谈_圆驻波_演示实验中的思维误区

Key words: standing wav e; node; half -w avel engt h
大学物理演示实验中常用的“圆驻波”实验 仪器如图 1 所示, 对该实验演示的驻波现象在 理解上存在两大误区: 一是把该实验理解为“理 想”的圆驻波, 即弦长 L = n , n= 1, 2, 3…, 这与 实验结果完全不符; 二是把该实验简单地看成 两端固定的弯曲弦驻波, 即弦长 L = n 2 , n= 1, 2, 3…, 这与实验结果也存在差异. 实验表明:
图 2 等效支架 P 1P 2 与的弦线相比较, 支架 P1 P2 为波密媒质, 弦线为波疏媒质, 由波动理论知点
P 1 和点 P 2 相对整个弦线均恒为波节.
2) 设支架 P1 P2 的谐振动方程为 A cos t,
在图 2 所示坐标系中, 振子 P1 引发的右行波为
( 5)
式( 5) 内中括号项表示弦上各点振幅空间分布
式, 最后一项则为振动因子.
4) 对式( 5) 讨论如下:
a. 弦驻波两端 P 1, P2 处恒为波节, 故产生
驻波的必要条件为
L = n1 2 ( n1= 1, 2, 3…) b. 对振幅项中的因子 sin L 来说, 当弦长
L = n2 ( n2= 1, 2, 3…) 时, sin L ≡0, 说明弦
图 1 圆环驻波发生器简图
只有当弦长 L = ( 2n+ 1) 2 , n= 1, 2, 3…, 即弦 长 L 为半波长 / 2 的奇数倍时, 才能观察到稳 定的驻波现象. 本文对此作如下理论探讨.
1 物理模型
常用的圆环驻波发生器如图 1 所示, 支架 P 1P 2 , 在频率可调的策动源激励下做上下谐振 动, 振子 P 1 和 P 2 在弹性介质弦中引发沿弦传 播的顺时针和逆时针方向的行波, 调节振源频 率( 亦即调节弦中行波的波长) 即可观察到稳定 的驻波现象, 此时弦中任一质元相对地面参照 系的运动包含两个成份, 一是弦驻波成份, 另一 个则与整个圆环在支架 P 1P 2 带动下做垂直方
Abstract: T he t wo m ain misunderst andings in circle str ing st anding w ave ex periment are po int ed o ut , and the requisit io n for realizing circle st ring st anding w ave in t heory is analyzed. T he t heoretical result is in agr eement w it h t he experiment phenom enon.
当 n 为定值时, L = ( 2n+ 1) 2 亦为定值, 此时 有
0≤x ≤L = ( 2n+ 1) 2
( 7)
若 x 为波节点, 则有
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2 x - L = ( 2k + 1) 2 ( k= 0, ±1, ±2) ( 8) 联解( 7) , ( 8) 两式可得 - ( n+ 1) ≤k ≤n 即从 x = 0 到 x = L 区间的半波长数目为
关键词: 驻波; 节点; 半波长 中图分类号: O321 文献标识码: A 文章编号: 1005-4642( 2003) 06-0045-03
Misunderstandings in circle string standing wave experiment
ZHU M ing 1) YIN Shi2)
[ 2] 李天启, 成昊. V isua l Basic6. 0 学 习捷径[ M ] . 北 京: 清华大学出版社, 1999. 127.
[ 3] 冷 向 君, 于 振宇 . Visual Basic6. 0 入 门与 提 高 [ M ] . 北京: 清华大学出版社, 1999. 128.
[ 4] 张金山, 寥果. V isual C+ + 5. 0 易 学活用[ M ] . 成 都: 四川大学出版社, 1998. 322. ( 2002-10-15 收稿, 2003-01-09 收修改稿)
d. 当 L = ( 2n+ 1) 2 时, 因子 sin L ≡1, 即驻波波腹处质元的理论振幅值为 4A .
e. 当 x=
L 2
时,
cos
2 x-
L
≡1, 即弦中
Q 点处恒为波腹, 考虑圆环上下振动影响, Q 点
的振幅应大于 4A , 这与实验现象相符合.
f . 观察振幅项目中的因子 cos 2 x - L ,
( 1) Depart ment of Elect ronic Eng ineer ing , Sout heast Univ er sit y, Nanjing, Jiang su, 210096; 2) Depart ment of Physics, Sout heast Universit y, Nanjing, Jiangsu, 210096)
2) 将弦的弯曲变形简化为纯弯曲, 并忽略 中性层位移.
由以上近似, 弯曲的圆弦可以进一步等效 为两端固结在 P1 和 P2 处的平直弦, 如图 2 所 示, 这样圆环驻波问题可以转换为在平直弦两 端 P 1 和 P 2 处, 加上相同策动源激励下的弦驻 波问题, 其中 P 1, P2 两点的运动性质是完全相 同的.
误差分析: 误差主要来源于校准中的近地
点距离的相对误差和远地点距离的相对误差及 像元的相对误差. 实验中, 视距用系统测量为 445cm, 用米尺直接测量得 444cm. 相对偏差约 0. 3% .
参考文献:
[ 1] 赵 凯华. 光学( 上册) [ M ] . 北京: 北京大 学出版 社, 1984. 51～61.
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谈“圆驻波”演示实验中的思维误区
朱 明1) * * 殷 实2)
( 1) 东南大学电子工程系 江苏 南京 210096; 2) 东南大学物理系 江苏 南京 210096)
摘 要: 指出 了对“圆驻 波”演示实 验在认识上的 两个误区, 并在理 论上分析了 在该装置中 实现圆环 驻波的条 件, 得到了和实验现象相一致的理论结果.
y 1= A cos t- 2 x
( 1)
该波在 P 2 处反射后形成的左行波为
y 1′= A ′cos t+ 2 x - 4 L +
( 2)
振子 P 2 在同一坐标系中形成的左行波为
y2= A co s t+ 2 x - 2 L
( 3)
该波在 P 1 处反射后形成的右行波为
y 2′= A ′cos t- 2 x - 2 L +
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交点的径向位移最大, 如图 3 所示, 故 Q 处只 能是驻波的波腹而不可能是波节, 再加之 P 1 和 P 2 处恒为波节, 也就不难理解驻波实现时弦长 L 只能为半波长 2 的奇数倍了.
图3
参考文献:
[ 1] 马文 蔚. 物 理 学 [ M ] . 北 京: 高 等 教育 出 版 社, 199 9.
上各质元处于“静止”状态, 各质元只随支架作 上下微振动, 因而产生驻波的充分条件为
L ≠n2 ( n2 = 1, 2, 3…) c. 综合 a, b 可知产生弦驻波的必要充分条 件为
L = ( 2n+ 1) 2 ( n= 1, 2, 3…) ( 6)
即弦长只能为半波长 2 的奇数倍时, 才能 在圆环弦上观察到稳定的驻波现象.
m= n- [ - ( n+ 1) ] = 2n+ 1 ( n= 1, 2, 3…)
上式说明在 L = ( 2n+ 1) 2 条件下式( 5) 在理论 上是自洽的.
3 结束语
在上述分析中, 以点 P 1 为波源的顺时针行 波及其反射波, 以及以点 P 2 为波源的逆时针行 波及其反射波, 即 4 个行波量叠加得到了“圆驻 波”实验的解析解. 最后还可换个角度定性说明 上述结果的合理性: 由于对称性, 弦中点 Q 应 该不是波节便是波腹, 再考虑支架带动圆环上 下做整体振动同时, 势必造成弹性弦中各质元 径向位移不尽相同, 则 P 1P 2 中垂线与圆环弦
[ 2] 瑞 斯 尼 克. 物 理 学 [ M ] . 北 京: 科 学 出 版 社, 198 0. ( 2002-12-24 收稿)
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图 4 被测目标的 CCD 图像
从图 4 所示测量曲线可得到与被测目标相 对应的像元位置 Z 为 3 058, 将以上数据代入 ( 7) 式, 得到被测目标视距 X = 445cm.
教育部本科教育教改项目资助( 项目号: 128B02032) 2001 级本科生
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向的微振动有关, 驻波中的节点只是相对圆环 而言, 对地面仍有振动位移. 为使问题简化从而 获得圆环驻波方程及其解析解, 本文作如下近 似:
1) 不考虑圆环整体在竖直方向的微振动, 笔者认为此运动对圆环上驻波的形成不产生本 质影响, 而只是对诸如不同位置驻波的波腹幅 值产生一定的微小影响.
( 4)
忽略反射时能量损耗可认为式( 2) 与式( 4) 中的 A ′= A .
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3) 弦上的驻波可理解上述 4 列波在弦线上 的合成波, 即
∑y = ( y 1 + y1 ′) + ( y 2 + y 2 ′) =
4A sin L cos 2 x - L
cos t - 2 L + 2