第三章行列式
高等代数第3章第4节行列式按行展开
定理3.4.1 若在一个n阶行列式
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ D = ai1 ⋯ aij ⋯ ain ⋮ ⋮ ⋮ an1 ⋯ anj ⋯ ann
中，第 i 行(或第 j 列)的元素除aij 外都是零，那么这个行 列式等于aij 与它的代数余子式Aij 的乘积： 证明：
D = aij Aij .
15
综上，得公式
⎧ D, (k = i ) ak1 Ai1 + ak 2 Ai 2 + ⋯ + akn Ain = ⎨ ⎩ 0, (k ≠ i ) ⎧ D, (l = j ) a1l A1 j + a2 l A2 j + ⋯ + anl Anj = ⎨ ⎩ 0, (l ≠ j )
在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公 注： 注：在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公 式并不一定简化计算，因为把一个 n 阶行列式换成 n 个 (n－1) 阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式 中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有 意义．但展开定理在理论上是重要的．
3 −1 −1 1 2 1 1 −1 D= 0 0 5 −2 0 0 2 −1
若选定第一、三行，第二、三列 , 则其对应的二阶子式为
−1 −1 M= 0 5
k k 注： n 阶行列式 D 的 k 阶子式共有 C n 个． ⋅ Cn
行列式的定义
D=a11a22a33 ann
（2）上三角行列式
a11 a12 a13 ... a1n 0 a22 a23 ... a2n 0 0 a33 ... a3n = a11a22...ann ... ... ... ... ... 0 0 0 ... ann
（3） 次下三角行列式
0 ... 0 a1,n
a31 a32 a33
D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3 D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31 D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31
2 1
=
3-
(-4)
=
7
0
D1
=
12 1
-
2 1
=12-(-2)
=14
D2
=
3 2
12 1
=
3-
24
=
-21
3-1 n阶行列式的概念
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数 若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
a21 a31
a22 a32
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
红线上三元素的乘积冠以正号, 注意 红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三 元素的乘积冠以负号. 元素的乘积冠以负号.
13
以上结论具有一般性: 定义 3.3.1
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度 不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换 作m+1次相邻对换 作m次相邻对换 次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性 奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
标准排列 (自然排列 自然排列) 自然排列
高等代数最重要的基本概念汇总
第一章 基本概念
1.5 数环和数域
定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab
都在S 内，那么称S 是一个数环。
定义2 设F 是一个数环。如果
（i ）F 是一个不等于零的数； （ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠，
a
F b
∈，那么就称F 是一个数域。 定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。
第二章 多项式
2.1 一元多项式的定义和运算
定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式
()1 2
012n n a a x a x a x +++
+，
是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。
项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i
i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。 定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数
为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等
()()f x g x =
定义3 n
n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x +++
+，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作
多项式2
012n n a a x a x a x +++
+，0n a ≠的次数。
定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么 ()i 当()()0f x g x +≠时， ()()()()()()()()0
max ,;f x g x f x g x ∂
线性代数03-行列式按行(列)展开
同理可得
D a21 A21 a22 A22 a23 A23 a31 A31 a32 A32 a33 A33
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即
或 D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1, 2, , n
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
Baidu Nhomakorabea
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
行列式的定义及性质
a14 a34 a44
A23 1
M 23 M 23 .
a11 D a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a21 M 12 a31 a41
a23 a33 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M12 M 12
B A;
性质3.3(2)：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。
证明：
a11 as1 D at 1 an1
a12 as 2
a1 n a sn
at 2 atn an 2 ann
a b c
0
等于零？
按第三行展开 aA31 bA32 cA33
也可以看做第一行元素与第三行代数余子式的乘积
例3.3
设D
1 2 1 2 2 4 2
5 3 2
4 2 2 1
2 2
，求D的第3列元素的代数余子 式之和。
解
根据行列式的展开定理可得
a12 A13 a22 A23 a32 A33 a42 A43 0，
-1 2 3 1 4 (-5) () 1 3 1 3 -20 (-5) (-8) 20
《线性代数的几何意义》之三(行列式的几何意义)
----图解线性代数----任广千胡翠芳编著
2010.06.01
《线性代数的几何意义》
几何意义名言录
没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方
式来表达事物是非常有意义的。 -------笛卡尔
算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；
没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。 --------希尔伯特
“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓
慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，
则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。”
--------拉格朗日
不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不过是
行尸走肉。 --------柏拉图
无论是从事数学教学或研究, 我是喜欢直观的。学习一条数
学定理及其证明, 只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思
路弄明白了, 我才认为真正懂了。--------中国当代数学家徐利治
第三章 行列式的几何意义
在中国古代，用筹算表示联立一次方程未知量的系数时，就有了行列式的萌芽-----排列的方式。日本吸收了这种思想，在1683年，日本学者关孝和（Seki Takakusu）对行列式的概念和它的展开已有了清楚的叙述。到18世纪，瑞士数学家克莱姆（G.Gramer）和法国数学家拉普拉斯（place）建立了行列式理论。
行列式的几何意义具有深刻的含义。它是指行列式的行向量或列向量所构成的平行多面体的有向体积。这个有向体积是由许多块更小的有向面积或有向体积的累加。在我们逐步地讨论这个几何意义之前，先来回顾一下行列式的定义。
3.1. 行列式的定义
行列式的应用(1)--伴随矩阵
AAA*
a11a11 a12 a12 a21a21a22a22
ai1ai1 ai2 ai2
an1an1an2an2
a 1n a2n
ain
a nn
aa12nn , ain a nn
A *
AA1121
A1n
A11A21A21 A12A22A22
A1n A2nA2n
Ai1Ai1 Ai 2Ai 2
A21 A22
A2n
Ai1 Ai 2
Ain
A
An1 An2
Ann
0
A
A
线性代数
行列式的应用
定理 设A=(aij)nn, 则 A A*= A*A=det(A)I
A11
A*
A
A12
Ai1 Ai 2
An1
a11
An
2
ai1
a12 ai2
a1n
AinAin
AAn1n1 AnA2n2
AnAnnn
线性代数
行列式的应用
定理 设A=(aij)nn, 则 A A*= A*A=det(A)I
AA*
a11 a21 aaii11 aa1n1s
AA回1ja1aaat 顾1n2i2222 aa2i2s设AA 2jA2taaaa=12innnnn(LLaij)AAAn111aan21nnin，s AAAAA那nj22n2t21n么有ddeett00((AAAAAiiin12))
第三章 行列式
a11 a12
a13
那么方程组(2)有解 那么方程组 他的系数作成的三阶行列式 D = a21 a22 a23 ≠ 0 ,那么方程组 有解
a31 a32 a33
宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
D D1 D , x2 = 2 , x3 = 3 , 这里 D D D b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b1 D = b2 a22 a23 , D2 = a21 b2 a23 , D3 = a21 a22 b2 1 b3 a32 a33 a31 b3 a33 a31 a32 b3 x1 =
b1 a12 a11 b1 b a22 a b x1 = 2 , x2 = 21 2 . a11 a12 a11 a12 a21 a22 a21 a22
a11x1 + a12 x2 + a13x3 = b1 (2) 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2) a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3
我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式 然后利用这一 我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到 阶行列式,然后利用这一 阶行列式 工具来解答含有n个未知量 个方程的线性方程组. 个未知量n个方程的线性方程组 工具来解答含有 个未知量 个方程的线性方程组
线代第三章习题解答
第三章 行列式
习题3.1
3-1-6.用定义计算行列式
（1）()2,1,0,,,0
0000002
2
2211114=≠=
i d c b a d c b a d c b a D i
i i i
解：设4
44⨯=ij
a D 则4D 中第1行的非0元为113111,
b a a a ==，故11,3j =
同法可求：2342,4;1,3;2,4j j j ===
∵4321,,,j j j j 可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2， 故4D 中相应的非0项有4项，分别为2211d b c a ，,2211c b d a -2211d a c b -，2211c a d b 其代数和即为4D 的值，整理后得 ()()122112214d c d c b a b a D --=
(2)010...0002 0
000...000 0
n D n =M M M
M
解：由行列式的定义121212()12(1)n n n
j j j n j j nj j j j D a a a τ=
-∑L L L
仅当12,,,n j j j L 分别取2，3,…,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零
12121()(231)1212231(1)
(1)
(1)(1)(1)
12(1)
!
n n n j j j n n j j nj n n n n D a a a a a a a n n ττ---=-=-=-⋅=-⋅L L L L L
习题3.2
3.2-2.证明(1)0sin cos 2cos sin cos 2cos sin cos 2cos 222222=γ
线性代数复习提纲
第一章 矩阵
1 矩阵的概念
特殊矩阵：行矩阵、列矩阵、对角矩阵、上三角阵、下三角矩阵、单位矩阵、对称矩阵、反对称矩阵。 2 矩阵的运算：
（1）矩阵的线性运算及其运算规律－矩阵的加法（减法）和数乘。
（2）矩阵的乘法：能够进行乘法运算必须具备的条件，运算方法，左乘与右乘的区别。乘法的运算规律（应用较为普遍的是矩阵乘法满足结合律） （3）矩阵的转置：(AB)T =B T A T
（4）矩阵的逆：AB=BA=I →A -1=B 矩阵的逆唯一 运算规律： (A -1) -1= A ；(λA) -1= λ-1A -1；(AB) -1=B -1A -1；(A T ) -1=(A -1) T 矩阵逆的计算方法：待定系数法、初等变换法、伴随矩阵法。 3 分块矩阵及其运算
第二章 线性方程组与矩阵初等变换 1 线性方程组与矩阵的一一对应关系
2 高斯消元法：线性方程组的三种变换→阶梯形方程组。
3 利用矩阵初等变换解线性方程组：三种初等变换→行阶梯形矩阵→行最简形矩阵
4 非齐次线性方程组解的三种情形的讨论
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛++++0000000000000000000
011,221,2222111,111211
r r rn r r rr n
r r n
r r d d c c c d c c c c d c c c c c
（1）无解（2）唯一解（3）无数解 5矩阵等价的概念 6 初等矩阵的概念
7 初等矩阵与矩阵初等变换的关系
8 逆矩阵定理：设A 是n 阶矩阵，那么下列各命题等价： （1）A 是可逆矩阵；
第三章 行列式 第四节 子式和代数余子式 行列式的依行依列展开课件
作业
P88-89
3，4，5
D (1)(i 1)( j 1) D1 (1)i j D1.
因此 D (1) i j D1 (1) i j aij M ij aij (1) i j M ij aij Aij 这样，定理得到证明.
二、行列式依行依列展开
定理3.4.2 n阶行列式 D 等于它的任意一行(列) 的各元素与其对应代数余子式乘积的和. 换句话说，行列式有依行依列的展开式： （3） D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain (i 1, 2, , n), （4） D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1, 2, , n).
a 21 a31 a 41
中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于 这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式
a 21 a 24 M . a31 a34
定义2
n (n>1)阶行列式
a11 D ai1 an1 a1 j aij anj a1n ain ann
的某一元素 a ij 的余子式 M ij 指的是在D中划去 a ij 所在行和列后所余下的n－1阶子式. 例2 例1的四阶行列式的元素 a 23 的余子式是
中,第i行(或第j列)的元素除 a ij外都是零,那么这个行 列式等于 a ij与它的代数余子式 Aij的乘积:
第三章 行列式
第三章 行列式
在第一章中，我们用矩阵的初等行变换解决了线性方程组是否有解及求解的问题. 但这种方法，早已把方程组的系数和常数项变得面目全非了，无法给出解与方程组的系数和常数项之间的关系，本章就利用行列式来解决这一问题. 行列式不仅是研究线性代数的重要工具，在其它领域也有广泛应用. 本章介绍行列式的概念、性质、计算及应用.
3. 1行列式的概念
一、二阶和三阶行列式
首先我们通过解二元、三元线性方程组引入二阶和三阶行列式的定义. 对于二元线性方程组1111221
2112222
a x a x
b a x a x b +=⎧⎨+=⎩，利用消元法知，当112212210a a a a -≠时，求
得其解为
122212211121121122122111221221
,b a b a b a b a
x x a a a a a a a a --=
=--. （3. 1）
上式作为二元线性方程组解的公式，给出了解与方程组的系数和常数项之间的关系，
但不好记忆. 为便于应用这个公式，我们引入二阶行列式的定义.
我们把四个数11122122,,,a a a a 排成两行两列构成的二阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
所确定的算式11221221a a a a -称为二阶行列式. 记为
1112
2122
a a a a 或A 或D ，即
1112
112212212122
==
=-a a D A a a a a a a .
二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆，把11a 到22a 所在的连线称为主对角线，把12a 到21a 所在的连线称为副对角线，则二阶行列式等于主对角线上两元素乘积减去副对角线上两元素乘积.
第三章 行列式
MATLAB 软件应用
第三章 行列式
例1：输出矩阵311212123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，计算
（1）A ; (2) 取出A 的第二列；（3）删除A 第一行.
解：建立m 文件d1.m 如下：
clc
A=[3 1 1;2 1 2;1 2 3]
fprintf('det(A)=%d',det(A))
A1=A(:,2)
A(1,:)=[];
A2=A
运行结果如下：
A =
3 1 1
2 1 2
1 2 3
det(A)=-4
A1 = 1
1
2
A2 = 2 1 2
1 2 3
例2：计算行列式2324323631063a b c d
a a
b a b
c a b c
d D a a b a b c a b c d
a a
b a b
c a b c d
++++++=++++++++++++. 解：建立m 文件d2.m 如下：
clc
syms a b c d %定义符号变量 A=[a,b,c,d;a a+b a+b+c a+b+c+d;a 2*a+b 3*a+2*b+c
4*a+3*b+2*c+d;...
a 3*a+
b 6*a+3*b+
c 10*a+6*b+3*c+d] ; %输出符号矩阵 D=det(A)
运行结果如下：
D =
a^4
例3： 应用Cramer 法则求解下列线性方程组的解.
123412423412342583 69 254760.
x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩，
，， 解：建立m 文件d3.m 如下：
clc
A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6]; b=[8;9;-5;0]
《高等代数》第三章习题及答案
习题3.1
计算下列行列式：
①
53
12--+a a ②
2
1
2
313121
+----a a a
解 ①
5
3
12--+a a =(a+2)(a-5)+3=a 2
-3a-7
②
2
1
2
31312
1
+----a a a =(a-1)(a-1)(a+2)-3-12+2(a-1)-3(a-1)+6(a+2)
= a 3
+2a
习题3.2
求从大到小的n 阶排列(n n-1 … 2 1)的逆序数． 解 τ(n n-1 … 2 1)=(n-1)+(n-2)+…+1+0=
2
)
1(-n n 习题3.3
1.在6阶行列式中，项a 23a 31a 42a 56a 14a 65和项a 32a 43a 14a 51a 66a 25应各带有什么符号？
解 因为a 23a 31a 42a 56a 14a 65=a 14a 23a 31a 42a 56a 65，而τ(4 3 1 2 6 5)=3+2+0+0+1+0=6，所以项a 23a 31a 42a 56a 14a 65带有正号．
又因为项a 32a 43a 14a 51a 66a 25=a 14a 25a 32a 43a 51a 66，而τ(4 5 2 3 1 6)=3+3+1+1+0+0=8，所以项a 32a 43a 14a 51a 66a 25带有正号． 2.计算：
000400010002000300050000 解 因为a 15a 24a 33a 42a 51的逆序数为τ(5 4 3 2 1)=5×4/2=10，带有正号，所以
000400010002000
30005
0000=5×3×2×1×4=120 习题3.4
《高等代数》第三章 行列式
使
= k11 +k22 + …+kss .
这时也称向量 可由向量组1, 2, …, s 线性表出. 2. n 维单位坐标向量
是线性相关的，因为 3 =31 - 2 .
从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量 组一定是线性相关的.
向量组的线性相关的定义还可以用另一种说法
定义 12 向量组 1 , 2 , … , s (s 1) 称为 线性相关，如果有数域 P 中不全为零的数 k1 , k2 ,
… , ks , 使
3. 数量乘积 1) 定义 定义 8 设 k 为数域 P 中的数，向量
( ka1 , ka2 , … , kan )
称为向量 = ( a1, a2, …, an ) 与数 k 的数量乘积， 记为 k .
2) 运算规律
k ( + ) =k + k , (k + l ) = k + l , k ( l ) = ( kl ) , 1 = , 0 = 0 , (-1) = - , k 0 = 0 . 如果 k 0, 0, 那么
3) 传递性：如果向量组 1 , 2 , … , t 与 1, 2, …, s 等价， 1, 2, …, s 与 1 , 2 ,…, p 等价 那么向量组 1 , 2 , … , t 与 1 , 2 ,…, p 等价.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 行列式 课外习题
一、判断题
1．若在n 阶行列式中等于零的元素个数超过2
n n -个，则这个行列式的值等于零。（ ）
2．1112
13111213
21
22232122
331
323331
32
33
ca ca ca a a a a a a c a a a a a a a a a = ( )
二、单选题
1． 若行列式21
1
2031
2
x
--=-, 则x =( ) A. –2 B. 2 C. -1 D. 1
2．n 阶行列式0001
0010
01001
00
的值为（ ）
A. (1)n
- B. 1
(1)2
(1)
n n -- C. 1
(1)2
(1)
n n +- D. 1
3．设ij A 是行列式A 的元素(),1,2,,ij a i j n = 的代数余子式，当i j ≠时下列各式中错误的是（ ）
A. 1122i j i j in jn A a A a A a A =++
B. 1122i i i i in in A a A a A a A =++
C. 1122j j j j nj nj A a A a A a A =++
D. 11220i j i j in jn a A a A a A =++
4．行列式
0000
00000a b
c d e f
的值等于（ ） A. abcdef B. abdf - C. abdf D. cdf
5．
1111
222
2
0000000
a b c d a b c d =( ) A. 11222121a c b d a b c d - B. 22112211()()a b a b c d c d -- C. 12121212a a bb c c d d D. ()12211221()a b a b c d c d --
6.设行列式1
112
2233
3,a b c D a b c a b c = 则 111111
2
22
222333
333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c +++++++++ ＝（ ） A. -D B. D C. 2D D. -2D
7．如行列式11
1213
21
22
2331
32
33a a a a a a d a a a =， 则31
3233
21222311
12
13
333222a a a a a a a a a ---＝（ ） A ． -6d B ． 6d C ． 4d D ． -4d
三、填空题
1. 四阶行列式
108519
620
73004000
=( ). 2． 排列12345a a a a a 的逆序数等于3，排列54321a a a a a 的逆序数等于（ ）.
3． n 阶行列式A 的值为c ，若将A 的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的
次序向左移动，则得到的行列式值为（ ）.
4． n 阶行列式A 的值为c ，若将A 的所有元素改变符号，得到的行列式值为（ ）. 5． n 阶行列式A 的值为c ，若将A 的每个第(),i j 个元素ij a 换到第
()
1,1n i n j -+-+个元素的位置上，得到的行列式的值为（ ）. 6． n 阶行列式A 的值为c ，若将A 的每个ij a 换成()1i j
ij a +-，则得到的行列式的值为
（ ）.
7． n 阶行列式A 的值为c ，若将A 的每个ij a 换成()
()0i j
ij b a b -≠，则得到的行列式
的值为（ ）.
8． n 阶行列式A 的值为c ，若从第二列开始每一列加上它前面的一列，同时对第一列
加上A 的第n 列，则得到的行列式的值为（ ）.
四 讨论题
1. ,,λμ问取何值时齐次线性方程组1231231230020
x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有非零解？
2. ,λ问取何值时齐次线性方程组 1231231
23(1)240
2(3)0(1)0
x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪
+-+=⎨⎪++-=⎩
有非零解？
自测题
一、填空题(每小题2分,共10分)
1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 2．四阶行列式4
4⨯=ij
a D 中,含24a 且带负号的项为_____.
3．设
.21
22221
11211
d a a a a a a a a a nn n n n n
=
则
._____1
2
21
22211
121=n n nn
n
n
a a a a a a a a a
4．行列式1
1
1111
11
---x 的展开式中,x 的系数是_____. 5．设ij ij A M ,分别是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则
._____1,1,=+++i i i i A M
二、判断题(每小题2分,共10分)
1．n 阶行列式D 中有多于n n -2个元素为零,则D=0 ( ) 2．D=0,则互换D 的任意两行或两列,D 的值仍为零. ( ) 3．排列 j i 与排列 i j 排列的反序数相差1. ( ) 4．ij ij
A a D ,3
3⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( )
5．齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321
3213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A,若存在三阶矩阵
B ≠0,使得AB=0,则.1=λ ( )