2012届高三数学单元测试 数列(含答案)

2012届高三第一轮复习单元测试数 列一、选择题：.1．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是（ A ）A ．15B ．30C ．31D ．642．已知数列{a n }中，a n =1562+n n (n ∈N )，则数列{a n }的最大项是 （ C ） A ．第12项 B ．第13项 C ．第12项或13项 D ．不存在3．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为21的等比数列一定是递减数列”；“a ，b ，c 三数成等比数列的充要条件是b 2= ac ”；“a ，b ，c 三数成等差数列的充要条件是2b = a +c ”，以上四个命题中，正确的有（ A ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如果128,,,a a a 是各项为正的等差数列，公差0d ≠，则（ B ）A ．5481a a a a >B ．5481a a a a <C ．1845a a a a +>+D ．5481a a a a =5．在等差数列中，前n 项的和为S n ,若S m =2n ,S n =2m ,(m 、n ∈N 且m ≠n )，则公差d 的值为（ A ）A ．－mn n m )(4+B ．－)(4n m mn +C ．－mn n m )(2+D ．－)(2n m mn + 6．若钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是BA ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞） 7．若数列{a n }前8项的值各异，且a n +8=a n 对任意n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为( B ）A ．{a 2k +1}B ．{a 3k +1}C ．{a 4k +1}D ．{a 6k +1}8．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足 S n =90n （21n －n 2－5）（n =1，2，……，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ C ）A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月 9．已知数列{x n }满足x n+1=|x n –x n-1|(n ≥2)，如果x 1=1，x 2=a (a ∈R ，a ≠0)，当数列｛x n ｝的周期最小时，该数列前2005项的和是（ D ）A ．668B ．669C ．1336D ．133710．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ A）二、填空题：共25分。

11.已知数列{}n a 的通项公式2n a n n λ=+，对于任意的*,n N ∈数列{}n a 是递增数列，则实数λ的取值范围是 (-3，+∞)12．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是___1___.13．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 -2 .14．在数列{}n a 中，如果对任意的*n N ∈，都有211n n n na a e a a +++-=（e 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，e 称为比公差，现给出下列命题： ①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②如果{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，那么数列{}n n a b 是比等差数列；③斐波那契数列{}n F 不是比等差数列； ④若12(1)n n a n -=⋅-，则数列{}n a 是比等差数列，比公差 2.e =其中正确命题的序号是 ① ③ 。

15．如图所示，将数以斜线作如下分群：(1)，(2，3)，(4，6，5)，(8，12，10，7)，(16，24，20，14，9)，…，并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…，（1）第7群中的第2项是： ；（2）第n 群中n 个数的和是： ．答案：（1）96 （2）3·2n －2n －3恩施高中2012届高三第一轮复习单元测试数 列班级： 姓名： 时间：2011-10-23 一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：11、 12、 、 13、14、 15、 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共75分)。

16．（12分）已知函数13)(+=x x x f ,数列{}n a 满足).)((,111*+∈==N n a f a a n n (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记13221++++=n n n a a a a a a S ,求n S .解：（Ⅰ）由已知得，131+=+n n n a a a ，∴3111+=+n n a a ，即3111=-+n n a a ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项11=a ,公差3=d 的等差数列.∴233)1(11-=⨯-+=n n a n , 故)(231*∈-=N n n a n (Ⅱ) ∵)131231(31)13)(23(11+--=+-=+n n n n a a n n 13221++++=n n n a a a a a a S )13)(23(1741411+-++⨯+⨯=n n )]131231()7141()411[(31+--++-+-=n n 13)1311(31+=+-=n n n 。

17（12分）已知二次函数bx ax )x (f +=2的图象过点（－4n ，0），且n )(f 20='，*N n ∈.（1）求)x (f 的解析式；（2）若数列}{n a 满足)1(11nn a f a '=+且41=a ，求数列}{n a 的通项公式； 17．解：（Ⅰ）()2f x ax b '=+，有题意知2b n =，21640n a nb -=∴1,22a b n ==，则21()2,N *2f x x nx n =+∈ ……………5分 （Ⅱ）数列{}n a 满足111()n nf a a +'=又()2f x x n '=+，∵1112n n n a a +=+，∴1112n nn a a +-=， ……………8分 2112462(1)4n n n n a -=++++-=- 2221114()(N*)12(21)()2n n n a n a n n ⇒=-⇒==∈-- ………11分 当1=n 时,41=a 也符合 ……………12分18.已知数列{}n a 中，15a =，1221n n n a a -=+-（n *∈N 且2n ≥）． （Ⅰ）若数列2nn a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求实数λ的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18.解：（Ⅰ）因为1221n n n a a -=+-（n *∈N 且2n ≥），所以111221112222n n n n n n n na a a λλλ---++-++==+-． 显然，当且仅当102n λ+=，即1λ=-时，数列2nn a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：数列12nn a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1122a -=，公差为1的等差数列， 故有12(1)112nn a n n -=+-⨯=+，即(1)21n n a n =+⋅+（n *∈N ）． 因此，有23223242(1)2n n S n n =⨯+⨯+⨯+++⋅+ ，23412223242(1)22n n S n n +=⨯+⨯+⨯+++⋅+ ，两式相减，得 2314(222)(1)2n n n S n n +-=++++-+⋅- ，整理，得1(21)n n S n +=+（n *∈N ）．19．（12分）设，20781102++=a a M ，2+=a P a Q 226-=,若将P Q M lg lg lg ，，适当排序后可构成公差为1的等差数列{}n a 的前三项.（Ⅰ）求a 的值及{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记函数()*++∈++=N n a x a x a x f n n n 2122)(的图象在x 轴上截得的线段长为n b ，设 )(4113221n n n b b b b b b T -+++=，求n T 19．解：（Ⅰ）依题意有132<<-a ， =-P M ，020580102>++a a =-Q M ，018183102>++a aM ∴最大．又a Q P 324+-=-，当82<<-a 时，Q P Q P Q P =∴=+<10.lg 1lg ,，.21=∴a 满足.lg 1lg Q M +=21=∴a 符合题意. 当138<<a 时，P Q Q P Q P =∴+=>10.lg 1lg ,，.786=∴a但此时不满足.lg 1lg P M +=.786≠∴a {}n a ∴的前三项为M Q P lg lg lg ，，，此时.21=a ∴.2lg 21)1(lg -=⨯-+=n n P a n （Ⅱ） 0)(221=∴+=++x f a a a n n n 时，0))(1(2=+++n n a x a x|2||1|||221nn n n a a a x x b =-=-=∴+， 又∵,02lg 2>-=n a n ).11(422,2111n n n n n n n n a a a a b b a b -=⨯=∴=∴--- ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-⨯=+++=--)11()11()11(441)(411322113221n n n n n a a a a a a b b b b b b T 2lg 212lg 211111---=-=n a a n =)2lg 2)(2lg 21(1---n n ．20．(13分)恩施市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆．（1）求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )；（2）若计划7年内完成全部更换，求a 的最小值．解：（1）设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，依题意，{a n }是首项为128，公比为3150%2+=的的等比数列， {b n }是首项为400，公差为a 的等差数列． {a n }的前n 项和3128[1()]32256[()1]3212n n n S ⨯-==--， {b n }的前n 项和(1)4002n n n T n a -=+． 所以经过n 年，该市更换的公交车总数为3(1)()256[()1]40022n n n n n S n S T n a -=+=-++． …………7分 （2）若计划7年内完成全部更换，所以S (7)≥10000， 所以7376256[()1]40071000022a ⨯-+⨯+≥，即21a ≥3082，所以1614621a ≥． 又a ∈N *，所以a 的最小值为147．…………13分21、已知抛物线24x y =，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点1P ，又过点1P 作斜率为12的直线交抛物线于点2P ，再过2P 作斜率为14的直线交抛物线于点3P ， ，如此继续，一般地，过点n P 作斜率为12n的直线交抛物线于点1n P +，设点(,)n n n P x y ． （Ⅰ）令2121n n n b x x +-=-，求证：数列{}n b 是等比数列．（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，试比较314n S +与1310n +的大小．解：（1）因为(,)n n n P x y 、111(,)n n n P x y +++在抛物线上，故24,n n x y =①2114n n x y ++=②，又因为直线1n n P P +的斜率为12n ，即1112n n n n y y x x ++-=-，①②代入可得221121111422n n n n n n n n x x x x x x ++-+-=⇒+=-2121212221()()n n n n n n n b x x x x x x +-+-∴=-=+-+ 222322111222n n n ---=-=-，故11{}4n n n b b b +=⇒是以14为公比的等比数列； （2）4131(1)13444n n n n S S =--⇒+=，故只要比较4n 与310n +的大小． 方法（一）1222(1)4(13)133133139310(3)2n n n n n n C C n n n n -=+=+⋅+⋅+>++>++=+≥ ， 当1n =时，3114310n S n +>+； 当2n =时3114310n S n +=+； 当*3,n n N ≥∈时，3114310n S n +<+． 方法（二）用数学归纳法证明，其中假设(3,)n k k k N =≥∈时有4310k k >+,则当1n k =+时, 14444(310)[3(1)10]9273(1)10k k k k k k +=⋅>+=++++>++.。