高三数学专题复习：三角形中的三角函数

1(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)在平面直角坐标系xoy 中已知

△ABC 的顶点A(－6，0) 和C(6，0)，顶点B 在双曲线2212511

x y -=的左支上，sin sin sin A C B 则-= 答案：56

2(北京市东城区2008年高三综合练习二)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =3b sin A ，

则cos B = . 答案：

3

22 3(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)如图，测量河对岸的塔高

AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得∠BCD ＝

15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°, 则, 塔高AB= 米。

2, 15 6

42008年高三年级第一次调研考试)在ABC ∆中，a 、b 分别

为角A 、B 的对边，若60B =︒，75C =︒，8a =，则边b 的长等于 ．

答案：4 6

5、(广东省深圳外国语学校2008届

第三次质检)在的面积则中，若ABC BC AB A ABC ∆===∠∆,7,5,1200＝

； 答案：4

315 6(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)在△ABC 中，A=120°，AB=5，BC=7，则C B sin sin 的值为 。

答案：5

3 7(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若

4,222=⋅+=+bc a c b 且，则△ABC 的面积等于 。

答案：4 3

8(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)有一解三角形的题因纸张破损，有一条件不清，且具

体如下：在ABC ∆中，已知45a B ==，____________，求角A . 经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A =60°，试将条件补充完整.

答案：c = 9(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最小边长与最大

边长的比值为m ，则m 的取值范围是 ．

答案：(0,12

) 10(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知△ABC 三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，

如果b ＝m （m ∈N*），则这样的三角形共有 ▲ 个（用m 表示）．

答案：(1)2

m m +

11、(江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)在∆ABC 中,60A ︒∠=,3AC =,那么BC 的长度为 ▲ ．

答案：7

12(山西省实验中学2007—2008学年度高三年级第四次月考)在△ABC 中，C B A c b a b A s i n s i n s i n ,3,1,60++++==则

面积是 等于 。 答案：3

392 13(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)已知c b a ,,是锐角ABC ∆中C B A ∠∠∠,,的对边，若,4,3==b a ABC ∆的面积为33，则=c 答案：13

14(北京市东城区2008年高三综合练习一）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且

.cos cos 3cos B c B a C b -=

（I ）求cos B 的值；

（II ）若2=⋅，且22=b ，求c a 和b 的值.

解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，

,

0sin .cos sin 3sin ,

cos sin 3)sin(,

cos sin 3cos sin cos sin ,

cos sin cos sin 3cos sin ,

cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则 因此.3

1cos =B …………6分

（II ）解：由2cos ,2==⋅B a BC BA 可得， ,

,0)(,

12,cos 2,6,3

1cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又

所以a ＝c ＝ 6

15(东北区三省四市2008年第一次联合考试)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，C ＝2A ，4

3cos =A ， （1）求B C cos ,cos 的值；

（2）若2

27=⋅，求边AC 的长。 本小题考查和角倍角公式以及正弦、余弦定理 解：（1）81116921cos 22cos cos 2=-⨯

=-==A A C 4

7sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由 ()16

9814387347cos cos sin sin cos cos =⨯-⨯=-=+-=∴C A C A C A B （2）24,2

27cos ,227=∴=∴=⋅ac B ac ①

又a A a c A C C c A a 2

3cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4，c=6 2516

9483616cos 2222=⨯-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ，即AC 边的长为5.

16、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，，

22

sin 2sin

=++C B A ． I ．试判断△ABC 的形状；

II ．若△ABC 的周长为16，求面积的最大值． 解：Ⅰ、)4

2sin(22sin 2cos 2sin 2sin ππ+=+=+-C C C C C 2242πππ==+∴C C 即，所以此三角形为直角三角形. Ⅱ．ab ab b a b a 221622+≥+++=，2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号， 此时面积的最大值为()

24632-．

17(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)

在△ABC 中，已知35=BC ，外接圆半径为5.

（Ⅰ）求∠A 的大小； （Ⅱ）若ABC ∆=

⋅，求2

11的周长. 解：（Ⅰ）由正弦定理，︒︒=∠=∴⨯=12060,2

3sin ,52sin 35或A A A ……4分 （Ⅱ）∵11,2

1160cos ,60,211==︒︒=∠∴=⋅bc bc A AC AB …………6分 由余弦定理，108)(,3)(752222=+∴-+=-+=c b bc c b bc c b ……8分 3113536=+=++c b a

18、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且.2

72c o s 2s i n

42=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积.

解：(1) ∵A+B+C=180° 由2

72cos 2cos 4272cos 2sin 422

=-=-+C C C B A 得 …………1分 ∴2

7)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ………………3分 整理，得01cos 4cos 42=+-C C …………4分

解 得：2

1cos =C ……5分 ∵︒<<︒1800C ∴C=60° ………………6分 （2）解：由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2

－ab …………7分

∴ab b a 3)(72-+= ………………8分

由条件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分

ab=6……10分