§3.5 线性方程组有解判别定理
西南大学数学专业考研真题00-11年
《高等代数》陈重穆主编目录第一章 线性方程组的消元法§1.1 引言§1.2 消元法§1.3 系数分离法§1.4 和号“∑”第二章 行列式§2.1 行列式的定义§2.2 行列式的性质§2.3 行列式按任意一行（列）的展开式 §2.4 克莱姆规则§2.5 行列式的完全展开式§2.6 拉普拉斯定理 行列式的相乘规则第三章 线性方程组的一般解法§3.1 n 维向量§3.2 线性相关性§3.3 矩阵的秩§3.4 线性方程组有解的判别定理 §3.5 线性方程组解的结构第四章 矩阵§4.1 矩阵的概念§4.2 矩阵的运算§4.3 逆矩阵§4.4 矩阵的分块§4.5 初等矩阵第五章 整数论初步§5.1 整除§5.2 最大公约数 辗转相除法 §5.3 因子分解唯一性定理§5.4 因子分解唯一性的一个直接证明 §5.5 同余式（相合式）§5.6 剩余类§5.7 求)(m ϕ第六章 数域 p 元域§6.1 集合§6.2 数域§6.3 p 元域第七章 未定元多项式§7.1 一元多项式的定义§7.2 多项式的整除§7.3 最大公因式§7.4 因式分解唯一性定理§7.5 重因式§7.6 多项式的根 函数多项式§7.7 复数域与实数域上多项式的因式分解 §7.8 有理数域上的多项式§7.9 多元多项式的定义§7.10 对称多项式§7.11 结式 二元高次方程组 判别式第八章 线性空间§8.1 线性空间的定义和简单性质§8.2 基、维数与坐标§8.3 基变换与坐标变换§8.4 线性子空间§8.5 子空间的和与直和§8.6 集合的映射§8.7 线性空间的同构第九章线性变换§9.1 线性变换及其运算§9.2 线性变换的矩阵§9.3 不变子空间特征向量§9.4 特征多项式与最小多项式第十章λ-矩阵§10.1 λ-矩阵及其标准形§10.2 初等因子§10.3 矩阵相似的判别条件§10.4 若当标准形第十一章欧氏空间§11.1 定义、哥西-施瓦兹不等式§11.2 标准正交基、同构及正交阵§11.3 向量到子空间距离及其应用§11.4 正交变换第十二章二次型§12.1 矩阵合同化简二次型§12.2 复、实二次型的标准形§12.3 在因式分解方面的应用§12.4 实对称矩阵正交合同化简二次型。
线性方程组的解的判定
1 4
1
r1
- 2r2
0
0 1
-2 2
-5 3 4
r2
(-3)
0
0
0
3 0
3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
x1 x2
2 2
x3 x3
5
3 4
3
x4 x4
0, 0,
由此即得
x1 x2
2
x3
5 3
x4
,
-2
x3
-
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x4 0 - 2x4
0
.
x1 - x2 - 4 x3 - 3 x4 0
解 对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 A 2
1
2 1 -1
2 -2 -4
1 - 2 - 3
r2 r3
-
2r1 r1
1 0 0
2 -3 -3
2 -6 -6
1 - 4 - 4
r3 - r2
1 0
2 1
2 2
即( AX1, AX2 ,L AXn ) (b1,b2 ,L bn ) 所以等价于AXi bi ,i 1,2,L n. () : 若R( A) R( AMB), ( AMB) ( A,b1,b2,L bn ), 又R( A) R( AMbi ) R( AMB), R( A) R( AMbi ) 由定理2知，存在X i ,使得AX i bi 故存在X ,使得AX B
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
1 - 1 0 0 0 a1
高等代数使用教材及辅导材料
高等代数使用教材及辅导材料课程：高等代数高等代数北京大学数学系几何与代数教研室高等教育出版社 1978高等代数丘维声高等教育出版社 1996高等代数张禾瑞郝炳新高等教育出版社 1983高等代数习题课教材钱芳华黎有高卜淑云邓培民广西师范大学出版社 1997高等代数解题方法许甫华张贤科清华大学出版社 2001高等代数习题课参考书张均本高等教育出版社 1991线性代数试题选解魏宗宣中南工业大学出版社 1986用MAPLEV学习线性代数丘维声（译）高等教育出版社施普林格出版社 2001高等代数教学大纲数学与应用数学专业《高等代数》教学大纲一、课程说明：《高等代数》是河北师范大学数学与应用数学专业（数学系）的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。
它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用。
二、教学目的及要求：通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业，辅导等），使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论”、与“几何理论”及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题解决问题的能力。
三、教学重点及难点：带余除法、最大公因式的性质、不可约多项式的定义及性质、重因式、多项式的有理根等；计算行列式的一些方法；线性方程组及其相关理论的理解及应用；矩阵理论的灵活应用；正定二次型的等价条件及二次型的标准形；向量空间一些基本概念的理解及相关理论的灵活应用；线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量及子空间理论；一些基本概念(内积空间、欧氏空间、正交矩阵、酉空间)的理解。
线性方程组有解的判别定理
1， 2， ， n的一个极大线性无关组 ， 则它也是向量组 1， 2， , n，的 极大线性无关组， 可由它线性表示 从而可由 1， 2， ， n 线性表示
线性方程组有解。
• 用此定理进行线性方程组有没有解的讨 论时，一般用矩阵的初等行变换把线性 方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵
a11 a1r 其中 0根据Cramer法则， a r1 a rr
当r n时，线性方程组有唯一 解； 当r n时，线性方程组可改写 成
a11 x1 a12 x 2 a1r x r b1 a1r 1 x r 1 a1n x n a a x a x b a x a x 21 1 22 2 2r r 2 2 r 1 r 1 2n n a r1 x1 a r 2 x 2 a rn x r br a rr 1 x r 1 a rn x n
c11 0 初等行变换 A 0 0 0
c12 c1r c1n d1 c 22 c 2 r c 2 n d 2 0 c rr c rn d r 0 0 0 d r 1 0 0 0
思考题答案
• 1.方程式的个数不能决定系数矩阵和增 广矩阵的秩，不能由此得到有关解的结 论. • 2.齐次线性方程组恒有解,当系数矩阵的 秩小于未知元的个数时,线性方程组有无 穷多组解(非零解). • 作业:P153-13、17
线性方程组有解判断定理：线性方程组有解的充分 必要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同，即
R( A) R( A )
证明：必要性 设线性方程组有解，就 有c1 , c 2 , , c n
c1 1 c 2 2 c n n 所以，向量组 1， 2 , ， n 与 向量组 ， 1， 2， ， n 等价，
线性方程组解的情况判定
第二节 线性方程组解的情况判定教学目的：掌握线性方程组解的存在性的判别方法。
教学重点：线性方程组有解判别定理及其推论。
教学过程：下面我们来说明如何利用初等变换来解一般的线性方程组。
第一步 对于方程组(9.1)，如果1x 的系数不全为零，那么利用初等变换1，可以设110a ≠；第二步 利用初等变换2，分别把第一个方程的111i a a -倍加到第i 个方程(2,,)i s = ，于是方程组(9.1)变成111122112222222n n n n s sn n s a x a x a x b a x a x b a x a x b +++=⎧⎪'''++=⎪⎨⎪⎪'''++=⎩(9.2) 其中1111(2,,;2,,)i ij ij j a a a a i s j n a '=-⋅== 。
这样，解方程组(9.1)就归结为解方程组2222222n n s sn n s a x a x b a x a x b ⎧'''++=⎪⎪⎨⎪'''++=⎪⎩ (9.3)方程组(9.1)有解的充分必要条件为方程组(9.3)有解；第三步 对(9.2)上面的类似变换，最后得到一个阶梯形方程组111122*********100000r r n n r r n n rr r rn n r r c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x d d ++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎪++=⎪⎨=⎪⎪=⎪⎪⎪=⎩(9.4) 其中0(1,2,,)ii c i r ≠= 。
方程组(9.4)中的“00=”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，去掉它们不影响(9.4)的解。
方程组(9.1)与方程组(9.4)是同解的。
下面讨论方程组(9.4)解的情况，即方程组(9.1)解的情况。
1．如(9.4)中有方程10r d +=，而10r d +≠，这是不管1,,n x x 取什么值都不能使它成为等式，所以(9.4)无解，从而(9.1)无解。
2017考研数学大纲：线性方程组解的判定
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2017考研数学大纲：线性方程组解的判定
数学考试大纲明确规定（备注2017年考研数学大纲将在2016年9月份公布），无论是哪个卷种，都必须考察线性代数，所占分值为34分，而从下图的线性代数的学科框架中可以看出线性方程组又是整个线性代数中最重要的一个章节!
线性方程组根据考试大纲主要要求三个方面：
1、齐次和非齐次方程组解的判定
2、齐次和非齐次方程组解的性质与结构
3、齐次和非齐次方程组的求解
其中关于解的判定是后面两点的基础，所以今天我们重点讲解一下第一点!
一、齐次线性方程组解的判定
1、数值型(含参数)齐次线性方程组方法分析
(1)用行列式
2、抽象型
利用非齐次方程组的解的性质、解的判定、解的结构建立方程，写出方程组通解表达式。
线性方程组解的判定是每年考研的重点，分值大概是4-6分，希望同学们根据徐老师总结的结论好好学习，获得优异成绩!。
第三章-线性方程组的解
线性代数——第 3章
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x2 = c 1 + c 0 + 0 . x3 2 0 4 2 1 2 其中c2 ,c4 任意. 0 1 0 x4
可写成矩阵方程:
Ax b
B ( A, b)
线性代数——第 3章
例
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 设A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
线性代数——第 3章
定理1 (1) (2) (3)
n元线性方程组Ax=b
无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)； 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n； 有无穷多个解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n；
线性代数——第 3章
1 0 0 ~ B0 0 0 x1
5 x1 2c2 3 c2 , x 2c 4 c , 2 2 3 2 x c , 3 1 x4 c 2 ,
线性代数——第 3章
2、非齐次线性方程组 增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有 解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解. 例２ 求解非齐次线性方程组
线性代数——第 3章
解
对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 2 2 1 1 2 2 1 r2 2r1 A 2 1 2 2 0 3 6 4 1 1 4 3 r3 r1 0 3 6 4
d d
3.4_线性方程组有解的判别定理
2 1 2λ +1 2 →0 2λ2 −1 2λ 0 λ(λ − 2) 0 λ − 2
=0，无解； 当λ=0，无解； =2，无穷解； 当λ=2，无穷解；得：
−21x3 − 4 x = x1 + 5 x2 + 2 x3 = 2 1 8 ⇒ , x3为自由未知量 8 x2 − x3 = 4 x3 + 4 x2 = 8
当λ≠0、2，方程组有唯一解，得 方程组有唯一解， ≠0、
x1 = − , x1 = 1 1
λ
λ
, x3 = 0
练习题
λx1 + x2 + x3 = 1 x1 + λx2 + x3 = λ x + x + λ x = λ2 1 2 3
问λ取何值时 , 有解 ? 有无穷多个解 ?
为何值时， 【例2】当λ为何值时，方程组 x1 + (λ 2 + 1) x2 + 2 x3 = λ λ x1 + λ x2 + (2λ + 1) x3 = 0 无解、有解？ x + (2λ + 1) x + 2 x = 2 2 3 1 〖解〗
1 λ 2 +1 2 λ 0 λ2 − 2λ 0 λ − 2 1 2λ +1 2 2 A = λ λ 2λ +1 0 → 0 −2λ2 1 −2λ → 0 λ2 − 2λ 0 λ − 2 1 2λ +1 −1 2λ 2 2 1 2λ +1 2 2 0 2λ2
λ2 2 λ −λ 1 − λ2
1 1 λ λ2 2 ~ 0 λ −1 1− λ λ −λ 0 0 2 − λ − λ2 1 + λ − λ 2 − λ3 1 1 = 0 λ −1 0 0
线性代数线性方程组解的结构
例3.10 设
1 1 1 1 1
α1
0 2
,
α2
1 3
,
α3
1 a2
,
α4
2 4
, β
1
b 3
3
5
1
a
8
5
试问
(1) 当a,b取何值时, b不能由1,2,3,4线性
表示?
(2) 当a,b取何值时, b可由1,2,3,4唯一线
19
证明 如果方程组AX=0的系数矩阵的秩 为r, 可以通过交换系数矩阵中某些行的 位置，使得位于系数矩阵的左上角的r阶 子式不为零, 这样原方程组就等于下面的 方程组:
多解. 而解法二是用Cramer法则来考虑(1), 系数 行列式列和相等，而(2)和(3)的解法一样.
11
例3.12 试判断线性方程组
x1 x2 x3 1,
121xx11
2 x2 22 x2
3 x3 32 x3
4, 42 ,
13x1 23x2 33x3 43
是否有解, 其中1,2,3,4为互不相同的
性表示?
5
解 b能不能由1,2,3,4(唯一)线性表示,
就看是否存在(唯一的)一组数x1,x2,x3,x4使
得
x1
β
x1α1
x2α2
x3α3
x4α4
(α1
,
Байду номын сангаас
α2
,
α3
,
α4
)
x2 x3
x4
于是问题(1)就是a,b取何值时, 线性方程组
AX=b无解? 而问题(2)转化为a,b取何值时, AX=b有唯一解?其中A=(1,2,3,4)
线性方程组有解的判定定理
设 RA RB rr n,
则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行，
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,
其余n - r个作为自由未知量,
并令 n - r个自由未知量全取0，
即可得方程组的一个解．
证毕
小结 RA RB n Ax b有唯一解
RA RB n Ax b有无穷多解.
-5 3 4
3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
x1 x2
2 2
x3 x3
5
3 4
3
x4 x4
0, 0,
由此即得
x1 x2
2
x3
5 3
x4
,
-2
x3
-
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x1
2c1
5 3
解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 - 2 3 - 1 1 B 3 -1 5 - 3 2
2 1 2 - 2 3
1 - 2 3 - 1 1
0 5 - 4 0 -1
0 50 -04 0 12
显然，R( A) 2, R(B) 3, 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
c2 ,
x2
-2c1
-
4 3
c2 ,
x3 c1,
x4
c2
,
5
x1 x2 x3 x4
c1
2 -2 1 0
c2
3 -4
3 0
1
.
例２ 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
线性方程组 线性方程组有解判别定理
证一：对线性方程组（3.5.1）的增广矩阵 A 施行
行初等变换与前n列的换法变换得 B
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
a1n b1
a2n
b2
amn
bn
1 0
0
1
0
0
0 0
0 0
0 c1r1 0 c2r1
1 crr1 00
00
c1n d1
c1n
d2
crn
Hale Waihona Puke drB0dr
1
0 0
A 的前n列所成的矩阵是A，设 B 的前n列所成 的矩阵为B。
1. 若秩A=秩 A ，则由定理3.4.4知，秩B=秩 B 故dr1 0. 因此原方程组有解。
2. 若原方程组（3.5.1）有解，则以 B 为增广矩阵 的方程组也有解。故 dr1 0,于是秩B=秩 B 因此秩A=秩 A
证二：设 1 a11, a21, , am1 , 2 a12 , a22 , , am2 ,
0
1 1 1
2 1 2
2 1 2
6 1 6
a 3
1
b
5
0 1 2 2 6 3 0 1 2 2 6 3
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
a
0
0
0
0
0
a
1 1 0 1 1 5 2
0
0
0
0
0
b
2
0
0
0
0
0
b
2
当 a 0 或 b 2 时，无解；
当a=0且b=2时，线性方程组有解。
（为方便计，这里假设A的左上角r阶子式不为零）。 由定理3.5.1知，方程组有解。
线性方程组有解
α1
⎛ a12 ⎞ ⎜ ⎟ a22 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ am 2 ⎠ ⎝
α2
⎛ a1n ⎞ ⎜ ⎟ a2 n ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ amn ⎠
αn
⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ bm ⎠
β
原方程组转化为向量方程： α1 x1 + α 2 x2 +
A
第三章 线性方程组
定理3.5.2：设线性方程组（3.5.1）的系数矩阵A和增广矩 阵 A 有相同的秩r。则当 r = n ( n为方程中未知量个数)时，方 程组有唯一解； 当 r < n 时，方程组有无穷多解。 证明：当秩A=秩 A = r 时，为方便计不妨假设 A 的左上角 r 阶子式D不为零。由定理3.5.1知，方程组有解。 这时 A 的前 r 行就是行向量组的一个极大线性无关组，因此，方程组（1）
当a、b取何值时，方程组无解？有解？ 在有解时求其一般解。 解： ⎛ 3
4 5 5 9 6 ⎞ ⎛3 4 ⎜ ⎜ ⎟ 3 2 1 1 −3 a ⎟ ( −1) r2 + r3 ⎜ 3 2 → A=⎜ ⎜1 1 ⎜ 4 3 2 2 −2 a + 1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ b ⎠ ⎝5 4 ⎝ 5 4 3 3 −1 ( −3) r3 + r1 ⎛ 0 1 2 2 6 3 ⎞ ( −3) r3 + r2 ⎟ ( −5) r3 + r4 ⎜ 0 −1 −2 −2 −6 a − 3 ⎟ → ⎜ ⎜1 1 1 1 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ 第三章 线性方程组−1 −2 −2 −6 b − 5 ⎠ ⎝0
第三章 线性方程组
⎧ 3 x1 + 4 x2 + 5 x3 + 5 x4 + 9 x5 = 6 ⎪ 3 x1 + 2 x2 + x3 + x4 − 3 x5 = a ⎪ 例3.5.2 设方程组为 ⎨ ⎪ 4 x1 + 3 x2 + 2 x3 + 2 x4 − 2 x5 = a + 1 ⎪ 5 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 3 x4 − x5 = b ⎩
n元线性方程组解的判定定理
为了求解，必须将相关的 的数值代入进去再求解。 为了求解，必须将相关的a 的数值代入进去再求解。
唯一解：当 a ≠ −1 且 a ≠ 3 时，方程组为
x1 = −2 + x 4 x 2 = −4 + x 4 x = −5 + 2 x 4 3
= −2 + c1 = −4 + c1 = −5 + 2c1 = c1
是带有一个 任意常数的 无穷多解。 无穷多解。
例5.9 求解线性方程组
x1 + 2x2 + 3x3 = 1 x2 + 2x3 = 1 x + 3x + 5x = 3 2 3 1
解： 1 2 3 1 r3−r1 0 1 2 1 → 1 3 5 3
1 2 3 1 r3−r2 r1 −2r2 0 1 2 1 → → 0 0 0 1
2
1 1 2
取何值时， 例3.10 a 取何值时，线性方程组
x3 = 1 x 1 + 2x 2 + 2x 1 + 3x 2 + ( a+2 ) x 3 = 3 x + ax − 2x 3 = 0 2 1
有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时， 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时，
1 4 −1 −1 −1 1 r2 −4r1 0 r3 −3r1 r4 +r1 3 −1 −1 0 3 0 → −1 0 0 1 2 0
线性方程组有解的判别定理
非齐次线性方程组同解的讨论摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个非齐次线性方程组有相同的解.关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 零空间引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。
下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出11121121222212n n m m mn ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 令 A= 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，b= 12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
即非齐次线性方程组可写成Ax b =。
一 、线性方程组同解的性质引理 1 如果非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解，则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等.证明 设非齐次线性方程组Ax b =的导出组的基础解系为111,,,r ξξξ ，其中1r 为矩阵[]A b 的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d 的导出组的基础解系为212,,,r ηηη ，其中2r 为矩阵[]B d 的秩，如果*η是非齐次线性方程组Ax=b 与Bx=d 特解，由于这两个方程组同解，所以向量组1*11,,,,r ξξξη 与向量组2*12,,,,r ηηηη 等价。
从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有12,r r =则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等.引理[1]2 设A 、B 为m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解的充要条件是存在可逆矩阵P 使得PA B =.证明 充分性显然成立。
线性方程组解的情况及其判别准则
摘要：近年来，线性代数在自然科学和工程技术中的应用日益广泛，而线性方程组求解问题是线性代数的基本研究内容之一，同时它也是贯穿线性代数知识的主线。
本文探究了线性方程组一般理论的发展，用向量空间和矩阵原理分析了线性方程组解的情况及其判别准则。
介绍了线性方程组理论在解决解析几何问题中的作用，举例说明了线性方程组解的结构理论在判断空间几何图形间位置关系时的便利之处。
关键字:线性方程组；解空间；基础解系；矩阵的秩Abstract:In recent years, linear algebra in science and engineering application, and wide linear equations solving problems is the basic content of linear algebra, at the same time, it is one of the main knowledge of linear algebra.This article has researched the development of system of linear equations theory,discussed the general theory of linear equations, vector space with the development and matrix theory to analyze the linear equations and the criterion of the situation. Introduces the theory of linear equations in solving the problem of analytic geometry, illustrates the role of linear equations of structure theory in judgment space relation between the geometry of the convenience of position. space geometric figure between time the position relations with theory of the system of linear equation with examples.Key words: linear equations, The solution space, Basic solution, Matrix rank一、线性方程组理论的发展进程早在初等代数的学习中，我们就讨论过一元二次方程和二元一次方程组，他们是线性方程组中最简单的两种形式。
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第三章 线性方程组
0 0 1 2 5 0 0 1 2 5
0
a 1
0
0
4
0
a 1
0
0
4
0 1 1 1 2 0 1 0 1 3
1
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0 2
5
1
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0 2
5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
a1 0
0 1 0
1 0 0
2 0 1
5
4
a 1
3
4
a 1
第三章 线性方程组
则当r=n（n为方程中未知量个数）时， 方程组有唯一解；
当r<n时，方程组有无穷多解。 证：当秩A=秩 A =r时，
（为方便计，这里假设A的左上角r阶子式不为零）。 由定理3.5.1知，方程组有解。
这时线性方程组的增广矩阵 A 经行变换可化为 如下阶梯形：
第三章 线性方程组
1 0 L 0 c1r1 L c1n d1
第三章 线性方程组
证一：对线性方程组（3.5.1）的增广矩阵 A 施行
行初等变换与前n列的换法变换得 B
a11 a12 LAΒιβλιοθήκη a21a22L
L L L
am1 am2 L
a1n b1
a2n
b2
L L
amn bn
1 0 L
0
1L
0 c1r1 L c1n 0 c2r1 L c1n
d1
d2
第三章 线性方程组
于是方程组（3.5.1）可表为：
x11 x22 L xnn . —（3.5.2）
设方程组（3.5.1）有解，由（3.5.2）知β可由
1,2 ,L ,n
线性表示，
因此向量组 1,2,L ,n 与1,2 ,L ,n , 等价。
由于等价的向量组有相同的秩，
1,2 ,L ,n 是A的列向量组， 1,2 ,L ,n , 是 A 的列向量组，
x1 x2 x3 x4 3
7x1 9x2 9x3 5x4 17
其中a为实常数。
解：
2 2 3 0 1 0 0 1 2 5
1
a
2
1
2
0
a 1
1
2
1
A 2 3 3 1 4 0 1 1 1 2
1
1
1
1
3
1
1
1
1
3
7 9 9 5 17 0 2 2 2 4
0
0
0
0
0
b
2
0
0
0
0
0
b
2
当 a 0 或 b 2 时，无解；
当a=0且b=2时，线性方程组有解。
第三章 线性方程组
解是：
x1 x2
2 3
x3 x4 5x5 2x3 2x4 6x5
，
x3, x4 , x5 是自由未知量。
第三章 线性方程组
d2 c2r1xr1 L LLLL
c2n xn
xr dr crr1xr1 L crn xn
这里 xr1,L , xn 是自由未知量。故方程组有无穷多解。
第三章 线性方程组
2x1 2x2 3x3 1
例3.5.1：解线性方程组
x1 ax2 2x3 x4 2 2x1 3x2 3x3 x4 4
L L L L L L L L
0
0L
1 crr1 L crn
dr
B
0 0 L 0
0L
0
d
r
1
L L L L L L L L
第三章 线性方程 组0 0 L 0 0 L 0 0
A 的前n列所成的矩阵是A，设 B 的前n列所成 的矩阵为B。
1. 若秩A=秩 A ，则由定理3.4.4知，秩B=秩 B 故dr1 0. 因此原方程组有解。
故秩A=秩 A
第三章 线性方程组
充分性：若秩A=秩 A 于是向量组 1,2 ,L ,n 与1,2,L ,n , 有相同的秩，设为r。 不妨设 1,2,L ,r 是 1,2,L ,n 的一个极大线性无关组。 显然 1,2,L ,r 也是1,2,L ,n , 的一个极大无关组， β可由 1,2,L ,r 线性表示。由传递性知，β可由 1,2,L ,n 线性表示，可见方程组（3.5.1）有解。 定理3.5.2：设线性方程组（3.5.1）的系数矩阵 A和增广矩阵 A 有相同的秩r。
3 4 5 5 9 6 0 1 2 2 6 3
A
3 1
5
2 1 4
1 1 3
1 1 3
3 1 1
a
0
1
b
1
0
1 1 1
2 1 2
2 1 2
6 1 6
a
3
1
b
5
0 1 2 2 6 3 0 1 2 2 6 3
0
0
0
0
0
1 1 1 1 1
a
0
0
0
0
0
a
1 1 0 1 1 5 2
0
0
0
0 1 0
1 0 0
0 0 1
a9
a 1
4
a 1
7
3a
a 1
1 0 0 2 0 0 0 0
5 2
1 0 0 0 0 0 0 0
9a
a 1
0
第三章 线性方程组
当a=1时，方程组无解。
当 a 1 时，原方程的解为
x1
9a a 1
x2
4 a 1
x3
a9 a 1
2. 若原方程组（3.5.1）有解，则以 B 为增广矩阵 的方程组也有解。故 dr1 0, 于是秩B=秩 B 因此秩A=秩 A
证二：设 1 a11, a21,L , am1 , 2 a12, a22,L , am2 ,
L L L , n a1n , a2n ,L , amn , b1,b2,L ,bm .
§3.5 线性方程组有解判别定理
在有了向量和矩阵的理论准备之后，下面给出线性方程
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21x1
a22 x2 L a2n xn LLLLL
b2
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
—（3.5.1）
有解的判别定理。
定理3.5.1（线性方程组有解的判别定理）： 线性方程组（3.5.1）有解的充要条件是它的 系数矩阵A与增广矩阵 A 有相同的秩。
x4
7 3a a 1
例3.5.2：当a、b取何值时，线性方程组
3x1 4x2 5x3 5x4 9x5 6
4
3x1 2x2 x3 x1 3x2 2x3
x4 2x4
3x5 2x5
a a
1
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 b
第三章 线性方程组
无解？有解？ 在有解时求其一般解。
x2
c2r x 1 r1 L LLL
c2n xn L
d2
xr crr x 1 r1 L crn xn dr
第三章 线性方程组
当r=n时，方程组有唯一解： xi di , i 1, 2,L , n. 当r<n时，方程组的解为：
x1 d1 c1r1xr1 L c1n xn
x2
0
1L
0 c2r1 L
c1n
d
2
L L L L L L L L
A
0
0L
1 crr1 L
crn
dr
B
0 0 L 0 0 L 0 0
L L L L L L L L
0 0 L 0 0 L 0 0
因此方程组（3.5.1）与以下方程组同解。
x1 c1r1xr1 L c1n xn d1