【冀教版】初二数学上册《专训1 利用勾股定理巧解折叠问题》

专训1利用勾股定理巧解折叠问题

名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题的关键是巧用轴对称及全等的性质探索折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题．

巧用全等法求折叠中线段的长

1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′.

(1)如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE的长；

(2)如图②，如果点B′落在AC的中点上，求CE的长．

(第1题)

巧用对称法求折叠中图形的面积

2．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．

(1)求证：B′E＝BF；

(2)若AE＝3，AB＝4，求四边形ABFE的面积．

(第2题)

巧用方程思想求折叠中线段的长

3．【中考·广东】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE 沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，且AG平分∠BAF.

(1)求证：△ABG≌△AFG；

(2)求BG的长．

(第3题)

巧用折叠探究线段之间的数量关系

4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.

(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF；

(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出a，b，c三者之间的数量关系式．【导学号：42282076】

(第4题)

答案

1．解：(1)设CE ＝x ，则BE ＝8－x ，

由折叠知△EBD ≌△EAD ，

∴AE ＝BE ＝8－x ，

由勾股定理得：x 2＋62＝(8－x)2.

解得x ＝74

. 即CE 的长为74

. (2)∵点B′落在AC 的中点上，

∴CB′＝12

AC ＝3. 设CE ＝y ，类比(1)中的解法，可列出方程：y 2＋32＝(8－y)2

解得y ＝5516

. 即CE 的长为5516

. 2．(1)证明：∵在长方形ABCD 中，

AD ∥BC ，

∴∠B′EF ＝∠EFB ，

又∵∠B′FE ＝∠EFB ，

∴∠B′FE ＝∠B′EF ，

∴B′E ＝B′F ，

又∵BF 与B′F 关于直线EF 成轴对称，∴BF ＝B′F ，

∴B′E ＝BF.

(2)解：在直角三角形A′B′E 中，A′B′＝AB ＝4，A′E ＝AE ＝3，

∴B′E 2＝A′B′2＋A′E 2＝42＋32＝25，∴B′E ＝5.

∴BF ＝B′E ＝5.∴S 四边形ABFE ＝12

×(3＋5)×4＝16. 3．(1)证明：在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ＝CD ，∠D ＝∠B ＝∠C ＝90°. 因为将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，

所以AD ＝AF ，DE ＝FE ，

∠D ＝∠AFE ＝90°.

所以AB ＝AF ，∠B ＝∠AFG ＝90°.

又因为AG 平分∠BAF ，

所以∠BAG ＝∠FAG .

所以△ABG≌△AFG(ASA)．

(2)解：因为△ABG≌△AFG，

所以BG＝FG.

设BG＝FG＝x，则GC＝6－x.

因为E为CD的中点，

所以CE＝EF＝DE＝3.

所以EG＝3＋x.

所以在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.所以BG＝2.

4．(1)证明：由题意知，AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE.又因为四边形ABCD是长方形，所以AD∥BC.

所以∠AEF＝∠CFE.

所以∠AFE＝∠AEF.所以AE＝AF.

所以AE＝AF＝CE＝CF.

(2)解：由题意知，AE＝CE＝a，ED＝b，DC＝c.由∠D＝90°知ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.