上课版 2.4.2抛物线的几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质1

2.4.2 抛物线的简单几何性质整体设计教材分析“抛物线的简单几何性质”在全章占有重要的地位和作用.本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到,也是大纲规定的必须掌握的内容,还是将来大学学习的基础知识之一.对于训练学生用坐标法解题,本节一如前面各节一样起着相当重要的作用.研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样,按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究,完全可以独立探索得出结论.已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标和准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向,一次项的变量如果为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项的符号决定开口方向,由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数p.课时分配本节分两课时进行教学.第一课时内容主要讲抛物线的几何性质、抛物线的画图、例3及其他例题;第二课时主要内容为焦半径公式、例4、例5、例6.第1课时教学目标知识与技能1.抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物线图形;3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化.过程与方法1.使学生掌握抛物线的几何性质,根据给出的条件求抛物线的标准方程.2.掌握抛物线的画法.情感、态度与价值观1.培养学生数形结合及方程的思想.2.训练学生分析问题、解决问题的能力,了解抛物线在实际问题中的初步应用.重点难点教学重点:掌握抛物线的几何性质,使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用.教学难点:抛物线各个知识点的灵活应用.教学过程复习引入1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称. 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的14,即2p 4=p2.不同点:(1)图形关于x 轴对称时,x 为一次项,y 为二次项,方程右端为±2px、左端为y 2;图形关于y 轴对称时,x 为二次项,y 为一次项,方程右端为±2py,左端为x 2.(2)开口方向为x 轴(或y 轴)正向时,焦点在x 轴(或y 轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口为x 轴(或y 轴)负向时,焦点在x 轴(或y 轴)的负半轴上,方程右端取负号.讲解新课 唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯,欲饮琵琶马上催”的句子,诗中提到“夜光杯”.提出问题1:如果测得酒杯口宽4 cm ,杯深8 cm , 试求酒杯轴截面所在曲线的方程.活动设计:学生先独立思考,必要时,允许合作讨论.教师巡视指导,再由一名学生板演.解:如图建立平面直角坐标系, 则可知A(-2,8),B(2,8). 所以设抛物线的方程为: x 2=2py(p>0)A 、B 点在抛物线上,代入抛物线方程,可得p = 14,则所求的抛物线方程为:x 2=12y.提出问题2:这一节我们来研究抛物线的标准方程y 2=2px(p>0)的几何性质.请同学们思考:类比椭圆、双曲线的几何性质,你应从哪几个方面进行研究?学情预测:学生会给出很多方面,此时教师引导学生观察图象给出性质.1.范围2.对称性3.顶点4.离心率5.通径探索研究活动设计:先由学生合作讨论,再由一、两名学生代表发言,教师适时补充.1.范围学情预测:一般情况下,学生会从图像观察到:x≥0,y∈R.此时教师可引导学生从方程角度思考,可得到:因为p>0,由方程y2=2px(p>0)可知,这条抛物线上的点M的坐标(x,y)满足不等式x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.2.对称性学情预测:一般情况下,学生会从图象观察到:关于x轴对称.此时教师可引导学生从方程角度思考,可得到:以-y代y,方程y2=2px(p>0)不变,所以这条抛物线关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.3.顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2=2px(p>0)中,当y=0时,x=0,因此抛物线y2=2px(p>0)的顶点就是坐标原点.4.离心率活动设计:此处可由教师给出定义.抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义可知,e=1.多媒体给出下表的第1、2行和第1列,由学生得出其他几种形式的方程的几何性质:注意强调p 的几何意义:是焦点到准线的距离.补充说明:1.抛物线只位于半个平面坐标内,虽然它可以无限延伸但它没有渐近线.因此抛物线不是双曲线的一支.2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心. 3.抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线. 4.抛物线的离心率是确定的且为1.附:抛物线不存在渐近线的证明.(反证法)假设抛物线y 2=2px 存在渐近线y =mx +n ,A(x ,y)为抛物线上的一点, A 0(x ,y 1)为渐近线上与A 横坐标相同的点.如图, 则有y =±2px 和y 1=mx +n. ∴ |y 1-y|=|mx +n 2px| =|x|²|m+nx2p x|. 当m≠0时,若x→+∞,则|y 1-y|→+∞.当m =0时,|y 1-y|=|n 2px|,当x→+∞,则|y 1-y|→+∞.这与y =mx +n 是抛物线y 2=2px 的渐近线矛盾,所以抛物线不存在渐近线.提出问题:椭圆的圆扁程度、双曲线的张口大小由e 的大小决定,那么抛物线的开口大小由什么决定?下面我们来看一个例题.在同一坐标系中画出下列抛物线的草图:(1)y 2=12x ;(2)y 2=x ;(3)y 2=2x ;(4)y 2=4x.活动设计:由学生自己完成,教师可将学生所画的图象投影展示.学情预测:从图象观察到抛物线标准方程中的p 越大,开口越开阔. 探究问题:在抛物线的标准方程中2p 的几何意义是什么?通径的定义:通过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交于两点,连接这两点的线段叫抛物线的通径.提出问题:由学生求出通径的长度.通径的长度:2p.反思应用1已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,-22),求它的标准方程,并用描点法画出图形.分析:由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数p.解:由题意,可设抛物线方程为y2=2px,因为它过点M(2,-22),所以(-22)2=2p²2,即 p=2.因此,所求的抛物线方程为y2=4x.将已知方程变形为y=±2x,根据y=2x计算抛物线在x≥0的范围内几个点的坐标,得点评:在本题的画图过程中,如果描出抛物线上更多的点,可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸,但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线,也就是说,抛物线没有渐近线.提出问题:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点M(2,-22)的抛物线有几条?求出它们的标准方程.活动设计:先由学生独立完成或合作讨论,再由一名学生上黑板板演.学情预测:易得到结果:y2=4x或x2=-2y.2若抛物线的通径长为7,顶点在坐标原点,且关于坐标轴对称,求抛物线的方程.解:设抛物线方程为y2=±2px或者x2=±2py(p>0),∵通径长2p=7,所以所求抛物线方程y2=±7x或者x2=±7y.3过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m,交抛物线于A、B两点,求证:以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切.分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷.证明:如图.设AB的中点为E,过A、E、B分别向准线l引垂线AD 、EH 、BC ,垂足为D 、H 、C ,则 |AF|=|AD|,|BF|=|BC|.∴|AB|=|AF|+|BF|=|AD|+|BC|=2|EH|.所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径,且EH⊥l,因而圆E 和准线l 相切.达标检测 1.抛物线的标准方程为x 2=-12y ,则其通径的长为( )A .-12 B.12 C.14D .12.已知M 为抛物线y 2=4x 上一动点,F 为抛物线的焦点,定点P(3,1),则|MP|+|MF|的最小值为( )A .3B .4C . 5D .63.过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点,则弦AB 的中点的轨迹方程是____________________.4.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2=x 上移动,求AB 中点M 到y 轴距离的最小值,并求出此时AB 中点M 的坐标.答案:1.B 2.B 3.y 2=2(x -1) 4.M(54,±22),M 到y 轴距离的最小值为54.本课小结 1.抛物线的性质;2.灵活运用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程及描点法画图. 布置作业 课本习题2.4A 组4. 补充练习1.过抛物线x =ay 2的焦点的一条直线和抛物线交于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2),则x 1x 2=______________.2.下列说法中,错误的是( ) A .任何抛物线的离心率都是1B .在抛物线上所有的点中,顶点到焦点的距离最短C .过一定点的所有直线中,与抛物线恰有一个公共点的直线最多有两条D .抛物线的所有焦点弦中,通径的长最短3.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点,若A 、B 在准线上的射影是A 2、B 2,则∠A 2FB 2等于________.4.以椭圆x 25+y 2=1的右焦点F 为焦点,以坐标原点为顶点作抛物线,求抛物线截椭圆的右准线所得的弦长.答案:1.116a2 2.C 3.90° 4.4 5设计说明二次曲线是平面解析几何的主要研究对象,在教学时,注意挖掘它们之间的内在联系和区别,不要孤立地和静止地看待抛物线.因此在研究抛物线的几何性质时采用对比的方法进行教学,让学生对照椭圆、双曲线的几何性质,去探求抛物线的几何性质,在进行对比时,要注意横向和纵向两种对比,也就是既要注意每种曲线内部的对比,同时也要注意几种曲线之间的对比.。
课件4:2.4.2 抛物线的简单几何性质

解:如图记焦点 F ,准线 l ,分别过点 A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、NM.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB
过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E. K Q
E
N
在△ AFE 中 EF AF cos .
记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF p
∴ FA = MA KE p FA cos ∴ FA p 1 cos
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解:设
准线
A(
l:
x1, y1 ) ,
x p
B( x2 , y2 ) ,焦点 F
,分别过点 A、B
(p 2
作
,
l
0) M
的垂
2
( x1 , y1 )
线,垂足分别为 M、N.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB N
( x2 , y2 )
∴ AB
思考(课本第 69 页例 4)
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F ,且与 抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算 弦长.
坐标法是一种非常好的证明,你还有 没有其他好方法呢?
本题几何法也是一个极佳的思维!
学习小结: 刚才发现的结论,坐标法起着重要作用. 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研究直
线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方法.
总结:
判断直线与抛物线位置关系的操作程序: 把直线方程代入抛物线方程
课件14:2.4.2 抛物线的简单几何性质

(2)如图把点 B 的横坐标代入 y2=4x 中,得 y=± 12, 因为 12>2,所以 B 在抛物线内部, 自 B 作 BQ 垂直准线于 Q,交抛物线于 P1. 此时,由抛物线定义知:|P1Q|=|P1F|. 那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4. 即最小值为 4.
∴|AB|=4p,∴S△ABO=12·4p·2p=4p2.
命题方向2 ⇨抛物线焦点弦的性质 典例2 斜率为2的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛 物线相交于两点A、B,求线段AB的长. [解] 如图,由抛物线的标准方程可知, 焦点F(1,0),准线方程x=-1. 由题设,直线AB的方程为:y=2x-2. 代入抛物线方程y2=4x,整理得:x2-3x+1=0.
1.抛物线 y=-3x2 的准线方程是 ( C )
A.y=34
B.y=-34
பைடு நூலகம்
C.y=112
D.y=-112
[解析] 由抛物线 y=-3x2 得 x2=-13y,∴2p=112.
可得准线方程为 y=112.故选 C.
2.若抛物线 y2=x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的
距离,则点 P 的坐标为 ( B )
典例3 设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线 焦点. (1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距 离之和的最小值; (2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
[解] (1)如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程是 x=-1,由抛物线的定义知:点 P 到直线 x=-1 的距离等 于点 P 到焦点 F 的距离.于是,问题转化为:在曲线上求 一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离 之和最小.显然,连 AF 交抛物线于 P 点,故最小值为
2.4.2抛物线的 几何性质

发现一个结论: 2 过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 y2 p .
2
M
这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.
K
几何解释,就是
N
MK NK KF
2
思考: “一条直线和抛物线 y 2 2 px( p 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 . 则 这条直线过焦点.”成立吗?
问题: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
p ( x , y ) 2 2 x y cot 由 2 消去 x 并整理得 y2 2 py cot p2 0 与直线 y 2 2 px 的倾斜角 ∴ y1 y2 2 p cot , y1 y2 p2 无关 ! 2 2 2 2 AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) = (1 cot )( y1 y2 ) 很奇怪! 2p 2 2 = (1 cot ) ( y1 y2 ) 4 y1 y2 = 2 sin
·
F
焦 点
(4)开口向下 x2 = -2py (p>0) l 准线
e=1
3、顶点
定义:抛物线与坐标轴的 交点称为抛物线的顶点。
y
y2 = 2px
(p>0)中,
o
F( p ,0 ) 2
令y=0,则x=0.
即:抛物线y2 = 2px (p>0) 的顶点是(0,0).
教学设计2:2.4.2 抛物线的简单几何性质

教学内容 2.4.2 抛物线的简单几何性质三维目标【知识与技能】1.掌握抛物线的简单的几何性质,能根据抛物线的几何性质求抛物线的标准方程;2.能由抛物线方程解决简单的应用问题;3.学会判断抛物线与直线的位置关系;4.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化.【过程与方法】通过抛物线性质的学习,让学生更加熟悉求曲线方程的方法,培养学生的转化能力和数形结合能力。
【情感态度与价值观】通过抛物线性质的学习,培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点。
教学重点抛物线的几何性质及其运用,以及抛物线与直线的位置关系。
教学难点抛物线性质的应用.教学方法启发引导,分析讲解,练习领会。
教学过程复习引入一.引入新课【师】复习提问:1、抛物线定义:平面内到一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数1的点的轨迹(或平面内到一个定点F和一条直线l(F不在l上)距离相等的点的轨迹)是抛物线。
点F叫做焦点..,l叫做准线。
...2、抛物线的标准方程标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图形焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下那么,抛物线有哪些几何性质呢?点题,板书课题。
新课学习二.新课讲解1.抛物线的简单几何性质标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图像范围0≥x0≤x0≥y0≤y 对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称顶点()0,0()0,0()0,0()0,0离心率1=e焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下2.通径:过焦点且垂直于对称轴的相交弦。
直接应用抛物线定义,得到通径:pd2=。
三.练习领会师生共同解答下列各例:【例1】已知点()2,0A和抛物线C:xy62=,求过点A且与抛物线C相切的直线L的方程。
数学课件:第二章 2.4 2.4.2 抛物线的简单几何性质

∴y421p·y222+y1·y2=0, ∴b2+2pb=0, ∴b+2p=0,∴b=-2p. ∴y1·y2=-4p2,x1·x2=b2=4p2. ∴A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别是 4p2 和-4p2. (2)AB 方程为 my=x-2p,∴AB 过定点(2p,0).
解决抛物线中定点、定值问题的方法 在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值,过定点的问题,解决这类问 题的方法有很多,例如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这类问题 的关键是代换和转化.有时利用数形结合思想能达到避繁就简、化难为易、 事半功倍的效果.
解析:抛物线的焦点F
p2,0
,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-
p 2
,即
x=y+
p 2
,将其代入得:y2=2px=2p
y+p2
=2py+p2,所以y2-2py-p2=0,所
以y1+2 y2=p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,准线方程为x=-1.
答案:x=-1
探究一 抛物线性质的应用
[典例1]
直线与抛物线的位置关系 将直线方程与抛物线方程联立,转化为一元二次方程,可通过直线与 抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件, 利用限制条件建立不等式或等式,利用根与系数的关系运算求解.
2.已知A、B为抛物线E上不同的两点,若抛物线E的焦点为(1,0),线段AB恰 被M(2,1)所平分. (1)求抛物线E的方程; (2)求直线AB的方程.
2.4.2 抛物线的简单几何性质
考纲定位
重难突破
1.掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用.
2.会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合 重点:抛物线的图形和简
问题.
单几何性质.
2.4.2-抛物线的简单几何性质

( p ,0) 2
xp 2
y
F
O
x2=2py
x
l
(p>0)
(0,p ) y p
2
2
y
O F
l
x
x2=-2py (p>0)
(0, p ) 2
y p 2
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质?
1、 范围
y
由抛物线y2 =2px(p>0)
有 2 px y2 0
p0
o F( p ,0) x
(p>0) y
l
y2 = -2px (p>0)
yl
x2 = 2py (p>0)
y
F
x2 = -2py (p>0)
y
l
形 范围
对称性
顶点
焦半径
焦点弦 的长度 通径
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0
关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
(0,0)
p 2
x0
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
3、 顶点
定义:抛物线与 它的轴的交点叫做抛 物线的顶点。
y2 = 2px (p>0)中,
令y=0,则x=0.
y
o F( p ,0) x
2
即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
4、 离心率
即直线与抛物线只有一个公共点。
当1 k 1 ,且k 0时, 2
即直线与抛物线有两个公共点。
课件4:2.4.2抛物线的几何性质

问题导入
我们根据抛物线的标准方程y2=2px(p>0)① 来研究它的一些几何性质.
学习新知 1.范围 因为p>0,由方程①可知,对于抛物线上的点 M (x,y),x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧,开口 方向与x轴正向相同; 当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右 上方和右下方无限延伸.
典例精析 例1 已知抛物线以x轴为轴,顶点是坐标原点且开口 向右,又抛物线经过点M(4,2 3 ),求它的标准方程.
解 根据已知条件,设抛物线的方程为y2=2px (p>0).
因为点M(4,2 3 )在抛物线上, 所以(2 3 )2=2p·4,得2p=3. 因此,所求方程为y2=3x.
例2.汽车前灯反射镜与轴截面的脚线是抛物线的一部 分,灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物 线焦点处.已知灯口的直径是24cm,灯深10cm,那么灯 泡与反射镜的顶点(即截得的抛物线的顶点)距离是多 少?(图2-24(1))
a 4
),∴m=-a.
即抛物线方程为x2=-ay.
将(0.8,y)代入抛物线方程,
得0.82=-ay,
即y=-
0.82 a
.
欲使卡车通过隧道,应有y-(-
a 4
)>3,
a
0.82
即 4 - a >3.由于a>0,
得上述不等式的近似解为a>12.21.
∴a应取13.
x2=-2py (p>0)
图象
焦点 准线
性质
范围
对称轴 顶点 离心率
开口 方向
Fp2,0 x=-p2
F-p2,0
F0,p2 F0,-p2
x=p2
教学设计1:2.4.2抛物线的几何性质

2.4.2抛物线的几何性质◆知识与技能目标使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化等方面的能力.◆情感,态度与价值观目标(1)培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
(2)培养学生观察,实验,探究与交流的数学活动能力。
◆能力目标:(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养;(2)启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题;(3)通过教师指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力◆教学过程一.复习引入抛物线的定义及标准方程二.思考分析一只很小的灯泡发出的光,会分散地射向各方,但把它装在圆柱形的手电筒里,经过适当调节,就能射出一束比较强的平行光线,这是为什么呢?原来手电筒内,在小灯泡后面有一个反光镜,镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面,叫做抛物面.人们已经证明,抛物线有一条很重要的性质:从焦点发出的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴.探照灯就是利用这个原理设计的.问题1:抛物线有几个焦点?提示:一个焦点.问题2:有人说“抛物线是双曲线的一支”,这句话对吗?提示:不对.问题3:抛物线有渐近线吗?提示:没有.三.抽象概括1.抛物线的简单几何性质2.焦半径与焦点弦抛物线上一点与焦点F 的连线段叫做焦半径,过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦.设抛物线上任意一点P (x 0,y 0),焦点弦端点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表:1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线. 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心.3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线,这与椭圆、双曲线不同. 4.抛物线的离心率e =1(定值).5.抛物线方程中的参数p 的几何意义是焦点到准线的距离.由方程y 2=2px (p ≠0)知,对同一个x ,p 越大,|y |也越大,说明抛物线开口越大.6.抛物线与双曲线都是“开放型”曲线,但抛物线不能看成是双曲线的一支. 四.例题分析及练习[例1] 抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x 2+4y 2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.[思路点拨] 解答本题可先确定椭圆的短轴,从而确定抛物线的焦点位置,再写出标准方程即可.[精解详析] 椭圆的方程可化为x 24+y 29=1,其短轴在x 轴上, ∴抛物线的对称轴为x 轴,∴设抛物线的方程为y 2=2px 或y 2=-2px (p >0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即p2=3,∴p =6,∴抛物线的标准方程为y 2=12x 或y 2=-12x , 其准线方程分别为x =-3和x =3.[感悟体会] 用待定系数法求抛物线方程的步骤:训练题组11.顶点在原点,对称轴是y 轴,并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )A .x 2=±3yB .y 2=±6xC .x 2=±12yD .x 2=±6y【解析】依题意知抛物线方程为x 2=±2py (p >0)的形式, 又p2=3,∴p =6,2p =12,故方程为x 2=±12y . 【答案】C2.平面直角坐标系xOy 中,有一定点A (2,1),若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,则该抛物线的标准方程是________.【解析】线段OA 的垂直平分线为4x +2y -5=0, 与x 轴的交点为(54,0),∴抛物线的焦点为(54,0),∴其标准方程是y 2=5x .【答案】y 2=5x[例2] 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y 2=2px (p >0)上,求这个正三角形的边长.[思路点拨] 先证明x 轴是它们的公共对称轴,再求三角形边长. [精解详析] 如图所示,设正三角形OAB 的顶点A ,B 在抛物线上,且坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 21=2px 1,y 22=2px 2. 又OA =OB ,所以x 21+y 21=x 22+y 22, 即x 21-x 22+2px 1-2px 2=0,整理得(x 1-x 2)(x 1+x 2+2p )=0. ∵x 1>0,x 2>0,2p >0, ∴x 1=x 2,由此可得|y 1|=|y 2|, 即线段AB 关于x 轴对称. 由此得∠AOx =30°, 所以y 1=33x 1,与y 21=2px 1联立, 解得y 1=23p .∴|AB |=2y 1=43p .[感悟体会] 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A ,B 两点关于x 轴对称.另外,抛物线方程中变量x ,y 的范围也是常用的几何性质.训练题组23.若双曲线x 23-16y 2p 2=1(p >0)的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为( )A .2B .3C .4D .42【解析】双曲线的方程可化为x 23-y 2p216=1,∴双曲线的左焦点为(-3+p 216,0). 又∵抛物线的准线为x =-p2,所以由题意得- 3+p 216=-p 2, 解得p =4. 【答案】C4.等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y 2=2px (p >0)上.若该三角形的斜边长为4,求抛物线的方程.【解】如图,设等腰直角三角形OAB 的顶点A ,B 在抛物线上. 根据抛物线的性质知A ,B 关于x 轴对称. 由题意得A (2,2)在抛物线y 2=2px 上, ∴p =1,抛物线的方程为y 2=2x .[例3] 已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的弦长为36,求弦所在的直线方程.[思路点拨] 由弦所在直线经过焦点(1,0),且弦长为36,可知直线的斜率存在且不为0,只需求出直线的斜率即可.[精解详析] ∵过焦点的弦长为36,∴弦所在的直线的斜率存在且不为零. 故可设弦所在直线的斜率为k ,且与抛物线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点. ∵抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0), ∴直线的方程为y =k (x -1).由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),y 2=4x ,整理得 k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0(k ≠0). ∴x 1+x 2=2k 2+4k 2.∴|AB |=|AF |+|BF | =x 1+x 2+2=2k 2+4k2+2.又|AB |=36,∴2k 2+4k 2+2=36,∴k =±24.∴所求直线方程为y =24(x -1)或y =-24(x -1). [感悟体会] 解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时,一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组,再结合根与系数的关系解题;二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用,简化运算.训练题组35.已知直线l 与抛物线y 2=8x 交于A ,B 两点,且l 经过抛物线的焦点F ,A 点的坐标为(8,8),则线段AB 的中点到准线的距离是( )A.254 B.252 C.258D .25【解析】抛物线的焦点坐标为(2,0),直线l 的方程为y =43(x -2).由⎩⎪⎨⎪⎧y =43(x -2),y 2=8x ,得B 点的坐标为(12,-2).∴|AB |=|AF |+|BF |=2+8+2+12=252.∴AB 的中点到准线的距离为254. 【答案】A6.抛物线的顶点在原点,以x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.【解】当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时,设抛物线方程为y 2=2px (p >0),如图.直线的方程为y =-x +12p .设直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由抛物线定义得 |AB |=|AF |+|FB |=x 1+p 2+x 2+p2,即x 1+p 2+x 2+p2=8.①由⎩⎪⎨⎪⎧y =-x +12p ,y 2=2px ,消去y 得x 2-3px +p 24=0.∴x 1+x 2=3p . 将其代入①得p =2. ∴所求抛物线方程为y 2=4x .当抛物线方程设为y 2=-2px (p >0)时,同理可求得抛物线方程为y 2=-4x . 综上所述,抛物线的方程为y 2=4x 或y 2=-4x . 五.课堂小结与归纳1.抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中一个,就可求其他两个.2.涉及抛物线的焦点弦问题,可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离.六.当堂训练1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x =-2,则抛物线的方程是( )A .y 2=-8xB .y 2=-4xC .y 2=8xD .y 2=4x【解析】显然由准线方程x =-2,可知抛物线焦点在x 轴正半轴上,同时得p =4,所以标准方程为y 2=2px =8x .【答案】C2.若抛物线y 2=x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为( ) A .(14,±24)B .(18,±24)C .(14,24)D .(18,24)【解析】由题意知,点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离,因此点P 在线段OF 的垂直平分线上.而F (14,0),所以P 点的横坐标为18.代入抛物线方程得y =±24,故点P 的坐标为(18,±24).【答案】B3.线段AB 是抛物线的焦点弦,F 为抛物线焦点.若A ,B 在其准线上的射影分别为A 1,B 1,则∠A 1FB 1等于( )A .45°B .60°C .90°D .120°【解析】法一:设抛物线方程为y 2=2px (p >0),AB 的方程为x =my +p 2.消去x 得y 2-2my -p 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1y 2=-p 2. 又A 1(-p 2,y 1),B 1(-p 2,y 2),F (p2,0),∴1A F =(p ,-y 1),1B F =(p ,-y 2), 则1A F ·1B F =p 2+y 1y 2=0,即∠A 1FB 1=90°. 法二:如图所示,∵|AA 1|=|AF |,|BB 1|=|BF |, ∴∠1=∠2,∠5=∠6. 又∵AA 1∥BB 1∥x 轴, ∴∠1=∠3,∠6=∠4, ∴∠2=∠3,∠4=∠5,∴∠2+∠3+∠4+∠5=2(∠3+∠4)=180°, ∴∠3+∠4=90°,即∠A 1FB 1=90°. 【答案】C4.设M (x 0,y 0)为抛物线C :x 2=8y 上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则y 0的取值范围是( )A .(0,2)B .[0,2]C .(2,+∞)D .[2,+∞)【解析】圆心到抛物线准线的距离为p ,即4,根据已知只要|FM |>4即可.根据抛物线定义,|FM |=y 0+2.由y 0+2>4,解得y 0>2,故y 0的取值范围是(2,+∞).【答案】C5.设点A 是抛物线y 2=4x 上一点,点B (1,0),点M 是线段AB 的中点.若|AB |=3,则M 到直线x =-1的距离为________.【解析】由题意知点B 即为抛物线的焦点, 直线x =-1即为抛物线的准线,如图.∵|AB |=3,∴|AA ′|=3.又|BB ′|=2,MM ′即为梯形BB ′A ′A 的中位线,∴|MM ′|=12(|AA ′|+|BB ′|)=52.【答案】526.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),若|AB |=7,则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________.【解析】抛物线的焦点为F (1,0),准线方程为x =-1.由抛物线的定义知|AB |=|AF |+|BF |=x 1+p 2+x 2+p2=x 1+x 2+p ,即x 1+x 2+2=7,得x 1+x 2=5,于是弦AB 的中点M 的横坐标为52, 因此点M 到抛物线准线的距离为52+1=72.【答案】727.直角三角形的直角顶点在坐标原点,另外两个顶点在抛物线y 2=2px (p >0)上,且一直角边的方程是y =2x ,斜边长是5,求此抛物线的方程.【解】如图,设直角三角形为AOB ,直角顶点为O ,AO 边的方程为y =2x , 则OB 边的方程为y =-12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x ,y 2=2px ,得A 点坐标为(p 2,p ).由⎩⎪⎨⎪⎧y =-12x ,y 2=2px ,得B 点坐标为(8p ,-4p ). ∵|AB |=53, ∴(p +4p )2+(p2-8p )2=5.∵p >0,解得p =21313,∴所求抛物线方程为y 2=41313x .8.已知A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上两点,O 为坐标原点.若|OA |=|OB |,且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB 的方程.【解】由抛物线的性质知A ,B 关于x 轴对称. 设A (x ,y ),则B (x ,-y ),焦点为F (p2,0).由题意知AF ⊥OB , 则有y x -p 2·-y x =-1.∴y 2=x (x -p2),2px =x (x -p2).∴x ≠0.∴x =5p2.∴直线AB 的方程为x =5p2.。
课件8:2.4.2 抛物线的几何性质

做一做
2.抛物线 y=-18x2 的准线方程是(
)
A.x=312
பைடு நூலகம்
B.x=14
C.y=2
D.y=4
【答案】C
题型探究 题型一 抛物线的标准方程与性质 例 1 抛物线的顶点在原点,对称轴是椭圆x42+y92=1 短 轴所在的直线,抛物线的焦点到顶点的距离为 3,求抛 物线的方程及准线方程.
解:∵椭圆x42+y92=1 短轴在 x 轴上, ∴抛物线的对称轴为 x 轴, 设抛物线的标准方程为 y2=2px 或 y2=-2px(p>0), ∵抛物线的焦点到顶点的距离为 3, ∴p2=3,即 p=6,
由y=-x+12p,消去 y2=2px,
y
得
x2-3px+p42=0,
∴x1+x2=3p,∴p=2,
∴所求抛物线方程为 y2=4x.
若设抛物线方程为 y2=-2px,
同理可求得抛物线方程为 y2=-4x.
名师点评
当直线与抛物线相交时,联立方程组,利用一元二 次方程根与系数的关系解题是最常见的一种方法.求 出x1+x2,再利用焦半径公式,写出焦点弦长,可确 定p,这样可以使计算量大大减少.
标准方 程
焦半径 |AF|
y2= 2px(p>
0)
|AF|=x0 +p2
y2=- 2px(p >0)
|AF|= p2-x0
x2= 2py(p >0)
|AF|= y0+p2
x2=- 2py(p >0)
|AF|= p2-y0
跟踪训练
2.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1), B(x2,y2),若|AB|=7,求AB的中点M到抛物线准线的距离.
解:抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1.由抛物 线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p,即 x1+x2+ 2= 7, 如图 ,∴|AA1|+|BB1|=7, ∴|MM1|= |AA1|+2 |BB1|=72,因此点 M 到抛物线准线的距离72.
第二章 2.4.2 抛物线的简单几何性质

13.已知倾斜角为π的直线 l 过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点 F,抛物线 C 上存在点 P 与 x 轴上一点 Q(5,0)关 6
于直线 l 对称,则 p 等于( )
A.1
B.1
C.2
D.3
2
14.如图,已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 P(2,0)的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线 AF, BF 分别与抛物线交于点 M,N. (1)求 y1y2 的值; (2)连接 MN,记直线 MN 的斜率为 k1,直线 AB 的斜率为 k2,证明:kk12为定值.
反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口:由抛物线标准方程看图象开口,关键是看准二次项是 x 还是 y,一次项的系数是正还是负. (2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴. (3)定值:焦点到准线的距离为 p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为 2p;离心率恒等于 1.
5.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其准线上的动点,当△FPM 为等边三角形时,
其面积为( )
A.2 3
B.4
C.6
D.4 3
6.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标
为 2,则该抛物线的准线方程为( )
2 所在的直线方程.
引申探究 本例条件不变,求弦 AB 的中点 M 到 y 轴的距离.
反思感悟 求抛物线弦长问题的方法: (1)一般弦长公式
|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k12|y1-y2|. (2)焦点弦长
设过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所 在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出 x1+x2 即可. 跟踪训练 3 已知 y=x+m 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点. (1)若|AB|=10,求实数 m 的值;(2)若 OA⊥OB,求实数 m 的值.
2.4.2抛物线的几何性质

几点说明: 几点说明:
焦准 距 1.焦准距(焦参数 ):焦点到准线的距离; 焦准距( 焦点到准线的距离; 焦准距 焦参数p) 焦点到准线的距离 2 b (椭圆和双曲线的焦参数p均是 p = .) : c
2.抛物线的通径: 抛物线的通径 抛物线的通径
通径 圆锥曲线)的焦点且垂直于轴的弦 过(圆锥曲线 的焦点且垂直于轴的弦 圆锥曲线 的焦点且垂直于轴的弦;
A1
A(x1,y1)
y2 = 2 px( p > 0)
P F( ,0) 2
O
x
以AB为直径的圆 为直径的圆 p 与准线相交 x=−
2
B1
B(x2,y2)
y A1 A(x1,y1)
(6) ) 三个Rt∆
Rt∆ANB, Rt∆A FB1, ∆ ∆ 1 Rt∆NFM, ∆
∆MNF相似∆NFK
NF 2 = KF • NM
(3) y M 已知抛物线 = −8x,求以 (−1,1)为中点
2
的弦的长度 .
抛物线y 上存在两点关于直线L: 例2、(1)抛物线 = x2上存在两点关于直线 、 抛物线 y=m(x-3)对称 求m的范围 对称,求 的范围 的范围. 对称 (2)抛物线 2 = x的弦 被直线 x+ y –2=0 抛物线y 的弦PQ被直线 抛物线 的弦 被直线: 垂直平分,求三角形 面积. 垂直平分 求三角形OPQ面积 求三角形 面积
y
二、焦点弦长公式
A1
A(x1,y1)
(1) AB = 1 + k 2 x1 − x2
(2) AB = x1 + x2 + p
= 1+ k12 y1 − y2
O
y2 = 2 px( p > 0)
2.4.2抛物线的几何性质

顶点
焦半径
(0,0)
p 2 x0
(0,0)
p 2 x0
(0,0)
p 2 y0
(0,0)
p 2 y0
5、焦半径:抛物线上任一
y
P
点和焦点的连线所成线段。
OF
x
探究:求抛物线上点P(x0,y0)的焦半径
抛物线y2=2px(p>0),
PF
x0
(
p) 2
p 2
x0;
抛物线y2=-2px(p>0),
离心率
1
1
1
1
【例1】已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标
原点,并且经过点M(2,2 2 ),求它的标准方程. 解: 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原
点,并且经过点M(2,2 2 ),
所以设方程为: y2 2 px ( p 0)
又因为点M在抛物线上:
所以:(2 2)2 2 p 2 p 2
y2 = 2px (p>0)中,令y=0,则x=0.
即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).
4、 离心率
注:抛物线上距离焦 点最近的点是顶点。
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线 的距离之比,叫做抛物线的离心率, e=1 。
抛物线的简单几何性质
方程
图
形 范围
y2 = 2px (p>0)
[变式]过抛物线y2=8x的焦点作直线l,交抛物线于A,B
两点,若线段AB中点的横坐标为3,求|AB|的值.
【解析】由抛物线y2=8x知,p=4.
设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线定义知:
AF
2.4.2抛物线的简单几何性质

O
.
F
x
y 2 64x y2 3y m 0 4 x 3 y m 0 16
由 0得 : m 36
2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的 最小值. 解:设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线,垂足分别为A1、B1、P,依据 1 抛物线的定义,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP是梯形AA1BB1的中位线, 1 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此,我们容易得到
e
c , (0 e 1) a
e
c , (e 1) a
一、抛物线的几何性质
1、范围
y
P(x,y)
由抛物线y2 =2px(p>0)
而
o
F(
2 px y 0 p0
2
p ,0 ) 2
x
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱ 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限 延伸。
方程 图 形
y2 = 2px
y2 = -2px (p>0) y l
x
x2 = 2py (p>0) y
F x
x2 = -2py (p>0) y
x l
(p>0) y
l O F
l x
F
O
O
O
F
范围
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
课件9:2.4.2 抛物线的简单几何性质

C.y=2
答案:A
INZHIDAOXUE
y轴
向上
做一做 1
A.y=-
X 新知导学 Z重难探究
1
4
B.y=-
D.y=-1
)
向下
HONGNANTANJIU
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
2.2.2 抛物线的简单几何性质
首页
X 新知导学 Z重难探究
INZHIDAOXUE
HONGNANTANJIU
D当堂检测
得抛物线的标准方程,但注意抛物线的开口方向不确定,需分两种情况考虑.
2.2.2 抛物线的简单几何性质
探究一
探究二
探究三
首页
X 新知导学 Z重难探究
INZHIDAOXUE
HONGNANTANJIU
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
探究四
解:当焦点在 x 轴的正半轴上时,
设方程为 y2=2px(p>0),当 x= 时,y=±p,由 2p=8,得 p=4.
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
2.2.2 抛物线的简单几何性质
首页
X 新知导学 Z重难探究
INZHIDAOXUE
HONGNANTANJIU
1.抛物线的几何性质
y2=2px
类型
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图象
焦 p
p
p
p
F 2 ,0
F - 2 ,0
答案:B
2
2.2.2 抛物线的简单几何性质
探究一
2.4.2抛物线的简单几何性质

(4)x2 +8y =0 准线方程
焦点坐标
( 1) ( 2) ( 3)
( 5, 0)
1 (0,—) 8 5 (- —,0) 8
x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8
( 4)
(0,-2)
y=2
前面我们已经学习了椭圆,双曲线的性 质,你能说出抛物线的性质与它们的性质有 什么区别吗?
分析:经过上面的学习我们知道,抛物线只有 一个焦点、一个顶点一条对称轴、一条准线;它 没有中心.通常抛物线称为无心圆锥曲线,而椭
四.离心率:
同样 ,抛物线上的点M到其焦点的距离 和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率, 用e表示.由定义可知,抛物线的离心率为e=1.
例1:
已知抛物线关于x轴对称,它的顶点 在坐标原点,并且经过点M(2,-2 2 ), 求它的标准方程.
解:因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在 原点,并且经过点M(2,-2 2),所以,可以设它的 标准方程为 y2=2px(p>0) 因为点M在抛物线上,所以(-2 2)2=2p· 2, 即 p=2. 因此,所求的抛物线的标准方程为y2=4x
3x2-10x+3=0,
M
例3:
如图,直线y=x-2与抛物 线y2=2x相交于A,B两点,求 证:OA⊥OB.
O
y
●
B
F
x
A
(x-2)2=2x. 证明:将y=x-2代入y2=2x中,得 则 y=3± 5 -2=1± 化简得 x2-6x+4=0, 解得x=3± 5 , 5
1+ 5 1因为k OB= ,k OA= 3+ 5 31 + 5 1所以k OB ·k OA= × 3+ 5 3所以OA⊥OB.
2.4.2__抛物线的简单几何性质.ppt

2
探究5 设抛物线 y 2 px 上两动点 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,O为坐标原点, OA⊥OB,则直线AB是否过定点? 求AB中点P的轨迹方程.
2
探究6 设抛物线 y 2 px 上两动点 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ),M为该抛物线 上一定点,且MA⊥MB,则直线AB 是否过定点?
O
N
B1
F B(x2,y2)
(5)证明:以AB为直径的圆与准线相切 ∠AM1B=Rt ∠, ∠A1FB1=Rt ∠
练习1:
已知抛物线方程为y2=4x,直线l 过定点P(-2,1),斜率为k. 则k为何值时,直线l与抛物线 y2=4x 只有一个公共点;有两个 公共点;没有公共点呢。
提出问题 过抛物线 y 2 px 的焦 点的一条直线和抛物线相交,两交 点的纵坐标为 y1 , y 2 , 2 求证:y1 y 2 p .(焦点弦的其中 一条性质)
y A1 M1 A(x1,y1)
M
O F B(x2,y2) X
B p (2)x1x2= ,y1y2= - p2 4 1 1 2 ( 3) | AF | | BF | P
2
1
(4) A, O , B1三点共线, B , O , A1三点共线
y
A1 A(x1,y1)
y2=2px(p>0)
M1
M
率为非零常数.
y0
变式1过抛物线 y 2 px ( p 0) 上一定 点 P ( x 0 , y0 )( y0 0) ,作两条直线分别 交抛物线于 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,若直 p 线AB的斜率为定值 ,证明直线 y0 PA与PB的倾斜角互补.
2.4.2抛物线的几何性质(二)

l
y
A O D B
F
x
例4、正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个 、正三角形的一个顶点位于坐标原点, 求这个三角形的边长。 顶点在抛物线 y2 = 2px( p > 0)上,求这个三角形的边长。
的顶点A、 解:如图,设正三角形OAB的顶点 、 如图,设正三角形 的顶点 B在抛物线上,且坐标分别为 在抛物线上, 在抛物线上 且坐标分别为A(x1,y1)、 、 B(x2,y2),则 y12 = 2 px1 , y2 2 = 2 px2 则 又|OA|=|OB|,所以 12+y12=x22+y22 ,所以x 即 x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0, y
∴ y1 = 2 3 p,| AB |= 2 y1 = 4 3 p.
AB的长为 AB中 例5.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中 5.已知抛物线y=x 动弦AB的长为2 已知抛物线 点纵坐标的最小值。 点纵坐标的最小值。
y
M A D F B
解: 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 y 2 ), AB 中点 M ( x , y )
F O x
x2 = 2py (p>0) > ) y
F O l x
x2 = -2py (p>0) > ) y
O
l x
F
x≥0 y∈R ∈
x≤0 y∈R ∈
x∈R y≥0 ∈
x∈R y≤0 ∈
关于y轴对称 关于 轴对称
对称性 关于 轴对称 关于 轴对称 关于 轴对称 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点 的 的焦点F的 例2、已知过抛物线 、 直线交抛物线于 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 。 两点。 两点
2.4.2抛物线的几何性质讲课

X0 +
— 2
p
y
————————————
O F
. .
M
x
例1.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部 分,灯口直径是60 cm,灯深40cm. 求抛物线 的标准方程和焦点的位置. y A
O
. F
B
x
45 y x, 2
2
45 ,0 8
(是直线AB的倾斜角 )
注意:(2)(3)只适用于 焦点弦
B1
P F( ,0) 2
x
B(x2,y2)
p x 2
y
(5) 以AB为直径的圆 与准线什么关系? 相切
A1
A(x1,y1)
y 2 px( p 0)
2
O
P F( ,0) 2
x
B1
B(x2,y2)
p x 2
y A1 A(x1,y1)
B(1,y) y=-0.5 B到水面的距离为1.5米
不能安全通过
4
练习2某隧道横断面由抛物线及矩形的三 边组成,如图某卡车空车时能通过此隧道, 现载一集装箱,箱宽3米,车与箱共高4.5 米,问此车能否通过此隧道?说明理由.
y x 3m B 6m A 2m
O
(1)设抛物线对应的函数关系式为y=ax2 抛物线的顶点为原点,隧道宽6m,高5m,矩形 的高为2m,
1.范围:
(y2=2px为例)
y M(x,y)
x 0,即曲线在y轴的右侧;
N
2.对称性:
抛物线关于x轴对称
K
抛物线的对称轴叫抛物线的轴.
p x 2
O
p F ,0 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
点,F是抛物线的焦点,则|PA|+|PF|的最小值为( B ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
练习:
课本P72页练习第1题
你学会了吗?
1、范围: 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可 以无限延伸,但没有渐近线; 2、对称性: 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点:抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 4、离心率:抛物线的离心率是确定的,等于1; 5、通径: 抛物线的通径为2P, 2P越大,抛物线的张口 越大. 6、光学性质: 从焦点出发的光线,通过抛物线反射就 变成了平行光束.
y
若点(x,y)在抛物线上,
即满足y2 = 2px,
则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
o
p F ( ,0 ) 2
x
3、顶点
定义:抛物线与坐标轴的 交点称为抛物线的顶点。
y
y2 = 2px
(p>0)中,
o
F( p ,0 ) 2
2
的焦点的距离是5,则P = 2、抛物线
2
4
。
y 4x 的弦AB垂直x轴,若|AB|= 4
3 ,Βιβλιοθήκη 2 则焦点到AB的距离为 。 3、求满足下列条件的抛物线的标准方程:
y 16 x或x 8 y 2 4.点A的坐标为(3,1),若P是抛物线 y 4 x 上的一动
焦点在直线x-2y-4=0上.
令y=0,则x=0.
即:抛物线y2 = 2px (p>0) 的顶点是O(0,0).
x
4 、离心率
y
抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比,叫做抛物线 的离心率。
由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
P(x,y)
o
p F ( ,0 ) 2
x
5、通径
过焦点且垂直于对称轴的弦 AB,称为抛物线的通径, |AB|=2p 利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图. A O B F
⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张 口越大.
例题讲解:
例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点 在坐标原点,并且经过点M(2, 2 2 ),求它 的标准方程。
解: 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐
标原点,并且经过点M(2, 2 2 ), 所以设方程为: 所以: (2
y 2 px ( p 0)
2、 抛物线的标准方程
(1)开口向右 y2 = 2px (p>0) (2)开口向左 y2 = -2px (p>0) (3)开口向上 x2 = 2py (p>0)
(4)开口向下 x2 = -2py (p>0)
P是焦点到准线的距离(即焦准距)
注意:左边是平方,右边是一次; 焦点跟着一次走, 系数为正——正半轴; 系数为负——负半轴。
布置作业
课时跟踪训练(13)
平行光线射到抛物镜面上,经镜面反射后,反射光线都 经过抛物线的焦点,这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。
例2:探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm,灯深 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置。
y
解: 在探照灯的轴截面 所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜 的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.
p | PF || y0 | 2
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px (p>0) y l
x
x2 = 2py (p>0) y
F x
x2 = -2py (p>0) y
x l
(p>0) y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
2
2
又因为点M在抛物线上:
2) 2 p 2 p 2
4x
2 因此所求抛物线标准方程为: y
对应训练:
求适合下列条件的抛物线的方程: (1)顶点在原点,焦点F为(0,5);
x 20 y
2
(2)顶点在原点,关于x轴对称,并且 经过点M(5,-4).
16 y x 5
2
光学性质: 探照灯、汽车前灯的反光曲面,手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面:抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上,通过镜面反射就变 成了平行光束,这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
A
(40,30)
O
B
x
设抛物线的标准方程为:y2=2px 由条件可得A (40,30), 代入方程得: 45 2 解之: p= 4 30 =2p· 40 45 45 2 故所求抛物线的标准方程为: y = 2 x, 焦点为( 8 ,0)
巩固提高:
1、已知点A(-2,3)与抛物线
y 2 px( p 0)
顶点
焦半径
(0,0)
p x0 2
(0,0)
p x0 2
(0,0)
p y0 2
(0,0)
p y0 2
离心率 通径
1 2p
1 2p
1 2p
1 2p
归纳:
(1)、抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它 也可以无限延伸,但没有渐近线; (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条 准线; (4)、抛物线的离心率e是确定的为1,
2.4.2抛物线的简单几 何性质
复习旧知:
圆锥曲线的统一定义:
平面内,到定点F的距离与到定直线l的距离 比为常数e的点的轨迹,
当0<e<1时,是椭圆; 当e>1时,是双曲线 . 当e=1时,是抛物线 .
1、抛物线定义
在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过 点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线. 即|MF|=|MH|
p , p 2
y
y2=2px
2p
x
2p越大,抛物线张口越大.
p , p 2
6、焦半径 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物 线的焦半径。 y 焦半径公式: P(x ,y )
0 0
1、当焦点在x轴上时,
p | PF || x0 | 2
O
F
x
2、当焦点在y轴上时,
讲授新课:
如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质? 类比椭圆和双曲线可以从几个方面来研究?
y
1、范围 由抛物线y2 =2px(p>0)
有
2 px y 0 p0
2
o
F(
p ,0 ) 2
x
x0
所以抛物线的范围为 x 0
2、对称性
( x, y)
关于x轴
对称
( x, y )