固体物理第一章
固体物理_第一至第七章总复习详解
总复习
第二章 晶体结合 一、原子的负电性
负电性＝常数（电离能＋亲和能） 电离能：让原子失去电子所必需消耗的能量 亲和能：处于基态的中性气态原子获得一个电子所放出的能量
负电性大的原子，易于获得电子。 负电性小的原子，易于失去电子。
二、晶体结合的基本类型及其特性
1、离子结合：正负离子之间的库仑相互作用，强键
总复习
一维单原子链
重要结论：
试探解为： xn Aei(tnaq)
色散关系：
w2 2 (1 cosqa)
m
2
m
sin( qa ) 2
m
sin( qa ) 2
中心布里渊区范围： q
a
a
振动模式数目（格波数目）：N
上页 下页 返回 结束
格波
总复习
• 格波：晶体中所有原子共同参与的一种 频率相同的振 动，不同原子间有振动
总复习
第一章 晶体结构
一、晶体的宏观特性：周期性、对称性、方向性（各向异性）
二、晶体的微观结构
1. 空间点阵（布拉伐格子） 基元、布拉伐格子、格点、单式格子、复式格子 晶体结构＝基元＋空间点阵 布拉伐格子（B格子）＝空间点阵 复式格子＝晶体结构 复式格子≠B格子
2.原胞 初基原胞、基矢、威格纳－赛兹原胞（W－S原胞，对称
位相差，这种振动以波 的形式在整个
晶体中传播，称为格波
xn Aei(tnaq)
上页 下页 返回 结束
3. 一维双原子链 总 复 习
mM 2n-2
2n-1 2n
2n+1 2n+2 2n+3
Ⅰ. 体系：N个原胞，每个原胞中包括2个原子 (m1=M, m2=m, M>m)。
固体物理第一章晶体结构分解
3、结点
空间点阵学说中所称的点子，代表着
结构中相同的位置，称为结点。
是一种数学上的抽象
如果晶体由完全相同的一种原子组成， 结点一般认为是原子本身的位置，也可 以将原子周围相应点的位置看作为结点
如果晶体中含有数种原子，则 将基元的重心选择为结点
意味着结 点可以是 格点也可 以不是格
点
4、点阵 结点在空间周期性排列的总体，称为点阵
作业 1、 2、
3、以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体 心和面心晶体中的原子数之比
§1.4 空间点阵
空间点阵学说 (19世纪布喇菲) 空间群理论
反映了晶体内在结构长程有序的特征 其正确性为X射线工作所证明 两者结合形成了关于晶体几何结构的完备理论
1、基元
晶体可以由一种或多种原子（或离子）组成， 它们构成晶体的基本结构单元，称为基元。
例1：布喇菲格子为二维斜方格子、基元为2个原子
例2：布喇菲格子为三维斜方格子、基元为1个原子 例3：布喇菲格子为二维斜方格子、基元为多个原子
3）用原点表示原子的位置， 即得到简单立方格子
配位数为6
原子层 原子层 原子层
2、 体心立方
1）原子球按正方形Ｂ原子层
2）将B层原子放在Ａ层四个原子的 间隙里，第二层的每个球和第一层的 四个球紧密相切，如图，按AB AB AB ….次序沿垂直于层面方向叠加起 来就得到体心立方。体心立方原胞如 图所示
二、 晶体的外形特征
晶体最显著的特征是晶面有规则、对称地配置。
一个理想完整的晶体，相应的晶面的面积相等。 外形的对称性是晶体内部粒子间有序排列的反映
三、 晶体的解理性
指的是晶体具有沿某些确 定方位的晶面劈裂的性质
相应的晶面称为晶体的解理面，显露在 晶体外面的晶面往往是一些解理面。
固体物理 第一章 晶体结构 晶格的周期性
Ch1晶体结构 1.2晶格的周期性
1
前课回顾
• 什么是晶格？什么是基元？ • 常见的晶格结构？
2
本节内容
• 晶格具有周期性，用原胞和基矢描述。 • 原胞：一个晶格最小的重复单元。 • 晶体学单胞（晶胞）：反映晶格对称性，选取较大的
周期单元。
• 基矢：原胞或晶胞的边矢量，α1、α2、α3 。 • 简立方、面心立方、体心立方、六角密堆积的原胞、
34
Click to edit Master title style
Click to edit Master subtitle style
35
Click to edit Master title style
Click to edit Master subtitle style
36
Click to edit Master title style
Click to edit Master subtitle style
42
Click to edit Master title style
晶向、晶面和它们的标志
Click to edit Master subtitle style
43
本课小结
晶体结构=晶格+基元 布拉维格子、基矢、格矢、格点 原胞，晶体中体积最小的周期性重复单元 维格纳-塞茨(WS)原胞及其构造方法 常见的布拉维格子及其WS原胞
原胞是晶体中体积最小的周期性重复单元，常取 以基矢为棱边的平行六面体； 对某一晶格，尽管习惯上常取三个不共面的最短 格矢为基矢，但基矢的取法并不唯一，因此原胞 的取法也不唯一。
无论如何选取，原 胞都具有相同的体 积，每个原胞只含 有一个格点。
固体物理第一章总结
第一章晶体结构1.晶格实例面心立方（fcc）配位数12 格点等价格点数4 致密度原胞基矢：()()()123222aa j kaa k iaa i j=+=+=+原胞体积3123()/4Ωa a a a=⋅⨯=NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl-具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等）简单立方（SC）配位数6 格点等价格点数1 致密度CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl-钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3??氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等体心立方（bcc）配位数8 格点等价格点数2 致密度原胞基矢：123()2()2()2aa i j kaa i j kaa i j k=-++=-+=+-原胞体积：3123()/2Ωa a a a=⋅⨯=体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等六角密堆（hcp）配位数12 两种格点原子数6 基元数3 致密度典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等金刚石结构最近邻原子数4 次近邻原子数12 致密度晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B)*将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等2.晶体的周期性结构基本概念晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同基元：晶体结构中最小的重复单元布拉维点阵（布拉维格子）： 112233R n a n a n a =++ 晶体结构 = 布拉维格子+基元原胞：由基矢1a 、2a 、3a 确定的平行六面体，是体积最小的周期性结构单元，原胞只包含一个格点晶胞：同时计及周期性及对称性的尽可能小的重复单元，原胞实际上是体积最小的晶胞 维格纳-赛茨原胞（WS 原胞）1. 作某个格点与其它格点的连接矢量2. 作所有这些连接矢量的垂直平分面3. 这些垂直平分面围起的凸多面体就是维格纳-赛茨原胞3. 晶向、晶面及其标志晶列（向）指数：[l m n] 晶面指数（米勒指数）：( h k l )米勒指数是以晶胞基矢为基准，而面指数则以原胞基矢为基准标定4. 布里渊区倒格子空间中的维格纳-赛茨（WS ）原胞，即所谓的第一布里渊区,布里渊区包含了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢22h h k G G ⋅= 简单立方的倒格矢（简单立方——简单立方）基矢123a aia aj a ak ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 倒格矢123(2π/a)(2π/a)(2π/a)b i b j b k⎧=⎪=⎨⎪=⎩体心立方晶格的倒格子（体心立方——面心立方）基矢1231()21()21()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b j k a b k i a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩倒格矢可以表示为：1122332331122π[()()()]h G h b h b h b h h i h h j h h k a=++=+++++ 其中（h1 h2 h3）是米勒指数，h G 垂直于米勒指数，其第一布里渊区是一个正十二面体面心立方晶格的倒格子（面心立方——体心立方）基矢1231()21()21()2a a j k a a k i a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b i j k a b i j k a b i j k a ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩第一布里渊区为截角八面体即5. 晶体的宏观对称性xx xy xz x x y yx yy yz y z zx zy zz z D E D E D E εεεεεεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于所有立方对称的晶体中，介电常数是一个对角张量：0 (,,,)x y z αβαβεεδαβ==该结论适用于一切具有二阶张量形式的宏观性质 (如电导率、热导率)六角对称的晶体中，若坐标轴选取在六角轴的方向和与它垂直的平面内，则介电常数有如下形式// 0 00 00 0 εεε⊥⊥⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，//////D E ε=， D E ε⊥⊥⊥=，六角对称的晶体有双折射现象对称操作（正交变换：旋转、中心反演、镜面反映） 1. 旋转绕 z 轴旋转 q 角的正交矩阵cos sin 0sin cos 0 0 0 1θθθθ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，中心反演的正交矩阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭由于cost = (1 - m)/2 所以 m = -1 0 1 2 3，所以t = 0 2π/6 2π/4 2π/3 2π/2，没有所谓的5度轴和7度轴。
固体物理-第一章
•
ai
aj
ak
•
•
•
•
顶角8个格点→8×1/8=1个原 子；→平均包含1个原子
原胞的体积 V a1 (a2 a3 ) a3
➢晶体的周期性
面心立方晶胞
晶
胞
的
ABC ABC 排列（立方密堆）
选
取
a1
a 2
jk
顶角8个格点→8×1/8=1个原子；面心6个原 子→6×½=3个原子；→平均包含4个原子
1.1 晶体的周期性
1.1.1 常见的晶体
沸石晶体
方沸石
化学式：RR[Alx+2ySin-(x+2y)O2n]·mH2O含水架状结 构铝硅酸盐矿物，单斜和正交（斜方）晶系为主。 式中R代表碱金属离子，基本上为K+或Na+。
菱沸石
纯净的各种沸石均为无色或白色，但可因混入杂质而呈各种浅色。玻璃光泽。解 理随晶体结构而异。沸石的晶体结构是由硅（铝）氧四面体连成三维的格架，格架中 有各种大小不同的空穴和通道，具有很大的开放性。碱或碱土金属子和水分子均分布 在空穴和通道中，与格架的联系较弱。不同的离子交换对沸石结构影响很小，但使沸 石的性质发生变化。晶格中存在的大小不同空腔，可以吸取或过滤大小不同的其他物 质的分子。工业上常将其作为分子筛，以净化或分离混合成分的物质 ，如气体分离、 石油净化、处理工业污染等。此外沸石还具有独特的吸附性、催化性、离子交换性， 离子的选择性、耐酸性、热稳定性、多成份性、及很高的生物活性和抗毒性等。
1.1.3 基本概念
晶体的特点：晶体具有规则 的几何外形，固定的熔 点，某些晶体具有一定 的解理性。
周期性：晶体中 微粒的排列按照 一定的方式不断 的做周期性重复 的性质，称为晶 体结构的周期性。
固体物理第一章1
晶格物理性质周期性（平移对称性）：
Γ (x+na) = Γ (x)
上式表示原胞中任一处x的物理性质，同另一原胞相应处的物 理性质相同。
原子
一维的喇菲格子
例：一维复式格子
定义：晶格中含有n(n≥2)类原子，其周围情况不一样，它们组成一维无
限周期性点列，周期为a。 原胞：长为a的一根直线段，一类原子在其两端点，其余原子在线段上。 每个原胞含n个原子。 周期性： Γ (x+na) = Γ (x)
晶体分单晶体和多晶体
单晶体( Single Crystal ) 原子排列的周期性是在整个固体内部存在的；无限大的严格的单 晶体可以看成是完美晶体。 多晶体( Multiple Crystal ) 由很多不同取向的单晶体的晶粒组成的固体；仅在各晶粒内原子 才有序排列，不同晶粒内的原子排列是不同的。
单晶体是个凸多面体，围成这个凸多面体的面是光滑的，称 为晶面。 晶面的大小和形状受晶体生长条件的影响，它们不是晶体品 种的特征因素。
1 a 1 ( a b c ) 2 1 a 2 (a b c ) 2 1 a 3 (a b c ) 2
a a1 ( i j k) 2 a a 2 (i - j k) 2 a a 3 (i j k) 2
四、各向异性
晶带：单晶体的晶面排列成带状，晶面的交线（称为晶棱）互相平行， 这些晶面的组合称为晶带。晶棱的方向称为带轴。 晶轴：重要的带轴，互相平行的晶棱（晶面的交线）的共同方向。
各向异性： 晶体的物理性质，常随方向不同而有量的 差异，晶体所具有的这种性质——各向异性。
如介电常数、压电常数、弹性常数等。
固体物理第一章
1第一章晶体结构Crystal Structure§1.4 晶向与晶面§1.2 晶格实例§1.3 晶体的周期性§1.5 倒格子§1.6 晶体的对称性对称操作§1.7 晶系布拉伐格子§1.1 晶体的宏观特征一切晶体又都具有一些仅决定于其内部结构的宏晶体物质在适当的结晶条件下都能自发地成长为单晶体,发育良好的单晶体均以平面作为它与周围物质的界面,而呈现晶体外形图TT0非晶体晶体t2.不同晶体之间,只要原子规则排列形式相同,只是原子间距不同,则具有相同的晶格结构(Cu和Ag,Ge和Si).§1.2 晶格实例2.体心立方(bcc:body-centered11cubic):Li,Na,K,Rb,Cs,Fea1r Δ=0.3 0体心立方单元堆积方式原子球不是紧密靠在一起的:(4r0)2=3a2 ∴ Δ = a - 2r0 = 0.31r0§1.2 晶格实例3.密堆积(close-packed structure)12六角密排面心立方六角密积的排列顺序为:ABAB..., (Be,Mg,Zn,Cd) 立方密积的排列顺序为:ABCABC...(Cu,Ag,Au,Al)§1.2 晶格实例密堆积典型单元13六角密积单元hexagonal close-packed面心立方单元face-centered cubic§1.2 晶格实例从面心立方单元的 中心到顶角引8条对角 线,在其中互不相邻的 4条对角线的中点各加 一原子 每个原子有4个最近 邻,它们正好在一个正 面体的顶角144.金刚石结构(diamond structure):金刚石,Si,Ge§1.2 晶格实例1.2.3 化合物晶体结构151.NaCl型结构:Cl-和Na+各自组成面心立方结构, 沿轴向平移1/2套构.ClNa+NaCl的套构NaCl单元§1.2 晶格实例162.CsCl型结构:Cl-和Cs+各自组成简立方格子,彼此 沿立方体空间对角线位移1/2长度套构.ClCs+CsCl的套构CsCl单元§1.2 晶格实例173.闪锌矿型结构(zincblende structure):与金刚石 结构相仿,只不过在金刚石晶格立方单元的对角线和 面心立方位置上放置不同种原子(ZnS,GaAs,InSb).§1.3 晶格的周期性181.3.1 固体物理学原胞(primitive unit cell) 1.定义:为反应晶体的周期性而选取的最小重复单元 2.举例: (1)一维:线段a基元:数种原 子构成的基 本结构单元Ov a v a(a)一维简单格子aO(b)原胞v aO(a)一维复式格子(b)原胞结论:原胞中的原子数=基元中的原子数§1.3 晶格的周期性(2)二维:平行四边形19r a21r a1r a2 r a12 4r a23r a1结论:(1)原胞有各种选取方法,但应是最小的重复单元 (2)不同方法选取的原胞其面积相等 r r 基矢(primitive vector):原胞的边矢量 a1 , a2§1.3 晶格的周期性● 简立方：原胞为立方单元.原胞的基矢为：20(3)三维:平行六面体.但原胞的选取有习惯规则。
固体物理第一章总结完全版
第一章 晶体的结构一、本章内容1、晶体的共性 ( crystal characters )2、晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry ）3、晶列和晶面（crystal array and plane ）4、晶体的宏观对称性（crystal symmetry ）二、本章要求1、掌握晶体的特征。
晶格周期性的描述方法：基元、布拉菲格子、原胞、基矢的概念。
简单格子与复式格子，原胞、晶胞的概念与选取。
常见晶格结构及其代表晶体。
2、掌握晶列与晶面，晶向指数与晶面指数（密勒指数）的含义与确定方法。
3、熟悉晶体的对称操作、对称素的概念，晶体点群的基本知识。
七大晶系与十四种布拉菲格子。
三、本章知识框图s bcc fcc ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎨⎩定义：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体长程有序性自限性和晶面角守恒定律晶体的共性各向异性固定熔点晶格定义：晶体中原子排列的具体形式简立方结构（c ）体心立方结构（）（Li,Na,K,Rb,Cs,Fe ）六角密排结构（hcp ）（Be,Mg,Zn,Cd ）密堆积结构面心立方结构（）（Cu,Ag,Au,Al ）常见的晶体结构金刚石结构（Ge,Si ）NaCl 晶体晶体的结构C =ηη⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩结构sCl 结构闪锌矿结构钙钛矿结构一个原子的周围最近邻的原子数配位数：配位数反映原子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大描述晶体紧密程度的物理量致密度，或堆积因子是指晶胞中所有原子的体积与晶胞体积之比；致密度：晶胞中原子的体积之和公式表示：晶胞体积在整体范围单晶体分类⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎩内原子排列都是规则的晶带：在晶体中有一些晶面的交线(晶棱)互相平行，这些晶面称为一个晶带带轴：相互平行的晶棱的共同方向称为带轴多晶体：由许多单晶体构成，在个晶粒范围内，原子排列是有序的点阵：晶体的内部结构，可以概括为有一些相同的化学质点在空间有规律地作周期性的无限分布。
固体物理-第一章
B
C
(3)金刚石晶格
金刚石和石墨 金刚石由碳原子构成，在一个面心立方 原胞内还有四个原子，这四个原子分别 位于四个空间对角线的 1／4处。一个碳 原子和其它四个碳原子构成一个正四面 体。
金刚石晶格
c
c
金刚石晶格是由两个面心晶格重叠相嵌而成。两个面心立方 子晶格沿体对角线位移1/4的长度套构而成,
ak
a1
aj
a2 a3
ai
典型的晶体结构
结构型 单胞中的 原子在单胞 最近邻 原子个数 中的位置 距离 配位数
(Cu)
fcc
4 2
Cs+ 1
bcc
11 ( (000) 0) 22 1 1 ( 0 ) (0 1 1 ) 2 2 22
2a 2 3a 2 3a 2
12
(W)
(000)
11 1 ( ) 22 2
§1.1
一些晶格的实例
一、晶格（晶体的格子）中原子排列的具体形式。
（1）考虑原子球层的正方排列形成的晶格结构
原子正方排列: 把原子看成原子球，一层层排列，一个原子与相邻原 子组成正方形，每层都为正方排列.
如此堆积而成的晶格分为两类：
（i） 简单立方晶格
原子球规则排列最简单的形式为正方排列，如果把这样的原子层叠起来，各层的 球完全对应，上下对称，为简单立方晶格。
(1 ,2 ,3 )为一组整数
对于金刚石晶格，面心立方顶点位置的原子的位置：
1 a1 2 a 2 3 a 3
面心立方体对角线1/4处位置的原子位置： 1 a1 2 a 2 3 a 3 r 一组 1 a1 2 a 2 3 a 3 可以包括所有的格点 布拉伐格子： 由 1 a1 2 a 2 3 a 3 确定的空间格子 任一点的位矢 r，V(r ) V(r 1 a1 2 a 2 3 a 3 )，
固体物理第一章课件
1
3
E = V ∫0 g ( E ) EdE = V ∫0
F
E
E
F
E 2m3 2m3 E 2m 3 2 2 F 2 EdE = V E dE = V E ∫ 0 π2ℏ 3 π2 ℏ 3 π2 ℏ 3 5 F
3
5
E=3E N 5 F
能态密度的更一般形式
g ( E )= dN dE
E k =const.
NZ NZ NZ
自由电子模型的物理思想
◆ 自由电子近似 离子静止，忽略电子和离子实之间的相互作用，电子运动范围 仅受限于晶体表面势垒，被限制在晶体内部 ◆ 独立电子近似 忽略电子和电子之间的相互作用 ◆ 驰豫时间近似
Zn Zm ℏ2 e2 H= −∑ ∇n 2 + ∑′ 1 2 n, m 4πε0 R − R n =1 2M n n m Zn e2 ℏ 2 2 e2 1 1 1 −∑ ∇i + ∑′ −∑∑ 2 i =1 2m i , j 4πε r − r i =1 n=1 4πε r − R i 0 i 0 i j n
kF = 3π2 ne
ℏ 2 kF 2 2m
1/3
108cm -1 2~10eV
费米能量：
EF=
费米动量： 费米速度： 费米温度：
pF = ℏk F
υF = ℏkF /m T F = EF / k B
108cm/s 104 ~105 K 参见表 1.1
单位体积内的平均能量
T=0时，单位体积内的平均能量为：
Drude 模型：应用经典力学，服从经典统计，麦克斯韦- 玻耳兹曼分布 Sommerfeld 模型：应用量子理论，服从量子统计，费米-狄拉克分布
f ( E )= e
固体物理基础第1章-晶体结构
ˆ a3 ck
*
*
一个原胞中包含A层
和B层原子各一个 共两个原子
六角密排晶格的原胞和单胞一样
第一讲回顾
什么是固体？ 研究固体的思路？复杂到简单
为什么从研究晶体开始？ 原胞的选取唯一吗？
1-3 晶格的周期性
1.3.3 复式晶格
• 简单晶格：原胞中仅包含1个原子，所有原子的几何位置和化 学性质完全等价 • 复式晶格：包含两种或更多种等价的原子(或离子) * 两种不同原子或离子构成：NaCl, CsCl * 同种原子但几何位置不等价：金刚石结构、六方密排结构
管原子是金或银还是铜，不管原子之间间距的大小，那他们是完全相 同的，就是他们的结构完全相同！
数学方法抽象描写：不区分物理、化学成分，每个原子都是不可区分
的，只有原子（数学上仅仅是一个几何点）的相对几何排列有意义。
1-2 晶格
• 理想晶体：实际晶体的数学抽象 以完全相同的基本结构单元（基元）规则地，重复的以完 全相同的方式无限地排列而成 • 格点（结点）：基元位置，代表基元的几何点 • 晶格（点阵）：格点（结点）的总和
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向
晶向指数
晶向指数
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向 简单立方晶格的主要晶向
# 立方边OA的晶向
立方边共有6个不同的晶向<100>
# 面对角线OB的晶向
面对角线共有12个不同的晶向<110>
# 体对角线OC晶向
体对角线共有？个不同的晶向<111>
1-4 晶向和晶面
1-3 晶格的周期性
Wigner-Seitz 原胞
以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些 中垂面所包含最小体积的区域为维格纳-赛兹原胞
固体物理第一章金属电子气体模型
⇓ ⇓ ⇓
为计算方便,设金属是边长为 L 的立方体， 内有N个原子，一个原子提供1个价电子。 则金属的体积: V=L3 自由电子数目为：N 由自由电子气体模型， N 个原子和N 个电子 的多体问题转化为单电子问题。 按照量子力学假设，单电子的状态用波函 数 Ψ (r ) 描述,且满足薛定谔方程。
1.薛定谔方程及其解
(3)价电子速度服从费米—狄拉克分布—自由电 子费米气体 （free electron Fermi gas) (4)不考虑电子和金属离子之间的碰撞 (No collision) 2.电子密度 理想气体在温度恒定下可用气体密度来描述， 与此类似，自由电子气体模型也可用电子密度 n来描述，而且，n是唯一的一个独立的参量。 电子的能量、动量、速度等都可以写成n的 数。
k
为波矢，其方向为平面波的传播方向 的大小与电子的德布罗意波长的关系为：
k
k =
2π
λ
把波函数
1 ik ⋅r ψ k (r ) = e 代入薛定谔方程 V
2 2
得到电子的本征能量：
k = 2 2 2 (k x + k y + k z ) ε = 2m 2m
2. 电子的动量 将动量算符
2
ˆ p = −i ∇
(3) 发展—1904年洛仑兹发展了这个理论：认 为金属中的电子不仅是自由的，而且遵守麦— 玻统计规律，同时认为电子和金属离子的碰撞 是弹性的。从而半定性地解释上述问题。 (4) 困难--(a) 根据经典统计的能量均分定 理，N个价电子的电子气有3N个自由度，它们 对热容的贡献为3NkB/2,但对大多数金属，实验 值仅为这个理论值的1% 。 (b) 根据这个理论得出的自由电子的顺磁磁 化率和温度成正比，但实验证明，自由电子的 顺磁磁化率几乎与温度无关。（第三节）
固体物理学第一章1
选取原胞的另一种方式如下：用直线连接一个给定格点的所有近邻格点，在这些 连线的中点作垂直平分线或垂直平分面，这样所包围的最小体积就是维格纳-塞茨 原胞（Wigner-Seitz cell）。
赵铧
16
简单立方晶格的立方单元已是最小的周期性单元，所以就取它为原胞，晶 格基矢1， 2， 3 就沿三个立方边，长短相等：
六角密排晶格的原胞
六角密排晶格的典型单元
Be, Mg, Zn, Cd 等金属
具有六角密排晶格结构
赵铧
7
4. 金刚石晶格
由面心立方单元的中心 到顶角引8条对角线, 在 其中互不相邻的4条对角 线的中点,各加上一个原 子, 就得到金刚石晶格 结构
其特点: 每个原子有4个 最近邻, 它们正 好在一个正四 面体的顶角 A
B
AB
A B
金刚石晶格结构的典型单元
赵铧
8
5. 化合物晶体的结构
(1) 岩盐NaCl晶体结构
它好象是一个简单立方晶格, 但是, 在每一行相间地排列着 正的Na+离子和负的Cl–离子.
碱金属 Li, Na, K, Rb 和卤 族元素 F, Cl, Br, I 的化合物 都具有 NaCl 晶体结构.
Na+
Cl–
Na+
Cl–
NaCl晶格结构中的典型单元
赵铧
9
(2) CsCl晶体结构
它好象一个体心立方, 体心位置有一种离子, 顶角为另一个离子.
体心位置和顶角位置 完全等价, 各占一半, 正好容纳数目相等的 正,负离子.
Cs+ ( Cl– )
Cl– ( Cs+ )
固体物理学：第一章 第一节 晶格及其平移对称性
其它晶体结构
Ruddlesden-Popper structures层状结构
Pyrochlores 烧绿石结构
Rutile 金红石结构
一维晶格
一维单原子链 一维双原子链
二维？
简单晶格和复式晶格
简单晶格：只有一个不等价原子，如sc, bcc, fcc等。 复式晶格：存在2个或者2个以上的不等价原 子，hcp, 金刚石结构，NaCl, CsCl，ZnS, ABO3结构。
a
a1 i j k 2
a
a2 i j k 2
a
a3 i j k 2
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
fcc点阵
面心立方以顶点为原点，到其近邻的三个面 心为基矢。立方体的边长为a。
a1 a2
a
a1 j k 2
a
a2 i k 2
a 3 a i j 2
三种常见的元胞
初基元胞（primitive cell）
初基元胞是一个空间体积，当通过所有 的平移矢量平移时，它可以正好(既无多余， 有无重叠)填满整个空间。由基矢 a1,a2,a3 所 确定的平行六面体就是初基元胞，其体积为：
Ω a1 a2 a3
由于基矢选择不唯一，所以初级元胞选择也 不唯一。但对于每一种点阵，通常都有一个 公认的基矢和初级元胞选择方法
1个原子，1个不等价原子 配位数： 6 堆积效率(packing efficienty) f = 0.53
该结构中，所有原子完全等价，不管以哪个原 子作为原点，其晶体结构式完全一样的。
体心立方(bcc, body-centered cubic)
在简单立方的基础上，将一个相同原子放在立方体 中心，便得到体心立方晶体结构。
简单晶格中，从一个原子平移到任意另一个原子 ，晶格完全复原。而复式晶格中，这种任意的平 移，晶格不一定能复原。
固体物理第一章总结
第一章晶体结构和X射线衍射1.1晶体的特征微观特征固体分类(按结构)晶体长程有序分为单晶体和多晶体准晶体有长程取向性,而没有长程的平移对称性。
非晶体不具有长程序的特点，短程有序。
长程有序：至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。
宏观特征自限性、晶面角守恒、解理性、均匀性、晶体的各向异性、对称性、固定的熔点。
晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的，即晶体的宏观特性是微观特性的反映。
晶体结构及其描述一、晶体结构一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重复排列而成的。
所有晶体结构可以用晶格来描述，这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为基元,基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。
1.晶格+基元=晶体结构(1)晶格晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限分布，这些点子的总体称为晶格。
用矢量表示为：),,(321332211取整数nnnnnn++=所对应的点的排列。
晶格是晶体结构周期性的数学抽象。
(2)基元在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为基元。
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。
(3)格点晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为格点。
一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。
晶格+基元=晶体结构二、原胞的分类1.固体物理学原胞(简称原胞)构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。
特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。
它反映了晶体结构的周期性。
基矢：固体物理学原胞基矢通常用表示。
体积：()321aaaΩ⨯⋅=2.结晶学原胞（单胞、晶胞、惯用晶胞）构造：使三个基矢的主轴尽可能地沿空间对称轴的方向。
它具有明显的对称性和周期性。
特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。
固体物理学第一章
金刚石的配位数为 4；
2. 简单化合物晶体 NaCl结构
典型晶体：NaCl、LiF、KBr
CsCl结构 典型晶体：CsCl、CsBr、CsI
闪锌矿结构
在晶胞顶角和面心处的原子与体内原子分别属 于不同的元素。 许多重要的半导体化合物都是闪锌矿结构。典型 晶体：ZnS、CdS、GaAs、-SiC
特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上 及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。 基矢：结晶学原胞的基矢一般用 a , b, c 表示。 体积为：
v a bc n Ω
(3)维格纳--塞茨原胞 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中
垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积
二、学科领域
固体物理研究固体材料中那些最基本的、有普 遍意义的问题。形成许多分支学科。 晶格结构 理想晶格 晶格动力学 晶格理 晶格热力学 论 实际晶格理论 固 能带理论（包括电磁场中的电子运动） 体 电子理 物 金属中的自由电子气 论 理 功函数、接触电势等 输运理论 ：电子与晶格的相互作用 固体物理分论: 半导体、磁学、超导、非线性光学
本课程学习内容
1、描述晶体周期性的基本方法，典型的晶 格结构。 2、固体的结合力（四种） 3、晶格动力学
4、晶体中电子运动规律（能带理论，自由 电子气） 5、介绍一些典型固体材料的性质
第一章 晶体结构
晶体的宏观性质
1. 周期性－－从原子排列的角度来讲 (均一性 ――从宏观理化性质的角度来讲） ；
规则结构，分子或原子按一定的周期性
长程有序性，有固体的熔点。E.g. 水晶 岩盐
非晶体：非规则结构，分子或原子排列没有一定的周 期性。 短程有序性，没有固定的熔点。 玻璃 橡胶 准晶体: 有长程的取向序，沿取向序的对称轴方 向 有准周期性，但无长程周期性 没有缺陷和杂质的晶体叫做理想晶体。缺陷: 缺陷是指微量的不规则性。
固体物理_第一章（1.4晶向、晶面指数）
固体物理_第⼀章（1.4晶向、晶⾯指数）第1章晶体结构1.1 晶格的周期性1.2 典型晶格实例1.3 晶格的对称性1.4 晶向、晶⾯指数1.5 倒格⼦、布⾥渊区和晶体散射1.4.1 晶列指数（晶胞中）特别性质：所有平⾏晶列组成晶列族，包含所有格点晶列上的格点也是周期性的，且每⼀列格点分布⼀致同⼀个截⾯内，晶列是平⾏等距的晶列：连接任意格点的平⾏直线晶向：晶列的取向晶列指数：晶向的⽮量表达1.4.2 晶⾯指数（密勒指数）*平⾏的晶⾯组成晶⾯族，晶⾯族包含所有格点；* 晶⾯上的格点分布具有特定周期性，是⼆维格⼦* 同⼀族晶⾯中，每⼀个晶⾯的格点分布⼀致* 同⼀族晶⾯中，相邻晶⾯平⾏等距：系列平⾏等距晶⾯构成晶族晶⾯：晶格中任意三个不在同⼀直线上的格点决定的平⾯向与晶⾯正交（即为该晶⾯的法向⽮量）：⽤平⾯的法线式⽅程可证明若截距为负数，则对应指数头上加“-”号等效晶⾯常⽤⼤括号表⽰{hkl}，例如(100)，(010)统⼀⽤{100}表⽰，同样包括{110}、{111}晶⾯；晶⾯指数较⼩的⾯，⼀般为解理⾯晶⾯指数可⽤于计算两个⾯之间的夹⾓等效于法线⽮量的夹⾓：⼆者内积/模的乘积晶⾯指数可⽤于计算两个⾯之间的间距：等效于离原点最近的晶⾯上任意⼀点的格⽮长度，在法线⽅向的投影即，假设基⽮长度分别为a、b、c，晶⾯指数为(h, k, l)，则对应⽴体坐标系下的截距分别为a/h, b/k, c/l，继⽽，该晶⾯的法线⽮量为(h/a, k/b, l/c)，写成⽅向向量为(h/a, k/b, l/c)222选择在a轴上的截距，在法线的投影，即a/h在⽅向的投影d222。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含1 个格点。基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
Cl-的坐标为 1 1 1 ， Cs+的坐标为 (000)。
2 2 2
基元中的原子数目可以是一个，也可以是多 个。基元中第j个原子的中心位置相对于一个 格点，可以表示为：
2. 宏观对称性； 3. 各向异性和解理性。例如，云母的解理性； 4. 有固定的熔点。
§1－1 一些晶格的实例
几种常见的晶体结构 1. 元素晶体
一维
二维
二维正方堆积
二维密排堆积
三维 a. 较松散的堆积 ➢ 简单立方（simple cubic, sc）堆积
➢ 体心立方（body-centered cubic, bcc） 堆积 典型晶体：Li、Na、K、-Fe
固体物理学原胞的体积 Ω a3
(b)面心立方
ak
a1
a2 a j a3
ai
a
a1 j k 2
a
a2 i k 2
a 3 a i j 2
平均每个布拉伐原胞包含4个格点。
固体物理学原胞的体积 Ω a1 a2 a3 1 a3 4
(c)体心立方
ak
a1
a2 aj
ai
a3
其中 m,n, p 为有理数,将 m,n, p化为互质的整数 m,n,p,
记为[mnp]，[mnp]即为该晶列的晶列指数.
例1：如图在立方体中，a i,b j,c k
E
D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。 A
解： OB i , OE i j k,
BE OE OB j k
晶列BE的晶列指数为：[011]
长程有序性，有固体的熔点。E.g. 水晶 岩盐
➢ 非晶体：非规则结构，分子或原子排列没有一定的周 期性。
短程有序性，没有固定的熔点。 玻璃 橡胶
➢ 准晶体: 有长程的取向序，沿取向序的对称轴方 向
有准周期性，但无长程周期性 没有缺陷和杂质的晶体叫做理想晶体。缺陷: 缺陷 是指微量的不规则性。
晶
非
体
原胞内任一点的位矢表示为：
r x1a1 x2 a2 x3 a3 0 x1, x2 , x3 1
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
r r R 其中R为某一格点的位矢,
Rl
l1 a 1
l
2
a
2
l
3
a
3
l1
,
l
2
,
l
Hale Waihona Puke 为3整数(2)结晶学原胞（简称单胞）
构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方
向，它具有明显的对称性和周期性。
晶胞
除了周期性外，每种晶 体还有自己特殊的对称 性。为了同时反映晶格 的对称性，往往会取最 小重复单元的一倍或几 倍的晶格单位作为原胞。 结晶学中常用这种方法 选取原胞，故称为结晶 学原胞，简称晶胞（也 称为单胞）。
例：二维三角晶格
特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上
固体物理分论: 半导体、磁学、超导、非线性光学
本课程学习内容
1、描述晶体周期性的基本方法，典型的晶格 结构。 2、固体的结合力（四种）
3、晶格动力学
4、晶体中电子运动规律（能带理论，自由电 子气） 5、介绍一些典型固体材料的性质
第一章 晶体结构
晶体的宏观性质
1. 周期性－－从原子排列的角度来讲 (均一性―― 从宏观理化性质的角度来讲） ；
氯化钠结构属面心立方。
氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的 选取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4 个格点。
基元由一个Cl-和一个Na+组成。
Cl-的坐标为 1 1 1 ， Na+的坐标为 (000)。
2 2 2
(c)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶
记为[ l1l2l3]， [l1l2l3 ]即为该晶列的晶列指数。
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示 l1 1, l2 2, l3 1
[l1,l2,l3]晶列上格点的周期= ?
(2)以布拉维原胞基矢表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R ma nb p c a ,b ,c 为布拉维原胞基矢
复式晶格
SC + 双原子基元
fcc + 双原子基元
由同种原子构成的金刚石晶格也是复式晶格。
1 2
3
1
1
4
41
2
1
32
4
4
1 2
A类碳原子 的共价键方 向
B类碳原子 的共价键方 向
hcp也是复式晶 格。
复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简 单晶格相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌 套而成。
在晶胞顶角和面心处的原子与体内原子分别属于不 同的元素。
许多重要的半导体化合物都是闪锌矿结构。典型晶 体：ZnS、CdS、GaAs、-SiC
§1.2 晶格的周期性
一、晶格与布拉伐格子 1. 晶格：晶体中原子（或离子）排列的具体形式。
2. 布拉伐格子(空间点阵） ➢布拉伐格子：一种数学上的抽象，是点在空间中周期性的规则排列。 ➢格点：空间点阵中周期排列的几何点。所有点在化学、物理和几 ➢何环境上完全相同。 ➢基元：每一个格点所代表的物理实体。
及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。
基矢：结晶学原胞的基矢一般用 a, b, c 表示。
体积为： v a b c n Ω
(3)维格纳--塞茨原胞 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中
垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积 (或面积)即为W--S原胞。
特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1 个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。
2.几种晶格的实例 (1)一维原子链 一维单原子链
a
x na x 0 x a
一维双原子链
b a
(2)二维
(a)
(b)
a2 a1
a4 a3
a6
a5
固体物理学原胞
a8 a7
维格纳--塞茨单胞
(3)三维
c
b
Oa
C
D B
求AD的晶列指数。
E
OA k , OD i 1 j , 2
AD OD OA i 1 j k 2
AD的晶列指数为: [212] 注意:
A
c
b
Oa
C
D B
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1)
(2)晶列指数用方括号表示[ ]； 晶列[11-1]
配位数：一个原子周围最近邻原子的数目。 对于体心立方（bcc）配位数 为8。
b. 密堆积： ➢ 面心立方（face-centered cubic, fcc）堆积
排列方式： ABCABC (立方密堆积)
典型晶体： Cu、Ag 、Au、Ca、Sr、Al、
fcc的配位数为12；
➢ 密排六方（ hexagonal close-packed, hcp ）堆积 排列方式： ABABAB (六方密堆积)
构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个
不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理 学原胞。
特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格 点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构
的周期性。
基矢：固体物理学原胞基矢通常用a1 , a2 , a3 表示。
体积为： Ω a1 a2 a3
典型晶体：Be、Mg、Zn、Cd、Ti
hcp的配位数为12；
c. 金刚石结构： ➢ 金刚石结构
典型晶体：金刚石、Si、Ge 金刚石的配位数为 4；
2. 简单化合物晶体 ➢ NaCl结构
典型晶体：NaCl、LiF、KBr
➢ CsCl结构 典型晶体：CsCl、CsBr、CsI
➢ 闪锌矿结构
a
a1 i j k 2
a
a2 i j k 2
a
a3 i j k 2
平均每个布拉维原胞包含2个格点。
固体物理学原胞的体积 Ω a1 a2 a3 1 a3 2
复式格
(a)金刚石结构
cc 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4 的长度套构而成,其布拉伐晶格为面心立方。
rj x ja1 yja2 z ja3
xj
,
yj
,
和z
的取值在
j
0 xj, yj, zj 1
晶胞中原子所占的体积 堆积系数 ＝
晶胞体积
fcc结构
4R 2a
每个晶胞有 8×1/8+6×1/2=4个 原子
致密度
原子所占体积 晶胞体积
4 3
R3 a3
4
4 3
22
43 a3
a3
4
2 0.74 6
主要参考书
• 黄昆，韩汝琦.《固体物理》,高教出版社. • Charles Kittel. Introduction to solid state
physics. (中文版第8版, 或直接看英文原版） • 方俊鑫，陆栋. 《固体物理学》（上）, 上
海科学技术出版社. • 阎守胜.《固体物理基础》, 北京大学出版社.
绪论
一、固体物理学的研究对象
固体的结构及其组成粒子（原子、离子、分子、 电子等）之间相互作用与运动规律，以阐明其性 能和用途。