德布罗意波(物质波)
德布罗意波(物质波)
二. 波函数
能量E(E<U0)的粒子从左边射入 定态薛定锷方程
d 2 2m 2 E 0, x 0 2 dx d 2 2m 2 ( E U 0 ) 0, x 0 2 dx
令
k1
2
2 m( E U 0 ) 2mE 2 , k2 2 2
t 稳定状态 能量确定
25.3 波函数与薛定锷方程
一. 概率波
物质波是一种概率波, 反映粒子在空间分布的几率
28个电子通过双缝
电 子 的 双 缝 衍 射
10000个电子通过双缝
1000个电子通过双缝
数百万个电子通过双缝
二. 波函数
描述物质波的数学表达式 1. 波函数 一束沿x轴传播的单色平面波
反射粒子
入射粒子
1 ( x) Aeik1x Be ik1x , x 0 2 ( x) Ce k2 x , x 0
()
三. 隧道效应
经典力学 能量E(E<U0)的粒子不出现在x>0的区域 量子力学 (*)式说明粒子的波函数在x>0的区域逐渐衰减,但不为零 量子力学中,粒子能穿入势能大于其总能量的区域
只能由实验来决定。经典力学和牛顿定律适用于宏观粒子，薛
定锷方程适用于微观粒子。
25.4 一 维 势 阱
一. 一维势阱
德布罗意波
德布罗意假设：一个动量为 p 和能 量为 E 的自由粒子，相应于一频率 为 和波长为 的平面单色波，它 们之间关系如下： 若粒子的动量为 p=mv，则相应于 这个粒子的平面单色波的波长为 上式称为德布罗意公式，这种波 称为德布罗意波，又称物质波。 例题1 : 试求出质量为0.01千克，速度为10米/秒的一 个小球的德布罗意波长。 解：
例题 2:为了使电子德布罗意波长为1埃，需要多大的 电压？1埃为晶体原子间距大小。 解：
§ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1.3
德布罗意波
德布罗意（1892～1987）法国物 理学家。1933年当选为法国科学院 院士。德布罗意在1924年发表电子 波动论文，当时光的波粒二象性刚 被证实，他把这种二象性推广到物 质粒子，解决了原子内的电子运动 问题，为此获1929年诺贝尔物理学 奖。他对现代物理学作了许多哲学 的论断，他认为作为原子物理学基 础的统计理论 ，在实验技术所不能 揭示的变量后面，隐藏着完全确定 并可以弄清楚的实在。
物质波与德布罗意假说
物质波与德布罗意假说
物质波与德布罗意假说是量子力学的重要基础理论，它们揭示了微观粒子的波粒二象性，对于解释微观世界的行为具有重要意义。本文将介绍物质波和德布罗意假说的基本概念、实验证据以及其在量子力学中的应用。
一、物质波的概念
物质波是指微观粒子（如电子、中子等）具有波动性质的现象。根据量子力学的理论，微观粒子不仅具有粒子的特性，还具有波动的特性。这一概念最早由法国物理学家路易·德布罗意在1924年提出。
根据德布罗意的假说，微观粒子的波动性质可以用波长来描述，即德布罗意波长。德布罗意波长的计算公式为λ = h / p，其中λ为德布罗意波长，h为普朗克常数，p为粒子的动量。这个公式表明，动量越大的粒子，其德布罗意波长越短，波动性越不明显。
二、德布罗意假说的实验证据
德布罗意假说的实验证据主要来自于电子衍射实验。1927年，美国物理学家克林顿·戴维森和莱斯特·杰拉德·汤姆逊进行了一系列的电子衍射实验，验证了德布罗意假说的正确性。
在电子衍射实验中，他们使用了一台电子束发射装置，将电子束射向一个晶体样品。通过观察电子束经过晶体后的衍射图样，他们发
现电子束也会出现衍射现象，类似于光的衍射。这一实验结果表明，
电子具有波动性质，验证了德布罗意假说的正确性。
除了电子衍射实验，还有其他实验证据也支持了德布罗意假说。
例如，中子衍射实验、质子衍射实验等都观察到了类似的波动现象，
进一步证实了物质波的存在。
三、物质波的应用
物质波的发现对量子力学的发展产生了深远的影响，为解释微观
粒子的行为提供了重要的理论基础。物质波的应用主要体现在以下几
德布罗意物质波的概念
德布罗意物质波的概念
德布罗意物质波，也被称为德布罗意波，是法国物理学家路易·德布罗意在20世纪初提出的假设。他提出，所有微观粒子，包括电子、质子、中子等，都同时具有波动的性质。这种波动性质被称为“物质波”。
物质波的波动性质可以用波长来表示，其波长与粒子的动量成反比。德布罗意认为，任何粒子都伴随着一种波动，波长λ等于普朗克常数h除以粒子动量p。即，λ=h/p。这个公式被称为德布罗意公式。
物质波的概念是量子力学的一个重要组成部分，它描述了微观粒子在空间中的分布和运动状态。物质波的波动性质表现为粒子在空间中分布的概率，即粒子在某一位置出现的概率与该位置的波函数值成正比。物质波的提出具有深远的影响。它不仅解释了微观粒子的行为，而且为量子力学的发展奠定了基础。物质波的概念在许多领域都有应用，包括高能物理、凝聚态物理、光学和电子显微镜技术等。
物质波
电子密处，概率大。电子疏处，概率小。
电子密处，波强大。电子疏处，波强小。 波强∝振幅平方A2∝粒子密度∝概率。
1、物质波的统计解释：波粒二象性是统计性的规律，微观粒子的运动没有确定的轨迹，只能确定它在某一空 间位置上出现的几率，物质波与经典的机械波不一样，它是几率波。
2、λ=h/p （h：普朗克常量；p：动量。 λ：波长） 3、f=ε/h（h：普朗克常量；ε：能量。f：频率）
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概念由来
1
基本概念
2
粒子观点
3
波动观点
4
补充资料
5
实验证明
物质波（德布罗意波）（matter wave）指物质在空间中某点某时刻可能出现的几率，其中概率的大小受波 动规律的支配。
德布罗意与物质波
2eU m
h h 12.25 A m 2emU U
U 150V 10
10
m
对地球而言：其绕太阳公转的速度为
u 3 10 m s
4
1
h uM E
0 6.6310 53 3.7010 A 4 24 3 10 5.9810 34
§6-4 德布罗意与物质波
玻尔理论虽然在运动轨道的经典概念的基础上， 提出了量子(定)态、量子跃迁、角动量量子化的 概念，但玻尔理论仅限于处理氢原子或类氢原子， 无法处理略为复杂的原子光谱，如氦原子光谱。
玻尔理论的局限性：仍把电子看成经典力学中的 质点，将经典力学的规律用到微观粒子上。
整个世纪以来，在 辐射理论上，比起波动 的研究方法来，是过于 忽视了粒子的研究方法； 在实物理论上，是否发 生了相反的错误呢？是 不是我们关于粒子图象 想得太多，而过分地忽 略了波的图象呢？ —— 德布罗意 （L.V.de Broglie)
德布罗意关系式：
E h
E mc h h
2
p
h
h p
E mc
2
实物粒子的波动既不是机械波也不是电磁波，它 被称为“物质波”或“德布罗意波”。
2.环形驻波与氢原子 环形驻波：圆周长为波长的整数倍。
2r n
德布罗意物质波的物理意义
德布罗意物质波的物理意义
德布罗意物质波理论是量子力学中的一项重要理论，它揭示了微观粒子也具有波动性质。德布罗意提出了一个公式，表明粒子的波长与动量存在着对应关系，即德布罗意波长。这个关系式对于微观物质世界的理解有着重要的物理意义。
德布罗意物质波的物理意义在于解释了一些实验现象。例如，在双缝干涉实验中，电子通过两个狭缝时，会出现干涉条纹。这种现象可以用波动理论解释，即电子具有波动性质，经过两个狭缝时会形成干涉图案，进而证明了量子力学中的波粒二象性。
另外，德布罗意波也可以解释物质的散射现象。当粒子与物体相互作用时，德布罗意波的波长与物体的晶格常数相比较，可以推导出散射角度和衍射强度等信息，进而给物质结构的研究提供了帮助。
总之，德布罗意物质波的物理意义在于揭示了微观粒子的波动性质，为解释一些实验现象提供了理论基础，同时也为物质结构研究提供了重要手段。
- 1 -
德布罗意波
传播过程
与物质作用Hale Waihona Puke Baidu
波动性
粒子性
h
,
， p
p h
干涉、衍射、偏振
光电效应、康普顿效应
光
联系 波粒二象性
德布罗意假设： 不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子也具有二象 性。
波动性--它能在空间表现出干涉、衍射等波动现象，具有 一定的波长、频率。 粒子性--是指它具有集中的不可分割的性质。一个光子就 是集中的不可分割的一个粒子，它具有能量、动量、与质 量。
1 1.22 102 nm
2 0.1nm
例2、计算m=0.01Kg, 速度为 v = 300ms-1 的子弹的德布 罗意波长。 解：
h 2.11 1034 m mv
波长如此小，以至于很难发生光的衍射，因 此宏观物体的波动性很难显示出来。
二、德布罗意波的实验证明
一
德布罗意假设（1924 年 ）
德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象
性。
h h p mv
——德布罗意公式
与实物粒子相联系的波称德布罗意波或物质波。
例1、计算经104V和150V的电势差加速的电子的德布罗意 波长（U≤ 104V 时，可忽略相对论效应）。 解：
1 m0 v 2 eU 2
电子显微镜在 现代工农业生产和 科学研究中应用广 泛。
第2章 第5节 德布罗意波
第五节德布罗意波
1．德布罗意波：任何一个实物粒子都和一个波相对应，这种波后来被称为德布罗意波，也称为物质波．
2．波长与动量关系：λ＝h p.
3．电子衍射：电子束在晶体上反射可能发生衍射．
[再判断]
1．电子衍射的发现证明了德布罗意波假说．(√)
2．电子不仅会发生衍射，还会发生干涉．(√)
3．包括光子在内的一切微观粒子都具有波粒二象性，而实物粒子不具有波粒二象性．(×)
[后思考]
既然德布罗意提出了物质波的概念，为什么我们生活中却体会不到？
【提示】平时所见的宏观物体的质量比微观粒子的质量大得多，运动的动
量很大，由λ＝h
p可知，它们对应的物质波波长很小，因此，无法观察到它们的
波动性．
1．任何物体，小到电子、质子，大到行星、太阳都存在波动性，我们之所以观察不到宏观物体的波动性，是因为宏观物体对应的波长太小的缘故．
2．德布罗意波是一种概率波，粒子在空间各处出现的概率受波动规律支配，不要以宏观观点中的波来理解德布罗意波．
3．德布罗意假说是光子的波粒二象性的一种推广，使之包括了所有的物质粒子，即光子与实物粒子都具有粒子性，又都具有波动性，与光子对应的波是电磁波，与实物粒子对应的波是物质波．
1．下列说法中正确的是()
【导学号：55272058】A．物质波属于机械波
B．只有像电子、质子、中子这样的微观粒子才具有波动性
C．德布罗意认为，任何一个运动着的物体，小到电子、质子，大到行星、太阳，都有一种波和它对应，这种波叫物质波
D．宏观物体运动时，看不到它的衍射或干涉现象，因此宏观物体运动时不具有波动性
【解析】物质波是一切运动着的物体所具有的波，与机械波性质不同，A 错误；宏观物体也具有波动性，只是干涉、衍射现象不明显，看不出来，B、D 错误；德布罗意认为，任何一个运动着的物体，小到电子、质子，大到行星、太阳，都有一种波和它对应，这种波叫物质波，C正确．
物质波
人们把这种波叫做物质 波，也叫德布罗意波．
德布罗意
宏观物体的德布罗意波的波长比微观粒子 的波长小的多，很难观察到它们的波动性，但 是微观粒子的情形完全不同，1927年，两位美 国物理学家利用观察“电子束照射到晶体晶格 上发生的衍射现象”证实了德布罗意的假设．
1927年 1927年，英美两国物理学家分别用电子束照射 金属晶体(晶格数量级10 金属晶体(晶格数量级 -10m)，得到了电子束 ) 的衍射图案，验证了德布罗意的假设。 的衍射图案，验证了德布罗意的假设。
氢原子处于n=1能级时的电子云 氢原子处于n=1能级时的电子云 n=1
小黑点表示氢原子外一个电子在核外某空间单位体积内出现 机会的多少，离核近处，黑点密度大，电子出现机会多，离 机会的多少，离核近处，黑点密度大，电子出现机会多， 核远处，电子出现机会少。 核远处，电子出现机会少。
氢原子电子云
• 给氢原子拍摄一张照片
戴维森(美国) 戴维森(美国)
G.P.汤姆生 英国) G.P.汤姆生 (英国)
1937年诺贝尔物理学奖 1937年诺贝尔物理学奖
微 观 粒 子 的 衍 射 实 验
物质波也是概率波，光子和实物粒子在空间 分布的概率是受波动规律支配的． 宏观质点的 运动情况 牛顿定律进行解释
微观粒子的 运动情况
概率统计规律解释
• 再给氢原子拍摄一张照片
第五节 德布罗意波
例1：若电子与质量 m = 0.01 Kg 的子弹，都 以 200 m/s 的速度沿 x 方向运动，速率测量相 对误差在 0.01% 内。求在测量二者速率的同 时测量位置所能达到的最小不确定度 x 。
解：（1）电子位置的不确定度 电子动量不确定度
P x P 0 . 01 ％ m e v 0 . 01 %
4. 不确定关系的物理意义 不确定关系是建立在波粒二象性基础上的一条基 本客观规律，它是波粒二象性的深刻反应，也是对 波粒二象性的进一步描述。 不确定关系是由物质本身固有的特性所决定的， 而不是由于仪器或测量方法的缺陷所造成的。不论 测量仪器的精度有多高，我们认识一个物理体系的 精确度也要受到限制。 不确定关系说明经典描述手段对微观粒子不再适用。 不确定关系指明了宏观物理与微观物理的分界线。 在某个具体问题中，粒子是否可作为经典粒子来处 理，起关健作用的是普朗克恒量h的大小。
9 . 11 10
1 . ຫໍສະໝຸດ Baidu 10
x px
31
200 0 . 01 %
1
32
kg m s
x
Px
5 . 89 10
3
m
（2）子弹位置的不确定度
子弹动量不确定度
P x P 0 . 01 ％ mv 0 . 01 %
一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能
德布罗意波——物质波
h p
h m
0.15nm
德布罗意因为提出物质波的假说，荣获1929年 的诺贝尔物理学奖。1927年德布罗意的物质波被 戴维孙和革末以及汤姆孙的电子衍射实验所证实。
德布罗意波——物质波
德布罗意:
在1911---1919年间, 学习了庞加 莱、洛仑兹, 朗之万 , 玻耳兹曼等人 的著作（统计力学）. 力学中，学习 了哈密顿---雅可比的理论.特别是普朗 克, 爱因斯坦, 玻尔的量子著作.
在1924年夏作的博士学位答辩 论文提出物质波的概念.
德布罗意(Louis Victorde Broglie 1892～1989)法国 物理学家
电子单缝衍射实验
象光具有粒子性一样，实物粒子，如质子、中子、 电子等，也具有波动性。粒子的能量可表示为
E h ,
动量可表示为
P
hwk.baidu.com
.
具有速度υ的实物粒子的波长为
h m
式子中波长叫做德布罗意波长。 这种波称为 德布罗意波.
某电子以υ=5×106m/s的速度运动，求其德 布罗意波长。
德布络依物质波原理
德布络依物质波原理
德布罗意波
1924年法国青年物理学家德布罗意在光的波粒二象性的启发下想到：自然界在许多方面都是明显地对称的,既然光具有波粒二象性,则实物粒子也应该具有波粒二象性.他假设：实物粒子也具有波动性.于是他由质能方程以及量子方程出发,推得了德布罗意波的有关公式.他发现,粒子在以v为速度运动的时候总会伴随着一个速度为c^2/v的波,这个波又因为不带任何能量与信息,所以不违反相对论.
一个实物粒子的能量为E、动量大小为p,跟它们联系的波的频率ν和波长λ的关系为
E＝mc^2=hν
p=mv=h/λ
上两式称为德布罗意式.与实物粒子相联系的波称为德布罗
意波.
1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验,证实了电子的波动性.同年汤姆逊做了电子衍射实验.将电子束穿过金属片(多晶膜),在感光片上产生圆环衍射图和X光通过多晶膜产生的衍射图样极其相似．这也证实了电子的波动性.
对于实物粒子波动性的解释,是1926年玻恩提出概率波的概念而得到一致公认的.至于个别粒子在何处出现,有一定的偶然性；但是大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一定的统计规律.
物质波的这种统计性解释把粒子的波动性和粒子性正确地联系起来了,成为量子力学的基本观点之一.
2.5 德布罗意波
Eh
＝h P
如电子m=9.110-31Kg，速 度v=5.0107m/s, 对应的德 布罗意波长为：
如速度v=5.0102m/s飞行的子 弹，质量为m=10-2Kg，对应的 德布罗意波长为：
h 1.3 10 25 nm mv
太小测不到！
h 1.4 10 2 nm mv
解：估计一个中学生的质量m≈50kg ，百米跑时速 度v≈7m/s ，则
h 6.631034 m 1.9 1036 m p 50 7
由计算结果看出，宏观物体的物质波波长非 常小，所以很难表现出其波动性。
二、电子衍射
1927年，Davisson和Germer 进行了电子衍射实验。
2、微观粒子和宏观物体的特性对比
宏观物体
具有确定的坐标和动量 可用牛顿力学描述。 有连续可测的运动轨道，可 追踪各个物体的运动轨迹。
微观粒子
没有确定的坐标和动量 需用量子力学描述。 有概率分布特性，不可能分辨 出各个粒子的轨迹。
体系能量可以为任意的、连 续变化的数值。
不确定性关系无实际意义
能量量子ຫໍສະໝຸດ Baidu 。
并且他提出了一个大胆的假设：任何一个 实物粒子都和一个波相对应。这种波后来被称 为德布罗意波。 德布罗意还认为动量为p的粒子与速度为v、 波长为的波相联系，并遵从以下关系：
秋高中物理第二章波粒二象性2.5德布罗意波课件粤教版选修3
(1)实物粒子也具有波动性,即每一个运动的粒子都与一个对应的
波相联系,这种波叫做德布罗意波,也称为物质波.
(2)粒子有能量和动量与对应波的频率和波长的关系为
ℎ
ℎ
ν= ,λ= .
一
二
知识精要
思考探究
典题例解
迁移应用
2.物质波的实验验证
(1)证明思路:观察实物粒子的衍射图样.
解析:(1)电子的动量
p= 2k ≈5.4×10-24 kg·m/s
ℎ
德布罗意波长 λ= ≈1.2×10-10m.
(2)由电子的能量
ε=2 500 eV=4.0×10-16 J
根据
ℎ
ε= 得,光子波长
电子的动量
ℎ
λ'= ≈5.0×10-10
p'= 2'k ' ≈2.7×10-23 kg·m/s
观粒子也都具有波动性.
三、电子云
当原子处于稳定状态时,电子会形成一个稳定的概率分布,这种
概率分布称为电子云.
四、不确定关系的表达式
实验发现,对光子位置的测量越精确,其动量的不确定性就越大,
ℎ
ΔxΔp≥
反之亦然.微观粒子的不确定性关系的表达式为____________.
4π
目标导航
物质波
λ=
=
hc 2m0 c Ek 6.63 ×10 −34 × 3 ×108
2 ×100 × 0.51×10 × (1.6 ×10
6 −19 2
2
)
= 1.23 × 10 −10 m
以上结果与X射线的波长相当， 以上结果与 射线的波长相当， 射线的波长相当 （4）当EK= 1MeV 时， ） 有：
λ=
hc Ek + 2Ek m0c2
∝
概率
机械波是机械振动在空间传播， 布罗意波是对 机械波是机械振动在空间传播，德布罗意波是对 微观粒子运动的统计。 微观粒子运动的统计。
18
二、不确定关系
经典力学中，物体初始位置、 经典力学中，物体初始位置、动量以及粒子所在 力场的性质确定后，物体以后的运动位置就可确定。 力场的性质确定后，物体以后的运动位置就可确定。 但对微观粒子，因具有的波动性， 但对微观粒子，因具有的波动性，其坐标和动量不能 同时确定。我们不能用经典的方法来描述它的粒子性。 同时确定。我们不能用经典的方法来描述它的粒子性。 1.电子单缝衍射 1.电子单缝衍射
2 × 9.1× 10
= 0.167nm
k = 1,
λ = 2d sin ϕ = 2 × 0.91×10 −10 × sin 65 = 0.165nm
与实验值相差很小。 与实验值相差很小。 这表明电子具有波动性， 这表明电子具有波动性，实物粒子具有波动性是正 确的。 确的。
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0,0 x a U ( x) , x 0, x a
势阱内 U=0
2. 根据条件写出定态薛定锷方程
定态薛定锷方程
d 2 2m 2 E 0,0 x a 2 dx
k2
d 2 2 k 0 2 dx
通解
( x) A cos kx B sin kx
y( x, t ) A cos 2(vt x / )
指数形式
y( x, t ) Ae
i 2 ( vt x / )
沿x轴运动的单能粒子束
( x, t ) 0 e
i 2 ( vt x / )
h E h, p
自由粒子的波函数
( x, t ) 0 e
由归一化条件
1 2 ( x) dx aB 1 2
2
B
4. 写出波函数
2 a 2 n sin x,0 x a a a
( x)
★讨论:
1. 概率密度
2 2 n ( x) sin x,0 x a a a
2
概率密度随x变化,与n有关
Ψ ( x)
Ψ ( x)
3. 由边界条件及归一化条件求出A,B,k的值
因粒子只能在势阱内
(0) (a) 0 A (0) 0, B sin ka (a) 0 B 0, k 0
n k , n 1,2,3, a
n ( x) B sin x,0 x a a
1. 不确定关系表明微观粒子位置的准确度与相应的动量准确 度值成反比；
px 0 px确定
粒子位置完全不确定 ——平面波
2. 不确定关系可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经 典力学来描写还是用量子力学来描写;
3. 另一个不确定关系
Et 2
E : 能量的不确定量
t : 某能量状态的持续时间
第二十五章 量子力学基础
25.1 德布罗意假设 实物粒子的波粒二象性
德布罗意波在光的波粒二象性的启发下， 提出了实物粒子（如电子、质子等）也具有波 粒二象性的假设。
E mc h h p mv
2
——德布罗意公式
德布罗意
与实物粒子相联系的波 —— 德布罗意波(物质波)
▲实验验证
1. 电子通过金多晶薄膜的衍射实验。 （汤姆逊1927） 2. 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。 （约恩逊1961)
t 稳定状态 能量确定
25.3 波函数与薛定锷方程
一. 概率波
物质波是一种概率波, 反映粒子在空间分布的几率
28个电子通过双缝
பைடு நூலகம்
电 子 的 双 缝 衍 射
10000个电子通过双缝
1000个电子通过双缝
数百万个电子通过双缝
二. 波函数
描述物质波的数学表达式 1. 波函数 一束沿x轴传播的单色平面波
3. 30年代以后，实验发现，中子、质子、中性原子都具有衍射现象。
4. 自然界中的一切微观粒子，都具有波粒二象性。
▲应用
电子等实物粒子的波长比光波波长小的多
利用高速电子束代替光束制成显微镜
电子显微镜
25.2 不确定关系
一. 不确定关系
经典力学
微观粒子
质点
确定的位置和动量
具有波动性即不具有确定的位置和动量
2. 定态薛定锷方程
势能与时间无关时的波函数
(r , t ) (r )e
空间坐标 函数
i Et
时间函数
(r)满足
2m 2 ( E U ) 0
2
求解某些特殊情况的波函数
★注意:
薛定锷方程是量子力学的基本方程，好似牛顿定律是经典 力学的基本方程一样。它不是从理论推导出来的，它的正确性
只能由实验来决定。经典力学和牛顿定律适用于宏观粒子，薛
定锷方程适用于微观粒子。
25.4 一 维 势 阱
一. 一维势阱
在一维空间运动的粒子的势能在某区域内为零,在此区域外 为无限大。
U(x) U=
U=0
U=
0
a
x
二. 由定态薛定锷方程求波函数
1. 根据具体问题写出势能函数 势能函数
单值, 有限, 连续, 归一化
三. 薛定锷方程
波函数与粒子所处条件的关系式 1. 薛定锷方程
一维非相对论形式
i U 2 t 2m x
2 2
薛定锷
三维
2 2 i U t 2m
2 2 2 2 2 2 2 x y z
二. 波函数
能量E(E<U0)的粒子从左边射入 定态薛定锷方程
d 2 2m 2 E 0, x 0 2 dx d 2 2m 2 ( E U 0 ) 0, x 0 2 dx
i ( Et px )
2. 概率密度
在空间一很小区域(以体积元dV=dxdydz表征)出现粒子的 概率为：
Ψ dV ΨΨ dV
*
2
2
——概率密度
表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率。
3. 波函数的归一化条件 粒子在任意时刻在整个空间出现的概率等于1
2
dV 1
——波函数的归一化条件 4. 波函数的标准条件
1927年德国物理学家海森伯（W.Heisenberg）根据量子力学 推出微观粒子在位置与动量两者不确定量间的关系 在某一方向(如x方向)粒子的位置不确定量 x和该方向上的动量的不确定量px有
xpx / 2 h 1.05 10 34 J s 2
二. 简单推导
电子的单缝衍射 x
2
n =4
n =3
n =2 a n =1
0
0
a
2. 粒子能量
2mEn k 2
2
n k a
2 En n 2ma 2
2 2
能量量子化
不同能级,粒子的波函数不同
25.5 势垒与隧道效应
一. 势垒
U U=U0
U=0 0 x
势能函数
0, x 0 U ( x)
U0 , x 0
sin x
px
电子束v
p
py
p x p sin
-
x
p / x
x坐标的不 确定量
由于衍射,电子的速度 方向改变,电子可能出
h p
现在-到+的范围内
xpx h
考虑次极大
经严格证明此式应改写为：
x p x 2
xpx h
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