相似多边形图形的位似

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北师大版九年级数学上册《位似图形》

的图形．
A
B
D
A'
B'
D' C
C'
O
探究
对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点O，分别在
OA、OB、OC、OD的反向延长线上取A' ，B' 、C' 、D' ，使得
OA' OB' OC' OD' 1 OA OB OC OD 2
呢？如果点O取在四边形ABCD内部呢？
分别画出这时得到的图形．
B'
B
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
A′(2,1) B′(2,0) A (6,3) B (6,0)
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,位似比为1:3,把线段AB缩小.
A′(2,1),B′(2,0) y
A〞(-2,-1),B〞(-2,0) A (6,3), B (6,0),
C'
O
D' B'
A'
A B
C
D
A
D
BO
C
位似变换的步骤
①确定位似中心，位似中心的位置可随意选择； ②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点； ③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小； ④符合要求的图形不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。
A'
B〞
o
B'
A〞
A
观察对应点之间的坐标
的变化,你有什x么发现?
B

25.7 相似多边形和图形的位似 - 第1课时课件(共19张PPT)

2.如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
3.如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x.
解：因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应角相等，由此可得α=∠C=83°， ∠A=∠E=118°.在四边形ABCD中，β=360°-(78°+83°+118°) = 81°.因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应边成比例，由此可得解得x=28.
6
45°
45°
135°
135°
问题3 对应边成比例的两个多边形是相似多边形吗？
对应边成比例的两个多边形，不一定相似
5
3
4.5
7.5
45°
60°
135°
135°
归纳总结
问题4 怎么样才能保证两个多边形相似呢？
对应角相等，对应边成比例.
一般地，如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做它们的相似比.
第二十五章图形的相似
25.7 相似多边形和图形的位似第1课时
学习目标
1.通过具体实例认识图形的相似，掌握识别相似图形的方法.2.掌握相似多边形的特征,会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似.3.运用相似多边形的性质进行相关计算.
重点
掌握相似多边形的定义及性质.
难点
运用相似多边形的性质进行相关计算.
例如图，五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，求C1D1的长和∠A的度数.
例题解析
由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
知识点3 相似多边形的性质
1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？

17.图形的位似—知识讲解

图形的位似--知识讲解【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.【要点梳理】要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.【典型例题】类型一、位似多边形1. 下列每组的两个图形不是位似图形的是（）.A. B. C. D.【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【答案】D【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．据此可得A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形；而D 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选D ．【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．举一反三【变式】在小孔成像问题中，根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的（）.A. 3倍B.21C.31D.不知AB 的长度，无法判断【答案】C2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝ OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′.这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5.则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧. 【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小. 举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．A 1B 1C 1D 1E 1 ABC DE【答案与解析】作法：（1）在AB 上任取一点G ′，作G ′D ′⊥BC；（2）以G ′D ′为边，在△ABC 内作一正方形D ′E ′F ′G ′；（3）连接BF ′，延长交AC 于F ；（4）作FG∥CB，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ； ∴四边形DEFG 即为所求．要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k (k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k |.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k 或-k.类型二、坐标系中的位似图形3.（2015•漳州）如图，在10×10的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，以点A 为位似中心画四边形AB ′C ′D ′，使它与四边形ABCD 位似，且相似比为2．（1）在图中画出四边形AB ′C ′D ′；（2）填空：△AC ′D ′是三角形．GFF'BCG'【思路点拨】（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．4.（2015•枣庄）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．【答案与解析】解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．故答案为：10．【总结升华】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？【答案】解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O•点按逆时针方向旋转180°得到的.图形的位似--巩固练习一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（）.A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（） .A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.（2015•营口）如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是（）A．（4，2）B．（4，1）C．（5，2）D．（5，1）5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）.A. AB：AC=AC：BCB. AC=512AB-C.AB=512AC+D.BC≈0.618AB7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD 上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）.A. 512-B.512+C.3D.2二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为__________.9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________________.13.（2015•钦州）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OA n B n C n的边长为正方形OABC边长的倒数，则n=．14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.（2014秋•海陵区校级月考）如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误．故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．2．【答案】D.3．【答案】C.4．【答案】C.【解析】设点B的坐标为（x，y），∵△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，∴=，=，解得x=5，y=2，所以，点B的坐标为（5，2）．故选C．5．【答案】B【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选B.6．【答案】D.【解析】∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=512AB-51AC+AC≈0.618AB．故选D．7.【答案】B.【解析】∵AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴EF AD FD AB=，111xx=-，解得11+5=2x ,21-5=2x ,（负值舍去），经检验11+5=2x 是原方程的解．故选B ．二、填空题8.【答案】50cm.9.【答案】2个；全等.10.【答案】1：2．【解析】∵五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′位似，OA=10cm ，OA ′=20cm ，∴五边形ABCDE ∽五边形A ′B ′C ′D ′E ′，且相似比为：OA ：OA ′=10：20=1：2， ∴五边形ABCDE 的周长与五边形A ′B ′C ′D ′E ′的周长的比为：OA ：OA ′=1：2．故答案为：1：2．11.【答案】 .【解析】由BC ∥DE 可得△ADE ∽△ABC ，所以，故.12.【答案】2:1.【解析】矩形ABCD 对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD ∽矩形BFEA ，设矩形的长为a ，宽为b ．则AB=CD=b ，AD=BC=a ，BF=AE=2a ，根据矩形相似，对应边的比相等得到：,BF EF AB BC 即：2=ab b a，则b 2=22a ∴22=2,a b∴2=1a b13. 【答案】16.【解析】由图形的变化规律可得×256=，解得n=16．14. 【答案】25-2.【解析】∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=72°，∴BC=BD=AD，∵D点是AC的黄金分割点，∴BC=AD=4×5-12=25-2.三．解答题15.【答案与解析】(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.又因为点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C 是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：因为△ADE和△ABC是位似图形，所以△ADE∽△ABC所以∠ADE=∠B所以DE∥BC.16.【答案与解析】解：（1）△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，理由：∵AB∥CD∥EF，∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，∴==，∴==，解得：EF=．17.【答案与解析】（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，∴S矩形ODEF=116S矩形ABCO=116×4×43=3；（2）存在．∵OE=2222312 OF OD+=+=所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，设点O到AC的距离为h，。

《相似多边形和图形的位似》

《相似多边形和图形的位似》汇报人：日期:•相似多边形的基本概念•相似多边形的判定方法•图形的位似变换目录•相似多边形与位似变换的关系•相似多边形和位似变换的应用举例•总结与展望01相似多边形的基本概念如果两个多边形的对应角相等，则它们是相似的。

对应角相等如果两个多边形的对应边成比例，则它们是相似的。

对应边成比例对应边成比例相似多边形的对应边成比例。

面积比等于相似比的平方相似多边形的面积比等于相似比的平方。

对应角相等相似多边形的对应角相等。

等边三角形矩形三边都相等的三角形。

四个角都是直角的四边形。

等腰三角形等腰梯形正方形两边相等的三角形，其中两边为腰，另一边为底。

有一组对边平行且另一组对边相等的四边形。

四边相等且四个角都是直角的四边形。

02相似多边形的判定方法平行线的性质是判定定理的基础，通过平行线的性质可以推导出相似多边形的判定定理。

平行线性质相似三角形的判定相似多边形的定义首先证明两个三角形相似，再利用相似三角形的性质推导出两个多边形相似。

根据相似多边形的定义，如果两个多边形的对应角相等，则它们相似。

030201判定定理可以应用于实际问题中，例如在建筑设计、工程绘图等领域中，需要利用相似多边形的性质进行计算和设计。

判定定理也可以应用于数学问题中，例如在几何证明、代数运算等领域中，可以利用相似多边形的性质进行证明和计算。

数学问题中的应用实际问题中的应用首先根据相似三角形的性质，证明两个三角形相似；然后利用相似三角形的性质，推导出两个多边形相似。

证明过程具体证明过程需要使用到平行线的性质、相似三角形的性质等知识点，通过逻辑推理和数学运算来证明判定定理的正确性。

03图形的位似变换如果一个图形经过某种变换后，其形状和大小保持不变，但各对应点间的相对位置关系发生了改变，那么这种变换称为位似变换。

定义位似变换保持了图形间的相对位置关系，但改变了图形的形状和大小。

位似变换的特性位似变换保持了图形间的相对位置关系，即图形中的点在变换后仍然保持它们之间的相对位置不变。

25.7 相似多边形和图形的位似 - 第2课时课件(共25张PPT)

知识点2 位似图形的性质
位似图形有哪些性质？
可以发现
对应顶点的直线都相交于位似中心.对应边互相平行或在同一条直线上.
例题示范
例1 如图，以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△ ,以下说法错误的是( )A.△ABC∽△ B.点C,O, 三点在同一直线上C.D.AB∥
创设情境
如图是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？连接图片上对应的点，你有什么发现？
探索新知
知识点1 位似图形的概念
一起探究
如图，已知△ABC及△ABC外的一点O.1.请你按如下步骤画出△A'B'C'.（1）画射线OA，OB，OC.（2）分别在OA，OB，OC上截取点A'，B'，C'，使OA'=2OA，OB'=2OB，OC'=2OC.（3）连接A'B'，A'C'，B'C'，得△A'B'C'.2.请你判断AB与A'B'、AC与A'C'、BC与B'C'的位置关系，并说明理由.3.△ABC与△A'B'C'相似吗？为什么？
例3 把四边形ABCD缩小到原来的1/2.
解：(1) 在四边形外任选一点 O (如图);(2) 分别在线段 OA,OB,OC,OD 上取点 A' ,B' , C' ,D' ,使得；(3) 顺次连接点 A' ,B' ,C' ,D' ，所得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形．
C
归纳

冀教版数学九上25.7《相似多边形和图形的位似》ppt课件(共27张PPT)

2．(3 分)下列各组图形中，不是位似图形的是(B )
3．(3 分)位似图形的位似中心可以在( D )
A．原图形外
B．原图形内
C．原图形的边上 D．以上三种都可以
4．(3 分)如图，以点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 放大后得
到五边形 A′B′C′D′E′，已知 OA＝10 cm，OA′＝20 cm，则五边形
A．46.8 cm2
B．48 cm2
C．24 cm2
D．54 cm2
6．(3分)一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和
它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边长为( B
)
A．12
B．18
C．24
D．30
7．(3 分)如图，矩形 ABCD 的面积是 72，AE＝12DC，EF＝12
AC∶AF＝2∶3，则下列结论不正确的是( B )
A．四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是相似图形 B．AD 与 AE 的比是 2∶3 C．四边形 ABCD 与四边形 AEFG 的周长比是 2∶3 D．四边形 ABCD 与四边形 AEFG 的面积比是 4∶9
7．(8 分)如图，△DEF 是△ABC 经过位似变换得到的，位似中心是点 O，确定点 O 的位置，如果 OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比．
AD，那么矩形 EBGF 的面积是( B )
A．24 C．12
B．18 D．9
8．(3 分)如图，六边形 ABCDEF∽六边形 GHIJKL，相似比为
2∶1，则下列结论正确的是( B )
A．∠E＝2∠K B．BC＝2HI C．六边形 ABCDEF 的周长＝六边形 GHIJKL 的周长 D．S 六边形 ABCDEF＝2S 六边形 GHIJKL

6相似多边形图形的放大与缩小,位似变换

相似多边形图形的放大与缩小，位似变换一、一周知识概述1、相似多边形对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫作相似比．2、相似多边形的性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例．性质：相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形面积的比等于相似比的平方．例如：如图所示，已知四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′，且．则：(1)∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′；(3)四边形ABCD 的周长︰四边形A′B′C′D′的周长=k ；(4)S 四边形ABCD ︰S 四边形A′B′C′D′=k 2．3、位似变换与位似图形取定一点O ，把图形上任意一点P 对应到射线OP(或它的反向延长线)上一点P′，使得线段OP′与OP 的比等于常数k(k>0)，点O 对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O 叫作位似中心，常数k 叫作位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形．两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形．4、以原点为位似中心的位似变换的性质在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．若原图形上的点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（－kx，－ky）．二、重难点知识1、相似多边形性质时应注意以下几点：①面积比=(相似比)2，当已知面积比求相似比时，要进行开方运算：相似比=；②面积比=．(2)相似多边形中，对应三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比；相似多边形中对应对角线的比等于相似比；相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．2、研究相似多边形的性质时遵从将复杂的问题转化为简单的问题的一般方法，即从三角形入手，将多边形问题转化为三角形问题来处理．3、位似图形的两个特征（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或重合．4、位似变换和位似图形的性质两个位似图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比．5、相似图形与位似图形的区别与联系：两个图形是相似图形，但不一定是位似图形；两个图形是位似图形，它们一定是相似图形．三、典型例题讲解例1、如图所示，在一块长和宽分别为a和b(a＞b)的长方形黑板的四周，镶上宽度为x(x≠)的木条，得到一个新的长方形。

25.7 相似多边形和图形的位似

做一做 △ABC的边长缩小到原来的一半.
连AO，并延长至A’，使
OA ' OA
1 2
B ‘
A’
连BO，并延长至B’，使
OB ' OB
1 2
C‘
连CO，并延长至C’，使 OC ' 1
OC 2
连接三个顶点就可以得到△A’B’C’.你能解释原因吗？
同时满足下面两个条件的两个图形才叫做位似图形．两条件缺一不可．
1．两图形相似． 2．每组对应点所在直线都经过同一点．
显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.
随堂练习
2. 一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为__1_8___ 。
3. 如图所示的两个矩形相似吗？为什么？
A 3D 2
E 1. H 15
F
G
B
C
解：矩形ABCD ∽ 矩形EFGH
因为它们的对应角相等，对应边的比也相等。
D1
在下列图形中，找出形状相同的图形。
相似多边形
定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫
做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做他们的相似比
D A
H E
F
GБайду номын сангаас
B
C
如图，记作:四边形ABCD∽四边形EFGH
注意字母的对应顺序
如图，四边形A1B1C1D1∽A2B2C2D2，相似比为k.
D1 A
A
D2
1
如图四边
形ABCD，
现要对其放大两倍，
A1
该如何操
作？
D

相似多边形不是位似多边形的例子

相似多边形不是位似多边形的例子
相似多边形是具有相似形状但不同大小的多边形。

相似多边形的边与角之间存
在一种比例关系，即对应角的度数相等，对应边的长度之比相等。

然而，存在一种例外情况，即相似多边形不同于位似多边形。

位似多边形是指
通过平移、旋转、翻转的方式将一个多边形变换到另一个位置上，但其形状和大小保持不变。

一个典型的例子是将一个平面上的正方形进行旋转后得到的多边形。

虽然旋转
后的多边形与原正方形具有相同的形状，但它们的大小却不相等。

因此，这两个多边形是相似而不是位似的。

值得注意的是，相似多边形和位似多边形的区别是基于尺度的变化。

相似多边
形的比例因子可以是任意非零实数，但位似多边形的变换只包括平移、旋转和翻转，不涉及尺度的变化。

总而言之，相似多边形并非例外情况下的位似多边形。

相似多边形通过保持边
和角的比例关系来实现形状的相似，而位似多边形通过平移、旋转和翻转来保持形状和大小不变。

这两种概念在几何学中起着重要的角色，并帮助我们理解形状之间的关系。

冀教版九年级上册数学《相似多边形和图形的位似》PPT(第1课时)

O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
O
D
A
B
C
一起探究
例3 如图，△ABC，画△A' B' C' ，使△A' B' C' ∽△ABC，且使相似比为1：5，要求:（1）位似中心在△ABC的一条边AB上；（2）以点C为位似中心．
（1）位似中心在△ABC的一条边AB上
（2）以点C为位似中心
对应边成比例，但对应角不一定相等
任意的两个菱形不一定相似
对应角相等，但对应边不一定成比例
任意的两个矩形不一定相似
观察图中的两个多边形，先直观判断它们是不是相似多边形，再验证你的结论.
相似
如：网格中易求线段长，则可用三边对应成比例，证明△ABC∽△A'B'C'及△ADC∽△A'B'C'，相似比为1：2.且两对全等三角形的对应角相等.
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
1) 在四边形外任选一点O（如图），
对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点O，分别在OA、OB、OC、OD的反向延长线上取A'，B' 、C'、D'，使得呢？如果点O取在四边形ABCD内部呢？分别画出这时得到的图形．
假设位似中心点O在AB上，相似比1:5，点O位置如图所示
o
●
●
A'
B'
C'
●
●

冀教版数学九年级上册相似多边形和图形的位似

4.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，2)，(6，4)， AC⊥x轴于点C，BG ⊥x轴于点G，分别以AC，BG为边作正方形 ACDE和正方形BGMN. (1)试分别写出直线AB和直线EN对应的函数表达式； (2)求证：正方形ACDE和正方形BGMN是位似图形； (3)已知点M的坐标是(10，0)，试作一个正方形，它以点M为其中一个顶点，且与已有正方形成位似图形(在下图中作出即可)．
∴正方形ACDE与正方形BGMN对应顶点连线交于一点，此点
为原点，且
，因此正方形ACDE和正方形
BGMN是位似图形.
(3)画图略.
思考：（1）相似三角形的判定有哪些？（2）相似图形的性质有哪些？（3）如何做一个图形与已知图形相似？
思考：
如图所示，已知△ABC，求作△A'B'C'，使
△A'B'C'∽△ABC，且相似比为2:1.
A
B
C
学生活动一【一起探究】
做一做：如图所示，已知△ABC及△ABC外的一点O.
1.请按如下步骤画出△A'B'C'.
4.解：(1)设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将A(3，2)，B(6，4)代入得：
解得
∴直线AB的表达式为y＝23 x ,同理求得直线EN的表达式为
y＝
2 5
x
.
4. (2)∵直线AB的表达式为y＝23 x ，直线EN的表达式为
y＝
2 5
x
，它们都过原点，直线DM与直线CG都与x轴重合，
C．(2，2)
D．(4，2)
在平面直角坐标系中. 如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或－k. 即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)则其位似图形对应顶点的坐标为(kx0，ky0)或 (－kx0，－ky0).

冀教版数学九年级上册25.7《相似多边形和图形的位似》说课稿

冀教版数学九年级上册25.7《相似多边形和图形的位似》说课稿一. 教材分析冀教版数学九年级上册25.7《相似多边形和图形的位似》一节，是在学生已经掌握了相似多边形的性质和判定方法的基础上进行教学的。

这部分内容是整个初中数学中重要的知识点，也是中考的热点。

通过这部分的学习，使学生能够理解和掌握相似多边形的性质，以及如何应用位似变换来解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对相似多边形的性质和判定方法已经有了一定的了解。

但是，对于位似变换的理解和应用，部分学生可能会感到困惑。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际问题来理解和掌握位似变换的性质和应用。

三. 说教学目标1.理解相似多边形的性质，掌握位似变换的性质和应用。

2.能够运用相似多边形的性质和位似变换来解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：相似多边形的性质，位似变换的性质和应用。

2.教学难点：位似变换的应用，如何解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过实际问题来理解和掌握位似变换的性质和应用。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示位似变换的实例，帮助学生直观地理解和掌握位似变换的性质。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，引导学生运用已知的相似多边形的性质来解决这些问题，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：介绍位似变换的定义和性质，引导学生理解和掌握位似变换的性质。

3.实例讲解：通过具体的实例，讲解位似变换的应用，引导学生如何运用位似变换来解决实际问题。

4.练习巩固：布置一些练习题，让学生运用所学的位似变换的知识来解决实际问题，巩固所学的内容。

5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，加深学生对位似变换的理解和掌握。

七. 说板书设计板书设计主要包括位似变换的定义、性质和应用，以及相关的例题。

通过板书，帮助学生直观地理解和掌握位似变换的性质和应用。