信号与系统第三章

分别画出门 函数的幅度 谱和相位谱

门函数及其频谱图形如下：
2、单边指数函数

单边指数函数定义为： 其频谱为：

振幅频谱和相位频谱分别为：
3、双边指数函数

其定义为： 或者 其频谱函数如下：

双边指数函数及其频谱图形：
4、冲激函数


频谱： 即单位冲激 函数的频 谱 是常数1。其频谱密度在 区间处处相等。 冲激偶的频谱函数为பைடு நூலகம்:


特别指出：只有当周期信号满足狄里赫利条件时， 才能展开成傅立叶级数。通常遇到的周期信号都满 足这一条件。
1. 傅立叶级数展开式

设周期函数f(t)的周期为T，角频率 2f 2 / T 其三角形式傅立叶级数为 式中an ,bn称为傅立叶系数。
，

其傅立叶级数展开可合并为 式中 2 2
t2
t1
t1
1

常用的完备正交函数集(在(t0 , t0+T)内组成 )：
三角函数集 复指数函数集
3.1.2 信号的正交分解

1、任何信号f(t)可分解为完备正交函数的线性组合
设有函数集
在区间(t1 , t2) 构成一个完备正
交函数空间，则任一函数f(t)在区间 (t1 , t2)可分解为这些 完备正交函数的线性组合，即



一般情况下，描述信号的特点要画出幅度频谱和相位频 谱两个图；在复振幅为实函数的特殊情况下，两个图可 以合成为一个平面图形。
3.3.2 周期信号频谱的特点

离散性：由不连续谱线组成；


谐波性：谱线只出现在基波频率的整数倍上；
收敛性：谱线幅度总体上随频率的增大而衰减。 周期矩形脉冲信号的频谱结构与脉冲宽度及信号周期 T有着必然的联系. T为定值，随的减小，第一个包络零点增大，但各谐 波的振幅同时减小；

所以： 同理
5、单位直流信号

定义：f(t)=1 F 频谱： [1] lim F[e
a 0
a|t |
]
2a ] 2 2 a 0 a 0, 0 , 0 lim [

它是一个以为自变量的冲激函数，其强度为：


试将图中的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。 解:分解信号可得傅里叶系数
例 题
将它们代入定义的傅里叶展开式可得
3. 傅里叶系数与波形对称性的关系

f(t)为偶函数—纵轴对称 此时， f(t) = f(-t)

f(t)为奇函数—原点对称 此时， f(t) = - f(-t)
4. 函数f(t)的奇偶分解
1.
2. 为定值，第一个包络零点为一定值，随T的增大，谱 线变密，各谐波的振幅同时减小；
3.3.3 周期信号的功率
周期信号是功率信号。为了方便，研究周期信号在1 电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。对于 实函数周期信号f(t)，无论是电压信号还是电流信号，
1 T 2 其平均功率为： 2T f (t )dt P T 2
1. 函数正交：若有定义在 区间(t1,t2)两个函数f1(t)和 f2(t), 满足 f (t ) f (t )dt 0 ,则称f1(t)和 f2(t)在区间(t1,t2)内正交。
t2 t1 1 * 2
2. 正交函数集：设有n个函数f1(t)、f2(t)、…、fn(t)构成一个函数 集，且这些函数在区间(t1,t2)内满足 f (t ) f (t )dt 0, 0, ii jj K 为常数 K 则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集。
b A0 a0 , An an bn , n arctan n , n 1,2, a n

傅立叶系数之间的关系及其傅立叶系数的奇、偶性 an, An是n(或n)的偶函数，即 bn, n是n(或n)的奇函数，即
2. 周期信号傅立叶级数的含义
任何满足狄里赫利条件的周期信号可分解为直流和许多 余弦（或正弦）分量。 其中第一项A0/2为常数项，它是周期信号中所包含的直流 分量；式中第二项 称为基波或一次谐波， 它的角频率和原周期信号相同，A1是基波振幅， 1是基 波初相角；式中第三项 称为二次谐波，它的 频率是基波频率的二倍，A2 是二次谐波振幅，2 是其初 相角。依次类推，还有三次、四次、……等谐波。一般 而言， 称 为n次谐波，An是n次谐波振幅， n是其初相角。
3.4.1 3.4.2 3.4.3

3.4.1 傅里叶变换(概念)
函数f(t)的傅立叶变换(积分)： 函数F(j)的傅立叶逆变换(或反变换)： 用符号简记为： 或 F(j)称为f(t)的频谱密度函数，简称频谱。 而f(t)称为F(j)的原函数。 函数f(t)的傅立叶变换存在的充分条件(并非必要条件)： f(t)在无限区间内绝对可积，即
3.2.1 3.2.2

三角形式的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数
3.2.1 三角形式的傅里叶级数

周期信号f(t)在区间(t0 , t0+T) 可以展开成完备正交函 数空间的无穷级数。
如果完备正交函数集为三角函数集或指数函数集， 则周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角形 式傅立叶级数”或“指数形式傅立叶级数”。统称 傅立叶级数。
式中，cj为加权系数(傅里叶系数)，且有
Cj

t2
t1
f (t ) *j (t )dt
t2

2、帕斯瓦尔(Parseval)方程(能量守恒)

t1
j (t ) dt
2

t2
t1
f (t ) dt C 2 j (t ) dt j
2 t2 2 j 1 t1

返
3.2 周期信号的傅里叶级数
注意：An为各正弦分量幅值；An / 2 为其有效值。
因而上式右端第一项为直流分量的功率；
第二项为各次谐波分量功率之和。
公式表明：实函数周期信号f(t)的功率等于其傅立叶级
数展开式中各分量功率之和。该等式称为帕斯瓦尔恒 等式。
返
3.4
非周期信号的连续时间 傅里叶变换
傅里叶变换 非周期信号的频谱函数 典型信号的傅里叶变换
图(d)是f(t)的奇部，由奇部公式得 考虑到 则 综合以上两部分，可得图(a)的傅里叶级数为 ，
3.2.2 指数形式的傅里叶级数

周期为T的信号，还可展成指数形式的傅立叶级数。 式中系数Fn（ ）称为复傅立叶
系数，简称傅立叶系数，其模为 |Fn |，相角为n 。

周期信号f(t)的指数形式傅立叶级数可以改写为三角形 式傅立叶级数，即： 三角形式傅立叶级数和指数形式傅立叶级数虽然形式不 同，但实际上它们都是属于同一性质的级数，即都是将 一信号表示为直流分量和各次谐波分量之和。
3.0

引言
信号的(t)及(t)分解是信号分析所需，对求解连续信号 通过LTI系统的零状态响应带来方便。 利用外加信号与LTI系统的单位冲激响应的卷积，即可求 得LTI系统的零状态响应。


LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过 对LTI系统h(t)的研究就可分析LTI系统的特性。

傅立叶系数之间的关系
|Fn|是n的偶函数
n是n的奇函数
an是n的偶函数
b n是n的奇函数
An是n的偶函数 以上表达式中，An 和 n都是n(n)的函数，他们分别 表示组成f(t)的第n次谐波分量的振幅和初相位。
返
3.3
3.3.1 3.3.2 3.3.3

周期信号的频谱
周期信号的频谱 周期信号频谱的特点 周期信号的功率
（7）理解抽样信号的概念，掌握时域抽样定理。
（8）熟练掌握连续系统的频域分析方法。 （9）了解理想低通滤波器及传输特性和信号传输的不失真条件。
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3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
引言 信号的正交分解 周期信号的连续时间傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的连续时间傅里叶变换 傅里叶变换的性质 周期信号的傅里叶变换 连续信号的抽样定理 连续系统的频域分析

当f(t)=f(-t)时，则F()是的实偶函数。即 当f(t)=-f(t)时，则F()是的虚奇函数。即
3.4.3 典型信号的傅里叶变换

门函数（或称矩形脉冲）


单边指数函数
双边指数函数 冲激函数 单位直流信号 符号函数
阶跃函数
1、门函数（或称矩形脉冲）

门函数可定义为 其频谱如下：
注意：在f(t)的展开式中 • an与a0由fev(t)决定； • bn由fod(t)决定。

试将图(a)的锯齿波信号展开为傅里叶级数。
1/2
例
题
将f(t)分为奇、偶部分计算，可做出f(-t)波形如图(b)。 根据求奇、偶部的公式，可求得偶部fev(t)、奇部fod(t) 的波形如图(c)、(d)所示。 由图(c)所见，f(t)的偶部是幅度为1/2的直流分量， 故有a0/2=1/2，且
第 3 章
连续信号与系统的频域分析
主要内容（9点）
（1）了解信号的正交分解。 （2）掌握周期信号的频谱及其特点。 （3）掌握非周期信号的傅氏变换的定义及典型信号的傅立叶变换。 （4）熟练掌握傅里叶变换的主要性质。 （5）理解信号的能量、频宽等概念。 （6）掌握周期信号傅立叶变换求法及傅氏系数与傅氏变换的关系。
t2 t1 1 * 2 i i
3. 完备的正交函数集：若在正交函数{f1(t)、f2(t)、…、fn(t)}之外， 0 g (t )dt f (t) g * (t)dt 0, (i 1,2,, n) 不存在函数g(t) ( )满足等式 则此函数集称为完备正交函数集。