高中数学必修4.1.6
高一数学必修4(第一章)
3
止边所旋转的最小正角为 θ ，则终止边所表示的角 β = α + θ ．本题还需要注意两点，一是 弧度制的正确使用；二是旋转边为直线的表示方法． 例 4． 一扇形 AOB 的面积是 1cm2，它的周长是 4cm，求扇形的半径及圆心角∠AOB． 分析 根据弧长及扇形面积计算公式列出方程组求解即可． 解 设扇形的半径为 r cm，圆心角∠AOB 为 α rad，
π π , k ∈ z }，B ={ x | x = 2kπ + , k ∈ z }，试判断集合 A 2 2
21．已知 A = { α | 2kπ ≤ α ≤ 2kπ + π , k ∈ z }，B = { α | −4 ≤ α ≤ 4 }，求 A∩B．
四、拓展视野
欧拉与弧度制
18 世纪以前，人们一直是用线段的长来定义三角函数的．瑞士数学家欧拉（Leonhardo Eulero，1707 年～1783 年） ，在他于 1748 年出版的一部划时代的著作《无穷小分析概论》 中，提出三角函数是对应的三角函数线与圆半径的比值，并令圆的半径为 1，使得对三角函
2
⑷ 不正确．如负角都是小于 90°的角，但都不是锐角． 点评 本题考查了关于各类角的定义及范围，要求学生概念清晰，并善于用举反例的方法进 行概念辨析． 并指出上述集合中介于 −180 和 180 之 例 2． 试写出终边在直线 y = x 上的所有角的集合， 间的角． 分析 先找出终边在直线 y = x 上且在 (0 , 360 ) 内的角，再写出与其终边相同的角的集合， 最后再考虑形式上的合并，然后给 k 赋值得出介于 −180 和 180 之间的角 解 终边在直线 y = x 上且在 (0 , 360 ) 内的角为 45 和 225 ， 所以终边与其相同的角的集合
人教版高中数学必修第一册4.1指数 课时1n次方根与分数指数幂【课件】
(3) 底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分
数，先化成假分数．
(4) 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用指数幂的形式表示，运用
指数幂的运算性质来解答．
【变式训练3】 计算下列各式：
【解】
【备选例题】
思路点拨：含字母的根式与分数指数幂的互化,从分数指数
15.5年，薇甘菊的侵害面积是多少？可否表示为S0·1.05715.5 hm2？
如果可以，数1.05715.5表示什么含义呢？
情境导学
2.初中我们已经学习过整数指数幂．在学习幂函数时，我们把
正方形场地的边长c关于面积S的函数c＝ 记作c＝ ，像 这样以
分数为指数的幂，叫做分数指数幂．
3.在初中，我们学习了平方根和立方根.4的平方根是多少？8
的立方根是多少？是不是任何数的平方根都有两个、立方根都只有
一个？若x5＝32，x可以取什么值？若x4＝16，x可以取什么值？你
能发现它们的共同特点吗？
初探新知
【活动1】探究n次方根的概念,深化对根式的认识和理解
【问题1】 我们知道:若x2=2,则x=± 2 ,± 2 称为2的平方根,(2)3=-8,-2称为-8的立方根.如果xn=a(n>1,n∈N*),那么x称为a的什
化成自然对数或常用对数；通过具体实例，引导学生了解对数函数的概念，
并能借助描点法、信息技术画出具体对数函数的图象， 探索并了解对数
函数的单调性与特殊点；让学生知道对数函数y＝log x与指数函数y＝ax
互为反函数(a>0，且a≠1)．
知识要点及教学要求
3. 结合指数函数与对数函数的图象，指导学生进一步了解函数的零点与方
必修四第1章-1.6
教 学 教 法 分 析 当 堂 双 基 达 标
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究 思 想 方 法 技 巧
1.6
三角函数模型的简单应用
课 后 知 能 检 测 教 师 备 课 资 源
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数学[新课标· 必修4]
●三维目标 1．知识与技能 (1)能根据图象建立解析式． (2)能根据解析式作出图象． (3) 能将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模 型． (4)能利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行 函数拟合，从而得到函数模型．
π π sin6＋φ＝1，∴φ＝ . 3
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数学[新课标· 必修4]
故所求函数的解析式为
π s＝4sin2t＋3 ，t∈[0，＋∞)．
π (3)当 t＝0 时，s＝4sin ＝2 3(cm)． 3 故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是 2 3 cm.
1 1 是利用半周期为 －－900. 180
2．此类问题解决关键是将图形语言转化为符号语言，其 中读图、识图、用图是数形结合的有效途径．
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数学[新课标· 必修4]
弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位 移 s(cm)随时间 t(s)的变化曲线(如图所示)是一个三角函数的 图象．
1 2π 1 (2)依题意，周期 T≤ ，即 ≤ (ω>0)． 150 ω 150 ∴ω≥300π>942，又 ω∈N*， 故所求最小正整数 ω＝943.
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新教材2024版高中数学第四章指数函数与对数函数4.1指数课件新人教A版必修第一册
指数幂及其运算性质
1．分数指数幂的意义
正分数指数幂
m
规定：an
＝__n__a_m___(a＞0，m，n∈N*，且
n＞1)
分数 指数
1
负分数指数幂
规定：a－mn
＝
1
m
＝___n _a_m___(a＞0，m，n∈N*，且
an
幂
n＞1)
0 的分数 0 的正分数指数幂等于___0_____，0 的负分数指数
(1)a±2a12
1
b2
＋b＝ a ±b ；
1 2
1 2
2
(2)a－b＝ a ＋b a －b ； 1
1 1
1
2
2
2
2
3
(3)a2
＋b23
＝ a ＋b (a－a 1
1
1
2
2
2
1
b2
＋b)；
3
(4)a2
－b23
＝ a －b (a＋a 1
1
1
2
2
2
1
b2
＋b)．
易错警示 忽视条件限制致误 已知 x∈[1，2]，化简：(4 x－1)4＋6 (x2－4x＋4)3＝________．
1．(题型 2)下列运算结果中，正确的是
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．( a－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
()
【答案】A 【解析】a2a3＝a2+3＝a5，(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6，( a－1)0＝1， 若成立，需要满足 a≠1，(－a2)3＝－a6，故正确的是 A．故选 A．
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
北师大版数学必修四课件1.6
D．53π ∵f(x)是偶函数，∴f(0)＝sin φ3＝±1，∴φ3＝kπ＋π2，
∴φ＝3kπ＋32π，(k∈Z)，又 φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.
1．用“五点法”作出函数 y＝3－cos x 的图像，下列点中不属于五点作图中
的五个关键点的是( A )
A．(π，－1)
B．(0,2)
C．(π2，3)
4．比较 cos 187π与 cos (－π7)的大小．
[解析]
cos
187π＝cos (2π＋47π)＝cos
4π 7.
cos (－π7)＝cos
π 7.
又 0<π7<47π<π，y＝cos x 在[0，π]上是递减的，
∴cos π7>cos 47π，即 cos 187π<cos (－π7)．
5．函数y＝cos 2x－6cos x＋10的值域为_____[_5_,1_7_]______. [解析] 令t＝cos x， 由于x∈R，故－1≤t≤1. y＝t2－6t＋10＝(t－3)2＋1， 当t＝－1时，即cos x＝－1时函数有最大值17； 当t＝1，即cos x＝1时函数有最小值5. 所以该函数的值域是[5,17]．
∴当cos x＝－1时，ymax＝4， 当cos x＝1时，ymin＝－2.
(2)y＝3cos 2x－4cos x＋1＝3(cos x－23)2－13. ∵x∈[π3，23π]， ∴cos x∈[－12，12]， 当 cos x＝－12，即 x＝23π时，ymax＝145； 当 cos x＝12，即 x＝π3时，ymin＝－14. ∴原函数在区间[π3，23π]上的最大值为145，最小值为－14.
当 cos x＝－1，即 x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，函数取最大值52.
【课件】新课标人教A版数学必修4：1.6三角函数模型的简单应用
(1)求这一天6~14时的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
30Biblioteka 20解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. 10
(2)从图中可以看出,从6~14时的图象是
0 6 10 14 x
函数 y Asin(x ) b的半个周期
的图象，所以，A 1 30 10 10, b 1 30 10 20
y 2.5sin x 5 6
P
y 5.5 0.3 x 2
2 4 6 8 10
x
作业讲评
▪ P46 A2最值问题 使原函数取得最大值的集合是
(3)
y
3 2
cos
1 2
x
6
解：令z 1 x
26
x
|
x
7
3
4k ,k
Z
要使y 3 COSz有最小值， 2
要使y 3 cos z有最大值， 2
必须 z 2k ,k z
必须 z 2k ,k z
1 x 2k
例3 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此 时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间 的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ负 值.
如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高 为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮挡,两 楼的距离不应小于多少?
y
6 4 2
O
23
y 5.5 0.3(x 2)
x
6
9
12
15
(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同
数学必修四1.6
典例剖析 知识点 1 应用函数模型解题 【例 1】 单摆从某点开始来回摆动， 离开平衡位置的位移 s(cm) π 和时间 t(s)的函数关系为 s＝6sin2πt＋6，t∈[0，＋∞)． (1)作出它的图象； (2)单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置多少？ (3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？ 思路点拨：(1)用五点法作图；(2)即求 t＝0 时的函数值；(3) 即求函数的最值；(4)即求函数的周期．
1 【答案】 300
4．若振动量 y＝ 2sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π 3 和 ，则它的相位是______． 2
【答案】3πx－π
要点阐释 1．利用三角函数模型研究的常见问题： ①在物理学中的应用 ②在天文学中的应用 ③在气象学中的应用 ④在航海中的应用 ⑤在日常生活中的应用 ⑥在生产中的应用
正解：因为从 A 到 B 需 5 秒，而 A 与 B 相距 10 cm，所以 10 秒所经过的路程是 20 cm.而位移有方向，振子从 O 点开始经过 10 秒后仍回到了原点，其位移为 0 cm.故选 D. 答案：D 纠错心得：位移是一个物理概念，在解答数学试题时，应把数 学科与其他学科联系起来，这样才能避免出错．
1．已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图是
π I＝Asin(ωt＋φ)ω>0，|φ|<2在一个周期内的图象，
根据图中数据求它的解析式； 1 (2)如果 t 在任意一段 秒的时间内， 电流 I＝Asin(ωt＋φ)都能 150 取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？
证明： 以风车最低点为原点， 最低点的切线为 x 轴建立直角坐 标系，则风车翼片端点 P 的位置为(x(t)，y(t))，且 h(t)＝y(t)＋2， 8－yt 其中 y(0)＝0，由 cos θ＝ 得： 8 2π θ y(t)＝－8 cos θ＋8，而 ＝ ， 12 t πt πt ∴θ＝ ，∴y(t)＝－8 cos ＋8， 6 6 πt 从而 h＝－8 cos ＋10. 6
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案(4)
1.6 三角形函数模型的简单应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题.2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测 （1）函数y =sin （2x -3π）的最小正周期为 π .（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8πx -45π）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象.（3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b .(1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象,∴A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20.∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.同类训练 如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象.(1)根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; (2)为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少? 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】解:(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001.解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I . (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥.故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法.例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?【知识点】正切函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC . 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26 tan h 0≈2.000h 0. 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题.同类训练 某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题.例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图.引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律.活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.根据题意,一天中有两个时间段可以进港.问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？ 问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？ 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图.根据图象,可以考虑用函数y =Asin (ωx +φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出: A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π.所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin 6πx +5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin6πx +5=5.5,sin6πx =0.2.由计算器可得 20.20.201 357 92≈0.201 4.如图,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin 6πx +5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B ,因此6πx ≈0.201 4,或π－6πx ≈0.201 4.解得A x ≈0.384 8,B x ≈5.615 2.由函数的周期性易得:C x ≈12+0.384 8＝12.384 8,D x ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x 货船的安全水深为y ,那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.同类训练 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系.经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A. 【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期. 【答案】A. 3. 课堂总结 知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；⑤还原：将所得结论转译回实际问题. 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． （三）课后作业基础型 自主突破1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且sin A >sin B >sin C ,则( ) A.A >B >C B.A <B <C C.A +B >2πD.B +C >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小. 【数学思想】三角函数图象的应用.【解题过程】∵sin A >sin B >sin C ,又 三角形内角和为180°,∴由函数y ＝sin x ,x ），（π0∈图象可得A >B >C . 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为y ＝sin x ,x ），（π0∈. 【答案】A2．2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则sin θ+cos θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为x ，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴x =53，∴sin θ=53,cos θ=54∴sin θ+cos θ=57 【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值．【答案】57能力型 师生共研3.如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系，I =A sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I =A sin(ωx +φ)的解析式； (2)为了使I =A sin(ωx +φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建.【解题过程】(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π∴I =300sin(100πt +3π). (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629. 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω.【答案】(1)I =300sin(100πt +3π)；(2)629. 探究型 多维突破4.某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y =A sin ωt +b 的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出y =A sin ωt +b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式. 【解题过程】解：（1）根据数据可得，A +h =13，-A +h =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴y =3sin （6πx +φ）+10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为y =3sin6πt +10（0≤t ≤24） （2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin6πt +10≥11.5（0≤t ≤24）， ∴3sin 6πt ≥，∴6πt ∈[2kπ+6π，2kπ+65π]，k =0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，A +h =13，-A +h =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin 6πt +10≥11.5（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时. 自助餐1.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是( )A.B.C.D.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型.【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】C2.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I =Asin (ωt +φ)的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度( )A.0B.10C.-10D.5 【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】函数y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义.【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10sin （10πx +6π）.故当t =1207时，I =0.【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】A3.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型.【解题过程】以最低点的切线为x 轴，最低点为原点，建立直角坐标系.设P (x (t ), y (t ))则h(t )= y (t )+2,又设P 的初始位置在最低点，即y (0)=0， 在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,cos θ=8()8y t -,∴y (t )= -8cos θ+8,而212π=t θ，∴θ=6t π，∴y (t )= -8cos 6t π+8, ∴h (t )= -8cos 6t π+10.【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果.【答案】h (t)=-8cos6t+10。
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高中数学目录数学必修1第1章集合1.1 集合的含义及其表示1.2 子集、全集、补集1.3 交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1 函数的概念和图象函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质映射的概念2.2 指数函数分数指数幂指数函数2.3 对数函数对数对数函数2.4 幂函数2.5 函数与方程二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解2.6 函数模型及其应用数学必修2第3章立体几何初步3.1 空间几何体棱柱、棱锥和棱台圆柱、圆锥、圆台和球中心投影和平行投影直观图画法空间图形的展开图柱、锥、台、球的体积3.2 点、线、面之间的位置关系平面的基本性质空间两条直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步4.1 直线与方程直线的斜率直线的方程两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离4.2 圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系4.3 空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离数学必修3第5章算法初步5.1 算法的意义5.2 流程图5.3 基本算法语句5.4 算法案例第6章统计6.1 抽样方法6.2 总体分布的估计6.3 总体特征数的估计6.4 线性回归方程第7章概率7.1随机事件及其概率7.2 古典概型7.3 几何概型7.4 互斥事件及其发生的概率数学必修4第8章三角函数8.1 任意角、弧度8.2 任意角的三角函数8.3 三角函数的图象和性质第9章平面向量9.1 向量的概念及表示9.2 向量的线性运算9.3 向量的坐标表示9.4 向量的数量积9.5 向量的应用第10章三角恒等变换10.1 两角和与差的三角函数10.2 二倍角的三角函数10.3 几个三角恒等式数学必修5第11章解三角形11．1正弦定理11．2余弦定理11．3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列12．1等差数列12．2等比数列12．3数列的进一步认识第13章不等式13．1不等关系13．2一元二次不等式13．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题13．4基本不等式选修 1-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线与方程第3章导数及其应用3．1导数的概念3．2导数的运算3．3导数在研究函数中的应用3．4导数在实际生活中的应用选修 1-2第1章统计案例1．1假设检验1．2独立性检验1．3线性回归分析1．4聚类分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图5．2结构图选修 2-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑连接词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．2空间向量的应用选修 2-2第1章导数及其应用1．1导数的概念1．2导数的运算1．3导数在研究函数中的应用1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3数学归纳法2．4公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义选修 2-3第1章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理第2章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2．4二项分布2．5离散型随机变量的均值与方差2．6正态分布第3章统计案例3．1假设检验3．2独立性检验3．3线性回归分析4．4聚类分析。
2019秋新版高中数学人教A版必修4课件：第一章三角函数1.6
+
π 6
+
)
【做一做 1-2】 函数 f(x)=sin ������ + )
4π 3
+
答案 :B
1
2
π π 值为 0,最小正周期为 , 直线������ = 是其图象的一条对称轴, 若������ 2 3 π 0, ������ > 0,0 < ������ < , 则函数的解析式为 . 2
【做一做 1-3】 已知函数 y=Asin(ωx+φ)+n 的最大值为 4,最小 >
1
2
【做一做 1-1】 函数 y=5si n 2 的周期与最大值分别是( A.12π,7 B.12π,5 C.12,7 D.12,5 答案 :C 1 图象的一条对称轴方程为(
π π A.x= − B. ������ = 3 6 π 2π C.x = D. ������ = 2 3
π ������ 6
又 t∈N,故当 t=353 时 ,D(t)取得最小值 . 又 t=353 对应的是 12 月 20 日 , ∴该城市 12 月 20 日这一天白昼时间最短.
3π , 得t=352.75. 2
题型一
题型二
题型三
(2)令 D(t)>10.5,即 3si n
2π (������-79) 365 π 2π ∴− < ( ������ − 6 365
2
(6)单调性:单调递增区间是
π
2������π-2 -������ 2������π+2 -������ ������
π
π,Βιβλιοθήκη ������(������ ∈ Z);
单调递减区间是
高中数学必修4全套课件
诱导公式分类
根据三角函数的类型，诱 导公式可分为正弦、余弦 、正切等类型的诱导公式 。
诱导公式的应用
通过诱导公式，可以简化 复杂的三角函数计算，解 决与三角函数相关的数学 问题。
三角函数图像与性质
图像绘制
实际应用
通过绘制三角函数的图像，了解函数 的形状、周期性、对称性等特点。
了解三角函数在物理、工程等领域的 应用，体会数学与实际问题的联系。
高中数学必修4全套课件
汇报人： 202X-12-30
目录
• 三角函数 • 三角函数的诱导公式 • 三角函数的图像与性质 • 平面向量 • 向量的数量积 • 向量的向量积与向量的混合积
01
三角函数
角的概念的推广
总结词
角的概念从0度推广到360度，引入正角和负角的概念。
详细描述
角的概念从0度开始，顺时针旋转形成的角称为正角，逆时针旋转形成的角称为 负角。角的范围从-360度到360度，任意一个角都可以表示为整数倍的360度加 上一个正角的组合。
向量的数量积的应用
总结词
了解向量的数量积在实际问题中的应用，包括力的合 成与分解、速度和加速度的研究等。
详细描述
向量的数量积在物理中有广泛的应用。例如，在力的 合成与分解中，力的大小可以通过向量的数量积来计 算，力的方向则可以通过向量的单位向量来表示。在 速度和加速度的研究中，速度和加速度可以视为位置 向量的时间导数，而它们之间的夹角余弦值可以通过 向量的数量积来计算。此外，向量的数量积还可以用 于解决一些实际问题，如卫星轨道计算、碰撞检测等 。
向量的加法与减法
总结词
掌握向量加法和减法的几何意义和运 算规则
详细描述
向量的加法和减法可以通过平行四边 形法则或三角形法则进行计算。向量 加法的几何意义是表示向量的位移或 合成效果，而减法可以看作加法的反 向操作。
新课标版高一数学必修4课件：第一章 三角函数1-6
规律技巧 确定函数关系式y＝Asinωx＋φ就是确定其中 的参数A、ω、φ等，从图象的特征上找答案，A主要由最值确 定，ω是由周期确定，周期T通过特殊点观察图象求得，如相 邻的最大值，最小值相差半个周期，φ又由图象上的点求得， 确定φ值时，要注意它的不唯一性，一般求|φ|中最小的φ.
3.1.3
1 1 1 则周期T＝2(t2－t1)＝2180＋900＝75.
2π ∴ω＝ T ＝150π.
1 1 又当t＝ 时，I＝0，即sin150π·180＋φ＝0. 180
π π 而|φ|<2，∴φ＝6.
π 故所求的解析式为I＝300sin150πt＋6.
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
变式训练1
已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
π (1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ) ω>0，|φ|<2 在一个周期内
的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； 1 (2)如果t在任意一段 秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ) 150 都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
【例2】
转一周，它的最低点O离地面0.5 m，风车圆周上一点A从最低 点O开始运动ts后与地面的距离为hm.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
(1)求函数h＝f(t)的关系式； (2)画出函数h＝f(t)在一个周期内的图象． 【分析】 本题具有周期性，可用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b 或y＝Acos(ωx＋φ)＋b进行模拟．
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
【解】 (1)如题图，以O为原点，过点O的圆的切线为x 轴，建立直角坐标系，设A点的坐标为(x，y)，则h＝y＋0.5. 2－y 设∠OO1A＝θ，则cosθ＝ 2 ， ∴y＝－2cosθ＋2. 2π π 又θ＝12t＝6t，
高中数学步步高必修4资料第一章 1.6
学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点 三角函数模型的简单应用1.三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型.2.三角函数模型的建立程序.类型一 三角函数图象的应用例1 (1)作出函数y ＝|cos x |的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间. (2)作出函数y ＝sin|x |的图象并判断其周期性. 解 (1)y ＝|cos x |图象如图所示.由图象可知：T ＝π；y ＝|cos x |是偶函数； 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z ， 单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π，π2＋k π，k ∈Z .(2)∵sin(－x )＝－sin x ，∴y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ， x ≥0，－sin x ， x <0.∴其图象如图.由图象可知，函数y ＝sin|x |不是周期函数.反思与感悟 一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：(1)由函数y ＝f (x )的图象要得到y ＝|f (x )|的图象，只需将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.(2)由函数y ＝f (x )的图象要得到y ＝f (|x |)的图象，应保留y ＝f (x )位于y 轴右侧的图象，去掉y 轴左侧的图象，再由y 轴右侧的图象翻折得到y 轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”. 跟踪训练1 函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6＋13的周期为 .答案 4π类型二 三角函数模型在物理中的应用例2 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .(1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式.解 (1)由图可知：这段时间的最大温差是20℃；(2)从图可以看出：从6～14是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴T2＝14－6＝8，∴T ＝16. ∵T ＝2πω，∴ω＝π8.又∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＝30－102＝10，b ＝30＋102＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝10，b ＝20.∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ＋20. 将点(6,10)代入得：sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1， ∴3π4＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋3π4，k ∈Z ，取φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20 (6≤x ≤14).反思与感悟 1.本例中所给出的一段图象实际上只取6～14即可，这恰好是半个周期，提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被忽略掉.2.如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型.跟踪训练2 下图表示电流I 与时间t 的函数关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2在同一周期内的图象.(1)据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？ 解 (1)由题图知，A ＝300，t 1＝－1300，t 2＝1150， ∵T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝⎛⎭⎫1150＋1300＝150，∴ω＝2πT＝100π.由ωt 1＋φ＝0知φ＝－ωt 1＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3. (2)问题等价于T ≤1100，即2π≤1100，也即ω≥200π， 故最小正整数为ω＝629.类型三 三角函数模型在航海中的应用例3 某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：＋B 的图象.(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6. 又y min ＝7，y max ＝13， ∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24).(2)由题意，得水深y ≥4.5＋7， 即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港.若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.反思与感悟 确定函数关系式y ＝A sin ωt ＋B (A >0)，就是确定其中的参数A ，ω，B 等，可从所给的数据中寻找答案.由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2.跟踪训练3 设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( ) A.y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B.y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0,24] C.y ＝12＋3sinπ12t ，t ∈[0,24] D.y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24] 答案 A解析 在给定的A ，B ，C ，D 四个选项中，我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.1.方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A.没有根B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根D.有无穷多个根答案 C2.如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )答案 C解析 d ＝f (l )＝2sin l2.3.一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝ cm. 答案g 4π2解析 T ＝2πg l＝1，∴ g l ＝2π，∴l ＝g 4π2. 4.如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处.这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15 t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10sinπ15t ＋12(t ≥0).(2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252. 故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.2.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.一、选择题1.已知A 1，A 2，…A n 为凸多边形的内角，且lg sin A 1＋lg sin A 2＋…＋lg sin A n ＝0，则这个多边形是( ) A.正六边形 B.梯形 C.矩形D.含锐角菱形答案 C解析 由题意，得sin A 1·sin A 2·…·sin A n ＝1， ∴sin A 1＝sin A 2＝…＝sin A n ＝1， ∴A 1＝A 2＝…＝A n ＝90°.根据多边形的内角和得n ×90°＝(n －2)×180°， 解得n ＝4.2.若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎫π6等于( ) A.3或0B.－3或0C.0D.－3或3答案 D解析 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的对称轴. 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＝±3. 3.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( ) A.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) B.f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *) C.f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 答案 A解析 令x ＝3可排除D ，令x ＝7可排除B ，由A ＝9－52＝2可排除C ；或由题意，可得A＝9－52＝2，b ＝7，周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ＋7. ∵当x ＝3时，y ＝9，∴2sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＋7＝9，即sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1. ∵|φ|＜π2，∴φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *). 4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]答案 C解析 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.5.函数y ＝sin ωx (ω＞0)的图象与y ＝cos ωx 的图象在区间[b ，b ＋πω]内( )A.不一定有交点B.至少有两个交点C.只有一个交点D.至少有一个交点答案 D解析 两个函数的周期相同.且一个周期内有两个交点，由图知，在T2内两函数有一个或两个交点.6.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为－5 cmC.该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D.该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 答案 D解析 该质点的振动周期为T ＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A 是错误的；该质点的振幅为5 cm ，故B 是错误的；该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零，故C 是错误的.故选D. 7.如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ) ＋2，则有( )A.ω＝2π15，A ＝3B.ω＝152π，A ＝3C.ω＝2π15，A ＝5D.ω＝152π，A ＝5答案 A解析 由题目可知最大值为5，∴5＝A ×1＋2⇒A ＝3.T ＝15 s ，则ω＝2π15.故选A.二、填空题8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 ℃. 答案 20.5解析 由题意可知A ＝28－182＝5，a ＝28＋182＝23.从而y ＝5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)＋23.故10月份的平均气温值为y ＝5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＋23＝20.5.9.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是 . 答案 26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28.10.设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是 . 答案 80解析 T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T＝80(次/分).11.如图，一广告气球被一束入射角为α的平行光线照射，其投影是长半轴长为5 m 的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面积为 m 2.答案 100πcos 2α解析 由图知：2R ＝10cos α， R ＝5cos α，S 球＝4πR 2＝100πcos 2α.12.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 .答案 8解析 分析三角函数图象，根据最小值求k ，再求最大值，根据图象得函数最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 三、解答题13.已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 解 (1)由表中数据知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.。
数学：1.6课件(1)(新人教A版必修4)
作是把函数
y
3 sin(x
6 )
的图象进行怎
样变换而得到的？ 6
2 函的图数y 象ysi上ns(ix所n( 32有的x)的图6点)象横，坐可标以伸看长作到是原把来的 1.5倍（纵坐6标不变）而得到的.
第十六页，编辑于星期日：十一点 五十九分。
思考6：函数
y
sin( 2 3
x
6
)
的图象可以看
作是把函数 y sin x 的图象进行怎样变
第二十页，编辑于星期日：十一点 五十九分。
3.函数 y sin(的x 图象) 可以由函数 的图y 象 s通in过x 平移、伸缩变换而得到，但 有两种变换次序，不同的变换次序会影 响平移单位.
4.余弦函数 y cos(的x图象)变换与正弦 函数类似，可参照上述原理进行.
第二十一页，编辑于星期日：十一点 五十九分。
函数 y sin(1 的x 图 )象，可以看作是把 的图y 象sin上(x所2有) 的3点横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标3 不变）而得到的.
第十四页，编辑于星期日：十一点 五十九分。
思考4：一般地，对任意的 （ ＞0），函
数 y sin(x 的图) 象是由函数 y sin(x )的图象经过怎样的变换而 得到的？
3.正弦函数y=sinx是最基本、最简单的 三角函数，在物理中，简谐运动中的单 摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、 交流电的电流y与时间x的关系等都是形
如 y Asin(x )的函数.我们需要了解
它与函数y=sinx的内在联系.
4.、、A是影响函数图象形态的重要
参数，对此，我们分别进行探究.
作业：
P55练习： 1 .
P57习题1.5 A组：1.（1)（2） （做书上）
新版高中数学北师大版必修4课件：第一章三角函数 1.6
知识梳理
典例透析
随堂演练
12
【做一做2-1】 函数f(x)=-cos x,x∈R是( ) A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为2π的奇函数 解析:最小正周期为2π,因为f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),所以f(x)是 偶函数. 答案:C
3
取值范围.
正解:令
t=cos
x,∵x∈
0,
π 3
, ∴ ������ ∈
1 2
,1
.
∴y=cos2x+4cos x+3=t2+4t+3=(t+2)2-1.
当
t=
1 2
时,ymin=
21 4
;
当t=1
时,ymax=8.
故该函数的值域为
21 4
,8
.
随堂演练
目标导航
知识梳理
123456
1.函数y=-cos x在区间[-π,π]上( ) A.是增加的 B.是减少的 C.先是增加的后是减少的 D.先是减少的后是增加的 答案:D
目标导航
题型一
题型二
题型三
题型四
知识梳理
典例透析
随堂演练
【变式训练 1】 求 y=acos x+b(a≠0),x∈ - π , 2π
33
的最大值和最小值.
解:∵−
π3≤x≤23π
,
∴
−
1 2
≤cos
x≤1.
当 当
a>0 a<0
时 时,,yymmaaxx==a−+���2���b+,ym������in, =������m−i���2n���
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(3)ω 可由 ω＝
＝ 2π 中的一个确定 φ 的值． 3．三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型，可以用来研究 很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的 作用．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
§ 1.6
根据图象可知， 函数 y＝|sin x|的周期是 π 在区间kπ－ ，kπ ， k∈Z 上递减． 2
明目标、知重点 填要点、记疑点
π π， 函数在区间kπ，kπ＋ ， k∈Z 2
上递增；
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
§ 1.6
探究点一 ：利用基本三角函数的图象研究其它函数
故最小正整数为 ω＝629.
明目标、知重点 填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
§ 1.6
探究点三 ：三角函数模型在物理学中的应用
例 3 某港口水深 y(米)是时间 t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水 深数据： t(小时) y(米) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
明目标、知重点
§ 1.6
会用三角函数解决一些简单的实际问题，
体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
填要点、记疑点
§ 1.6
1．三角函数的周期性
2π y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是 T＝ ； |ω | 2π y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是 T＝ ； |ω | π y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是 T＝ |ω | . 2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利 用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
§ 1.6
探究点二 ：三角函数模型的应用
思考 2 上述的数学模型是怎样建立的？
答 解决问题的一般程序是：
1° 审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系； 2° 建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型； 3° 求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； 4° 还原：把数学结论还原为实际问题的解答．
(1)试根据数据表和曲线，求出 y＝Asin ωt＋B 的解析式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于 4.5 米是安全的，如 果某船的吃水度(船底与水面的距离)为 7 米， 那么该船在什么时间段能够安 全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长 时间？(忽略离港所用的时间) 解 (1)从拟合的曲线可知，函数 y＝Asin ωt＋B 的一个周期为 12 小时，因 2π π 此 ω＝ ＝ . T 6 又 ymin＝7，ymax＝13， 1 ∴A＝ (ymax－ymin)＝3， 2
明目标、知重点 填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
§ 1.6
探究点二 ：三角函数模型的应用
思考 3 怎样处理搜集到的数据？
答 画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型．
小结 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”； (2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可 考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决； (3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体 分析．
明目标、知重点
填要点、记疑点
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探要点、究所然
当堂测、查疑缺
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§ 1.6
π 的函数关系式： I＝Asin(ωt＋φ)|φ|< 2
探究点三 ：三角函数模型在物理学中的应用
跟踪训练 2 下图表示电流 I 与时间 t 在同一周期内的图象． (1)据图象写出 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； 1 (2)为使 I＝Asin(ωt＋φ)中 t 在任意一段 的时间内电流 I 能同时取得最大 100 值和最小值，那么正整数 ω 的最小值是多少？
sin x ∴y＝sin|x |＝ －sin
x
x≥0， x<0.
∴其图象如图．
由图象可知，函数 y＝sin|x |不是周期函数．
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§ 1.6
探究点一 ：利用基本三角函数的图象研究其它函数
反思与感悟
结合三角函数图象的特点，一般地有以下结论：
3π 将点(6,10)代入得：sin ＋φ ＝－1， 4
3π 3π ∴ ＋φ＝2kπ＋ ，k∈Z， 4 2 3π 3π ∴φ＝2kπ＋ ，k∈Z，取 φ＝ ， 4 4 π 3π ∴y＝10sin x＋ ＋20 (6≤x≤14)． 8 4
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§ 1.6
探究点三 ：三角函数模型在物理学中的应用
反思与感悟 ①本例中所给出的一段图象实际上只取 6～14 即可，这恰好
是半个周期，提醒学生注意抓关键．本例所求出的函数模型只能近似刻画 这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这 点往往被忽略掉． ②如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以 借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型．
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§ 1.6
探究点三 ：三角函数模型在物理学中的应用
例 2 如 图 ， 某 地 一 天 从 6 ～ 14 时 的 温 度 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数
y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天 6～14 时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．
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§ 1.6
探究点一 ：利用基本三角函数的图象研究其它函数
思考 怎样作出函数 y＝|sin x|的图象，并根据图象判断其周期和单调区间？
答 函数 y＝sin x 位于 x 轴上方的图象不动， 位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方即可得到函数 y＝|sin x|的图象， 如下图所示：
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§ 1.6
探究点一 ：利用基本三角函数的图象研究其它函数
例 1 (1)作出函数 y＝|cos x|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间． (2)作出函数 y＝sin|x|的图象并判断其周期性．
解 (1)y＝|cos x|图象如图所示．
由图象可知：T＝π；y＝|cos x |是偶函数； π 单调递增区间为[－ ＋kπ，kπ]，k∈Z， 2 π 单调递减区间为[kπ， ＋kπ]，k∈Z. 2
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§ 1.6
探究点一 ：利用基本三角函数的图象研究其它函数
(2)∵sin(－x)＝－sin x，
第一章 三角函数
§1.6 三角函数模型的简单应用
本节知识目录
§ 1.6
明目标、知重点
三 角 函 数 模 型 的 简 单 应 用
明目标、知重点
填要点、记疑点
探究点一 利用基本三角函数的图象研究 其它函数
探要点、究所然
探究点二 三角函数模型的应用 探究点三 三角函数模型在物理学中的应用
当堂测、查疑缺
填要点、记疑点
10.0 13.0 9.9
7.0 10.0 13.0 10.1
7.0 10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函 数模型 y＝Asin ωt＋B 的图象．
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§ 1.6
探究点三 ：三角函数模型在物理学中的应用
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§ 1.6
探究点三 ：三角函数模型在物理学中的应用
1 1 解 (1)由题图知，A＝300，t1＝－ ，t2＝ ， 300 150 1 1 1 2π ∵T＝2(t2－t1)＝2( ＋ )＝ ，∴ω＝ ＝100π. 150 300 50 T π 由 ωt1＋φ＝0 知 φ＝－ωt1＝ ， 3 π ∴I＝300sin(100πt＋ )． 3 1 2π 1 (2)问题等价于 T≤ ，即 ≤ ，也即 ω≥200π， 100 ω 100
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§ 1.6
探究点二 ：三角函数模型的应用
思考 1 数学模型是什么，建立数学模型的方法是什么？
答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学 角度来反映或近似地反映实际问题时， 所得出的关于实际问题的数学描述．
A＝30－10＝10， 2 又∵ 30＋10 b＝ ＝20， 2