【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习章末检测：第三章导数及其应用

合集下载

【新步步高】高考数学北师大版(理)一轮复习第3章导数及其应用高考专题突破一高考中的导.doc

高考专题突破一高考中的导数应用问题■Ｉ考点自测快速解答自查自纠1.(2015-课标全国II)设函数(x)是奇函数./(x)(xWR)的导函数，./(一1)=0,当x>0时，xf (x) —沧)<0,贝ij使得.心)>0成立的x的取值范围是()A.(—I —1)U(O,1)B.(-1,O)U(1, +oo)C.(—8, -1)U(-1,O)D.(O,1)U(1, +8)答案Afix' 解析因为,/(x)(xeR)为奇函数，/(—1) = 0,所以/(—1) = 0.当xHO时，令规力=丫, 则g(x)为偶函数，且g(l)=g(—1)=0.则当x>0时，丈(力=庠尊'=护(￥金)vo,故g(x) 在(0, +°°)上为减函数，在(一8, 0)上为增函数.所以在(0, +°°)上，当0<x<l时，g(x)> g(l)=Oo号>oo/(x)>0；在(一8, 0)上，当x<-l时，g(x)<g(—l)=0o￥<0o/(x)>0.?A综上，使得/(x)>0成立的x的取值范围是(一8, -1)U(O,1),选A.2.若函数^x)=kx~\wc在区间(1, +呵上单调递增，则￡的取值范围是()A.(—8, —2]B.( —8, — 1]C.[2, +8)D.[l, +8)答案D 解析由于.广(x)=?—￡心)=也一lnx在区间(1, +8)上单调递增of(x)=R—￡三0在(1, + oo)上恒成立.由于&丄,而0<丄<1,所以k2\.X X即k的取值范围为[1, +-).3.函数,/(x)=3x2 + lnx-Zr的极值点的个数是()A.O B」 C.2 D.无数个答案A解析函数定义域为(0, +-),_ . , 1 6x2—2x+l且./ (x)=6x+~— 2= - ,由于x>0, 中/ = 一20<0,所以g(x)>0恒成立，故f (x)>0恒成立，即/(X)在定义域上单调递增，无极值点.4.(2015-课标全国I )已知函数/(x)=a0+x+l的图像在点(1, ./⑴)处的切线过点(2,7),则a答案1解析 / (X)=3?X2+1, / (l)=l+3a, ./(l)=a+2.(1, XI))处的切线方程为j-(a+2)=(l+3a)(x-l).将(2,7)代入切线方程，得7-(a+2)=l+3a,解得a=l.2 °25. ____________________ 设函数y(x)=e "Ji，g(x)=亍，对任意兀1，疋丘(0, +°°),不等式赵护w誓吟恒成立，则正数k的取值范围是.答案［1, +°)解析因为对任意X］,兀2丘(0, +°), 不等式嚳W倍恒成立，所以缶三沢迦k k /(X2)min因为g(x)=亍，所以g‘ w=e2_x(l—x).当0<x<l 时，g‘ (x)>0；当x>l 时，g‘ (x)<0,所以g(x)在(0,1］上单调递增，在［1, +8)上单调递减.所以当x=l时，g(x)取到最大值，即g(x)max=g(l)=e.X/(x)=e2x+丄N2c(x>0).X当且仅当e2x=^即兀三时取等号，故./(x)min=2e.Ji V所以如皿皿=2=丄应有一^-3丄力以您)斷2e 2' “驾+1 一2'又￡>0,所以kM\.题型分类对接高考深度剖析题型一利用导数研究函数性质例1 (2015-课标全国II )己知函数./(Q = hu+d(l-r).⑴讨论/(X)的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于2a —2时，求a的取值范围. 解(1)/?的定义域为(0, +-), f (x)=g—a?即心X2+2Xx+1(兀+1)2—x+1若aWO,则产(x)>0,所以/(x)在(0, +8)上单调递增.若a>0,则当炸(0, 时，/⑴>0；当用(￡　+oo)时，f (x)<0.所以/⑴在(0, 上单调递增，在+?>)上单调递减.(2)由(1)知，当G WO时，./(X)在(0, +8)无最大值；当Q>0时，.几￥)在x=+取得最大值，最大值为./(毎=1I￡+Q(1—￡)=—lno+a—1.因此层>2a~2等价于\na+a-i<0.令g(a)=lM + a—1,则g(Q)在(0, +°°)上单调递增，g(l)=0.于是，当0GV1 时，g(a)<0；当时，g(a)>0.因此，G的取值范围是(0,1).思维升华利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值.已知.兀对的单调性，可转化为不等式f (x)N0或.厂(x)W0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析.跟踪训练1已知Q GR,函数f[x)=(—x2+ax)c x (xR, c为自然对数的底数).(1)当。

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案14 导数在研究函数中的应用

学案14 导数在研究函数中的应用导学目标： 1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值．自主梳理1．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是______函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是______函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；(3)若在(a ，b )上，f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为______函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为______函数．2．函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程________的根；③检查f ′(x )在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得________；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得________．自我检测1.已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则 ( )A ．f (x )在x ＝1处取得极小值B ．f (x )在x ＝1处取得极大值C ．f (x )是R 上的增函数D ．f (x )是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数2．(2009·广东)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是 ( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 3．(2011·济宁模拟)已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值4．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．(2011·福州模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，则f (2)＝________.探究点一函数的单调性例1 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；(3)函数f (x )能否为R 上的单调函数，若能，求出a 的取值范围；若不能，请说明理由．变式迁移1 (2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．探究点二函数的极值例2 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．变式迁移2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三求闭区间上函数的最值例3 (2011·六安模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．分类讨论求函数的单调区间例 (12分)(2009·辽宁)已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x ，a >1.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：若a <5，则对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.多角度审题 (1)先求导，根据参数a 的值进行分类讨论；(2)若x 1>x 2，结论等价于f (x 1)＋x 1>f (x 2)＋x 2，若x 1<x 2，问题等价于f (x 1)＋x 1<f (x 2)＋x 2，故问题等价于y ＝f (x )＋x 是单调增函数．【答题模板】(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x ＝(x －1)(x ＋1－a )x.[2分]①若a －1＝1，即a ＝2时，f ′(x )＝(x －1)2x.故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a －1<1，而a >1，故1<a <2时，则当x ∈(a －1,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，a －1)及x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(a －1,1)上单调递减，在(0，a －1)，(1，＋∞)上单调递增．③若a －1>1，即a >2时，同理可得f (x )在(1，a －1)上单调递减，在(0,1)，(a －1，＋∞)上单调递增．[6分](2)证明考虑函数g (x )＝f (x )＋x ＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x ＋x .则g ′(x )＝x －(a －1)＋a －1x ≥2x ·a －1x－(a －1)＝1－(a －1－1)2.由于1<a <5，故g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增，从而当x 1>x 2>0时，有g (x 1)－g (x 2)>0，即f (x 1)－f (x 2)＋x 1－x 2>0，故f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.[10分]当0<x 1<x 2时，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>－1.综上，若a <5，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.[12分]当堂检测(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·大连模拟)设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )2.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2011·嘉兴模拟)若函数y ＝a (x 3－x )在区间⎝⎛⎭⎫－33，33上为减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <14．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <325．设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( ) A ．a >－3 B ．a <－3C ．a >－1D ．a <－16．(2009·辽宁)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.7．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如右图所示，给出以下结论： ①函数f (x )在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数；②函数f (x )在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数； ③函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝1处取得极小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)．则正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)．8．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(共38分)9．(12分)求函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极值．10．(12分)(2011·秦皇岛模拟)已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导函数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．11．(14分)(2011·汕头模拟)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．。

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案53 抛物线

学案 53
自主梳理 1．相等焦点准线自我检测 1．C
抛物线
p [因为抛物线的准线方程为 x＝－2，所以＝2，所以 p＝4，所以抛物线的方程是 2 y2＝8x.所以选 B.] 3．B 4.C 5.B 课堂活动区例 1 解题导引重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．解 2．B
2 2 2
y2 p p2 1 → → p －，－ y －， y －，－ AO＝(－x1，－y1)＝ 2p 1 ，OD＝ y ， 2 2＝ 2
1
－2p＝－2λ → → 假设存在实数 λ，使AO＝λOD，则 p －y ＝－y λ
2 1 1
y2 1
p
y2 y2 1 1 ，解得 λ＝ 2，∴存在实数 λ＝ 2， p p
自我检测 1．(2010· 四川)抛物线 y2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A．1 B．2 C．4 D．8 x2 y2 2 2．若抛物线 y ＝2px 的焦点与椭圆＋＝1 的右焦点重合，则 p 的值为( ) 6 2 A．－2 B．2 C．－4 D．4 3．(2011· 陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－2，则抛物线的方程是( ) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 4．已知抛物线 y2＝2px (p>0)的焦点为 F，点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且 2x2＝x1＋x3，则有( ) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|· |FP3| 5．(2011· 佛山模拟)已知抛物线方程为 y2＝2px (p>0)，过该抛物线焦点 F 且不与 x 轴垂直的直线 AB 交抛物线于 A、B 两点，过点 A、点 B 分别作 AM、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于 M、N 两点，那么∠MFN 必是( )

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案32 数列的综合应用

探究点一等差、等比数列的综合问题例 1 设{an}是公比大于 1 的等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和．已知 S3＝7，且 a1 ＋3,3a2，a3＋4 构成等差数列． (1)求数列{an}的通项； (2)令 bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
Go the distance
学案 32
数列的综合应用
导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用．
自主梳理 1．数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会． (1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法． (2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题． (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的． (4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由 Sn 求 an 时，要对______________进行分类讨论． 2．数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型． (1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求 an 还是求 Sn. (2)分期付款中的有关规定 ①在分期付款中，每月的利息均按复利计算； ②在分期付款中规定每期所付款额相同； ③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值； ④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和．自我检测 1 ． ( 原创题 ) 若 Sn 是等差数列 {an} 的前 n 项和，且 S8 － S3 ＝ 10 ，则 S11 的值为 ( ) A．12 B．18 C．22 D．44 a6 2．(2011· 汕头模拟)在等比数列{an}中，an>an＋1，且 a7· a11＝6，a4＋a14＝5，则等于 a16 ( ) 2 3 A. B. 3 2 1 5 C．－ D．－ 6 6 3．若{an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，把{an}的每一项都减去 2 后，得到一个新数列{bn}，设{bn}的前 n 项和为 Sn，对于任意的 n∈N*，下列结论正确的是 ( ) 1 n A．bn＋1＝3bn，且 Sn＝ (3 －1) 2 1 B．bn＋1＝3bn－2，且 Sn＝ (3n－1) 2 1 C．bn＋1＝3bn＋4，且 Sn＝ (3n－1)－2n 2

章末检测3：第三章导数及其应用

第三章导数及其应用(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝⎛⎭⎫1，－32处的切线的倾斜角为( )． A ．－135° B ．45° C ．－45° D ．135° 2．下列求导运算正确的是( )． A.⎝⎛⎭⎫x ＋3x ′＝1＋3x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x3．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调减区间为( )． A ．(－∞，－1)及(0，1) B ．(－1，0)及(1，＋∞) C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)及(1，＋∞) 4．函数y ＝1＋3x －x 3有( )． A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2 D ．极小值－1，极大值3 5．函数f (x )＝x 2x －1( )．A ．在(0，2)上单调递减B ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增C ．在(0，2)上单调递增D ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减6．函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2，3]上的最小值为( )． A ．72 B ．36 C ．12 D ．07．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(其中s 的单位是米，t 的单位是秒)那么物体在3秒末的瞬时速度是( )． A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒D ．8米/秒8．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( )． A ．－1＜a ＜2 B ．－3＜a ＜6 C ．a ＜－1或a ＞2 D ．a ＜－3或a ＞6 9．已知f (x )的导函数f ′(x )图象如右图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的( )．10．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( )． A.827π B.1627π C.89π D.169π 11．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 010x 1＋log 2010x 2＋…＋log 2 010x 2 009的值为()．A ．－log 2 0102 009B ．－1C ．(log 2 0102 009)－1D ．112．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时f (x )＋xf ′(x )＞0且f (1)＝0，则不等式xf (x )＞0的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－1，0)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值为________．14．曲线y ＝ln x 在点M (e ，1)处的切线的斜率是________，切线的方程为________． 15．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________．16．设x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为________．三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，试讨论函数f (x )的单调区间．18．(10分)给定函数f (x )＝x 33－ax 2＋(a 2－1)x 和g (x )＝x ＋a 2x.(1)求证：f (x )总有两个极值点；(2)若f (x )和g (x )有相同的极值点，求a 的值．19．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－1与x ＝2处都取得极值． (1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－2，3]，不等式f (x )＋32c <c 2恒成立，求c 的取值范围．20．(10分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式．(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．答案：1．解析 y ′＝x －2，所以斜率k ＝1－2＝－1，因此，倾斜角为135°. 答案 D2．解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋3x ′＝1－3x 2，所以A 不正确；(3x )′＝3x ln 3，所以C 不正确；(x 2cos x )′＝2x cos x ＋x 2·(－sin x )，所以D 不正确；(log 2x )′＝1x ln 2，所以B 正确．故选B. 答案 B3．解析 y ′＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)，令y ′<0得x 的范围为(－∞，－1)，(0，1)．答案 A4．解析 y ′＝－3x 2＋3，令y ′＝0得，x ＝1或x ＝－1， f (1)＝3，f (－1)＝－1. 答案 D5．解析 f ′(x )＝2x （x －1）－x 2（x －1）2＝x 2－2x （x －1）2＝x （x －2）（x －1）2.令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.∴x ∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f ′(x )>0.x ∈(0，1)∪(1，2)时，f ′(x )<0. 答案 B6．解析 y ′＝4x 3－4，令y ′＝0，4x 3－4＝0，x ＝1，当x <1时，y ′<0；当x >1时，y ′>0得y极小值＝y |x ＝1＝0，而端点的函数值y |x ＝－2＝27，y |x ＝3＝72，得y min ＝0.答案 D7．解析 s ′＝2t －1，∴s ′|t ＝3＝2×3－1＝5. 答案 C8．解析因为f (x )有极大值和极小值，所以导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)有两个不等实根，所以Δ＝4a 2－12(a ＋6)＞0，得a ＜－3或a ＞6. 答案 D9．解析 ∵x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数；同理f (x )在(－2，0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．答案 A10．解析设圆柱的半径为R ，圆柱的高为h ，则2R ＋h ＝2.∵V ＝πR 2h ＝πR 2(2－2R )＝2πR 2－2πR 3，∴V ′＝2πR ·(2－3R )＝0.令V ′＝0，则R ＝0(舍)或R ＝23.经检验知，R ＝23时，圆柱体积最大，此时h ＝23，V max ＝π·49×23＝827π.答案 A11．解析 ∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1.所以log 2 010x 1＋log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009＝ log 2 010(x 1·x 2·…·x 2 009)＝log 2 010⎝⎛⎭⎫12·23·…·2 0092 010＝log 2 01012 010＝－1. 答案 B12．解析设F (x )＝x ·f (x )，则F (x )是R 上的奇函数，且F (1)＝0，由f (x )＋xf ′(x )＞0，(x ＞0)知F (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴F (x )＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)．答案 A13．解析 f ′(x 0)＝3x 20＝3，∴x 0＝±1. 答案 ±114．解析由于y ′＝1x ，∴k ＝y ′|x ＝e ＝1e ，故切线的方程为y －1＝1e (x －e)，故y ＝1e x .答案 1ex －e y ＝015．解析由y ′＝3x 2＋2x －5>0得x <－53，或x >1.答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－35，(1，＋∞) 16．解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎨⎧－2＋4＝－2a3，－2×4＝b 3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－24.∴a －b ＝－3＋24＝21.答案 2117．解 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，Δ＝(2a )2－4×3×1＝4(a 2－3)，①若Δ≤0即－3≤a ≤3，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； ②若Δ>0即a <－3或a >3时，令f ′(x )＝0得x ＝－a ±a 2－33，f ′(x )>0得x <－a －a 2－33或x >－a ＋a 2－33，f ′(x )<0得－a －a 2－33<x <－a ＋a 2－33，∴此时f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a ＋a 2－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，－a ＋a 2－33. 18．(1)证明因为f ′(x )＝x 2－2ax ＋(a 2－1)＝[x －(a ＋1)]·[x －(a －1)]，令f ′(x )＝0，解得x 1＝a ＋1，x 2＝a －1. 当x <a －1时，f ′(x )>0；当a －1<x <a ＋1，f ′(x )<0.所以x ＝a －1为f (x )的一个极大值点．同理可证x ＝a ＋1为f (x )的一个极小值点．所以f (x )总有两个极值点．(2)解因为g ′(x )＝1－a 2x 2＝（x －a ）（x ＋a ）x 2.令g ′(x )＝0，则x 1＝a ，x 2＝－a . 因为f (x )和g (x )有相同的极值点，且x 1＝a 和a ＋1，a －1不可能相等，所以当－a ＝a ＋1时，a ＝－12；当－a ＝a －1时，a ＝12.经检验，当a ＝－12和a ＝12时，x 1＝a ，x 2＝－a 都是g (x )的极值点． 19．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝0，f ′（2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＋b ＝0，12＋4a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－6.∴f (x )＝x 3－32x 2－6x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－3x －6.令f ′(x )<0，解得－1<x <2；令f ′(x )>0，解得x <－1或x >2. ∴f (x )的减区间为(－1，2)，增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在(－∞，－1)上单调递增；在(－1，2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增． ∴x ∈[－2，3]时，f (x )的最大值即为 f (－1)与f (3)中的较大者． f (－1)＝72＋c ，f (3)＝－92＋c .∴当x ＝－1时，f (x )取得最大值．要使f (x )＋32c <c 2，只需c 2>f (－1)＋32c ，即2c 2>7＋5c ，解得c <－1或c >72.∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫72，＋∞. 20．解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝12a －b ＝0，f （2）＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2，2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 －0 ＋f (x )283－43因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283.。

【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】专题一高考中的导数应用问题

跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝x ＋ax －x＋c，且 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)＝(f(x)－x3)· ex，若函数 g(x)在 x∈[－3，2]上单调递增，求实数 c 的取值范围．
(2)由(1)可知 f(x)＝x3－x2－x＋c. 1 2 则 f′(x)＝3x －2x－1＝3x＋3(x－1)，列表如下： 1 (－∞， (1， 1 (－， x 3 1 1 －3 ＋∞) －3) 1) 0 0 f′(x) ＋－＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
考点自测高考题型突破练出高分
3 2
2 a＝f′3.
高考题型突破
题型二
【例 2】
利用导数研究与不等式有关的问题
已知 f(x)＝xln x，g(x)
思维启迪解析思维升华
＝－x2＋ax－3. (1) 求函数 f(x) 在 [t， t＋ 2](t>0) 上的最小值； (2) 对一切 x∈(0 ，＋ ∞) ， 2f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)证明：对一切 x∈(0，＋∞)， 1 2 都有 ln x> x－成立． e ex
综上所述，当 a＝0 时，f(x)在 (－∞，0)上单调递减，在 (0，＋∞)上单调递增； 2 当 a>0 时，f(x)在(－∞，0)，( ， a
2 ＋∞)上单调递减，在(0，a)上单调递增；
2 当 a<0 时， f(x)在( ， 0)上单调递 a 2 减，在(－∞， )，(0，＋∞)上 a 单调递增．
f′(x)<0，若 x>0，则 f′(x)>0.
所以当 a＝0 时，函数 f(x)在区间 (－∞， 0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数． ②当 a>0 时，由 2x－ax2<0，解 2 得 x<0 或 x>a，由 2x－ax2>0， 2 解得 0<x< . a

【北师大版】高三数学步步高(理)第三编导数及其应用

第三编导数及其应用 §3.1 变化率与导数、导数的计算基础自测1.在曲线y =x 2+1的图像上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ），则xy∆∆为（） A .21+∆+∆xx B .21-∆-∆xx C .2+∆xD .xx ∆-∆+12 答案 C2.已知f (x )=sin x (cos x +1)，则)(x f '等于（） A .cos2x -cos xB .cos2x -sinxC .cos2x +cos xD .cos 2x +cosx答案C3.若函数y =f (x )在R 上可导且满足不等式x )(x f '＞-f (x )恒成立，且常数a ,b 满足a ＞b ,则下列不等式一定成立的是（）A .af (b )＞bf (a) B .af (a )＞bf (b)C .af (a )＜bf (b )D .af (b )＜bf (a)答案B4.（2008·辽宁理，6）设P 为曲线C ：y =x 2+2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为（）A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1B .［-1，0］C .［0，1］D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21答案A5.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线y =e ax 在点（0，1）处的切线与直线x +2y +1=0垂直，则a= .答案2例1 求函数y =12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(22020202020+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x例2 求下列各函数的导数：（1）;sin 25x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xx y ++-=解 (1)∵,sin sin 2332521x x x x x x x x y ++=++=- ∴'y .cos sin 2323)sin ()()(232252323x x x x x x x x x x -----+-+-='+'+'= （2）方法一 y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴'y =3x 2+12x+11.方法二 'y =[]'++)2)(1(x x (x+3)+（x+1）（x+2）'+)3(x=[)2(）1（+'+x x +（x+1）'+)2(x ］（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x x x xxy -=+--++=++-=12)1)(1(111111 ， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 例3 求下列函数的导数：（1）y =4）3（11x -;(2)y =sin 2(2x +3π); (3)y =x21x +.解（1）设u=1-3x ,y=u -4.则'y x ='y u ·'u x =-4u -5·（-3）=5）31（12x -.(2)设y=u 2,u =sin v ,v=2x+3π, 则'yx ='y u ·'u v ·'v x =2u ·cos v ·2=4sin （2x+3π）·cos （2x+3π）=2sin （4x+32π）. (3)'y =(x 21x +)′='x ·21x ++x ·（21x +)′=21x ++22221211xx xx ++=+.例4 （12分）已知曲线y =.34313+x （1）求曲线在x =2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解（1）∵'y =x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2=4. 2分∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 4分（2）设曲线y=34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫⎝⎛+3431,300x x A ，则切线的斜率k='y |0x x ==20x . 6分 ∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即.34323020+-⋅=x x x y 8分∵点P （2，4）在切线上，∴4=,34322302+-x x 即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 12分1.求y =x 在x =x0处的导数.解 )())((lim lim lim00000000000x x x x x x x x x x x x x x x yx x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆.211lim00x x x x x =+∆+=→∆2.求y =tan x 的导数.解 'y .cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛= 3.设函数f (x )=cos(ϕ+x 3)(0＜ϕ＜π) .若f (x )+ )(x f '是奇函数，则ϕ= . 答案6π4．若直线y =kx 与曲线y =x 3-3x 2+2x 相切，则k = . 答案 2或41-一、选择题1.若,2)(0='x f 则()kx f k x f k 2)(lim000--→等于( )A .-1B .-2C .1D .21答案 A2.（2008·全国Ⅰ理，7）设曲线y =11-+x x 在点（3，2）处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a 等于（）A .2 B .21C .21-D .-2答案D3.若点P 在曲线y =x 3-3x 2+(3-3)x +43上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（） A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,322,0C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,32D .⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,22,0πππ答案 B4.函数f (x )、g (x )在区间［a ，b ］上满足)(x f '·g (x )＞f (x )·)(x g '且g (x )＞0，则对任意x ∈（a ,b ) 都有（）A .f (x ）·g (x )＞f (a )·g (b )B .f (x )·g (x )＞f (b )·g (b )C .f (x )·g (a )＞f (a )·g (x )D .f (x )·g (b )＞f (b )·g (x )答案 C5.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间（1，2）上的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），|f （x 2）-f （x 1）|＜|x 2-x 1|恒成立”的只有（） A .xx f 1)(= B .f (x )=|x | C .f (x )=2xD .f (x )=x2答案 A6.已知曲线S :y =3x -x 3及点P （2，2），则过点P 可向S 引切线，其切线条数为 ( ) A .0 B .1 C .2 D .3 答案 D 二、填空题 7.曲线y =x1和y =x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 答案43 8.若函数f (x )的导函数为)(x f '=-x (x +1),则函数g (x )=f (log a x )(0＜a ＜1)的单调递减区间是 .答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 1,1三、解答题9. 求下列函数在x =x0处的导数.（1）f (x )=cos x ·sin 2x +cos 3x ,x 0=3π;（2）f (x )=;2,1e 1e 0=++-x xxx x （3）.1,ln )(0223=+-=x xxx x x x f解（1） ()[],sin )(cos cos sin cos )(22x x x x x x f -='=+=''∴233-=⎪⎭⎫⎝⎛'πf .（2）∵,)1(e )2(2)1()1(e 2)1()e 2(1e 2)(22x x x x x x x f xx x x --=-'---'='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='∴)2(f '=0. （3）∵,1123)(ln )()(2523x x x x xx f +--='+'-'='--∴.23)1(-='f10.求曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +3=0的最短距离.解设曲线上过点P （x 0,y 0）的切线平行于直线2x -y +3=0，即斜率是2，则.2122|122|)12(121|0000=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⋅-='===x x x x y x x x x x x解得x 0=1,所以y 0=0,即点P （1，0），点P 到直线2x -y +3=0的距离为5)1(2|302|22=-++-，∴曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +3=0的最短距离是5. 11.（2008·海南、宁夏，21）设函数bx ax x f ++=1)( (a ,b ∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y =3.（1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线y =f (x )上任一点的切线与直线x =1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解 2)(1)(b x a x f +-='，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a因为a ,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f ．（2）证明在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,000x x x ．由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为)()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--．令x=1得1100-+=x x y ，切线与直线x=1的交点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11,100x x ．令y=x 得120-=x y ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(00--x x ．直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ．所以，所围三角形的面积为定值2.12. 偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx +e 的图像过点P （0，1），且在x =1处的切线方程为y =x -2，求y =f （x ）的解析式.解 ∵f （x ）的图像过点P （0，1），∴e=1. ①又∵f （x ）为偶函数，∴f （-x ）=f （x ）. 故ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=ax 4-bx 3+cx 2-dx+e.∴b=0，d=0. ②∴f(x)=ax4+cx 2+1.∵函数f （x ）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）. ∴a+c+1=-1.③ ∵)1('f =(4ax 3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1.④由③④得a=25，c=29-.∴函数y=f （x ）的解析式为.12925)(24+-=x x x f§3.2 导数的应用基础自测1.函数y =f (x )的图像过原点且它的导函数g =)(x f '的图像是如图所示的一条直线，则y =f (x )图像的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A2.已知对任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),且x ＞0时，)(x f '＞0,)(x g '＞0，则x ＜0时（）A .)(x f '＞0, )(x g '＞0B .)(x f '＞0, )(x g '＜0C .)(x f '＜0, )(x g '＞0D . )(x f '＜0, )(x g '＜0答案 B3.（2008·广东理，7）设∈a R ，若函数y =e ax +3x ，∈x R 有大于零的极值点，则（）A ．a ＞-3B ．a ＜-3C ．a ＞-31 D ．a ＜-31 答案B4.函数y =3x 2-2ln x 的单调增区间为，单调减区间为 . 答案 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞33,0,335.（2008·江苏，14）f (x )=ax 3-3x +1对于x ∈［-1,1］总有f (x )≥0成立，则a = . 答案4例1 已知f (x )=e x -ax-1. （1）求f (x )的单调增区间；（2）若f (x ）在定义域R 内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a ,使f (x )在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解 )(x f '=e x -a.（1）若a ≤0，)(x f '=e x -a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增. 若a>0,e x -a ≥0,∴e x ≥a,x ≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). （2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴)(x f '≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立. ∴a ≤（e x ）min ，又∵e x >0，∴a ≤0.（3）方法一由题意知e x -a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立.∵e x 在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x 在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤1，∴a=1.方法二由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0('f =0,即e 0-a=0,∴a=1.例2 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,曲线y =f (x ）在点x =1处的切线为l :3x -y +1=0，若x =32时，y =f (x ）有极值.（1）求a ,b ,c 的值；（2）求y =f (x ）在［-3，1］上的最大值和最小值. 解（1）由f(x)=x 3+ax 2+bx+c,得)(x f '=3x 2+2ax+b,当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0 ① 当x=32时，y=f(x)有极值，则⎪⎭⎫⎝⎛'32f =0,可得4a+3b+4=0 ②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x 3+2x 2-4x+5,∴)(x f '=3x 2+4x-4, 令)(x f '=0,得x=-2,x=32.∴y=f （x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.2795例3 （12分）已知函数f (x )=x 2e -ax(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.解 ∵f （x ）=x 2e -ax （a ＞0）,∴)(x f '=2xe -ax +x 2·（-a)e -ax =e -ax (-ax 2+2x). 1分令)(x f '＞0,即e -ax (-ax 2+2x)＞0,得0＜x ＜a2.∴f(x)在（-∞,0),⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a 上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0上是增函数.①当0＜a2＜1,即a ＞2时,f(x ）在（1，2）上是减函数,∴f （x ）max =f （1）=e -a . 6分②当1≤a2≤2,即1≤a ≤2时， f(x)在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,1上是增函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2a 上是减函数，∴f(x)max =f ⎪⎭⎫⎝⎛a 2=4a -2e -2. 9分③当a2＞2时，即0＜a ＜1时，f(x)在（1，2）上是增函数，∴f （x ）max =f （2）=4e -2a .综上所述，当0＜a ＜1时，f(x)的最大值为4e -2a , 当1≤a ≤2时，f(x)的最大值为4a -2e -2,当a ＞2时，f(x)的最大值为e -a . 12分例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为(12-x )2万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）. 解（1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x ∈［9,11］. (2))(x L '=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L ′=0得x=6+32a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5,∴8≤6+32a ≤328. 在x=6+32a 两侧L ′的值由正变负. 所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜29时，L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).②当9≤6+32a ≤328，即29≤a ≤5时， L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)［12-(6+32a)］2=4(3-31a)3.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<≤-=.529,3134,293),6(9)(3a a a a a Q答若3≤a ＜29，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a )（万元）；若29≤a ≤5，则当每件售价为(6+32a )元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )=33134⎪⎭⎫ ⎝⎛-a (万元).1．已知函数f (x )=x 3-ax -1.（1）若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ,使f (x )在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f (x )=x 3-ax -1的图像不可能总在直线y =a 的上方.（1）解由已知)(x f '=3x 2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴)(x f '=3x 2-a ≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.∵3x 2≥0,∴只需a ≤0,又a=0时，)(x f '=3x 2≥0,故f(x)=x 3-1在R 上是增函数，则a ≤0.（2）解由)(x f '=3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立，得a ≥3x 2,x ∈(-1,1)恒成立. ∵-1<x<1,∴3x 2<3,∴只需a ≥3.当a=3时，)(x f '=3(x 2-1), 在x ∈(-1,1)上，)(x f '<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a ≥3. 故存在实数a ≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图像不可能总在直线y=a 的上方. 2.求函数y =x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.解先求导数,得'y =4x 3-4x,令'y =0,即4x 3-4x=0.解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1.3.（2008·山东理，21）已知函数f (x )=nx ）1（1-+a ln(x -1),其中n ∈N +*a 为常数. (1)当n =2时,求函数f (x )的极值;(2)当a =1时,证明:对任意的正整数n ,当x ≥2时,有f (x )≤x -1.(1)解由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1}, 当n=2时,f(x)=2）1（1-x +aln(x-1),所以)(x f '=32)1()1(2x x a ---.①当a>0时,由)(x f '=0,得 x1=1+a 2>1,x 2=1-a2<1,此时)(x f '=321)1())((x x x x x a ----.当x ∈(1,x 1)时,)(x f '<0,f(x)单调递减; 当x ∈(x 1,+∞)时,)(x f '>0,f(x)单调递增. ②当a ≤0时,)(x f '<0恒成立,所以f(x)无极值. 综上所述,n=2时,当a>0时,f(x)在x=1+a2处取得极小值, 极小值为f （1+a2）=2a （1+ln a 2）.当a ≤0时,f(x)无极值.(2)证明方法一因为a=1,所以f(x)=nx ）1（1-+ln(x-1).当n 为偶数时,令g(x)=x-1-nx ）1（1--ln(x-1),则)(x g '=1+11)1(1---+x x n n =0)1(121>-+--+n x nx x (x ≥2).所以,当x ∈［2,+∞)时,g(x)单调递增,又g(2)=0,因此,g(x)=x-1-nx )1(1--ln(x-1)≥g(2)=0恒成立,所以f(x)≤x-1成立.当n 为奇数时,要证f(x)≤x-1,由于nx )1(1-<0,所以只需证ln(x-1)≤x-1,令h(x)=x-1-ln(x-1),则)(x h '=1-1211--=-x x x ≥0 (x ≥2),所以,当x ∈［2,+∞)时,h(x)=x-1-ln(x-1)单调递增,又h(2)=1>0,所以当x ≥2时,恒有h(x)>0,即ln(x-1)<x-1命题成立.综上所述,结论成立.方法二当a=1时,f(x)=nx ）1（1-+ln(x-1).当x ≥2时,对任意的正整数n,恒有nx ）1（1-≤1,故只需证明1+ln(x-1)≤x-1. 令h(x)=x-1-（1+ln(x-1)） =x-2-ln(x-1),x ∈［2,+∞).则)(x h '=1-11-x =,12--x x当x ≥2时,)(x h '≥0,故h(x)在［2,+∞)上单调递增, 因此,当x ≥2时,h(x)≥h(2)=0, 即1+ln(x-1)≤x-1成立.故当x ≥2时,有nx ）1（1-+ln(x-1)≤x-1.即f(x)≤x-1.4.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )=3 700x +45x 2-10x 3（单位：万元），成本函数为C (x )=460x +5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )=f (x +1)-f (x ).（1）求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；（提示：利润=产值-成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3 240x-5 000(x ∈N +，且1≤x ≤20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3 275 (x ∈N +,且1≤x ≤19). （2）)(x P '=-30x 2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴)(x P '=0时,x=12，∴当0<x<12时，)(x P '>0,当x>12时，)(x P '<0,∴x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大. （3）MP(x)=-30x 2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305. 所以，当x ≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为［1，19］，且x ∈N +.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.一、选择题1.(2009·崇文模拟)已知f （x ）的定义域为R ，f （x ）的导函数)(x f '的图像如图所示，则（）A .f (x )在x =1处取得极小值 B.f (x )在x =1处取得极大值 C . f (x )是R 上的增函数D . f (x )是（-∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数答案C2.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数)(x f '在(a ,b )内的图像如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b ) 内有极小值点（）A .1个B .2个C .3个D .4个答案A3.函数f (x )=x 2-2ax +a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g (x )=xx f )(在区间（1，+∞）上一定（）A .有最小值B .有最大值C .是减函数D .是增函数答案 D4.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12答案B5.已知f (x )=2x 3-6x 2+a (a 是常数）在［-2，2］上有最大值3，那么在［-2，2］上f (x ）的最小值是（）A .-5 B .-11 C .-29 D .-37答案D6.已知函数f (x )=21x 4-2x 3+3m ,x ∈R ,若f (x )+9≥0恒成立,则实数m 的取值范围是（）A .m ≥23 B .m ＞23C .m ≤23D .m ＜23答案A二、填空题7.已知函数f (x )=x 3-12x +8在区间［-3，3］上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M -m= . 答案328.（2008·淮北模拟）已知函数f (x )的导数)(x f ' =a (x +1)·(x -a ),若f (x )在x =a 处取到极大值，则a 的取值范围是 . 答案（-1，0）三、解答题9.设a ＞0,函数f (x )=12++x b ax ,b 为常数.（1）证明：函数f (x )的极大值点和极小值点各有一个；（2）若函数f (x ）的极大值为1，极小值为-1，试求a 的值. （1）证明 )(x f '=,)1(2222++--x a bx ax ,令)(x f '=0,得ax 2+2bx-a=0(*)∵Δ=4b 2+4a 2>0,∴方程（*)有两个不相等的实根，记为x 1,x 2(x 1<x 2),则)(x f '=2221)1())((+---x x x x x a ,（2）解由（1）得⎪⎩⎪⎨⎧+=+--=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-=++=②1①1,11)(11)(2222112222111x b ax x b ax x b ax x f x bax x f 即两式相加，得a(x 1+x 2)+2b=2122x x -. ∵x 1+x 2=-ab2,∴2122x x -=0,即(x 2+x 1)(x 2-x 1)=0,又x 1<x 2,∴x 1+x 2=0,从而b=0,∴a （x 2-1）=0，得x 1=-1,x 2=1,由②得a=2.10.设函数f （x ）=x 3-3ax 2+3bx 的图像与直线12x +y -1=0相切于点（1，-11）. （1）求a ，b 的值；（2）讨论函数f （x ）的单调性.解（1）求导得)(x f '=3x 2-6ax+3b.由于f （x ）的图像与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），所以f （1）=-11，)1('f =-12，即⎩⎨⎧-=+--=+-,12363,11331b a b a 解得a=1，b=-3.（2）由a=1，b=-3得)(x f '=3x 2-6ax+3b=3(x 2-2x-3)=3(x+1)(x-3).由)(x f '>0,解得x<-1或x>3;又令)(x f '<0,解得-1<x<3.所以当x ∈(-∞,-1)和(3,+∞）时,f(x)是增函数;当x ∈(-1,3)时,f(x)是减函数. 11.已知函数f (x )=x 3-ax 2-3x .（1）若f (x )在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若x =-31是f (x )的极值点，求f （x ）在［1，a ］上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b ，使得函数g （x ）=bx 的图像与函数f （x ）的图像恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由.解（1）)(x f '=3x 2-2ax-3，∵f(x)在［1，+∞）上是增函数,∴)(x f '在［1，+∞）上恒有)(x f '≥0，即3x 2-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立.则必有3a≤1且)1('f =-2a ≥0,∴a ≤0.(2）依题意，)31(-'f =0，即31+32a-3=0，∴a=4,∴f(x)=x 3-4x 2-3x ，令)(x f '=3x 2-8x-3=0，得x 1=-31，)(x f '（3）函数g(x)=bx 的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点，即方程x 3-4x 2-3x=bx 恰有3个不等实根∴x 3-4x 2-3x-bx=0，∴x=0是其中一个根，∴方程x 2-4x-3-b=0有两个非零不等实根，∴.37,030)3(416-≠->∴⎩⎨⎧≠-->++=∆b b b b 且∴存在符合条件的实数b ，b 的范围为b>-7且b ≠-3. 12. (2008·安徽理，20)设函数f （x ）=xx ln 1（x ＞0且x ≠1）. （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）已知2x 1＞x a 对任意x ∈（0，1）成立，求实数a 的取值范围.解（1）)(x f '=-xx x 22ln 1ln +，若)(x f '=0,则x =e 1. 列表如下：所以f (x )的单调增区间为（0,e1），单调减区间为（e1,1）和（1，+∞）.（2）在2x 1＞x a 两边取对数，得x1ln2＞a ln x . 由于x ∈(0,1)，所以xx a ln 12ln >.①由（1）的结果知，当x ∈(0,1)时，f (x )≤f （e1）=-e. 为使①式对所有x ∈(0,1)成立，当且仅当2ln a＞-e, 即a ＞-eln2.§3.3 定积分的概念与微积分基本定理基础自测 1.∞→n lim ))1(sin 2sin (sin 1nn n n n πππ-+++ 写成定积分的形式，可记为（） A .x x d sin 0π⎰ B .x x d sin 10⎰ C .π1x x d sin 0π⎰ D . π0⎰x xx d sin 答案C2.（2009·济宁模拟）下列值等于1的积分是（）A .x x d10⎰ B .x x d )1(10+⎰ C .x d 2110⎰ D .xd 110⎰答案D3.由曲线y =e x ,x =0,y =2所围成的曲边梯形的面积为（）A .y y d ln21⎰ B.y x d e 2e 0⎰ C .y y d ln 2ln 1⎰ D .x x d )e 2(21-⎰答案A4.已知f (x )为偶函数且,8d )(60=⎰x x f 则x x f d )(66-⎰等于（） A .0 B .4 C .8 D .16答案D5.已知-1≤a ≤1，f (a )=)2(2210x a ax -⎰，求f （a ）的值域.解 f (a )=923221322|232d )2(22102232210+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎰a a a x a x a x x a ax∵-1≤a ≤1，∴-92)(67≤≤a f ,故f(a)的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-92,67.例1 计算下列定积分（1）20⎰x (x +1)d x ;(2) 21⎰(e 2x +x1)d x ; (3) π0⎰sin 2x d x .解（1）∵x （x +1）=x 2+x 且(31x 3)′=x 2,(21x 2)′=x , ∴20⎰x (x +1)d x =20⎰(x 2+x )d x=20⎰x 2d x +20⎰x d x =31x 3|20+21x 2|20 =(31×23-0)+(21×22-0)=314. (2)∵(ln x )′=x1,(e 2x )′=e 2x ·(2x )′=2e 2x , 得e 2x =(21e 2x)′ 所以21⎰（e 2x +x 1)d x =21⎰e 2x d x +21⎰x 1d x =21e 2x |21+ln x |21 =21e 4-21e 2+ln2-ln1=21e 4-21e 2+ln2. (3)由(sin2x )′=cos2x ·(2x )′=2cos2x ,得 cos2x =（21sin2x ）′, 所以π0⎰sin 2x d x =π0⎰（21-21cos2x ）d x =π0⎰21d x -21π0⎰cos2x d x =21x |π0-21（21sin2x ）|π0 =（2π-0）-21（21sin2π -21sin0）=2π. 例2 (2009·顺德模拟)计算下列定积分（1）π20⎰|sin x |d x ;(2)20⎰|x 2-1|d x .解（1）∵（-cos x ）′=sin x ，∴π20⎰|sin x |d x =π0⎰|sin x |d x +ππ2⎰|sin x |d x =π0⎰sin x d x -ππ2⎰sin x d x =-cos x |π0+cos x |ππ2=-（cos π-cos0）+（cos2π-cos π）=4.（2）∵0≤x ≤2，于是|x 2-1|=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤<-)10(1)21(122x x x x∴20⎰|x 2-1|d x =10⎰(1-x 2)d x +21⎰(x 2-1)d x=⎪⎭⎫ ⎝⎛-331x x |10+（31x 3-x ）|21=（1-31）+（31×23-2）-（31-1）=2. 例3 求函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈]3,2(2]2,1(]1,0[23x x x x x x 在区间［0，3］上的积分. 解由积分性质知30⎰f (x )d x =10⎰f (x )d x +21⎰f (x )d x +32⎰f (x )d x =10⎰x 3d x +21⎰x 2d x +32⎰2x d x=44x |10+31x 3|21+2ln 2x |32=41+38-31+2ln 8-2ln 4 =2ln 4+1231. 例4 （12分）求定积分32-⎰2616x x -+d x .解设y =2616x x -+, 即(x -3)2+y 2=25 (y ≥0). 4分 ∵32-⎰2616x x -+d x 表示以5为半径的圆的四分之一面积，∴32-⎰2616x x -+d x =π425.12分1. 求0π-⎰(cos x +e x )d x .解 0π-⎰(cos x +e x )d x =0π-⎰cos x d x +0π-⎰e x d x=sin x |0π-+e x |0π-=1-πe 1.2.求40⎰（|x -1|+|x -3|）d x .解设y =|x -1|+|x -3|=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤+-)3(42)31(2)1(42x x x x x ∴40⎰(|x -1|+|x -3|)d x=10⎰(-2x +4)d x +31⎰2d x +43⎰(2x -4)d x =(-x 2+4x )|10+2x |31+(x 2-4x )|43=-1+4+6-2+16-16-9+12=10.3.已知函数:f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<≤+--)32()2()21()10()1(211x x xx x x 求30⎰f (x )d x .解 30⎰f (x )d x =10⎰2(x +1)-1 d x +21⎰x d x +32⎰(2)x -1d x=2ln(x +1)|10+323x |21+ 321|)2(2ln 1-x=2ln2+32(22-1)+ )22(2ln 1-. 4.10⎰（2)1(1--x -x ）d x = .答案42-π一、选择题1.与定积分π3⎰x cos 1-d x 相等的是（）A .x x d 2sin 230π⎰ B .x x d |2sin |230π⎰ C .||d 2sin 230x xπ⎰ D .以上结论都不对答案B2.若y =f (x )与y =g (x )是［a ,b ］上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x =a ,x =b 所围成的平面区域的面积为（）A .()x x g x f b ad )()(-⎰ B .x x f x g b a d ))()(-⎰ C .x x g x f b a d |)()(-⎰ D .||d ))()(x x g x f b a-⎰答案C3.定积分x x x d )33(210+⎰等于（）A .343ln 4- B .23ln 4+ C .-343ln 4- D .- 23ln 4+ 答案B4.设函数f （x ）=⎩⎨⎧≤<-≤≤+,21,3,10,12x x x x 则x x f d )(20⎰等于（）A .31B .617 C .6 D .17答案B5.下列定积分值为0的是（）A .x x x d sin22-⎰ B .x x x d cos 222-⎰C.x x x d )(4222+⎰-D.x x x d )5(25322+⎰- 答案D6.根据x x d sin 20π⎰推断，直线x =0，x =2π，y =0和正弦曲线y =sin x 所围成的曲边梯形的面积时，正确结论为（） A .面积为0B .曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C .曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D .曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积答案D二、填空题7.若10⎰f (x )d x =1, 20⎰f (x )d x =-1,则21⎰f (x )d x = .答案 -2 8.定积分10⎰21x x +d x 的值是 .答案21ln2 三、解答题 9.求下列定积分的值 (1) 30⎰29x -d x ;(2)已知f (x )=⎩⎨⎧<<≤≤-)10(1)01(2x x x ，求11-⎰f (x )d x 的值. 解（1）30⎰29x -d x 表示以y =29x -与x =0,x =3所围成图形的面积，而y =29x -与x =0,x =3围成的图形为圆x 2+y 2=9在第一象限内的部分，因此所求的面积为49π.（2）∵f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤-10112x x x∴11-⎰f (x )d x =01-⎰x 2d x +10⎰1d x=31x 3|01-+x |10=31+1=34. 10.已知f （x ）=ax 2+bx +c ，且f （-1）=2，)0('f =0，10⎰f （x ）d x =-2，求a 、b 、c 的值. 解由f （-1）=2，得a -b +c =2， ①又)(x f '=2ax +b , 由)0('f =0得b =0,②10⎰f (x )d x =10⎰(ax 2+bx +c )d x=(31ax 3+2b x 2+cx )|10 =31a +21b +c . 即31a +21b +c =-2，③由①②③得：a =6,b =0,c =-4.11.已知f (a )= 10⎰(2ax 2-a 2x )d x ,求f (a )的最大值.解 10⎰(2ax 2-a 2x )d x =(32ax 3-21a 2x 2)|10=32a -21a 2即f (a )= 32a -21a 2=-21（a 2-34a +94）+92 =-21（a -32）2+92. 所以当a =32时，f (a )有最大值92. 12.(2009·青岛模拟)对于函数f (x )=bx 3+ax 2-3x .（1）若f (x )在x =1和x =3处取得极值，且f (x )的图像上每一点的切线的斜率均不超过2sin t cos t -23cos 2t +3,试求实数t 的取值范围；（2）若f (x ）为实数集R 上的单调函数，且b ≥-1,设点P 的坐标为（a ,b )，试求出点P 的轨迹所围成的图形的面积S .解（1）由f (x )=bx 3+ax 2-3x ,则)(x f '=3bx 2+2ax -3,∵f （x ）在x =1和x =3处取得极值， ∴x =1和x =3是)(x f '=0的两个根且b ≠0.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯-=+b ba 33313231⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==312b a . ∴)(x f '=-x 2+4x -3.∵f (x )的图像上每一点的切线的斜率不超过2sin t cos t -23cos 2t +3,∴)(x f '≤2sin t cos t -23cos 2t +3对x ∈R 恒成立，而)(x f '=-(x -2)2+1,其最大值为1.故2sin t cos t -23cos 2t +3≥1⇒2sin(2t -3π)≥1⇒2k π+6π≤2t -3π≤2k π+65π,k ∈Z ⇒k π+4π≤t ≤k π+127π,k ∈Z . （2）当b =0时，由f (x )在R 上单调，知a =0. 当b ≠0时，由f (x )在R 上单调⇔)(x f '≥0恒成立，或者)(x f '≤0恒成立.∵)(x f '=3bx 2+2ax -3,∴Δ=4a 2+36b ≤0可得b ≤-91a 2. 从而知满足条件的点P （a ,b )在直角坐标平面aOb 上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b =-91a 2与直线b =-1所围成的封闭图形，其面积为S =33-⎰(1-91a 2)d a =4.§3.4 定积分的简单应用基础自测 1.将由y =cos x ,x =0,x =π,y =0所围图形的面积写成定积分形式为（）A .x x d cos 0π⎰B .x x x x d cos d cos 220πππ⎰+⎰ C .x x d cos 20π⎰ D .x x d |cos |20π⎰答案B2.一物体沿直线以v =3t +2 (t 单位：s,v 单位：m/s ）的速度运动，则该物体在3 s ～6 s 间的运动路程为（）A .46 mB .46.5 mC .87 mD .47 m答案B3.用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N ，变力F 做的功W 为（） A .5 J B .10 J C .20 JD.40 J答案B4.曲线y =cos x （0≤x ≤23π）与坐标轴所围成的面积是（）A .2 B .3 C .25D .4答案B5.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ(x )=x 3（取细棒的一端为原点，所在直线为x 轴），棒长为1，则棒的质量M 为（） A .1 B .21C.31D .41 答案D例1 求抛物线y 2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积.解由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==x y xy 422解出抛物线和直线的交点为（2，2）及(8,-4).方法一选x 作为积分变量，由图可看出S =A 1+A 2 在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y =x 2, 下半支方程为y =-x 2，所以S 1A =20⎰［x 2-(-x 2)］d x =2220⎰x21d x=22·32x 23|20=316， S 2A =82⎰［4-x -(-x 2)］d x=(4x -21x 2+322x 23)|82=338, 于是：S =316+338=18. 方法二选y 作积分变量，将曲线方程写为x =22y 及x =4-y .S =24-⎰[（4-y ）-22y ]d y =(4y -22y -63y )|24-=30-12=18.例2 （14分）如图所示，直线y =kx 分抛物线y =x -x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值.解抛物线y =x -x 2与x 轴两交点的横坐标x 1=0,x 2=1,所以抛物线与x 轴所围图形的面积S =10⎰（x -x 2）d x =(3232x x -)|10 =21-31=61. 4分抛物线y =x -x 2与y =kx 两交点的横坐标为 x 1′=0,x 2′=1-k ,6分所以2S =k -⎰10（x -x 2-kx ）d x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--32132x x k |k -10 =61(1-k )3， 10分又知S =61，所以(1-k )3=21，于是k =1-321=1-243. 12分例3 一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min 内所行驶的路程.解由速度—时间曲线易知，v （t ）=⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈∈]60,40[905.1)40,10[30)10,0[3t t t t t由变速直线运动的路程公式可得s =100⎰3t d t +4010⎰30d t +6040⎰(-1.5t +90)d t=23t 2|100+30t |4010+（-43t 2+90t ）|6040 =1 350 (m).答此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.1.求抛物线y 2=x 与直线x -2y -3=0所围成的平面图形的面积S .解方法一由⎪⎩⎪⎨⎧=--=0322y x xy 得抛物线与直线的交点为P （1，-1），Q （9，3）（如图）.∴S =10⎰［x -(-x )］d x +91⎰(x -23-x )d x =210⎰x d x +91⎰(x -2x +23)d x =343x |10+（32x 23-42x +x 23）|91=34+328=332. 方法二若选取积分变量为y ，则两个函数分别为x =y 2,x =2y +3.由方法一知上限为3，下限为-1. ∴S =31-⎰(2y +3-y 2）d y =（y 2+3y -31y 3)|31-=(9+9-9)-(1-3+31)=332.2.如图所示,阴影部分的面积是（） A .32B .9-32C .332D .335 答案 C3.一物体按规律x =bt 3做直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物体由x =0运动到x =a 时，阻力做的功. 解物体的速度v =)(t x '=(bt 3)′=3bt 2,媒质阻力f 阻=kv 2=k ·(3bt 2)2=9kb 2t 4.(其中k 为比例常数，k ＞0)当x =0时，t =0，当x =a 时，t =t 1=31⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ,∴阻力做的功是：W 阻=a0⎰f 阻d x =201kv t ⎰·v d t=10t k ⎰v 3d t =10t k ⎰（3bt 2）3d t =727kb 371t =727k 327b a =727ka 232ab .一、选择题1. 如图，阴影部分面积为 ( )A.c a ⎰[]xx g x f d )()(-B.[][]x x g x f x x f x gbcc ad )()(d )()(-⎰+-⎰C.c a ⎰[]x x g x fd )()(-+b c ⎰[]x x f x g d )()(-D.b c⎰[]x x f x g d )()(- 答案B2.（2008·广州模拟）设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈],2,1(,2],1,0[,2x x x x 则20⎰f （x ）d x 等于 ( )A.43 B.54 C.65D.不存在答案C3.设f (x )=x0⎰sin t d t ,则f （f （2π））等于（） A.-1 B.1 C.-cos1 D.1-cos1答案D4.一物体在力F （x ）=⎩⎨⎧>+≤≤)2(43)20(10x x x (单位：N ）的作用下沿与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =4（单位：m)处，则力F （x ）作的功为（）A.44B.46C.48D.50答案B5.一物体在变力F (x )=5-x 2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F (x )成30°方向作直线运动,则由x =1运动到x =2时F (x )作的功为（）A.3J B .332 J C.334 J D.23 J答案C6. 函数F (x )=x0⎰t (t -4)d t 在［-1,5］上（）A.有最大值0,无最小值B.有最大值0和最小值-332 C.有最小值-332,无最大值 D.既无最大值也无最小值答案B二、填空题7.汽车以v =3t +2 (单位：m/s ）作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是 m. 答案 6.58.若f (x )是一次函数，且10⎰f (x )d x =5, 10⎰xf (x )d x =617,那么函数f (x )的解析式是 . 答案 f (x )=4x +3 三、解答题9.证明：把质量为m （单位：kg ）的物体从地球的表面升高h (单位：m)处所做的功W =G ·,)(h k k Mmh+其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径.证明根据万有引力定律：知道对于两个距离为r,质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力为f （r ）=G ·221r m m ，其中G 为引力常数.则当质量为m 的物体距地面高度为x(0≤x ≤h)时，地心对它的引力f （x ）=G ·.)(2x k Mm+故该物体从地面升到h 高处所做的功为W =h 0⎰f （x ）d x =h 0⎰G ·2)(x k Mm+·d x=GMm h 0⎰2)(1x k +d （k +x ）=GMm ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x k 1|h 0=.)(·)11(h k k MmhG k h k GMm +=++-10.设函数f (x )=x 3+ax 2+bx 在点x =1处有极值-2.（1）求常数a ,b 的值；（2）求曲线y =f (x )与x 轴所围成的图形的面积.解（1）由题意知)(x f '=3x 2+2ax+b, f(1)=-2且)1('f =0,即,02321⎩⎨⎧=++-=++b a b a 解得a=0,b=-3, 即f(x)=x 3-3x.(2)作出曲线y=x 3-3x 的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3-3x=0得曲线y=x 3-3x 与x 轴的交点坐标是(-3,0),(0,0)和(3,0)，而y=x 3-3x 是R 上的奇函数，函数图像关于原点中心对称.所以(-3,0)的阴影面积与(0,3)的阴影面积相等. 所以所求图形的面积为S =230⎰［0-(x 3-3x )］d x =-2（41x 4-23x 2）|30=29. 11.如图所示，抛物线y =4-x 2与直线y =3x 的两交点为A 、B ，点P 在抛物线上从A 向B 运动. （1）求使△PAB 的面积最大的P 点的坐标(a ,b );（2）证明由抛物线与线段AB 围成的图形，被直线x =a 分为面积相等的两部分. （1）解解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 342，得x 1=1,x 2=-4.∴抛物线y =4-x 2与直线y =3x 的交点为 A （1，3），B （-4，-12）， ∴P 点的横坐标a ∈(-4,1). 点P （a ,b )到直线y =3x 的距离为d =22313+-b a ,∵P 点在抛物线上，∴b =4-a 2，ad '=101·(4-3a -a 2)′=101 (-2a -3)=0,∴a =-23，即当a =-23时，d 最大，这时b =4-49=47, ∴P 点的坐标为（-23,47）时，△PAB 的面积最大. （2）证明设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S , 位于x =-23右侧的面积为S 1. S =14-⎰（4-x 2-3x )d x =6125, S 1=123-⎰（4-x 2-3x )d x =12125, ∴S =2S 1,即直线x =-23平分抛物线与线段AB 围成的图形的面积. 12.在区间［0，1］上给定曲线y =x 2，试在此区间内确定点t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小.解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y =x 2与x 轴、直线x =t 所围成的面积，即S 1=t ·t 2-t 0⎰x 2d x =32t 3. S 2的面积等于曲线y =x 2与x 轴、x =t ,x =1围成的面积减去矩形面积，矩形边长分别为t 2，（1-t ），即 S 2=1t ⎰x 2d x -t 2(1-t )=32t 3-t 2+31. 所以阴影部分的面积S 为 S =S 1+S 2=34t 3-t 2+31（0≤t ≤1）. ∵)(t S '=4t 2-2t =4t (t -21)=0时，得t =0，t =21. 当t =21时，S 最小，∴最小值为S (21)=41. 单元检测三一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.（2007·海南、宁夏文，10）曲线y =e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A .49e2B .2e2C .e2D .2e 2答案D2.（2008·福建文，11）如果函数y =f (x )的图像如图所示，那么导函数y =)(x f '的图像可能是( )。

【步步高】高考数学一轮复习第三章导数及其应用导数的应用课时导数与函数的综合问题文

课时3 导数与函数的综合问题题型一用导数解决与不等式有关的问题命题点1 解不等式例1 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′x －f xx 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是_________．答案 (－∞，－2)∪(0,2) 解析 x >0时⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′<0，∴φ(x )＝f x x 为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数．故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．命题点2 证明不等式例2 证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x ≤x . 证明记F (x )＝sin x －22x ，则F ′(x )＝cos x －22. 当x ∈(0，π4)时，F ′(x )>0，F (x )在[0，π4]上是增函数；当x ∈(π4，1)时，F ′(x )<0，F (x )在[π4，1]上是减函数．又F (0)＝0，F (1)>0，所以当x ∈[0,1]时，F (x )≥0，即sin x ≥22x .记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0,1)时，H ′(x )＝cos x －1<0，所以H (x )在[0,1]上是减函数，则H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x . 综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0,1]．命题点3 不等式恒成立问题例3 已知函数f (x )＝ln x －a x.若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．解 ∵f (x )<x 2，∴ln x －a x<x 2，又x >0，∴a >x ln x －x 3，令g (x )＝x ln x －x 3，则h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x2x，∵当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0.∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数，∴g (x )<g (1)＝－1， ∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立．思维升华 (1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式； (2)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，利用导数求F (x )的值域，得到F (x )<0即可；(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．设a ∈R ，已知函数f (x )＝ax 3－3x 2.(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意的x ∈[1,3]，有f (x )＋f ′(x )≤0恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－3x 2，则f ′(x )＝3x 2－6x .由f ′(x )>0，得x <0或x >2；由f ′(x )<0，得0<x <2.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．(2)依题意，对∀x ∈[1,3]，ax 3－3x 2＋3ax 2－6x ≤0恒成立，等价于不等式a ≤3x 2＋6x x 3＋3x 2＝3x ＋6x 2＋3x对x ∈[1,3]恒成立．令h (x )＝3x ＋6x 2＋3x，x ∈[1,3]，则h ′(x )＝－3x 2＋4x ＋6x 2＋3x 2＝－3[x ＋22＋2]x 2＋3x 2<0，所以h (x )在区间[1,3]上是减函数，所以h (x )的最小值为h (3)＝56.所以a ≤56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，56. 题型二利用导数解决函数零点问题例4 (2014·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． (1)解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a＝－2，所以a ＝1.(2)证明由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根．当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g (x )＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．思维升华研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x 的图象与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．解 f ′(x )＝x (2＋cos x )，令f ′(x )＝0，得x ＝0.∴当x >0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上递增．当x <0时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，0)上递减． ∴f (x )的最小值为f (0)＝1.∵函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b >1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，b 的取值范围是(1，＋∞)．题型三利用导数解决生活中的优化问题例5 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可得，x ＝所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．思维升华在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．答案 40解析由y ′＝x 2－39x －40＝0，得x ＝－1或x ＝40，由于0<x <40时，y ′<0；x >40时，y ′>0. 所以当x ＝40时，y 有最小值．一审条件挖隐含典例 (14分)设f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (2)如果对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．(1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M (正确理解“存在”的含义) [g (x 1)－g (x 2)]max ≥M ↓挖掘[g (x 1)－g (x 2)]max 的隐含实质 ↓g (x )max －g (x )min ≥M↓求得M 的最大整数值(2)对任意s ，t ∈[12，2]都有f (s )≥g (t )↓ (理解“任意”的含义)f (x )min ≥g (x )max↓求得g (x )max ＝1ax＋x ln x ≥1恒成立 ↓分离参数aa ≥x －x 2ln x 恒成立↓求h (x )＝x －x 2ln x 的最大值a ≥h (x )max ＝h (1)＝1↓a ≥1 规范解答解 (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M .[2分] 由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x (x －23)．令g ′(x )>0得x <0，或x >23.[3分]又x ∈[0,2]，所以g (x )在区间[0，23]上单调递减，在区间[23，2]上单调递增，所以g (x )min＝g (23)＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1.故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ，则满足条件的最大整数M ＝4.[6分](2)对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间[12，2]上，函数f (x )min ≥g (x )max .[8分]由(1)可知在区间[12，2]上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在区间[12，2]上，f (x )＝a x＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立．设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，可知h ′(x )在区间[12，2]上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1<x <2时，h ′(x )<0；当12<x <1时，h ′(x )>0.[11分] 即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间(12，1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h (x )max＝h (1)＝1，[13分]所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．[14分]温馨提醒 (1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化．(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的值域问题．[方法与技巧]1．用导数方法证明不等式f(x)>g(x)时，找到函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点是解题的突破口．2．在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．[失误与防范]1．利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“a<f(x)恒成立”，要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到．2．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．A 组专项基础训练(时间：40分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2xx ≤0，ln x ＋1x >0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是__________．答案 [－2,0] 解析 |f (x )|≥ax ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－－x 2＋2x ≥ax x ≤0，1ln x ＋1≥ax x >0， 2成立．①由(1)得x (x －2)≥ax 在区间(－∞，0]上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x <0时，有x －2≤a 恒成立，所以a ≥－2.故a ≥－2.②由(2)得ln(x ＋1)－ax ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，设h (x )＝ln(x ＋1)－ax (x >0)，则h ′(x )＝1x ＋1－a (x >0)，可知h ′(x )为减函数．当a ≤0时，h ′(x )>0，故h (x )为增函数，所以h (x )>h (0)＝0恒成立；当a ≥1时，因为1x ＋1∈(0,1)，所以h ′(x )＝1x ＋1－a <0，故h (x )为减函数，所以h (x )<h (0)＝0恒成立，显然不符合题意；当0<a <1时，对于给定的一个确定值a ，总可以至少找到一个x 0>0，满足h (x 0)＝ln(x 0＋1)－ax 0<0成立．如a ＝12时，取x 0＝4，则h (x 0)＝ln 5－2<0成立，可知0<a <1时，不符合题意．故a ≤0.由①②可知a 的取值范围是[－2,0]．2．已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f xx>0，若a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 a <c <b解析构造函数h (x )＝xf (x )，则h ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )． ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴h (x )是定义在R 上的偶函数．当x >0时，h ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )>0， ∴此时函数h (x )单调递增．∵a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)＝2f (2)＝h (2)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 12f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 12＝h ⎝⎛⎭⎪⎫ln 12＝h (－ln 2)＝h (ln 2)，又12<ln 2<2，∴a <c 0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．答案 3解析 y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大．4．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________．答案 9解析由题意得f ′(x )＝12x 2－2ax －2b .∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0， ∴a ＋b ＝6.∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，易知此时f (x )在x ＝1处有极小值，满足题意，∴ab 的最大值为9.5．设f ′(x )和g ′(x )分别是f (x )和g (x )的导函数，若f ′(x )·g ′(x )<0在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性相反．若函数f (x )＝13x 3－2ax (a >0)与g (x )＝x 2＋2bx在区间(a ，b )上单调性相反，则b －a 的最大值为________．答案 12解析由题意知f ′(x )＝x 2－2a ，g ′(x )＝2x ＋2b ，函数f (x )与g (x )在区间(a ，b )上单调性相反，则有(x 2－2a )·(2x ＋2b )<0在x ∈(a ，b )上恒成立，又0<a 0，于x 2－2a <0在x ∈(a ，b )上恒成立．x 2－2a <0的解集为(－2a ，2a )，所以(a ，b )⊆(－2a ，2a )，所以b －a ≤2a －a ＝－(a －12)2＋12，当a ＝12，b ＝1时，b －a 取得最大值12. 6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )，f ′(x )>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f 1f ′0的最小值为________．答案 2解析 ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b >0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0，∴f 1f ′0＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2，当且仅当a ＝c 时“＝”成立．7．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 014)2f (x ＋2 014)－4f (－2)>0的解集为________．答案 (－∞，－2 016) 解析由2f (x )＋xf ′(x )>x 2，x <0得2xf (x )＋x 2f ′(x )<x 3，所以[x 2f (x )]′<x 3<0. 令F (x )＝x 2f (x )(x <0)，则F ′(x )<0(x <0)，即F (x )在(－∞，0)上是减函数，因为F (x ＋2 014)＝(x ＋2 014)2f (x ＋2 014)，F (－2)＝4f (－2)，所以不等式(x ＋2 014)2f (x ＋2 014)－4f (－2)>0，即为F (x ＋2 014)－F (－2)>0，即F (x ＋2 014)>F (－2)，又因为F (x )在(－∞，0)上是减函数，所以x ＋2 014<－2，所以x <－2 016.8．若对于任意实数x ≥0，函数f (x )＝e x＋ax 恒大于零，则实数a 的取值范围是________．答案 (－e ，＋∞)解析 ∵当x ≥0时，f (x )＝e x＋ax >0恒成立． ∴若x ＝0，a 为任意实数，f (x )＝e x＋ax >0恒成立．若x >0，f (x )＝e x＋ax >0恒成立，即当x >0时，a >－ex x恒成立．设Q (x )＝－e x x .Q ′(x )＝－e x x －exx 2＝1－x exx 2.当x ∈(0,1)时，Q ′(x )>0，则Q (x )在(0,1)上单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，Q ′(x )<0，则Q (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴当x ＝1时，Q (x )取得最大值．Q (x )max ＝Q (1)＝－e ，∴要使x ≥0时，f (x )>0恒成立，a 的取值范围为(－e ，＋∞)． 9．设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：↘↗故f(x)单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r ＝5或－5(因为r ＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数g (x )＝f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象的是________．(填序号)答案 ④解析设h (x )＝f (x )e x，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x. 由x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点． ∴c －a ＝0，∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2，则x 1x 2＝aa＝1，④中图象一定不满足条件．12．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈(0,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [4，＋∞)解析当x ∈(0,1]时不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x 3，设g (x )＝3x －1x3，x ∈(0,1]， g ′(x )＝3x 3－3x －1·3x2x 6＝－6x －12x4. g ′(x )与g (x )随x 的变化情况如下表：x (0，12)12 (12，1) g ′(x ) ＋ 0 － g (x )↗极大值4↘因此g (x )则实数a 的取值范围是[4，＋∞)．13．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析 a ＝0时，不符合题意，a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a，若a >0，则由图象知f (x )有负数零点，不符合题意．则a <0，由图象f (0)＝1>0知，此时必有0<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a <1，即0<a ·8a3－3·4a2＋1<1，化简得a 2>4，又a <0，所以a <－2. 14．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a 2x ＋ax.由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a －1≥e－1，fe ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.15．已知函数f (x )＝ln x ＋1x－1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m ∈R ，对任意的a ∈(－1,1)，总存在x 0∈[1，e]，使得不等式ma －f (x 0)<0成立，求实数m 的取值范围．解 f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，x >0.令f ′(x )>0，得x >1，因此函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)．令f ′(x )<0，得0<x <1，因此函数f (x )的单调递减区间是(0,1)．综上，f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)依题意，ma <f (x )max .由(1)知，f (x )在x ∈[1，e]上是增函数． ∴f (x )max ＝f (e)＝ln e ＋1e －1＝1e .∴ma <1e ，即ma －1e <0对于任意的a ∈(－1,1)恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ×1－1e ≤0，m ×－1－1e≤0，解得－1e ≤m ≤1e .∴m 的取值范围是[－1e ，1e]．。

2015年高考数学(理)核按钮：第三章《导数》(含解析)

第三章导数§3.1 导数的概念及运算1.导数的概念(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的导数.(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一，常以选择，填空的形式出现，有时也出现在解答题中.导数的运算基本上每年都考，一般不单独设题，大都是在考查导数应用的同时考查.1.导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作或y ′0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆xΔyΔx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. (2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数).y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法①求函数的增量Δy ＝；②求平均变化率ΔyΔx ＝；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆xΔy Δx. 2.导数的意义 (1)几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 .相应的切线方程为 .(2)物理意义函数S ＝s (t )在点t 0处的导数s ′(t 0), 就是当物体的运动方程为S ＝s (t )时，物体运动在t 0时刻的瞬时速度v ，即 .设v ＝v (t )是速度函数，则v ′(t 0)表示物体在t ＝t 0时刻的 .3.基本初等函数的导数公式(1)c ′＝ (c 为常数)， (x α) ′＝ (α∈Q *)； (2)(sin x ) ′＝______________， (cos x ) ′＝； (3)(ln x ) ′＝， (log a x ) ′＝；(4)(e x ) ′＝，(a x ) ′＝ . 4.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )] ′＝ . (2)[f (x )g (x )] ′＝；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )] ′＝ . (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝ (g (x )≠0). 5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.【自查自纠】 1.(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2.(1)f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) (2)v ＝s ′(t 0) 加速度3.(1)0 αx α－1 (2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x ) (3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25.y x ′＝y ′u ·u ′x函数f (x )＝1的导函数是( )A ．y ＝0B ．y ＝1C ．不存在D ．不确定解：常数函数的导函数是y ＝f ′(x )＝0.故选A.函数f (x )＝a 3＋5a 2x 2的导数f ′(x )＝( ) A ．3a 2＋10ax 2 B ．3a 2＋10ax 2＋10a 2x C ．10a 2x D ．以上都不对解：f ′(x )＝10a 2x .故选C.曲线y ＝e x 在点A (0，1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e解：y ′＝e x ，y ′|x ＝0＝1，故选A.(2012·广东)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1，3)处的切线方程为 .解：y ′＝3x 2－1，当x ＝1时，y ′＝2，此时切线斜率k ＝2，故切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.故填2x －y ＋1＝0.物体的运动方程是s ＝－13t 3＋2t 2－5，则物体在t ＝3时的瞬时速度为 .解：v (t )＝s ′(t )＝－t 2＋4t ，t ＝3时，v ＝3，故填3.类型一导数的概念设f (x )为可导函数，当x 趋近于0时，f （1）－f （1－2x ）2x趋近于－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解：f （1）－f （1－2x ）2x ＝f （1－2x ）－f （1）－2x ，当x 趋近于0时，－2x 也趋近于0，∴y ′|x ＝1＝－1，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.故选B. 【评析】本题利用导数定义求导数，将“表达式”变形为导数的“定义式”的标准形式是关键，这里要找准增量Δx ＝－2x .“y ′|x ＝1”是指曲线在x ＝1处的切线斜率．已知f ′(0)＝2，则h 趋近于0时，f （3h ）－f （0）h趋近于 .解：f （3h ）－f （0）h ＝3[f （0＋3h ）－f （0）]3h当h 趋近于0时，3h 也趋近于0. ∴f （3h ）－f （0）h趋近于3f ′(0)＝6.故填6.类型二导数的几何意义已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程. 解：(1)设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)．故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)∵y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，∴在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又∵切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20， ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 【评析】曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简． (2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上.②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程； (2)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程； (3)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程.解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)， ∵f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18. ∴切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14. (2)∵f ′(x )＝3x 2＋1，且(2，－6)在曲线f (x )＝x 3＋x －16上， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13x －32. (3)解法一：设切点为(x 0，y 0)， ∵直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过原点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 0＝－2， ∴斜率k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x .解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则斜率k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2， ∴k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x .类型三求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝5x 2－4x ＋1； (2)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中φ为常数)；(4)y ＝x ＋3x ＋2(x ≠－2).解：(1)y ′＝10x －4；(2)y ′＝4x ·(3x ＋1)＋(2x 2－1)·3＝18x 2＋4x －3； (3)y ′＝cos(πx ＋φ)·(πx ＋φ) ′＝πcos(πx ＋φ)；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋2 ′＝－1（x ＋2）2.【评析】求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单．求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)；(2)y ＝xe x －1(x ≠0)；(3)y ＝cos2x ；(4)y ＝ln x ＋3x ＋1(x ＞－1).解：(1)y ′＝(x ＋1) ′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2) ′ ＝x ＋2＋x ＋1＝2x ＋3；(2)y ′＝x ′（e x －1）－x （e x －1）′（e x －1）2＝（1－x ）e x －1（e x －1）2；(3)y ′＝－sin2x ·(2x ) ′＝－2sin2x ；(4)y ′＝[ln(x ＋3)－ln(x ＋1)] ′＝1x ＋3－1x ＋1＝－2（x ＋1）（x ＋3）.1.弄清“函数在一点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在一点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量；(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的.函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )；(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值.2.求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)通常有以下两种方法(1)利用导数的定义：即求lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值；(2)利用导函数的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0).3.求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程.如果切点未知，要先求出切点坐标.4.在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思想方法.1.函数f (x )＝x 3＋sin2x 的导数f ′(x )＝( ) A ．x 2＋cos2x B ．3x 2＋cos2x C ．x 2＋2cos2xD ．3x 2＋2cos2x解：f ′(x )＝3x 2＋(2x ) ′cos2x ＝3x 2＋2cos2x .故选D. 2.已知f (x )＝(x －2)(x －3)，则f ′(2)的值为( ) A ．0 B ．－1C ．－2D ．－3解：∵f ′(x )＝(x －3)＋(x －2)＝2x －5，∴f ′(2)＝－1.故选B.3.曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15解：由y ′|x ＝1＝3，得在点P (1，12)处的切线方程为3x －y ＋9＝0，令x ＝0，得y ＝9，故选C.4.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解：∵f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x ＞0，x ＞0，∴x －2＞0，解得x ＞2.故选C.5.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解：∵y ′＝2x ＋a ，∴y ′|x ＝0＝a ，∴a ＝1. ∵(0，b )在切线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1，故选A.6.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，则曲线在点(0，f (0))处的切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解：∵y ′＝4′·（e x＋1）－4·（e x ＋1）′（e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1，∴y ′|x ＝0＝－41＋2＋1＝－1.故选D.7.曲线y ＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x－1，则切点P 0的坐标是________________.解：∵y ′＝3x 2＋1，又∵3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. ∴切点P 0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．故填(1，0)或(－1，－4)．8.(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.解：令e x ＝t ，则x ＝ln t .∵f (e x )＝x ＋e x ，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝1＋1＝2.故填2.9.求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线的方程.解：设切点坐标为(x 0，y 0)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，∴x 0＝±1. ∴切点为(1，1)或(－1，7)．切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0. 10.设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数.已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线l ，求a ，b 的值，并写出切线l 的方程.解：f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此解得a ＝－2，b ＝5.从而切线l 的方程为x －y －2＝0.11.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x 2.(1)求x ＜0时， f (x )的表达式；(2)令g (x )＝ln x ，问是否存在x 0，使得f (x )，g (x )在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.解：(1)当x ＜0时，－x ＞0， f (x )＝－f (－x )＝－2(－x )2＝－2x 2； ∴当x ＜0时，f (x )的表达式为f (x )＝－2x 2. (2)若f (x )，g (x )在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，当x 0>0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝12.故存在x 0＝12满足条件．(2013·福建改编)已知函数f (x )＝x －1＋ae x(a ∈R ，e 为自然对数的底数). (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，求l 的直线方程.解：(1)f ′(x )＝1－aex ，因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝1－ae ＝0，解得a＝e.(2)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x ，f ′(x )＝1－1e x .设切点为(x 0，y 0)，∵f (x 0)＝x 0－1＋0e 1x ＝kx 0－1，① f ′(x 0)＝1－e 1x ＝k ，② ①＋②得x 0＝kx 0－1＋k ，即(k －1)(x 0＋1)＝0. 若k ＝1，则②式无解，∴x 0＝－1，k ＝1－e. ∴l 的直线方程为y ＝(1－e)x －1.§3.2 导数的应用(一)1.导数在研究函数中的应用(1)结合实例，借助图形直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值，极小值(其中多项式函数不超过三次)，会求闭区间上函数的最大值，最小值(其中多项式函数不超过三次).2.生活中的优化问题举例通过解“利润最大”“用料最省”“效率最高”等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用.高考对导数应用的考查很频繁.内容既可以是对某一类函数性质的研究，也可以联系方程的根，不等式的解等综合考查，选择，填空，解答等题型均有可能出现，分值比较重，是每年高考考查的重点内容之一.1.函数的单调性与导数在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内 .2.函数的极值(1)判断f (x 0)是极大值，还是极小值的方法：一般地，当f ′(x 0)＝0时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧，右侧，那么f (x 0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤： ①求f ′(x )；②求方程的根；③检查f ′(x )在上述方程根的左右对应函数值的符号.如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 .3.函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值.(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则__________为函数在[a ，b ]上的最小值，为函数在[a ，b ]上的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则为函数在[a ，b ]上的最大值，为函数在[a ，b ]上的最小值.(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【自查自纠】 1.单调递减2.(1)②f ′(x )＜0 f ′(x )＞0(2)②f ′(x )＝0 极大值极小值3.(2)f (a ) f (b ) f (a ) f (b ) (3)②f (a ) f (b )若在区间[1，2]内有f ′(x )＞0，且f (1)＝0，则在[1，2]内有( )A ．f (x )≥0B ．f (x )≤0C ．f (x )＝0D ．不确定解：∵f ′(x )＞0，∴f (x )在[1，2]内单调递增． ∵f (1)＝0，∴在[1，2]内f (x )≥0.故选A.已知函数f (x )＝12x 2－x ，则f (x )的单调增区间是( )A ．(－∞，－1)和(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)和(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解：f ′(x )＝x －1，令f ′(x )＞0，解得x ＞1.故选D.关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A ．导数为0的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．f (x )在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数解：导数为0的点不一定是极值点(如y ＝x 3，在x ＝0处)，而极值点的导数一定为0.极值是局部概念，因此极小值可能有多个且有可能大于极大值．极值点是单调性的转折点．故选D.已知函数f (x )＝x 3＋6x 2＋nx ＋4在x ＝－1时有极值，则n ＝ .解：∵f ′(x )＝3x 2＋12x ＋n ，f ′(－1)＝0， ∴3－12＋n ＝0，得n ＝9.故填9.函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝处取得极小值.解：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．所以f (x )的递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间是(0，2)，因此f (x )在x ＝2处取得极小值．故填2.类型一导数法判断函数的单调性设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是()解：当x ＜0时，f (x )为增函数，f ′(x )＞0，排除A ，C ；当x ＞0时，f (x )先增后减，再增，对应f ′(x )先正后负，再正．故选D.【评析】导函数的图象在哪个区间位于x 轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)．若函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，则下列函数中与f (x )的单调性不可能相同的是()解：当x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，只有C 项的单调性与f (x )不同．故选C.类型二导数法研究函数的单调性已知函数f (x )＝x 3－ax ，f ′(1)＝0. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解：(1)f ′(x )＝3x 2－a ，由f ′(1)＝3－a ＝0，得 a ＝3.(2)∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3. 令f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞1. 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间是[－1，1]．【评析】①用导数求函数的单调区间，突破口是讨论导数的符号．②注意：区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．如，本例中[－1，1]也可以写成(－1，1)．③写单调区间时，一般不要使用符号“∪”，可以用“，”“和”分开各区间，原因是各单调区间用“∪”连接的条件是在合并后的区间内函数单调性依然成立．如，本例中(－∞，－1)，(1，＋∞)不能写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)，不妨取x 1＝－32，x 2＝32，x 1＜x 2，而f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝98，f (x 2)＝－98，这时f (x 1)＜f (x 2)不成立．已知函数f (x )＝e x －ax ，f ′(0)＝0.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解：(1)f ′(x )＝e x －a ，由f ′(0)＝1－a ＝0，得 a ＝1.(2)∵f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1. 令f ′(x )＞0，得x ＞0.所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)．类型三导数法研究函数的极值问题已知函数f (x )＝12x 3＋cx 在x ＝1处取得极值.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的极值.解：(1)f ′(x )＝32x 2＋c ，当x ＝1时，f (x )取得极值，则f ′(1)＝0，即32＋c ＝0，得c ＝－32.故f (x )＝12x 3－32x .(2)f ′(x )＝32x 2－32＝32(x 2－1)＝32(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或1.x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：，其中a 斜率为2.(1)确定(2)求函数＝x3＋bx，c)处具有公共切线(1)求a(2)求函数＝f′(x)的图象关于直线(1)求实数(2)求函数解：(1)f是边长为60 cm的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点棱柱形状的包装盒，解：(1)根据题意有S ＝602－4x 2－(60－2x )2＝240x －8x 2，0＜x ＜30， S ′＝240－16x ，令S ′＝0，得x ＝15. 当0＜x ＜15时，S ′＞0，S 递增；当15＜x ＜30时，S ′＜0，S 递减．所以x ＝15 cm 时包装盒侧面积S 最大． (2)根据题意有V ＝(2x )2·22(60－2x )＝22x 2(30－x )，0＜x ＜30，V ′＝62x (20－x )，当0＜x ＜20时，V ′＞0，V 递增；当20＜x ＜30时，V ′＜0，V 递减．所以x ＝20 cm 时包装盒容积V 最大．【评析】本题主要考查学生的空间想象能力，阅读能力，运用数学知识解决实际问题的能力及建立函数模型的能力，属于中档题．注意用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．用长为15 cm ，宽为8 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别裁去一个边长为x 的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时，容器的容积最大？解：依题意，0＜x ＜4，容积V ＝(15－2x )·(8－2x )·x ＝4x 3－46x 2＋120x ， V ′＝12x 2－92x ＋120＝4(3x －5)(x －6)．令V ′＝0，得x ＝53或6(舍去)．当0＜x ＜53时，V ′＞0，V 递增；当53＜x ＜4时，V ′＜0，V 递减．所以高x ＝53 cm 时容器的容积最大．1.用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点.2.极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性.(2)从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大值并不一定比极小值大.(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值.3.实际问题中的最值在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.1.函数f (x )是定义域为R 的可导函数，若f ′(x )＞0，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f ⎝⎛⎭⎫23，c ＝f (－1)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解：因为f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．∵－1＜12＜23，∴f (－1)＜f ⎝⎛⎭⎫12＜f ⎝⎛⎭⎫23，即c ＜a ＜b .故选A.2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象有可能是( )解：当x ＜0时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＞0时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．故选C. 3.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)解：f ′(x )＝(x －3) ′e x ＋(x －3)(e x ) ′＝(x －2)e x ，令 f ′(x )＞0，解得x ＞2，故选D.4.函数f (x )＝(x －1)(x －2)2的极值点为x ＝( )A ．1，2 B.43，2 C.13，1 D.13，43解：f ′(x )＝(x －2)2＋2(x －1)(x －2)＝(x －2)(3x －4)．令f ′(x )＝0⇒x 1＝43，x 2＝2，结合导数的符号变化．故选B.5.f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去)，当－1≤x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ≤1时，f ′(x )＜0.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.故选C.6.(2012·陕西)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( ) A. x ＝12为f (x )的极大值点B. x ＝12为f (x )的极小值点C. x ＝2为 f (x )的极大值点D. x ＝2为 f (x )的极小值点解：f ′(x )＝x －2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝2.当x <2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.7．若函数f (x )＝ax ＋1＋x 在x ＝1处取极值，则a＝________.解：f ′(x )＝－a （x ＋1）2＋1，f ′(1)＝－a4＋1＝0⇒a ＝4.故填4.8.一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm ，60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm 2.解：设长为40 cm 和60 cm 的直角边上对应的矩形边长分别为x cm ，y cm ，则40－x 40＝y60，得y ＝60－32x .矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫60－32x ＝60x －32x 2，令S ′＝60－3x ＝0，得x ＝20.所以当x ＝20时矩形面积最大，最大面积为600 cm 2.故填600.9.(2013·湖北模拟)已知函数f (x )＝2ax 3－3x 2，其中a ＞0.求证：函数f (x )在区间(－∞，0)上是增函数. 证明：f ′(x )＝6ax 2－6x ＝6x (ax －1)．因为a ＞0且x ＜0，所以f ′(x )＞0.所以函数f (x )在区间(－∞，0)上是增函数．10.已知函数f (x )＝x e -x (x ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )的极值.解：(1)f ′(x )＝(1－x )e -x .令f ′(x )＝0，得x ＝1. x在区间(1，＋∞)内是减函数．(2)由(1)可知，函数f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝1e. 11.已知函数f (x )＝ax ＋ln(x ＋1)，a ∈R .(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，试讨论f (x )的单调性.解：f ′(x )＝a ＋1x ＋1.(1)若a ＝2，则f ′(0)＝2＋10＋1＝3，又f (0)＝0，因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －0＝3(x －0)，即3x －y ＝0.(2)∵f ′(1)＝0，∴f ′(1)＝a ＋12＝0，得a ＝－12，∴f (x )＝－12x ＋ln(x ＋1)，x ＞－1，f ′(x )＝－12＋1x ＋1＝－（x －1）2（x ＋1），令f ′(x )＝0，得x ＝1.调递减．(2012·福建)已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a 0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0.其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 解：f (3)＝27－54＋27－abc ＝－abc ＝f (0),因为f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，所以f (x )在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减．∵a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，∴a ＜1＜b ＜3＜c ，∴f (1)＞0，f (3)＝f (0)＜0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0.故选C.§3.3 导数的应用(二)利用导数来解决函数的单调性，极值与最值问题已经成为热点问题之一.既有填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；也有解答题，侧重于导数的综合应用，即导数与函数，数列，不等式的综合应用.故编写导数的应用(二)，以加大学习力度.1.当f ′(x )在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f (x )在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f (x )＝x 3，当x ＝0时，f ′(x )＝，当x ≠0时，f ′(x )＞0，而f (x )＝x 3显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数.2.可导函数求最值的方法f ′(x )＝0⇒x ＝x 1，x 2，…，x n ，x ∈[a ，b ]. 直接比较f (a )，f (b )，f (x 1)，…，f (x n )，找出和____________即可.在此基础上还应注意：(1)结合可减少比较次数.(2)含参数的函数求最值可用：①按分类；②按分类.【自查自纠】 1.02.最小值最大值 (1)单调性 (2)单调性极值点函数f (x )＝ax 3＋x ＋1在x ＝－1处有极值，则a 的值为( )A ．1B ．0C ．－13D ．－12解：f ′(x )＝3ax 2＋1，∵f ′(－1)＝3a ＋1＝0，∴a ＝－13.故选C.函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 解：y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0，解得x ＞12，∴函数y ＝4x 2＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上递增．故选B.已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．0B ．3C ．－1D ．2 解：f ′(x )＝3ax 2＋b ，f ′(－1)＝f ′(1)＝2.故选D.已知f (x )＝sin x ＋2x ，x ∈R ，且f (2a )＜f (a －1)，则a 的取值范围是 .解：∵f ′(x )＝cos x ＋2＞0恒成立，∴f (x )在R 上单调递增．∵f (2a )＜f (a －1)，∴2a ＜a －1，得a ＜－1.故填(－∞，－1)．若函数g (x )＝e x －3x 在(1，＋∞)上的最小值是 .解：g ′(x )＝e x －3，令g ′(x )＝0，得x ＝ln3，g (x )在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，所以g (x )在(1，＋∞)上的最小值g (ln3)＝3－3ln3.故填3－3ln3.类型一函数单调性的进一步讨论设函数f (x )＝x e kx (k ≠0).(1)若k ＞0，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围.解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx .若k ＞0，令f ′(x )＞0，得x ＞－1k，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－1k ，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－1k . (2)∵f (x )在区间(－1，1)内单调递增，∴f ′(x )＝(1＋kx )e kx ≥0在(－1，1)内恒成立， ∴1＋kx ≥0在(－1，1)内恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋k ·（－1）≥0，1＋k ·1≥0，解得－1≤k ≤1. 因为k ≠0，所以k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．【评析】①函数单调性的讨论归结为对不等式解的讨论；②函数f (x )在限定区间是单调函数，求参数范围的问题，可以转化为恒成立问题求解．若函数f (x )＝－x ＋b ln(x ＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解：∵f ′(x )＝－1＋bx ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤x ＋2在[－1，＋∞)上恒成立．∴b ≤1.故选C .类型二极值与最值的进一步讨论(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R ).(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值.解：(1)∵当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x.∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1.∴所求切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0.若a ≤0，则f ′(x )＞0恒成立，f (x )不存在极值．所以f (x )的极小值f (a )＝a －a ln a .【评析】本题要求掌握运用导数研究函数的单调性，极值的一般步骤．第二问对分类讨论要求较高，其分类是以表格为基础进行的．(2013·河南模拟)已知函数f (x )＝x ln x 在区间[t ，＋∞)(t ＞0)上的最小值大于－1e，则t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(1，e) C.⎣⎡⎭⎫1e ，1 D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ 解：f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.x所以f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. 显然，若t ＞1e ，则f (x )的最小值大于－1e.故选D.类型三方程根的讨论已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)求f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )与直线y ＝e x 有唯一公共点. 解：(1)∵f ′(0)＝e 0＝1，f (0)＝1，∴切线方程为y －1＝1·(x －0)，即x －y ＋1＝0. (2)证法一：设g (x )＝e x －e x ，曲线y ＝e x 与y ＝e x 的公共点的个数等于函数g (x )＝e x －e x 零点的个数．∵g ′(x )＝e x －e ，令g ′(x )＝0，得x ＝1， ∴g(x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g (x )的最小值g (1)＝e 1－e ＝0，g (x )＝e x －e x ≥0(仅当x ＝1时，等号成立)． ∴曲线y ＝f (x )与直线y ＝e x 有唯一公共点．证法二：⎝⎛⎭⎫由于方程e x ＝e x 等价于x e x ＝1e . 设h (x )＝xe x ，分析方法类似证法一．【评析】通过作差或作商可得到新的函数，求出新函数的单调区间，极值点，区间端点处的函数值，特殊点(如图象与x 轴，y 轴交点)，来判断交点的个数．若a ＞1e，则方程ln x －ax ＝0的实根的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个解法一：由于方程ln x －ax ＝0等价于ln xx＝a .设f (x )＝ln xx .∵f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，∴f (x )在(0，e)上单调递增；在(e ，＋∞)上单调递减．∴f (x )的最大值f (e)＝1e，f (x )＝ln x x ≤1e (仅当x ＝e 时，等号成立)．∵a ＞1e，∴原方程无实根．解法二：设g (x )＝ln x －ax ，分析单调性，极值可得结论．故选A.类型四导数法证明不等式已知函数f (x )＝e x ，当x ∈[0，1]时.求证： (1)f (x )≥1＋x ； (2)(1－x )f (x )≤1＋x .证明：(1)设g (x )＝e x－x －1，x ∈[0，1]． ∵g ′(x )＝e x －1≥0，∴g (x )在[0，1]上是增函数， g (x )≥g (0)＝1－0－1＝0. ∴e x ≥1＋x ，即f (x )≥1＋x .(2)设h (x )＝(1－x )e x －x －1，x ∈[0，1]． ∵h ′(x )＝－x e x －1＜0，∴h (x )在[0，1]上是减函数，h (x )≤h (0)＝1－0－1＝0.∴(1－x )e x －x －1≤0，即(1－x )f (x )≤1＋x .【评析】①用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；②由作差或者作商来构造函数是最基本的方法；③本题通过作差构造函数，分析其单调性，最值，得出函数值恒大于或小于0，使问题得证．(2013·江西模拟)设函数f (x )＝x1＋x，g (x )＝ln x ＋12.求证：当0＜x ≤1时，f (x )≥g (x ).证明：设h (x )＝x 1＋x－ln x －12，0＜x ≤1.∵h ′(x )＝1＋x －x （1＋x ）2－1x ＝1（1＋x ）2－1x＝－x 2－x －1（1＋x ）2x ＜0， ∴h (x )在(0，1]上单调递减．∵h (1)＝12－0－12＝0，h (x )≥0(仅当x ＝1时，等号成立)． ∴当0＜x ≤1时，f (x )≥g (x )．1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明.2.求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量； (2)运用最值.3.方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论.4.高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.1.函数f (x )的导函数为f ′(x )＝1－xx，则f (x )的单调增区间是( )A ．(－∞，0)B ．[1，＋∞)C ．(0，1]D ．(－∞，0)，[1，＋∞)解：令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜1.又f ′(1)＝0，所以f (x )在(0，1]上单调递增．故选C.2.函数f (x )＝43x 3－x 2的单调减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 解：f ′(x )＝4x 2－2x ＝2x (2x －1)，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.所以f (x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫0，12.故选D.3.已知函数f (x )＝mx 3＋12m x ，f ′(1)＝－12，则实数m 的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解：f ′(x )＝3mx 2＋12m ，由f ′(1)＝3m ＋12m ＝－12，得m 2＋4m ＋4＝0，即(m ＋2)2＝0，故m ＝－2，故选B.4.函数f (x )＝x (1－x )n 的部分图象如图所示，f (x )在x ＝13处取极值，则n 的值为()A ．1B ．－1C ．2D ．－2解：f ′(x )＝(1－x )n －nx (1－x )n -1＝(1－x －nx )(1－x )n -1，∵x ＝13为f (x )的极值点，∴f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，得⎝⎛⎭⎫1－13－n 3·⎝⎛⎭⎫23n －1＝0，∴n ＝2.故选C.5.已知函数f (x )＝e xx，则x ＞0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极大值也无极小值解：f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝（x －1）e xx 2，x ＞0.令f ′(x )＝0，得x ＝1.又f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以x ＝1为f (x )的极小值点，f (x )无极大值．故选B.6.若对于R 上的可导函数f (x )满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＜2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)＞2f (1)解：当x ＞1时，f ′(x )≥0，f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x ＜1时，f ′(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故f (x )的最小值为f (1)，必有f (0)＋f (2)≥2f (1)．故选C .7.(2013·山西模拟)函数f (x )＝x 2＋3xf ′(1)，在点(2，f (2))处的切线方程为 .解：f ′(x )＝2x ＋3f ′(1)，f ′(1)＝2×1＋3f ′(1)，得f ′(1)＝－1，所以f (x )＝x 2－3x ，f ′(x )＝2x －3.代入x ＝2，可知f (2)＝－2，f ′(2)＝1，在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.故填x －y －4＝0.8.(2013·广东改编)函数f (x )＝(x －1)e x －x 2的单调减区间是 .解：f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜ln2.故填(0，ln2)．9.已知函数f (x )＝12ax 2＋(a －1)x ＋1，a ∈R .(1)求f (x )的图象在(0，f (0))处的切线方程； (2)若f (x )在区间(1，4)上为减函数，求实数a 的取值范围.解：(1)f ′(x )＝ax ＋a －1，f ′(0)＝a －1，f (0)＝1. 所以在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝(a －1)(x －0)，即(a －1)x －y ＋1＝0.(2)∵f (x )在区间(1，4)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在区间(1，4)上恒成立， ∴ax ＋a －1≤0在区间(1，4)上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a ·1＋a －1≤0，a ·4＋a －1≤0，得⎩⎨⎧a ≤12，a ≤15.因此a ≤15.10.已知函数f (x )＝e x －2x ＋a ，a ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在R 上有零点，求a 的取值范围. 解：(1)f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.所以f (x )的单调减区间是(－∞，ln2)，单调增区间是(ln2，＋∞)． (2)若f (x )在R 上有零点，则f (x )的最小值f (ln2)≤0，即e ln2－2ln2＋a ≤0，得a ≤2ln2－2.11.已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ，a ≠0.(1)若x ＝1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值； (2)讨论f (x )的单调性.解：(1)f ′(x )＝2x ＋ax，x ＞0.因为f ′(1)＝0，所以2＋a ＝0，得a ＝－2，经检验，当a ＝－2时，x ＝1是函数f (x )的极值点． (2)①若a ＞0，则f ′(x )＞0恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a ＜0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a2，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．(2014届湖北重点中学高三10月阶段性统一考试)已知函数f (x )＝a x ＋x 2，g (x )＝x ln a ，a ＞1.(1)求证：函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若函数y ＝|F (x )－b 2－3b |－3有四个零点，求b 的取值范围.证明：(1)F (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，F ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x .∵a ＞1，当x ∈(0，＋∞)时，a x －1＞0，ln a ＞0，2x ＞0，∴F ′(x )＞0，函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知F (x )在(0，＋∞)上单调递增，当x ＜0时，a x －1＜0，ln a ＞0，2x ＜0， ∴函数F (x )在(－∞，0)上单调递减．当x 趋近于＋∞或－∞时，F (x )趋近无穷大． ∴F (x )的最小值为F (0)＝1. 由|F (x )－b 2－3b |－3＝0，得F (x )＝b 2＋3b ＋3或F (x )＝b 2＋3b －3.所以要使函数y ＝|F (x )－b 2－3b |－3有四个零点，只需b 2＋3b ＋3＞1且b 2＋3b －3＞1，即b 2＋3b ＞4.解得b ＜－4或b ＞1.§3.4 定积分与微积分基本定理1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.3.初步掌握定积分的主要应用：①利用定积分求曲边梯形的面积；②利用定积分求变速直线运动物体的路程；③利用定积分求变力作的功.近几年高考试卷中对定积分的考查主要内容有：定积分的运算，求曲边梯形的面积(或利用曲边梯形的面积计算概率)，定积分的物理应用等，一般为选择，填空题，难度不大.1.定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )作和式∑=-ni i f n ab 1)(ξ.当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作，即⎠⎛a bf (x )d x ＝∑=∞→-ni i n f n a b 1)(lim ξ.其中f (x )称为________，x 称为__________，f (x )d x 称为__________，[a ，b ]为__________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号.(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为，近似代替，求和， .2.定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝ (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝ (其中a ＜c ＜b ). 3.微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x ) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式.常常把F (b )－F (a )记作，即 ⎠⎛abf (x )d x ＝＝ .4.定积分在几何中的简单应用(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，由直线x＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝.(2)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为负时，由直线 x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝ .(3)当x ∈[a ，b ]有f (x )＞g (x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝.一般情况下，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x轴，曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝ (其中a >0)；若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝ (其中a >0).5.定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V (t )，速度方向不变)在时间区间[a ，b ]上所经过的路程S ＝____________.(2)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所作的功W ＝ .(3)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所作的功W ＝ .【自查自纠】1.(1)⎠⎛ab f (x )d x 被积函数积分变量被积式积分区间 (2)分割取极限。

【走向高考·2015】高考数学一轮总复习课件(北师大版)：第三章导数及其应用-2

走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
[解析 ] f ′(x)＝2ax，当 x<0 时，由 f ′(x)＝2ax<0，得 a>0，∴a>0，b∈R.
第二章
第二节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
(理)函数 y＝ax3－x 在 R 上是减函数，则 1 A．a＝3 C．a＝2
)
1 A．x＝2为 f(x)的极大值点 1 B．x＝2为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点
[答案] D
第二章
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
2 1 1 2 [解析 ] f ′(x)＝－ 2＋＝ (1－ )＝0 可得 x＝2. x x x x 当 0<x<2 时， f ′(x) < 0 ，f(x)单调递减；当 x>2 时， f ′(x) > 0 ，∴f(x)单调递增．所以 x＝2 为极小值点．
[答案] D
(
)
B．a＝1 D．a≤0
第二章
第二节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
3．(文)函数 f(x)＝ax2－b 在区间 (－∞，0)内是减函数，则 a，b 应满足 ( )
A．a<0 且 b＝0 B ．a>0 且 b∈R C．a<0 且 b≠0 D ．a<0 且 b∈R
[答案] B
第二章
第二节
________，且 f ′(b)＝0，而且在点

【步步高】2015届高考数学总复习正弦定理和余弦定理学案理北师大版

第五章解三角形与平面向量学案23正弦定理和余弦定理导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．自主梳理1．三角形的有关性质(1)在△ABC中，A＋B＋C＝________；(2)a＋b____c，a－b<c；(3)a>b⇔sin A____sin B⇔A____B；(4)三角形面积公式：S△ABC＝12ah＝12ab sin C＝12ac sin B＝_________________；(5)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或________________⇔三角形为等腰或直角三角形；sin(A＋B)＝sin C，sin A＋B2＝cosC2.2．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容________________＝2Ra2＝____________，b2＝____________，c2＝____________.变形形式①a＝__________，b＝__________，c＝__________；②sin A＝________，sin B＝________，sin C＝________；③a∶b∶c＝__________；④a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin Acos A＝________________；cos B＝________________；cos C＝_______________.解决①已知两角和任一边，求另一角和其他①已知三边，求各角；的问题两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.自我检测1．(2010·上海)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2．(2010·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C＝23sinB，则A等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．(2011·烟台模拟)在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则边a 的值为( ) A ．27 B.21 C.13D ．34．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2， sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.探究点一正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c .变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；(2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二余弦定理的应用例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac .(1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .探究点三正、余弦定理的综合应用例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C .(1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3的值．1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·湖北)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于 ( ) A ．－223B.223C ．－63D.632.在△ABC 中AB ＝3，AC =2，BC 10则AB → AC →等于 ( ) A ．－32B ．－23C.23D.323．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形4．(2011·聊城模拟)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．135°D ．45°或135°5．(2010·湖南)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定题号 1 2 3 4 5 答案6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状为________________．7．(2010·广东)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.8．(2011·龙岩模拟)在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6，则∠BAC 的大小为________．三、解答题(共38分)9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 25A =，AB →AC →=3. (1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．10．(12分)(2010·陕西)在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．11．(14分)(2010·重庆)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋C ＋π41－cos 2A的值．答案自主梳理1．(1)π (2)> (3)> > (4)12bc sin A (5)A ＋B ＝π2 2.a sin A ＝b sin B ＝csin C b 2＋c 2－2bc cos A a 2＋c 2－2ac cos B a 2＋b 2－2ab cos C ①2R sin A 2R sin B 2R sin C ②a 2R b2Rc2R ③sin A ∶sin B ∶sin C b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab自我检测 1．C 2.A 3.C4.π6 5.1 课堂活动区例1 解题导引已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中．已知a 、b 和A ，求B .若A 为锐角，①当a ≥b 时，有一解；②当a ＝b sin A 时，有一解；③当b sin A <a b 时，有一解；②当a ≤b 时，无解．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝32. ∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin Csin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin C sin B ＝6－22.综上，A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22，或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22. (2)∵B ＝60°，C ＝75°，∴A ＝45°. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得b ＝a ·sin B sin A ＝46，c ＝a ·sin C sin A ＝43＋4.∴b ＝46，c ＝43＋4. 变式迁移1 (1)102(2)60°或120°解析 (1)∵在△ABC 中，tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，∴sin A ＝110. 又∵BC ＝1.∴根据正弦定理得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.(2)由b >a ，得B >A ，由a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝25650×22＝32，∵0°<B <180° ∴B ＝60°或B ＝120°.例2 解 (1)∵a 2＋c 2－b 2＝ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)方法一将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a . 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714.∵0<A <π， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114， ∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法二将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a .由正弦定理，得sin B ＝7sin A . 由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝2114.又b ＝7a >a ，∴B >A ， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714.∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A . ∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝2π3－A ，∴sin(2π3－A )＝3sin A ，∴sin2π3cos A －cos 2π3sin A ＝3sin A ， ∴32cos A ＋12sin A ＝3sin A ， ∴5sin A ＝3cos A ， ∴tan A ＝sin A cos A ＝35.变式迁移2 解由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac . 又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4ac ＝3，解得a ＝1，c ＝3，或a ＝3，c ＝1.∴a 等于1或3.例3 解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．解方法一 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B ) ⇔a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦定理，得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B cos B sin A ， ∴sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0， ∴sin 2A ＝sin 2B ，由0<2A <2π，0<2B <2π，得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．方法二同方法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正、余弦定理，即得a 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0， ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴三角形为等腰三角形或直角三角形．变式迁移3 解题导引在正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 中，2R 是指什么？a ＝2R sinA ，b ＝2R sinB ，c ＝2R sinC 的作用是什么？(1)证明在△ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B sin C ＝cos Bcos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0.所以B ＝C .(2)解由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，故cos 2B ＝－cos(π－2B )＝－cos A ＝13.又0<2B <π，于是sin 2B ＝1－cos 22B ＝223.从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝429， cos 4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79.所以sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3 ＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3＝42－7318.课后练习区1．D 2.D 3.B 4.B 5.A 6．等边三角形解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴ac ＝a 2＋c 2－ac ， ∴(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 7．1解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°知，B ＝60°. 由正弦定理知，1sin A ＝3sin 60°，即sin A ＝12.由a <b 知，A <B ，∴A ＝30°，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°，∴sin C ＝sin 90°＝1. 8.π4 解析设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β，则tan α＝13，tan β＝12， ∴tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1. ∵∠BAC 为锐角，∴∠BAC 的大小为π4. 9．解 (1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45.……………………………………………………(4分) 又由AB →·AC →＝3得bc cos A ＝3，所以bc ＝5，因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2.…………………………………………………………………(8分) (2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－165bc ＝20，所以a ＝2 5.………(12分) 10．解在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，…………………………………………………………………(6分) ∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.…………………………………………………………(8分) 在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B， ∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.…………………………………………………………………………(12分) 11．解 (1)∵3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝423bc . 由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223，……………………………………………(4分) 又0<A <π，故sin A ＝1－cos 2A ＝13.……………………………………………………(6分) (2)原式＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫π－A ＋π41－cos 2A………………………………………………………(8分) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫A －π42sin 2A＝2⎝⎛⎭⎫22sin A ＋22cos A ⎝⎛⎭⎫22sin A －22cos A 2sin 2A …………………………………………(11分) ＝sin 2A －cos 2A 2sin 2A ＝－72. 所以2sin (A ＋π4)sin (B ＋C ＋π4)1－cos 2A＝－72.……………………………………………………(14分)。

2015步步高高中数学理科文档第三章_3.4

§3.4 定积分1．用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近似代替、求和、取极限． 2．定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx .当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x . 3．定积分的运算性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃba f (x )d x (k 为常数)． (2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x . (3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (a <c <b )．4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a )记为F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则ʃb a f (x )d x ＝ʃb a f (t )d t .( √ ) (2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( √ )(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × ) (4)若f (x )是偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .( √ ) (5)若f (x )是奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.( √ )(6)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )2． (2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析令v (t )＝0得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t)d t＝(7t －32t 2＋25ln(1＋t ))|40 ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.3．函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如下图，则f (x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.13B.43C ．2D.83答案 B解析由题意知f ′(x )＝2x ＋2，由于f (0)＝0，所以f (x )＝x 2＋2x ，令f (x )＝0，解得x ＝0或x ＝－2，故函数f (x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为S ＝||ʃ 0－2(x 2＋2x )d x ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2| 0－2 ＝43，故选B. 4． (2013·湖南)若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13×T 3＝9. ∴T 3＝27，∴T ＝3.5．由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为________________________．答案⎰⎰⎰+-x x x x x x d cos d cos d cos π2π202π32π32π解析如图：阴影部分的面积为⎰⎰⎰+-x x x x x x d cos d cos d cos π2π202π32π32π.题型一定积分的计算例1 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在 (2)若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2思维启迪 (1)利用定积分的性质和微积分基本定理计算； (2)利用定积分的几何意义计算．答案 (1)C (2)A解析 (1)如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. (2)根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y ＝－x 2－2x是一个半径为1的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，即在区间[－2，m ]上该函数图象应为14个圆，于是得m ＝－1，故选A.思维升华 (1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对函数图象和圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解．(1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋ʃ a 03x 2d x ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.(2)⎰-2ππsin x d x ＝________.答案 (1)1 (2)0解析 (1)由题意知f (1)＝lg 1＝0， ∴f (0)＝0＋a 3－03＝1，∴a ＝1.(2)由于函数y ＝sin x 在区间[－π2，π2]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，在x轴上方和下方面积相等，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即⎰-π2πsin x d x＝0.题型二利用定积分求曲边梯形的面积例2 如图所示，求由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成的图形的面积．思维启迪求出两切线交点M 的坐标⎝⎛⎭⎫32，3，将积分区间分为两段⎣⎡⎦⎤0，32、⎣⎡⎦⎤32，3. 解由题意，知抛物线y ＝－x 2＋4x －3在点A 处的切线斜率是k 1＝y ′|x ＝0＝4，在点B 处的切线斜率是k 2＝y ′|x ＝3＝－2.因此，抛物线过点A 的切线方程为y ＝4x －3，过点B 的切线方程为y ＝－2x ＋6.设两切线相交于点M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －3，y ＝－2x ＋6消去y ，得x ＝32，即点M 的横坐标为32.在区间⎣⎡⎦⎤0，32上，曲线y ＝4x －3在曲线y ＝－x 2＋4x －3的上方；在区间⎣⎡⎦⎤32，3上，曲线y ＝－2x ＋6在曲线y ＝－x 2＋4x －3的上方．因此，所求的图形的面积是 S ＝⎰230[(4x －3)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋⎰33[(－2x ＋6)－(－x 2＋4x －3)]d x＝⎰230x 2d x ＋⎰33 (x 2－6x ＋9)d x＝98＋98＝94. 思维升华对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B (12，5)、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．答案 54解析由已知可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ， x ∈[0，12]，－10x ＋10， x ∈(12，1]，则y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2， x ∈[0，12]，－10x 2＋10x ， x ∈(12，1]，画出函数图象，如图所示，所求面积S ＝⎰210(10x 2)d x ＋⎰11(－10x 2＋10x )d x ＝ ⎪⎪103x 3120＋⎪⎪(－103x 3＋5x 2)112＝512＋(－103＋5)－(－103×18＋5×14)＝54. 题型三定积分在物理中的应用例3 一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为__________．思维启迪从题图上可以看出物体在0≤t ≤1时做加速运动，1≤t ≤3时做匀速运动，3≤t ≤6时也做加速运动，但加速度不同，也就是说0≤t ≤6时，v (t )为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积．答案 494m解析由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)2 (1≤t ≤3)13t ＋1 (3≤t ≤6)，因此该物体在12 s ～6 s 间运动的路程为s ＝⎰621v (t )d t ＝⎰1212t d t ＋ʃ312d t ＋ʃ63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝t 2|112＋2t |31＋⎝⎛⎭⎫16t 2＋t |63＝494 (m)．思维升华定积分在物理方面的应用主要包括：①求变速直线运动的路程；②求变力所做的功．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5， 0≤x ≤2，3x ＋4， x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦．答案 36解析 W ＝ʃ40F (x )d x ＝ʃ205d x ＋ʃ42(3x ＋4)d x ＝5x | 20＋(32x 2＋4x )| 42＝36.函数思想、数形结合思想在定积分中的应用典例：(12分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．思维启迪 (1)题目要求是求S 1与S 2之和最小，所以要先构造S ＝S 1＋S 2的函数，利用函数思想求解．(2)S 1、S 2的面积只能通过定积分求解，所以要选准积分变量．规范解答解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－ʃt 0x 2d x ＝23t 3.[2分]S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝ʃ1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.[4分]所以阴影部分的面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．[6分] 令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. [8分] t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.[10分] 所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.[12分]温馨提醒 (1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查知识的迁移能力和导数的应用意识．(2)本题易错点：一是缺乏函数的意识；二是不能正确选择被积区间.方法与技巧1．求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )．(3)利用定积分的几何意义求定积分 2．求曲边多边形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和． (4)计算定积分．失误与防范1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负． 5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷.A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题 1．⎰2π(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3答案 A 解析()()2ππ0sin cos d cos sin ⎰--=-x a x x x a x＝－a ＋1＝2，a ＝－1.2．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3 答案 D 解析⎰--=3π3ππ3πsin d cos x x x ＝sin π3－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝ 3.3． (2013·江西)若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 ( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析利用定积分的几何意义知B 正确．4．图中阴影部分的面积是( )A ．16B ．18C ．20D ．22答案 B解析 S ＝ʃ4－2⎝⎛⎭⎫y ＋4－y 22d y ＝⎝⎛⎭⎫y 22＋4y －y 36|4－2＝18. 5．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233JC.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )×cos 30°d x ＝ʃ21(5－x 2)×32d x ＝⎝⎛⎭⎫5x －13x 3×32|21＝433， ∴F (x )做的功为43 3 J.二、填空题6． ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.答案 12解析 ʃ30(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |30＝13×33＋3＝12.7．如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．答案 43解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝ʃ20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝ʃ20(－x 2＋2x )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.8．汽车以v ＝3t ＋2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________ m. 答案 6.5解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21 ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132 (m)．三、解答题9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝10223)61)32(x x +＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2|31 ＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km /h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解由题意，得v 0＝54 km /h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0－at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5. 所以开始刹车5 s 后，汽车停车．所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为s ＝ʃ50v (t )d t ＝ʃ50(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2|50＝37.5(m)．故汽车走了37.5 m.B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76答案 A解析根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e1＝13＋1＝43. 2. 从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为( )A.12B.13C.14D.16答案 B解析根据题意由定积分的几何意义可得如图所示阴影部分的面积为S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝23x 32| 10－13x 3| 10＝13，所以点M 取自阴影部分的概率为S S OABC ＝131×1＝13. 3．作变速直线运动的质点的速度是v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t (0≤t ≤20)，20(20<t ≤80)，100－t (80<t ≤100).(单位m/s)(1)该质点从t ＝10到t ＝30时所经过的路程是________ m ； (2)该质点从开始运动到结束运动共经过________ m. 答案 (1)350 (2)1 600解析 (1)s 1＝ʃ3010v (t )d t ＝ʃ2010t d t ＋ʃ302020d t＝ ⎪⎪⎪⎪12t 22010＋20t 3020＝350. (2)s 2＝ʃ1000v (t )d t ＝ʃ200t d t ＋ʃ802020d t ＋ʃ10080(100－t )d t＝1 600.4．曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P (12，0)，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积．解设切点坐标为(x 0，y 0)， y ′＝6x 2－6x －2，则f ′(x 0)＝6x 20－6x 0－2，切线方程为y ＝(6x 20－6x 0－2)(x －12)，则y 0＝(6x 20－6x 0－2)(x 0－12)，即2x 30－3x 20－2x 0＋1＝(6x 20－6x 0－2)(x 0－12)，整理得x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0，解得x 0＝0，则切线方程为y ＝－2x ＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋1y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝－2.由y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1与y ＝－2x ＋1的图象可知S ＝⎰230[(－2x ＋1)－(2x 3－3x 2－2x ＋1)]d x ＝⎰30(－2x 3＋3x 2)d x ＝2732.5．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝ ⎪⎪(x 22－13x 3)10＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝ ⎪⎪(1－k 2x 2－13x 3)1－k 0＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.。

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件

学案2命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标：1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(p⇒q)；逆命题：若q则p(q⇒p)；否命题：若綈p则綈q(綈p⇒綈q)；逆否命题：若綈q则綈p(綈q⇒綈p)．(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p 叫做q的充要条件．自我检测1．(2010·湖南)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0答案 C解析对于C选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x∈R，x3>0是假命题．2．(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析a>0⇒|a|>0，|a|>0 a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．3．(2009·浙江)“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题答案 C解析由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．5．(2011·宜昌模拟)与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M，则b∉MB．若b∉M，则a∈MC．若a∉M，则b∈MD．若b∈M，则a∉M答案 D解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．探究点一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案①③解析①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二充要条件的判断例2 给出下列命题，试分别指出p 是q 的什么条件．(1)p ：x －2＝0；q ：(x －2)(x －3)＝0.(2)p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等．(3)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．(4)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．解 (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0x －2＝0.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q p .∴p 是q 的充分不必要条件．变式迁移2 (2011·邯郸月考)下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 D解析 ①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)>0⇔q ：m <－2或m >6⇔p ；②当f (x )＝0时，由q p ；③若α，β＝k π＋π2，k ∈Z 时，显然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p ：A ∩B ＝A ⇔p ：A ⊆B ⇔q ：∁U A ⊇∁U B .故①④符合题意．探究点三充要条件的证明例3 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.解题导引有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明 (1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0，可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°，(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.①将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.变式迁移3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明 (1)必要性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0.∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.(2)充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0.∵a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.转化与化归思想的应用例 (12分)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且m ∈Z .求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解 ∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0. [2分] 另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈[－54，1]． [6分] ∵两根为整数，故和与积也为整数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z4m ∈Z 4m 2－4m －5∈Z ，∴m 为4的约数， [8分]∴m ＝－1或1，当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数，而当m ＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. [12分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m ≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p与q是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p对q而言，还是q对p而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节体现了转化与化归的数学思想．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·天津模拟)给出以下四个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②若a >b ，则am 2>bm 2；③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④答案 C解析对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．2．(2010·浙江)设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵0<x <π2，∴0<sin x <1. ∴x sin x <1⇒x sin 2x <1，而x sin 2x <1x sin x <1.故选B.3．(2009·北京)“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由α＝π6＋2k π(k ∈Z )可得到cos 2α＝12. 由cos 2α＝12得2α＝2k π±π3(k ∈Z )． ∴α＝k π±π6(k ∈Z )．所以cos 2α＝12不一定得到α＝π6＋2k π(k ∈Z )． 4．(2011·威海模拟)关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真答案 D解析本题考查四种命题之间的关系及真假判断．对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．5．(2011·枣庄模拟)集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 A ＝{x |－4≤x ≤4}，若A ⊆B ，则a >4，a >4a >5，但a >5⇒a >4.故选B.二、填空题(每小题4分，共12分)6．“x 1>0且x 2>0”是“x 1＋x 2>0且x 1x 2>0”的________条件．答案充要7．(2011·惠州模拟)已知p ：(x －1)(y －2)＝0，q ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，则p 是q 的 ____________条件．答案必要不充分解析由(x －1)(y －2)＝0得x ＝1或y ＝2，由(x －1)2＋(y －2)2 ＝0得x ＝1且y ＝2，所以由q 能推出p ，由p 推不出q, 所以填必要不充分条件．8．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．答案 [3,8)解析因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·许昌月考)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(3)若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零．解 (1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q <1，为假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．(4分)(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题．否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题．逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．(8分)(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，为真命题．否命题：若x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，为真命题．(12分)10．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}，(2分)B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0} ＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}＝{x |x <－4或x ≥－2}．(4分)∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p 綈q .则{x |綈q }Ø{x |綈p }，(6分)而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，{x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，∴{x |－4≤x <－2}Ø{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，(10分)则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a <0.(11分) 综上，可得－23≤a <0或x ≤－4.(12分)11．(14分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明充分性：当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p ＋q ＝p －1.(2分)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．当n ＝1时也成立．(4分)于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p (n ∈N *)，即数列{a n }为等比数列．(6分)必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．∵p ≠0，p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n 1(p －1)＝p .(10分) ∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p (p －1)p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q .∴q ＝－1.(13分)综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．(14分)。

【步步高学案导学设计】2014-2015学年高中数学第三章导数应用章末检测(A)北师大版选修2-2

第三章导数应用(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y ＝x 2＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，－3) C ．(－2，－3) D ．(－2,3)2．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调减区间为( ) A ．(－∞，－1)及(0,1) B ．(－1,0)及(1，＋∞) C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)及(1，＋∞)3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x (－1<x <1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，也无最小值 D ．无最大值，但有最小值4．已知函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值范围为( )A ．a >13B ．a ≥13C ．a <13且a ≠0D ．a ≤13且a ≠05．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N ＋)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 010x 1＋log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009的值为( )A ．－log 2 0102 009B ．－1C ．(log 2 0102 009)－1D ．17．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( )A ．b <－1或b >2B ．b ≤－1或b ≥2C ．－1<b <2D ．－1≤b ≤28．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15 D ．5，－169．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( ) A.827π B.1627π C.89π D.169π 10．函数y ＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则点(a ，b )为( ) A ．(3，－3) B ．(－4,11) C ．(3，－3)或(－4,11) D ．不存在11．函数f (x )＝cos 3x ＋sin 2x －cos x 的最大值等于( ) A.427 B.827 C.1627 D.3227 12. 已知f (x )的导函数f ′(x )图像如图所示，那么f (x )的图像最有可能是图中的( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．14．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．15．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为__________．16．将边长为1 m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝梯形的周长2梯形的面积，则s的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．18．(12分)设铁路AB长为50，BC⊥AB，且BC＝10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4.(1)将总运费y表示为x的函数；(2)如何选点M才使总运费最小？19.(12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(]0，1上的最大值为12，求a 的值．20．(12分)要设计一容积为V 的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半．问储油罐的半径r 和高h 之比为何值时造价最省？21.(12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R )，其中a >0.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．答案1．B [∵f ′(x )＝2x ＋2＝0，∴x ＝－1. f (－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3. ∴M (－1，－3)．]2．A [y ′＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)，令y ′<0得x 的范围为(－∞，－1)∪(0,1)．]3．C [∵f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2， ∴f ′(x )>0，∴f (x )在(－1,1)上单调递增， ∴f (x )在(－1,1)上无最值．]4．C [f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，函数f (x )在(－∞，＋∞)上有极大值，也有极小值，等价于f ′(x )＝0有两个不等实根，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ≠0，Δ＝4－12a >0. 解得a <13且a ≠0.]5．C [设底面边长为a ，直三棱柱高为h .体积V ＝34a 2h ，所以h ＝4V3a 2，表面积S ＝2·34a 2＋3a ·4V 3a2＝32a 2＋43Va ， S ′＝3a －43V a2，由S ′＝0，得a ＝34V . 经验证，当a ＝34V 时，表面积最小．] 6．B [∵f ′(1)＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1.所以log 2 010x 1＋log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009 ＝log 2 010(x 1·x 2·…·x 2009)＝log 2 010(12·23·…·2 0092 010)＝log 2 01012 010＝－1.] 7．D 8.A9．A [设圆柱横截面圆的半径为R ，圆柱的高为h ，则2R ＋h ＝2.∵V ＝πR 2h ＝πR 2(2－2R )＝2πR 2－2πR 3， ∴V ′＝2πR (2－3R )．令V ′＝0，则R ＝0(舍)或R ＝23.经检验知，R ＝23时，圆柱体积最大，此时h ＝23，V max ＝π·49×23＝827π.]10．B 11.D12．A [∵(－∞，－2)时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数；同理f (x )在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．]13．a ≥3解析由题意应有f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0，在区间(－1，1)上恒成立，则a ≥3x 2，x ∈(－1,1)恒成立，故a ≥3.14．3解析设半径为r ，则高h ＝27ππr 2＝27r2.∴水桶的全面积S (r )＝πr 2＋2πr ·27r 2＝πr 2＋54πr.S ′(r )＝2πr －54πr 2，令S ′(r )＝0，得r ＝3.∴当r ＝3时，S (r )最小．15．(－2,15)解析设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知：y ′＝3x 20－10＝2，∴x 20＝4. 又∵P 点在第二象限内， ∴x 0＝－2，∴y 0＝15.∴P 点的坐标为(－2,15)． 16.3233解析如图所示，设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为x m ，则梯形的周长为x ＋(1－x )＋(1－x )＋1＝3－x ，梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝－x 234－x2＝433·x 2－6x ＋91－x2(0<x <1)，对s 求导得s ′＝433·－x 2－10x ＋1－x 22.令s ′＝0，得x ＝13或x ＝3(舍去)．∴s min ＝s (13)＝3233.17．解 (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a . ∵f (x )在x ＝3处取得极值，∴f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0，解得a ＝3.∴f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8. (2)A 点在f (x )上，由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18， f ′(1)＝6－24＋18＝0， ∴切线方程为y ＝16.18．解 (1)依题意，铁路AM 上的运费为2(50－x )，公路MC 上的运费为4100＋x 2，则由A 到C 的总运费为y ＝2(50－x )＋4100＋x 2(0≤x ≤50)．(2)y ′＝－2＋4x100＋x2(0≤x ≤50)．令y ′＝0，解得x 1＝103，x 2＝－103(舍)．当0≤x <103时，y ′<0，当50≥x >103时，y ′>0.故当x ＝103时，y 取得最小值，即当在距离点B 为1033时的点M 处修筑公路至C 时总运费最省．19．解函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x －x ，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx 2－x＋a ＞0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.20．解由V ＝πr 2h ，得h ＝V πr2. 设盖的单位面积造价为a ，则储油罐的造价M ＝a πr 2＋2a ·2πrh ＋4a ·πr 2＝5a πr 2＋4aV r，M ′＝10a πr －4aVr 2，令M ′＝0，解得r ＝32V 5π，∴经验证，当r ＝32V5π时，函数取得极小值，也是最小值，此时，h ＝Vπr 2＝325V 4π.∴当r h＝32V 5π325V 4π＝25时，储油罐的造价最省． 21．解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝12a －b ＝0f ＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) 283 －43因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图像大致如右图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图像有3个交点，所以－43<k <283.22．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－32x 2＋1，f (2)＝3.f ′(x )＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －3＝6(x －2)，即y ＝6x －9.(2)f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.以下分两种情况讨论：①若0<a ≤2，则1a ≥12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－12，0)0 (0，12)f ′(x ) ＋ 0－ f (x )极大值当x ∈[－12，12]时，f (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧f－12，f12，即⎩⎪⎨⎪⎧5－a 8>0，5＋a 8>0.解不等式组得－5<a <5.因此0<a ≤2.②若a >2，则0<1a <12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－12，0) 0 (0，1a )1a(1a ，12) f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )极大值极小值当x ∈[－12，12]时，f (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧f－12，f1a，即⎩⎪⎨⎪⎧5－a 8>0，1－12a 2>0.解不等式组得22<a <5或a <－22. 因此2<a <5.综合①②，可知a 的取值范围为0<a <5.。

【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】第三章导数及其应用第三课

而 f(0)＝0，所以 f(x)>0，即 tan x3 故 tan x>x＋ 3 .
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二利用导数求参数的取值范围
思维启迪解析思维升华
ln x＋a 【例 2】已知函数 f(x)＝ x 1 (a∈R)，g(x)＝x. (1)求 f(x)的单调区间与极值； (2) 若函数 f(x) 的图象与函数 g(x)的图象在区间 (0， e2]上有公共点，求实数 a 的取值范围．
(2)证明设 F(x)＝f(x)－g(x) 1 2 ＝ x ＋ 2ax － 3a2ln x － 2 b(x>0)， 3a2 则 F′(x) ＝ x ＋ 2a － x ＝ x－ax＋3a (x>0)． x 故 F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数．
思想方法练出高分
基础知识
交点情况．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二利用导数求参数的取值范围
ln x＋a 思维启迪解析思维升华【例 2】已知函数 f(x)＝ x (1)函数 f(x)的定义域为(0， 1 ＋∞)， (a∈R)，g(x)＝x. 1－ln x＋a
f′(x)＝ . x2 (1)求 f(x)的单调区间与极值；令 f′(x)＝0，得 x＝e1－a， (2) 若函数 f(x) 的图象与函数当 x∈(0， e1－a)时， f′(x)>0，
于是 F(x)在(0，＋∞)上的最小值是 F(a) ＝ F(x0) ＝ f(x0) － g(x0)＝0.
故当 x>0 时，有 f(x) － g(x)≥0，

【步步高学案导学设计】2014-2015学年高中数学第三章导数应用章末总结北师大版选修2-2

【步步高学案导学设计】2014-2015学年高中数学第三章导数应用章末总结北师大版选修2-2知识点一导数与函数的单调性利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为： (1)求导数f ′(x )；(2)解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”绝对不能用“∪”连接．例1 求下列函数的单调区间：(1) f (x )＝x2＋cos x ；(2)f (x )＝x (x －a )2.知识点二导数与函数的极值极值反映函数在某个区间内函数值的变化情况，是一个局部观念，一个函数在定义域内可以有多个极值．极值可以结合函数的单调性，利用导数求得．求可导函数f (x )的极值步骤： ①求导数f ′(x )； ②求f ′(x )＝0的根；③根据f ′(x )的根得出单调区间，由f ′(x )在各区间上取值的正负可确定并求出函数f (x )的极值．例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极小值－4，使其导函数f ′(x )>0的x 的取值范围是(1,3)，求函数f (x )的解析式和极大值．知识点三导数与函数最值求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；特别地，①当f (x )在(a ，b )上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(或最小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．例3 设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b .知识点四导数与参数的范围已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法，一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法，利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题．因为f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f (x )是否满足题意．例4 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．例5 已知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围．答案重点解读例1 解 (1)函数的定义域为R ，f ′(x )＝12－sin x ，令12－sin x >0，解得2k π－7π6<x <2k π＋π6(k ∈Z )，令12－sin x <0，解得2k π＋π6<x <2k π＋5π6(k ∈Z )，因此，f (x )的单调增区间是(2k π－7π6，2k π＋π6) (k ∈Z )，单调减区间是(2k π＋π6，2k π＋5π6) (k ∈Z )．(2)∵f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x (定义域为R )，∴由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0.得x 1＝a3，x 2＝a .①当a >0时，x 1<x 2，∴所求单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，a .②当a <0时，x 1>x 2，∴所求单调递增区间为(－∞，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a3. ③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，所求单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是增加的．例2 解由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)(x －3) (a <0)．∴在(－∞，1)上f ′(x )<0，f (x )是减函数；在(1,3)上f ′(x )>0，f (x )是增函数，在(3，＋∞)上f ′(x )<0，f (x )是减函数．因此f (x )在x 0＝1处取得极小值－4，在x ＝3处取得极大值．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－4f ′1＝3a ＋2b ＋c ＝0f ′3＝27a ＋6b ＋c ＝0.解得a ＝－1，b ＝6，c ＝－9.∴f (x )＝－x 3＋6x 2－9x .则函数f (x )在x ＝3处取得极大值f (3)＝0.例3 解令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a .x －1 (－1,0) 0 (0，a ) a (a,1) 1 f ′(x ) ＋ 0 －＋ f (x ) －1－32a ＋bb －a 32＋b1－32a＋b从上表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b .所以b ＝1.又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.故a ＝63，b ＝1. 例4 解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立，即2x 3－a x 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的，∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0 (x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是a ≤16.例5 解 ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－23.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．所以，当x ＝－23时，f (x )取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727；当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝72.又f (－1)＝112，f (2)＝7.因此，f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 要使f (x )<m 恒成立，须f (x )max <m ，即m >7. 所以，所求实数m 的取值范围是(7，＋∞)．。

【步步高】高中数学第3章章末复习课课件北师大版选修2-2

又a>3，∴a－3x2>0，即f′(x)>0.
∴f(x)在(0,1]上单调递增． (3)当a>3时，f(x)在(0,1]上单调递增， ∴f(x)max＝f(1)＝a－1＝1. ∴a＝2与a>3矛盾．当0≤a≤3时，令f′(x)＝a－3x2＝0，得x＝
x∈ 0，
a 或x＝－ 3
a (舍去)． 3
研一研·题型解法、解题更高效
3 1 所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点． 2 2
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0<a≤1.
小结转化与化归思想就是在处理繁杂问题时通过转化，归结为易解决的问题，本题中将函数性质的讨论归结到二次不等式的解．
研一研·题型解法、解题更高效
跟踪训练1 设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当 x∈[－1,0)时，f(x)＝x3－ax(a为实数)． (1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式； (2)若a>3，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论； (3)是否存在a，使得x∈(0,1]时，f(x)有最大值1?
(2)由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值；当a>1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.
小结分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”．通过分类讨论，可以把一个变幻不定的问题分解成若干个相对确定的问题，从而使问题变得条理清晰，层次分明，易于解决．分类讨论思想在本章中主要体现在问题中含有参数或问题是分类给出的题型中．例如，单调性的判断、求极值、求最大(小) 值等问题往往要用到分类讨论．

【步步高】高考数学总复习第三章压轴函数与导数强化训练理北师大版

压轴题目突破练——函数与导数A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是() A．3x＋y＋2＝0 B．3x－y＋2＝0C．x＋3y＋2＝0 D．x－3y－2＝0答案 A解析设切点的坐标为(x0，x30＋3x20－1)，则由切线与直线2x－6y＋1＝0垂直，可得切线的斜率为－3，又f′(x)＝3x2＋6x，故3x20＋6x0＝－3，解得x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，从而得切线的方程为3x＋y＋2＝0.2．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b时，有() A．f(x)>g(x)B．f(x)<g(x)C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)答案 C解析∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，∴当a<x<b时f(x)－g(x)>f(a)－g(a)，∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．3．三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是() A．m<0 B．m<1C．m≤0 D．m≤1答案 A解析f′(x)＝3mx2－1，依题可得m<0.4．点P是曲线x2－y－2ln x＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是()A.22(1－ln 2) B.22(1＋ln 2)C.22⎝⎛⎭⎫12＋ln 2D.12(1＋ln 2) 答案 B解析将直线4x ＋4y ＋1＝0平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，使直线l 与曲线切于点P (x 0，y 0)，由x 2－y －2ln x ＝0得y ′＝2x －1x， ∴直线l 的斜率k ＝2x 0－1x 0＝－1 ⇒x 0＝12或x 0＝－1(舍去)， ∴P ⎝⎛⎭⎫12，14＋ln 2，所求的最短距离即为点P ⎝⎛⎭⎫12，14＋ln 2到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离d ＝|2＋(1＋4ln 2)＋1|42＝22(1＋ln 2)． 5．函数f (x )在定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内的图像如图所示，记f (x )的导函数为f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为 ( )A.⎣⎡⎦⎤－32，12∪[1,2) B.⎣⎡⎦⎤－1，12∪⎣⎡⎦⎤43，83 C.⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3) D.⎝⎛⎦⎤－32，－13∪⎣⎡⎦⎤12，43∪⎣⎡⎭⎫43，3 答案 C解析不等式f ′(x )≤0的解集即为函数f (x )的单调递减区间，从图像中可以看出函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－13，1和[2,3)上是单调递减的，所以不等式f ′(x )≤0的解集为⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3)，答案选C.二、填空题6．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2·x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是________．答案 [2，2]解析 ∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3. ∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，∴θ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈⎣⎡⎦⎤22，1.∴f ′(1)∈[2，2]． 7． (2012·江西)计算定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝________.答案 23解析 ∵⎝⎛⎭⎫13x 3－cos x ′＝x 2＋sin x ，∴⎪⎪ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－cos x 1－1＝23. 8．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．答案 2∶1解析设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝⎛⎭⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1.三、解答题9． (2013·重庆)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x. 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知，f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3. 10．已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12.(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0,5)，∴可设f (x )＝ax (x －5)(a >0)．∴f (x )在区间[－1,4]上的最大值是f (－1)＝6a .由已知，得6a ＝12，∴a ＝2，∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x (x ∈R )．(2)方程f (x )＋37x＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0 设h (x )＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x )＝6x 2－20x ＝2x (3x －10)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，103时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫103，＋∞时，h ′(x )>0，h (x )是增函数． ∵h (3)＝1>0，h ⎝⎛⎭⎫103＝－127<0，h (4)＝5>0， ∴方程h (x )＝0在区间⎝⎛⎭⎫3，103，⎝⎛⎭⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，∴存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根．B 组专项能力提升(时间：25分钟)1．已知函数f (x )(x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，那么函数f (x )的单调减区间是( ) A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)，(1,2)D ．[2，＋∞) 答案 C解析根据函数f (x )(x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，可知其导数f ′(x )＝(x －2)(x 2－1)＝(x ＋1)(x －1)(x －2)，令f ′(x )<0得x <－1或1<x <2.因此f (x )的单调减区间是(－∞，－1)，(1,2)．2．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称函数f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称函数f (x )在D 上为凸函数，以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数的是 ( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x 答案 D解析对于选项A ，f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x <0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，故此函数为凸函数；对于选项B ，f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2<0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，故此函数为凸函数；对于选项C ，f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x <0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，故此函数为凸函数；对于选项D ，f (x )＝－x e －x ，则f ″(x )＝2e －x －x e －x ＝(2－x )e －x >0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，故此函数不是凸函数． 3．函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N ＋.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．答案 21解析因为y ′＝2x ，所以过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，所以a 3＝4，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21.4．设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e x ，对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析因为对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，所以k k ＋1≥⎣⎡⎦⎤g (x 1)f (x 2)max. 因为g (x )＝e 2x e x ，所以g ′(x )＝(x e 2－x )′＝e 2－x ＋x e 2－x ·(－1)＝e 2－x (1－x )．当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e ；因为f (x )＝e 2x 2＋1x，当x ∈(0，＋∞)时， f (x )＝e 2x ＋1x ≥2e ，当且仅当e 2x ＝1x，即x ＝1e时取等号，故f (x )min ＝2e. 所以⎣⎡⎦⎤g (x 1)f (x 2)max ＝e 2e ＝12.所以k k ＋1≥12. 又因为k 为正数，所以k ≥1.5． (2012·辽宁)设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：(1)当x >1时，f (x )<32(x －1)； (2)当1<x <3时，f (x )<9(x －1)x ＋5. 证明 (1)方法一记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0.又g (1)＝0，所以有g (x )<0，即f (x )<32(x －1)．方法二当x >1时，2x <x ＋1，故x <x 2＋12. ①令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1x－1<0，故k (x )<0，即ln x <x －1. ②由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1)． (2)方法一记h (x )＝f (x )－9(x －1)x ＋5，由(1)得h ′(x )＝1x ＋12x －54(x ＋5)2＝2＋x 2x －54(x ＋5)2<x ＋54x －54(x ＋5)2＝(x ＋5)3－216x 4x (x ＋5)2. 令G (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1<x <3时，G ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0，因此G (x )在(1,3)内是减函数．又由G (1)＝0，得G (x )<0，所以h ′(x )<0.因此h (x )在(1,3)内是减函数．又h (1)＝0，所以h (x )<0.于是当1<x <3时，f (x )<9(x －1)x ＋5. 方法二记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)，则当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9<32(x －1)＋(x ＋5)·⎝⎛⎭⎫1x ＋12x －9 ＝12x[3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ] <12x ⎣⎡⎦⎤3x (x －1)＋(x ＋5)⎝⎛⎭⎫2＋x 2＋12－18x ＝14x(7x 2－32x ＋25)<0. 因此h (x )在(1,3)内单调递减．又h (1)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<9(x －1)x ＋5.。

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习章末检测：第三章 导数及其应用

【新步步高】高考数学北师大版(理)一轮复习第3章导数及其应用高考专题突破一高考中的导.doc

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案14 导数在研究函数中的应用

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案53 抛物线

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案32 数列的综合应用

章末检测3：第三章 导数及其应用

【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 专题一 高考中的导数应用问题

【北师大版】高三数学步步高(理)第三编 导数及其应用

【步步高】高考数学一轮复习第三章导数及其应用导数的应用课时导数与函数的综合问题文

2015年高考数学(理)核按钮：第三章《导数》(含解析)

【走向高考·2015】高考数学一轮总复习课件(北师大版)：第三章 导数及其应用-2

【步步高】2015届高考数学总复习 正弦定理和余弦定理学案 理 北师大版