普通物理学第二章 中山大学

r t r I = ∫ Fdt
t0
r p r r r 由上式得： ⅱ°由上式得： I = dp = mv − mv0 ∫
p0
在运动过程中， 在运动过程中，作用于质点的合力在一段时间内的 冲量等于质点动量的增量。这就是动量定理。 冲量等于质点动量的增量。这就是动量定理。
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ⅲ°动量定理与牛顿第二定律一样，都反映了质点运动状 动量定理与牛顿第二定律一样， 态的变化与力的作用关系。但牛顿第二定律是瞬时规律； 态的变化与力的作用关系。但牛顿第二定律是瞬时规律； 动量定理则是力对质点作用的积累效果。 动量定理则是力对质点作用的积累效果。 ⅳ°动量定理在处理碰撞和冲击问 题时很方便， 题时很方便，这时的作用力往往是 快速变化的，如图。称为冲力。 快速变化的，如图。称为冲力。 数学上精确给出冲力与时间的关系 往往是困难的， 往往是困难的，这时可以通过实验 定出平均冲力： 定出平均冲力：
第二章 牛顿运动定律 （Newton’s Laws of Motion） ）
质点运动学讨论的是如何描述一个质点的 运动。 运动。而质点动力学则试图回答质点为何 运动，或者说，再什么条件下作运动学描 运动，或者说， 述的运动。 述的运动。动力学的基本定律是牛顿的三 大定律。 大定律。
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§2.1 牛顿运动定律
r r r ∴ P= F +F i 引
ϕ
P
·
m
Fi
R
⇒ P2 = F 2 + F2 − 2F F cosϕ i 引 引 i = F2 + m2ω4R2 cos2 ϕ − 2F mω2Rcos2 ϕ 引 引
因为ω很小，略去高次项整理得： 因为ω很小，略去高次项整理得：
P = F − mω2Rcos2 ϕ 引
证明： 时刻已有 长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内将 时刻已有x长的柔绳落至桌面 证明：设t时刻已有 长的柔绳落至桌面，随后的 时间内将
有质量为ρ 的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它 的速率碰到桌面而停止， 有质量为ρdx=Mdx/L的柔绳以 的柔绳以 的速率碰到桌面而停止 的动量变化为
dx dp = 0 − ρdx ⋅ dt
3
牛顿对“运动”的定义是物体（质点） 牛顿对“运动”的定义是物体（质点）的质量与速度 之积。现代称之为动量（ 之积。现代称之为动量（Momentum）。 ）
r r p = mv
而牛顿表述的“变化”是指“对时间的变化率” 而牛顿表述的“变化”是指“对时间的变化率”。数学 r r 上： r
r dp d(mv) dm r F= = = v + ma dt dt dt r r ——仅是质量恒定时的特例 仅是质量恒定时的特例 F = ma
×
1
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注意： 、功是过程量，与路径有关。 、功是标量， 注意：1、功是过程量，与路径有关。2、功是标量，但有正 负。3、合力的功为各分力的功的代数和。 、合力的功为各分力的功的代数和。
2. 功率（power） 功率（ ）
力在单位时间内所作的功，称为功率。用P表示。 力在单位时间内所作的功，称为功率。 表示。 表示
r r Fi = −ma0
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的物体的重量。 例1：求地球上纬度为ϕ处质量为 的物体的重量。 ：求地球上纬度为ϕ处质量为m的物体的重量
ω
r
设地球半径为R， 解：设地球半径为 ，地球的自转 加速度>>公转加速度， 加速度 公转加速度，引入惯性力 公转加速度 为： Fi = mω2Rcosϕ 方向如图 F引 O
a ≈ 6×10−3 m s2
a ≈ 1.8×10−10 m s2
▲有些问题在非惯性系中研究较为方便。 有些问题在非惯性系中研究较为方便。 ▲处理非惯性系问题时，我们仍然习惯用牛顿第二定律， 处理非惯性系问题时，我们仍然习惯用牛顿第二定律， 惯性力(inertial force)给予修正。 给予修正。 这时需引入惯性力 这时需引入惯性力 给予修正 惯性力的大小为质点质量m和此非惯性系相对于惯性 惯性力的大小为质点质量 和此非惯性系相对于惯性 系的加速度a 的乘积，方向与a 相反， 系的加速度 0的乘积，方向与 0相反，即：
2
讨论： 讨论：
ⅰ°运动只有相对于一定的参考系来说才有意义，所以牛 运动只有相对于一定的参考系来说才有意义， 顿第一定律也定义了一种参考系。在这个参考系中， 顿第一定律也定义了一种参考系。在这个参考系中，一个 受力作用的物体将保持静止或匀速直线运动不变。 受力作用的物体将保持静止或匀速直线运动不变。这样的 参考系叫惯性参考系 简称惯性系 惯性参考系， 惯性系（ 参考系叫惯性参考系，简称惯性系（inertial frame） 。 ） ⅱ°并非任何参考系都是惯性系，牛顿第一定律成立的参 并非任何参考系都是惯性系， 考系才是惯性系。它由实验决定。例如： 考系才是惯性系。它由实验决定。例如：地球是一个近似 的惯性系。 的惯性系。 ⅲ°第一定律定性地提出了力和运动的关系，第二定律则 第一定律定性地提出了力和运动的关系， 是进一步的定量描述。 是进一步的定量描述。
v2
例2：一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好 ：一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，
触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。 触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证 在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力， 明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落 到桌面上的绳重量的三倍。 到桌面上的绳重量的三倍。
球
地
地 地
地
小 潮
地
76. 93. 95.
7.2, 8.15, 12.17,
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§2.4 牛顿第二定律的积分形式 ——动量定理 动量定理
r r r d(mv) dp 前面讨论的牛顿定律的微分形式： = 前面讨论的牛顿定律的微分形式： F = dt dt r r
⇒ Fdt = dp
内的积累量， ⅰ°式中 Fdt 表示力在时间 dt 内的积累量，叫 dt 时间内 质点所受合外力的冲量（impulse） 表示。 质点所受合外力的冲量（impulse） ，用 dI 表示。
为合外力。 ⅳ°若质点受多个力作用，则 F 为合外力。 若质点受多个力作用， ⅴ°第三定律的数学描述为： F12 = -F21 第三定律的数学描述为：
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§2.2 常见力和基本力 自学） （自学）
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§2.3 非惯性系和惯性力
牛顿定律仅适用于惯性系。例如： 牛顿定律仅适用于惯性系。例如：
静止 静止
S
r r ∫t1 ∆p F= = t2 − t1 ∆t
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t2
r F dt
的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后， 的速率飞来， 例1：质量为 ：质量为2.5g的乒乓球以 的乒乓球以 的速率飞来 被板推挡后， 又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内， 的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内， 又以 的速率飞出 且它们与板面法线的夹角分别为45 ：（1） 且它们与板面法线的夹角分别为 o和30o，求：（ ）乒乓球得 到的冲量；（ ；（2）若撞击时间为0.01s，求板施于球的平均冲力的 到的冲量；（ ）若撞击时间为 ， 大小和方向。 大小和方向。
r r dA F ⋅ dr r r P= = = F ⋅v dt dt
在国际单位制中，力的单位是牛顿（ ）； 在国际单位制中，力的单位是牛顿（N）； 功的单位是N•m，叫焦耳（J）； ，叫焦耳（ ）； 功的单位是 功的其它单位： 功的其它单位：1eV=1.6×10-19J； × ； 功率的单位是J•s-1，叫瓦（W）。 功率的单位是 叫瓦（ ）。
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下滑高度为h， 例1：滑雪运动员的质量为 ，沿雪道从 到B下滑高度为 ， ：滑雪运动员的质量为m，沿雪道从A到 下滑高度为 忽略摩擦力。求这一过程合力作的功。 忽略摩擦力。求这一过程合力作的功。
2
×
dr L • m 2
如果质点沿路径L从 到 ， 如果质点沿路径 从1到2，则 力对质点做功为： 力对质点做功为：
A = ∫ dA = ∫ 12
L
1
r r F ⋅ dr
θ
F
冲量是力对时间的积累效应； 冲量是力对时间的积累效应； 是力对时间的积累效应 是力对空间的积累效应。 而功是力对空间的积累效应。
一维运动可用标量
根据动量定理， 根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为
dp = −ρv2 F′ = dt
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柔绳对桌面的冲力F 柔绳对桌面的冲力 ＝－F’ 即：
M 2 F = ρv = v 而v2 = 2gx ∴F ຫໍສະໝຸດ Baidu 2Mgx / L L
2
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 而已落到桌面上的柔绳的重量为 所以F 所以 总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
I y = 0.007Ns
= 0.1148
2 2 I = I x + I y = 6.14×10−2 Ns
α = 6.54o
F ∆t
v1 v1
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α为I与x方向的夹角。 方向的夹角。 与 方向的夹角
此题也可用矢量法解， 此题也可用矢量法解，作矢量图用 余弦定理和正弦定理，可得： 余弦定理和正弦定理，可得：
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§2.5 牛顿第二定律的积分形式 ——动能定理 动能定理
1. 功（work） ）
质点在力F的作用下，发生一无限小的位移 质点在力 的作用下，发生一无限小的位移dr ，F对质点所 的作用下 对质点所 做的功定义为力和质点的位移的标积： 做的功定义为力和质点的位移的标积：
r r dA = F ⋅ dr
1687年牛顿（ I. Newton ）发表的《自然哲学的数学原 年牛顿（ 发表的《 年牛顿 这部划时代的著作，提出了三大运动定律， 理》这部划时代的著作，提出了三大运动定律，奠定了经 典力学的理论基础。 典力学的理论基础。 第一定律(惯性定律 惯性定律) ▲第一定律 惯性定律 (First law，Inertia law): ， 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，除非作 用在它上面的力迫使它改变这种状态。 用在它上面的力迫使它改变这种状态。 ▲第二定律（Second law）： 第二定律（ ）： 运动的变化与所加的动力成正比； 运动的变化与所加的动力成正比；并且发生在这个动 力所沿的直线的方向上。 力所沿的直线的方向上。 ▲第三定律（Third law）： 第三定律（ ）： 对于每一个作用，总有一个相等的反作用与之相反； 对于每一个作用，总有一个相等的反作用与之相反； 或者说，两个物体之间对各自对方的相互作用总是相 或者说， 等的，而且指向相反的方向。 等的，而且指向相反的方向。
解：取挡板和球为研究对象，由于作用 取挡板和球为研究对象，
时间很短，忽略重力影响。 时间很短，忽略重力影响。设挡板对球 的冲力为 F 则有： 则有：
v2 30o 45o v1 n
I = ∫ F ⋅ dt = mv2 − mv1
取坐标系，将上式投影， 取坐标系，将上式投影，有：
I x = ∫ Fxdt = mv2 cos 30o − (−mv1 cos 45o ) = Fx∆t
I y = ∫ Fydt = mv2 sin 30o −mv1 sin 45o = Fy∆t
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∆t = 0.01s v1 =10m v2 = 20m m = 2.5g /s /s
Fx = 6.1N Fy = 0.7N
F = F + F = 6.14N
2 x
2 y
I x = 0.061Ns
tanα = Iy Ix
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例2：潮汐（tide）与惯性力 ：潮汐（ ）
潮汐为引力梯度引起的。 潮汐为引力梯度引起的。
D 惯性离心力 A · v · C ·B 指向 a0 地心 引力 · E
飞船
·
· D
A·
· C ·B
E
·
引力分布不均匀 有引力梯度） （有引力梯度） 地球
引力不能完全被 惯性离心力抵消 地球
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月 地球 亮
m
光滑
a
S′ m a
光滑
静止 a （ 对 S ′）
S ： 牛顿定律成立 以地面为参考系
S ′：牛顿定律不成立 以盘为参考系
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一个加速运动的参考系不是惯性系，称为非惯性系。 一个加速运动的参考系不是惯性系，称为非惯性系。在 非惯性系中，牛顿定律不成立。但是， 非惯性系中，牛顿定律不成立。但是， ▲有些问题需要在非惯性系中研究，例如： 有些问题需要在非惯性系中研究，例如： a ≈ 3.4×10−2 m s2 地面参考系， 地面参考系，自转加速度 地心参考系， 地心参考系，公转加速度 太阳参考系， 太阳参考系，绕银河系加速度