德布罗意波(物质波)
德布罗意物质波的假设
7.13nm旳圆环性量子围栏,并观察量到了围栏内旳同
心圆柱状驻波,直接证明了物质波旳存在.
探针
中子衍射显示旳苯构造
+ + + + ++ +
+
+
+ + + + +++
注意:物质波被广泛用作探索手段.例核反应产生旳中
子(=0.1nm)可作为晶体探测器.
13
sin 0.777 k
k 1, sin 1, 51 与试验值 50 相差很小，
这表白电子具有波动性，实物粒子具有波动性是正确旳。
11
2. 电子衍射试验2
电子束在穿过细晶体粉末 或薄金属片后，也象X射线 一样产生衍射现象。
阴极 栅极
多晶 薄膜
K
G
Cs
1927年 G.P.汤姆逊（J.J.
了电子具有波动性，
54
U
电子加速
1 2
m
ev
2
eU
(m ev )2 2m eeU
P 2m eeU
电子束在两晶面反射加强条件： d sin k
10
h h
I
P 2m eeU
d sin kh
2m eeU
sin kh
镍单晶 d 2m eeU
54
U
d 2.15 10 10 m , U 54V, m e 9.11 10 31 Kg
h
P
h
2meU
6.63 10 34 2 9.1 10 31 1.6 10 19 15000
1 10 11 m
电子旳德波波长很短，用
电子显微镜衍射效应小，可 放大200万倍。
大学物理15 量子物理基础1
m
o
0.1A
(2) 若使其质量为m=0.1g的小球以与粒子相同的 速率运动,求其波长
若 m=0.1g 的小球速率 vm v
vm
v
q BR m
则 ：m
h m vm
h m
1 v
h m
m q BR
h q BR
m m
6.64 10 27 0.1 10 3
6.641034
m
px x h
考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，
运动,则其波长为多少? (粒子质量为ma =6.64ⅹ10-27kg)(05.08…)
解:
(1)
求粒子德布罗意波长 h h
p m v
先求：m v ?
而：q vB
m
v2 R
m v q BR
h m v
h q BR
6.63 10 34 1.601019 0.025 0.083102
1.001011
( x,t ) 0 区别于经典波动
(
x,
t)
e i 2
0
(t x
)
自由粒子沿x方向运动时对应的单色平面波波函数
设运动的实物粒子的能量为E、动量为 p，与之相 关联的频率为 、波长为，将德布罗意关系式代入：
考虑到自由粒子沿三维方向的传播
式中的 、E 和 p 体现了微观粒子的波粒二象性
2、概率密度——波函数的统计解释 根据玻恩对德布罗意波的统计解释，物质波波
p mv h
德布罗意公式(或假设)
与实物粒子相联系的波称为德布罗意波(或物质波)
h h h
p mv m0v
1
v2 c2
如果v c,则 h
m0v
一德布罗意物质波假设
- 63
(m)
(4)微观物体的波动性明显，不能忽略。
E k = 200 eV : λ e = 0 . 867 A
0
~ λx = 1 A
0
可以用晶体观察电子的衍射图样.
2 G . P . 汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 ) 电子束穿越多晶薄片时出现类似X射线 在多晶上衍射的图样.
电子束透过多晶铝箔的衍射
15-6 德布罗意波 实物粒子的二象性
一.德布罗意物质波假设
1. 光的本性：（1905年，爱因斯坦提出：光的粒子性） 光同时具有波、粒二象性，波、粒二象性的联系：
E mc
2
h
p mc
h
m
E c
2
波动性：表现在传播过程中 （干涉、衍射）
粒子性：表现在与物质相互作用中 （光电效应、康普顿效应、） 问题： 实物粒子？ 粒子性（经典物理） 波动性？
mc h
2
注意
(1) 若 v c 则 m m 0
γ= 1 1- （ /c )
2
(2) 若 v c 则 m m 0
λ= h p = h m0v
（3） 物质波数量级
4
kg
公转 29 . 8 km s
h m
2
解
电子静止能量：
2
E 0 m 0 c 0 . 51 MeV
2
E k << m 0 c
v
∴
Ek =
1 2
m0v
19
2
v
2Ek m0
6 -1
2 200 1 . 6 10 9 . 1 10
31
m s
物质波与德布罗意假说
物质波与德布罗意假说物质波与德布罗意假说是量子力学的重要基础理论，它们揭示了微观粒子的波粒二象性，对于解释微观世界的行为具有重要意义。
本文将介绍物质波和德布罗意假说的基本概念、实验证据以及其在量子力学中的应用。
一、物质波的概念物质波是指微观粒子（如电子、中子等）具有波动性质的现象。
根据量子力学的理论，微观粒子不仅具有粒子的特性，还具有波动的特性。
这一概念最早由法国物理学家路易·德布罗意在1924年提出。
根据德布罗意的假说，微观粒子的波动性质可以用波长来描述，即德布罗意波长。
德布罗意波长的计算公式为λ = h / p，其中λ为德布罗意波长，h为普朗克常数，p为粒子的动量。
这个公式表明，动量越大的粒子，其德布罗意波长越短，波动性越不明显。
二、德布罗意假说的实验证据德布罗意假说的实验证据主要来自于电子衍射实验。
1927年，美国物理学家克林顿·戴维森和莱斯特·杰拉德·汤姆逊进行了一系列的电子衍射实验，验证了德布罗意假说的正确性。
在电子衍射实验中，他们使用了一台电子束发射装置，将电子束射向一个晶体样品。
通过观察电子束经过晶体后的衍射图样，他们发现电子束也会出现衍射现象，类似于光的衍射。
这一实验结果表明，电子具有波动性质，验证了德布罗意假说的正确性。
除了电子衍射实验，还有其他实验证据也支持了德布罗意假说。
例如，中子衍射实验、质子衍射实验等都观察到了类似的波动现象，进一步证实了物质波的存在。
三、物质波的应用物质波的发现对量子力学的发展产生了深远的影响，为解释微观粒子的行为提供了重要的理论基础。
物质波的应用主要体现在以下几个方面：1. 电子显微镜：电子显微镜是一种利用电子束代替光束进行成像的显微镜。
由于电子具有波动性质，其波长比光的波长要短得多，因此电子显微镜具有更高的分辨率，可以观察到更小的物体。
2. 量子力学：物质波的发现为量子力学的建立提供了重要的理论基础。
量子力学是研究微观粒子行为的理论体系，通过波函数描述微观粒子的状态和运动规律。
德布罗意物质波的概念
德布罗意物质波的概念
德布罗意物质波，也被称为德布罗意波，是法国物理学家路易·德布罗意在20世纪初提出的假设。
他提出，所有微观粒子，包括电子、质子、中子等，都同时具有波动的性质。
这种波动性质被称为“物质波”。
物质波的波动性质可以用波长来表示，其波长与粒子的动量成反比。
德布罗意认为，任何粒子都伴随着一种波动，波长λ等于普朗克常数h除以粒子动量p。
即，λ=h/p。
这个公式被称为德布罗意公式。
物质波的概念是量子力学的一个重要组成部分，它描述了微观粒子在空间中的分布和运动状态。
物质波的波动性质表现为粒子在空间中分布的概率，即粒子在某一位置出现的概率与该位置的波函数值成正比。
物质波的提出具有深远的影响。
它不仅解释了微观粒子的行为，而且为量子力学的发展奠定了基础。
物质波的概念在许多领域都有应用，包括高能物理、凝聚态物理、光学和电子显微镜技术等。
物质波
概念由来
1
基本概念
2
粒子观点
3
波动观点
4
补充资料
5
实验证明
物质波（德布罗意波）（matter wave）指物质在空间中某点某时刻可能出现的几率，其中概率的大小受波 动规律的支配。
比如一个电子，如果是自由电子，那么它的波函数就是行波，即是说它有可能出现在空间中任何一点，每点 几率相等。如果被束缚在氢原子里，并且处于基态，那么它出现在空间任何一点都有可能，在波尔半径处几率最 大。对于你自己也一样，你也有可能出现在月球上，和你坐在电脑前的几率相比，这是非常非常小的，以至于不 可能看到这种情况。这些都是量子力学的基本概念，非常有趣。
合并图册
量子力学认为物质没有确定的位置，在不测量时，它出现在哪里都有可能，一旦测量就得到它的其中一个本 征值即观测到的位置。对其它可观测量亦呈现出一种分布，观测时得到其中一个本征值，物质波于宏观尺度下表 现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。
量子力学里，不对易的力学量，比如位置和动量是不能同时测量的，因此不能得到一个物体准确的位置和动 量，位置测量越准，动量越不准，这个叫不确定性原理。哲学认为，不可能被观测的值相当于不存在，因此，根 据量子力学，不存在同时拥有准确的动量和位置的粒子。机械波是周期性的振动在媒质内的传播，电磁波是周期 变化的电磁场的传播。物质波既不是机械波，也不是电磁波。
德布罗意与物质波
1 德布罗意的物质波假设
光的粒子性与波动性的关系式：
h
p
h
1924年，德布罗意在其博士论文中把光的波粒二 象性推广到所有的物质粒子，提出“任何物体伴 随着波，而且不可能将物体的运动和波的传播分 开”的基本假设。
正面？
侧面？
德布罗意假设：
实物粒子和光子一样，也具有波粒二象性。 如果用能量和动量p来表征实物粒子的粒子性， 则可用频率和波长来表示实物粒子的波动性。
德布罗意关系式：
E h
E mc h h
2
p
h
h p
E mc
2
实物粒子的波动既不是机械波也不是电磁波，它 被称为“物质波”或“德布罗意波”。
2.环形驻波与氢原子 环形驻波：圆周长为波长的整数倍。
2r n
氢原子的驻波条件：波绕氢原子核传播一周后应光滑地衔 接起来，否则相叠合的波将会由于干涉而相消，这就对轨 道有所限制：即轨道的圆周长应该为波长的整数倍。
§6-4 德布罗意与物质波
玻尔理论虽然在运动轨道的经典概念的基础上， 提出了量子(定)态、量子跃迁、角动量量子化的 概念，但玻尔理论仅限于处理氢原子或类氢原子， 无法处理略为复杂的原子光谱，如氦原子光谱。
玻尔理论的局限性：仍把电子看成经典力学中的 质点，将经典力学的规律用到微观粒子上。
整个世纪以来，在 辐射理论上，比起波动 的研究方法来，是过于 忽视了粒子的研究方法； 在实物理论上，是否发 生了相反的错误呢？是 不是我们关于粒子图象 想得太多，而过分地忽 略了波的图象呢？ —— 德布罗意 （L.V.de Broglie)
2eU m
h h 12.25 A m 2emU U
12-4 12-5物质波及其统计诠释,波函数
质子、中子、原子、分子…也有波动性
9
1993年美国科 学家移动铁原 子，铁原子距 离0.9纳米
“量子围栏”
48个铁原子排列在 铜表面
证明电子的波动性
10
波粒二象性是普遍的结论
宏观粒子也具有波动性
m大
0
例：m = 0.01kg v = 300m/s 的子弹
h h 6.63 1034 2.21 10 m P m 0.01 300
( x, t ) ( x )e
i Et
, ( x ) Ae （空间因子）
33
i px
自由粒子波函数：
( x ) Ae
三维：
( r ) Ae
2 2
i px
p>0：向右
p<0：向左
i p r
概率密度： A const.
空间位置完全不确定，动量取确定值
分析: 原子线度 r ∼ 10 -10 m 若电子Ek = 10eV 则
由不确定关系有 ΔP 2Δr
2E 6 10 m /s m
ΔP Δ 6 105 m/s m 2m Δr
轨道概念不适用! 代之以电子云概念
24
在宏观现象中，不确定度关系可以忽略。
p const.
【思考】自由粒子波函数能归一化吗？
34
5、状态叠加原理 量子力学要求：若体系具有一系列互异的可 能状态 1，2 ，则它们的线性组合
C n n
也是该体系的一个可能的状态。展开系数Cn 为 任意复常数。
若叠加中各状态间的差异无穷小， 则应该用 积分代替求和： C d
物质波
• 给氢原子拍照，并将20张照片叠加 给氢原子拍照，并将20张照片叠加 20
• 给氢原子拍照，并将100张照片叠加 给氢原子拍照，并将100张照片叠加 100
• 给氢原子拍照，并将500张照片叠加 给氢原子拍照，并将500张照片叠加 500
• 给氢原子拍照，并将1000张照片叠加 给氢原子拍照，并将1000张照片叠加 1000
戴维森(美国) 戴维森(美国)
G.P.汤姆生 英国) G.P.汤姆生 (英国)
1937年诺贝尔物理学奖 1937年诺贝尔物理学奖
微 观 粒 子 的 衍 射 实 验
物质波也是概率波，光子和实物粒子在空间 分布的概率是受波动规律支配的． 宏观质点的 运动情况 牛顿定律进行解释
微观粒子的 运动情况
概率统计规律解释
物体的波长 物体的动量
人们把这种波叫做物质 波，也叫德布罗意波．
德布罗意
宏观物体的德布罗意波的波长比微观粒子 的波长小的多，很难观察到它们的波动性，但 是微观粒子的情形完全不同，1927年，两位美 国物理学家利用观察“电子束照射到晶体晶格 上发生的衍射现象”证实了德布罗意的假设．
1927年 1927年，英美两国物理学家分别用电子束照射 金属晶体(晶格数量级10 金属晶体(晶格数量级 -10m)，得到了电子束 ) 的衍射图案，验证了德布罗意的假设。 的衍射图案，验证了德布罗意的假设。
• 再给氢原子拍摄一张照片
• 再给氢原子拍摄一张照片
• 再给氢原子拍摄一张照片
• 再给氢原子拍摄一张照片
• 给氢原子拍照，并将2张照片叠加 给氢原子拍照，并将2
• 给氢原子拍照，并将3张照片叠加 给氢原子拍照，并将3
• 给氢原子拍照，并将4张照片叠加 给氢原子拍照，并将4
第五节 德布罗意波
0 . 01 200 0 . 01 %
2 . 0 10
x Px
4
kg m s
31
1
5 . 25 10
30
m
子弹 x 10
m
很小，仪器测不出，
用经典坐标、动量完全能精确描写。对微观粒子不 能用经典力学来描写。
对不确定关系(即测不准关系)x px≥h的几点说 明： (1) 此关系完全来自物质的二象性，由物质的本性所 决定，与实验技术或仪器的精度无关。 (2) 不确定原理对任何物体都成立。对于宏观尺度的 物体，其质量m通常不随速度v变化(因为一般情况 下v << c)，即p x = mv x，所以xvx≥h m。由 于m >> h，因此x和v x可以同时达到相当小的地 步，远远超出最精良仪器的精度，不确定范围小的 完全可以忽略。可见，不确定现象仅在微观世界方 可观测到。 (3)粒子的动量和坐标不可能同时确定。 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它 粒子。
光的干涉、衍射等现象 证实了光的波动性；热辐射、 光电效应和康普顿效应等现 象又证实了光的粒子性。光 具有波-粒二象性。
德布罗意
德布罗意波在光的二象性的启发下， 提出了与光的二象性完全对称的设想， 即实物粒子（如电子、质子等）也具 有波-粒二象性的假设。
能量为E、动量为p的粒子与频率为v、波长为的 波相联系，并遵从以下关系： E=mc2=hv
计算结果表明，子弹的波长小到实验难以测量的
由光的波粒二象性的思想推广到微观粒子和任 何运动着的物体上去，得出物质波（德布罗意 波）的概念：任何一个运动着的物体都有一种 波与它对应，该波的波长 λ= h / p
【例1】试估算一个中学生在跑百米时的德 布罗意波的波长。 解：估计一个中学生的质量m≈50kg ，百米 跑时速度v≈7m/s ，则
德布罗意波——物质波
电子单缝衍射实验
象光具有粒子性一样，实物粒子，如质子、中子、 电子等，也具有波动性。粒子的能量可表示为
E h ,
动量可表示为
P
h
.
具有速度υ的实物粒子的波长为
h m
式子中波长叫做德布罗意波长。 这种波称为 德布罗意波.
某电子以υ=5×波——物质波
德布罗意:
在1911---1919年间, 学习了庞加 莱、洛仑兹, 朗之万 , 玻耳兹曼等人 的著作（统计力学）. 力学中，学习 了哈密顿---雅可比的理论.特别是普朗 克, 爱因斯坦, 玻尔的量子著作.
在1924年夏作的博士学位答辩 论文提出物质波的概念.
德布罗意(Louis Victorde Broglie 1892～1989)法国 物理学家
h p
h m
0.15nm
德布罗意因为提出物质波的假说，荣获1929年 的诺贝尔物理学奖。1927年德布罗意的物质波被 戴维孙和革末以及汤姆孙的电子衍射实验所证实。
普通物理学课件：德布罗意波(专业数理基础)
屏
电子束
a 缝 2
幕
衍射图样
1 概率波：个别微观粒子的出现有一定的偶然性， 但是大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一 定的统计规律。
2 波函数物理意义
在空间某处发现实物粒子的几率同波函数的模的 平方成正比。
因此，t时刻在(x,y,z)附近小体积dV中出现微观粒 子的概率为
2 dV dV dV dxdydz
V
衍射最大值： 2d sin k k 0,1,2,3
电子的波长： h
2meU
2d sin k h
2meU
k c U
1929诺贝尔物理学奖
n L.V.德布罗意 n 电子波动性的理论
研究
1937诺贝尔物理学奖
n C.J.戴维孙 n 通过实验发现晶体
对电子的衍射作用
二、玻恩的概率波的统计诠释
1954诺贝尔物理学奖
Y M.玻恩
Y 对量子力学的基础 研究，特别是量子 力学中波函数的统 计解释
3 波函数的性质
（1）几率和几率密度 在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω( r, t )={dW(r, t )/ dτ}= C |Ψ (r,t)|2 在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为：
§ 1 德布罗意波 一、德布罗意波
1 德布罗意关系式
E mc 2 h
p mv h
粒子的满足上式的波称为德布罗意波(或物质波)
讨论：自由粒子速度较小时
E p2 2m
h h
p 2mE
例：电子经加速电势差 V加速后
电子的德布罗意波长为
h
12.2 0 A
2meV
V
0
V 100V 1.22 A
物质波
17
物质波振幅的平方与粒子在该处邻近出现的概率 成正比。 成正比。 电子出现的概率反映该处的波强。 电子出现的概率反映该处的波强。 粒子观点 波动观点 波强 电子密处，概率大。 电子密处，概率大。 电子疏处，概率小。 电子疏处，概率小。 电子密处，波强大。 电子密处，波强大。 电子疏处，波强小。 电子疏处，波强小。 振幅A 粒子密度 ∝ 振幅 2
13
h h λ= = 2me eU P
再由： 再由：
2d sin ϕ = kλ
−31
U = 54V, me = 9.11 × 10
6.63 × 10 −34
−31 −19
Kg
λ=
×1.6 × 10 × 54 180 − 50 电子衍射掠射角： 电子衍射掠射角： ϕ = = 650 2 镍单晶 d = 0.91×10 −10 m, ϕ = 650
∝
概率
机械波是机械振动在空间传播， 布罗意波是对 机械波是机械振动在空间传播，德布罗意波是对 微观粒子运动的统计。 微观粒子运动的统计。
18
二、不确定关系
经典力学中，物体初始位置、 经典力学中，物体初始位置、动量以及粒子所在 力场的性质确定后，物体以后的运动位置就可确定。 力场的性质确定后，物体以后的运动位置就可确定。 但对微观粒子，因具有的波动性， 但对微观粒子，因具有的波动性，其坐标和动量不能 同时确定。我们不能用经典的方法来描述它的粒子性。 同时确定。我们不能用经典的方法来描述它的粒子性。 1.电子单缝衍射 1.电子单缝衍射
2
= 8.73×10 (m)
7
−13
（4）当EK= 1GeV 时，k >> m0 c 2 ） E 有： hc
，
λ=
2.5 德布罗意波
x
p
o a
1
y
电子通过狭缝的瞬间，其位置在 x 方向上的不 确定量为
x a
同一时刻，由于衍射效应，粒子的速度方向有了 改变，缝越小，动量的分量 Px变化越大。
x
分析计算可得:
o
1
p
y
h xpx 4
a
这个式子称为微观粒子的不确定关系
一、德布罗意波假说
1、德布罗意波（物质波）
De . Broglie 1923年发表了题为“波和粒子”的 论文，提出了物质波的概念。 他认为，“整个世纪以来（指19世纪）在光学中比 起波动的研究方法来，如果说是过于忽视了粒子的研究 方法的话，那么在实物的理论中，是否发生了相反的错 误呢？是不是我们把粒子的图象想得太多，而过分忽略 了波的图象呢”
X射线波段
可见，只有微观粒子的波动性较显著；而 宏观粒子(如子弹)的波动性根本测不出来。 由光的波粒二象性的思想推广到微观粒子 和任何运动着的物体上去，得出物质波（德布 罗意波）的概念：任何一个运动着的物体都有 一种波与它对应，该波的波长 λ= h / p
【例1】试估算一个中学生在跑百米时的德布 罗意波的波长。
课本P43 练习 1、2、3、4
（该实验荣获1937年Nobel 物理学奖）
电子束垂直入射 到镍单晶的水平面上， 在 散射方向 50 上探测到一个强度极 大。 （可用晶体 对X射线的衍射方法 来分析）
戴维逊--革末实验
电子衍射实验
1937诺贝尔物理学奖
• C.J.戴维孙
• 通过实验发现晶体 对电子的衍射作用
类似的实验：
２．为什么微观粒子的坐标和动量不能同时测准? 这是因为微观粒子的坐标和动量本来就不同时具 有确定量。 这本质上是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。 由上讨论可知，不确定关系是自然界的一条客观 规律,不是测量技术和主观能力的问题。 ３．不确定关系提供了一个判据： 当不确定关系施加的限制可以忽略时，则可以用 经典理论来研究粒子的运动。 当不确定关系施加的限制不可以忽略时，那只能 用量子力学理论来处理问题。
德布罗意与物质波
德布罗意与物质波1895年，德国物理学家伦琴发现了X 射线；二十世纪初叶，大批实验物理学家从事X 射线性质的研究；人们相继发现，X 射线、γ射线和β射线一样具有使气体电离的能力，这是该射线具有粒子性的实验佐证。
1912年，德国物理学家劳厄等人又发现了X 射线的衍射现象，从而证明该射线具有波动的特征。
这些互相矛盾的结果使当时的理论物理学家们困惑不解。
就这危机的时刻，法国物理学家路易斯·德布罗意（L ．V ．P ．de ．Broglie ，1892～1960）萌发了物质波的思想；他把普朗克的量子论与爱因斯坦的相对论结合起来，使物理学从困境中摆脱出来。
3、1 德布罗意物质波的思想路易斯·德布罗意，1892年8月15日出生于法国迪埃普一个显赫的贵族家庭，少年时期酷爱历史和文学，在巴黎大学学习法制史，大学毕业时获历史学土学位。
他的哥哥莫尔斯·德布罗意（Maurice de Broglie ）是法国著名的物理学家，X 射线研究的先驱者。
德布罗意由于受到哥哥的熏陶，从而对自然科学产生了浓厚的兴趣。
接着，他在1910年读了著名物理学家彭加勒的著作。
这促使毅然从事文学走向了自然科学的道路。
1911年召开的第一届索尔维会议讨论的主要议题是量子理论的有关问题，会后出版了关于量子论的文集。
德布罗意看后深受鼓舞，他表示要以青春的活力醉心于这些已被深入研究而又饶有兴趣的问题。
立誓要不遗余力地去弄懂这些量子的真正本质。
1913年，他以出色的表现，获得了物理学硕士学位。
随着光的波粒二象性研究的深入，德布罗意进一步者出了粒子性和波动性的联系。
过去人们曾经习惯于把辐射看成波，把宏观客体者成是由粒子组成的。
既然现在我们已经知道，过去认为是波的辐射具有粒子性，那么，从自然界的对称性出发，是不是也应当认为，宏观客体也具有波动性呢？他说：“如果我们要想建立一个能同时解释光的性质和物质的性质的单一理论，那么在物质的理论中，犹如在辐射的理论中一样。
德布罗意物质波 电子衍射
若 已知 静止质量 运动速率 则 质量
其德布罗意波的波长为
若 已知 静止质量 动能 则 动量大小为
其德布罗意波的波长为
若
若
则
某电子的动能 100 eV
某子弹的质量 0.01 kg
400 m / s
它们的
德布罗意波长
可判断
1.23×10 – 10（m） 1.23（A）
与 X 射线的波长相近，其波动性不可忽略。
光的粒子性
电磁波
有波动参量 如：
波长 频率 波速
有波的行为特性 如：
波的干涉 波的衍射 横波偏振
光子
有粒子参量 如：
动量 能量 动质量
有粒子的行为特性 如：
黑体辐射 光电效应 康普顿效应
光
既具有波动性 又具有粒子性
，光的这种双重特性，称为光的波粒二象性。
光，具有波粒二象性，是否一切物质都具有波粒二象性呢？ 德布罗意提出了关于物质的 波粒二象性假设。
在某处德布罗意波的强度，与粒子在该处出现 的概率成正比。这就是德布罗意波的统计解释。
得
即
解得 该电子的德布罗意波长为
该电子的德布罗意波长；
此波长值是康普顿波长 的几倍？
此波长值是康普顿波长的 倍
电子衍射实验
最早的电子衍射实验 1924年 戴维孙-革末 实验 用已知动能 的电子束替代X射线，
电
54 eV
子
束
镍单晶
在已知原子间隔D 的晶体 上做衍射实验，发现电子 束也能产生衍射现象，并 测得第一级极强的衍射角
UO2晶体的电子衍射
NaCl晶体的中子衍射
应用举例
电子显微镜，就 是依据电子的波动性 设计制造的。如今它 已成为探索物质结构， 研究、开发新材料的 重要科研工具。
德布罗意与物质波理论
德布罗意与物质波理论德布罗意与物质波理论德布罗意开始研究物理学时，适逢现代物理学发生深刻革命的时期．1900年，普朗克研究黑体辐射时假定谐振子取分立的能量，提出量子的概念，由此出发，他推导出能够描述黑体辐射规律的普朗克黑体辐射公式．但是，人们并没有认识能量子的重要性，只把能量子看作仅仅是在支配物质和辐射相互作用过程中是合适的，频率为V的物质振子仅仅以hV的倍数发射或吸收能量．直到1905年，量子概念才发生了重要发展．1905年，爱因斯坦发表了题为《关于光的产生和转化的一个启发性观点》的论文，文中通过对黑体辐射的研究和论证，得到并提出了光量子的概念，并用它成功地解释了光电效应．这一工作的意义之一在于，光量子的概念是在分析和研究黑体辐射基础上得到的，表明量子概念具有比较普遍的意义．爱因斯坦认为：密度小的单色辐射，从其热现象方面的行为看，仿佛是由一些独立的能量所组成．本世纪初期，人们通过对X射线的研究认识到，X射线具有时而象波、时而象粒子的奇特性质．1913年，玻尔提出原子中的电子运动的量子化条件，原子中的电子只有可能进行某些运动，成功地解释了氢原子光谱．玻尔的量子化条件没有理论基础，是人为规定的．1919－1922年，法国物理学家布里渊提出了一个解释玻尔基于化条件的理论．布里渊把电子和波作为一个整体进行研出：要描述一个动点的运动，观察者必须将这一运动与一个非物质的、在同一方向上传播的正弦波联系起来．在观察者看来，这一波的频率等于上述动点的总能量除以普朗克常量h．同年10月8日，德布罗意发表关于物质波理论的第三篇论文《量子、气体运动理论以及费马原理》．文中阐述了波与粒子的对应关系，他假定与任何粒子相联系的相波，在空间任何点与粒子同相位．相波的频率与速度由粒子的能量和速度所决定．德布罗意的这三篇论文是物质波理论奠基工作的开端．继这三篇论文之后，德布罗意着手撰写他的博士论文《量子理论的研究》．1924年11月，德布罗意通过论文答辩，获博士学位．他的博士论文包括了近两年研究的一些成果，比较系统地论述了物质波理论，得到物质波的一些重要结果．德布罗意认为，任何运动着的物体都伴随着一种波动，而且不可能将物体的运动和波的传播分开，这种波称为相位波．存在相位波是物体的能量和动量同时满足量子条件和相对论关系的必然结果．德布罗意考虑静止质量为外、相对于静止观察者的速度为的粒子，他假设粒子是周期性内在现象的活动中心，它的频率，是普朗克常数，是粒子的内在能量．以狭义相对论原理和严格的量子关系式为基础，L．德布罗意通过严格论征得到：相位波的波长是，是普朗克常数，是相对论动量，这就是著名的德布罗意波长与动量的关系．此外，德布罗意把相位波的相速度和群速度（能量传递的速度）联系起来，证明了波的群速度等确定了群速度与粒子速度的等同性．他的这些研究成果形成了比较完整的物质波理论．德布罗意撰写论文时，他的哥哥（M．德布罗意）建议他的论文应包括实验部分，可是他没有采纳这个建议．他的物质波理论是在没有得到任何已知事实支持的情况下提出来的，这就使得答辩委员会对物质波的真实性存在疑虑，答辩委员会主席佩兰就提出了物质波如何用实验来证实的问题．对佩兰的提问，德布罗意回答：用晶体对电子的衍射实验验证物质波的存在是可能的．他的这个思想是早已形成的，他曾在1923年9月24日《光量子、衍射和干涉》一文中指出：从很小的孔穿过的电子束，可能产生衍射现象，这也许会成为在实验上验证物质具有波粒二象性的方法．他还曾向他哥哥的同事道维里叶提出做电子的衍射实验，后者因忙于电物理学的发展需要理论的和实验的两只脚向前迈进，现在理论这只脚已经先向前迈进了一步，这就给实验提出了研究课题．物质波理论提出后，如何从实验上证实物质波存在就成了人们关注的一个热点．按照德布罗意理论，经过几千伏加速电压的电子束，其波长数量级为10-10米，这与X射线的波长是同一个数量级，因而可以用晶体对电子的衍射实验验证物质波．德布罗意的理论一传到美国，就在纽约开始了显示电子衍射的实验．尽管这个实验开始并不是为验证波动理论而做的，但是到了1926年，这项工作的目的已经转变为验证物质波理论．1927年初，戴维森和革末通过实验发现，在镍晶体对电子的衍射实验中，有19个事例可以用来验证波长和动量之间的关系，而且每次都在测量精确度范围内证明了德布罗意公式的正确性．戴维森实验所用电子束的电子能量很低，仅有50－600电子伏特．同年G.P.汤姆逊用较高能量的电子做了晶体对电子束衍射的实验，他让电子能量为1000－8000电子伏特的电子束垂直射入赛玛哈、金、铂或铝等薄膜上，观测产生的衍射图样。
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只能由实验来决定。经典力学和牛顿定律适用于宏观粒子，薛
定锷方程适用于微观粒子。
25.4 一 维 势 阱
一. 一维势阱
在一维空间运动的粒子的势能在某区域内为零,在此区域外 为无限大。
U(x) U=
U=0
U=
0
a
x
二. 由定态薛定锷方程求波函数
1. 根据具体问题写出势能函数 势能函数
1927年德国物理学家海森伯（W.Heisenberg）根据量子力学 推出微观粒子在位置与动量两者不确定量间的关系 在某一方向(如x方向)粒子的位置不确定量 x和该方向上的动量的不确定量px有
xpx / 2 h 1.05 10 34 J s 2
二. 简单推导
电子的单缝衍射 x
3. 30年代以后，实验发现，中子、质子、中性原子都具有衍射现象。
4. 自然界中的一切微观粒子，都具有波粒二象性。
▲应用
电子等实物粒子的波长比光波波长小的多
利用高速电子束代替光束制成显微镜
电子显微镜
25.2 不确定关系
一. 不确定关系
经典力学
微观粒子
质点
确定的位置和动量
具有波动性即不具有确定的位置和动量
i ( Et px )
2. 概率密度
在空间一很小区域(以体积元dV=dxdydz表征)出现粒子的 概率为：
Ψ dV ΨΨ dV
*
2
2
——概率密度
表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率。
3. 波函数的归一化条件 粒子在任意时刻在整个空间出现的概率等于1
2dV 1——波函数归一化条件 4. 波函数的标准条件
3. 由边界条件及归一化条件求出A,B,k的值
因粒子只能在势阱内
(0) (a) 0 A (0) 0, B sin ka (a) 0 B 0, k 0
n k , n 1,2,3, a
n ( x) B sin x,0 x a a
0,0 x a U ( x) , x 0, x a
势阱内 U=0
2. 根据条件写出定态薛定锷方程
定态薛定锷方程
d 2 2m 2 E 0,0 x a 2 dx
k2
d 2 2 k 0 2 dx
通解
( x) A cos kx B sin kx
t 稳定状态 能量确定
25.3 波函数与薛定锷方程
一. 概率波
物质波是一种概率波, 反映粒子在空间分布的几率
28个电子通过双缝
电 子 的 双 缝 衍 射
10000个电子通过双缝
1000个电子通过双缝
数百万个电子通过双缝
二. 波函数
描述物质波的数学表达式 1. 波函数 一束沿x轴传播的单色平面波
二. 波函数
能量E(E<U0)的粒子从左边射入 定态薛定锷方程
d 2 2m 2 E 0, x 0 2 dx d 2 2m 2 ( E U 0 ) 0, x 0 2 dx
1. 不确定关系表明微观粒子位置的准确度与相应的动量准确 度值成反比；
px 0 px确定
粒子位置完全不确定 ——平面波
2. 不确定关系可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经 典力学来描写还是用量子力学来描写;
3. 另一个不确定关系
Et 2
E : 能量的不确定量
t : 某能量状态的持续时间
第二十五章 量子力学基础
25.1 德布罗意假设 实物粒子的波粒二象性
德布罗意波在光的波粒二象性的启发下， 提出了实物粒子（如电子、质子等）也具有波 粒二象性的假设。
E mc h h p mv
2
——德布罗意公式
德布罗意
与实物粒子相联系的波 —— 德布罗意波(物质波)
▲实验验证
1. 电子通过金多晶薄膜的衍射实验。 （汤姆逊1927） 2. 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。 （约恩逊1961)
2
n =4
n =3
n =2 a n =1
0
0
a
2. 粒子能量
2mEn k 2
2
n k a
2 En n 2ma 2
2 2
能量量子化
不同能级,粒子的波函数不同
25.5 势垒与隧道效应
一. 势垒
U U=U0
U=0 0 x
势能函数
0, x 0 U ( x)
U0 , x 0
2. 定态薛定锷方程
势能与时间无关时的波函数
(r , t ) (r )e
空间坐标 函数
i Et
时间函数
(r)满足
2m 2 ( E U ) 0
2
求解某些特殊情况的波函数
★注意:
薛定锷方程是量子力学的基本方程，好似牛顿定律是经典 力学的基本方程一样。它不是从理论推导出来的，它的正确性
y( x, t ) A cos 2(vt x / )
指数形式
y( x, t ) Ae
i 2 ( vt x / )
沿x轴运动的单能粒子束
( x, t ) 0 e
i 2 ( vt x / )
h E h, p
自由粒子的波函数
( x, t ) 0 e
单值, 有限, 连续, 归一化
三. 薛定锷方程
波函数与粒子所处条件的关系式 1. 薛定锷方程
一维非相对论形式
i U 2 t 2m x
2 2
薛定锷
三维
2 2 i U t 2m
2 2 2 2 2 2 2 x y z
sin x
px
电子束v
p
py
p x p sin
-
x
p / x
x坐标的不 确定量
由于衍射,电子的速度 方向改变,电子可能出
h p
现在-到+的范围内
xpx h
考虑次极大
经严格证明此式应改写为：
x p x 2
xpx h
★讨论:
由归一化条件
1 2 ( x) dx aB 1 2
2
B
4. 写出波函数
2 a 2 n sin x,0 x a a a
( x)
★讨论:
1. 概率密度
2 2 n ( x) sin x,0 x a a a
2
概率密度随x变化,与n有关
Ψ ( x)
Ψ ( x)