第3章 功和能

A F保 dr 0
如果质点在某空间任意位置，都受到一确定的保守力的作 用，则称此空间存在着保守场。 如重力场，引力场……
二、 势能
1. 引入势能的条件： ① 物体系 ② 体系内物体间的相互作用力是保守力。
第三章 功和能 16
2. 势能的定义：
A ＝－E (b) F保 dr＝EPa EPb
(3) 力对质点在某一过程中作的功，只与质点在始末 状态的动能有关，而与运动过程中动能变化细节无关。
二、 质点系的动能定理
分别对m1， m2用动能定理: m1： AF1 Af Ek1 Ek10
m2： AF2 Af ' Ek 2 Ek 20
F1
m1
f ' m2 f F2
能量守恒定律可以适用于任何变化过程 功是能量交换或转换的一种度量 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动 范围内的体现飞机
第三章 功和能
22
例
长为l的链条放在光滑桌面上，l=0时，链条静止，下垂部分 为a，求链条刚离开桌面时的速度。 o 解二： 动能定理 研究对象： 整个链条 受力分析： 设t时刻下垂部分为x m F xg x 段受重力作用： l l m mg 2 重力的功： xg dx＝ (l a 2 ) a l 2l mg 2 1 2 1 2 2 (l a ) m ＝ 动能增量： Ek m 2l 2 2
2
2
0
0
2 P F v 12t 3t 288 W
第三章 功和能
7
§3-2 几种常见力的功
一、重力的功
质点重力mg在曲线路径M1M2上作的功： M2 A F dr ( Fx dx Fy dy Fz dz )
M1
z
M1
②
m ① mg O
M2
y
0
EP
EP
O
EP
r
1 2 Ep mgz E p 2 kx O O z 弹性势能 重力势能
第三章 功和能
mM E p G r
x 引力势能
18
k 例 二粒子间相互作用力为斥力： f 3，k是常数，r为二者 r 间距。问： (1) f是保守力吗？
(2) 若是，求二者距 r 时的势能。设EP(∞)＝0 解 (1) 建立坐标系or ， f' f 设粒子由r1→r2，则斥力作功： r2 r1 o r r r k A f dr 3 dr r r r 思考： k k 若取粒子 2 2（仅与始末位置有关） 2r1 2r2 的一般路
2
2
1
1

f 是保守力
径，该如 何证明？
参
k k f dr r 3 dr 2 2r r
第三章 功和能 19
(2) 设EP(∞)＝0，则
EP (r )
r
三、 机械能守恒定律
质点系动能定理:
A外 A内 Ek
A外 A保内 A非内 Ek
A外 Ep A非内 Ek
P
F

F
P＝F
P＝ 0
第三章 功和能
6
例 已知质点 m = 2kg , 在 F = 12t 作用下由静止做直线运动 求 t = 02s内F 作的功及t = 2s 时的功率。 解
F dv 6t m dt
x
t
dx v 3t dt
2
dx 3t 2dt
A Fdx F 3t dt 0 36t 3dt 144 J
2 1
t 2 2
F
1
t1
1 1 2 m2 m12 Ek 2 Ek 1 md 2 2
即：作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功 等于质点在同一路程的始末两个状态动能的增量。
——动能定理
第三章 功和能 12
讨论
(1) 动能定律只用于惯性系。
(2) Ek 是一个状态量, A 是过程量。动能定理给出了力 对质点的持续作用引起的质点运动状态变化的规律。
解题思路： 确定研 究对象 分析力及 力的功
选定研究过 程及过程的 初终态
列方程 并求解
第三章 功和能
14
例 如图所示，物体M的质量为m，弹簧劲度系数为k，A板及 弹簧质量均可忽略不计，求自弹簧原长O处，突然无初速度 地加上物体M时，弹簧的最大压缩量。 解 研究对象：M 分析力： mg N＝－kx 研究过程： 弹簧的压缩过程 初态： x＝0 终态： x＝xmax 利用动能定理：
弹簧弹性力
F
形变量
F kxi
x2
O
x1
x2
x
由x1 到x2 路程上弹性力的功为
A kxdx
x1
结论 (1) 通常意义下， x1 ，x2为质点始末位置对应的形变量。 (2) 弹性力的功只与始、末位置有关，与质点所行路径无关。 质点沿闭合路径运动一周，弹力做功为零。 (3) 弹簧的形变减小时，弹性力作正功；弹簧的 形变增大时，弹性力作负功。
保 P
定义：质点在保守力场中 某点 a 的势能，在量值上 等于质点从a 点移动至零 势能点 b的过程中保守力 作的功。 （势能只有相对意义）
(a)
设末点b为势能零点，EPb=0
则A点势能： 3. 势能零点的选取： 任意的
通常：
重力势能零点——地面 万有引力势能零点——r＝∞处 弹力势能零点——弹簧原长端点x＝0处
2
A
M
x
max
υ0＝0 υ0＝0 思考： 若将m缓慢放置， A mg（z1 z2） m平衡时，弹簧的 压缩量？
x
1 mgx kx 0 2
max
max

第三章 功和能 15
§3-4
势能 机械能守恒定律
一、 保守力作功
特点： (1) 保守力作功只与始末位置有关，而与路径无关。 如重力作功、弹力作功、万有引力作功。 (2) 质点沿闭合路径运动一周，保守力作功为零。
a L a L

a L
( F1 F2 Fn ) dr
b
A
a L
F合力 dr
第三章 功和能 4
讨论
(6) 直角坐标系中，功的求法：
dr dxi dyj dzk F Fxi Fy j Fz k b b A F dr ( Fx dx Fy dy Fz dz) a( L) a( L)
当 A外 A非内 0
E 0
——功能原理
——机械能守恒定律 说明
(1) 守恒条件： A外 A非内 0 (2) 守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态。 (3) 守恒定律是对一个系统而言的。
第三章 功和能 20
四、 能量守恒和转化定律
能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另 一种形式。对一个封闭系统来说，不论发生何种变化，各 种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这 一结论称为能量转换和守恒定律。 例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电， 将机械能转换为电能。 电流通过电热器能发热，把电能又转换为热能。
某点势能指该点与参考点势能之差。
第三章 功和能 17
4. 势能的计算公式：
重力势能： EP重 mgdz mgz （可正可负） z 0 1 （恒为正） 弹力势能： EP弹 kxdx kx 2 x 2 Mm Mm （恒为负） 引力势能：EP引 G 2 dr G r r r 5. 势能曲线 （势能与位置坐标的函数曲线）
力在单位时间内所作的功，称为功率。
设力F在 t 内做功为 A
1. 平均功率 2. 瞬时功率
A P t
描述力做功快慢 的物理量
P lim

t 0
A dA F dr F F cos t dt dt
当θ＝0时， 当θ＝π／2时，
r2
mM F G 2 r
b
r2
M
F

dr
结论 (1) 万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所 行经的路径无关。 ——保守力 (2) 质点m移近质点M时，万有引力作正功； 质点m远离质点M时，万有引力作负功。
第三章 功和能 10
r 1
m dr
a
四、摩擦力的功
摩擦力 F mg 方向：切向且与速度反向
第三章
§3-1 功
功和能
§3-2 几种常见力的功 §3-3 动能定理 §3-4 势能 机械能守恒定律 §3-5 能量守恒定律
第三章 功和能
1
§3-1 功
功是能量变化的量度。
F
M
θ
一、恒力的功
A FS cos
M
a
r
b
力和力的作用点位移的标积
二、变力的功
求质点M 在变力作用下，沿曲线轨 迹由a 运动到b，变力作的功A＝？ 取位移微元 dr F 近似为恒力
第三章 功和能 11
§3-3
动能定理
dr
一、 质点的动能定理 F 在位移元 dr 上的元功： dA F dr F dr cos F ds cos d ds m d F ds m dt m 从 t1 t 2 ，外力作功：
A dA
第三章 功和能 9
三、万有引力的功 在位移元 dr 上的元功为 dA F cos dr F dr dr cos( ) dr cos
mM d A G 2 d r r 万有引力F 在全部路程中的功为
mM A G 2 dr r1 ( L ) r