多元函数积分学复习

L : y x, x : 0 1 ,
1 0
I (1 2x 2 x 2 ) (x x) 2 d x
x 2
Q e x cos y x ，由格林公式
x
原式 (e sin y 3 y x )dx (e cos y x)dy
x 2 l

2
y
[
D
Q P ]dxdy x y
x
=
[(e
D D
3
x
o
3
x
cos y 1) (e cos y 3]dxdy
1
高等数学下册复习提要
张祥芝
x y, x y 及 x 0, x 1 围成.
现将 D 看作 X 型区域，
y
1
x2 y x D: ， 0 x 1
于是，
yx
y x2
d y
0
1
y y
1 x sin x 1 sin x sin x d x d x 2 dy ( x x2 ) d x x 0 0 x x x
曲面 : z
I z ( x 2 y 2 ) d S 2 ( x 2 y 2 ) d x d y
Dxy
2 . 2
练 1. 计算 练 2. 计算 的交线. 练 3. 计算 练 4. 计算
(2 x
L L
2
3 y 2 ) d s ，其中 L : x 2 y 2 2( x y ) .
=
2dxdy = 2 2 3 2 = 6 .
1
例 2. 计算 I
(1 2xy y
L 2
2
) d x (x y) 2 d y ,其中 L 是从原点沿直线 y x 到点 (1,1)
2
的一段弧. 若 (1 2xy y ) d x (x y) d y 是某个函数的全微分, 求出一个这样的函数. 解
o
1
1
x
1 sin x d x x sin x d x cos x |1 0 x cos x |0 cos xdx 1 sin1 . 0 0 0
1
1
例 3. 求
(
D
x 2 y 2 y ) d x d y ，其中 D 是由圆
y
D1
o x
x 2 y 2 4 和 ( x 1) 2 y 2 1 所围成的平面区域.
64
d z d
0
r 3 d r 2560 .
练 1. 计算
z

2
2 2 2 2 2 2 2 其中 是由 x y z R 与 x y z 2 Rz 所围 d xd yd z ，
的公共部分 ( R 0) .
3
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张祥芝
练 2. 计算

x (t ) 2 y (t ) 2 dt ;
4.将曲线积分转化为参数的定积分. 5.在计算过程中注意被积函数是否有奇偶性,积分曲线是否有对称性,以便简化计算. 解 方法一 利用曲线的参数方程转化为定积分.
x 2 cos t , L: t [0, ] ,所以 2 sin , y t
析 计算三重积分的步骤一般为: 1.画出积分区域图; 2.根据被积函数及积分区域的类型确定坐标系(直角坐标、柱坐标、球坐标).如果区域 是由上下两个曲面,侧面是柱面围成,一般用投影法(也叫先一后二法)计算;如果被积函数只 含有一个变量,且垂直相应坐标轴的截面面积易求的,可以选用截面法(也叫先二后一法);如 果被积函数含有两个变量的平方和且相应的投影区域是圆域或圆域的一部分可以选用柱坐 标;如果被积函数是三个变量的平方和,且积分区域是球面或锥面围成,可以选用球坐标. 3.确定积分变量的上下限. 4.计算各层积分. 解 先求曲面与平面的交线在 XOY 面的投影,联立
D1 D2
2

d r
0 0
2
2
dr
3 2
d
0 2
2cos
r2 d r

所以，I =
16 (3 2). 9
16 (3 2) . 9 x 练 1. 计算 dxdy ，其中 D 为由 xy 2, y 2 x,2 y x 0 所围成的第一象限部分． y D
f ( x 2 y 2 ) 及积分区域为圆域时经常用极坐标. 有时用直角坐标函数积不出也可采用极坐
标. 解 如果将 D 视为 X—型域，应先对 y 积分，则需将 D 分 为两部分，所以将 D 视为 Y—型域，先对 x 积分.
y 4
o 2
y x4
y2 2x
y2 x y4 D: 2 2 y 4
析 1) 这节的题目类型有:封闭曲线积分直接应用格林公式,积分与路径无关取新路径, 求积分表达式的原函数,两类曲线积分的转化等. 2) 遇到第二类曲线的积分的题目,首选格林公式. 3) 当积分曲线不是封闭曲线时,可添加辅助线使成为封闭的. 4) 若被积函数在曲线所围的区域里有奇点时,不可使用格林公式.这时,一般用曲线的 参数方程转化为定积分计算.有些情况也可做辅助线将奇点包围,然后在多连通区域上使用 格林公式. 5) 注意检查积分曲线的封闭性,被积函数的解析性,二重积分的正负号,函数 P, Q 的次 序以及其偏导数. 解 P e sin y 3 y x ,
3. 第一类曲线与第一类曲面积分
例 1. 计算
(x x
L
2
y 2 ) d s ,其中 L 是半圆周 y 4 x 2 .
析 此题考察第一类曲线积分的计算方法,其计算步骤如下: 1.画出积分曲线; 2.写出积分曲线的参数方程及参数的变换范围; 3.求出弧微分 ds
dx 2 dy 2
例 2. 计算 解 因
4

1
0
d y
y y
sin x d x. x

y y
sin x 故无法计算.通过交换积分次序来改变这 d x 不能用初等函数形式表达出来， x
种状况，所 给的二次积 分是将 D 视为 Y 型区域，即 D :
y x y ，可见 D 是由 0 y 1
z x2 y2 a2 ， 2 z 2x a
解得
z
( x 1) 2 y 2 1 .
所以积分区域在坐标面 XOY 上的投影为
Dxy ( x, y ) ( x 1) 2 y 2 1 .
那么，


a2
1
x
y
V d x d y d z d x d y
L L L
例 2. 求面密度为 1 的锥面 z 解

x 2 y 2 （ 0 z 1) ）对 z 轴的转动惯量.
I z ( x 2 y 2 ) d S ( x 2 y 2 ) d S ，
2 2 x y , D xy : x y 2 1 ， d S 1 z x zy d x d y 2 d xdy 2 2 2
于是
y 4 2
x
xy d x d y
D
4
2
d y y2
x2 xy d x y d y 2 2 y2
4 2
y4
1 4 y5 1 y4 8 y6 2 y y 4 d y y 3 8 y 2 90 . 2 2 4 2 4 3 24 2
练 4. 计算

D
x 2 y 2 dxdy ，其中 D 为圆周 x 2 y 2 2 x 所围成的在区域.
2. 三重积分的计算
例 1. 设实数 a 0 ，求由曲面 z x y a 与平面 z 2 x a 围成的区域的体积.
2 2 2
2
2
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张祥芝
D2 解 将积分区域 D 表为大圆 D1= ( x, y ) x y 4 减去小圆 2 1
2 2
D2= ( x, y ) ( x 1) y 1 ，再利用对称性与极坐标变换即可。
2 2


由对称性
y d x d y 0 .
D

D
x 2 y 2 d x d y x 2 y 2 d x d y x 2 y 2 d x d y
z d x d y d z ，其中 是由 z

2 x 2 y 2 与 z x 2 y 2 所围的区域.
练 3. 计算 围.
( x

2
y 2 ) d x d y d z ，其中 是由 z x 2 y 2 与 z 1 x 2 y 2 所
1. 二重积分的计算
例 1ຫໍສະໝຸດ Baidu 计算
xy d x d y
D
,其中 D 为直线 y x 4 和抛物线 y 2 x 所围成的平面区域.
2
析 1）选择积分次序要考虑到两个因素：被积函数和积分区域，其原则是：要使二个积 分都能积分出来，且使计算尽量简单. 2）通过二重积分改变积分次序，其步骤是： 由所给二次积分，写出 D 的不等式表示，还原为积分区域 D ，最好画出 D 的图形，再 将 D 按照选定的次序重新表示为不等式形式，写出新次序的二次积分. 3）极坐标的选取一般根据积分区域和被积函数的情况来决定. 如果被积函数的形式为
z 64 所围成.
解 在 xOy 面内的投影域为环域 先二后一法计算：
z z x 2 y 2 ，且被积函数为 x 2 y 2 ，可采用 16 4
( x
64 0
2
y 2 ) d x d y d z d z r 2 r d r d
0 Dz 2 z 2 z 4
高等数学下册复习提要
张祥芝
高等数学下册复习(2)------多元函数积分学
本章知识点:
交换二重积分的积分次序（☆☆☆） 利用极坐标计算二重积分（☆☆☆） 先一后二或先二后一计算三重积分（☆☆☆☆） 利用球坐标计算三重积分（☆☆☆） 利用格林公式计算曲线积分（☆☆☆☆☆） 利用高斯公式计算曲面积分（☆☆☆☆☆） 第一类曲线、第一类曲面积分的计算（☆☆） 利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分（☆）

L
( x x 2 y 2 )ds (2 cos t 4) (2 sin t ) 2 (2 cos t ) 2 dt
0

2 (2 cos t 4)dt 8 .
0

方法二 利用对称性
(x x
L
2
y 2 ) d s x d s ( x 2 y 2 ) d s 0 4 d s 8 .
v Dxy 2 x a2
o
x2 y2 a2

dz
(2 x x 2 y 2 ) d x d y
Dxy
x 1 r cos t
y r sin t 2

d t (1 r
0 0
1
2
)r d r

2
.
例 2. 计算
( x

2
y 2 ) d x d y d z ，其中 是由 z 16( x 2 y 2 ) ， z 4( x 2 y 2 ) 和
2 y x e d ，其中 D 是由直线 y 1 及 y x 围成的区域.
2
练 2. 计算积分 练 3. 计 算
D
arctan x dxdy ， 其 中 D 为 圆 周 x
D
y
2
y2 4 和 x2 y2 1 及 直 线
y 0, y x 所围成的在第一象限的区域.
4
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张祥芝
4. 第二类曲线积分与格林公式
例 1. 计算 (e sin y 3 y x )dx (e cos y x)dy ，其中 l 为由点 A(3,0) 经椭圆
x 2 x l

x 3 cos t 的上半弧到点 B (3,0) 再沿直线回到 A 的路径． y 2 sin t
( xy yz xz) d s ，其中 L 为球面 x 2 y 2 z 2 1 与平面 x y z 0 ( x
S 2
y ) d S ，其中 S : x 2 y 2 a 2 ,0 z h, a 0 .

S
xyz d S ，其中 S : z x 2 y 2 ,0 z 1 .