高中数学必备知识点正弦与余弦定理和公式

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高考数学复习：正弦定理和余弦定理

正弦定理
(1)a=2Rsin A,b= _2_R_s_i_n__B_,c=_2_R_s_i_n__C_ (2)a∶b∶c=__s_i_n__A_∶_ 变形 _s_i_n__B_∶__s_i_n__C_ (3)asin B=bsin A,
bsin C=csin B,
asin C=csin A
余弦定理
a
2
2
因为b>a,所以B=60°或120°,故满足条件的三角形有
两个.
2.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
若B=2A,则 asin A 的取值范围是 ( )
b
A. 3 , 3 B. 3 , 3 C. 1 , 3 D. 3 , 1
62
42
22
62
【解析】选D.因为B=2A,
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
【解析】选A.依题意得sin C<sin Bcos A,所以 sin (A+B)<sin Bcos A,即sin Bcos A+cos Bsin Asin Bcos A<0,所以cos Bsin A<0.又sin A>0,于是有 cos B<0,B为钝角,△ABC是钝角三角形.
2 2x 3
解得x=3(x 1 舍).
3

高中一轮复习 18正弦定理和余弦定理

第18讲正弦定理和余弦定理

一、教学目标

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

二、知识点梳理

1．正弦定理和余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则

正弦定理余弦定理

内容

sin A＝

sin B＝

sin C＝2R

(R为△ABC外接圆半径)

a2＝b2＋c2－2bc cos A

b2＝a2＋c2－2ac cos B

c2＝a2＋b2－2ab cos C

常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；

(2)sin A＝

2R，sin B＝

2R，sin C＝

2R；

(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C

cos A＝

b2＋c2－a2

2bc；

cos B＝

a2＋c2－b2

2ac；

cos C＝

a2＋b2－c2

2ab

解决的问

题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一

角；

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一

边和其他两角

(1)已知三边，求三个角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边

和其他两角

2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况

A为锐角A为钝角或直

角

图形

关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解

3.三角形中常用的面积公式

(1)S＝1

2ah(h表示边a上的高)．

(2)S＝1

2bc sin A＝

2ab sin C＝

2ac sin B.

(3)S＝1

2r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．

辨析感悟

1．三角形中关系的判断

(1)在△ABC中，sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B. ()

正弦定理和余弦定理的所有公式

正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中，正弦定理和余弦定理的应用是很频繁的，正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有公式，供参考。

数学不好的人五大特征高中数学最无耻的得分技巧高考考场上数学拿高分的技巧如何判断函数的对称性与周期性

1正弦定理、三角形面积公式正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正

弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2)

sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦

定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角和任一边，求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解.(2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC

来代替.2.余弦定理在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-

2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2-

正弦定理和余弦定理详细讲解

高考风向

1.考查正弦定理、余弦定理的推导；

2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；

3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．

学习要领

1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；

2.通

过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．

基础知识梳理

1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C

＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可

以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin _B ∶sin _C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

等形式，解决不同的三角形问题．

2．余弦定理：a 2

＝b 2

＋c 2

－2bc cos_A ，b 2

＝a 2

＋c 2

－2ac cos_B ，c 2

＝a 2

＋b 2

－2ab cos_C ．余弦

定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1

(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半

径)，并可由此计算R 、r .

4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：

A 为锐角 A 为钝角或直角

图形

关系式 a ＝b sin A

(完整版)高中数学正弦定理和余弦定理

（一）复习指导

1 •掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

2 .能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

（二）基础知识

1.三角形中的有关公式

（1）内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余•锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方 •

正弦定理和余弦定理（2）正弦定

理： a b sin A sin B a b c sin A si nB sinC ；

）.注意：①正弦定理的一些变式: a b ii sin A ,sinB ,sinC

2R 2R c

2R ； iii a 2Rsin A,b 2Rsi nB,b 2RsinC ；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦

定理，则务必注意可能有两解

（3）余弦定理：a 2

b 2 2 2 2 2bccosA,cosA b ―』等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状 2b

c (4)面积公式：S -ah a

2 a 2 2 2 2 sin A cos B cos Asin B

特别提醒：(1 )求解 labsinC r （a b c ）（其中r 为三角形内切圆半径） 2 sin C ，判断 ABC 的形状（答：直角三角形）。三角形中的问题时，一定要注意A B C .女口 ABC 中，若

这个特殊性： A B C

A B C,sin （A B ） sinC,sin

高中数学正弦余弦公式大全

正弦定理和余弦定理

一：基础知识理解

1 ．正弦定理

分类内容

定理

＝＝＝2 R ( R 是△ ABC 外接圆的半径 )

变形公式① a ＝ 2 R sin _ A ， b ＝ 2 R sin _ B ， c ＝ 2 R sin _ C ，

② sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝a ∶ b ∶ c ，

③ sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝

解决的问题① 已知两角和任一边，求其他两边和另一角，

② 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角

2 ．余弦定理

分类内容

定理在△ ABC 中，有 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos _ A ；

b 2 ＝ a 2 ＋

c 2 －2 ac cos _ B ； c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 －2 ab cos _ C 变形

公式cos A ＝；cos B ＝；

cos C ＝

解决的问题① 已知三边，求各角；

② 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

3 ．三角形中常用的面积公式

( 1 ) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高 )；

( 2 ) S ＝ bc sin A ＝ ac sin B ＝ ab sin C ；

( 3 ) S ＝ r ( a ＋ b ＋ c )( r 为三角形的内切圆半径 )．

二：基础知识应用演练

1 ．( 2012·广东高考 ) 在△ ABC 中，若∠ A ＝ 60°，∠ B ＝ 45°， BC ＝ 3 ，则 AC ＝()

A ． 4

B ． 2

2 ．在△ ABC 中， a ＝， b ＝ 1 ， c ＝ 2 ，则 A 等于 ()

高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理

第7讲正弦定理与余弦定理

[学生用书P82]

1．正弦定理和余弦定理

2.三角形中常用的面积公式

(1)S＝ah(h表示边a上的高)；

(2)S＝bc sin A＝ac sin_B＝ab sin C；

(3)S＝，其中p＝(a＋b＋c)．

1．辨明两个易误点

(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一

边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．

(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

2．余弦定理的推导过程

如图，设＝a，＝b，

＝c.

则c＝a－b，

所以|c|2＝(a－b)2

＝a2－2a·b＋b2

＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos C.

即c2＝a2＋b2－2ab cos C.

同理可证a2＝b2＋c2－2bc cos A.

b2＝c2＋a2－2ca cos B.

3．三角形解的判断

A为锐角

A为钝角或

直角

图

形

关

系

式

a＝b sin A b sin Ab

解

的

个

数

一解两解一解一解

1. 在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于( )

A．3 B．6

C．2 D．3

B [解析] 由正弦定理得＝，

所以a＝＝＝6.

2. 在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝( )

A．90° B．120°

C．135° D．150°

B [解析] cos B＝＝＝.

所以B＝60°，所以A＋C＝120°.

3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形( ) A．无解 B．有两解

高考数学正弦定理和余弦定理

课前基础巩固
[解析]由S△ABC=absin C=×2×4×sin C=3,得sin C=,因为△ABC是锐角三角形,所以cos C==.
题组二常错题
索引:将三角形中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时将解的个数弄错;将余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系弄错.5.在△ABC中,若sin A=sin B,则A,B的大小关系为 ;若sin A>sin B,则A,B的大小关系为 .
课前基础巩固
[解析]由=得sin B==,又a>b,所以A>B,所以B=45°.
[解析] S△ABC=acsin B=×2××=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=4+3-4cos 30°=1,所以b=1.
例1 [2021·济南二模] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC恰好满足下列四个条件中的三个:①cos A=;②cos B=-;③a=;④b=1.(1)请指出△ABC满足的三个条件(不必说明理由);
课堂考点探究
变式题2 [2021·新高考全国Ⅱ卷] 在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
解:显然c>b>a,要使△ABC为钝角三角形,只需C为钝角,则cos C = <0, 即a2-2a-3<0,解得-1<a<3,∴0<a<3.又a+a+1>a+2, ∴a>1,∴1<a<3.∵a∈N*,∴a=2,∴存在正整数a=2满足题意.

高中正弦定理和余弦定理公式

当谈到三角函数的定理时，正弦定理和余弦定理是高中数学中的重要定理。以下是它们的公式：

1. 正弦定理（Sine Rule）：

对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，正弦定理给出了边长和角度之间的关系：

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

2. 余弦定理（Cosine Rule）：

对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，余弦定理给出了边长和角度之间的关系：

c² = a² + b² - 2ab·cos(C)

b² = a² + c² - 2ac·cos(B)

a² = b² + c² - 2bc·cos(A)

这些定理在解决三角形中的边长、角度关系问题时非常有用。通过应用正弦定理和余弦定理，可以计算未知边长或角度，以及解决各种涉及三角形的几何问题。

高中数学必备知识点正弦与余弦定理和公式

三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？

首先，我们要了解下正弦定理的应用领域

在解三角形中，有以下的应用领域：

（1）已知三角形的两角与一边，解三角形

（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦

正弦定理

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）

其次，余弦的应用领域

余弦定理

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求x边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

正弦定理的变形公式

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;

(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题

(3)相关结论：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)

高中数学知识点总结(第四章三角函数、解三角形第七节正弦定理和余弦定理)

第七节正弦定理和余弦定理

一、基础知识 1．正弦定理

a sin A ＝

b sin B ＝

c sin C

＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．

正弦定理的常见变形

(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝

a 2R ，sin B ＝

b 2R ，sin C ＝

c 2R

； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A

. 2．余弦定理

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 3．三角形的面积公式

(1)S △ABC ＝1

2ah a (h a 为边a 上的高)；

(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1

ac sin B ；

(3)S ＝1

2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．

二、常用结论汇总——规律多一点 1．三角形内角和定理

在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C

2．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C

3．三角形中的射影定理

在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状

高中数学必修五-正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理

知识集结

知识元

正弦定理公式

知识讲解

1．正弦定理

【知识点的知识】

1．正弦定理和余弦定理

定理正弦定理余弦定理

内容

＝2R

（R是△ABC外接圆半径）

a2＝b2+c2﹣2bc cos A，

b2＝a2+c2﹣2ac cos B，

c2＝a2+b2﹣2ab cos C 变形

形式①

a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；

②sin A＝，sin B＝，sin C＝；

③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；

④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝

c sin A

cos A＝，

cos B＝，

cos C＝

解决

三角

形的

问题

①已知两角和任一边，求另一角和其他

两条边；

②已知两边和其中一边的对角，求另一

边和其他两角

①已知三边，求各角；

②已知两边和它们的夹角，求第三边和

其他两角

在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况

A 为锐角

A 为钝角或直角

图形

关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b

a ≥

b a ＞b 解的个数

一解

两解

一解

由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A

为钝角或直角时，a ≤b ，无解．2、三角形常用面积公式

1．S ＝a •h a （h a 表示边a 上的高）；2．S ＝ab sin C ＝ac sin B ＝bc sin A ．3．S ＝r （a +b +c ）（r 为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．

三角形正弦余弦公式大全

高中数学的三角形正弦与余弦的公式同学们还记得吗?如果没有总结过，没记住的话，请往下看。下面是由小编为大家整理的“三角形正弦余弦公式大全”，仅供参考，欢迎大家阅读。

三角形正弦余弦公式大全

Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA

Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA

Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB

Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB

Tan(A+B)=(TanA+T anB)/(1-TanA*TanB)

Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

拓展阅读：求三角形边长公式

三角形边长公式：1、根据余弦定理，有公式：a^2=b^2+c^2-2bc×cosA。2、根据正弦定理，有公式：a=b*sinA/sinB。3、根据勾股定理，有公式：a^2+b^2=c^2。

三角形边长的计算方法

对于任意一个三角形，已知两角一对边，可以根据正弦定理计算:a=b*sinA/sinB。正弦定理的公式为a/sinA = b/sinB =c/sinC，根据正弦定理的公式可以解三角形。

对于任意一个三角形，已知两条边与夹角，可以根据余弦定理求出第三条边，有公式：c^2=a^2+b^2-2abcosC、a^2=b^2+c^2-2bccosA、b^2=a^2+c^2-2accosB。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。对于直角三角形，可以根据勾股定理求变成，有公式：a^2+b^2=c^2。

高中数学必会之三角函数正弦定理和余弦定理

正余弦定理是三角函数中有关三角知识的延伸，揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形面积，边角值及判断三角形形状时有重要作用。

余弦定理主要解决两类三角问题：其一是已知三边求其中一角的情况；其二是已知两边及其一夹角求另一边的情况.

正弦定理主要解决两类三角问题：其一是已知二边及其一边的对角求其中一角的情况；其二是已知一边及其一对角求另一边的情况.

高一数学正弦定理和余弦定理

【知识回顾】

1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C

===A B （R 是三角形外接圆半径）． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B

3、余弦定理：在C ∆AB 中，有222

2cos a b c bc =+-A ； 2222cos b a c ac =+-B ；2222cos c a b ab C =+-

4、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac

+-B =，222

cos 2a b c C ab +-=． 5、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =

A ==

B 两边夹角的正弦值两边之积⨯⨯=∆21ABC

S 高底⨯=∆2

1ABC S 6.在三角形中，如果某一边不是最大的边，那么这条边所对的角一定是锐角。

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ

高中数学必备知识点正弦与余弦定理和公式

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ Rt ΔABC≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠ BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为 a 的正方形 . 同理， HPFG是一个边长为 b 的正方形 . 设多边形 GHCBE的面积为 S，则 , ∴ BDPC的面积也为 S， HPFG的面积也为 S由此可推出： a^2+b^2=c^2 方法二作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a），斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形 . 分别以 CF， AE为边长做正方形 FCJI 和 AEIG， ∵ EF=DF-DE=b-a， EI=b ， ∴ FI=a ， ∴G,I,J 在同一直线上， ∵CJ=CF=，a CB=CD=，c ∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ Rt ΔCFD，同理， RtΔABG≌ Rt ΔADE，
应当说我们后面六个大题基本上是围绕着这样六个板块来进行。这六个板块肯定是我们的核心内容之一。再比如说现在我们高考当中要体现对数学思想方法的考察，数学思想方法以前考察四个方面，函数和方程思想，数形结合思想，分类讨论，等价转换，现在又增加了三个，原来这四个方面当中有两类做了改造。函数和方程思想，数形结合思想，分类讨论改成了分类讨论与整合，等价转换转为划归与转化。有限和无限思想，特殊和一般的思想。很多同学说没有时间做后面的大题，为什么没有时间做大题呢？前面耗的时间太长了，数学思想能力的欠缺还是非常重要的一个方面。

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