P . 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（,,A B P 可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大）. 现估测得,A B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？【答案】PA =千米，PB =. 【解析】试题分析：“点P 到直线AB 的距离要尽可能大”是本题问题，思路可建立点P 到直线AB 的距离函数关系求最值，但结合所给条件：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；即垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离之比为它们每天集中的生活垃圾量之比的倒数，因此可利用解析法求P 轨迹，则点P 到直线AB 的距离最大值转化为其纵坐标最大值，且选址问题就是确定点P 坐标问题试题解析：解法一：由条件①，得505303PA PB ==. ...............2分设5,3PA x PB x ==，则222(5)16(3)8cos 2165105x x x PAB x x+-∠==+⨯⨯， ..............6分B A ··居民生活区第17题图北所以点P 到直线AB的距离sin 5h PA PAB x =∠===， ...............10分所以当234x =，即x =h 取得最大值15千米.即选址应满足PA =PB =. ...............14分解法二：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系. ........2分则(8,0),(8,0)A B -. 由条件①，得505303PA PB ==. ...............4分设(,)(0)P x y y >，则=化简得，222(17)15(0)x y y -+=>，分即点P 的轨迹是以点（17,0）为圆心、15为半径的圆位于x 轴上方的半圆. 则当17x =时，点P 到直线AB 的距离最大，最大值为15千米.所以点P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可. ...............14分考点：函数实际问题18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14x C y +=上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2）若5r =. ①求证：1214k k =-； ②求OP OQ ⋅的最大值【答案】（1）2211(()24x y +±=（2）①详见解析 ②52【解析】试题分析：（1）求圆的标准方程，就是确定圆心及半径，根据圆M 与x 轴相切于椭圆C的右焦点，得圆心M又点00(,)M x y 是椭圆22:14x C y +=上一点，所以圆心M的坐标为1)2±，半径为12，（2）①由直线与圆相切得圆心到切线距离等于半径，列出两个等量关系，并化简得：222010010(45)10450x k x y k y -++-=，222020020(45)10450x k x y k y -++-=，由于这两个方程类似，因此可转化为12,k k 是方程2220000(45)10450x k x y k y -++-=的两根，结合韦达定理得212204545y k k x -=-，将2200114x y +=代入化简得1214k k =-②先联立直线与椭圆方程组解出P,Q 点坐标（用斜率表示）21221144(,)1414k P k k ++，22222244(,)1414k Q k k ++ ,因此222212222211224444()()14141414k k OP OQ k k k k ⋅=+⋅+++++22221211222212114(1)4(1)4411614141414k k k k k k k k ++++=⋅=⋅++++，结合基本不等式得22122221520()252(14)4k OP OQ k +⋅≤=+ 试题解析：（1）因为椭圆C右焦点的坐标为，所以圆心M的坐标为1)2±，........2分从而圆M的方程为2211(()24x y +±=. …………4分（2）①因为圆M 与直线1:OP y k x =5=，即222010010(45)10450x k x y k y -++-=， …………6分同理，有222020020(45)10450x k x y k y -++-=，所以12,k k 是方程2220000(45)10450x k x y k y -++-=的两根， …………8分从而222000122220001545(1)1451444545454x x y k k x x x ---+-====----. …………10分 ②设点111222(,),(,)P x y P x y ，联立12214y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222111221144,1414k x y k k ==++， ……12分同理，222222222244,1414k x y k k ==++，所以222212222211224444()()14141414k k OP OQ k k k k ⋅=+⋅+++++ 22221211222212114(1)4(1)4411614141414k k k k k k k k ++++=⋅=⋅++++ ……………14分 221221520()252(14)4k k +≤=+，当且仅当112k =±时取等号. 所以OP OQ ⋅的最大值为52.……16分考点：圆方程，直线与椭圆位置关系 19.已知函数()x axf x e=在0x =处的切线方程为y x =. （1）求a 的值；（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x<+-成立，求k 的取值范围；（3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由. 【答案】（1）1a =（2）[0,1)e -（3）12()02x x g +'<. 【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得(0)1f '=，而(1)()xa x f x e -'=，因此1a =（2）不等式恒成立问题，一般先变量分离，转化为对应函数最值问题：2max (2)k x x >-且2min (2)xe k x x x<+-，接下来只需分别按二次函数性质求2max(2)0x x -<，及利用导数求2min (2)1xe x x e x+-<-，从而实数k 的取值范围是[0,1)e -.本小题在取倒数时易忽视220k x x +->，确定实数k 的取值范围是易忽视区间端点是否取到（3）先分析所要求证的对象，可以利用特殊值确定12()02x x g +'<，因为11()1xg x x x-'=-=，从而转化求证1212x x +>.由1122ln ln x b x x b x +=⎧⎨+=⎩相减得2211ln x x x x -=，令211x t x =>，则解得11ln 1x t t =-，2ln 1tx t t =-，因此1211ln 221x x t t t ++>⇒>-，即只需证1()ln 201t t t t ϕ-=->+，这利用导数证明易得. 试题解析：（1）由题意得(1)()xa x f x e-'=，因函数在0x =处的切线方程为y x =，所以(0)11af '==，得1a =. ……………4分（2）由（1）知21()2x x f x e k x x=<+-对任意(0,2)x ∈都成立，所以220k x x +->，即22k x x >-对任意(0,2)x ∈都成立，从而0k ≥. ……………6分又不等式整理可得22x e k x x x<+-，令2()2x e g x x x x =+-，所以22(1)()2(1)(1)(2)0x xe x e g x x x x x-'=+-=-+=，得1x =， ……………8分当(1,2)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(1,2)上单调递增，同理，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1k g x g e <==-，综上所述，实数k 的取值范围是[0,1)e -. ……………10分（3）结论是12()02x x g +'<. ……………11分证明：由题意知函数()ln g x x x b =--，所以11()1xg x x x-'=-=，易得函数()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以只需证明1212x x +>即可. 12分因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122ln ln x b x x b x +=⎧⎨+=⎩，相减得2211ln x x x x -=，不妨令211x t x =>，则21x tx =，则11ln tx x t -=，所以11ln 1x t t =-，2ln 1tx t t =-，即证1ln 21t t t +>-，即证1()ln 201t t t t ϕ-=->+， ………14分因为22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=，综上所述，函数()g x 总满足12()02x x g +'<成立. ……………16分考点：导数几何意义，利用导数研究不等式恒成立，利用导数研究函数零点 20.设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项12,,,i a a a 中的最大项为i A ，该数列后m i -项12,,,i i m a a a ++中的最小项为i B ，(1,2,3,,1)i i i r A B i m =-=-.（1）若数列{}n a 的通项公式为2nn a =，求数列{}i r 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式；（3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由. 【答案】（1）1222ii i i r +=-=-11i m ≤≤-（2）12(1)21n a n n =+-=-11i m ≤≤-（3）1()2n n a n =-试题解析：（1）因为2n n a =单调递增，所以2i i A =，12i i B +=，所以1222ii i i r +=-=-，11i m ≤≤-. ……………4分（2）根据题意可知，i i a A ≤，1i i B a +≤，因为20i i i r A B =-=-<，所以i i A B <可得1i i i i a A B a +≤<≤即1i i a a +<，又因为1,2,3,,1i m =-，所以{}n a 单调递增，……7分则i i A a =，1i i B a +=，所以12i i i r a a +=-=-，即12i i a a +-=，11i m ≤≤-，所以{}n a 是公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，11i m ≤≤-. ………10分（3）构造1()2n n a n =-，其中n b n =，1()2nn c =-. …………12分下证数列{}n a 满足题意.证明：因为1()2nn a n =-，所以数列{}n a 单调递增，所以1()2ii i A a i ==-，1111()2i i i B a i ++==+-， ……………14分所以1111()2i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-，因为2121111[1()][1()]()0222i i i i i r r ++++-=-----=>，所以数列{}i r 单调递增，满足题意. …………16分（说明：等差数列{}n b 的首项1b 任意，公差d 为正数，同时等比数列{}n c 的首项1c 为负，公比(0,1)q ∈，这样构造的数列{}n a 都满足题意.）考点：数列综合应用附加题21.A （选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.ABDEO第21(A )题图C·【答案】154BD = 【解析】试题分析：由弦切角定理得CDA DBA ∠=∠，从而可得EDA DBA ∆∆，即EDA CDA ∠=∠，因此可得ACD AED ∆≅∆，即4AE AC ==，5AD =，再由三角形相似得DE AEBD AD=，解出154DE BD AD AE =⋅=试题解析：因为CD 与O 相切于D ，所以CDA DBA ∠=∠， …………2分又因为AB 为O 的直径，所以90ADB ∠=︒. 又DE AB ⊥，所以EDADBA ∆∆，所以EDA DBA ∠=∠，所以EDA CDA ∠=∠.…4分又90ACD AED ∠=∠=︒，AD AD =，所以ACD AED ∆≅∆.所以4AE AC ==，所以5AD ， ……… 6分又DE AE BD AD =，所以154DE BD AD AE =⋅=. ………10分考点：三角形相似21.B （选修4—2：矩阵与变换）设矩阵 02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程.【答案】22841x xy y ++= 【解析】试题分析：实质利用转移法求轨迹方程：先确定矩阵M ，由矩阵M 有一个特征值为2，得矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--有一个解2，所以2a =.再设曲线C 在矩阵M 变换下点(,)x y 变换为点(,)x y ''，由 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得22x xy x y'=⎧⎨'=+⎩，代入221x y ''+=得22841x xy y ++= 试题解析：由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =. …………4分所以 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即22x x y x y '=⎧⎨'=+⎩，代入方程221x y +=，得22(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为22841x xy y ++=.…10分21.C （选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点A 的极坐标为)4π-，圆E 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+，试判断点A 和圆E 的位置关系【答案】点A 在圆E 外【解析】试题分析：先根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将点A 的极坐标化为直角坐标为(2,2)-，圆E 的极坐标方程化为直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=，再根据点A 到圆心距离4d r =>=A 在圆E 外.试题解析：解：点A 的直角坐标为(2,2)-， ………2分圆E 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=， …………6分则点A 到圆心E 的距离4d r =>=所以点A 在圆E 外. …………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程 21.D(选修4—5：不等式选讲）已知正实数,,,a b c d 满足1a b c d +++=.≤【答案】详见解析【解析】试题分析：由柯西不等式得24(12121212)a b c d ≤+++++++，而1a b c d +++=，因此224≤，得证.试题解析：因24(12121212)a b c d ≤+++++++， …6分又1a b c d +++=，所以224≤，……10分22.直三棱柱111ABC A B C -中， AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ=. （1）若1λ=，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值；（2）若二面角111B AC D --的大小为60︒，求实数λ的值.【答案】（121 【解析】试题分析：（1）先建立恰当的空间直角坐标系，设出各点坐标，明确1(1,2,2)DB =-，利用方程组求出平面11AC D 的法向量1(2,0,1)n =，再根据向量数量积求出111111cos ,||||3DBn DB n DB n ⋅<>===后根据线面角与向量夹角关系得直线1DB 与平面11AC D （2）因为平面111A B C 的一个法向量为2(0,0,1)n =，所以只需利用方程组表示平面11AC D 的法向量1(1,0,1)n λ=+，再根据向量数量积求出12cos ,n n <>=，又二面角111B AC D--的大小为60︒12=，解得1λ=试题解析：分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，1(0,4,2)C ………2分（1）当1λ=时，D 为BC 的中点，所以(1,2,0)D ，1(1,2,2)DB =-，11(0,4,0)AC =，1(1,2,2)A D =-，设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z = BACDB 1A 1C 1第22题图则4020y x z =⎧⎨-=⎩，所以取1(2,0,1)n =，又111111cos ,||||3DBn DB n DB n ⋅<>=== 所以直线1DB 与平面11AC D …………6分（2）BD DC λ=，24(,,0)11D λλλ∴++，11(0,4,0)AC ∴=，124(,,2)11A D λλλ=-++，设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =，则402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩，所以取1(1,0,1)n λ=+. …………8分又平面111A B C的一个法向量为2(0,0,1)n =，由题意得121|cos ,|2nn <>=，12=，解得1λ=或1λ=（不合题意，舍去），所以实数λ1. …………10分考点：利用空间向量数量积研究线面角及二面角 23.设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T .（1）求33T S ，44T S ，55T S ，66T S 的值；（2）猜想nnT S 的表达式，并证明之. 【答案】（1）332T S =，4452T S =，553T S =，6672T S =.（2）12n n T n S += 【解析】试题分析：（1）实质是阅读题意，分别求出对应的3=n n S C，nT ，计算出比值n n T S ：332T S =，4452T S =，553T S =，6672T S =.（2）根据数值归纳出12n n T n S +=，用数学归纳法证明时，先转化证明的结论，由于已知3=n n S C ，因此只需证明312n n n T C +=即可，因为1k T +在k T 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和(1)k -个k ，所以1k k T T +=+213243(1)k k ⨯+⨯+⨯++-3222223412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+ 3322233412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+3311222k k k C C ++-=+3122k k C ++=试题解析：（1）332T S =，4452T S =，553T S =，6672T S =. ……………4分（2）猜想12n n T n S +=. ……………5分下用数学归纳法证明之.证明：①当3n =时，由（1）知猜想成立；②假设当(3)n k k =≥时，猜想成立，即12k k T k S +=，而3k k S C =，所以得312k k k T C +=. 6分则当1n k =+时，易知311k k S C ++=，而当集合M 从{}1,2,3,,k 变为{}1,2,3,,,1k k +时，1k T +在k T 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和(1)k -个k ， ……………8分所以1k k T T +=+213243(1)k k ⨯+⨯+⨯++-3222223412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+ 3322233412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+3311222k k k C C ++-=+3122k k C ++=1(1)12k k S +++=，即11(1)12k k T k S ++++=. 所以当1n k =+时，猜想也成立.综上所述，猜想成立. ……………10分（说明：未用数学归纳法证明，直接求出n T 来证明的，同样给分.）考点：数学归纳法高考一轮复习：。

江苏省南京市届高考考前综合训练数学试题终稿含答案

南京市2016届高考考前综合题一、填空题1．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确的个数是． ①若α⊥β，l ⊥β，则l 不一定平行α；②若α⊥β，γ⊥β，则γ∥α；③若l 上有两个点到α的距离相等，则l ∥α； ④若l 与α，β所成角相等，则α∥β．【答案】1．2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＝6，S 2＋S 3＝60,则S 4的值为．【答案】90．【提示】由题知a 1＝6，2a 1＋2a 2＋a 3＝60，设等比数列{a n }的公比为q ,代入化简得q 2＋2q －8＝0，q ＝2或者q ＝－4(舍)，所以S 4＝90．（如果用求和公式则需要讨论q ＝1，q ≠1）【说明】本题考查了等比数列的项与和关系，通项公式，求和公式，考查了基本量的运算，合理选择运算方法．3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }满足a n ＋2－a n ＝d (d 为常数，且d ≠0，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，且a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4成等差数列，则S 20等于 . 【答案】120.【提示】由题得2a 2a 3＝a 1a 2＋a 3a 4，则2×2(d ＋1)＝2＋(d ＋1)(d ＋2)．又d ≠0，得d ＝1，所以数列{a n }奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，于是S 20＝(a 1＋a 3＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋…＋a 20)＝10×1＋10×92×1＋10×2＋10×92×1＝120．【说明】本题考查等差数列的基本量运算，考查了简单的隔项成等差数列的求和问题.4．已知函数f (x )＝2 |x |＋cos x －π，则不等式(x －2)f (x )＞0的解集是 ________ . 【答案】(－π2，π2)∪(2，＋∞)．【提示】注意到函数f (x )为偶函数，且f (－π2)＝f (π2)＝0．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋cos x －π，此时f ′(x )＝2－sin x ＞0恒成立，于是f (x )在[0，＋∞)上单调递增，根据f (x )为偶函数可知，f (x )在(－∞，0]上单调递减．由(x －2)f (x )＞0得⎩⎨⎧x －2＞0，f (x )＞0，或者⎩⎨⎧x －2＜0，f (x )＜0，即x ＞2或－π2＜x ＜π2．【说明】本题考查函数的基本性质以及简单的分类讨论．该题没有直接指明函数的奇偶性及单调性，需要能根据给定的解析式发现其性质，助于解决问题．5．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)及圆上的点A (0，－r )，过点A 的直线l 交圆于另一点B ，交x 轴于点C ，若OC ＝BC ，则直线l 的斜率为_______．【答案】±3．【提示】方法一：设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程为y ＝kx －r ，联立直线与圆方程解得B (2kr k 2＋1，(k 2－1) r k 2＋1)，又点C 坐标为(r k ，0)，由OC ＝BC ，得(rk )2＝(2kr k 2＋1－r k )2＋[(k 2－1) r k 2＋1]2，解得k ＝±3．方法二：设∠B =θ，在△ABD 中，AB =2r cos θ．在△AOC 中，AC =rcos θ，在△BOC 中，BC =r 2 cos θ．由AB =AC + BC ，得2r cos θ＝r cos θ+r2 cos θ．因为θ∈(0，π2)，解得cos θ＝32，故θ＝π6，得∠BCx=π3，所以k ＝3．由对称性，得k ＝± 3.【说明】考查坐标法处理直线与圆的位置关系．6．已知斜率为3的直线l 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点．若原点O 关于直线l 的对称点在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为_________．【答案】63．【提示】直线l 方程为y ＝3(x －c )，设O 关于l 的对称点为P (m ，n )，则⎩⎨⎧nm 3＝－1n 2＝ 3(m 2－c )，解得m ＝32c ，由题意知32c ＝a 2c ，由e ＝63．【说明】考查点关于直线对称问题的处理方法及椭圆离心率的计算．7．如图，边长为1的正三角形ABC 中，P 是线段BC 上的动点，Q 是AB 延长线上的动点，且满足|BQ →|＝2|BP →|，则PA →·PQ →的最小值为_________．【答案】－2532．【提示】设BP →＝λBC →，λ∈[0，1]，则BQ →＝2λAB →，则PA →＝BA →－BP →＝BA →－λBC →，PQ →＝BQ →－BP →＝－2λBA →－λBC →．因此PA →·PQ →＝2λ2－52λ＝2(λ－58)2－2532，因此PA →·PQ→最小值为－2532．【说明】本题考查平面向量数量积的最值问题，也可通过坐标法解决．8．如图，凸四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝6，AD ＝CD ＝4．设四边形ABCD 面积为S ，则S 的最大值为________．【答案】8 3【提示】S ＝S △ABD ＋ S △BCD ＝12AB ·AD ·sin A ＋12CB ·CD ·sin C ＝4sin A ＋12sin C ，即S4＝sin A＋3sin C ①；由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ，代入化简得2＝3cos C －cos A ②．①②两式平方相加得：(S4)2＋4＝10－6cos(A ＋C )≤16（当cos(A ＋C )＝－1，即A ＋C ＝π时取“＝”），解得S ≤83．【说明】本题考查三角形面积公式，余弦定理，两角和差公式及三角函数最值．本题的背景是“四条边长AB D一定的凸四边形，当其四点共圆时面积最大”9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0．若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】(1，2]．【提示】f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．【说明】本题考查函数迭代运算、函数的零点以及数形结合思想．一般的函数的零点问题要有意识的借助于函数的图像解决问题．10．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ≤5c ，3a ＋4b ≤5c ，则a ＋3b c 的最小值为____________．【答案】275．【提示】由题意得⎩⎨⎧ac ＋2bc ≤5， 3c a ＋4c b≤5，，设x ＝b c ，y ＝ac ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤5，4x ＋3y ≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧y ≤5－2x ，y ≥3x 5x －4，45＜x ＜52．作出平面区域得：设a ＋3bc ＝t ，即t ＝3x ＋y ，当直线y ＝－3x ＋t 与曲线y ＝3x5x －4相切时，t 最小．将直线y ＝－3x ＋t 与曲线y ＝3x 5x －4联立方程组，消去y 整理得15x 2－(5t ＋9)x ＋4t ＝0，△＝(5t ＋9)2－240t ＝0得t ＝275或t ＝35(舍)，于是t 最小为275．【说明】一般的含多个变量的不等式组问题要注意先减元再利用解决线性规划问题的方法求解．11．已知f (x )＝(x ＋1) |x |－3x ．若对于任意x ∈R ，总有f (x )≤f (x ＋a )恒成立，则常数a 的最小值是______．【答案】3＋10．【提示】f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－4x ，x ＜0，，作出函数f (x )的图象得：作平行于x 轴的直线l 与f (x )图象有三个交点，设最左边与最右边的交点分别为M ，N ，如图所示，则a的最小值即为线段MN 长的最大值．设直线l 的方程为y ＝t ，可得MN ＝3＋1＋t ＋4－t ＝3＋(1＋t ＋4－t )2＝3＋5＋2(1＋t )(4－t )≤3＋5＋1＋t ＋4－t ＝3＋10所以，a 的最小值是3＋10【说明】本题的难点是要能结合函数的图象发现常数a 的最小值即为线段MN 长的最大值．二、解答题12．三角形ABC 中，A ＝45○，BC ＝2．（1）若cos C ＝513，求三角形ABC 的面积S ；（2）求AB →·AC →的最大值．【解答】（1）因为cos C ＝513，C ∈(0，π)，所以sin C ＝1213．由正弦定理得c ＝a sin A ·sin C ＝22sin C ＝24213．又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝17226，所以S ＝12ac sin B ＝408169．（2）AB →·AC →＝bc cos A ＝22bc ．因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以4＝b 2＋c 2－2bc ．因为b 2＋c 2≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，所以4＋2bc ≥2bc ，所以bc ≤4＋22，所以AB →·AC →≤2＋22，即AB →·AC →的最大值为2＋22．【说明】考查三角形面积公式，正弦定理，平面向量的数量积，基本不等式．13．三角形ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin A 的值；（2）若C ＝45○＋B ，求sin A 的值．【解答】（1）由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝95a 2，即b ＝355a ，由正弦定理得：sin B ＝355sin A ，因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝35，所以sin A ＝55．（2）因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝35，而sin A ＝sin(B ＋C )＝sin(2B ＋45○)＝ 22(sin2B ＋cos2B )，又sin2B ＝2sin B cos B ＝2425，cos2B ＝1－2sin 2B ＝725，所以sin A ＝31250．【说明】考查正余弦定理，两角和差公式及二倍角公式．另外第（1）问还可以利用正弦定理将边的关系“c＝2a ”转化为角的关系“sin C ＝2sin A ”来解决．D 14．如图，矩形ABCD 所在的平面与平面ABF 互相垂直. 在△ABF 中，O 为AB 的中点，AF ＝8，BF ＝6，OF ＝5.（1）求证：AF ⊥平面BCF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面ADF .【解答】（1）取BF 中点E ，连结OE . 因为O 为AB 中点，所以OE ＝4，EF ＝3，由OE 2＋EF 2＝25＝OF 2可得：EF ⊥OE ．又OE ∥AF ，从而BF ⊥AF . 由矩形ABCD 可知：BC ⊥AB ，又平面ABCD 所在的平面与平面ABF 互相垂直，平面ABCD ∩平面ABF ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ABF ．而AF ⊂平面ABF ，故BC ⊥AF .又BF ∩BC ＝B ，所以AF ⊥平面BCF . （2）连结ME .由（1）知：ME ∥BC ，而BC ∥AD ，故ME ∥AD . 又ME /⊂平面DAF ，DA ⊂平面DAF ，所以ME ∥平面DAF .同理可证：OE ∥平面DAF . 而OE ∩ME=E ，所以平面OME ∥平面DAF . 又MO ⊂平面OME ，所以OM ∥平面DAF .【说明】本题第二问也可以使用线线平行来证明线面平行.15．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的菱形，∠BCD ＝60°，点E 是BC 边的中点，AC ，DE 交于点O ，PO ＝23，且PO ⊥平面ABCD . （1）求证：PD ⊥BC ；（2）在线段AP 上找一点F ，使得BF ∥平面PDE ，并求此时四面体PDEF 的体积.【解答】（1）由题可得△BCD 为正三角形，E 为BC 中点，故DE ⊥BC .又PO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则PO ⊥BC ，而DE ∩PO ＝O ，所以BC ⊥平面PDE .又PD ⊂平面PDE ，故PD ⊥BC . （2）取AP 中点为F ，再取PD 中点为G ，连结FG .则FG 为△P AD 中位线，故FG ＝∥ 12AD ，又BE ＝∥ 12AD ，所以FG ＝∥BE ，于是四边形BFGE 为平行四边形，因此BF ∥EG .又BF /⊂平面PDE ，EG ⊂平面PDE ,所以BF ∥平面PDE .由（1）知，BC ⊥平面PDE .则有BC ⊥PE ，BC ⊥DE ，而BC ∥FG ，故FG ⊥PE ，FG ⊥DE ，且DE ∩PE ＝E ，所以FG ⊥平面PDE .于是四面体PDEF 的体积为V=13S △PD E ·FG ＝13×12×23×3×1＝1.另解（等体积转化）：因为BF //面PDE ，则B ，F 两点到平面PDE 的距离相等，所以四面体PDEF 的体积等于四面体PDEB ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以V P-BDE =13·PO ·S △BDE =1.【说明】第一问考查空间中线线垂直的证明方法；第二问属于探究性问题，本问注意与三模立体几何题第二问区别开来.本题应先找到点的位置再进行论证，最终证明得到线面平行.最后考查棱锥的体积公式.ＡＢＥＣＤＰＯ16．如图，有一位于A 处的观测站，某时刻发现其北偏东45°且与A 相距202海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶. 20分钟后又测得该船位于观测站A 北偏东45°＋θ（其中tan θ＝15，0°＜θ＜45°），且与观测站A 相距513海里的C 处.（1）求该船的行驶速度v （海里/小时）；（2）在离观测站A 的正南方15海里的E 处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过10分钟. 如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由.【解答】（1）由题意：AB ＝202，AC ＝513，∠BAC ＝θ，因为tan θ＝15，0°＜θ＜45°，所以cos θ=52626，由余弦定理得：BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos θ＝125，即BC ＝5 5. 因为航行时间为20分钟，所以该船的行驶速度为v ＝155海里/小时. （2）由（1）知，在△ABC 中，cos B ＝31010，则sin B ＝1010.设BC 延长线交AE 于点F ，则∠AFB ＝45°－B ，∠ACF ＝θ＋B . 在△AFC 中，由正弦定理可得：AC sin ∠AFB ＝ AFsin ∠ACF. 解得：AF ＝20海里.过点E 作EG 垂直BF 于点G ，在△EFG 中，sin ∠AFB ＝55，EF ＝5，所以EG ＝ 5.显然，5＜3，故货船会进入警戒区.则货船进入警戒区的时间为232－5155＝4755小时，而4755＜16，所以货船可以在规定时间之内离开警戒区域. 【说明】考查正、余弦定理的运用，求解直线与圆的弦长问题，考查学生解决实际问题的能力．本题第二问也可以通过建立平面直角坐标系来解决直线与圆的位置关系问题.17．某工厂制造一批无盖圆柱形容器，已知每个容器的容积都是π立方米，底面半径都是r 米.如果制造底面的材料费用为a 元/平方米，制造侧面的材料费用为b 元/平方米，其中ba ＞1，设计时材料的厚度忽略不计.（1）试将制造每个容器的成本y （单位：元）表示成底面半径r （单位：米）的函数；（2）若要求底面半径r 满足1≤r ≤3（单位：米），则如何设计容器的尺寸，使其成本最低？【解答】（1）设每个容器的高为h 米，则圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π，即r 2h ＝1. 所以，制造成本y ＝2πrhb ＋πr 2a ＝(2rb ＋r 2a )π（r ＞0）.南A E南FA E（2）y '＝2π(ar －br 2)，令y '＝0，则有r ＝3b a. 列表得：（i ）当3b a ≥3，即ba≥27，则函数y 在[1,3]上单调递减，所以当r ＝3时，y 取得最小值，此时底面半径应设计成3米. （ii ）当1＜3b a ＜3，即1＜ba＜27，则函数y 在[1,3ba]上单调递减，在[3ba,3]上单调递增，所以当r ＝3ba 时，y 取得最小值，此时底面半径应设计成3b a米. 综上，当b a ≥27时，应将底面半径设计成3米；当1＜ba ＜27时，应将底面半径设计成3ba米. 【说明】考查圆柱体的体积及表面积的计算，利用导数解决函数在闭区间上的最值问题，分类讨论思想的运用，考查学生解决实际问题的能力.18．已知椭圆x 24＋y 23＝1，左顶点为A ，右准线与x 轴的交点为B ，点P 为椭圆右准线上且在第一象限内的点，直线AP 交椭圆于点Q ，连接BQ ．（1）当AP →＝2AQ →时，求证：直线BQ 与椭圆只有一个公共点；（2）过点P 与直线BQ 垂直的直线l 在y 轴上的截距为t ，当t 最大时，求直线AP 的方程．【解答】（1）由题意知，右准线方程为x ＝4．设P (4，m )，因为AP →＝2AQ →，即Q 为AP 中点，因为A (—2，0)，所以点Q (1，m 2)，代入椭圆方程得14＋13(m 2)2＝1，解得m ＝±3（负值舍去），所以Q (1，32)．又B (4，0)，所以直线BQ 方程为y ＝－12(x －4)，联立直线与椭圆方程得⎩⎨⎧y ＝－12(x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得x 2－2x ＋1＝0，该方程有两个相等的实根，所以直线与椭圆只有一个公共点．（2）AP 方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，则点P 坐标为(4，6k )，联立直线与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)， x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2―12＝0．设方程两根为x 1，x 2，由题意知x 1＝―2，因为x 1x 2＝16k 2―123＋4k 2，因此x 2＝―8k 2＋6 3＋4k 2，代入直线方程得y 2＝12k 3＋4k 2，即Q (―8k 2＋6 3＋4k 2，12k 3＋4k 2)，则直线BQ 的斜率为k BQ ＝－2k4k 2＋1，则直线l 的斜率为4k 2＋12k ，所以直线l 的方程为y －6k ＝4k 2＋12k (x ―4)．令x ＝0，得y ＝－(2k ＋2k )≤－22k·2k ＝－4（当且仅当k ＝1时取“＝”号），此时直线AP 方程为y ＝x ＋2．【说明】考查直线与椭圆的位置关系及解几中的最值问题．19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上顶点A (0，2)，右焦点F (1，0)，椭圆上任一点到点F 的距离与到定直线l ：x ＝m 的距离之比为常数k ．（1）求常数m ，k 的值；（2）过点F 的直线交椭圆于点S ，T 两点，P 为直线l 上一动点．①若PF ⊥ST ，求证：直线OP 平分线段ST ；②设直线PS ，PF ，PT 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求证：k 1，k 2，k 3成等差数列．【解答】（1）由题意知b ＝2，c ＝1，则a ＝5，所以椭圆方程为x 25＋y 24＝1．设M (x ，y )为椭圆上任一点，由题意知(x －1)2＋y 2|x －m |＝k ，整理得(x —1)2＋y 2＝k 2(x —m )2．又y 2＝4—4x 25，代入上式整理得 (15—k 2)x 2＋2(mk 2—1)x ＋5—k 2m 2＝0．由题意知上式恒成立，则⎩⎨⎧15—k 2＝0，2(mk 2—1)＝0， 5—k 2m 2＝0，解得k ＝55，m ＝5．（2）①当ST 斜率不存在时，由PF ⊥ST ，得P 为直线l 与x 轴的交点，此时线段ST 被直线OP 平分；当ST 斜率为0时，不合题意；当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)，联立直线与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x —1) x 25＋y 24＝1，消去y ，得(4＋5k 2)x 2—10k 2x ＋5k 2—20＝0．设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－20 4＋5k 2，且△＞0．设线段ST 中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝5k 2 4＋5k 2，y 0＝ k (x 0—1)＝－4k 4＋5k 2，所以ST 中点为(5k 24＋5k 2，－4k 4＋5k 2)．因为PF ⊥ST ，所以直线PF 方程为y ＝－1k (x —1)，所以点P 坐标为(5，—4k )，则直线OP 方程为y ＝－ 45k x ，而y 0＝－45k x 0，即(x 0，y 0)在直线OP 上，即直线OP 平分线段ST ．综上，直线OP 平分线段ST ．（2）当ST 斜率不存在时，易得S (1，455)，T (1，－455)．设P (5，t )，则k 1＝t －4554，k 2＝t4，k 3＝t ＋4554，则k 1＋k 3＝t —4554＋t ＋4554＝t2＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列．当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)（同第（1）问）．设P (5，t )，则k 1＝t —y 15—x 1＝t —k (x 1—1)5—x 1＝k ＋t —4k 5—x 1，k 2＝t 4，k 3＝t —y 25—x 2＝t —k (x 2—1)5—x 2＝k ＋t —4k 5—x 2，则k 1＋k 3＝k ＋t —4k 5—x 1＋k ＋t —4k5—x 2＝2k ＋(t —4k )(10—x 1—x 2)(5—x 1)( 5—x 2)＝2k ＋(t —4k )[10—(x 1＋x 2)]25—5(x 1＋x 2)＋x 1x 2．由（1）知x 1＋x 2＝10k 2 4＋5k 2，x 1x 2＝5k 2—204＋5k 2，代入上式得k 1＋k 3＝2k ＋(t —4k )[10— 10k 24＋5k 2]25—510k 2 4＋5k 2＋5k 2—20 4＋5k 2＝2k ＋(t —4k )(40＋40k 2)80＋80k2＝2k ＋t —4k 2＝t 2，又k 2＝t4，所以k 1＋k 3＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列．综上：k 1，k 2，k 3成等差数列．【说明】考查直线与椭圆的位置关系，解析几何中的恒成立问题及分类讨论思想．20．已知函数f (x )＝2x 3－3(k ＋1)x 2＋6kx ＋t ，其中k ，t 为实数，记区间[－2，2]为I ．（1）若函数f (x )的图像与x 轴相切于点(2，0)，求k ，t 的值；（2）已知k ≥1，如果存在x 0∈(－2，2)，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值，求k 的取值范围；（3）已知－103＜k ＜－3，若对于任意x ∈I ，都有f (x )≥6(x －2)e x ，求t 的最小值．（e 2≈7.39）【解答】（1）f ′(x )＝6x 2－6(k ＋1)x ＋6k ＝6(x －1)(x －k )，因为函数f (x )的图像与x 轴相切于点(2，0)，于是f (2)＝0，f ′(2)＝0，即2－k ＝0，16－12(k ＋1)＋12k ＋t ＝0，解得k ＝2，t ＝－4．（2）当k ≥2时，f (x )在(－2，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，于是存在x 0＝1，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值；当k ＝1时，f ′(x )≥0恒成立，故f (x )在I 上单调递增，故不存在x 0∈(－2，2)，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值；当1＜k ＜2时，f (x )在(－2，1)上单调递增，在(1，k )上单调递减，在(k ，2)上单调递增，于是若存在x 0∈(－2，2)，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值，则必有f (1)≥f (2)，即k ≥53，又1＜k ＜2，于是53≤k ＜2；综上，k ≥53．（3）对于任意x ∈I ，都有f (x )≥6(x －2)e x ，即对于任意x ∈I ，都有2x 3－3(k ＋1)x 2＋6kx ＋t ≥6(x －2)e x 即t ≥6(x －2)e x －2x 3＋3(k ＋1)x 2－6kx设g (x )＝6(x －2)e x －2x 3＋3(k ＋1)x 2－6kx ，x ∈[－2，2]，则g ′(x )＝6(x －1)( e x －x ＋k )，令h (x )＝e x －x ＋k ，x ∈[－2，2]，则h ′(x )＝e x －1，于是h (x )在(－2，0)上单调递减，在(0，2)上单调递增，又h (－2)＝1e 2＋2＋k ＜1e 2＋2－3＝1e 2－1＜0，于是当x ∈[－2，0]时h (x )＜0恒成立，又h (1)＝e －1＋k ＜e －1－3＝e －4＜0，h (2)＝e 2－2＋k ＞e 2－2－103＝e 2－163＞0，因此h (x )＝e x －x ＋k ，x ∈[－2，2]存在唯一的零点x 0∈(1，2)，于是g (x )在(－2，1)上单调递增，在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，2)上单调递增，所以g (x )max ＝max{ g (1)，g (2)}．又g (1)－g (2)＝(1－6e －3k )－(－4)＝5－6e －3k ＜5－6e －3(－103)＝15－6e ＜0，于是g (1)＜g (2)，所以g (x )max ＝g (2)＝－4，即t ≥－4，因此t 的最小值是－4．【说明】本题主要考查利用导数求函数的最值，分类讨论思想及函数极值点常见的处理方法．其中第三问要能通过给定的k 的范围比较相关量的大小．21．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，g (x )＝ln x ．（1）求证：g (x )＜x2；（2）设h (x )＝f (x )＋bg (x )(b ∈R )．①若a 2＋b ＝0，且当x ＞0时h (x )＞0恒成立，求a 的取值范围；②若h (x )在(0，＋∞)上存在零点，且a ＋b ≥－2，求b 的取值范围．【解答】（1）设h (x )＝x 2－g (x )＝x2－ln x则h ′(x )＝x －22x ，于是f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，于是h (x )min ＝h (2)＝1－ln2＞0，从而h (x )＞0恒成立，即g (x )＜x2．（2）h (x )＝f (x )＋bg (x )＝x 2＋ax ＋b ln x①因为a 2＋b ＝0，所以h (x )＝x 2＋ax －a 2ln x ，h ′(x )＝(x ＋a )(2x －a )x，当a ＝0时，h (x )＝x 2＞0恒成立；当a ＞0时，h (x )在(0，a 2)上单调递减，在(a 2，＋∞)上单调递增，于是h (x )min ＝h (a 2)＞0，即34a 2－a 2ln a 2＞0，解得0＜a ＜2e 34．当a ＜0时，h (x )在(0，－a )上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增，于是h (x )min ＝h (－a )＞0，即－a 2ln(－a )＞0，解得－1＜a ＜0．综上，－1＜a ＜2 e 34．②因为h (x )在(0，＋∞)上存在零点，所以x 2＋ax ＋b ln x ＝0在(0，＋∞)上有解，即a ＝－x －b ln x x在(0，＋∞)上有解．又因为a ＋b ≥－2，即a ≥－b －2，所以－x －b ln x x≥－b －2在(0，＋∞)上有解．由（1）可知ln x ＜x 2＜x ，因此b ≥x 2－2x x －ln x，设F (x )＝x 2－2x x －ln x ，则F ′(x )＝(x －1)(x －2ln x ＋2) (x －ln x )2，因为ln x ＜x 2，所以x －2ln x ＋2＞0，于是F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以F (x )min ＝F (1)＝－1，故b ≥－1．【说明】本题考查导数的应用，第二问中涉及恒成立问题及存在性问题，一般说来首选方法是参变分离，遇到不能分离的应考虑构建新的函数解决问题．注意比较第二问中解决问题的方法选择．22．定义：从数列{a n }中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{a n }的一个子数列.设数列{a n }是一个公差不为零的等差数列；（1）已知a 4＝6，自然数k 1，k 2，…，k t ，…满足4＜k 1＜k 2＜…＜k t ＜…，①若a 2＝2，且a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…是等比数列，求k 2的值；②若a 2＝4，求证：数列a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…不是等比数列.（2）已知存在自然数k 1，k 2，…，k t ，…，其中k 1＜k 2＜…＜k t ＜…．若a k 1，a k 2，a k 3，…，a kt ，…是{a n }的一个等比子数列，若a k 2a k 1＝m (m 为正整数)，求k t 的表达式.(答案用k 1，k 2，m ，t 表示). 【解答】（1）①设数列{a n }的公差为d ，因为a 2＝2，a 4＝6，所以2d ＝4，d ＝2，a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －2，设无穷等比数列公比为q ，q ＝a 4a 2＝3，所以a k 2＝2×33＝2k 2－2，故k 2＝28. ②假设数列a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…是无穷等比数列.则a 2，a 4，a k 1成等比，a 4，a k 1，a k 2成等比,所以a 42＝a 2×a k 1得 a k 1＝9, a k 12＝a 4×a k 2得a k 2＝272.因为2d ＝a 4－a 2＝1，d ＝1，a n ＝a 2＋(n －2)d ＝n ＋2，所以a k 2＝k 2＋2＝272，k 2＝232/∈N * 这与k 2为自然数矛盾.所以数列a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…不是无穷等比数列.（2）方法1 因为a k 2－a k 1＝(k 2－k 1)d ＝(m －1)a k 1，所以d ＝(m －1)a k 1k 2-k 1．又a k 1，a k 2，a k 3，…，a kt ，…是{a n }的一个等比子数列，a kt ＝a k 1m t-1＝a k 1＋(k t －k 1)d ，将d ＝(m －1)a k 1k 2-k 1代入，得m t-1＝1＋(m －1)（k t －k 1）k 2-k 1，解得k t =(k 2-k 1)×1－m t -11－m＋k 1．方法2 因为a k 1，a k 2，a k 3成等比数列，所以a k 3＝a k 22a k 1＝a 1＋(k 2－1)d a 1＋(k 1－1)d ×a k 2＝[1＋(k 2－k 1)d a 1＋(k 1－1)d]×a k 2＝a k 2＋(k 2－k 1)d a k 1×a k 2，则(k 3－k 2)d ＝(k 2－k 1)d ×a k 2a k 1，因为d 不为零，a k 2a k 1是正整数m ，所以k 3－k 2＝(k 2－k 1)m ，同理可得k 4－k 3＝(k 3－k 2)m ，…，k t －k t －1＝(k t －1－k t －2)m (t ≥3)，所以{k t －k t －1}(t ≥2)是等比数列，则k t －k t －1＝(k 2－k 1)×m t －2(t ≥2)，累加得k t －k 1＝(k 2－k 1)×1－m t －11－m ，所以k t =(k 2-k 1)×1-m t -11-m ＋k 1(t ≥2)，易知当t ＝1时，此式也成立，于是k t =(k 2-k 1)×1－m t -11－m＋k 1．【说明】本题主要探究了无穷等差数列中能有无穷等比子数列的条件问题，考查了等差数列等比数列的概念及基本量运算，通项公式的求法，反证法等等.考查了运算能力，推理论证能力和化归思想.23．等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n .（1）写出S i （i ＝1，2，3，4，5，6）构成的集合A .（2）若q 为正整数，问是否存在正整数k ，使得T k ，T 3k 同时为（1）中集合A 的元素？若存在，求出所有符合条件的{b n }的通项公式，若不存在，请说明理由.（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式.【解答】（1）由a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，设{a n }公差为d ，d 大于零，得a 2＝1，a 3＝32，d ＝ 12，a 1＝12，S n ＝n 2＋n 4，所以A ＝{12，32，3，5，152，212} （2）因为{b n }是等比数列，b n ＞0，q ∈N *当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3k T k ＝3，所以T 3k ＝32，T k ＝12，所以kb 1＝12，b 1＝12k ，b n ＝12k. 当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q．因为 q ∈N *，q ≠1，所以q ≥2，则T 3k T k＝1＋q k ＋q 2k ≥1＋2＋4＝7，所以⎩⎪⎨⎪⎧T k ＝12，T 3k ＝5，或⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝152，或⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝212，或⎩⎨⎧T k ＝32，T 3k ＝212，当⎩⎪⎨⎪⎧T k ＝12，T 3k ＝5时，1＋q k ＋q 2k ＝10，解得q k ＝－1±372/∈N *．当⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝152时，1＋q k ＋q 2k ＝15，解得q k ＝－1±572/∈N *．当⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝212时，1＋q k ＋q 2k ＝21，解得q k ＝4或－5(舍)．由q ＝2，k ＝2，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q，得b 1=16，所以b n ＝16×2n －1．由q ＝4，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q，得b 1=12，所以b n ＝12×4n －1=4n －2．当⎩⎨⎧T k ＝32，T 3k ＝212时，1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3(舍)，所以q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q，得b 1＝32，所以b n ＝3×2n －2．综上，b n ＝12k (k ∈N *)或b n ＝16×2n －1或b n ＝4n －2或b n ＝3×2n －2．（3）因为S n ＝n 2＋n 4为整数项，所以n ＝4k 或4k －1，k ∈N *．当n ＝4k －1，k ∈N *时，S n ＝(4k －1)k ；当n ＝4k ，k ∈N *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，所以当n 为奇数时，k ＝n ＋12，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12；当n 为偶数时，k ＝n 2，c n ＝n 2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2；所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12(n 为奇数)，2n 2＋n 2(n 为偶数)，【说明】本题是数列与方程的综合问题.本题考查了等差数列等比数列的基本量运算，方程整解问题.考查了运算能力，推理论证能力，分类讨论思想.附加题1．如图，四棱锥S －ABCD 的底面是平行四边形，AD ＝BD ＝2，AB ＝22，SD ⊥平面ABCD .SD ＝2，点E是SD 上的点，且 DE →＝λDS →（0≤λ≤1）.（1）求证：对任意的0≤λ≤1，都有SC →·EA →≥AC →·BE →；（2）若二面角C －AE －D 的大小为60°，求λ的值．【解答】（1）因为AD ＝BD ＝2，AB ＝22，所以AD ⊥DB .故以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，DS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系o －xyz ，则D （0,0,0），A （2,0,0），B （0,2,0），C （－2,2,0），S （0,0,2），E （0,0,2λ）.所以SC →＝（－2,2,－2），EA →＝（2,0,－2λ），AC →＝（－4,2, 0），BE →＝（0,－2,2λ），则有SC →·EA →－AC →·BE →＝－4＋4λ－(－4＋0)＝4λ≥0，即SC →·EA →≥AC →·BE →．（2）设平面ACE 的一个法向量为n ＝（x ,y ,z ），所以EA →·n ＝0，即2x －2λz ＝0.同理AC →·n ＝0，即－4x ＋2y ＝0．取z ＝1，则x ＝λ，y ＝2λ，所以平面ACE 的一个法向量为n ＝（λ,2λ,1）．显然平面ADE 的一个法向量为m ＝（0,1,0），由二面角C －AE －D 的大小为60°知｜cos ＜n , m ＞|＝12，解得λ＝1111．【说明】考查空间向量的基本运算以及在立体几何中的应用，本题主要是用空间向量来研究二面角的大小．特别注意交待空间直角坐标系的建立过程和法向量的求解过程.2．已知2件次品和a 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出a 件正品时检测结束，已知前两次检测都没有检测出次品的概率为310．（1）求实数a 的值；（2）若每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值．【解答】(1)记“前两次检测都没有检测出次品”为事件A ，P (A ))．（2P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P (X ＝=35．E (X )＝200×110＋300×310＋400×【说明】本题要注意“检测后不放回”与“检测后放回”之间的区别，正确求出相应的排列数组合数是学好分布列的基础和前提．3．已知数列T ： a 1，a 2，…，a n (n ∈N *，n ≥4)中的任意一项均在集合{－1，0，1}中，且对 i ∈N *，1≤i ≤n －1，有|a i ＋1－a i |＝1．（1）当n ＝4时，求数列T 的个数；（2）若a 1＝0，且a 1＋a 2＋…＋a n ≥0，求数列T 的个数．【解答】（1）当n ＝4时，符合条件的数列为：0，1 ，0，－1； 0，1，0，1； 0，－1，0，－1；0，－1，0，1；1，0，－1，0；1，0，1，0；－1，0，1，0；－1，0，－1，0．共8个．（2）①当n ＝4k (k ∈N *)时，由a 1＝0，得a 3＝a 5＝…＝a 4k －1＝0，所以a 2，a 4，…，a 4k 中的每一个任取±1．又a 1＋a 2＋…＋a n ≥0，所以a 2，a 4，…，a 4k 中1的个数不小于－1的个数．所以数列T 的个数为：C k 2k ＋C k ＋12k ＋…＋C 2k 2k ＝12( C 02k ＋C 12k ＋…＋C k －12k ＋C k 2k ＋C k ＋12k ＋…＋C 2k 2k )＋12C k 2k ＝12(22k ＋C k 2k )． ②当n ＝4k ＋1(k ∈N *)时，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 4k ＋1＝0，同①，可知数列T 的个数为 12(22k ＋C k 2k )． ③当n ＝4k ＋2(k ∈N *)时，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 4k ＋1＝0，则数列T 的个数为 C k ＋12k ＋1＋C k ＋22k ＋1＋…＋C 2k ＋12k ＋1＝22k ．④当n ＝4k ＋3(k ∈N *)时，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 4k ＋3＝0，同③，可知数列T 的个数为 22k ．综上，当n ＝4k 或n ＝4k ＋1，k ∈N *时，数列T 的个数为12(22k ＋C k 2k )．当n ＝4k ＋2或n ＝4k ＋3，k ∈N *时，数列T 的个数为 22k ．【说明】本题考查组合计数．要能从已知条件中发现数列T 所满足的特性，再利用相关的特性求出数列的个数．。

江苏省南京市2016届高三上学期学情调研考试_数学

南京市2016届高三学情调研考试--数学参考公式1 n__1 n样本数据X 1, X 2,...,x n 的方差s 2=-刀(X i-X )2，其中X =-刀X i .n i = 1n i = 1锥体的体积公式： V = gsh ,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.3一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分•不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上)1. 已知集合 A = { — 1, 0, 1 , 2} , B = {X |X 2- 1 > 0}，贝V A H B =▲.2. 已知复数z 满足：z(1 - i) = 2+ 4i ，其中i 为虚数单位，则复数 z 的模为 ▲.3. 某射击选手连续射击 5枪命中的环数分别为：9.7, 9.9, 10.1 , 10.2, 10.1，则这组数据的方差为▲ .4. __________________________________________________________________________ 从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ______________________ ▲5. 已知向量 a = (1, 2), b = (m , 4)，且 a // (2a + b)，则实数 m 的值为 ▲ 6•如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k 值为 ▲(第6题图)7.如图，它是函数 f(x) = Asin( x + )(A >0, >0,[0,2 ))图象的一部分，则f(0)的值为=1 (a > 0, b > 0)的一条渐近线的方程为2X - y = 0，则该双曲线的离心率为8.已知双曲线尹9. 直三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长均为2, E为棱CC1的中点，则三棱锥A1- B1C1E的体积10. 对于直线I, m，平面a, m a,则"I丄m”是"I丄a成立的▲条件.（在"充分不必要”“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）11.已知函数f(x)= 3x3+ X2—2ax+ 1,若函数f(x)在(1, 2)上有极值, 则实数a的取值范围为12. 已知平行四边形ABCD中，AD = 2,Z BAD = 60。

江苏省南京市2016届高三第三次学情调研适应性测试数学试卷含答案

2016届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试数学Ⅰ说明:本试卷共20题,总分160分，考试时间120分钟．请将答案填写在答卷纸上．一､填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分．请把答案填在答卷纸相应位置上．1．已知集合M＝{0，2，4｝，N＝｛x|x＝错误!，a∈M},则集合M∩N ＝▲ ．2．已知0＜a＜2，复数z的实部为a,虚部为1,则｜z|的取值范围是▲ ．3．若直线l1：x＋2y－4＝0与l2:mx＋（2－m）y－3＝0平行，则实数m的值为▲ ．4．某学校有A,B两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为▲ ．5．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是▲ ．（第5题）0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距（第6题）6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则月收入在［2500，3000）范围内的应抽出▲ 人.7．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是▲ ．（填所有真命题的序号)①若l∥α，l∥β，则α∥β②若α⊥β，l∥α,则l⊥β③若l∥α，α∥β,则l∥β ④若l⊥α，l//β，则α⊥β8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米;当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为▲ 米．（第8题）9．已知正数a，b,c满足3a－b＋2c＝0，则错误!的最大值为▲ ．10．在ΔABC中，角A，B,C的对边分别为a，b，c，且a＝错误!,b＝3，sin C＝2sin A，则ΔABC的面积为▲ ．11．已知S n是等差数列｛a n｝的前n项的和，若S2≥4，S4≤16，则a5的最大值是▲ ．12．将函数f(x）＝sin（2x＋θ）错误!的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x）,g（x)的图象都经过点P错误!，则φ的值为▲ ．13．在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60o,C为弧上的动点，AB 与OC交于点P，则错误!·错误!的最小值是▲ ．14．用min｛m，n}表示m，n中的最小值．已知函数f（x)＝x3＋ax ＋错误!，g（x)＝－ln x，设函数h(x)＝min｛f（x)，g（x)}（x＞0),若h(x）有3个零点，则实数a的取值范围是▲ ．二､解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中,已知点A（cosθ，错误!sinθ），B（sinθ，0)，其中θ∈R．（1)当θ＝错误!时，求向量错误!的坐标；(2)当θ∈[0，错误!］时，求|错误!｜的最大值．16．(本小题满分14分）如图,在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD 交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点。

江苏省南京市2016届高考考前综合训练数学试题(终稿)含答案

南京市2016届高考考前综合题一、填空题1．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确的个数是． ①若α⊥β，l ⊥β，则l 不一定平行α；②若α⊥β，γ⊥β，则γ∥α；③若l 上有两个点到α的距离相等，则l ∥α； ④若l 与α，β所成角相等，则α∥β．【答案】1．2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＝6，S 2＋S 3＝60,则S 4的值为．【答案】90．【提示】由题知a 1＝6，2a 1＋2a 2＋a 3＝60，设等比数列{a n }的公比为q ,代入化简得q 2＋2q －8＝0，q ＝2或者q ＝－4(舍)，所以S 4＝90．（如果用求和公式则需要讨论q ＝1，q ≠1）【说明】本题考查了等比数列的项与和关系，通项公式，求和公式，考查了基本量的运算，合理选择运算方法．3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }满足a n ＋2－a n ＝d (d 为常数，且d ≠0，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，且a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4成等差数列，则S 20等于 . 【答案】120.【提示】由题得2a 2a 3＝a 1a 2＋a 3a 4，则2×2(d ＋1)＝2＋(d ＋1)(d ＋2)．又d ≠0，得d ＝1，所以数列{a n }奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，于是S 20＝(a 1＋a 3＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋…＋a 20)＝10×1＋10×92×1＋10×2＋10×92×1＝120．【说明】本题考查等差数列的基本量运算，考查了简单的隔项成等差数列的求和问题.4．已知函数f (x )＝2 |x |＋cos x －π，则不等式(x －2)f (x )＞0的解集是 ________ . 【答案】(－π2，π2)∪(2，＋∞)．【提示】注意到函数f (x )为偶函数，且f (－π2)＝f (π2)＝0．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋cos x －π，此时f ′(x )＝2－sin x ＞0恒成立，于是f (x )在[0，＋∞)上单调递增，根据f (x )为偶函数可知，f (x )在(－∞，0]上单调递减．由(x －2)f (x )＞0得⎩⎨⎧x －2＞0，f (x )＞0，或者⎩⎨⎧x －2＜0，f (x )＜0，即x ＞2或－π2＜x ＜π2．【说明】本题考查函数的基本性质以及简单的分类讨论．该题没有直接指明函数的奇偶性及单调性，需要能根据给定的解析式发现其性质，助于解决问题．5．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)及圆上的点A (0，－r )，过点A 的直线l 交圆于另一点B ，交x 轴于点C ，若OC ＝BC ，则直线l 的斜率为_______．【答案】±3．【提示】方法一：设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程为y ＝kx －r ，联立直线与圆方程解得B (2kr k 2＋1，(k 2－1) r k 2＋1)，又点C 坐标为(r k ，0)，由OC ＝BC ，得(rk )2＝(2kr k 2＋1－r k )2＋[(k 2－1) r k 2＋1]2，解得k ＝±3．方法二：设∠B =θ，在△ABD 中，AB =2r cos θ．在△AOC 中，AC =rcos θ，在△BOC 中，BC =r 2 cos θ．由AB = AC +BC ，得2r cos θ＝r cos θ+r2 cos θ．因为θ∈(0，π2)，解得cos θ＝32，故θ＝π6，得∠BCx=π3，所以k ＝3．由对称性，得k ＝± 3.【说明】考查坐标法处理直线与圆的位置关系．6．已知斜率为3的直线l 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点．若原点O 关于直线l 的对称点在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为_________．【答案】63．【提示】直线l 方程为y ＝3(x －c )，设O 关于l 的对称点为P (m ，n )，则⎩⎨⎧nm 3＝－1n 2＝ 3(m 2－c )，解得m ＝32c ，由题意知32c ＝a 2c ，由e ＝63．【说明】考查点关于直线对称问题的处理方法及椭圆离心率的计算．7．如图，边长为1的正三角形ABC 中，P 是线段BC 上的动点，Q 是AB 延长线上的动点，且满足|BQ →|＝2|BP →|，则PA →·PQ →的最小值为_________．【答案】－2532．【提示】设BP →＝λBC →，λ∈[0，1]，则BQ →＝2λAB →，则PA →＝BA →－BP →＝BA →－λBC →，PQ →＝BQ →－BP →＝－2λBA →－λBC →．因此PA →·PQ →＝2λ2－52λ＝2(λ－58)2－2532，因此PA →·PQ→最小值为－2532．【说明】本题考查平面向量数量积的最值问题，也可通过坐标法解决．8．如图，凸四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝6，AD ＝CD ＝4．设四边形ABCD 面积为S ，则S 的最大值为________．【答案】8 3【提示】S ＝S △ABD ＋ S △BCD ＝12AB ·AD ·sin A ＋12CB ·CD ·sin C ＝4sin A ＋12sin C ，即S4＝sin A＋3sin C ①；由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ，代入化简得2＝3cos C －cos A ②．①②两式平方相加得：(S4)2＋4＝10－6cos(A ＋C )≤16（当cos(A ＋C )＝－1，即A ＋C ＝π时取“＝”），解得S ≤83．【说明】本题考查三角形面积公式，余弦定理，两角和差公式及三角函数最值．本题的背景是“四条边长ABCD一定的凸四边形，当其四点共圆时面积最大”9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0．若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】(1，2]．【提示】f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．【说明】本题考查函数迭代运算、函数的零点以及数形结合思想．一般的函数的零点问题要有意识的借助于函数的图像解决问题．10．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ≤5c ，3a ＋4b ≤5c ，则a ＋3b c 的最小值为____________．【答案】275．【提示】由题意得⎩⎨⎧ac ＋2bc ≤5， 3c a ＋4c b≤5，，设x ＝b c ，y ＝ac ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤5，4x ＋3y ≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧y ≤5－2x ，y ≥3x 5x －4，45＜x ＜52．作出平面区域得：设a ＋3bc ＝t ，即t ＝3x ＋y ，当直线y ＝－3x ＋t 与曲线y ＝3x5x －4相切时，t 最小．将直线y ＝－3x ＋t 与曲线y ＝3x 5x －4联立方程组，消去y 整理得15x 2－(5t ＋9)x ＋4t ＝0，△＝(5t ＋9)2－240t ＝0得t ＝275或t ＝35(舍)，于是t 最小为275．【说明】一般的含多个变量的不等式组问题要注意先减元再利用解决线性规划问题的方法求解．11．已知f (x )＝(x ＋1) |x |－3x ．若对于任意x ∈R ，总有f (x )≤f (x ＋a )恒成立，则常数a 的最小值是______．【答案】3＋10．【提示】f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－4x ，x ＜0，，作出函数f (x )的图象得：作平行于x 轴的直线l 与f (x )图象有三个交点，设最左边与最右边的交点分别为M ，N ，如图所示，则a的最小值即为线段MN 长的最大值．设直线l 的方程为y ＝t ，可得MN ＝3＋1＋t ＋4－t ＝3＋(1＋t ＋4－t )2＝3＋5＋2(1＋t )(4－t )≤3＋5＋1＋t ＋4－t ＝3＋10所以，a 的最小值是3＋10【说明】本题的难点是要能结合函数的图象发现常数a 的最小值即为线段MN 长的最大值．二、解答题12．三角形ABC 中，A ＝45○，BC ＝2．（1）若cos C ＝513，求三角形ABC 的面积S ；（2）求AB →·AC →的最大值．【解答】（1）因为cos C ＝513，C ∈(0，π)，所以sin C ＝1213．由正弦定理得c ＝a sin A ·sin C ＝22sin C ＝24213．又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝17226，所以S ＝12ac sin B ＝408169．（2）AB →·AC →＝bc cos A ＝22bc ．因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以4＝b 2＋c 2－2bc ．因为b 2＋c 2≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，所以4＋2bc ≥2bc ，所以bc ≤4＋22，所以AB →·AC →≤2＋22，即AB →·AC →的最大值为2＋22．【说明】考查三角形面积公式，正弦定理，平面向量的数量积，基本不等式．13．三角形ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin A 的值；（2）若C ＝45○＋B ，求sin A 的值．【解答】（1）由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝95a 2，即b ＝355a ，由正弦定理得：sin B ＝355sin A ，因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝35，所以sin A ＝55．（2）因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝35，而sin A ＝sin(B ＋C )＝sin(2B ＋45○)＝ 22(sin2B ＋cos2B )，又sin2B ＝2sin B cos B ＝2425，cos2B ＝1－2sin 2B ＝725，所以sin A ＝31250．【说明】考查正余弦定理，两角和差公式及二倍角公式．另外第（1）问还可以利用正弦定理将边的关系“c＝2a ”转化为角的关系“sin C ＝2sin A ”来解决．D 14．如图，矩形ABCD 所在的平面与平面ABF 互相垂直. 在△ABF 中，O 为AB 的中点，AF ＝8，BF ＝6，OF ＝5.（1）求证：AF ⊥平面BCF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面ADF .【解答】（1）取BF 中点E ，连结OE . 因为O 为AB 中点，所以OE ＝4，EF ＝3，由OE 2＋EF 2＝25＝OF 2可得：EF ⊥OE ．又OE ∥AF ，从而BF ⊥AF . 由矩形ABCD 可知：BC ⊥AB ，又平面ABCD 所在的平面与平面ABF 互相垂直，平面ABCD ∩平面ABF ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ABF ．而AF ⊂平面ABF ，故BC ⊥AF .又BF ∩BC ＝B ，所以AF ⊥平面BCF . （2）连结ME .由（1）知：ME ∥BC ，而BC ∥AD ，故ME ∥AD . 又ME /⊂平面DAF ，DA ⊂平面DAF ，所以ME ∥平面DAF .同理可证：OE ∥平面DAF . 而OE ∩ME=E ，所以平面OME ∥平面DAF . 又MO ⊂平面OME ，所以OM ∥平面DAF .【说明】本题第二问也可以使用线线平行来证明线面平行.15．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的菱形，∠BCD ＝60°，点E 是BC 边的中点，AC ，DE 交于点O ，PO ＝23，且PO ⊥平面ABCD . （1）求证：PD ⊥BC ；（2）在线段AP 上找一点F ，使得BF ∥平面PDE ，并求此时四面体PDEF 的体积.【解答】（1）由题可得△BCD 为正三角形，E 为BC 中点，故DE ⊥BC .又PO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则PO ⊥BC ，而DE ∩PO ＝O ，所以BC ⊥平面PDE .又PD ⊂平面PDE ，故PD ⊥BC . （2）取AP 中点为F ，再取PD 中点为G ，连结FG .则FG 为△P AD 中位线，故FG ＝∥ 12AD ，又BE ＝∥ 12AD ，所以FG ＝∥BE ，于是四边形BFGE 为平行四边形，因此BF ∥EG .又BF /⊂平面PDE ，EG ⊂平面PDE ,所以BF ∥平面PDE .由（1）知，BC ⊥平面PDE .则有BC ⊥PE ，BC ⊥DE ，而BC ∥FG ，故FG ⊥PE ，FG ⊥DE ，且DE ∩PE ＝E ，所以FG ⊥平面PDE .于是四面体PDEF 的体积为V=13S △PD E ·FG ＝13×12×23×3×1＝1.另解（等体积转化）：因为BF //面PDE ，则B ，F 两点到平面PDE 的距离相等，所以四面体PDEF 的体积等于四面体PDEB ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以V P-BDE =13·PO ·S △BDE =1.【说明】第一问考查空间中线线垂直的证明方法；第二问属于探究性问题，本问注意与三模立体几何题第二问区别开来.本题应先找到点的位置再进行论证，最终证明得到线面平行.最后考查棱锥的体积公式.ＡＢＥＣＤＰＯ16．如图，有一位于A 处的观测站，某时刻发现其北偏东45°且与A 相距202海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶. 20分钟后又测得该船位于观测站A 北偏东45°＋θ（其中tan θ＝15，0°＜θ＜45°），且与观测站A 相距513海里的C 处.（1）求该船的行驶速度v （海里/小时）；（2）在离观测站A 的正南方15海里的E 处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过10分钟. 如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由.【解答】（1）由题意：AB ＝202，AC ＝513，∠BAC ＝θ，因为tan θ＝15，0°＜θ＜45°，所以cos θ=52626，由余弦定理得：BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos θ＝125，即BC ＝5 5. 因为航行时间为20分钟，所以该船的行驶速度为v ＝155海里/小时. （2）由（1）知，在△ABC 中，cos B ＝31010，则sin B ＝1010.设BC 延长线交AE 于点F ，则∠AFB ＝45°－B ，∠ACF ＝θ＋B . 在△AFC 中，由正弦定理可得：AC sin ∠AFB ＝ AFsin ∠ACF. 解得：AF ＝20海里.过点E 作EG 垂直BF 于点G ，在△EFG 中，sin ∠AFB ＝55，EF ＝5，所以EG ＝ 5.显然，5＜3，故货船会进入警戒区.则货船进入警戒区的时间为232－5155＝4755小时，而4755＜16，所以货船可以在规定时间之内离开警戒区域. 【说明】考查正、余弦定理的运用，求解直线与圆的弦长问题，考查学生解决实际问题的能力．本题第二问也可以通过建立平面直角坐标系来解决直线与圆的位置关系问题.17．某工厂制造一批无盖圆柱形容器，已知每个容器的容积都是π立方米，底面半径都是r 米.如果制造底面的材料费用为a 元/平方米，制造侧面的材料费用为b 元/平方米，其中ba ＞1，设计时材料的厚度忽略不计.（1）试将制造每个容器的成本y （单位：元）表示成底面半径r （单位：米）的函数；（2）若要求底面半径r 满足1≤r ≤3（单位：米），则如何设计容器的尺寸，使其成本最低？【解答】（1）设每个容器的高为h 米，则圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π，即r 2h ＝1. 所以，制造成本y ＝2πrhb ＋πr 2a ＝(2rb ＋r 2a )π（r ＞0）.南A E南FA E（2）y '＝2π(ar －br 2)，令y '＝0，则有r ＝3b a. 列表得：（i ）当3b a ≥3，即ba≥27，则函数y 在[1,3]上单调递减，所以当r ＝3时，y 取得最小值，此时底面半径应设计成3米. （ii ）当1＜3b a ＜3，即1＜ba＜27，则函数y 在[1,3ba]上单调递减，在[3ba,3]上单调递增，所以当r ＝3ba 时，y 取得最小值，此时底面半径应设计成3b a米. 综上，当b a ≥27时，应将底面半径设计成3米；当1＜ba ＜27时，应将底面半径设计成3ba米. 【说明】考查圆柱体的体积及表面积的计算，利用导数解决函数在闭区间上的最值问题，分类讨论思想的运用，考查学生解决实际问题的能力.18．已知椭圆x 24＋y 23＝1，左顶点为A ，右准线与x 轴的交点为B ，点P 为椭圆右准线上且在第一象限内的点，直线AP 交椭圆于点Q ，连接BQ ．（1）当AP →＝2AQ →时，求证：直线BQ 与椭圆只有一个公共点；（2）过点P 与直线BQ 垂直的直线l 在y 轴上的截距为t ，当t 最大时，求直线AP 的方程．【解答】（1）由题意知，右准线方程为x ＝4．设P (4，m )，因为AP →＝2AQ →，即Q 为AP 中点，因为A (—2，0)，所以点Q (1，m 2)，代入椭圆方程得14＋13(m 2)2＝1，解得m ＝±3（负值舍去），所以Q (1，32)．又B (4，0)，所以直线BQ 方程为y ＝－12(x －4)，联立直线与椭圆方程得⎩⎨⎧y ＝－12(x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得x 2－2x＋1＝0，该方程有两个相等的实根，所以直线与椭圆只有一个公共点．（2）AP 方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，则点P 坐标为(4，6k )，联立直线与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)， x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2―12＝0．设方程两根为x 1，x 2，由题意知x 1＝―2，因为x 1x 2＝16k 2―123＋4k 2，因此x 2＝―8k 2＋6 3＋4k 2，代入直线方程得y 2＝12k 3＋4k 2，即Q (―8k 2＋6 3＋4k 2，12k 3＋4k 2)，则直线BQ 的斜率为k BQ ＝－2k4k 2＋1，则直线l 的斜率为4k 2＋12k ，所以直线l 的方程为y －6k ＝4k 2＋12k (x ―4)．令x ＝0，得y ＝－(2k ＋2k )≤－22k·2k ＝－4（当且仅当k ＝1时取“＝”号），此时直线AP 方程为y ＝x ＋2．【说明】考查直线与椭圆的位置关系及解几中的最值问题．19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上顶点A (0，2)，右焦点F (1，0)，椭圆上任一点到点F 的距离与到定直线l ：x ＝m 的距离之比为常数k ．（1）求常数m ，k 的值；（2）过点F 的直线交椭圆于点S ，T 两点，P 为直线l 上一动点．①若PF ⊥ST ，求证：直线OP 平分线段ST ；②设直线PS ，PF ，PT 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求证：k 1，k 2，k 3成等差数列．【解答】（1）由题意知b ＝2，c ＝1，则a ＝5，所以椭圆方程为x 25＋y 24＝1．设M (x ，y )为椭圆上任一点，由题意知(x －1)2＋y 2|x －m |＝k ，整理得(x —1)2＋y 2＝k 2(x —m )2．又y 2＝4—4x 25，代入上式整理得 (15—k 2)x 2＋2(mk 2—1)x ＋5—k 2m 2＝0．由题意知上式恒成立，则⎩⎨⎧15—k 2＝0，2(mk 2—1)＝0， 5—k 2m 2＝0，解得k ＝55，m ＝5．（2）①当ST 斜率不存在时，由PF ⊥ST ，得P 为直线l 与x 轴的交点，此时线段ST 被直线OP 平分；当ST 斜率为0时，不合题意；当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)，联立直线与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x —1) x 25＋y 24＝1，消去y ，得(4＋5k 2)x 2—10k 2x ＋5k 2—20＝0．设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－20 4＋5k 2，且△＞0．设线段ST 中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝5k 2 4＋5k 2，y 0＝ k (x 0—1)＝－4k 4＋5k 2，所以ST 中点为(5k 24＋5k 2，－4k 4＋5k 2)．因为PF ⊥ST ，所以直线PF 方程为y ＝－1k (x —1)，所以点P 坐标为(5，—4k )，则直线OP 方程为y ＝－ 45k x ，而y 0＝－45k x 0，即(x 0，y 0)在直线OP 上，即直线OP 平分线段ST ．综上，直线OP 平分线段ST ．（2）当ST 斜率不存在时，易得S (1，455)，T (1，－455)．设P (5，t )，则k 1＝t －4554，k 2＝t4，k 3＝t ＋4554，则k 1＋k 3＝t —4554＋t ＋4554＝t2＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列．当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)（同第（1）问）．设P (5，t )，则k 1＝t —y 15—x 1＝t —k (x 1—1)5—x 1＝k ＋t —4k 5—x 1，k 2＝t 4，k 3＝t —y 25—x 2＝t —k (x 2—1)5—x 2＝k ＋t —4k 5—x 2，则k 1＋k 3＝k ＋t —4k 5—x 1＋k ＋t —4k5—x 2＝2k ＋(t —4k )(10—x 1—x 2)(5—x 1)( 5—x 2)＝2k ＋(t —4k )[10—(x 1＋x 2)]25—5(x 1＋x 2)＋x 1x 2．由（1）知x 1＋x 2＝10k 2 4＋5k 2，x 1x 2＝5k 2—204＋5k 2，代入上式得k 1＋k 3＝2k ＋(t —4k )[10— 10k 24＋5k 2]25—510k 2 4＋5k 2＋5k 2—20 4＋5k 2＝2k ＋(t —4k )(40＋40k 2)80＋80k 2＝2k ＋t —4k 2＝t 2，又k 2＝t4，所以k 1＋k 3＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列．综上：k 1，k 2，k 3成等差数列．【说明】考查直线与椭圆的位置关系，解析几何中的恒成立问题及分类讨论思想．20．已知函数f (x )＝2x 3－3(k ＋1)x 2＋6kx ＋t ，其中k ，t 为实数，记区间[－2，2]为I ．（1）若函数f (x )的图像与x 轴相切于点(2，0)，求k ，t 的值；（2）已知k ≥1，如果存在x 0∈(－2，2)，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值，求k 的取值范围；（3）已知－103＜k ＜－3，若对于任意x ∈I ，都有f (x )≥6(x －2)e x ，求t 的最小值．（e 2≈7.39）【解答】（1）f ′(x )＝6x 2－6(k ＋1)x ＋6k ＝6(x －1)(x －k )，因为函数f (x )的图像与x 轴相切于点(2，0)，于是f (2)＝0，f ′(2)＝0，即2－k ＝0，16－12(k ＋1)＋12k ＋t ＝0，解得k ＝2，t ＝－4．（2）当k ≥2时，f (x )在(－2，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，于是存在x 0＝1，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值；当k ＝1时，f ′(x )≥0恒成立，故f (x )在I 上单调递增，故不存在x 0∈(－2，2)，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值；当1＜k ＜2时，f (x )在(－2，1)上单调递增，在(1，k )上单调递减，在(k ，2)上单调递增，于是若存在x 0∈(－2，2)，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值，则必有f (1)≥f (2)，即k ≥53，又1＜k ＜2，于是53≤k ＜2；综上，k ≥53．（3）对于任意x ∈I ，都有f (x )≥6(x －2)e x ，即对于任意x ∈I ，都有2x 3－3(k ＋1)x 2＋6kx ＋t ≥6(x －2)e x 即t ≥6(x －2)e x －2x 3＋3(k ＋1)x 2－6kx设g (x )＝6(x －2)e x －2x 3＋3(k ＋1)x 2－6kx ，x ∈[－2，2]，则g ′(x )＝6(x －1)( e x －x ＋k )，令h (x )＝e x －x ＋k ，x ∈[－2，2]，则h ′(x )＝e x －1，于是h (x )在(－2，0)上单调递减，在(0，2)上单调递增，又h (－2)＝1e 2＋2＋k ＜1e 2＋2－3＝1e 2－1＜0，于是当x ∈[－2，0]时h (x )＜0恒成立，又h (1)＝e －1＋k ＜e －1－3＝e －4＜0，h (2)＝e 2－2＋k ＞e 2－2－103＝e 2－163＞0，因此h (x )＝e x －x ＋k ，x ∈[－2，2]存在唯一的零点x 0∈(1，2)，于是g (x )在(－2，1)上单调递增，在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，2)上单调递增，所以g (x )max ＝max{ g (1)，g (2)}．又g (1)－g (2)＝(1－6e －3k )－(－4)＝5－6e －3k ＜5－6e －3(－103)＝15－6e ＜0，于是g (1)＜g (2)，所以g (x )max ＝g (2)＝－4，即t ≥－4，因此t 的最小值是－4．【说明】本题主要考查利用导数求函数的最值，分类讨论思想及函数极值点常见的处理方法．其中第三问要能通过给定的k 的范围比较相关量的大小．21．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，g (x )＝ln x ．（1）求证：g (x )＜x2；（2）设h (x )＝f (x )＋bg (x )(b ∈R )．①若a 2＋b ＝0，且当x ＞0时h (x )＞0恒成立，求a 的取值范围；②若h (x )在(0，＋∞)上存在零点，且a ＋b ≥－2，求b 的取值范围．【解答】（1）设h (x )＝x 2－g (x )＝x2－ln x则h ′(x )＝x －22x ，于是f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，于是h (x )min ＝h (2)＝1－ln2＞0，从而h (x )＞0恒成立，即g (x )＜x2．（2）h (x )＝f (x )＋bg (x )＝x 2＋ax ＋b ln x①因为a 2＋b ＝0，所以h (x )＝x 2＋ax －a 2ln x ，h ′(x )＝(x ＋a )(2x －a )x，当a ＝0时，h (x )＝x 2＞0恒成立；当a ＞0时，h (x )在(0，a 2)上单调递减，在(a 2，＋∞)上单调递增，于是h (x )min ＝h (a 2)＞0，即34a 2－a 2ln a 2＞0，解得0＜a ＜2e 34．当a ＜0时，h (x )在(0，－a )上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增，于是h (x )min ＝h (－a )＞0，即－a 2ln(－a )＞0，解得－1＜a ＜0．综上，－1＜a ＜2 e 34．②因为h (x )在(0，＋∞)上存在零点，所以x 2＋ax ＋b ln x ＝0在(0，＋∞)上有解，即a ＝－x －b ln x x在(0，＋∞)上有解．又因为a ＋b ≥－2，即a ≥－b －2，所以－x －b ln x x≥－b －2在(0，＋∞)上有解．由（1）可知ln x ＜x 2＜x ，因此b ≥x 2－2x x －ln x，设F (x )＝x 2－2x x －ln x ，则F ′(x )＝(x －1)(x －2ln x ＋2) (x －ln x )2，因为ln x ＜x 2，所以x －2ln x ＋2＞0，于是F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以F (x )min ＝F (1)＝－1，故b ≥－1．【说明】本题考查导数的应用，第二问中涉及恒成立问题及存在性问题，一般说来首选方法是参变分离，遇到不能分离的应考虑构建新的函数解决问题．注意比较第二问中解决问题的方法选择．22．定义：从数列{a n }中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{a n }的一个子数列.设数列{a n }是一个公差不为零的等差数列；（1）已知a 4＝6，自然数k 1，k 2，…，k t ，…满足4＜k 1＜k 2＜…＜k t ＜…，①若a 2＝2，且a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…是等比数列，求k 2的值；②若a 2＝4，求证：数列a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…不是等比数列.（2）已知存在自然数k 1，k 2，…，k t ，…，其中k 1＜k 2＜…＜k t ＜…．若a k 1，a k 2，a k 3，…，a kt ，…是{a n }的一个等比子数列，若a k 2a k 1＝m (m 为正整数)，求k t 的表达式.(答案用k 1，k 2，m ，t 表示). 【解答】（1）①设数列{a n }的公差为d ，因为a 2＝2，a 4＝6，所以2d ＝4，d ＝2，a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －2，设无穷等比数列公比为q ，q ＝a 4a 2＝3，所以a k 2＝2×33＝2k 2－2，故k 2＝28. ②假设数列a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…是无穷等比数列.则a 2，a 4，a k 1成等比，a 4，a k 1，a k 2成等比,所以a 42＝a 2×a k 1得 a k 1＝9, a k 12＝a 4×a k 2得a k 2＝272.因为2d ＝a 4－a 2＝1，d ＝1，a n ＝a 2＋(n －2)d ＝n ＋2，所以a k 2＝k 2＋2＝272，k 2＝232/∈N * 这与k 2为自然数矛盾.所以数列a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…不是无穷等比数列.（2）方法1 因为a k 2－a k 1＝(k 2－k 1)d ＝(m －1)a k 1，所以d ＝(m －1)a k 1k 2-k 1．又a k 1，a k 2，a k 3，…，a kt ，…是{a n }的一个等比子数列，a kt ＝a k 1m t-1＝a k 1＋(k t －k 1)d ，将d ＝(m －1)a k 1k 2-k 1代入，得m t-1＝1＋(m －1)（k t －k 1）k 2-k 1，解得k t =(k 2-k 1)×1－m t -11－m＋k 1．方法2 因为a k 1，a k 2，a k 3成等比数列，所以a k 3＝a k 22a k 1＝a 1＋(k 2－1)d a 1＋(k 1－1)d ×a k 2＝[1＋(k 2－k 1)d a 1＋(k 1－1)d]×a k 2＝a k 2＋(k 2－k 1)d a k 1×a k 2，则(k 3－k 2)d ＝(k 2－k 1)d ×a k 2a k 1，因为d 不为零，a k 2a k 1是正整数m ，所以k 3－k 2＝(k 2－k 1)m ，同理可得k 4－k 3＝(k 3－k 2)m ，…，k t －k t －1＝(k t －1－k t －2)m (t ≥3)，所以{k t －k t －1}(t ≥2)是等比数列，则k t －k t －1＝(k 2－k 1)×m t －2(t ≥2)，累加得k t －k 1＝(k 2－k 1)×1－m t －11－m ，所以k t =(k 2-k 1)×1-m t -11-m ＋k 1(t ≥2)，易知当t ＝1时，此式也成立，于是k t =(k 2-k 1)×1－m t -11－m＋k 1．【说明】本题主要探究了无穷等差数列中能有无穷等比子数列的条件问题，考查了等差数列等比数列的概念及基本量运算，通项公式的求法，反证法等等.考查了运算能力，推理论证能力和化归思想.23．等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n .（1）写出S i （i ＝1，2，3，4，5，6）构成的集合A .（2）若q 为正整数，问是否存在正整数k ，使得T k ，T 3k 同时为（1）中集合A 的元素？若存在，求出所有符合条件的{b n }的通项公式，若不存在，请说明理由.（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式.【解答】（1）由a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，设{a n }公差为d ，d 大于零，得a 2＝1，a 3＝32，d ＝ 12，a 1＝12，S n ＝n 2＋n 4，所以A ＝{12，32，3，5，152，212} （2）因为{b n }是等比数列，b n ＞0，q ∈N *当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3k T k ＝3，所以T 3k ＝32，T k ＝12，所以kb 1＝12，b 1＝12k ，b n ＝12k. 当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q．因为 q ∈N *，q ≠1，所以q ≥2，则T 3k T k＝1＋q k ＋q 2k ≥1＋2＋4＝7，所以⎩⎪⎨⎪⎧T k ＝12，T 3k ＝5，或⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝152，或⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝212，或⎩⎨⎧T k ＝32，T 3k ＝212，当⎩⎪⎨⎪⎧T k ＝12，T 3k ＝5时，1＋q k ＋q 2k ＝10，解得q k ＝－1±372/∈N *．当⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝152时，1＋q k ＋q 2k ＝15，解得q k ＝－1±572/∈N *．当⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝212时，1＋q k ＋q 2k ＝21，解得q k ＝4或－5(舍)．由q ＝2，k ＝2，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q，得b 1=16，所以b n ＝16×2n －1．由q ＝4，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q，得b 1=12，所以b n ＝12×4n －1=4n －2．当⎩⎨⎧T k ＝32，T 3k ＝212时，1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3(舍)，所以q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q，得b 1＝32，所以b n ＝3×2n －2．综上，b n ＝12k (k ∈N *)或b n ＝16×2n －1或b n ＝4n －2或b n ＝3×2n －2．（3）因为S n ＝n 2＋n 4为整数项，所以n ＝4k 或4k －1，k ∈N *．当n ＝4k －1，k ∈N *时，S n ＝(4k －1)k ；当n ＝4k ，k ∈N *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，所以当n 为奇数时，k ＝n ＋12，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12；当n 为偶数时，k ＝n 2，c n ＝n 2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2；所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12(n 为奇数)，2n 2＋n 2(n 为偶数)，【说明】本题是数列与方程的综合问题.本题考查了等差数列等比数列的基本量运算，方程整解问题.考查了运算能力，推理论证能力，分类讨论思想.附加题1．如图，四棱锥S －ABCD 的底面是平行四边形，AD ＝BD ＝2，AB ＝22，SD ⊥平面ABCD .SD ＝2，点E 是SD 上的点，且 DE →＝λDS →（0≤λ≤1）.（1）求证：对任意的0≤λ≤1，都有SC →·EA →≥AC →·BE →；（2）若二面角C －AE －D 的大小为60°，求λ的值．【解答】（1）因为AD ＝BD ＝2，AB ＝22，所以AD ⊥DB .故以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，DS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系o －xyz ，则D （0,0,0），A （2,0,0），B （0,2,0），C （－2,2,0），S （0,0,2），E （0,0,2λ）.所以SC →＝（－2,2,－2），EA →＝（2,0,－2λ），AC →＝（－4,2, 0），BE →＝（0,－2,2λ），则有SC →·EA →－AC →·BE →＝－4＋4λ－(－4＋0)＝4λ≥0，即SC →·EA →≥AC →·BE →．（2）设平面ACE 的一个法向量为n ＝（x ,y ,z ），所以EA →·n ＝0，即2x －2λz ＝0.同理AC →·n ＝0，即－4x ＋2y ＝0．取z ＝1，则x ＝λ，y ＝2λ，所以平面ACE 的一个法向量为n ＝（λ,2λ,1）．显然平面ADE 的一个法向量为m ＝（0,1,0），由二面角C －AE －D 的大小为60°知｜cos ＜n , m ＞|＝12，解得λ＝1111．【说明】考查空间向量的基本运算以及在立体几何中的应用，本题主要是用空间向量来研究二面角的大小．特别注意交待空间直角坐标系的建立过程和法向量的求解过程.2．已知2件次品和a 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出a 件正品时检测结束，已知前两次检测都没有检测出次品的概率为310．（1）求实数a 的值；（2）若每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值．【解答】(1)记“前两次检测都没有检测出次品”为事件A ，P (A )＝a (a －1)(a ＋2)(a ＋1)＝310得a ＝3或－27(舍)．（2）X 的可能取值为200，300，400．P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P (X ＝400)＝6A 23A 35=35．所以X 的分布列为X200 300 400 P 110 310 35E (X )＝200×110＋300×310＋400×【说明】本题要注意“检测后不放回”与“检测后放回”之间的区别，正确求出相应的排列数组合数是学好分布列的基础和前提．3．已知数列T ： a 1，a 2，…，a n (n ∈N *，n ≥4)中的任意一项均在集合{－1，0，1}中，且对 i ∈N *，1≤i ≤n －1，有|a i ＋1－a i |＝1．（1）当n ＝4时，求数列T 的个数；（2）若a 1＝0，且a 1＋a 2＋…＋a n ≥0，求数列T 的个数．【解答】（1）当n ＝4时，符合条件的数列为：0，1 ，0，－1； 0，1，0，1； 0，－1，0，－1；0，－1，0，1；1，0，－1，0；1，0，1，0；－1，0，1，0；－1，0，－1，0．共8个．（2）①当n ＝4k (k ∈N *)时，由a 1＝0，得a 3＝a 5＝…＝a 4k －1＝0，所以a 2，a 4，…，a 4k 中的每一个任取±1．又a 1＋a 2＋…＋a n ≥0，所以a 2，a 4，…，a 4k 中1的个数不小于－1的个数．所以数列T 的个数为：C k 2k ＋C k ＋12k ＋…＋C 2k 2k ＝12( C 02k ＋C 12k ＋…＋C k －12k ＋C k 2k ＋C k ＋12k ＋…＋C 2k 2k )＋12C k 2k ＝12(22k ＋C k 2k )． ②当n ＝4k ＋1(k ∈N *)时，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 4k ＋1＝0，同①，可知数列T 的个数为 12(22k ＋C k 2k )． ③当n ＝4k ＋2(k ∈N *)时，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 4k ＋1＝0，则数列T 的个数为 C k ＋12k ＋1＋C k ＋22k ＋1＋…＋C 2k ＋12k ＋1＝22k ．④当n ＝4k ＋3(k ∈N *)时，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 4k ＋3＝0，同③，可知数列T 的个数为 22k ．综上，当n ＝4k 或n ＝4k ＋1，k ∈N *时，数列T 的个数为12(22k ＋C k 2k )．当n ＝4k ＋2或n ＝4k ＋3，k ∈N *时，数列T 的个数为 22k ．【说明】本题考查组合计数．要能从已知条件中发现数列T 所满足的特性，再利用相关的特性求出数列的个数．。

2016年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)

XC中高考资料第 1 页共 15 页绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ▲ . 2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ .3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ▲ .4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是 ▲ . 5.函数y =232x x --的定义域是 ▲ .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ .9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ . 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

南京市2016届高三9月学情调研考试数学参考答案及评分标准

南京惟越教育中学(初高)课外辅导中心
南京市 2016 届高三学情调研考试数学参考答案及评分标准
说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．{2} 6．5 3 11．( ，4) 2 2． 10 7． 3 2 2 3．0.032 8． 5 13．2 3＋3 4 4． 5 9． 3 3 5．2 10．必要不充分
1 1 ＜． ……………………………………13 分 30 20
答：P 不可能大于方法二所以 P＝假设 P＞
……………………………………………………14 分 …………………………………………………… 6 分
依题意 x＝0.2a．
mx x 0.2a a ＝＝＝．…………………………………………8 分 2 2 y k(ax＋5) k (0.2a ＋5) k(a ＋25) 1 ，得 ka2－20a＋25k＜0． 20 …………………………………………10 分
1 2 2 （2）因为 sinA＝，且 A 为锐角，所以 cosA＝． ………………………………………8 分 3 3 所以 sinC＝sin(π－2A)＝sin2A＝2sinAcosA＝ 4 2 ， 9 ………………………………………10 分
7 cosC＝cos(π－2A)＝－cos2A＝－1＋2sin2A＝－．…………………………………………12 分 9 π π π 8＋7 2 所以 sin(C－ )＝sin Ccos －cosCsin ＝．……………………………………………14 分 4 4 4 18 16．证明：（1）连结 AC，交 BD 于 O，连结 OE．因为 ABCD 是平行四边形，所以 OA＝OC．…………………………………………………2 分因为 E 为侧棱 PA 的中点，所以 OE∥ PC．…………………………………………………4 分因为 PC / 平面 BDE，OE平面 BDE，所以 PC // 平面 BDE．…………………………… 6 分（2）因为 E 为 PA 中点，PD＝AD，所以 PA⊥DE．………………………………………8 分

2016南京三模数学试卷

14．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边．若向量m＝(a，cosA)，向量n＝(cosC，c)，且m·n＝3bcosB．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A，H是OC的中点，AH⊥BC．
（1）求证：AC是∠PAH的平分线；
（2）求PC的长．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知曲线C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程．
因为A1B∥平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，
所以A1B∥OD．··················································12分
因为O为AC1中点，所以D为BC中点，
所以＝1．··································································14分
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．
（1）求X是奇数的概率；
（2）求X的概率分布列及数学期望．
23．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，Pn(x ，y )，n∈N*．记直线APn的斜率为kn．

高三数学月考试题及答案-南京市六校联考2016届高三上学期12月调研测试

南京市六校联考2016届高三上学期12月调研测试数学试卷一、填空题（共14小题每小题5分共计70分．将正确答案填入答题纸的相应横线上．．．．．．．．．） 1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = . 2．已知复数z 满足()341i z +=（i 为虚数单位），则z 的模为 .3.已知m 为实数，直线1:30l mx y ++=，2:(32)20l m x my -++=，则“1m =”是“12//l l ”的条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）．4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .5.现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为．6.若实数,x y 满足约束条件2211x y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+⎩≤≥≥，则目标函数2z x y =+的最小值为．7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若283652,62a a a a S ==-，则1a 的值是 . 8．已知1,2a b ==，a 与b 的夹角为120︒，0a b c ++=，则a 与c 的夹角为． 9.已知1cos(75)3α︒+=，则cos(302)α︒-的值为． 10.设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为12F F 、，左准线为l ，P 为椭圆上的一点，PQ l ⊥于点Q ，若四边形12PQF F 为平行四边形，则椭圆离心率的取值范围是 .11.若x y 、均为正实数，且24x y +=，则22221x y x y +++的最小值是． 12. 在ABC ∆中，已知2BC =，1AB AC ∙=，则ABC ∆面积的最大值是 . 13.已知圆22:4O x y +=，直线:40l x y +-=，A 为直线l 上一点，若圆O 上存在两点B C 、，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是 .14.若函数223,1()32,1xa x f x x ax a x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．（本小题满分14分）已知向量3(sin ,),(cos ,1)4a x b x ==-r r .（1）当//a b 时，求tan()4x π-的值；（2）设函数()()2f x a b b =+?r r r ，当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域.16.（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,AC BD 相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点．（1）求证：直线//OG 平面EFCD ；（2）求证：直线AC ⊥平面ODE ．17.（本小题满分15分）如图，椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率223e =，椭圆C的右焦点到右准线的距离为24，椭圆C 的下顶点为D . （1）求椭圆C 的方程；（2）若过D 点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C 相交于点P M 、.求证：直线PM 经过一定点.GOFCABDE18.（本小题满分15分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百米的扇形，23ABC π∠=．管理部门欲在该地从M 到D 修建小路：在MN 上选一点P （异于M 、N 两点），过点P 修建与BC 平行的小路PQ ．（1）设PBC θ∠=，试用θ表示修建的小路MP 与线段PQ 及线段QD 的总长度l ；（2）求l 的最小值．19.（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对一切正整数n 都有212n n S n a =+. （1）求证：142n n a a n ++=+（*n N ∈）；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在实数a ，使不等式21211123(1)(1)(1)221n a a a a a n ----<+对一切正整数n 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

2019届江苏省南京市2016级高三上学期综合模拟考试数学试卷及解析

2019届江苏省南京市2016级高三上学期综合模拟考试
数学试卷
★祝考试顺利★
一．填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合，，则＝________.
【答案】
【解析】
【分析】
化简集合A，由交集运算即可求解.
【详解】因为，
所以＝，故填.
2.复数为虚数单位）的共轭复数为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的乘法运算可求z,写出其共轭复数即可.
【详解】因为，
所以，
故填
3.某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有______个网箱产量不低于50 kg．
【答案】82
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图，可求出不低于50kg的频率，然后再根据频率即可求出结果. 【详解】由频率分布直方图，可知不低于50kg的频率为：（0.040+0.070+0.042+0.012）×5＝0.82，
所以网箱个数：0.082×100＝82.
4.已知四边形为梯形, ,为空间一直线,则“垂直于两腰”是“垂直于两底”的________条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).
【答案】充分不必要
【解析】
因四边形为梯形,，则两腰必相交，由线面垂直的判定
定理和性质定理可得“垂直于两腰”一定有“垂直于两底”，但反之，
则不一定成立，故选“充分不必要”。

5.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．。

江苏省南京市、盐城市2016届高三第一次模拟考试数学试题含答案

南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学试题（总分160分，考试时间120分钟)参考公式锥体的体积公式：13V Sh =,其中S 为底面积，h 为高。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}210A x x =-=，{}1,2,5B =-，则A B = ▲ .2．已知复数21i z i+=-（i 是虚数单位),则|3．书架上有3本数学书，2本, 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ .5．某校高一年级有学生400人,高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人,其中从高一年级学生中抽出20人,则从高三年级学生中抽取的人数为 ▲ 。

6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,3)P ，则其焦点到准线的距离为 ▲ .7．已知实数,x y满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y=-的最小值为▲ .8．设一个正方体与底面边长为等，则该正方体的棱长为 ▲ . 9．在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若5a =，第4题图A BCD第11题图4A π=,3cos 5B =,则边c = ▲ 。

10．设nS 是等比数列{}na 的前n 项和,0na >,若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲ 。

11．如图,在ABC ∆中，3AB AC ==,1cos 3BAC ∠=,2DC BD =，则AD BC ⋅的值为▲ 。

12．过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 ▲ 。

13．设()f x 是定义在R 上的奇函数,且()22xxm f x =+，设(),1,()(),1,f x xg x f x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ .14．设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分。

江苏省南京市、盐城市2016届高三上学期第一次模拟考试数学试题含答案

南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学试题（总分160分，考试时间120分钟）参考公式锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上) 1．已知集合{}210A x x=-=，{}1,2,5B =-,则A B = ▲ 。

2．已知复数21i z i+=-（i 是虚数单位)，则||z = ▲ 。

3．书架上有3本数学书,2本物理书，从中任意取出2本, 则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ 。

4．运行如图所示的伪代码,其结果为 ▲ .5．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为 ▲ .6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,3)P ,则其焦点到准线的距离为 ▲ . 7．已知实数,x y满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y=-的最小值为▲ .8．设一个正方体与底面边长为2310S ←1 For I From 1 To 7 step 2S ←S + IEnd ForPrint S第4题图相等，则该正方体的棱长为 ▲ . 9．在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若5a =，4A π=，3cos 5B =，则边c = ▲ .10．设nS 是等比数列{}na 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为▲ 。

11．如图，在ABC ∆中,3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=,2DC BD =，则AD BC ⋅的值为 ▲ .12．过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点,若点A 恰好是线段PB 的中点,则直线l 的方程为 ▲ 。

江苏省南京市2016届高三第三次模拟考试数学试题01 含解析

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分,共70分。

1。

已知全集U ＝{－1,2，3,a }，集合M ＝{－1,3｝．若∁U M ＝{2，5｝，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】5 【解析】试题分析：因为{1,3,2,5}U U M C M ==-,所以 5.a =考点：集合补集2.设复数z 满足z （1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ▲ ．【答案】3－i 【解析】试题分析：因为24(24)(1)(12)(1)3i,12i i i z i i i++-===+-=++所以复数z 的共轭复数为3－i考点：复数概念3.甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：选手第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮甲 9。

8 9。

9 10。

1 10 10.2 乙9.4 10。

3 10。

8 9.79.8则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是 ▲ ．【答案】0.02考点：方差4.从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是 ▲ ．【答案】35【解析】试题分析：从5个球中随机取出两个球，共有10种基本事件，其中取出的两球中恰有一个红球包含有236⨯=种基本事件，其概率为63.105=考点：古典概型概率5。

执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．【答案】8 【解析】试题分析:第一次循环：4,4I S ==，第二次循环：6,24I S ==,第三次循环：8,192100I S ==>,输出8.I =考点：循环结构流程图6。

6．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线,l ⊥α，m ⊂β．S ←1 I ←2While S ≤100I ←I ＋2 S ←S ×I End While Print I（第5题图）给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ; ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m ∥α．其中正确的命题是 ▲ ． (填．写所有正确命题的．．．．．．．．序号．．)．【答案】①④考点：线面关系判定7。