线面平行的常用判断法

B C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

图２

A

F

E

G

α

a

b

A

图1

线面平行的常用判断法

空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容，也是高考考查的重点，下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下：

一、反证法

例１求证：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（直线与平面平行的判定定理）

已知：,,a b a αα⊄⊂∥b ，如图１． 求证：a ∥α．

分析：要证明直线与平面平行，可以从直线与平面平行的定义入手，但从定义来看，必须说明直线与平面无公共点，这一点直接说明是困难的，但我们可以借助反正法来证明．

证明：假设直线a 与平面α不平行，又∵a α⊄，∴a A α=．

下面只要说明a

A α=不可能即可．

∵a ∥b ，∴a ，b 可确定一平面，设为β． 又a

A α=， ∴,A a A β∈∈．

又b ,A αα⊂∈，

∴平面α与平面β中含有相同的元素直线b ，以及不在直线b 上的点Ａ， 由公理２的推论知，平面α与平面β重合． ∴a α⊂，这与已知a α⊄相矛盾． ∴a A α=不可能．故a ∥α．

二、判定定理法

例２ 正方体1AC 中，Ｅ、G 分别为BC 、11C D 的中点，求证：EG ∥平面11BDD B 分析：要证明EG ∥平面11BDD B ，根据线面平行的判定定理，需在平面11BDD B 内找到一条与EG 平行的直线，充分借助Ｅ、G 为中点的条件．

证明：如图２，取BD 的中点为Ｆ，连结EF ，1D F ． ∵Ｅ为BC 的中点， ∴ EF ∥CD 且1

2

EF CD =

又∵G 为11C D 的中点， ∴ 1D G ∥CD 且11

2

D G CD =

B C D

A 1

B 1

C 1

D 1

A

Ｎ

Ｍ

E Ｆ

图３

∴ EF ∥1D G ，且1EF D G =

故四边形1

EFDG 为平行四边形．∴ 1D F ∥EG 又1D F ⊂平面11BDD B ，且EG ⊄平面11BDD B ， ∴ EG ∥平面11BDD B 评注：根据直线与平面平行的判定定理证明直线和平面平行的关键是在平面内找到 一条直线和已知直线平行，常用到中位线定理 、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时,应根据题目条件而定.

三、运用面面平行的性质定理

例３ 在正方体1111ABCD A BC D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA BB ．

分析：若过MN 能作一个平面与平面11AA BB 平行，则由面面平行的性质定理，可得MN 与平面11AA BB 平行．

证明：如图３，作MP ∥1BB ，交BC 与点Ｐ，联结NP ． ∵ MP ∥1BB ，∴

1CM CP

MB PB

=

． ∵1BD B C =，DN CM =，

∴1B M BN =， ∵1CM DN

MB NB

=

，∴DN CP NB PB = ∴NP ∥CD ∥AB ， ∴面MNP ∥面11AA BB ． ∴MN ∥平面11AA BB

评注：本题借助于成比例线段，证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，得到这两个平面平行，进而得到线面平行，很好地体现了线面、线线、面面平行关系之间的转化思想．