现代数字信号处理作业

2.谱线增强问题：设 x( n) x1 ( n) x2 ( n), x1 ( n) 是窄带信号，定义
x1 (n) sin(0.05 n ), 是在 [0, 2 ] 区间上均匀分布的随机相位。 x2 (n) 是寬带信号，
它是一个零均值、方差为1的白噪音信号e(n)激励一个线性滤波器而产生，其差分方程为
Using power spectral plots of f ( n), 1 ( n) and whereas
1 (n) and 2 (n) behave as low-pass process. Explain the reason for this phenomenon.
d) Compute the ensemble average learning curve of the LMS filter by averaging Leabharlann Baiduhe square value of the prediction error f(n) over an ensemble of 100 different realization of the filter. Calculate the time constant and residual power according to the experiment results and compare with the corresponded theoretical values.
可得

(10 40)

[a2 (40) a2 ()]
a 2 30
综上，实验所得的收敛时间在理论计算的范围之内。 3)： f ( n) ， 1 ( n) ， 2 (n) 的功率谱如下图所示：
由上图可以看出， f ( n) 具有白噪声特性，而 1 ( n) 和 2 (n) 具有低通特性。这是因 为LMS滤波器的
数字信号处理Ⅱ作业
李锐-SA13023005
作业1 1. 系统辨识问题：Consider an AR process x(n) defined by the difference equation
x(n) a1 x(n 1) a2 x(n 2) v(n)
where v(n) is an additive white noise of zero mean and variance
解：1)：设x(n)的模型 x(n)的自相关
x(n) ak x(n k ) v(n)
k 1
2
Rxx (m) E{x(n) x(n m)}
E{x(n)[ ak x(n m k ) v(n m)]}
k 1 2
E[ x(n)v(n m)] ak Rxx (m k )
其中：
h ( n) H ( n) 0 h1 (n)
x ( n) X ( n) x(n 1)
0.05
迭代计算100次取平均，得到如下结果：
输入信号 x( n) 的自相关函数为
0.5 r (0) rx (1) 1 Rx x 1 rx (1) rx (0) 0.5
J () J min (1

2
2 N x )
T 1 将 J min R (0) H opt ryx ， H opt Rxx ryx ， Rxx
rx (0) rx (1) rx (1) ， ryx ，N 2， rx (1) rx (0) rx (2)
a1 (3) a1 () e
可得

(35)

[a1 (5) a1 ()]
a1 13.7
根据实验结果计算 a2 曲线的收敛时间：由图可见 a2 () 0.7200 ，任选两点
a2 (10) 0.1184 ， a2 (40) 0.4923 ，则由公式
a2 (10) a2 () e
x2 (n) e(n) 2e(n 1) e(n 2) 。
提示：参考chaper1.1pdf第22页的内容 1） 计算 x1 ( n) 和 x2 ( n) 各自的自相关函数，并画出自相关函数图形。根据此选择合适 的延时D，以实现谱线增强。 2） 产生一个 x( n) 序列，然后选择合适的 值，让 x( n) 通过谱线增强器。画出输出信
E k (n) (1 k ) n E k (0) 系数 a1 (n) 和 a2 (n) 很快收敛到最优
值 a1 和 a2 ，故预测误差 f ( n) 趋近于高斯白噪声 v( n) ，从而具有白噪声的特性。在LMS滤 波器稳定性的分析中，有如下公式
(n) QT [ H (n) H opt ]
k (n) 是 hi (n) 的线性组合，因此 hi (n) 具有低通特性，从而 1 (n) 和 2 (n) 具有低通特性
。 4) LMS预测器的学习曲线如下图所示：
由LMS算法性能分析可得，理论上均方收敛的时间为
e
均方收敛后的误差为：
1 2

1 2
2 x

1 10 2*0.05*1
k 1
2
当阶数及自相关函数已知时，AR模型的参数估计问题就是YulerWalker方程的求解问题。A R模型的YulerWalker方程利用自相关函数的对称性，写成矩阵形式
R (1) R (k ) 1 2 R (0) R (1) R (0) R (k 1) a1 0 R (0) ak 0 R (k) R (k 1)
x1(n)和x2(n)的自相关函数的图形如下所示：
由上图可见，当延时 D 3 时，就可以保证LMS滤波器参考信号中的宽带信号成分与 输入信号中的宽带信号成分不相关，而两者中的窄带信号成分仍然保持一定的相关性，因 此通过LMS滤波后能够有效地起到谱线增强的作用。 2) 由前面计算可知 x1 ( n) 的平均功率为 rx1 (0) 0.5 ，而 x2 ( n) 的平均功率为 rx 2 (0) 6 ，可见 噪声功率比正弦信号的功率强得多。为了实现谱线增强，需要合理选择滤波器阶数N和迭 代步长 ，N和 共同影响滤波器的收敛速度和收敛精度。 滤波器阶数N的选择：因为噪声功率比正弦信号的功率强，当N较小时，误差信号
( n) f ( n) x ( n) x
And the two tap-weight errors
1 (n) a1 h1 (n) and 2 (n) a2 h2 (n)
2 (n) , show that f(n) behaves as white noise,
2)：根据LMS算法计算滤波器系数的迭代收敛过程，参考信号为
x(n) a1 x(n 1) a2 x(n 2) v(n)
LMS算法为：
e(n 1) x(n 1) H T (n) X (n) H (n 1) H (n) e(n 1) X (n)
v2 .The AR parameters a1 and
a2 are both real valued:
2 v
a1 0.1 a2 0.8
such that the AR process x(n) has unit a) Calculate the noise variance variance . Then , generate different realization of the process x (n). b) Given the input x (n), an LMS filter of length M = 2 is used to estimate the unknown AR parameters a1 and a2 (assume that a1 and a2 are unknown). The step size
(n) 和误差信号e(n)的波形，并分别与 x1 (n) 和 x2 (n) 比较。 号y
解：1)计算x1(n)和x2(n)的自相关函数： ① rx1 ( k ) 的自相关函数为
rx1 (k ) E[ x1 (n) x1 (n k )] E[sin(0.05 n ) sin(0.05 (n k ) )] 1 E{cos[0.05 (2n k ) 2 ] cos(0.05 k )} 2 0.5cos(0.05 k )
is assigned the
value 0.05. Compute and plot the ensemble average curve of a1 and a2 by averaging the value of parameters a1 and a2 over an ensemble of 100 different realization of the filter. Calculate the time constant according to the experiment results and compare with the corresponded theoretical value. c) For one realization of the LMS filter, compute the prediction error
x2 rx (0) 代入上式，得到理论上的均方收敛误差为： J () 0.2842
因为即使100次平均后 J () 的波动还是较大，无法直接看出收敛后的均值，将 J ()
收敛后的几百个点取平均，近似求得： J () 0.2830 在上图的曲线中取 J (15) 0.5197 ， J (47) 0.2955 ， J () 0.2833 ， 则由公式： J (15) J () e
② rx 2 ( k ) 的自相关函数为
rx 2 (k ) E[ x2 (n) x2 (n k )] E{[e(n) 2e(n 1) e(n 2)][e(n k ) 2e(n k 1) e(n k 2)]} (k 2) 4 (k 1) 6 (k ) 4 (k 1) (k 2)
(15 47)

[ J (47) J ()]
可得： 10
综上所述，实验所得的均方收敛时间和均方收敛误差和理论值基本吻合。由于超量误 差 J ex J () J min ，而 J min 0.2700 ，因此可得理论上的超量误差为 J ex 0.0142 ，实 验中的超量误差为 J ex 0.0133 。
由 det[ Rx I 2 ] 0 可得 Rx 的特征值为 由公式 k
1 0.5 2 1.5
13.3 a 40
1
k
得，理论上均值收敛时间为
根据实验结果计算 a1 曲线的收敛时间：由图可见 a1 () 0.0760 ，任选两点
a1 (3) 0.0031 ， a1 (5) 0.0128 ，则由公式
对上式做离散时间傅里叶变换可得： S ()
E k (0) 1 (1 k )e j
S ()
2
E 2 k (0) 1 (1 k ) 2 2(1 k ) cos
T
上式具有低通特性，即 E k ( n) 具有低通特性，由 ( n) Q [ H ( n) H opt ] 可知，
其中： a1 0.1 ， a2 0.8 ， R (0) x 1
2
从而可解得 R (1) 0.5 ， R (2) 0.85 ， v 0.27
2
因此v(n)是一个均值为0，方差为0.27的高斯白噪声。利用matlab仿真： a1=0.1; a2=-0.8; %置AR过程中a1,a2的系数值 N=500; % 递推计算的次数 x(n)过程的两次实现如下图所示：