2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：1-4-2-1 周期函数
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《成才之路》2018-2019学年高一人教A版数学必修4课件
90° ，我们就说向量 a (2)垂直：如果向量 a 和 b 的夹角是_______ a⊥b ． 与 b 垂直，记作_______
第二章 2.3 2.3.1
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●预习自测
1．已知向量 e1，e2 不共线，则下列各对向量可以作为平面内 的一组基底的是( ) 3 B．2e2－3e2 与 e－2e2
●自主预习
1．平面向量基本定理 如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个 __________ 不共线 向量，那么对 于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1、 λ2 ，使 a＝ λ1e1＋λ2e2 ，其中不共线的向量e 、e 叫做表示这一平面内 _____________
1 2
基底 ． 所有向量的一组__________
●知识衔接 1 ．上节课已经学习过向量的数乘，所谓向量的数乘为
________，记为________，它的长度与方向规定如下： (1)________＝|λ||a|； (2)当________时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a的方向________． [答案] 实数λ与向量a的积 λa |λa| λ>0 相反
第二章
2.3
2.3.1
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2．向量的夹角 → → (1)定义：两个非零向量 a 和 b，且OA＝a，OB＝b，则∠AOB
0°≤θ≤180° 当 ＝θ 叫做向量 a 和 b 的夹角(如图所示)，范围是_____________. 同向 ； 反向 ． θ＝0° 时， 向量 a 和 b_______ 当 θ＝180° 时， 向量 a 和 b_______
高一数学必修4课件：1-4-1正弦函数、余弦函数的图象
第一章
1.4 1.4.1
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[解析]
(1)列表： x u＝sinx y＝2－u 0 0 2 π 2 1 1 π 0 2 3π 2 －1 3 2π 0 2
第一章
1.4 1.4.1
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(2)描点、连线：(图形如下)
第一章
1.4 1.4.1
第一章
1.4 1.4.1
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π 2 π 4．求sin ( －x)＋sin ( ＋x)的值． 3 6
2
[解析]
2
π x x π 原式＝sin2[2－(6＋x)]＋sin2(6＋x)＝cos2(6＋x)＋
π sin (6＋x)＝1.
第一章
1.4 1.4.1
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成才之路· 数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
三角函数
第一章 三角函数
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第一章
1．4 三角函数的图象与性质
第一章 三角函数
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第一章
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
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规律总结：利用三角函数的图象或三角函数线，可解简 单的三角不等式，但需注意诱导公式一的应用，确保解的完 整性．
第一章
1.4 1.4.1
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函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且 仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
人教版高一数学(人教A版)必修4课件：1-4-2-1 周期函数
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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[拓展]函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω>0) 的周期T＝2ωπ.
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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第一章
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第一章 三角函数
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第一章
第1课时 周期函数
第一章 三角函数
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课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
函数y＝sinx，y＝cosx的周期分别是T1，T2，则tan
T1＋T2 16
＝________.
[答案] 1
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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[解析] T1＝T2＝2π， 则tanT11＋6T2＝tan146π＝tanπ4＝1.
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
[答ห้องสมุดไป่ตู้] 2 [解析] f(22)＝f(12＋10)＝f(12)＝f(10＋2)＝f(2)＝ 2.
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数y＝sinx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它 的周期，最小正周期是 2π . (2)余弦函数y＝cosx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它 的周期，最小正周期是 2π . (3)正弦函数和余弦函数的周期性，实质是由终边相同的 角所具有的周期性所决定的．
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[拓展]函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω>0) 的周期T＝2ωπ.
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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第一章
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第一章 三角函数
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第一章
第1课时 周期函数
第一章 三角函数
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第一章 1.4 1.4.2 第1课时
函数y＝sinx，y＝cosx的周期分别是T1，T2，则tan
T1＋T2 16
＝________.
[答案] 1
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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[解析] T1＝T2＝2π， 则tanT11＋6T2＝tan146π＝tanπ4＝1.
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
[答ห้องสมุดไป่ตู้] 2 [解析] f(22)＝f(12＋10)＝f(12)＝f(10＋2)＝f(2)＝ 2.
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数y＝sinx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它 的周期，最小正周期是 2π . (2)余弦函数y＝cosx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它 的周期，最小正周期是 2π . (3)正弦函数和余弦函数的周期性，实质是由终边相同的 角所具有的周期性所决定的．
#2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：1-5-1 画函数y=Asin(ωx+φ)的图象
将函数 y＝sinx 依次进行怎样的变换可得到 y＝13sin(2x＋ 1π0)＋1 的图象？
[分析] 先相位变换，再周期变换，再振幅变换，最后平 移即可．
[解析] ①将函数 y＝sinx 的图象向左平移1π0个单位，得函 数 y＝sin(x＋1π0)的图象；
②将所得 y＝sin(x＋1π0)图象上各点横坐标缩短到原来的12 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin(2x＋1π0)的图象；
③将所得 y＝sin(2x＋1π0)图象上各点纵坐标缩短到原来的13 倍(横坐标不变)，得到 y＝13sin(2x＋1π0)的图象；
④将所得图象向上平移 1 个单位长度，得到 y＝13sin(2x＋1π0) ＋1 的图象.
命题方向 2 函数图象的变换 为得到函数 y＝cos(2x＋π3)的图象，只需将 y＝sin2x
名师辨误作答
平移变换错误 把函数 y＝sin(5x－2π)的图象向右平移4π个单位长度，
再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数的解 析式为________．
[错解] 对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
常见错误
错误原因
右移π4个单位得 y＝ 平移交换时，把 5x 看作变换
sin(5x－34π)的图象，
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，而成图象． (3)图象变换法有两种方法，方法一是先平移，后伸缩；方 法二是先伸缩，后平移，表面上看，两种变换方法中平移的单 位数分别是|φ|和|ωφ |.是不同的，但由于平移时平移的对象已有变 化，所以得到的结果都是一致的．
把函数 y＝sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的14(横
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义
3．已知点 A、B 的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量 p 的
坐标为(2k－1,7)，且 p∥A→B，则 k 的值为( )
A．－190
9 B.10
C．－1190
19 D.10
[答案] D
第二章 2.4 2.4.1
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新课引入 一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴 人请教，砍柴人说“把刀放到石头上磨一磨”．于是猴子高兴 地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现 刀口和刀背差不多厚了，便停下来……结果当然是失败的．难 道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功 ≠成功．
第二章 2.4 2.4.1
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课堂典例讲练
第二章 2.4 2.4.1
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思路方法技巧 命题方向 1 计算向量的数量积
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 60°时，分别求 a 与 b 的数量积．
第二章 2.4 2.4.1
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[解析] 由|m|＝1，|n|＝1，其夹角为 60°，得 m·n＝12. ∵|a|＝|2m＋n|＝ 2m＋n2 ＝ 4m2＋4m·n＋n2＝ 7. |b|＝ 2n－3m2＝ 4n2－12m·n＋9m2＝ 7. 所以 a·b＝(2m＋n)·(2n－3m) ＝m·n－6m2＋2n2＝－72， 设 a、b 的夹角为 θ，得 cosθ＝－772＝－12. 所以 a、b 的夹角为 120°.
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第二章 2.4 2.4.1
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物理学当中的做功在数学中叫做什么？是如何表示的 呢？
自主预习 阅读教材P103－105回答下列问题． 1．平面向量的数量符号
第二章 2.4 2.4.1
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第二章 2.4 2.4.1
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课堂典例讲练
第二章 2.4 2.4.1
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思路方法技巧 命题方向 1 计算向量的数量积
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 60°时，分别求 a 与 b 的数量积．
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温故知新
1．若O(0,0)，A(1,2)且
O→A′
＝2
→ OA
，则点A′坐标为
() A．(1,4)
B．(2,2)
C．(2,4)
D．(4,2)
[答案] C
第二章 2.4 2.4.1
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第二章 2.4 2.4.1
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已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°，|a|＝2，|b|＝ 3，则向 量 a 和向量 b 的数量积 a·b＝________.
[答案] 3 [解析] 根据两向量的数量积公式可得 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2× 3×cos30° ＝2× 3× 23＝3.
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物理学当中的做功在数学中叫做什么？是如何表示的 呢？
自主预习 阅读教材P103－105回答下列问题． 1．平面向量的数量符号
第二章 2.4 2.4.1
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第二章 2.4 2.4.1
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思路方法技巧 命题方向 1 计算向量的数量积
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 60°时，分别求 a 与 b 的数量积．
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温故知新
1．若O(0,0)，A(1,2)且
O→A′
＝2
→ OA
，则点A′坐标为
() A．(1,4)
B．(2,2)
C．(2,4)
D．(4,2)
[答案] C
第二章 2.4 2.4.1
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第二章 2.4 2.4.1
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已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°，|a|＝2，|b|＝ 3，则向 量 a 和向量 b 的数量积 a·b＝________.
[答案] 3 [解析] 根据两向量的数量积公式可得 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2× 3×cos30° ＝2× 3× 23＝3.
人教A版高中数学必修4课件1.4.2周期函数 1课件
（2）若T(≠0)是f(x)的周期，则nT(n为任意非零整数) 也是f(x)的周期；
（3）若T1与T2都是f(x)的周期，则T1±T2也是f(x) 的周期； （4）若f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周 期T一定是T*的正整数倍；
周期函数
【周期函数性质】 （5）T*是f(x)的最小正周期，且T1、T2分别是f(x)的 两个周期，则（Q是有理数集）；
知识点——
周期函数
周期函数
【定义】
若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 f(x)=f(x+T)恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做 这个函数的一个周期.周期函数定义域必是无界的. 若T是周期，则k•T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有 周期中最小的正数叫最小正周期.一般所说的周期 是指函数的最小正周期.周期函数并非所都有最小 正周期.如常函数f(x)=C；
周期函数
【特殊情况】
3、若函数f(x)图象有两个对称中心(a，0)， (b，0)(a<b)，则2(b-a)是f(x)的一个周期；
4、若函数f(x)有一条对称轴x=a和一个对 称中心(b，0)(a<b),则4(b-a)是f(x)的周期.
周期函数
【周期函数性质】
（1）若T(≠0)是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期；
1 1 cos 4x 1 1 (1 cos 4 x)
2
2
∴ 函数 y | sin x | | cos x | 的最小正周期
T 2 .
42
周期函数
【变形训练】
已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时， f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式.
解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期 性，将要求区间上问题转化为已知解析式的 区间上.）
（3）若T1与T2都是f(x)的周期，则T1±T2也是f(x) 的周期； （4）若f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周 期T一定是T*的正整数倍；
周期函数
【周期函数性质】 （5）T*是f(x)的最小正周期，且T1、T2分别是f(x)的 两个周期，则（Q是有理数集）；
知识点——
周期函数
周期函数
【定义】
若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 f(x)=f(x+T)恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做 这个函数的一个周期.周期函数定义域必是无界的. 若T是周期，则k•T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有 周期中最小的正数叫最小正周期.一般所说的周期 是指函数的最小正周期.周期函数并非所都有最小 正周期.如常函数f(x)=C；
周期函数
【特殊情况】
3、若函数f(x)图象有两个对称中心(a，0)， (b，0)(a<b)，则2(b-a)是f(x)的一个周期；
4、若函数f(x)有一条对称轴x=a和一个对 称中心(b，0)(a<b),则4(b-a)是f(x)的周期.
周期函数
【周期函数性质】
（1）若T(≠0)是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期；
1 1 cos 4x 1 1 (1 cos 4 x)
2
2
∴ 函数 y | sin x | | cos x | 的最小正周期
T 2 .
42
周期函数
【变形训练】
已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时， f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式.
解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期 性，将要求区间上问题转化为已知解析式的 区间上.）
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：1-3-2 诱导公式五、六
[解析] 由条件得，sin3αco＝sα＝2sin2βcosβ ②
①
①2＋②2得，sin2α＋3cos2α＝2③
又∵sin2α＋cos2α＝1④
由③，④得sin2α＝12即sinα＝± 22，
∵α∈－2π，π2，∴α＝π4或α＝－π4. 当α＝4π时，代入②得cosβ＝ 23，又β∈(0，π)，
第一章 1.3 1.3.2
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[解析] 可以，此定值为0.理由如下：
∵2k＋1 1π＋2k2＋k 1π＝π，
故cos2k＋1 1π＝－cos2k2＋k 1π.
设Sn＝cos(
1 2k＋1
π)＋cos(
2 2k＋1
π)＋…＋cos(
2k－1 2k＋1
π)＋
cos(2k2＋k 1π)，
第一章 1.3 1.3.2
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命题方向 2 三角恒等式的证明 求证：2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θ2π－1＝ttaann9ππ＋＋θθ－＋11.
第一章 1.3 1.3.2
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第一章 1.3 1.3.2
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探索延拓创新 命题方向 3 存在性、探索性问题
是否存在 α∈－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 sin(3π －α)＝ 2cos2π－β， 3cos(－α)＝－ 2cos(π＋β)同时成立？若 存在，求出 α、 β 的值；若不存在，说明理由．
第一章 1.3 1.3.2
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第一章
三角函数
第一章 三角函数
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第一章
1．4 三角函数的图象与性质
第一章 三角函数
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1.4 1.4.2 第1课时
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[解析]
按五个关键点列表： x 2sinx 0 0 π 2 2 π 0 3π 2 －2 2π 0
描点并用光滑的曲线连接起来．如图所示．
第一章
1.4 1.4.2 第1课时
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[证明]
∵x∈R时f(x)＝－f(x＋1)
∴f(x＋1)＝－f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋2) ∴f(x)＝－[－f(x＋2)]＝f(x＋2) ∴函数y＝(x)是一个周期函数，2是它的一个周期．
第一章
1.4 1.4.2 第1课时
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1 探索1：将例2中的条件f(x)＝－f(x＋1)改为f(x)＝ 其 fx＋1 它不变．
x π (3)y＝2sin3－6； 1 (4)y＝－2cos－2x－1；
(5)y＝|sin2x|.
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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[解析]
(1)把 2x 看成一个新的变量 u， 那么 cosu 的最小正
[分析]
2π 对于(1)(3)可利用公式T＝ ，对于(2)应借助函数 |ω|
π y＝cos(2x＋6)的周期及函数图象得到周期．
第一章
1.4 1.4.2 第1课时
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[解析]
2π (1)∵ω＝3，T＝ . 3
π (2)∵函数y＝cos(2x＋ 6 )的最小正周期为π，而函数y＝ π π |cos(2x＋ 6 )|的图象是将函数y＝cos(2x＋ 6 )的图象在x轴下方的 部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此 π 可知所求函数的最小正周期为T＝2. 2 2π 2 (3)∵ω＝ ，∴T＝ ＝π . π 2 π
T1＋T2 函数y＝sinx，y＝cosx的周期分别是T1，T2，则tan 16 ＝________.
[答案]
1
第一章
1.4 1.4.2 第1课时
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[解析] T1＝T2＝2π， T1＋T2 4π π 则tan 16 ＝tan16＝tan4＝1.
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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规律总结：求函数最小正周期的方法大致有三种：(1) 函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的最小正周 2π 期皆用公式T＝|ω| 求解．(2)含绝对值符号的三角函数的最小正 π 周期可依据其图象得到，如函数y＝|2sin(2x＋ 3 )|的最小正周期 π π 为T＝ 2 ，而函数y＝|2sin(2x＋ 3 )＋1|的最小正周期为π，与函数 π y＝2sin(2x＋3)＋1的最小正周期相同．(3)利用周期函数的定义 求函数的最小正周期．
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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探索延拓创新
命题方向 2 函数周期性的规律
已知定义在 R 上的函数 y＝f(x)满足 f(x)＝－f(x＋1)， 求证：函数 y＝f(x)是周期函数．
第一章
1.4 1.4.2 第1课时
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课前自主预习
第一章
1.4 1.4.2 第1课时
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温故知新 1．下列对函数y＝cosx的图象描述错误的是( )
A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴只有一个交点
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1 1 (4)y＝－2cos－2x－1＝－2cos2x＋1，
2π T＝ 1 ＝4π. 2 2π (5)因为 y＝sin2x 的周期是 2 ＝π，故 y＝|sin2x|的图象是将 y＝sin2x 在 x 轴下方的部分折到 x 轴上方，并且保留 x 轴上方 π 图象而得到的，因此周期 T＝2.
的周期为 4π.
x π x π (3)∵2sin3－6＋2π＝2sin3－6.
即
1 x π π 2sin3x＋6π－6＝2sin3－6.
x π ∴y＝2sin3－6的周期是
6π.
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
[答案] 2
[解析] f(22)＝f(12＋10)＝f(12)＝f(10＋2)＝f(2)＝ 2.
第一章
1.4 1.4.2 第1课时
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2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数y＝sinx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它 的周期，最小正周期是 2π . (2)余弦函数y＝cosx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它 的周期，最小正周期是 2π . (3)正弦函数和余弦函数的周期性，实质是由终边相同的 角所具有的周期性所决定的．
[答案] C
[解析] 观察余弦函数的图象知，y＝cosx关于y轴对称．
第一章
1.4 1.4.2 第1课时
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2．cosx>0 在 x∈[0,2π]上的解集是________．
π 3π x|0≤x< 或 <x≤2π 2 2
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[拓展]函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω>0) 2π 的周期T＝ . ω
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1.4 1.4.2 第1课时
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[解析] 由－1≤2m＋1≤1， 解得－1≤m≤0.
第一章
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4．在[0,2π]内，作出 y＝2sinx 的图象． [分析] 作函数图象首先要列表，然后描点，连线，对正
弦函数来说，需要用到起关键作用的五个点．
第一章
第一章
1.4 1.4.2 第1课时
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课堂典例讲练
第一章
1.4 1.4.2 第1课时
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思路方法技巧
命题方向 1 三角函数的周期
求下列函数的周期． (1)y＝cos2x； 1 (2)y＝sin x； 2
第一章
1.4 1.4.2 第1课时
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[点评]
一般地，函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与 y
2π ＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期都是 .函数 y＝ |ω| |Asin(ωx＋φ)|与 y＝|Acos(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)最小正周期都是 π |ω|.
第一章
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[证明]
1 ∵f(x)＝ fx＋1
1 ∴f(x＋1)＝ fx＋2 1 ∴f(x)＝ 1 ＝f(x＋2) fx＋2 ∴f(x)是以2为周期的周期函数．
第一章
1.4 1.4.2 第1课时
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[小结]若函数y＝f(x)是周期函数，T是一个周期，则有： ①定义域中含有无限个实数；②对定义域内任意x，均有f(x＋ kT)＝f(x)，其中k∈Z；③f(x)的图象每隔一个周期T重复出现一 次．
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函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝ 2 ， 则f(22)＝________.
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求下列函数的最小正周期． π (1)y＝sin(3x＋ )； 3 π (2)y＝|cos(2x＋6)|； 2 π (3)y＝sin( x－ )． π 4
第一章
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新课引入 我们知道，地球的自转与公转、单摆的运动、弹簧的振动 和圆周运动等，都呈现一定的周期性，从正、余弦函数的定义 可知角 α 的终边每转一周又会与原来的位置重合；从图象上可 以看出，当函数对于自变量的一切值，每增加或减少一个定值 (定值可以有很多个)，函数值也会重复出现．本节我们利用图 象观察正、余弦函数的变化情况，进一步研究这两个函数的性 质．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
三角函数
第一章 三角函数
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第一章
1．4 三角函数的图象与性质
第一章 三角函数
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1.4 1.4.2 第1课时
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[解析]
按五个关键点列表： x 2sinx 0 0 π 2 2 π 0 3π 2 －2 2π 0
描点并用光滑的曲线连接起来．如图所示．
第一章
1.4 1.4.2 第1课时
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[证明]
∵x∈R时f(x)＝－f(x＋1)
∴f(x＋1)＝－f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋2) ∴f(x)＝－[－f(x＋2)]＝f(x＋2) ∴函数y＝(x)是一个周期函数，2是它的一个周期．
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1.4 1.4.2 第1课时
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1 探索1：将例2中的条件f(x)＝－f(x＋1)改为f(x)＝ 其 fx＋1 它不变．
x π (3)y＝2sin3－6； 1 (4)y＝－2cos－2x－1；
(5)y＝|sin2x|.
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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[解析]
(1)把 2x 看成一个新的变量 u， 那么 cosu 的最小正
[分析]
2π 对于(1)(3)可利用公式T＝ ，对于(2)应借助函数 |ω|
π y＝cos(2x＋6)的周期及函数图象得到周期．
第一章
1.4 1.4.2 第1课时
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[解析]
2π (1)∵ω＝3，T＝ . 3
π (2)∵函数y＝cos(2x＋ 6 )的最小正周期为π，而函数y＝ π π |cos(2x＋ 6 )|的图象是将函数y＝cos(2x＋ 6 )的图象在x轴下方的 部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此 π 可知所求函数的最小正周期为T＝2. 2 2π 2 (3)∵ω＝ ，∴T＝ ＝π . π 2 π
T1＋T2 函数y＝sinx，y＝cosx的周期分别是T1，T2，则tan 16 ＝________.
[答案]
1
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1.4 1.4.2 第1课时
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[解析] T1＝T2＝2π， T1＋T2 4π π 则tan 16 ＝tan16＝tan4＝1.
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规律总结：求函数最小正周期的方法大致有三种：(1) 函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的最小正周 2π 期皆用公式T＝|ω| 求解．(2)含绝对值符号的三角函数的最小正 π 周期可依据其图象得到，如函数y＝|2sin(2x＋ 3 )|的最小正周期 π π 为T＝ 2 ，而函数y＝|2sin(2x＋ 3 )＋1|的最小正周期为π，与函数 π y＝2sin(2x＋3)＋1的最小正周期相同．(3)利用周期函数的定义 求函数的最小正周期．
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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探索延拓创新
命题方向 2 函数周期性的规律
已知定义在 R 上的函数 y＝f(x)满足 f(x)＝－f(x＋1)， 求证：函数 y＝f(x)是周期函数．
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课前自主预习
第一章
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温故知新 1．下列对函数y＝cosx的图象描述错误的是( )
A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴只有一个交点
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1 1 (4)y＝－2cos－2x－1＝－2cos2x＋1，
2π T＝ 1 ＝4π. 2 2π (5)因为 y＝sin2x 的周期是 2 ＝π，故 y＝|sin2x|的图象是将 y＝sin2x 在 x 轴下方的部分折到 x 轴上方，并且保留 x 轴上方 π 图象而得到的，因此周期 T＝2.
的周期为 4π.
x π x π (3)∵2sin3－6＋2π＝2sin3－6.
即
1 x π π 2sin3x＋6π－6＝2sin3－6.
x π ∴y＝2sin3－6的周期是
6π.
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
[答案] 2
[解析] f(22)＝f(12＋10)＝f(12)＝f(10＋2)＝f(2)＝ 2.
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2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数y＝sinx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它 的周期，最小正周期是 2π . (2)余弦函数y＝cosx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它 的周期，最小正周期是 2π . (3)正弦函数和余弦函数的周期性，实质是由终边相同的 角所具有的周期性所决定的．
[答案] C
[解析] 观察余弦函数的图象知，y＝cosx关于y轴对称．
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2．cosx>0 在 x∈[0,2π]上的解集是________．
π 3π x|0≤x< 或 <x≤2π 2 2
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[拓展]函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω>0) 2π 的周期T＝ . ω
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[解析] 由－1≤2m＋1≤1， 解得－1≤m≤0.
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4．在[0,2π]内，作出 y＝2sinx 的图象． [分析] 作函数图象首先要列表，然后描点，连线，对正
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命题方向 1 三角函数的周期
求下列函数的周期． (1)y＝cos2x； 1 (2)y＝sin x； 2
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[点评]
一般地，函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与 y
2π ＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期都是 .函数 y＝ |ω| |Asin(ωx＋φ)|与 y＝|Acos(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)最小正周期都是 π |ω|.
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[证明]
1 ∵f(x)＝ fx＋1
1 ∴f(x＋1)＝ fx＋2 1 ∴f(x)＝ 1 ＝f(x＋2) fx＋2 ∴f(x)是以2为周期的周期函数．
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[小结]若函数y＝f(x)是周期函数，T是一个周期，则有： ①定义域中含有无限个实数；②对定义域内任意x，均有f(x＋ kT)＝f(x)，其中k∈Z；③f(x)的图象每隔一个周期T重复出现一 次．
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函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝ 2 ， 则f(22)＝________.
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求下列函数的最小正周期． π (1)y＝sin(3x＋ )； 3 π (2)y＝|cos(2x＋6)|； 2 π (3)y＝sin( x－ )． π 4
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新课引入 我们知道，地球的自转与公转、单摆的运动、弹簧的振动 和圆周运动等，都呈现一定的周期性，从正、余弦函数的定义 可知角 α 的终边每转一周又会与原来的位置重合；从图象上可 以看出，当函数对于自变量的一切值，每增加或减少一个定值 (定值可以有很多个)，函数值也会重复出现．本节我们利用图 象观察正、余弦函数的变化情况，进一步研究这两个函数的性 质．