第5章正弦交流电路的稳态分析

L
L
有效值关系：UL= ωLIL 相位关系：Ψu = Ψi+ 90 u 超前 i 900
令XL= L
电压与电流的相量伏安关系
I L
I 设， I L L i U X L I L( i 900 ) 则， U L L u
j L U L
+ -
X L I L i 900
U U U u Z Z u i I I i I
R jX
X
Z

R
阻抗 三角形
RLC串联电路
I
R
（1）相量式
+ U _R +
_ +
+
U U U U R L C I0 （参考相量） 设 I
I (jX ) U L L I ( jX ) U
I Z U
Z R j X L XC Z
U 2 2 Z R (X L XC ) I
X L XC u i arctg R
则
当电源频率一定时，电路参数决定了电压U和I 的比值，决定了电压u与i电流之间的相位差角。
电路参数与电路性质的关系：
则 uR RiR 2RIR sin(t i )
时域模型
有效值关系：UR = RIR （UmR=RImR)
相位关系：Ψi=Ψu u 、 i 同相
电压与电流的相量伏安关系
I 设， I R R i
U RIR i 则， U R R u
I R
I R 即， U R R
0(直流), X L 0, 短路; , X L , 开路;

电感具有通低频、 阻高频的作用。
(3) 由于感抗的存在使电流落后电压。
5.1.3 电容元件电压与电流关系的相量形式
电压与电流的瞬时伏安关系
设，u C (t ) 2UC sin(t u )
duC (t ) 则，i C C dt 2CU C cos(t u ) 2CU C sin(t u 90o )
阻抗的并联
a
I
I1
Z1
a
b
I 2
Z2 b
Z
分流公式
I 1 I 2 Z2 I Z1 Z 2 Z1 I Z1 Z 2
等效阻抗
Z1Z 2 Z Z1 // Z 2 Z1 Z 2
例1 已知 Z1=10+j6.28 Z2=20-j31.9 Z3=15+j15.7 求 Zab
C C
U
jXL -jXC
U L
则 U I R R
_
U _ C
I R I (j X ) I ( jX ) U L C 总电压与总电流 的相量关系式 R j X X I
L C
I R j X X 根据 U L C
X L XC u i arctg R
当 XL >XC 时， > 0 ，u 超前 i
当 XL < XC 时 ， < 0 ， u 滞后 i 当 XL = XC 时 ， = 0 ， u. i 同相
呈感性
呈容性 呈电阻性
（2） 相量图
+
R
I
参考相量
XL > XC
U
频阻低频的作 用。
5.2 无源一端口网络的阻抗
5.2.1 阻抗的概念
+
U
I
无ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 线性
I
+
U
Z
注意
-
-
U 阻抗 Z I
Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。
单一参数 元件的阻抗
RI 纯电阻 U
ZR R
jLI U Z L jL jX L 纯电感 1 I Z 1 纯电容 U jX C C jC jC
U C 以电流为 参考相量
容抗的物理意义：
XC
定义
1 1 C 2fC
单位 欧姆
XC
(1) 表示限制电流的能力；
(2) 容抗与频率成反比。
w
0(直流), XC , 断路，起隔直作用; , X C 0, 短路，起旁路作用; 电容具有通高
(3) 由于容抗的存在使电流超前电 压。
U R
相量模型
+
IR
R
U R
相量图
5.1.2电 感元件电压与电流关系的相量形式 电压与电流的瞬时伏安关系
设，i
则，u
L
iL + uL 时域模型 感抗 UL= XL IL L
2I L sin(t i )
diL ( t ) 2L I Lcos(t i ) dt 2L I L sin(t i 90o )
Z1 Z 2 Z3 Z 解： Z ab Z 3 Z1 Z 2
aº
Z3 Z2 Z1
bº
(10 j 6.28)(20 j 31.9) 11.8132.13o 37.65 57.61o Z 39.45 40.5o 10 j 6.28 20 j 31.9 10.89 j 2.86
相量图：
U X
U L UC
U R
I
U s
U R
+1
例2 如图所示为一个相位后移电路。如果C=0.01uF，电源电 压 ui 2 sin(1200 ，问 t )(V ) ，要使输出电压相位向后移动 600 应配多大电阻？此时输出电压 U o等于多少？ i
ui
U i
U s 1000V -
.
j5kΩ . + - UL+ +U R 10kΩ
j1k
I
.
0.93 21.80 m A I
+. -
I R 9.3 21.80V U R I jX 4.6568.20V U L L
UC
I ( jX ) 0.93 111.80V U C C
解：画出相量模型 uo C 1 XC 26.5K C 方法一： U R I jX C Uo Ui R R jX C Uo jX C X C U XC 0 i [90 arctg ( )] 2 2 R R XC XC 0 ) 600 由题意得 90 arctg ( R
XC
1 1 5 100 6 C 10 0.110
30Ω Z 100Ω -j100Ω
画出电路的相量模型
j100Ω
j100 (100 j100) Z 30 j100 100 j100 130 j100
30Ω Z 100Ω -j100Ω
105 rad / s
B=|Y|sin '
I Y U i u
导纳三角形
|Y|

G
B
5.2.2 阻抗的串、并联
阻抗的串联
U 1
aº
a
U
bº
Z1
Z2
U 2
b
Z
分压公式
等效阻抗
U 1
Z1 U Z1 Z 2 Z2 U Z1 Z 2
Z Z1 Z 2
U 2
R
XC 90 arctg ( ) 60 0 R
0
U R I
XC arctg 30 0 R
U i
R jX C
U o
R X C ctg300 26.5 3 45.9K
Uo

XC R X
2 2 C
Ui
1 0.5V
电阻电路 纯电感电路 I (j X ) I R U U L
纯电容电路
一般电路
I ( j X ) U C
U IZ
相量形式的基尔霍夫定律
KCL
I 0
KVL
U 0
5.3.1 简单交流电路的分析
例1 某RLC串联电路，其电阻R=10KΩ，电感L=5mH，电 6 容C=0.001uF,正弦电压源 us 2 10sin 10 t 。求电流i和各 元件上电压，并画出相量图。 i R L 解： X L L 106 5 103 5K + 1 1 us XC 6 1K C 6 C 10 0.001 10 画出相量模型 . I 10kΩ j5kΩ U . I - +U L + +U R j( X L X C ) +. R . UC j1k U s 1000V 1000 0 0 . 93 21 . 8 mA 10 j 4
有效值关系：IC= ωCUC 相位关系：Ψu =Ψi-90 u 滞后i 900 令XC= 1/ C
iC
+ uC 时域模型
C
容抗 UC= XC IC
电压与电流的相量伏安关系
I 设， I C C i
U X C I C ( i 900 ) 则， U C C u
Z 130 j100
j100Ω
R jX
X 电抗
X 0 电感 X 0 电容
130Ω 1mH
注意：不同，Z不同
{end}
5.3 正弦交流电路的分析
若正弦量用相量 U 、I 表示，电路参数用复数阻抗 1 （ )表示，则直流电路 R R、L j ω L、C j ωC 中介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流 电路中都能使用。 相量（复数）形式的欧姆定律
jX I L jLI 所以， U L L L
U L
U L
.
相量模型 错误的写法 u L U i L
I L
相量图
以电流为 参考相量
I L
I L
以电压为 参考相量
U L I
感抗的物理意义：
XL= U/I = L= 2 f L， 单位: 欧 (1) 表示限制电流的能力； (2) 感抗与频率成正比。 XL
U R
电压 三角形
U U R 2 (U L U C )2
RLC并联电路
i
+ u R iL iL iC C
I
.
+
U R .
L
IL IR 1 j L jω C
.
.
IC
.
. . . . . . 1 . U jC U 由KCL： I I R I L I C G U j L . . . 1 (G j jC ) U [G j( B B ) U (G jB ) U C L L
U
jXL -jXC
U L
_ +
U + L U U _R U L C +
U C
U L
XL < XC U
_
U _ C
U I R ( > 0 感性)


R
I
U U L C
U
U C
( < 0 容性)
U

U U U L C X
Z ab Z 3 Z 15 j15.7 10.89 j 2.86 25.89 j18.56 31.935.6o
例2 求如图所示电路的等效阻抗(输入阻抗)。
30Ω
5 已知 10 rad / s
1mH
100Ω 0.1uF
5 3 解： X L L 10 110 100
I 1 Y G jC j G jB Y U L
Y— 复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)； |Y|—复导纳的模； '—导纳角。 关系：
或
| Y | G 2 B 2 B φ ' arctg G G=|Y|cos '
I C
+ 1 U C j C 相量模型 错误的写法 1 u C i
1 U C I
X C IC i 90
.
0
1 所以 ， U C jX C I C j IC C
I
U
I C
U C
I C
相量图
以电压为 参考相量
第 5章
正弦交流电路的稳态分析
5.1 正弦交流电路中的电路元件 5.2 无源一端口网络的阻抗 5.3 正弦交流电路的分析 5.4 正弦交流电路的功率 5.5 谐振电路
5.1 正弦交流电路中的电路元件
5.1.1电阻元件电压与电流关系的相量形式
电压与电流的瞬时伏安关系
iR + uR R
设 iR 2I R sin(t i )