2019高考数学大二轮复习专题2函数与导数第2讲综合大题部分增分强化练文

309教育网

309教育资源库 第2讲 综合大题部分

1．(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝a e x

－x －a ，e ＝2.718 28…是自然对数的底数． (1)讨论函数f (x )的单调性；

(2)若f (x )恰有2个零点，求实数a 的取值范围．

解析：(1)f ′(x )＝a e x

－1，

当a ≤0时，f ′(x )＝a e x －1<0，

所以x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减；

当a >0时，由f ′(x )＝a e x －1＝0，得x ＝－ln a ，

所以x ∈(－∞，－ln a )，f ′(x )<0， f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，

x ∈(－ln a ，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )在(－ln a ，＋∞)上单调递增．

(2)由题(1)知，当a ≤0时，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减；

又知f (0)＝0，所以f (x )仅有1个零点；

当0

取f (－2ln a )＝1a

＋2ln a －a ， 再令函数g (a )＝1a ＋2ln a －a ，

得g ′(a )＝－a －2a 2

<0，所以g (a )>g (1)＝0， 所以f (－2ln a )＝1a ＋2ln a －a >0，

得f (x )在(－ln a ，－2ln a )上也有1个零点

当a ＝1时，f (x )≥f (0)＝0，

所以f (x )仅有1个零点，

当a >1时，f (0)＝0，所以f (－ln a )<0，

令函数h (a )＝a －ln a ，a >1，得h ′(a )＝1－1a

>0， 所以h (a )>h (1)>0，所以a >ln a ，∴－a <－ln a ，

取f (－a )＝a e －a >0，得f (x )在(－a ，－ln a )上也有1个零点

综上可知，若f (x )恰有2个零点，

则a ∈(0,1)∪(1，＋∞)．

2．(2018·高考北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x

.