概率论第四章例题
概率论第4章习题参考解答
概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为 =⨯⨯==733
103.07.0}3{C P ξ0.0090
至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为
=⨯⨯-=<-=≥∑=-2
010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ0.9984
因np +p =10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为
=⨯⨯=≤∑=-2
0101099.001.0}2{i i i i
C P ξ0.9999
3. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此
2061.02.08.0}18{}15
270
{}27015{}270{20
18
2020=⨯⨯==≥=≥
=≥=≥∑=-i i i i
C P P P P ξξξη
4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不
概率论第4章
作业习题解答
教材：盛骤 等《概率论与数理统计》 第4版. 高等教育出版社, 2008
第4章 随机变量的数字特征
习题2
2. 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次. 每 次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次 品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设 备的次数，试求E(X). (设诸产品是否为次品是相互 独立的.) 解：设10件产品中的次品数为Y, 则Y~b(10,0.1)
A (10 X ) X
1 2 26 E ( A) (10 x) xf ( x)dx (10 x) xdx 8.67 3 2 0 1 2 1448 2 2 2 2 E ( A ) [(10 x) x] f ( x)dx (10 x) x dx 2 0 15
(2)设随机变量X,Y的联合概率密度为
1 ( y x / y ) , x 0, y 0, e f ( x, y ) y 0, 其他.
求E(X), E(Y), E(XY).
5
第4章 随机变量的数字特征Βιβλιοθήκη Baidu
习题9(1)
(1)解：X的概率密度
x 3 2 0 12y dy, 0 x 1 4 x , 0 x 1 f X ( x) f ( x, y)dy 0, 其它 其它 0,
概率论第4章
如令q=1-p, 则上式可写为
n k n-k P (k ) p q , (k 0,1, 2, , n) n k
次品数 5 10 15
总计 40 60 100
如果已知取出的零件是第一台车床加工的 (设为事件A), 则我们有事件A出现下事件B 的条件概率为
P ( B | A) 35 40
4 2012-6-28
0.875
在古典概型下, 设U={e1,e2,...,en}, 其中导 致事件A出现的试验结果有m个, 导致事 件B出现的试验结果有k个, 导致事件AB 出现的试验结果有r个. 事件A出现, 就是 说导致A出现的m个试验结果中有一个 出现, 在这条件下导致B出现的试验结果 有且仅有r个. 所以
19 2012-6-28
例5 甲,乙各自同时向一敌机射击, 已知 甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的 概率为0.5. 求敌机被击中的概率.
20 2012-6-28
解 设A为事件"甲击中敌机", B为事件"乙 击中敌机", C为事件"敌机被击中", 由广 义加法定理知 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 根据题意可认为A,B事件相互独立, 因此 有 P(AB)=P(A)P(B)=0.60.5=0.3 于是 P(C)=0.6+0.5-0.3=0.8
概率论 第四章
例2:某射手连续向一目标射击,直到命中为 :某射手连续向一目标射击, 设他每发命中的概率是p, 止,设他每发命中的概率是 ,求平均射击次 数.
的概率分布为: 例3:设X的概率分布为: : 的概率分布为
AB P( X = k) = k!
k
(k = 0, 1, 2, )
若已知E(X)=a,求常数 求常数A,ห้องสมุดไป่ตู้. 若已知 求常数
这样得到一个确定的数. 这样得到一个确定的数 我们就用这个数作为 随机变量X的平均值 随机变量 的平均值 . 这样做是否合理呢? 这样做是否合理呢?
■离散型随机变量的数学期望
定义 是离散型随机变量, 设X是离散型随机变量,它的概率函数是 是离散型随机变量 它的概率函数是: P(X=xk)=pk , k=1,2,… 如果 ∑| xk | pk 有限 定义 的数学期望 有限,定义 定义X的
■方差的定义
是一个随机变量, 设X是一个随机变量,若E[(X-E(X)]2<∞,则 是一个随机变量 , 称 D(X)=E[X-E(X)]2 (1) 的方差. 为X的方差 的方差 方差的算术平方根 D(X) 称为标准差
服从参数为p的 分布 分布, 例1:设X服从参数为 的0-1分布,求D(X). : 服从参数为
相关系数 ρXY是刻划了 和Y间线性关系程 是刻划了X和 间线性关系程 度的数字特征, 越大, 和 间 度的数字特征, | ρXY | 越大, X和Y间线性 关系越明显. 有随着X增加 关系越明显.当 ρXY > 0 时, Y有随着 增加 有随着 而增大的趋势; 有随着X增 而增大的趋势;当 ρXY < 0时, Y有随着 增 有随着 加而减小的趋势; 加而减小的趋势;
《概率论与数理统计》习题及答案第四章
·34·
《概率论与数理统计》习题及答案
第
四章
1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字
1,2,2,3，今从袋中任取
一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球
上的标号，求(,)X Y 的分布列.
解
(,)X Y
的分布列为
123111
06
121112
6
661
13
12
6其中
(1,1)(1)(1|1)
P X Y P X P Y X (1,2)
(1)
(
2|
P X
Y
P X P Y X 1214
3
6
余者类推。
2．将一枚硬币连掷三次，以
X 表示在三次中出现正面的次数，以
Y 表示三
次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边
缘分布列。
解
一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,
).
2
X B 3
31()
(
),0,1,2,32
k
P X
k C k
，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为
X
Y
·35·
01233361
008
881123008
8
8
13318
888j
i
p p 其中
(0,1)(0)(1|0)P X Y P X P Y X ，1
3
313(1,1)
(1)(1|1)
(
)
1
28
P X
Y
P X
P Y
X
C ，
余者类推。
3．设(,)X Y 的概率密度为
1
(6),02,24,
(,)
8
,
.
x y x y f x y 其它又（1）{(,)|1,3}D x y x y
；（2）{(,)|3}D
x y x
y
。求{(,)}
P X Y D 解（1）1
3
2
1{(,)
}
(6
)8P x y D x
y d xd x y
119436
8
2
2
8
；
（2）1
3
2
1{(,)
}
概率论与数理统计第4章例题
则=)(X E D
A. 0.96
B. 0.3
C. 1.4
D. 2.6 2.的概率密度为
设随机变量
X ⎩⎨
⎧≤≤=其它
102)(x x
x f ,=)(X E 则 C
2.A 1.B 3
2.C
3.D
3.设随机变量X ，其概率密度为 ()110
1010
x x f x x
x +-≤≤⎧⎪
=-<<⎨⎪⎩其它
，求()E X . 解
()()()()01
1011E X
x f
x dx x x dx x x dx +∞
-∞
-==++-⎰⎰⎰=0
4. 设连续型随机变量X 的分布函数为
3
0,0
(),
011,1
x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩
求()E X
解()2
3010
x x f x ⎧≤≤=⎨
⎩其它
()13
334
E X x dx =
=
⎰
5.设随机变量X 的分布列为
（1） 试计算常数a ； （2）求随机变量()2
1-=X Y 的期望. 解、（1）由14126131
=+
++
+a a
，得121=
a
（2）随机变量Y 的所有可能取值4,1,4
1,0，
Y
的分布律为
所以()=
Y E 24
41
方差部分
1.方差的计算公式为C A.2
2
)
(EX EX
DX -= B. 22)(EX EX DX -= C. 2)(EX EX DX -=
D. EX EX DX -=2
2.某牌号手表日走时误差()()X E X ,D X ，求.
解 010*******=⨯+⨯+⨯-=...)()(X E
2
010********
2
2
2
....)()(=⨯+⨯+⨯-=X E 20.)(=x D
3. 设随机变量)(~x f X =⎩⎨
概率论第四章习题解答(全)
E ( X ) 2 0.4 0 0.3 2 0.3 02 ； E ( X 2 ) (2) 2 0.4 (0) 2 0.3 (2) 2 0.3 2.8
或 因为
X2
pk
所以
0 0.3
4 0.7
E ( X 2 ) 0 0.3 4 0.7 2.8 。 E (3 X 2 1) E (3 X 2 ) E (5) 3E ( X 2 ) 5 3 2.8 1 13.4
k 0 k 0
k 1
1
k
e (e 1)
1
(1 e ) 1 k e k ，pk ， e ） k 1 k! k ! k 0
xk pk 中现在的 xk
Y B (10, 0.1) ，于是有
k P{Y k} C10 (0.1) k (0.9)10 k
（2）一次检验中不需要调整设备的概率
k 1 P{Y 1} P{Y 0} P{Y 1} C10 (0.1) k (0.9)10 k C10 (0.1)1 (0.9)9
X p
0 0.2936
1 0.4211
2 0.2263
3 0.054
4 0.0049
（4）求数学期望
E ( X ) 0 0.2936 1 0.4211 2 0.2263 3 0.0542 4 0.0049
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
分析：贝努利概型下，求解事件发生的频率与概率的误差，用到棣莫弗-拉 普拉斯中心极限定理。
解：设 µA 为在 1000 次试验中 A 发生的次数，同时其频率与概率的绝对偏差 为 ε ，则
P
⎧ ⎨ ⎩
µA 1000
−
1 4
<
ε
⎫ ⎬
=
0.9997
。
⎭
由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得
⎛
P
⎧ ⎨ ⎩
µA 1000
同时要注意大数定律中所给的假设条件都是大数定律成立的充分条件，切不 要认为条件不满足的随机变量序列就一定不服从大数定律。
几个大数定律的适用场合： 伯努利大数定律仅适用于伯努利试验，讲的是频率收敛于概率。 切比雪夫大数定律用于独立序列且具有有界方差，比伯努利大数定律应用范 围大为扩展。 辛钦大数定律用于独立同分布场合，最适宜于在数理统计中应用。 显然，伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情形，但是辛钦大数定律不是 切比雪夫大数定律的推广，因为它要求同分布。
概率论第四章习题答案
概率论第四章习题答案
概率论是数学中的一个重要分支，它研究了随机现象的规律性和不确定性。在
概率论的学习过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对概
率论知识的理解和运用。本文将针对概率论第四章的习题进行解答，以帮助读
者更好地掌握这一章节的内容。
第一题：某班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。从中随机选取2
名学生，求选出的两名学生都是男生的概率。
解答：首先，计算总的样本空间。从30名学生中选取2名学生，共有C(30, 2)
= 435种可能的选法。
然后，计算选出的两名学生都是男生的样本空间。从10名男生中选取2名学生，共有C(10, 2) = 45种可能的选法。
所以，选出的两名学生都是男生的概率为P = 45/435 = 1/9。
第二题：某班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。从中随机选取4
名学生，求选出的学生中至少有1名男生的概率。
解答：首先，计算总的样本空间。从30名学生中选取4名学生，共有C(30, 4)
= 27,405种可能的选法。
然后，计算选出的学生中全是女生的样本空间。从20名女生中选取4名学生，共有C(20, 4) = 4,845种可能的选法。
所以，选出的学生中至少有1名男生的概率为P = 1 - 4,845/27,405 =
22,560/27,405 ≈ 0.822。
第三题：某班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。从中随机选取6
名学生，求选出的学生中至少有3名男生的概率。
解答：首先，计算总的样本空间。从30名学生中选取6名学生，共有C(30, 6) = 593,775种可能的选法。
(完整版)概率论第四章答案
习题4-1
1. 设随机变量X
求()E X ；E (2－3 X );
2()E X ；2(35)E X +.
解 由定义和数学期望的性质知
2.03.023.004.0)2()(-=⨯+⨯+⨯-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-⨯-=; 8.23.023.004.0)2()(2222=⨯+⨯+⨯-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+⨯=+=+X E X E . 2. 设随机变量X 的概率密度为
,0,()0,
0.x
e x
f x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩≤
求X
e Z X Y 22-==和的数学期望.
解
()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞
-====⎰e d ,
220
1
()()3
X
x x E Z E e
e e dx ∞
---==⋅=
⎰. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第
55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60]
上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为
1
,060,()600,
.x f x =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它
记Y 为游客等候电梯的时间,则
5,05,25,525,()55,2555,65,
5560.
X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-<⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩≤≤≤≤
因此, 600
1
()[()]()()()60E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞
概率论第四章第五章习题
概率论第四章第五章习题(总5
页)
--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--
--内页可以根据需求调整合适字体及大小--
第四章 数字特征
一．主要内容
随机变量的数学期望 方差 协方差和相关系数
二．课堂练习
1．
一台设备由三大部件构成, 在设备运转中各部件需要调整的概率分
别
为和,假设各部件的状态相互独立, 以X 表示同时需要调整的部件数, 试求X 的数学期望和方差.
()()2
22:X :
P(X 0)0.504,P(X 1)0.398P(X 2)0.092,P(X 3)0.006
E(X)00.50410.39820.09230.0060.6E(X )0.820,D X E(X )E(X)0.46=========⨯+⨯+⨯+⨯===-=解法一先求出的分布律则
i 1231231231231,i ,
:X i 1,2,3,
0,i ,
X X X X ,X ,X ,X ,
E(X)E(X )E(X )E(X )0.10.20.30.6,D(X)D(X )D(X )D(X )0.46
⎧==⎨⎩=++==++=++===++=第个部件需要调整解法二设第个部件不需要调整且相互独立
2X 2.X ~U(0,1),(1)Y e ;(2)Cov(X,Y)=设求的概率密度求
2
Y X X 1,1y e ,
11112y
f (y)f (ln y)(ln y)f (ln y)2222y 0,.
⎧<<⎪'===⎨⎪
⎩其它
12X
2x 2012X 2x 202211(2)E(X),E(Y)E(e )e dx (e 1)
数学第四章概率论习题
第四章习题
一、选择题
001、设123,,X X X 相互独立且同服从参数3l =的泊松分布，另()1231
3
Y X X X =
++，则()()2E Y =
()A 、1； ()B 、9； ()C 、10； ()D 、6。 002、对任意的两个随机变量,X Y ，若()()()E XY E X E Y =，则(
)
()A 、()()()D XY D X D Y =； ()B 、()()()D X Y D X D Y +=+；
()C 、,X Y 相互独立； ()D 、,X Y 不一定独立。
003、设()~X P l
（泊松分布）
，且{}{}221P X P X ===，则()()E X =
()A 、1； ()B 、2； ()C 、3； ()D 、4。
004、设随机变量X 满足关系式 ()()2
E X D X 轾=臌
，则X 可能服从()
()A 、正态分布； ()B 、指数分布；
()C 、泊松分布； ()D 、二项分布。
005、设,X Y 为相互独立的随机变量，且方差()()3,4D X D Y ==，则
()()34D X Y -=
()A 、7-； ()B 、7； ()C 、91； ()D 、25。
006、设X 是随机变量，且31=-=DX EX ，，则=-)]2(3[2
X E (
)
()A 、6； ()B 、9； ()C 、30； ()D 、36。 007、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，λλ-=
=e m m X P m
!
}{， ，，，210=m ，
且()3D X =，则=λ (
)
()A 、3； ()B 、1
(完整版)概率论第三章第四章习题及答案
则
f
(
x,
y)
0,
其他.
F ( y, y) lim F (x, y) lim 1 (x 1)ex 1 x2ey
x y
x y
2
1 1 y2 y 1ey.
2
iii) 当x y 0时,
F (x, y) F ( y, y) 1 1 y2 y 1ey.
2
返回主目录
第三章 多维随机变量及其分布
解:由题意知X k ( k 1,2, ,)n的. 密度函数为
1, x [0,1], f (x) 0, 否则.
则
返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
X k (k 1,2, , n ) 的分布函数为
0, x 0, F (x) x, 0 x 1,
1,
x 1.
因X1, X 2 , , X n相互独立,故U的分布函数为
PU 0,V 1 P X 0, X 3Y 1 , 2
PU 1,V 0 P 0 X Y , X 3Y 0,
PU 1,V 1 P 0 X Y, X 3Y 1 , 4 返回主目录
第三章 多维随机变量及其分布
PU 2,V 0 P X Y , X 3Y P X 3Y
1 2 23x
(n 1) • nx n2
,
x
1,2
来自百度文库
则EX ( X 1) p kk 11 p k1 k 1
概率论与数理统计》课后习题答案第四章
习题4.1
1．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望．
解 可得X 的概率分布为
012
3~7
77110
30120120X ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
于是X 的数学期望为
7771()01231030120120
453
1208E X =⨯
+⨯+⨯+⨯==
2．.某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望．
解 可得X 的概率分布为
12~1
11n X n
n n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦
于是X 的数学期望为
111
()121(1)1
22
E X n n n n
n n n n =⨯+⨯++⨯
++==
3．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望。
解 由题意~(5,0.1)X B ，则X 的数学期望为
()50.10.5E X =⨯=
4．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的
2
1
，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。 解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ，由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因
1
{1}{2}2
P X P X ==
= 即
1
21 41!
22!
e
e λ
λλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为
()4E X λ==
所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。
5．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2
{()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布，故X 的数学期望为
概率论习题及解答-第四章特征函数
∫1 ∫01
0
xn(1 − x)n−1dx
nyndy =
n .
n+1
=
∫1 (1
0
−
x)ndx
=
n
1 +
, 1
3
练习4.1.7 设 ξ ∼ B(n, p), 试求 E(ξ(ξ − 1)).
解: 显然
E(ξ(ξ
−
1))
=
∑n
k(k
−
() 1) n pk(1
−
p)n−k
=
∑n
k(k
−
() 1) n pk(1
∑n
∑ m
= xiP(Ai) + yjP(Bj) = E(ξ) + E(η).
i=1
j=1
练习4.1.2 假设简单随机变量 ξ 和 η 相互独立, 试证明
E(ξη) = E(ξ)E(η).
证明: 不妨设 ξ(Ω)(= {x1, · · · , xn}, )η((Ω) = {y1, · · · , ym}), 则
E inf ξk
kn
inf E(ξk).
kn
证明: 由数学期望的单调性得
(
)
E inf ξk
kn
E(ξn+m),
m 0,
从而
(
)
E inf ξk
概率例题
例 1 （分房模型）设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（k<=N ）, 设每 个盒子容球数无限, 求下列事件的概率
（1） 某指定的 k 个盒子中各有一球； （2） 某指定的一个盒子恰有 m 个球( m<=k ) （3） 某指定的一个盒子没有球； （4） 恰有 k 个盒子中各有一球； （5） 至少有两个球在同一盒子中； （6） 每个盒子至多有一个球.
5．2 例 1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望 为 2 , 均方差为 1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求 100 次轰击 (1) 至少命中 180 发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到 200 发的概率.
例2
一加法器同时收到20 个噪声电压Vk
例 4 在 1,2,3, ,9 中重复地任取 n (n>=2)个数, 求 n 个数字的乘积能被 10 整除的概率.
例 5 在 1~2000 的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被 6 整除, 又不能被 8 整除 的概率是多少 ?
例 6 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访,已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进 行的,问是否可以推断接待时间是有规定的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 0.3
0.1 0.1 0.1 E (Y ), E (Y X ) , E[( X Y )2 ].
解 X 的分布律为 X 1 p 0.4
得
2
0.2
3
0.4
E ( X ) 1 0.4 2 0.2 3 0.4 2.
Y 的分布律为
0.3 0.4 0.3 得 E (Y ) 1 0.3 0 0.4 1 0.3 0. 由于
15 .
0.1 0.1 0.1 0.1 0.3 0.1 ( X ,Y ) (1,1) (1,0) (1,1) ( 2,1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1) 4 1 1 4 0 9 9 ( X Y )2
得 E[( X Y )2 ] 4 0.3 1 0.2 0 0.1 9 0.4 5.
p
Y p
1
0
1
0.2
0.1
0.1
0.1
0.1 0.3
0.1
( X ,Y ) (1,1) (1,0) (1,1) ( 2,1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1) Y X 1 1 1 2 1 2 0 1 3 0
Y 1 1 1 1 . 0.2 0 . 0.1 1 . 0.1 . 0.1 . 0.1 0 . 0.3 . 0.1 E X 2 2 3 1
到站时刻 概率
8 : 10 9 : 10 1 6
8 : 30 9 : 30 3 6
8 : 50 9 : 50 2 6
(i) 一旅客8 : 00到车站, 求他候车时间的数学期望. (ii) 一旅客8 : 20到车站, 求他候车时间的数学期望.
解 设旅客的候车时间为 X (以分计).
(i) X的分布律为
9 由此 E ( X i ) 1 , i 1,2,. 10 得 E ( X ) E ( X 1 X 2 X 10 )
9 9 则有 P{ X i 0} , P{ X i 1} 1 , 10 10 i 1,2,,10. 20
故应选择投资.
例3 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后 付款的方式 , 记使用寿命为X (以年计), 规定 : X 1, 一台付款 1500 元; 1 < X 2, 一台付款 2000 元;
2 < X 3 , 一台付款 2500 元; X 3, 一台付款 3000 元 .
设寿命 X 服从指数分布, 概率密度为 1 x 10 , x 0, e f ( x ) 10 0, x 0. 试求该商店一台家用电器收费 Y 的数学期望.
又
2 E (Q )
y
y
dy
dE (Q) n x 得 x θ ln( ). (m n)e n mn dx 2 d ( m n)
n 因此, 当 x θ ln( ) 时, E (Q ) 取得最大值. mn
dx θ e x θ < 0,
例1 设随机变量 X 具有概率密度
试求顾客等待服务的平均时间?
解
E( X ) x f ( x)d x
0
1 x 5 x e d x 5(分钟). 5
因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.
例7
一机场班车载有 20 位旅客自机场开出, 旅
客有 10 个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅 客下车就不停车, 以 X 表示停车的次数, 求 E ( X ) ( 设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各 旅客是否下车相互独立) . 解 引入随机变量 X i , 0, 在第 i 站没有人下车, Xi i 1,2,,10. 1, 在第 i 站有人下车 , 则 X X 1 X 2 X 10 .
E( X ) 3 2 1 1 1 3 1 2 10 30 50 70 90 6 6 6 6 6 6 6 6 27.22(分).
例6 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计)服从指数分布,其概率密度为 1 x 5 e , x 0, f ( x) 5 0, x 0.
20
20
E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X 10 )
9 20 10 1 8.784(次). 10
例8 设 ( X , Y ) 的分布律为 1 Y X
1
2
3
0 1 求 : E ( X ),
0.2 0.1
0.1 0
例1 甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别为 甲射手 乙射手
击中环数 概率 8 9 10 击中环数 概率 8 9 10
0.3 0.1 0.6
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好? 解 设甲、乙射手击中的环数分别为 X 1 , X 2 . E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环), 故甲射手的技术比较好.
p
0.2
例 某公司计划开发一种新 产品市场 , 并试图 确定该产品的产量 . 他们估计出售一件产品 可获 利 m 元, 而积压一件产品导致 n 元的损失.再者, 他 们预测销售量 Y ( 件) 服从指数分布其概率密 度为 θ eθ y, y 0, fY ( y ) 0, y 0. 问若要获得利润的数学 期望最大, 应生产多少件 产品( m , n, θ 均为已知) ?
2 2 1 2 1 0 0
0
1
二、重要概率分布的期望方差
1. 两点分布
已知随机变量 X 的分布律为 则有 E ( X ) 1 p 0 q p ,
X
1
0
p
p
1 p
2 2 2 D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 1 p 0 (1 p) p pq.
试说明当 p较小时 , 选取 适当的 k , 按第二种方法 可以减少化验的次数.并说明 k 取什么值时最适宜 .
解 由于血液呈阳性反应的概率为 p,
所以血液呈阴性反应的概率为 q 1 p,
因而 k 个人的混合血呈阴性反应的概率为 q k , k 个人的混合血呈阳性反应的概率为 1 q k .
解 设生产 x 件, 则获利 Q 是 x 的函数 : mY n( x Y ), 若 Y < x , Q Q( x ) 若 Y x. mx ,
E (Q ) QfY ( y ) d y
x
0
0 [my n( x y )]e dy x mxe x 1 1 (m n) (m n)e nx
解 P{ X 1} 1 e x 10 d x 1 e0.1 0.0952,
1 0
10 2 1 P{1 < X 2} e x 10 d x e0.1 e0.2 0.0861, 1 10 31 P{2 < X 3} e x 10 d x e0.2 e0.3 0.0779, 2 10 1 P{ X 3} e x 10 d x e0.3 0.7408. 3 10 因而一台收费Y 的分布律为 Y 1500 2000 2500 3000
n
n
p)
nk
kn! p k (1 p)n k k 0 k !( n k )!
n
np( n 1)! p k 1 (1 p)( n1)( k 1) k 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!
(n 1)! k 1 ( n 1) ( k 1) np p (1 p) k 1 ( k 1(k 1)![(n 1)C nk 1 1)]!
n
np[ p (1 p )]n1 np. np
E ( X 2 ) E[ X ( X 1) X ] E[ X ( X 1)] E ( X )
(n 2)! n(n 1) p pk 2 (1 p)( n2) (k 2) np k 2 (n k )!(k 2)! 2 n 2 ( n2 n) p 2 np. n( n 1) p [ p (1 p )] np
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 分布律为
k P{ X k} C n p k (1 p) n k , (k 0,1,2,, n),
0 < p < 1.
则有
E ( X ) k P{ X k }
k 0
n
k k kCn p (1 k 0
X
pk
10 1 6
30 3 6
50 2 6
候车时间的数学期望为 1 3 2 E ( X ) 10 30 50 33.33(分). 6 6 6
(ii) X 的分布律为
X
pk
10 3 6
30 2 6
50 1 1 6 6
70 1 3 6 6
90 1 2 6 6
候车时间的数学期望为
pk 0.0952
0.0779 0.7408 得 E (Y ) 2732.15, 即平均一台家用电器收费 2732.15 元 .
0.0861
在一个人数很多的团体中普查某种疾病, 为 例4 此要抽验 N 个人的血, 可以用两种方法进行.
(i) 将每个人的血分别去化验 , 这就需化验 N 次. (ii) 按 k 个人一组进行分组, 把从 k 个人抽来
设以 k 个人为一组时, 组内每人的血化验的次数为 X , 则 X 为一随机变量, 且其分布律为
X
1 k
k 1 k
k
pk
q
1 qk
1 k 1 k E ( X ) q (1 )(1 q ) k k 1 k 1 q . k
k
X
pk
1 k
k 1 k
k
qHale Waihona Puke Baidu
1 qk
1 N 个人平均需化验的次数 N (1 q ). 为 k 1 k 因此, 只要选择 k 使 1 q < 1, 则 N 个人平均
需化验的次数 < N .
k
1 当 p 固定时, 选取 k 使得 L 1 q k 小于1且取到最小值 ,
k
即得到最好的分组方法.
例5
按规定, 某车站每天 8 : 00 ~ 9 : 00, 9 : 00 ~
10 : 00 都恰有一辆客车到站, 但到站的时刻是随机 的 , 且两者到站的时间相互独立.其规律为
1 x , 1 x < 0, f ( x ) 1 x , 0 x < 1, 0, 其他. 求 D( X ).
解 E ( X ) x (1 x ) d x x (1 x ) d x 0,
1 E ( X ) x (1 x ) d x x (1 x ) d x , 1 0 6 于是 D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 1 02 1 . 6 6
的血混合在一起进行化验 , 如果这混合血液呈阴 性反应 , 就说明 k 个人的血都呈阴性反应, 这样, 这 k 个人的血就只需验一次. 若呈阳性, 则再对这 k 个人的血液分别进行化验 , 这样, k 个人的血共 最多需化验 k 1 次. 假设每个人化验呈 阳性的概率为 p , 且这些人的化验反应是相互独立的
例2 某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成 功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为 70%，将损失 2 万元．若存入银行， 同期间的利率 为5% ，问是否作此项投资? 解 设 X 为投资利润，则
X p
8 0.3
2 0.7
E ( X ) 8 0.3 2 0.7 1(万元), 存入银行的利息: 10 5% 0.5(万元),