[K12学习]九年级数学上册 24.3 锐角三角函数《30°,45°,60°角的三角函数值》随堂练习
九年级数学《30°,45°,60°角的三角函数值》
sin 45 a 2 2a 2
cos 45 a 2 2a 2
tan 45 a 1 a
60° 45°
归纳总结 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角 三角 a 函数
sin a
cos a
tan a
30°
1 2
45°
60°
两点反思
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系. （互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）
2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？
锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或 减小）而 _增__大__（__或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _减__小__（__或增大）.
5.如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB 3 , AC 2 3,
2
求AB.
C
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∠A=30°，
sin A CD 1， AC 2
A
D
B
cos A AD 3 ， AC 2
tan B CD 3 ， BD 2
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC 7 , AC 21,
当堂练习
1. 3tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（ D ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
2
2.在△ABC中，若 sin A．30° B．60°
A 1 2
C．90°
cos B 3 2
D．120°
，
0则∠C=（
D
）
3.已知cosα
九年级三角函数公式30度45度60度
九年级三角函数公式30度45度60度
我们要找出30度、45度和60度角的三角函数值。
首先，我们需要了解三角函数的基础知识。
三角函数是描述直角三角形中角度和边的关系的一种方式。
对于一个直角三角形，如果我们知道一个角度和邻边，我们可以使用三角函数来找到其他边的长度。
常用的三角函数有：
正弦(sin)：一个角的对边长度与斜边的比值。
余弦(cos)：一个角的邻边长度与斜边的比值。
正切(tan)：一个角的对边长度与邻边长度的比值。
对于30度、45度和60度角，我们可以使用以下公式来找到它们的三角函数值：
sin(30度) = 1/2
cos(30度) = √3/2
tan(30度) = 1/√3
sin(45度) = cos(45度) = √2/2
tan(45度) = 1
sin(60度) = √3/2
cos(60度) = 1/2
tan(60度) = √3
以下是30度、45度和60度角的三角函数值：30度的三角函数值为：
sin(30度) =
cos(30度) =
tan(30度) =
45度的三角函数值为：
sin(45度) =
cos(45度) =
tan(45度) = 1
60度的三角函数值为：
sin(60度) =
cos(60度) =
tan(60度) =。
鲁教版初中数学九年级上册《30°,45°,60°角的三角函数值》导学提纲
2.2 30°,45°,60°角的三角函数值 导学提纲学习目标:1.经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程,能够进行有关推理,进一步体会三角函数的意义.2.能够进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°,45°,60°角的三角函数值,说出相应的锐角的大小. 学习过程: 一. 自主探究: 1. 回顾与思考:直角三角形中 与 的关系叫锐角三角函数.在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和斜边之间的 也随之确定如图：sinA = , cos A = ,sinB = , cos B = , tan B = sin A 和cos B ,tan A 和tan B 有什么关系2. 想一想:如图,观察一副三角板:它们其中有几个锐角?分别是多少度?（1）sin30°= （2）cos30°= （3）tan30°请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?3.做一做:（4）sin45°= ，sin60°= （5）cos45°= ，cos60°= （6）tan45°= ，tan60°=老师期望:你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的功能来个重新认识和评价. 二.合作交流,成果展示: 1.交流上面想一想和做一做2.根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>┌┌60°30°bACa3.°;例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5米，当秋千前后摆动时，摆角恰好为60°，且前后摆动的角度相同。
求它摆至最高位置时与其至最低位置时的高度之差（结果精确到0.01米）4. 如图,身高1.6m 的小丽用一个两锐角分别是30°和60°的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?三.应用规律,巩固新知: 1. 计算（1） 2Sin60° （2） cos30°O（3） 1－sin 245° （4） sin4°÷cos45°2. 计算:（1） tan60°–sin60° （2） sin30°+ tan45°（3）2cos45°+ sin60°－2sin45° （4） cos45°－sin45°+tan30°3.若a 为锐角且2 sin a=3，则a 的大小为4.（图见课本第32页下方）某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°,高为7m,扶梯的长度是多少?四.自我评价,检测反馈:1. 本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？（1） sin60°=sin （2×30°）=2sin30°=2×21=1 （ ）（2） sin60°÷cos60°= tan60° （ ） 2. 计算 ：（1） cos60°－tan45° （2） sin30° +cos45°－tan30°;（3） 3tan30° －3cos30°+2sin45°3.若a 、β都为锐角且2 sin a=3，则a 的大小为 cos （β－10°）=21，则β的大小为五.课外自评:1.（必做）课本习题2.3 第33页 2，3； 2.（选做）在直角△ABC 中，角C 为直角，cosA=22，求sinA 和tanA 你有几种解法？六．教（学）后反思：“1.2 30°、45°、60°角的三角函数值” 导学提纲设计意图与教学建议1、“30°、45°、60°角的三角函数值”内容主要是利用三角函数的定义求30°、45°、60°角的三角函数，然后把这些值作为结果，要求学生熟记，以便应用。
30、45、60度角三角函数值 上课用
2
3 tan 30 sin2 45 2 cos 2 60. 2
中考链接
（2016•临沂）一般地，当α 、β 为任意角时， sin（α +β ）与sin（α ﹣β ）的值可以用下面的公式 求得：sin（α +β ）=sinα •cosβ +cosα •sinβ sin（α -β ） =sinα •cosβ ﹣cosα •sinβ
拓展提升
( 2) 三角形的内角的比是 1:1: 4 三个内角分别是 30,30,120 ①当A 30，B 30时， 1 3 两根为 ， , 2 2 1 1 2 1 将 代入方程得： 4 （ ） - m 1 0 2 2 2 解得：m 0 3 不是方程4 x 2 1 0的根， 2 所以不符合题意 ; 经检验
1 2 1 2 解：原式 （ ） （ ） -1 2 2
sin 2 A (sin A)2
(1)sin30°+cos45°;(2) sin230°+cos260°-tan45°.
解：原式
1 2 2
1 1 1 4 4
-
1 2
计算: (1)tan450-sin300; 怎样 做？
所以cos210 cos 180 30 cos30
3 ； 2
因为cos45
2 2 ， cos 225 ， 2 2
所以cos225 cos 180 45 cos 45
2 ； 2
猜想：一般地，当 为锐角时，有 cos 180 cos ， 1 由此可知 cos240的值等于 ______ 2
②当A 30, B 120时， 1 1 两根为 ， 2 2 1 1 2 1 将 代入方程得： 4 （ ） - m 1 0 2 2 2 解得：m 0 1 经检验 - 是方程4 x 2 1 0的根， 2 所以m 0符合题意； ③当A 120，B 30时， 3 3 ， ，不符合题意； 2 2 综上所述，A 30，B 120, m 0 两根为
初中数学九年级上册23.1锐角的三角函数(第2课时) 30 45 60 角的三角函数值 课件
做一做
w要能 记住有 多好
洞察力与内秀
特殊角的三角函数值表
三角函数 锐角α
正弦sinα
余弦cosα
正切tanα
300
1
2
3
3
2
3
450
2
2
2 2
1
600
3
1
3
2
2
w这张表还可以看出许多 知识之间的内在联系呢?
例题欣赏
行家看“门道”
w例1 计算: w(1)sin300+cos450;(2) sin2600+cos2600+tan450.
因此更一般地有 :
si9n 0 0 c o , s
c9 o0 0 s s i,n
例题欣赏
行家看“门道”
w例3 在Rt△ABC中,∠C=900 , sinA=1/3,求cosB的值。
解:略。
随堂练习
知识的运用
课本119页第2题（1）、（2）。
w老师期望:只要勇敢地走向黑板来展示自己,就是 英雄!
w解:略。
w老师提示:
Sin2600表示 (sin600)2,
cos2600表示 (cos600)2,其 余类推.
例题欣赏
行家看“门道”
例2:(1)已知sinA=1/2,则锐角A=____; (2)已知3tanA-√3=0,则锐角A=____;
解:略。
随堂练习
知识的运用
w计算: (1)sin600-cos450;
身体健康， 常以为别人在注意你，或希望别人注意你的人，会生活的比较烦恼。
学习进步！
w一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦
B
(或一个锐角的余弦等于它的余角的正弦);
九年级数学上册24.3锐角三角函数30°45°60°角的三角函数值典型例题华东师大版
《30°，45°，60°角的三角函数值》典型例题例1：如图，ABC ∆中，︒=∠90C ，BC =3，AC =3，求AB A A cos 1sin cos sin 22--+的值。
例2 在ABC ∆中，求证：2cos 2sin C B A =+。
例3 如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，AD 是角平分线，且3：4BD ：=CD ，求B s i n 的值。
例4：在中ABC ∆Rt ，︒=∠90C ，斜边5=c ，两直角边的长b a 、是关于x 的一元二次方程0222=-+-m mx x 的两个根，求ABC ∆Rt 较小锐角的正弦值。
参考答案例1 分析：本题综合考查勾股定理，正弦、余弦的定义和代数式的运算。
即先用勾股定理求出第三边，然后根据锐角正弦、余弦的定义去求得。
解：由勾股定理得： ()32332222=+=+=AC BC AB∴21sin ==AB BC A ， 23323cos ===AB AC A ， 23sin ==AB AC B 。
∴231232321cos 1sin cos sin 2222--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=--+B B A A 3323211=+-= 说明：应先把边求出，再求锐角的正、余弦值，最后代入化简，当然若要求出A 、B 的度数，也是可以的，本例实际上︒=30A ，︒=60B 。
例2 分析：要想证明2cos 2sin C B A =+成立，只要证明2B A +与2C 互余即可，而要证明2B A ++2C =︒90，则要借助于三角形的内角和定理。
解：在ABC ∆中，︒=++180C B A∴C B A -︒=+180∴2902C B A -︒=+ ∴2cos 290sin 2sin C C B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-︒=+。
说明：等式2cos 2sinC B A =+成立是有条件的，即“在ABC ∆中”如果把这个条件去掉，则等式就不一定成立了。
华东师大版数学九年级上册24.3《30°,45°,60°角的三角函数值》学习指导
20.2 30°，45°，60°角的三角函数值名师导学典例分析例1 计算： (1)45cos 60cos 45cos 60cos 45sin 60cos 45sin 60cos +-+-+ (2)sin30°+sin60°+tan60°思路分析：利用特殊角的三角函数值直接代入即可.解:(1)原式212121212221222122212221+-+-+=+-+-+= 6)21()21(22-=--+-=(2)原式233132321+=++= 例2 去年某省将处于A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学,为了方便A 、B 两地师生的交往,学校准备在相距2千米的A 、B 两地之间修筑一条笔直公路(如图所示),经测量在A 地的北偏东60°方向、B 地西偏北45°方向的C 处有一个半径为0.7千米的公园,问计划修筑的这条公路会不会穿过公园?为什么?思路分析：只需过C 作CD ⊥AB 于D,然后判断CD 与0.7的大小即可. 解：过C 作CD ⊥AB 于D,如图21－2－2所示,设CD=x 千米,∵∠MAC=60°∴∠CAD=30°,而tan ∠CAD=33=AD CD ,∴x AD 3=.又∠ABC=45°,∴tan ∠ABC=DBCD =1,∴BD=x. 又∵AB=2=AD+DB=x x x )13(3+=+, ∴13132-=+=x ≈0.732>0.7. 即计划修筑的这条公路不会穿过公园.规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：一般情况下求这类式子的值,先要将各角的三角函数值代入,然后化简.因此,需要熟记特殊角的三角函数值,需注意的是,这类题虽然简单,但很容易出错,因而要特别注意.2 方法点拨：此类题一般都可转化为直角三角形的问题来解决,其中特殊角的三角函数值为解决此问题提供了有力的保障,应注意从中积累经验.。
九年级数学上册《特殊角的三角函数值》教案
特殊角的三角函数值【知识与技能】1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值.2.让学生经历30°、45°、60°角的三角函数值推导过程，从而掌握特殊角的三角函数的运用方法.【过程与方法】学生经历30°、45°、60°角的三角函数值推导过程，发展学生的推理能力和计算能力.【情感态度】通过本节课的学习了让学生体会锐角三角函数的数学美，从而培养学生的数学应用意识.【教学重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值.【教学难点】根据函数值说出对应的锐角度数.一、情境导入，初步认识上节课我们学习了锐角三角函数的定义.复习如图所示Rt△DEC，∠E=90°,DE=6,CD=10,求∠D的三个三角函数值.(sinD=4/5,cosD=3/5,tanD=4/3)二、思考探究，获取新知你能否根据锐角三角函数的定义求出30°角的三个三角函数值？1.探究3.填表思考：(1)sin α随着α的增大而增大；（2）cos α随着α的增大而减小；（3）tan α随着α的增大而增大.例求值：sin30°·tan30°+cos60°·tan60°解：原式112323=⨯+=. 三、运用新知，深化理解2.直线y=kx-4与y 轴相交所成的锐角的正切值为12，则k 的值为_______.4.已知，如图，在△ABC 中，∠B=45°，∠C=60°,AB=6,求BC 的长.(结果保留根号）【教师点拨】第1题的计算，注意理清运算顺序；第2题可构造直角三角形再运用锐角三角函数的知识解决，注意两种情况；第3题先求出α的三角函数值，再根据其值求角的度数.四、师生互动，课堂小结本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习.。
九年级数学上册24.3锐角三角函数巧记特殊角的三角函数值素材华东师大版(new)
巧记特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值有着广泛的应用，要求大家必须熟记，为了帮助记忆,可采用下面的方法．1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=21sin45°=cos45°=22tan30°=33tan 45°=12、列表法：说明:正弦值随角度变化，即0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从0 21 22 1变化,其余类似记忆．3、规律记忆法:观察表中的数值特征,可总结为下列记忆规律：① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ; 30˚ 1 2 3 1 45˚1 2 1260˚3②增减性:（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦值随角度的增大而减小),即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；特别地：若0°＜ ＜45°，则sinA ＜cosA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ．4、口决记忆法:观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为2m 形式，正切值可表示为3m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜:一、二、三；三、二、一；三九二十七．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be someunsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。
24·3·锐角三角函数 第2课时_1531992738530
BC AB
=
x= 2x
2, 2
cosA=cos45°=
AC AB
=
x= 2x
2, 2
tanA=tan45°=
BC AC
=
1
.
5
⑶如图,在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°， 设AC＝x，则AB＝ 2x ＝ 3x ,
∴sinA=sin60°=
BC AB
=
3x = 2x
3 2
,
cosA=cos60°=
AC AB
=
x 2x
=
1 2
,
tanA=tan60°=
BC AB
=
3x = x
3.
6
2.根据上面的解答，我们能得出以下结论：
α
sinα
cosα
tanα
1
30°
3
3
2
2
3
45°
2
2
1
2
2
60°
3
1
2
2
3
7Leabharlann 探究点2：同角的锐角三角函数关系(拓展)
1.做一做：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，它的三边
解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函 数值，熟练掌握零(负)指数幂、二次根式、绝对 值等的运算.
11
若α为锐角，且sinα－cosα＝ 2 ，
2
求sinα＋cosα. 答案： 6 .
2
利用完全平方公式将sinα＋cosα和 sinα·cosα联系起来，再利用sin2α＋ cos2α＝1可求解.
12
分别为a、b、c.
a
b
⑴∵sinA＝ c ，cosA＝ c .
九年级数学上册-30°45°60°角的三角函数值第2课时互余两锐角的三角函数关系课件沪科版
A
8C
练习 已知∠A 与∠B 都是锐角. （1）把 cos（90°–∠A）写成∠A 的正弦； sin A （2）把 sin（90°–∠B）写成∠B 的余弦； cos B
例 5 在Rt△ ABC 中,∠C = 90°,且 sin A = ,1求 cos B 的值.
3
解 ∵ ∠A + ∠B = 90°, ∴cos B = cos（90°–∠A） = sin A =1 3
练习
（1）已知:cos A = 1 ,且∠B = 90°–∠A,求
sin A 的值；
3
解 sin A = sin（90°–∠B）
= cos A =1
3
（2）已知:sin 22°= 0.374 6,cos 22°= 0.927 2,求68°的正弦、余弦的值.
解 sin 68° = sin（90°– 22°） = cos 22° = 0.927 2
a
sin A ∴ cos A =
c b
a =b = tan A.
c
B a
c
A
b
C
（2）∵∠C = 90°,∴a2 + b2 = c2.
sin2 A + cos2 A
=
a c
2
b c
2
=
a2 b2 c2
=a2 b2 c2
= 1.
A
B
c
a
b
C
在 Rt△ABC 中,∠C = 90°, 求证:tan A ·tan B = 1
cos A = sin B
A
= sin（90°–∠A）,
B
c
a
b
C
任意一个锐角的正（余）弦的值,等于它 的余角的余（正）弦的值.
九年级数学 第一章 直角三角形的边角关系 2 30°,45°,60°角的三角函数值教学
12/7/2021
第十四页，共二十三页。
2．（荆门·中考(zhōnɡ kǎo)）计算 sin45°的结果(jiē guǒ)等于（ ）
A． 2
B．1 C．
D．
【解析(jiě xī)】选B.
12/7/2021
第十五页，共二十三页。
3．（眉山·中考(zhōnɡ kǎo)）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B=30°，∠C=60°，AD=4，AB= ，
BC 7 1， sinA= AB AB 2
C
A
∴AB=14 m.
即扶梯(f021
第十二页，共二十三页。
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C的对边分别(fēnbié)是a,b,c. c 求证:sin2A+cos2A=1.
A
b
【证明(zhèngmíng)】在Rt△AaB2C中b，2 c2，
12/7/2021
第二页，共二十三页。
1.锐角三角函数的定义：
直角三角形中边与角的关系(guān xì):锐角三角函数.
2.在直角三角形中,若一个锐角确定(quèdìng),那么这个角的对边, 邻边和斜边之间的比值也随之确定(quèdìng).
sin A a , c
cos A b , c
sin B b , c
A
D
B
C
12/7/2021
第十八页，共二十三页。
【解析(jiě xī)】（1）∵∠B＝60°，
∴∠BCD=60°，又 ∵AB＝AD＝DC，
∴∠DAC=∠DCA， ∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA， ∴∠DCA=∠BCA.
∴∠ACB=30°.
cos∠ACB=cos 30°= .
九年级数学上册-30°45°60°角的三角函数值第1课时30°45°60°角的三角函数值课件新版沪科
直径,DE⊥AB 于点 E,BC = 1,AC = ,则∠D的度3
数为
. 30°
课堂小结
（为什3么？）.
B
你能说明理由吗？
2 60° 1
30°
A
3
C
于是有
1
3
3
sin 30°= _2___,cos 30°= _2___,tan 30°= _3___；
3
1
sin 60°= _2___,cos 60°= _2___,tan 60°= __3__；
B
2 60° 1
30°
A
3
C
如图（2）,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠A
（2）原式 = 2 2 1=0. 22
随堂演练
1. 求下列各式的值: （1）1 – 2sin 30°cos 30°；2 3
2
（2）3tan 30°– tan 45°+ 2sin 60°；2 3 1 （3）(cos2 30°+ sin2 30°)×tan 60°. 3
2. 已知 α 为锐角,tan α = ,3则cos α 等于
2. 30°,45°,60°角的三角函数值
第1课时 30°,45°,60°角的三角函数值
新课导入
根据锐角三角函数的定义及直角三角形的 有关性质,很容易得到30°,45°,60°角的三角 函数值.
30°
60 °
45 °
操作
新课探究
如图（1）,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠A
= 30°,∠B = 60°. 设 BC = 1,则 AB = 2,AC =
30°
1 2 3 2 3 3
45°
2 2 2 2
九年级数学 第一章 直角三角形的边角关系 2 30°,45°,60°角的三角函数值教学
c
c
A
B
c
a
┌
b
C
sin A 和 cos B 有什么关系? sin A= cos B
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用心想一想
如图，观察一副三角板，它们其中有几个锐角?分别是多 少度?
(1)sin 30°等于多少? (2)cos 30°等于多少? (3)tan 30°等于多少?
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
教学课件
数学 九年级下册 北师大版
12/11/2021
第一章 直角三角形的边角关系
2 30°，45°，60°角的三角函数值
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情景导入
锐角三角函数的定义
在直角三角形中，若一个锐角确定，则这个角的对边，邻
边和斜边之间的比值也随之确定.
sin A a , cos A b ,
c
c
sin B b , cos B a ,
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用心做一做
讲授新课
1.60°角的三角函数值分别是多少？你是怎样得到的？ 2.45°角的三角函数值分别是多少？你是怎样得到的？
老师期望： 你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的功能来进 行重新认识和评价吗？
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3. 完成下表：
特殊角的三角函数值表
三角函数 锐角 α
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A
┐
B
C
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sin α
cos α
要能记住 有多好
30° 45° 60°
1
3
2
2
2
2
2
2
3
1
2
2
tБайду номын сангаасn α
鲁教版九年级数学上册30°、45°、60°角的三角函数值 (1)
30°、45°、60°角的三角函数值 (1)课时安排1课时从容说课本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.因此本节的重点是利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的特殊三角函数值，并能够进行含有30°、45°、60°°、45°、60°这些特殊角的三角函数值.三角尺是学生非常熟悉的学习用具，教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力.30°，45°，60°角的三角函数值教学目标(一)教学知识点°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.°、45°、60°角的三角函数值的计算.°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.(二)思维训练要求°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教具重点°、45°、60°角的三角函数值.°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.教学难点进一步体会三角函数的意义.教学方法自主探索法教学准备一副三角尺多媒体演示教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)[生]我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.[生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢? [生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2.CD ＝33a. 则树的高度即可求出.[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=aCDAD CD =，则CD= atan30°，岂不简单.你能求出30°角的三个三角函数值吗? Ⅱ.讲授新课°、45°、60°角的三角函数值.[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°. [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝21. sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ，所以sin30°＝212=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢?[生]cos30°＝2323=a a . tan30°=33313==a a [师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?[生]求60°的三角函数值可以利用求30°°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=2323=a a ,cos60°=212=a a , tan60°＝33=aa. °＝cos(90°-60°)＝cos30°=23cos60°=sin(90°- 60°)=sin30°=21. [师生共析]我们一同来 求45°45°角的直角三角形是等腰 直角三角形.(如图)设其中一 条直角边为a ，则另一条直角 边也为a ，斜边2sin45°=22212==a a , cos45°＝22212==a a , tan45°=1=aa[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示) 30°、45°、60°角的三角函数值三角函数角sin αco αtan α30°21 23 33 45°22 22 1这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小. °、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1，2，3，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.[师]再来看第二列函数值，有何特点呢?[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为3，2，1，余弦值随角度的增大而减小.[师]第三列呢?[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊. °、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒. 2.例题讲解(多媒体演示) [例1]计算：(1)sin30°+cos45°； (2)sin 260°+cos 260°-tan45°.分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin 260°表示(sin60°)2，cos 260°表示 (cos60°)2.解：(1)sin30°+cos45°=2212221+=+, (2)sin 260°+cos 260°-tan45°=(23)2+(21)2-1=43 +41-1 ＝0.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解：根据题意(如图) 可知，∠BOD=60°， OB=OA ＝OD=2.5 m ， ∠AOD ＝21×60°＝30°， ∴OC=OD ·cos30°×23≈2.165(m). ∴≈0.34(m).所以，最高位置与最低位置的高度约为 0.34 m. Ⅲ.随堂练习 多媒体演示 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；(3)22sin45°+sin60°-2cos45°. 解：(1)原式＝23-1=223-；(2)原式=21+=23213+=(3)原式=22×22+23×22； =22231-+2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少? 解：扶梯的长度为21730sin 7=︒=14(m)，所以扶梯的长度为14 m. Ⅳ.课时小结本节课总结如下：(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.sin30°＝21，sin45°＝22，sin60°＝23；cos30°＝23，cos45°＝ 22，cos60°＝21； tan30°=33，tan45° ＝1，tan60°=3.(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小. Ⅴ.课后作业习题1.3第1、2题 Ⅵ.活动与探究°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高? (精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E ，直射到乙楼D 点，D 点向下便接受不到光线，过D 作DB ⊥AE(甲楼).在Rt △BDE 中.BD=AC ＝24 m ，∠EDB ＝30°.可求出BE ，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE.[结果]在Kt △BDE 中，BE=DB ·tan30°＝24×33=83m. ∵DF ＝BE ，∴DF=83≈8×1.73＝13.84(m). ≈16.2(m). 板书设计§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值一、探索30°、45°、60°的三角函数值1.预备知识：含30°的直角三角形中，30°角 的对边等于斜边的一半.含45°的直角三角形是等腰直角三角形. °，45°，60°角的三角函数值列表如下：三角函数角角αsin αco αtan α30°21 23 33 45°22 22 160°23 21 3二、含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.三、实际应用 备课资料 参考练习1.(2003年石景山)计算：13230sin 1+-︒.答案：3-32.(2003年崇文)汁算：(2+1)-1+2sin30°-8答案：-23.(2003年某某某某)计算：(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1. 答案：25 4. (2003 年某某)计算：sin60°+︒-60tan 11答案：-21 5.(2003年某某某某)计算；2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.答案：-283+。