垂径定理

作者姓名学校

学科数学年级/班级初四

教材版本鲁教版课时名称垂径定理上课时间2013.11 学生人数50

单元背景本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。

课时设计说明鉴于教材特点及我所教班级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。另外，教学中我还注重用不同图片的颜色对比来启发学生。

关于教材的处理：(1)对于圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明，采用师生共同演示的方法。(2)补充例题1（即练习1）讲完后总结出辅助线作法的七字口诀“半径半弦弦心距”，得直角三角形中三边的关系式.注意前后知识的链接，将补充例题例2作为例1的延伸，并动态演示弦AB的位置变化，结合学生实际情况作适当的拓广。

学情分析我所面对的学生是九年级的学生，经过两年的中学学习他们的认识水平大幅提高，抽象逻辑思维能力初步形成。鉴于此，我打算采用以探索拱桥模型性质为主线的教学思路，采用以引导发现法和直观演示法相结合的教学方法，运用多媒体课件，实物投影仪，超级画板（专业数学软件）等教学手段，让学生经历“实验—观察—猜想—证明”的探索过程，掌握知识，进而形成能力。将数学知识与动手实践相结合，使我的课堂中，学生在玩儿中学，在学中玩儿。

学习目标知识与技能：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；

②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证

B A D

C ¹-¸ß

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明与计算问题；

③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。

过程与方法：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 情感态度与价值观：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。

教学重难

点及解决

措施

重点是：垂径定理及其应用。

难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明。

理解垂径定理的关键是：圆的轴对称性。

教学过程（可续行） 学习活动

学生活动

教师活动 教学评价及技术应用

实例导入，激疑引趣 州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离， 也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的

半径（即AB 所在圆的半径）是多少？

通过本节课的学习，我们将能很

容易解决这一问题。

学生短暂的

思考

引导他们根据实际问题画出拱桥问题的基本结构图，抽象出本节课问题的主体数学模型，拱桥模型，为后面的实验探究提供了篮板，创造性的使用了教材。

采用实际问题，激

发学生的学习热情，提升学生民族自豪感的同时，顺利的将学生引入了探索新知的环节中去。

尝试诱导，发现定理 1．复习过渡：

①如图1，弦AB 将⊙O 分成

几部分？各部分的名称是什么？

②如图2，将弦AB 变成直径，

⊙O 被分成的两部分各叫什么？

③在图2，若将⊙O 沿直径

AB 对折，两部分是否重合？

学生观察猜

想在规定时

间内自己实

验、观察、得

出猜想，然后

分组交流

贯彻新课标精神，以问题为载体放手让学生自主探索，我进行实时点拨，不仅本节课的教学目标可以达到，而

这样设计培养了学生的观察能力和归纳、概括的思维能力，并使学生领略到圆的对称美，同时发展了学生的符号感，分化了难点。

O A B O A B

1 2 2．实验验证：

让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。

3．运动变换：三种情况

4．提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想——

⎪

⎩⎪

⎨⎧===⇒⎭⎬⎫⊥BD

AD BC

AC BD

AE CD E AB,CD O 垂足为弦的直径是圆

5．验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD 对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。

且更好的培养了学生探究问题的能力。 在各小组充分交流之后，我将利用超级画板在大屏幕上演示圆的对折动画 通过学生的动手实践和对问题的思考，强化学生认知结构中与本堂课有关的内容，引导发现圆的对称性，为探索垂径定理及其推论奠定基础，同时体会圆的对称美。

引导探究，证明定理 1．引导证明： 猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。 ①证明“AE=BE ”，可通过连结OA 、OB 来实现，利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。 2．归纳定理： 根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。 垂径定理：垂直于弦的直径平分写出已知和求证，并证明 对于垂径定理的证明，我采取自主探究、合作交流的方式完成，看哪个小组证得又快、又好，记入今天的英雄榜。最后师生共同演示、验证猜想的正确性，从而解

增加学生的兴趣，

使学生通过探索发现、思维碰撞，获得对数学最深切的感受，体会成功的乐趣，发展思维能力，富有成就感。