高中数学人教版必修正弦函数、余弦函数的性质作业(系列三)

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高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质课时作业新人教A版必修41118653

高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质课时作业新人教A版必修411186531.4.2 正弦函数、余弦函数的性质选题明细表知识点、方法题号求三角函数的周期1,6,9三角函数的奇偶性的判断8正、余弦函数的单调性2,3,7,13正、余弦函数的值域与最值问题5,11,12正、余弦函数的综合问题4,10基础巩固1.(2019·拉萨市高一月考)函数y=sin(x+)(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值为( A )(A)7 (B)8 (C)9 (D)10解析:函数y=sin(x+)(k>0)的最小正周期不大于2,可得T==≤2,k≥2π,则正整数k 的最小值为7.故选A.2.满足sin(x-)=的x的集合是( D )(A)(B)(C)(D)解析:sin(x-)=,x-=2kπ+或x-=2kπ+π,k∈Z,x=2kπ+π或x=2kπ+π,k∈Z.故选D.3.(2018·贵阳市高一期末)在下列给出的函数中,以π为周期且在区间(0,)内是减函数的是( B )(A)y=sin (B)y=cos 2x(C)y=sin(x-) (D)y=sin(2x+)解析:对于A,y=sin 的周期为T==4π,不合题意;对于B,x∈(0,)时,2x∈(0,π),所以y=cos 2x在(0,)上是减函数,又函数的周期为T=π,满足题意;对于C,x∈(0,)时,x-∈(-,),所以y=sin(x-)在(0,)内是增函数,不合题意;对于D,x∈(0,)时,2x+∈(,),所以y=sin(2x+)在(0,)内不是单调递减函数,不合题意.故选B.4.(2019·南昌市高一月考)已知函数f(x)=sin(x-)(x∈R),下列结论错误的是( A )(A)函数f(x)是奇函数(B)函数f(x)的最小正周期为2π(C)函数f(x)在区间[0,]上是增函数(D)函数f(x)的图象关于直线x=0对称解析:函数f(x)=sin(x-)=-sin（-x）=-cos x(x∈R),所以f(x)=-cos x是偶函数,A错误;f(x)=-cos x的最小正周期为2π,B正确;y=cos x在[0,]上是减函数,所以f(x)=-cos x在区间[0,]上是增函数,C正确;由y=cos x的图象知,f(x)=-cos x的图象关于直线x=0对称,D正确.故选A.5.如果函数y=3cos(2x+ϕ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|ϕ|的最小值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:函数关于点(,0)对称,则有3cos(2×+ϕ)=0,即cos(+ϕ)=0,所以cos(+ϕ)=0,即+ϕ=+kπ,k∈Z,即ϕ=-+kπ,k∈Z,所以当k=0时,|ϕ|=,此时|ϕ|最小.故选A.6.(2018·巢湖市高一期末)函数f(x)=3cos(x-)的最小正周期为. 解析:根据题意,函数f(x)=3cos(x-),其中ω=,其最小正周期T==4.答案:47.函数f(x)=2sin(-2x)在[π,2π]上的单调递增区间是.解析:2kπ+≤-2x≤2kπ+π,k∈Z,2kπ+≤-2x≤2kπ+π,k∈Z,-kπ-π≤x≤-kπ-,k∈Z.又x∈[π,2π],故当k=-2时,≤x≤满足题意.答案:8.已知函数f(x)=sin(2x+ϕ),试求ϕ为何值时:(1)f(x)是奇函数?(2)f(x)是偶函数?解:(1)因为f(x)的定义域为R,所以当f(x)为奇函数时必有f(0)=0.即sin ϕ=0,所以ϕ=kπ(k∈Z).即当ϕ=kπ(k∈Z)时,f(x)=sin(2x+ϕ)是奇函数.(2)因为偶函数的图象关于y轴对称,且正、余弦函数在对称轴处取最值,所以要使f(x)为偶函数,需有f(0)=±1,即sin ϕ=±1.所以ϕ=kπ+(k∈Z).即当ϕ=kπ+(k∈Z)时,f(x)=sin(2x+ϕ)是偶函数.能力提升9.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)=则f(-)的值等于( B )(A)1 (B)(C)0 (D)-解析:由题意知,f(-)=f(-3×+)=f()=sin =.10.(2019·沈阳市高一期中)函数f(x)=sin(2x+ϕ+)(|ϕ|<)是偶函数,则下列说法错误的是( C )(A)函数f(x)在区间(0,)上单调递减(B)函数f(x)的图象关于直线x=-对称(C)函数f(x)在区间(,)上单调递增(D)函数f(x)的图象关于点(,0)对称解析:因为函数f(x)=sin(2x+ϕ+)(|ϕ|<)是偶函数,所以ϕ+=+kπ,k∈Z,则ϕ=+kπ,k∈Z,ϕ=.所以f(x)=sin(2x+)=cos 2x.当x∈(0,)时,2x∈(0,π),函数f(x)在区间(0,)上单调递减,故A正确;f(-)=cos(-π)=-,函数f(x)的图象关于直线x=-对称,故B正确;当x∈(,)时,2x∈(,),函数f(x)在区间(,)上先减后增,故C错误;f（）=cos=0,函数f(x)的图象关于点（,0）对称,故D正确.所以说法错误的是C.故选C.11.(2018·张家港市高一期中)已知函数f(x)=sin（x+）,其中x∈[-,],则f(x)的值域是.解析:函数f(x)=sin(x+),当x∈[-,]时,x+∈[-,],所以sin(x+)∈[-,1];且x=-时,f(x)取得最小值-,x=时,f(x)取得最大值1;所以f(x)的值域是[-,1].答案:[-,1]12.已知函数f(x)=2asin(2x-)+b的定义域为[0,],最大值为1,最小值为-5,求a和b的值. 解:因为0≤x≤,所以-≤2x-≤π,所以-≤sin(2x-)≤1,易知a≠0.当a>0时,f(x)max=2a+b=1,f(x)min=-a+b=-5.由解得当a<0时,f(x)max=-a+b=1,f(x)min=2a+b=-5.由解得探究创新13.已知ω是正数,函数f(x)=2sin ωx在区间[-,]上是增函数,求ω的取值范围.解:由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z)得-+≤x≤+(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是[-+,+](k∈Z).据题意,[-,]⊆[-+,+](k∈Z).从而有解得0<ω≤.故ω的取值范围是(0,].。

人教版高中数学必修4课时作业7正弦函数、余弦函数的性质

一、选择题1．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是() A．y轴B．x轴C．直线x＝π2D．直线x＝π【解析】当x＝π2时，y取最大值，∴x＝π2是一条对称轴．【答案】 C2．函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是()A．0 B.π4C.π2D．π【解析】当φ＝π2时，y＝sin(2x＋π2)＝cos 2x，而y＝cos 2x是偶函数，故选C.【答案】 C3．函数y＝1－2cos π2x的最小值，最大值分别是()A．－1,3 B．－1,1 C．0,3 D．0,1【解析】∵cos π2x∈[－1,1]，∴－2cosπ2x∈[－2,2]，∴y＝1－2cosπ2x∈[－1,3]，∴y min＝－1，y max＝3. 【答案】 A4．函数f(x)＝3sin(x＋π6)在下列区间内递减的是()A．[－π2，π2] B．[－π，0]C ．[－23π，2π3]D ．[π2，2π3]【解析】令2k π＋π2≤x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z 可得2k π＋π3≤x ≤2k π＋4π3，k ∈Z ，∴函数f (x )的递减区间为[2k π＋π3，2k π＋4π3]，k ∈Z .【答案】 D5．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°【解析】 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.由正弦函数的单调性得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.【答案】 C二、填空题6．函数y ＝2cos(π3－ωx )的最小正周期为4π，则ω＝_____.【解析】 ∵4π＝2π|－ω|，∴ω＝±12. 【答案】 ±127．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．【解析】 y ＝(sin x ＋12)2－54，∵－1≤sin x ≤1，∴0≤(sin x ＋12)2≤94.－54≤y ≤1.【答案】 [－54，1]8．若已知f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝sin 2x ＋cos x ．则x <0时，f (x )＝__________.【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝sin(－2x )＋cos(－x )，∴f (－x )＝－sin 2x ＋cos x .∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (－x )，∴f (x )＝－[－sin 2x ＋cos x ]＝sin 2x －cos x .【答案】 sin 2x －cos x三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin(2x ＋3π2)；(2)f (x )＝sin x (1－sin x )1－sin x. 【解】 (1)函数f (x )的定义域是R ，f (x )＝sin(2x ＋3π2)＝－cos 2x ，∴f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )．∴f (x )是偶函数．(2)由题意，知sin x ≠1，即f (x )的定义域为{x |x ≠2k π＋π2}，k ∈Z ，此函数的定义域不关于原点对称．∴f (x )是非奇非偶函数．10．求函数y ＝3sin(π3－x 2)的单调递增区间．【解】 y ＝3sin(π3－x 2)＝－3sin(x 2－π3)．由π2＋2k π≤x 2－π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：5π3＋4k π≤x ≤11π3＋4k π，k ∈Z ，∴函数y ＝3sin(π3－x 2)的单调增区间为[5π3＋4k π，11π3＋4k π](k ∈Z )．11．已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．【解】 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin(2x －π3)≤1，易知a ≠0.当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 【教师备课资源】1．比较大小比较下列各组值的大小．(1)sin 21π5与sin 425π；(2)sin 194°与cos 160°.【思路探究】 (1)首先将角21π5和42π5化为[0,2π]内的角，再依据单调性比较大小．(2)先化为同名函数再进行比较．【解】 (1)由于sin 21π5＝sin(4π＋π5)＝sin π5，sin 42π5＝sin(8π＋2π5)＝sin 2π5.又0<π5<2π5<π2，而y ＝sin x 在[0，π2]上单调递增，所以sin π5<sin 2π5，即sin 21π5<sin 42π5.(2)由于sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，又0°<14°<70°<90°，而y ＝sin x 在[0，π2]上单调递增，所以sin 14°<sin 70°，－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.借助正弦、余弦函数的单调性可以比较两个三角函数值的大小，关键是将两个三角函数值化为在同一个单调区间内的两个角的同名三角函数值．对于正弦函数来说，一般将两个角转化到[－π2，π2]或[π2，3π2]内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内．比较下列各组数的大小：(1)sin(－320°)与sin 700°；(2)cos 17π8与cos 379π.【解】 (1)∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin 40°，sin 700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)，又函数y ＝sin x 在[－π2，π2]上是增函数，∴sin 40°>sin(－20°)，∴sin(－320°)>sin 700°.(2)∵cos 17π8＝cos(2π＋π8)＝cos π8，cos 37π9＝cos(4π＋π9)＝cos π9，又函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos π8<cos π9，∴cos 17π8<cos 37π9.2．知识拓展正弦函数、余弦函数图象对称性的应对策略(1)由正弦曲线和余弦曲线可知：函数y ＝sin x 和y ＝cos x 既是中心对称图形，又是轴对称图形．y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )．y ＝cos x 的对称中心为(k π＋π2，0)(k ∈Z )，对称轴为x ＝k π(k ∈Z )．(2)例如：若函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π6对称，则a ＝________.【解析】可先对f (x )的解析式化简，要求其对称轴方程，使其中的一个对称轴方程为x ＝π6，从而求出a 的值，也可用特例法来求解：∵f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∵f (0)＝f (π3)，即a ＝sin π3＋a cos π3，∴a＝3，故填 3.【答案】 3(3)由函数图象的对称性可知：若f(x)＝sin x，且f(a＋x)＝f(a－x)对任意实数x恒成立，则a＝kπ＋π2(k∈Z)．若f(x)＝cos x，且f(a＋x)＝－f(a－x)对任意实数x恒成立，则a＝kπ(k∈Z).。

高一数学(必修一)《第五章正弦函数、余弦函数的性质》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第五章正弦函数、余弦函数的性质》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．函数()()sin 0f x x ωω=>的最小正周期为2π，则ω的值为（） A ．4B ．2C ．1D ．122．设函数()2sin()3f x x π=+，若对任意x ∈R ，都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，则|x 1﹣x 2|的最小值是（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 3．下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A ．y =B ．cos y x =C ．3x y =D ．ln y x =4．函数()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数的一个充分条件（）A ．6π=ϕ B ．6πϕ=-C ．3πϕ=D ．3πϕ=-5．已知α是第四象限角，且23sin 8cos αα=，则2021cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．B ．13-C D ．136．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ． ,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈ZB ． ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈ZC ． 2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z D ． ,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()k ∈Z7．已知函数()()()2sin 00πf x x ωϕωϕ=+><<，的部分图象如图所示，点(0A 和π,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法中错误的是（）A ．直线π12x =是图象的一条对称轴 B ．()f x 的图象可由()2sin2g x x = 向左平移π3个单位而得到C ．的最小正周期为πD ．在区间ππ-,312⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增8．已知定义在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意()(),2x R f x f x ∈=-；③当[]0,1x ∈时，则()32f x x =；若过点()1,0-的直线l 与函数()f x 的图象在[]0,4x ∈上恰有4个交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（） A ．60,11⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，且13π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图象．若()()129g x g x =，1x 和[]20,4πx ∈，则21x x -的最大值为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10．将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线3x π=对称，则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．0D ．12二、填空题11．函数321,0,()1211,0,2xx x x f x x x ⎧+->⎪=⎨⎛⎫--+≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，则[(2)]f f -=___________. 12．已知函数()f x 是在R 上连续的奇函数，其导函数为()f x '．当x ＞0时，则()()20xf x f x '+>，且()11f =，则函数()()21g x f x x =-的零点个数为______． 13．()()11sin cos cos sin 22f x x x x x =+--，下列说法错误的是______. ①()f x 的值域是[]1,1-； ②当且仅当222k x k πππ<<+（k Z ∈）时，则()0f x >；③当且仅当24x k ππ=+（k Z ∈）时，则()f x 取得最小值；④()f x 是以π为最小正周期的周期函数.14．设函数(),12,1x x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩的最小值为2，则实数a 的取值范围是______.15．若偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()10f =，则不等式()2330f x x -+≥的解集是____________.三、解答题16．已知幂函数()f x x α=的图象经过点1(8,)2，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．17．比较下列各组数的大小．（1）cos870,cos890︒︒；（2）37π49πsin ,sin 63⎛⎫- ⎪⎝⎭. 18．已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =和()f x m n =⋅，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．(1)求函数()f x 的单调增区间； (2)将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围．19．已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-.(1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在区间［0，2π］上的最值. 20．已知函数()1sin 62f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）若函数()f x 在区间[]0,a 上是严格增函数，求实数a 的取值范围；（2）求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点．21．已知函数()2x f x x =． (1)判断并证明函数()f x 的奇偶性；(2)判断函数()f x 在区间[)0,+∞上的单调性（不用证明），并解不等式()()221f x f x +>-．22．已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知． (1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围．条件①：函数()f x 的最小正周期为π；条件②：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分． 23．已知某海滨浴场的海浪高度是时间t （h ）（024t ≤≤）的函数，记作()y f t =．下表是某日各时的浪高数据.经长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t b ω=+.(1)根据以上数据，求出函数cos y A t b ω=+的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？四、双空题24．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，且2222b c a a +=+，则A = _______，△ABC 的面积的取值范围是 _________ .参考答案与解析1．A【分析】根据正弦型函数的周期计算公式2T πω=即可求解.【详解】由2T πω=∴2242Tππωπ===. 故选：A. 2．C【解析】首先得出f （x 1）是最小值，f （x 2）是最大值，可得|x 1﹣x 2|的最小值为函数的半个周期，根据周期公式可得答案．【详解】函数()2sin()3f x x π=+ ∵对任意x ∈R 都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2） ∴f （x 1）是最小值，f （x 2）是最大值； ∴|x 1﹣x 2|的最小值为函数的半个周期 ∵T ＝2π∴|x 1﹣x 2|的最小值为π 故选：C. 3．D【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性判断即可.【详解】解：对于A ：y =[)0,∞+，函数为非奇非偶函数，故A 错误；对于B ：cos y x =为偶函数，但是函数在()0,∞+上不具有单调性，故B 错误；对于C ：3x y =为非奇非偶函数，故C 错误；对于D ：()ln y f x x ==定义域为{}|0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==故ln y x =为偶函数，又当()0,x ∈+∞时ln y x =，函数在()0,∞+上单调递增，故D 正确；故选：D 4．A【分析】根据函数()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，由,Z 32k k ππϕπ+=+∈求解.【详解】解：若函数()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数所以,Z32k k ππϕπ+=+∈则,Z6k k πϕπ=+∈故选：A 5．C【分析】利用三角函数的基本关系式与条件可求得sin α的值，再利用诱导公式化简2021cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可求得结果.【详解】因为23sin 8cos αα=，所以429sin 64cos αα=又因为22sin cos 1αα+=，所以2264sin 64cos 64αα+=，即2464sin 9sin 64αα+= 整理得429sin 64sin 640αα+-= 解得28sin 9α=或2sin 8α=- (舍去)又因为α是第四象限角，所以sin 0α<，故sin α=所以2021cos cos 101022ππααπ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭. 故选：C. 6．B【分析】根据题意可得6f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的最大值，进而结合()0,2πϕ∈可得π6ϕ=，从而有()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求解其单调递增区间即可.【详解】()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的最大值，即()π22πZ 62k k πϕ⨯+=+∈，则()π2πZ 6k k ϕ=+∈，又()0,2πϕ∈，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令()πππ22π,2πZ 622x k k k ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，则()πππ,πZ 36x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦.故选：B. 7．B【分析】根据五点作图法可得，然后利用正弦函数的性质，代入逐一进行检验即可.【详解】由函数()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<部分图象，点(A ，π,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故sin ϕ=，由于点A 在单调递增的区间上，π3ϕ=或2π3ϕ= （舍去），再根据五点法作图可得 ππ+=π33ω⋅，求得2ω=，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ．对于A,令π12x =，求得()2f x =，为最大值，故直线π=12x 是()f x 图象的一条对称轴，故A 正确；对于B,把()2sin2g x x =向左平移π3个单位，可得2π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故B 错误；对于C,()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π=π2，故C 正确；对于D ，ππ-,312x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和πππ2-,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，故D 对.故选：B 8．D【分析】根据条件可知()f x 是周期为2的函数，作出函数图像，数形结合即可得解.【详解】因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以()f x 为偶函数，即()()f x f x =-，又因为对于任意()(),2x R f x f x ∈=-，所以()()()2f x f x f x =-=-从而()()2f x f x =+，即()f x 是周期为2的函数结合当[]0,1x ∈时，则()32f x x =，可作出()f x 在[]0,4的图像以及直线l 的图像，如下图所示：当3x =时，则易知()32f x =，则直线MA 的斜率()3032318MA k -==-- 过点()1,0-的直线l 与函数()f x 的图象在[]0,4上恰有4个交点，则只需直线l 斜率k 的取值范围是30,8⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D. 9．C【分析】根据函数图象求得()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据图象变换可得()g x 的解析式，结合()()129g x g x =，1x ，[]20,4x π∈，求得21,x x 的值，可得答案.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，则由图可知372433T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得4T π=，则212T πω==，所以()1sin 2f x A x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又由题图可知()f x 图象的一个对称中心为点2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭故1223k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，Z k ∈故3k πϕπ=+，Z k ∈ 因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()1sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为1323f π⎛⎫= ⎪⎝⎭故131135sin sin sin 2323322f A A A A πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度得到()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象；因为()()129g x g x =，所以12,x x 同时令()g x 取得最大值3由()2sin 2133g x x π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，可得()11212k x π+=Z k ∈又[]12,0,4x x π∈，要求21x x -的最大值，故令0k =，得112x π=；令3k =，得23712x π=，所以21x x -的最大值为3731212πππ-=故选：C. 10．D【分析】由平移变换写出()g x 的表达式，由()g x 的对称性求得ϕ，然后计算函数值．【详解】由已知()sin[2()]sin(2)63g x x x ππϕϕ=-+=-+()g x 的图象关于直线3x π=对称，则2,Z 332k k πππϕπ⨯-+=+∈，又0ϕπ<<，所以6π=ϕ 所以()sin(2)6g x x π=-，所以1()sin(2)6662g πππ=⨯-=．故选：D ． 11．11【分析】根据函数解析式，先求得(2)f -再求解. 【详解】因为函数321,0,()1211,0,2xx x x f x x x ⎧+->⎪=⎨⎛⎫--+≤⎪ ⎪⎝⎭⎩所以21(2)|2(2)1|122f -⎛⎫-=⨯---+= ⎪⎝⎭ 32(2)22111f =+-=故答案为：11 12．1【分析】函数()()21g x f x x=-的零点就是方程()21x f x =的根, 设()()2h x x f x =，对()h x 求导，结合题意知()h x 为()0,∞+上的增函数，由()()111h f ==，即可得出答案.【详解】()()()22211x f x g x f x x x -=-=则函数()()21g x f x x=-的零点就是方程()21x f x =的根．设()()2h x x f x =由题意得()()()()()22h x x f x x f x h x -=--=-=-因为()h x 的定义域为R ，所以()h x 为R 上连续的奇函数．易得()()()()()222h x xf x x f x x xf x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦由题知，当x ＞0时，则()()20xf x f x '+>，则()0h x '> 即函数()h x 为()0,∞+上的增函数又因为()h x 为R 上连续的奇函数，所以()h x 为R 上的增函数．由()11f =，得()()111h f ==，则方程()21x f x =只有一个根故函数()()21g x f x x =-只有1个零点．故答案为：1. 13．①③④【解析】将函数解析式化简并用分段函数表示出来，画出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】解：()()()()sin ,cos sin 11sin cos cos sin cos ,cos sin 22x x x f x x x x x x x x ⎧>⎪=+--=⎨≤⎪⎩则画出函数图象如下：观察函数图象可得：函数的值域为⎡-⎢⎣⎦，故①错误；当且仅当222k x k πππ<<+（k Z ∈）时，则()0f x >，故②正确；当22x k ππ=-或2x k ππ=+（k Z ∈）时，则()f x 取得最小值，故③错误；函数()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故④错误；故错误的有：①③④故答案为：①③④【点睛】本题主要考查三角函数的性质和三角函数图象的应用，属于中档题.14．[)3,+∞【解析】分别求1≥x 和1x <时函数的值域，再根据题意比较两部分的最小值，求a 的取值范围.【详解】当1≥x 时，则()22x f x =≥，当1x <时，则()1f x a >-由题意知，12a -≥ 3a ∴≥.故答案为：[)3,+∞【点睛】本题考查根据分段函数的最值求参数的取值范围，属于基础题型.15．[]1,2【分析】根据偶函数的性质得到11x -≤≤时()0f x ≥，即可将不等式化为21331x x -≤-+≤，解得即可.【详解】解：因为偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在(),0∞-上单调递增又()10f =，所以()()110f f -==，所以当11x -≤≤时()0f x ≥则不等式()2330f x x -+≥等价于21331x x -≤-+≤，解得12x ≤≤ 所以原不等式的解集为[]1,2.故答案为：[]1,216．答案见解析.【分析】根据给定条件求出α值，判断奇偶性，写出单调区间及单调性，画出()f x 的草图作答.【详解】因幂函数()f x x α=的图象经过点1(8,)2，则182α=，即3122α-=，31α=-解得13α=- 所以函数()f x 的解析式为13()f x x -=，其定义域是(,0)(0,)-∞+∞()f x =()()f x f x -===-，()f x 是奇函数函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递减函数()f x 的大致图象如图17．（1）cos870cos890︒>︒，（2）37π49πsin sin 63⎛⎫-< ⎪⎝⎭【分析】（1）先利用诱导公式化简，然后利用余弦函数的单调性比较大小（2）先利用诱导公式化简，然后利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】（1）cos870cos(2360150)cos150︒=⨯︒+︒=︒cos890cos(2360170)cos170︒=⨯︒+︒=︒∵余弦函数cos y x =在[]0,π上是减函数∴cos150cos170︒>︒，即cos870cos890︒>︒.（2）37πππ49πππsin()sin(6π)sin(),sin sin(16π)sin ,666333-=--=-=+= ∵正弦函数sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ∴ππsin sin 63⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即37π49πsin sin 63⎛⎫-< ⎪⎝⎭. 18．(1),32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合余弦函数的性质计算可得；（2）根据三角函数变换规则得到()g x 的解析式，再根据x 的取值范围求出46x π+的取值范围，再根据余弦函数的性质及图象计算可得；（1）解：因为2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =且()f x m n =⋅所以()22sin 22sin 6f x m n x x π⎛⎫=⋅=-+- ⎪⎝⎭()122cos 21cos 22x x x ⎫=-+--⎪⎪⎝⎭1cos 221cos 2123x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ 即()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 令2223k x k ππππ-≤+≤ k Z ∈ 解得236k x k ππππ-≤≤- k Z ∈ 又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以函数()f x 的单调增区间为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）解：因为()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位得到cos 21cos 21121236f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦将所得图象上各点横坐标缩短为原来的 12（纵坐标不变）再向下平移1个单位得到()cos 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 又因为5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以4,63t x πππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦ 令4036x ππ-≤+≤，解得824x ππ-≤≤- 令046x ππ≤+≤，解得52424x ππ-≤≤ 即函数()g x 在,824ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且1cos 832g ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 作出cos 3y t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤图像可得：所以m 的取值范围1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 19．(1),36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） (2)最大值为1，最小值为-12.【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦函数的单调性，可得答案；（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.（1）()f x =1cos211cos2sin 22226x x x x x π+⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭. 因为y ＝sin x 的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）令22,2622x k k πππππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），得,36x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. （2）因为x ∈［0，2π］，所以2x ＋7,666πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 当2x ＋6π=2π，即x ＝6π时，则()f x 最大值为1 当2x ＋6π=76π，即x ＝2π时，则()f x 最小值为-12.20．（1）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）所有零点是0，23π和2π．【分析】（1）先求得函数()f x 的在y 轴右侧的包含0的单调递增区间，进而得到实数a 的取值范围；（2）利用正弦函数的性质，利用整体代换法求得函数()f x 的所有零点，进而得到在[]0,2π上的所有零点.【详解】（1）由πππ2π2π262k x k -+++，得2ππ2π2π33k x k -++ k ∈Z 取0k =，可得2ππ33x - ∵函数()π1sin 62f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,a 上是严格增函数 ∴实数a 的取值范围是π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】关键要注意求函数的零点时不要丢根.1πsin 2π+26x x k =⇔=或()5π2π+6x k k Z =∈. 21．(1)()f x 为偶函数，证明见解析 (2)()f x 在[)0,+∞上单调递增，不等式解集为1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再检查(),()f x f x -之间的关系；（2）先将函数作简单变型，分析出单调性，再根据单调性来解不等式.（1）()f x 为偶函数．证明如下：依题意，函数()f x 的定义域为R ．对于任意x ∈R ，都有()()22x x f x x x f x --=-==，所以函数()f x 是R 上的偶函数．（2）函数())22x x f x x x ==-2x =[)0,+∞上单调递增．因为函数()f x 是R 上的偶函数，所以()()221f x f x +>-等价于()()221f x f x +>-．因为函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以221x x +>-，即23830x x --<，解得133x -<<，所以不等式()()221f x f x +>-的解集为1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． 22．(1)选择①②：π()sin(2)6f x x =+，()f x 的最小值为1-；选择①③：π1()sin(2)62f x x =++， ()f x 的最小值为12-； (2)选择①②：t 的取值范围是5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭；选择①③：t 的取值范围是π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式以及辅助角公式化简()f x ，然后根据条件①②或①③求其解析式即可，若选择②③，m 的取值有两个，舍去；（2）根据零点即是函数图像与x 轴的交点横坐标，令()0f x =求出横坐标，即可判断t 的取值范围.（1）由题可知2()cos cos ωωω=+f x x x x m112cos222ωω+++x x m π1sin(2)62ω=+++x m ．选择①②：因为2ππ2T ω==，所以1ω=．又因为1(0)12f m =+=，所以12m =-．所以π()sin(2)6f x x =+．当ππ22π62x k +=-，k Z ∈即ππ3x k =-，k Z ∈时，则()1f x =-. 所以函数()f x 的最小值为1-．选择①③：因为2ππ2T ω==，所以1ω=．又因为函数()f x 的最大值为3322m +=所以0m =．所以π1()sin(2)62f x x =++．当ππ22π62x k +=-，k Z ∈即ππ3x k =-，k Z ∈时 πsin(2)16x +=- 所以函数()f x 的最小值为11122．选择②③：因为1(0)12f m =+=，所以12m =- 因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =m 的取值不可能有两个，∴无法求出解析式，舍去. （2）选择①②：令πsin(2)06x +=则π2π6x k += k Z ∈ 所以ππ212k x =- k Z ∈ 当1,2k =时，则函数()f x 的零点为5π11π,1212 由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点所以5π11π1212t ≤<．所以t 的取值范围是5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭．选择①③：令π1sin(2)062++=x 则π722π+π66+=x k k Z ∈ 或π1122π+π66+=x k k Z ∈ 所以ππ+2=x k k Z ∈ 或5π+π6=x k k Z ∈．当0k =时，则函数()f x 的零点分别为π5π,26由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点所以π5π26t ≤<．所以t 的取值范围是π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 23．(1)T =12，A =0.5 1cos 126y t π=+； (2)一共有6个小时.【分析】(1)根据给定的数表直接求出周期T ，振幅A ，进而求出函数表达式.(2)根据给定条件解不等式1cos 1126t π+>即可计算作答. （1）依题意，观察数表得：最小正周期12T =，最高浪高为1.5米，最低浪高为0.5米则 1.50.5122A -== 1.50.512b +== 22126T πππω===＝6π 所以函数解析式为：1cos 126y t π=+ （2）由(1)知，令1cos 1126t π+>，得：22(Z)262k t k k πππππ-<<+∈ 123123Z ()k t k k -<<+∈而820t <<，则1k = 915t <<所以从9点到15点适合对冲浪爱好者开放，一共有6个小时.24． 3π【分析】由2222b c a a +=+结合余弦定理可得cos a bc A =，由△ABC ，可是1sin 2bc A ==，两式结合可求得tan A =A ；利用正弦定理，余弦定理，三角函数等变换的应用可得311sin(2)2264B a π=-+，可求出范围52(,)666B πππ-∈，利用正弦函数的性质可求解a 的范围，进而可求得△ABC 的面积的取值范围【详解】解：因为2222b c a a +=+，所以2222b c a a +-= 所以由余弦定理得2222cos 22b c a a a A bc bc bc+-===，所以cos a bc A =因为△ABC所以1sin 2bc A ===所以1sin cos 2bc A A ==所以tan A 因为(0,)A π∈，所以3A π=因为1cos 2a bc A bc ==所以1sin 2ABC Sbc A ==因为由正弦定理可得b B =，2)3c B π=-和2a bc = 所以2422sin sin()33a a B B π=- 所以311sin(2)2264B a π=-+ 因为△ABC 为锐角三角形，所以022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<< 所以52(,)666B πππ-∈ 所以31113sin(2)(,]226424B a π=-+∈ 所以[2,3)a ∈，所以1sin 2ABC Sbc A ==∈ 故答案为：3π。

人教版高中数学高一A版必修4 第一章第四节三角函数的图象与性质(第三课时)

第一章第四节三角函数的图象与性质第三课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sin x，y＝cos x是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？(1)(2)图2活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势．对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(－∞，＋∞)〕．对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明．∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，∴|sin x |≤1，|cos x |≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1.也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．对于正弦函数y ＝sin x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. (2)当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 对于余弦函数y ＝cos x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.(2)当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对问题④，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的[－π2，3π2](如图4)这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．图3图4就是说，函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]．当x ∈[－π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 类似地，同样可得y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图5结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.对问题⑤，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．在R 上，y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，∴y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x ＝π2对称，余弦曲线还关于点(π2，0)对称等等，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习埋下伏笔．讨论结果：①略．②定义域为R .③值域为[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1.④单调性(略)．⑤奇偶性(略)．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R ，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y 轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴．但是由于y 轴的位置不同，对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y 轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变．应用示例思路1例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ；(2)y ＝－3sin2x ，x ∈R .活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质．容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个．解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }；使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2，最小值是－1＋1＝0.(2)令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin z ，z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z |z ＝－π2＋2k π，k ∈Z }，由2x ＝z ＝－π2＋2k π，得x ＝－π4＋k π. 因此使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }．同理，使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x |x ＝π4＋k π，k ∈Z }．函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x 的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，一般通过变量代换(如设z ＝ωx ＋φ化归为y ＝A sin z ＋B 的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用．例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－23π5)与cos(－17π4)．活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－π2，0]上是增函数，所以sin(－π18)>sin(－π10)． (2)cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4. 因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数，所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)．点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小立判．例3求函数y ＝sin(12x ＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把12x ＋π3看成z ，这样问题就转化为求y ＝sin z 的单调区间问题，而这就简单多了．解：令z ＝12x ＋π3.函数y ＝sin z 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]．由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z .由x ∈[－2π，2π]可知，－2π≤－5π3＋4k π且π3＋4k π≤2π，于是－112≤k ≤512，由于k ∈Z ，所以k ＝0，即－5π3≤x ≤π3.而[－5π3，π3]⊂[－2π，2π]，因此，函数y ＝sin(x 2＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－5π3，π3]．点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x 的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化．思路2例1求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋sin x；(2)y ＝cos x . 活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当的指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等．解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1，即x ≠3π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为{x |x ≠3π2＋2k π，k ∈Z }． (2)由cos x ≥0，得－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )．点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果．本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集．例2在下列区间中，函数y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间是( ) A ．[π2，π] B ．[0，π4] C ．[－π，0] D ．[π4，π2] 活动：函数y ＝sin(x ＋π4)是一个复合函数，即y ＝sin[φ(x )]，φ(x )＝x ＋π4，欲求y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间，因φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，故应求使y 随φ(x )递增而递增的区间．也可从转化与化归思想的角度考虑，即把x ＋π4看成一个整体，其道理是一样的．解析：∵φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是递增的，故令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2. ∴2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4. ∴y ＝sin(x ＋π4)的递增区间是[2k π－3π4，2k π＋π4]．取k ＝－1、0、1分别得[－11π4，7π4]、[－3π4，π4]、[5π4，9π4]，故选B.答案：B点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，若本题运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法．当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出．解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是：(1)求定义域；(2)确定复合过程，y ＝f (t )，t ＝φ(x )；(3)根据函数f (t )的单调性确定φ(x )的单调性；(4)写出满足φ(x )的单调性的含有x 的式子，并求出x 的范围；(5)得到x 的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间．知能训练课本本节练习解答：1．(1)(2k π，(2k ＋1)π)，k ∈Z ；(2)((2k －1)π，2k π)，k ∈Z ；(3)(－π2＋2k π，π2＋2k π)，k ∈Z ；(4)(π2＋2k π，3π2＋2k π)，k ∈Z . 点评：只需根据正弦曲线、余弦曲线写出结果，不要求解三角不等式，要注意结果的规范及体会数形结合思想方法的灵活运用．2．(1)不成立．因为余弦函数的最大值是1，而cos x ＝32>1. (2)成立．因为sin 2x ＝0.5，即sin x ＝±22，而正弦函数的值域是[－1,1]，±22∈[－1,1]．点评：比较是学习的关键，反例能加深概念的深刻理解．通过本题准确理解正弦、余弦函数的最大值、最小值性质．3．(1)当x ∈{x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最大值2；当x ∈{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最小值－2.(2)当x ∈{x |x ＝6k π＋3π，k ∈Z }时，函数取得最大值3；当x ∈{x |x ＝6k π，k ∈Z }时，函数取得最小值1.点评：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，结合本节例题巩固正弦、余弦函数的性质，快速写出所给函数的最大值、最小值．4．B点评：利用数形结合思想认识函数的单调性．这是一道选择题，要求快速准确地选出正确答案．数形结合是实现这一目标的最佳方法．5．(1)sin250°>sin260°；(2)cos 15π8>cos 14π9；(3)cos515°>cos530°；(4)sin(－54π7)>sin(－63π8)．点评：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．6．[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z . 点评：关键是利用转化与化归的思想将问题转化为正弦函数的单调性问题，得到关于x 的不等式，通过解不等式求得答案．课堂小结1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．作业判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin(π＋x )；(2)f (x )＝－1＋sin x ＋cos 2x 1－sin x. 解答：(1)函数的定义域为R ，它关于原点对称．∵f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ，f (－x )＝－(－x )sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )，∴函数为偶函数．(2)函数应满足1－sin x ≠0，∴函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2k π＋π2，k ∈Z }． ∵函数的定义域关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．设计感想1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．3．学习三角函数性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如sin(α＋2π)＝sin α这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了，它表明正弦函数的周期性，以提升学生的思维层次．备课资料一、近几年三角函数知识的变动情况三角函数一直是高中固定的传统内容，但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日，国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容，其中的调整意见第(7)条为：“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式，不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中，已尽可能减少了这8个公式的出现次数，在仅有的一次应用中，还将公式印在试卷上，以供查阅．而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效)，这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了．但是，如果认为这次调整的仅仅是8个公式，仅仅是降低了对8公式的要求，那就太表面、太肤浅了．我们知道，三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一，相当部分的三角题都是围绕它们而设计的，它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力．现在要求降低了，有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了．这样一来，三角部分还要我们教些什么呢？又该怎样教？立刻成了部分教师心头的一大困惑．有鉴于此，我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系，理清新的教学思路，以便真正落实这次调整的意见，实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担，有利于深化普通高中的课程改革，有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标．1．是“三角”还是“函数”应当说，三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的．三角本是几何学的衍生物，起始于古希腊的希帕克，经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科，历史上的很长一段时期，只有《三角学》盛行于世，却无“三角函数”之名．“三角函数”概念的出现，自然是在有了函数概念之后，从时间上看距今不过300余年．但是，此概念一经引入，立刻极大地改变了三角学的面貌，特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作，致使三角函数可以完全独立于三角形之外，而成为分析学的一个分支，其中的角也不限于正角，而是任意实数了．有的学者甚至认为可将它更名为角函数，这是有见地的，所以，作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在．现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局，将三角并入了代数内容．这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重．从《代数学》的历史演变来看，在相当长的历史时期内，“式与方程”一直是它的核心内容，那时的教材都是围绕着它们展开的，所以，书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍，所在皆是．这是由当时的数学认知水平决定的．而现在，函数已取代了式与方程成为代数的核心内容，比起运算技巧和变形套路来，人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时，首要强调的是“形式演算能力”，1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”．现行高中《代数》课本中，充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用，对这三种代数式的变形却轻描淡写．所以，三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的，这也是国际上普遍认可的观点．2．是“图象”还是“变换”现行高中三角函数部分，单列了一章专讲三角函数，这是与数学发展的潮流相一致的．大多数师生头脑中反映出来的，还是“众多的公式，纷繁的变换”，而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的，这一点，与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差．调整以后，降低这部分的要求，大面积地减少了题量．把“函数”作为关键词，将目光放在“图象和性质”上，应当是正确的选择，负担轻了，障碍小了，这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上，这才是“三个有利于”得以贯彻的根本．3．国外的观点及启示下面来看一下美国和德国的观点：美国没有全国统一的教材和《考试说明》，只有一个《课程标准》，在《课程标准》中，他们对三角函数提出了下面的要求：“会用三角学的知识解三角形；会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象；掌握三角函数图象；会解三角函数方程；会证基本的和简单的三角恒等式；懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”．他们还特别指出，不要在推导三角恒等式上花费过多的时间，只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了，比较复杂的恒等式就应该完全避免了．德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容，10年级要求如下：(1)一个角的弧度；(2)三角函数sin x 、cos x 、tan x 和它们的图象周期性；(3)三角形中角和边的计算；(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系)．另外，在11年级和12年级的“无穷小分析”中，继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限．从以上罗列，我们可以看出下面的共同点：第一，突出强调三角函数的图象和性质；第二，淡化三角式的变形，仅涉及同角变换，而且要求较低，8个公式根本不予介绍；第三，明确变换的目的是为了三角形中的实际计算；第四，注意三角函数和其他知识的联系．这带给我们的启示还是很强烈的，美国和德国的中学教育以实用为主，并不太在乎教材体系是否严谨，知识系统是否完整；我国的教材虽作调整，怎样实施且不去细说，有一个意图是可猜到的，那就是要让学生知道教材是严谨与完整的．现在看来严谨的东西，在更高的观点下是否还严谨？在圈内看是完整的，跳出圈子看，是否还完整？在一个小地方钻得太深，在另外更大的地方就可能无暇顾及．人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分，我们却热衷于在个别地方穷追不舍，这早已引起行家的注意，从这个意义上说，此次调整应当只是第一步．在中学阶段即试图严谨与完整，其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故．二、备用习题1．函数y ＝sin(π3－2x )的单调减区间是( ) A ．[2k π－π12，2k π＋5π12](k ∈Z ) B ．[4k π－5π3，4k π＋11π3](k ∈Z ) C ．[k π－5π12，k π＋11π12](k ∈Z ) D ．[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z ) 答案：D2．满足sin(x －π4)≥12的x 的集合是( ) A ．{x |2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z } B ．{x |2k π－π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈Z } C ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z } D ．{x |2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z }∪{x |2k π＋5π6≤x ≤(2k ＋1)π，k ∈Z } 答案：A3．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝lgsin x ；(2)y ＝2cos3x .答案：解：(1)由题意得sin x >0，∴2k π<x <(2k ＋1)π，k ∈Z .又∵0<sin x ≤1，∴lgsin x ≤0.故函数的定义域为[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z ，值域为(－∞，0]．(2)由题意得cos3x ≥0，∴2k π－π2≤3x ≤2k π＋π2，k ∈Z . ∴2k π3－π6≤x ≤2k π3＋π6，k ∈Z . 又∵0≤cos x ≤1，∴0≤2cos3x ≤2.故函数的定义域为[2k π3－π6，2k π3＋π6]，k ∈Z ，值域为[0,2]．。

人教版,高中数学同步练习——正弦函数、余弦函数的性质(二)

B.⎣－4，－1⎦C.⎣－4，1⎦D.⎣－1，4⎦ A.⎝－4，4⎭ B.⎝4， 4 ⎭C.⎝π， 2 ⎭D.⎝ 2 ，2π⎭人教版高中数学同步练习1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 (二)课时目标 1.掌握 y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握 y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数 y ＝A sin(ωx ＋φ) 及 y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．正弦函数、余弦函数的性质：函数 y ＝sin x图象 y ＝cos x定义域值域奇偶性周期性______ ______ ______ ______ ______ ______最小正周期：______ 最小正周期：______在在 __________________________________ __________________________________单调性上单调递增；在 ________上单调递增；在__________________________________ ______________________________上单________________上单调递减调递减最值在________________________时，y max＝1；在________________________________________时，y min ＝－1在______________时，y max ＝1；在 __________________________时，y min＝－1一、选择题1．若 y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角 x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若 α，β 都是第一象限的角，且 α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin α C ．sin α≥sin β D ．sin α 与 sin β 的大小不定 3．函数 y ＝sin 2x ＋sin x －1 的值域为( )A.[－1，1]⎡ 5 ⎤ ⎡5⎤⎡ 5⎤4．函数 y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )⎛ π π⎫⎛3π⎫ ⎛π 3π⎫⎛3π ⎫5．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°6．下列函数中，周期为 π，且在⎣4，2⎦上为减函数的是()A ．y ＝sin(2x ＋ )B ．y ＝cos(2x ＋ )C ．y ＝sin(x ＋ )D ．y ＝cos(x ＋ )7．函数 y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣－2，π⎦的单调增区间是____________．8．函数 y ＝2sin(2x ＋ )(－ ≤x ≤ )的值域是________．10．设|x |≤ ，函数 f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______． (1)y ＝1－sin ；(2)y ＝log (cos 2x )．12．已知函数 f (x )＝2a sin ⎝2x －3⎭＋b 的定义域为⎣0，2⎦，最大值为 1，最小值为－5，求 aC ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°⎡π π⎤π π2 2 π π2 2题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题⎡ π ⎤ π π π3 6 69．sin 1，sin 2，sin 3 按从小到大排列的顺序为__________________．π4三、解答题11．求下列函数的单调增区间． x212⎛ π⎫ ⎡ π⎤ 和 b 的值．能力提升13．已知 sin α>sin β，α∈⎝－2，0⎭，β∈⎝π，2π⎭，则( C ．α－β≥－ πD ．α－β≤－ π14．已知函数 f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣－3，4⎦上的最小值是－2，则 ω 的最小值等于( )A.B.C ．2D ．3把 ωx ＋φ 看成一个整体，由 2k π－ ≤ωx ＋φ≤2k π＋ (k ∈Z )解出 x 的范围，所得区间即为增区间，由 2k π＋ ≤ωx ＋φ≤2k π＋ π (k ∈Z )解出 x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，R R [－1,1] [－1,1] 奇函数偶函数 2π 2π [－＋2k π，＋2k π](k ∈Z ) [ ＋2k π，＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝＋2k π (k ∈Z ) x ＝－＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z ) 3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋ )2－ 4．C [由 y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣k π，k π＋2⎦，k ∈Z ，当 k ＝1 时，得⎝π，2π⎭6．A [因为函数周期为 π，所以排除 C 、D.又因为 y ＝cos(2x ＋ )＝－sin 2x 在⎣4，2⎦上为增2⎛ π ⎫ ⎛ 3 ⎫)A ．α＋β>πB ．α＋β<π332 2⎡ π π⎤233 21．求函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：π π2 2π 32 2先利用诱导公式把 ω 转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用求法将 y 表示成以 sin x (或 cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定 y 的范围．1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质 (二)答案知识梳理π π π2 2 23π π2 2π2作业设计 1．C 2.D1 5241 5当 sin x ＝－2时，y min ＝－4；当 sin x ＝1 时，y max ＝1.]⎡ π⎤ ⎛ 3 ⎫为 y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°由三角函数线得 sin 11°<sin 12°<sin 80°，即 sin 11°<sin 168°<cos 10°.]π ⎡π π⎤ 函数，故 B 不符合．故选 A.]7.⎣2，π⎦∴0≤sin(2x ＋ )≤1，∴y ∈[0,2]解析 ∵1< <2<3<π，0，上递增，且 0<π－3<1<π－2< ，y ＝sin x 在⎝ 2⎭2 ＝－(sin x － )2＋11．解 (1)由 2k π＋ ≤ ≤2k π＋ π，k ∈Z ， ∴y ＝1－sin 的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋，k ∈Z .∴k π<x <k π＋，k ∈Z .⎛k π，k π＋，k ∈Z .∴y ＝log (cos 2x )的增区间为 4⎭⎝12．解 ∵0≤x ≤ ，∴－ ≤2x － ≤ π，⎛ 解析 ∵－ ≤x ≤ ，∴0≤2x ＋ ≤ .∵|x |≤ ，∴－ ≤sin x ≤ .∴当 sin x ＝－时，f (x )min ＝ 2 2 2x － ≤1，易知 a ≠0.∴－≤sin 3⎭⎝π， π，13．A[∵β∈⎝ 2 ⎭⎡π ⎤8．[0,2]π π π 2π 6 6 3 3 π39．b <c <aπ2sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.⎛ π⎫ π2 ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即 sin 3<sin 1<sin 2. ∵b <c <a .1－ 2 10.解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x1 52 4π 2 24 2 22 1－ 2.π x 32 2 2得 4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .x2(2)由题意得 cos 2x >0 且 y ＝cos 2x 递减．π2π4 1 π⎫ π π x 22 3 3 3 3 π⎫ 2 当 a >0 时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－ 3a ＋b ＝－5.⎧2a ＋b ＝1 ⎧a ＝12－6 3 由⎨ ，解得⎨ .⎩－ 3a ＋b ＝－5 ⎩b ＝－23＋12 3 当 a <0 时，f (x )max ＝－ 3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.⎧－ 3a ＋b ＝1 ⎧a ＝－12＋6 3 由⎨ ，解得⎨ .⎩2a ＋b ＝－5 ⎩b ＝19－12 3⎛ 3 ⎫－，0 ，且 sin(π－β)＝sin β.∴π－β∈⎝ 2 ⎭－，0 上单调递增，∵y ＝sin x 在 x ∈⎝ 2 ⎭ ∴ω 的最小值为，故选 B.]14．B [要使函数 f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－， ]上的最小值是－2，则应有 ≤ 或 T ≤ ， 4ω⎛ π ⎫⎛ π ⎫∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β) ⇔α>π－β⇔α＋β>π.]π π T π 3 π3 4 4 3 4 42π π 6π 3即 ≤3或 ω ≤π，解得 ω≥2或 ω≥6.32。

高中数学必修四课时作业2：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)一、基础达标1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定[答案] D3．函数y ＝2sin 2 x ＋2cos x －3的最大值是( )A ．－1B ．1C ．－12 D ．－5 [答案] C[解析] 由题意，得y ＝2sin 2 x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12. 4．对于下列四个命题：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4；③tan 138°＞tan 143°；④tan 40°＞sin 40°. 其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[答案] B5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2)[答案] A[解析] 因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A. 6．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.[答案] 34[解析] ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3. ∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 7．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2； (2)y ＝.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0. ∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )．整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )．所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )．二、能力提升8．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π [答案] C[解析] 由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2为y ＝|sin x |的单调递增区间．9．设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0＜x ＜π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值 [答案] B[解析] 因为sin x >0，分子分母同除以sin x 得：f (x )＝1＋asin x ，因为a ＞0,0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，故选B.10．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________． [答案] sin 3<sin 1<sin 2 [解析] ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.11．若函数y ＝a cos x ＋b (a ，b 为常数)的最大值为1，最小值为－7，求函数y ＝3＋ab sin x 的最值和最小正周期．解 ∵－1≤cos x ≤1，当a ＞0时，b －a ≤y ≤a ＋b ∴{ b －a ＝－7a ＋b ＝1∴{a ＝4b ＝－3.当a ＜0时，a ＋b ≤y ≤b －a ， ∴{b －a ＝1a ＋b ＝－7∴{a ＝－4b ＝－3.当a ＝4，b ＝－3时，y ＝3－12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π；当a ＝－4，b ＝－3时，y ＝3＋12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π. 12．(2013·福建理改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，将函数f (x )图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象．求函数f (x )与g (x )的[解析]式．解由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2 又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，φ∈(0，π)故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝0，得φ＝π2，所以f (x )＝cos 2x将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin x .三、探究与创新13．设函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．解由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )，同理函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1.∴285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，这表明y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。

人教版高中数学必修一函数的基本性质专题习题

人教版高中数学必修一函数的基本性质专题习题高考复专题：函数的基本性质定义域函数的定义域是指所有可以输入的自变量的取值范围。

求函数定义域的常用方法有：1.无论什么函数，优先考虑定义域是偶次根式的被开方式非负；分母不为零；指数幂底数不为零；对数真数大于且底数大于不等于1；tanx定义域为{x|x≠(2k+1)π/2,k∈Z}。

2.复合函数的定义域是x的范围，f的作用范围不变。

例如，下面是一些函数的定义域：1.y = log0.5(4x2-3x)，定义域为x>3/4或x<0.2.f(x)的定义域是[-1,1]，则f(x+1)的定义域是[-2,0]。

3.若函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数f(log2x)的定义域是(1/4,1]。

4.已知f(x2)的定义域为[1,1]，则f(x)的定义域为[-1,1]或[0,1]。

5.已知函数y = f(x+1)3，定义域是[-5,4]。

值域和最值函数的值域是指函数所有可能的输出值的集合。

求函数值域的常用方法有：1.对于一次函数y = kx+b，当k>0时，值域为[XXX,ymax]，其中ymin = b，ymax = kx+b；当k<0时，值域为[XXX,XXX]。

2.对于二次函数y = ax2+bx+c，当a>0时，值域为[XXX,ymax]，其中ymin = c-Δ/4a，ymax = c；当a<0时，值域为[XXX,XXX]。

3.对于指数函数y = a^x，当a>1时，值域为(0,+∞)；当0<a<1时，值域为(0,1]。

4.对于对数函数y = loga(x)，当a>1时，值域为(-∞,+∞)；当0<a<1时，值域为(-∞,0]。

最值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

求函数最值的常用方法有：1.对于一次函数y = kx+b，当k>0时，最小值为b，最大值为无穷；当k<0时，最小值为无穷，最大值为b。

高中数学新课标必修一：正弦函数、余弦函数的性质课时作业(附解析)

正弦函数、余弦函数的性质课时作业(附解析)1．函数f (x )＝3sin(x ＋π6)在下列区间内递减的是( ) A ．[－π2，π2] B ．[－π，0] C ．[－2π3，2π3] D ．[π2，2π3]2．函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4 B ．x ＝π2 C ．x ＝－π4 D ．x ＝－π23．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2) 4．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( ) A ．(－32，12] B ．[－12，32] C ．[12，32] D ．[－32，－12] 5．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π6．函数f (x )＝7sin(23x ＋15π2)是( ) A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为3π的奇函数 D ．周期为4π3的偶函数7．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．函数y ＝sin(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( ) A ．(－32，12] B ．[－12，32] C ．[32，1] D ．[12，1]9．函数y ＝2sin(2x －π4)的一个单调递减区间是( ) A ．[3π8，7π8] B ．[－π8，3π8]C ．[3π4，5π4]D ．[－π4，π4]10．函数y ＝sin(2x ＋5π2)的图像的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4 C ．x ＝π8 D ．x ＝5π411．y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．12．函数y ＝log 12(3sin x ＋1)的最小值是________．13．y ＝a ＋b sin x 的最大值是32，最小值是－12，则a ＝________，b ＝________.14．已知α、β∈(0，π2)且cos α>sin β，试比较α＋β与π2的大小．15．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．►重点班·选做题16．若f (x )＝cos x 在[－b ，－a ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．减函数D ．增函数17．在函数y ＝sin|x |、y ＝|sin x |、y ＝sin(2x ＋2π3)、y ＝cos(2x ＋2π3)中，最小正周期为π的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 18．求y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域．19．设sin α＋sin β＝13，求y ＝sin α－cos 2β的最值．解析1．函数f (x )＝3sin(x ＋π6)在下列区间内递减的是( ) A ．[－π2，π2] B ．[－π，0] C ．[－2π3，2π3] D ．[π2，2π3] 答案 D2．函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4 B ．x ＝π2 C ．x ＝－π4 D ．x ＝－π2 答案 C解析 f (x )＝sin(x －π4)的图像的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z ，当k ＝－1时，x ＝－π4.3．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2) 答案 A4．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( ) A ．(－32，12] B ．[－12，32]C ．[12，32]D ．[－32，－12] 答案 B5．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 答案 C解析由y ＝|sin x |的图像可知⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2是增区间，选C.6．函数f (x )＝7sin(23x ＋15π2)是( ) A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为3π的奇函数 D ．周期为4π3的偶函数答案 A解析 f (x )＝－7cos 23x ，∴T ＝3π，偶函数，选A.7．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析先求出f (x )是偶函数的等价条件，再从充分性、必要性两个方面判断．因为f (x )是偶函数⇔φ＝k π，k ∈Z ，所以“φ＝0”是“f (x )是偶函数”的充分而不必要条件．8．函数y ＝sin(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( ) A ．(－32，12] B ．[－12，32] C ．[32，1] D ．[12，1] 答案 D9．函数y ＝2sin(2x －π4)的一个单调递减区间是( ) A ．[3π8，7π8] B ．[－π8，3π8] C ．[3π4，5π4] D ．[－π4，π4] 答案 A解析 π2＋2k π≤2x －π4≤32π＋2k π，k ∈Z ， 38π＋k π≤x ≤78π＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，得38π≤x ≤78π，选A.10．函数y ＝sin(2x ＋5π2)的图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4 C ．x ＝π8 D ．x ＝5π4 答案 A解析 2x ＋52π＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴x ＝－π＋k π2，k ∈Z . 令k ＝1，x ＝－π2，故选A.11．y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．答案－π<a ≤012．函数y ＝log 12(3sin x ＋1)的最小值是________．答案－213．y ＝a ＋b sin x 的最大值是32，最小值是－12，则a ＝________，b ＝________.答案 a ＝12，b ＝±114．已知α、β∈(0，π2)且cos α>sin β，试比较α＋β与π2的大小．答案 α＋β<π2解析 ∵sin(π2－α)>sin β，且y ＝sin x 在[0，π2]上单调递增． ∴π2－α>β，∴α＋β<π2.15．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解析 (1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴， ∴sin(2×π8＋φ)＝±1. ∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin(2x －3π4)．由题意得当x 满足2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增．即当x ∈[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )时，f (x )单调递增．所以函数y ＝sin(2x －3π4)的单调增区间为[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z . ►重点班·选做题16．若f (x )＝cos x 在[－b ，－a ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．减函数D ．增函数答案 C17．在函数y ＝sin|x |、y ＝|sin x |、y ＝sin(2x ＋2π3)、y ＝cos(2x ＋2π3)中，最小正周期为π的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 y ＝sin|x |不是周期函数，其余均正确． 18．求y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域．解析令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]， ∴y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1. ∴函数在(－∞，2)上减． ∴在[－1,1]上单减． ∴y min ＝f (1)＝2， y max ＝f (－1)＝10. ∴值域为[2,10]．19．设sin α＋sin β＝13，求y ＝sin α－cos 2β的最值．错解由sin α＋sin β＝13，得sin α＝13－sin β. ∴y ＝13－sin β－cos 2β＝sin 2β－sin β－23 ＝－(sin β－12)2－1112.∴当sin β＝12时，y 有最小值－1112；当sin β＝－1时，y 有最大值43.错因分析若将sin β＝－1代入已知条件，得sin α＝43，这是不可能的，错误的原因在于消去sin α后，丢掉了sin α对sin β取值的限制作用．解析由sin α＋sin β＝13，得sin α＝13－sin β.由－1≤sin α≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤13－sin β≤1－1≤sin β≤1，解得－23≤sin β≤1.∴y ＝13－sin β－cos 2β＝sin 2β－sin β－23＝(sin β－12)2－1112.∴当sin β＝12时，y 有最小值－1112；当sin β＝－23时，y 有最大值49.。

高中数学第一章三角函数课时作业131.4.2正弦函数余弦函数的性质第2课时新人教A版必修420171

课时作业(十三) 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第 2课时）π1．符合以下三个条件：①(0， )上递减；②以 2π为周期；③是奇函数．这样的函数是( )2 A ．y ＝sinx B ．y ＝－sinx xC ．y ＝cos2xD ．y ＝cos2答案 Bπ解析在(0， )上递减，可以排除 A ，是奇函数可以排除 C 、D.2 π2．函数 f(x)＝3sin(x ＋ )在下列区间内单调递减的是( )6 π πA ．[－， ]B ．[－π，0] 2 2 2π 2π π 2πC ．[－， ]D ．[ ， ]3 3 2 3答案 Dπ3．函数 f(x)＝sin(x － )的图像的一条对称轴是( )4 π π A ．x ＝ B ．x ＝4 2 π πC ．x ＝－D ．x ＝－4 2答案 Cπ π π 3π解析 f(x)＝sin(x － )的图像的对称轴为 x －＝k π＋，k ∈Z ，即 x ＝k π＋，k ∈Z ， 4 4 2 4 π 当 k ＝－1时，x ＝－ .4π π4．函数 y ＝cos(x ＋ )，x ∈[0， ]的值域是( ) 6 2 3 1 1 3 A ．(－， ] B ．[－， ]2 2 2 2 13 3 1C ．[ ， ]D ．[－，－ ]2 2 2 2答案 B5．函数 y ＝|sinx|的一个单调增区间是( )π π π 3π A.(－B.， 4)( ， 4 ) 443π3π C.(π， 2) D.(，2π)2答案 C13π(π，2 )是增区间，选C.解析由y＝|sinx|的图像可知6．若函数y＝sin(π＋x)，y＝cos(2π－x)都是减函数，则x的范围是()ππA．[2kπ，2kπ＋](k∈Z) B．[2kπ－，2kπ](k∈Z)2 2πππ 3C．[2kπ－，2kπ＋]，(k∈Z) D．[2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z)2 2 2 2答案 A解析∵y＝sin(π＋x)＝－sinx，ππ其单调递减区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z；2 2y＝cos(2π－x)＝cosx，其单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.∴选A.πππ7．若0<α<β<，a＝2sin(α＋)，b＝2sin(β＋)，则()4 4 4A．a<b B．a>bC．ab<1 D．ab> 2答案 Aπππππ解析∵0<α<β<，∴<α＋<β＋< .4 4 4 4 2πππ而正弦函数y＝sinx，x∈[0，]是增函数，∴sin(α＋)<sin(β＋)．∴2sin(α＋2 4 4ππ)< 2sin(β＋)，即a<b.4 4ππ8．函数y＝sin(x＋)，x∈[0，]的值域是()6 23 1 1 3A．(－，] B．[－，]2 2 2 23 1C．[ ，1] D．[ ，1]2 2答案 Dπ9．函数y＝2sin(2x－)的一个单调递减区间是()43π7ππ3πA．[ ，] B．[－，]8 8 8 83π5πππC．[ ，] D．[－，]4 4 4 42答案 Aππ 3解析＋2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，2 4 23 7π＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，8 83 7令k＝0，得π≤x≤π，选A.8 85π10．函数y＝sin(2x＋)的图像的一条对称轴方程是()2ππA．x＝－B．x＝－2 4π5πC．x＝D．x＝8 4答案 A5 πkπ解析2x＋π＝＋kπ，k∈Z，∴x＝－π＋，k∈Z.2 2 2π令k＝1，x＝－，故选A.211．若f(x)＝cosx在[－b，－a]上是增函数，则f(x)在[a，b]上是()A．奇函数B．偶函数C．减函数D．增函数答案 C12．y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．答案－π<a≤013．函数y＝log1(3sinx＋1)的最小值是________．2答案－23 114．y＝a＋bsinx的最大值是，最小值是－，则a＝________，b＝________．2 21 答案a＝，b＝±1215．求y＝cos2x－4cosx＋5的值域．解析令t＝cosx，则t∈[－1，1]，∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1.∴函数在(－∞，2)上递减．∴在[－1，1]上单调递减．∴y min＝f(1)＝2，y max＝f(－1)＝10.∴值域为[2，10]．3116．设sinα＋sinβ＝，求y＝sinα－cos2β的最值．31 1错解由sinα＋sinβ＝，得sinα＝－sinβ.3 31 2∴y＝－sinβ－cos2β＝sin2β－sinβ－3 31 11＝(sinβ－)2－.2 121 11∴当sinβ＝时，y有最小值－；2 124当sinβ＝－1时，y有最大值.34错因分析若将sinβ＝－1代入已知条件，得sinα＝，这是不可能的，错误的原因在于消3去sinα后，丢掉了sinα对sinβ取值的限制作用．1 1解析由sinα＋sinβ＝，得sinα＝－sinβ.3 3由－1≤sinα≤1，得12－1 ≤－sinβ≤1，{－1 ≤sinβ≤1，)3 解得－≤sinβ≤1.31 2∴y＝－sinβ－cos2β＝sin2β－sinβ－3 31 11＝(sinβ－)2－.2 121 11∴当sinβ＝时，y有最小值－；2 122 4当sinβ＝－时，y有最大值.3 9π1．函数y＝1－λcos(x－)的最大值与最小值的差等于2，则实数λ的值为________．3答案1或－1π 解析∵x∈R，－1≤cos(x－)≤1.3当λ>0时，y max＝1＋λ，y min＝1－λ.由题意，得(1＋λ)－(1－λ)＝2，∴λ＝1.当λ<0时，同理可得λ＝－1.π 2．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x＝.8 (1)求φ；4(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．π解析(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图像的对称轴，8πππ∴sin(2×＋φ)＝±1.∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.8 4 23π ∵－π<φ<0，∴φ＝－.43π3π(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin(2x－)．4 4π3ππ由题意得当x满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增．2 4 2π5π即当x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)时，f(x)单调递增．8 83ππ5π所以函数y＝sin(2x－)的单调增区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.4 8 83．(1)求函数y＝1－sin2x的单调区间．(2)求使函数y＝2sin3x＋1，x∈R取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么？解析(1)求函数y＝1－sin2x的单调区间，转化为求函数y＝sin2x的单调区间，要注意负号π3ππ3π的影响．由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，2 2 4 4π3π即函数的单调递增区间是[ ＋kπ，＋kπ](k∈Z)．4 4ππ同理可求得函数的单调递减区间是[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．4 4π(2)当sin3x＝1，即3x＝＋2kπ(k∈Z)2π 2得x＝＋kπ(k∈Z)时．函数y取得最大值为3.6 3π 2此时，自变量x的集合为{x|x＝＋kπ，k∈Z}．6 35。

人教版高中数学必修四1.4.2 正弦、余弦函数的性质优质习题课件

2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是
{ x | x k , k Z }
4
同理，使函数y 3sin 2x, x R取最小值的x的集合是
{ x | x k , k Z }
4
函数 y 3sin 2x, x R 取最大值是3，最小值是-3。
结论：一般地，函数 y=Asin(ωx+φ)，x∈R 或 y=Acos(ωx+φ)，x∈R（A、ω、φ为常数，且A≠0，
ω>0）的周期是：
T 2
三、例题分析思考、设函数f ( x)( x R)是以2为最小正周期的周期函数，且x [0, 2]时，f ( x) ( x -1)2, 求f (3), f ( 7 )的值
f (2x T ) f [2( x T )] f (2x)， T 是f ( x)的周期
2
2
对周期函数的理解判断：
(3)4是 y sin x，x R 的周期
注意：③周期函数的周期不止一个，若T是周期,则 kT(k∈Z，k≠0)也是周期。没有特别指明，函数的周期一般指最小正周期。
正弦函数有最值? y 正弦曲线
y sin x , x R
1
-2
-
o

-1
2 3
4 x
对于正弦函数y sin x, x R
当x
2k

2
(k

Z)
时，函数有最大值，ymax

1
当
x

2k

3
2
(k

Z )时，函数有最小值，ymin

高中数学(人教版)必修四课时作业：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)(Word版,无答案).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．4．2正弦函数、余弦函数的性质（一）1．下列函数中以π为周期的函数是（）A ．x y sin =B ．x y sin =C ．x y sin =D ．x y sin 21= 2．下列函数是奇函数的是（）A ．)sin(cos x y =B ．)cos(sin x y =C ．x x y cos sin ∙=D ．x x y cos sin +=3．已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是（）A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数4．函数)21sin(ϕ+=x y 是偶函数，则ϕ的一个值是（）A ．π-B ．2π-C ．4π-D ．8π- 5．函数)0)(35sin(3)(≠+=k x k x f 的最小正周期不大于1，则k 的最小的正整数值为（）A ．33B ．32C ． 31D ．306．方程)100,0()21()25cos(ππ在区间x x =+内解的个数是（） A ．98 B ．100 C ．102 D ．2007．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（） A ．21- B ．21 C ．23- D ．23 8．函数)3cos(2x y ωπ-=的最小正周期是π4，则=ω 。

9．已知*,4cos )(N n n n f ∈=π，则=++++)100()3()2()1(f f f f 。

10．已知)(x f 是奇函数，当0>x 时，x x x f sin )(2-=，则当0<x 时，)(x f = 。

11．若函数)0(sin >=ωωx y 在区间[]1,0上至少出现50次最大值，则ω的最小值为。

人教版数学高一课时作业1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)一、选择题1.函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( ) A.－1,3B.－1,1C.0,3D.0,12.下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 3.下列关系式中正确的是( )A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°4.函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.(π2，π) B.(π，2π) C.(π，3π2) D.(0，π) 5.函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈[π3，2π3]的最小值是( ) A.－13B.154C.0D.－146.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的值可为( )A.32B.23C.2D.3二、填空题7.sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________________.8.函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________.9.函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________. 10.函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值与最小值之和为________.三、解答题11.求下列函数的单调增区间.(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.12.求下列函数的最大值和最小值.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.13.已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b (a ＞0).当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值.四、探究与拓展14.已知奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则( )A.f (cos α)>f (cos β)B.f (sin α)>f (sin β)C.f (sin α)>f (cos β)D.f (sin α)<f (cos β)15.已知定义在R 上的奇函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (12)＝0，△ABC 的内角A 满足f (cos A )≤0，求角A 的取值范围.答案精析1.A2.A3.C4.C5.D6.A7.sin3<sin1<sin2 8.[0,2]9.⎣⎡⎦⎤2π3，π 10.2π11.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的单调增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z ). (2)要求函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调增区间，即求使y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0且单调递减的区间.∴2k π＋π2≤x 2－π3<2k π＋π，k ∈Z ，整理得4k π＋5π3≤x <4k π＋8π3，k ∈Z . ∴函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调增区间为⎣⎡⎭⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z . 12.解 (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由函数图象知， f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈ ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫－π6，sin π2＝⎣⎡⎦⎤－12，1. 所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12. (2)f (x )＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1. 当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52. 所以，f (x )在[π6，5π6]上的最大值和最小值分别为5，52. 13.a ＝2，b ＝－2＋ 314.D [由题意，得α＋β>π2，∴π2>α>π2－β>0，∴sin α>sin ⎝⎛⎭⎫π2－β，即1>sin α>cos β>0，∴－1<－sin α<－cos β<0.∵奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，∴f (－sin α)>f (－cos β)， ∴－f (sin α)>－f (cos β)，∴f (sin α)<f (cos β).]15.解 ①当0<A <π2时，cos A >0. 由f (cos A )≤0＝f (12)， f (x )在(0，＋∞)上单调递增，得0<cos A ≤12，解得π3≤A <π2. ②当π2<A <π时，cos A <0. ∵f (x )为R 上的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， ∴由f (cos A )≤0＝f ⎝⎛⎭⎫－12，得cos A ≤－12， ∴2π3≤A <π. ③当A ＝π2时，cos A ＝0， ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴f (0)≤0成立.综上所述，角A 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π.。

2021人教B版数学必修第三册课时分层作业：7.3.3 余弦函数的性质与图像

课时分层作业(十) 余弦函数的性质与图像(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数y ＝－cos x 的图像与余弦函数图像( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称C ．关于原点和x 轴对称D ．关于原点和坐标轴对称C [由y ＝－cos x 的图像知关于原点和x 轴对称．] 2．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数B [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ，所以f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )的最小正周期为π的偶函数．]3．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2A [因为函数的周期为π，所以排除C 、D ．又因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符．只有函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数．]4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4A [因为sin x >|cos x |，所以sin x >0，所以x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图像，观察图像易得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.]5．三个数cos 32，sin 110，－cos 74的大小关系是( ) A ．sin 110＞cos 32＞－cos 74 B ．cos 32＞－cos 74＞sin 110 C ．cos 32＜sin 110＜－cos 74 D ．－cos 74＜sin 110＜cos 32C [sin 110＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110，－cos 74＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74.因为π＞32＞π2－110＞π－74＞0，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，所以cos 32＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74，即cos 32＜sin 110＜－cos 74.] 二、填空题6．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx 的最小正周期为4π，则ω＝________.±12 [因为4π＝2π|－ω|，所以ω＝±12.]7．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． (－π，0] [因为y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，又在[－π，a ]上递增，所以[－π，a ]⊆[－π，0]，所以a ≤0. 又因为a >－π，所以－π<a ≤0.]8．方程x 2＝cos x 的实根的个数是________．2 [在同一坐标系中，作出y ＝x 2和y ＝cos x 的图像如图，由图可知，有两个交点，也就是实根的个数为2.]三、解答题9．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，求|φ|的最小值．[解] 由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝0，所以8π3＋φ＝k π＋π2 ，k ∈Z ，所以φ＝－13π6＋k π，k ∈Z ，取k ＝2，得|φ|的最小值为π6.10．若函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为π4，且x ＝2π3时f (x )有最小值．(1)求f (x )的解析式．(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π6，求f (x )的值域．[解] (1)因为函数f (x )的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为π4，所以T4＝π4，所以f (x )的周期为T ＝π，即2πω＝π，所以ω＝2；又因为x ＝2π3时f (x )有最小值，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，所以4π3＋φ＝2k π＋π，解得φ＝2k π－π3，因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f (x )的解析式f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π6，π6≤2x －π3≤4π3，当2x －π3＝π时，f (x )取得最小值－1，当2x －π3＝π6时，f (x )取得最大值32，所以f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32.11．(多选题)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的一个周期为2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π6对称 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的一个零点为πD ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递减ABC [由函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6知，在A 中，由余弦函数的周期性得f (x )的一个周期为2π，故A 正确；在B 中，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的对称轴满足条件x ＋π6＝k π，即x ＝k π－π6，k ∈Z .所以y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π6对称，故B 正确；在C 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x ，－sin π＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的一个零点为π，故C 正确；在D 中，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π上先减后增，故D 错误．故选ABC ．] 12．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．－5C [由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.因为－1≤cos x ≤1，所以当cos x ＝12时，函数有最大值－12.]13．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2 ，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝________.22 [因为T ＝3π2 ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.] 14．(一题两空)函数y ＝log 12cos x 的定义域是________．函数y ＝log 12(cos 2x ＋2cos x ＋1)的值域为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z [－2，＋∞) [函数y ＝log 12(cos x )有意义，则cos x ＞0，由余弦函数y ＝cos x 的图像可知，当2k π－π2＜x ＜2k π＋π2(k ∈Z )时，cos x ＞0，故函数y ＝log 12cos x的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－π2＜x ＜2k π＋π2(k ∈Z ). cos x ∈[－1,1]，cos 2x ＋2cos x ＋1∈[0,4]，所以y ＝log 12(cos 2x ＋2cos x ＋1)∈[－2，＋∞)．]15．已知函数y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6(其中k ∈N )，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，求k 的值．[解] 由5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6＝54 ，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6＝14. 因为函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值为14 有两次，而区间[a ，a ＋3]长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值14 不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．即2×2π2k ＋13π≤3，且4×2π2k ＋13π≥3.所以32≤k ≤72. 又k ∈N ，故k ＝2,3.。

人教版高中数学必修四九正弦函数、余弦函数的性质(一)含解析

课时达标检测（九）正弦函数、余弦函数的性质(一)一、选择题1．(陕西高考)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π答案：B2．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数答案：B4．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1 答案：A5．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13 答案：D二、填空题6．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π4，则ω＝________. 答案：87．函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x的奇偶性为________．答案：非奇非偶函数8．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________. 答案：22 三、解答题9．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |. (1)画出函数的简图．(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝ ⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )，图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.10．设有函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫kx －π3和函数g (x )＝b cos ⎝⎛⎭⎫2kx －π6(a >0，b >0，k >0)，若它们的最小正周期之和为3π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝g ⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝－3g ⎝⎛⎭⎫π4－1，求这两个函数的解析式．解：∵f (x )和g (x )的最小正周期和为3π2， ∴2πk ＋2π2k ＝3π2，解得k ＝2. ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝g ⎝⎛⎭⎫π2， ∴a sin ⎝⎛⎭⎫2×π2－π3＝b cos ⎝⎛⎭⎫4×π2－π6，即a ·sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝b ·cos ⎝⎛⎭⎫2π－π6. ∴32a ＝32b ，即a ＝b .① 又f ⎝⎛⎭⎫π4＝－3g ⎝⎛⎭⎫π4－1，则有a ·sin π6＝－3b ·cos 5π6－1，即12a ＝32b －1.② 由①②解得a ＝b ＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6.11．已知函数y ＝5cos ⎝⎛⎭⎫2k ＋13πx －π6(其中k ∈N)，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，求k 的值．解：由5cos ⎝⎛⎭⎫2k ＋13πx －π6＝54，得cos ⎝⎛⎭⎫2k ＋13πx －π6＝14. ∵函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值14有两次，而区间[a ，a ＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．即2×2π2k ＋13π≤3，且4×2π2k ＋13π≥3. ∴32≤k ≤72.又k ∈N ，故k ＝2,3.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

人教B版高中数学必修第三册课后习题第7章三角函数 7.3.3 余弦函数的性质与图象

7.3.3 余弦函数的性质与图象课后训练巩固提升1.函数y=2cos x-3的值域是( ) A.[-1,1] B.[-5,-1] C.[-5,+∞)D.(-∞,+∞)-1≤cosx≤1,∴-2≤2cosx≤2, ∴-5≤2cosx -3≤-1,故选B.2.函数y=cos (2x +π3)的图象的一条对称轴方程为( )A.x=-π6B.x=π6C.x=-π3D.x=π2x=-π6时,cos [2×(-π6)+π3]=cos0=1,取得最大值.而y=cos (2x +π3)的图象的对称轴通过图象的最高点或最低点,故选A.3.为了得到函数y=sin (2x -π6)的图象,可以将函数y=cos 2x 的图象( )A.向右平移π6个单位B.向左平移π6个单位C.向右平移π3个单位D.向左平移π3个单位解析 y=sin (2x -π6)=cosπ2-2x-π6=cos (2π3-2x)=cos (2x -2π3)=cos [2(x -π3)],即将函数y=cos2x 的图象向右平移π3个单位.4.下列函数中,周期为π,且在区间[π4,π2]上为减函数的是( )A.y=sin (2x +π2)B.y=cos (2x +π2)C.y=sin (x +π2) D .y=cos (x +π2)π,C 和D 被排除.A 中y=sin (2x +π2)=cos2x,单调递减区间为2kπ≤2x≤2kπ+π,kπ≤x≤kπ+π2(k ∈Z).当k=0时,一个减区间为[0,π2],而[π4,π2]⊆[0,π2],故A 正确;经验证B 不正确.5.(多选题)下列函数同时具有“最小正周期是π,图象关于点(π6,0)对称”两个性质的是( )A.y=sin (2x -π3) B .y=cos (2x +π6)C.y=cos (x 2+π6)D.y=sin (x 2+π6)π,C 和D 被排除.当x=π6时,y=sin (2×π6-π3)=sin0=0,故A 正确;y=cos (2×π6+π6)=cos π2=0,故B 正确.6.若y=sin x 是减函数,且y=cos x 是增函数,则角x 的取值范围是 . 解析 x ∈2kπ+π2,2kπ+3π2,k ∈Z 时,y=sinx 是减函数,x ∈[2kπ+π,2kπ+2π],k∈Z 时,y=cosx 是增函数,故所求x 的取值范围是[2kπ+π,2kπ+3π2],k ∈Z.+π,2kπ+3π2],k ∈Z7.若函数f(x)=3cos (ωx -π3)(ω>0)的最小正周期为2π3,则f(0)= ;f(π)= .T=2πω,得ω=2πT=3,∴f(x)=3cos (3x -π3),∴f(0)=3cos (-π3)=32.∴f(π)=3cos (3π-π3)=-3cos π3=-32.-328.若把函数y=cos (x +π3)的图象向左平移m(m>0)个单位,所得的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是 . 解析向左平移m 个单位后,得y=cos的图象,关于y 轴对称,所以当=kπ,m=-π3+kπ(k∈Z),当k=1时,m 有最小正值2π3.9.判断下列函数的奇偶性,并求它们的周期. (1)y=3cos 2x,x ∈R; (2)y=cos (34x +3π2),x ∈R.把2x 看成一个新的变量u,那么cosu 的最小正周期为2π,这就是说,当u 增加到u+2π且必须至少增加到u+2π时,函数cosu 的值重复出现.而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x 增加到x+π且必须至少增加到x+π时,函数值重复出现,因此,y=3cos2x 的周期为π.因为y=f(x)=3cos2x,f(-x)=3cos(-2x)=3cos2x,所以y=3cos2x 为偶函数. (2)函数y=cos (34x +3π2)的周期T=2π34=8π3.因为x ∈R,且y=f(x)=cos (34x +3π2)=sin 34x,所以f(-x)=sin (-34x)=-sin 34x=-f(x),所以y=cos (34x +3π2)为奇函数.10.求函数y=sin 2x+acos x-12a-32的最大值为1时a 的值.解 y=1-cos 2x+acosx-12a-32=-cosx-a22+a 24−12a-12.cosx ∈[-1,1],要使y 最大,则必须满足cosx-a22最小.①当a2<-1,即a<-2时,若cos ax =-32a-32.由题设,令-32a-32=1,得a=-53>-2(舍去);②当-1≤a2≤1,即-2≤a≤2时,若cos ax =a 24−a 2−12.由题设,令a 24−a 2−12=1,得a=1±√7(舍去正值);③当a2>1,即a>2时,若cosx=1,则y max =a 2−32,由题设,令a 2−32=1,得a=5.综上所述,a=5或a=1-√7.1.要得到y=cos (2x -π4)的图象,只要将y=sin 2x 的图象( )A.向左平移π8个单位B.向右平移π8个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移π4个单位解析cos(2x-π4)=cos(π4-2x)=sin2x+π4=sin[2(x+π8)],只需将y=sin2x的图象向左平移π8个单位.2.函数y=2-cos x的单调递增区间是( )A.[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z)B.[kπ+π,kπ+2π](k∈Z)C.[2kπ,2kπ+π2](k∈Z)D.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)-cosx是由y=2u和u=-cosx复合而成的,而y=2u在R上单调递增,由复合函数的“同增异减”原则可知,y=2-cosx的单调递增区间即为u=-cosx的单调递增区间,即为y=cosx的单调递减区间,即为[2kπ,2kπ+π](k∈Z),故D正确.3.(多选题)已知函数f(x)=cos2x+π3,则下列说法正确的是( )A.函数f(x)的最小正周期为πB.当x=kπ-π6(k∈Z)时,f(x)取得最大值1C.函数f(x)图象的一个对称中心是5π6,0D.将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向右平移π12个单位,则所得到的图象的函数解析式为y=cos 4x解析对于选项A,f(x)的最小正周期T=2π2=π,故A正确;对于选项B,当x=kπ-π6(k∈Z)时,2x+π3=2kπ(k∈Z),f(x)=cos2x+π3=cos2kπ=1(k∈Z),则f(x)取得最大值1,故B正确;对于选项C,令2x+π3=π2+kπ(k∈Z),可得x=π12+kπ2(k∈Z),不存在k∈Z使得π12+kπ2=5π6,故C不正确;对于选项D,将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),可得y=cosx+π3,再将所得图象向右平移π12个单位可得y=cos x-π12+π3=cos x+π4≠cos4x,故D不正确.故选AB.4.方程cos πx=14x的解的个数是( )A.5B.6C.7D.8y1=cosπx,y2=14x的图象(图略),当x=4时,y1=cos4π=1=y2. 结合图象知,当x>0时,两图象有4个交点;当x<0时,也有4个交点.5.已知函数y=3cos(π-x),则当x= 时,函数取得最大值.-x)=-3cosx,故当x=2kπ+π(k∈Z)时,y有最大值.Z)6.已知函数f(x)=2cos (2x -π3),其中x ∈[0,π4],则函数f(x)的值域为 ;函数f(x)的单调递减区间为 .∵0≤x≤π4,∴-π3≤2x -π3≤π6,由余弦函数的单调性可知,当2x-π3=-π3,即x=0时,函数有最小值为2cos (-π3)=1;当2x-π3=0,即x=π6时,函数有最大值2cos0=2,故值域为[1,2];函数的单调递减区间为[π6,π4].[π6,π4]7.设函数f(x)=cos(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一个对称中心是(π8,0). (1)求φ;(2)求函数y=f(x)的单调递增区间.∵函数图象的对称中心是(π8,0),∴cos (π4+φ)=0,即π4+φ=π2+kπ(k∈Z),∴φ=π4+kπ(k∈Z).又-π<φ<0,∴φ=-3π4.(2)f(x)=cos (2x -3π4)的单调递增区间为-π+2kπ≤2x -3π4≤2kπ,解得-π8+kπ≤x≤3π8+kπ(k∈Z),故函数y=f(x)的单调递增区间是-π8+kπ,3π8+kπ(k ∈Z).8.已知函数f(x)=2cos ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f (π8)的值;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.∵f(x)的周期T=π,故2πω=π,∴ω=2,∴f(x)=2cos2x,∴f (π8)=2cos π4=√2.(2)将y=f(x)的图象向右平移π6个单位后,得到y=f (x -π6)的图象,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变,得到y=f x 4−π6的图象,故g(x)=fx 4−π6=2·cos 2x 4−π6=2cosx 2−π3.当2kπ≤x2−π3≤2kπ+π(k∈Z),即4kπ+2π3≤x≤4kπ+8π3(k ∈Z)时,g(x)单调递减,因此g(x)的单调递减区间为4kπ+2π3,4kπ+8π3(k ∈Z).。

课时作业1：7.3.3 余弦函数的图像与性质

7．3.3 余弦函数的性质与图像1．下列函数中周期为π2，且为偶函数的是( )A ．y ＝sin 4xB ．y ＝cos 14xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫14x －π2答案 C解析显然周期为π2的有A 和C ，又因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2＝cos 4x 是偶函数，故选C. 2．函数y ＝－cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增函数 D ．先增后减函数答案 C解析因为y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上先增后减，所以y ＝－cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上先减后增． 3．设a ＝cos π12，b ＝sin 41π6，c ＝cos 7π4，则( ) A ．a >c >b B ．c >b >a C ．c >a >b D ．b >c >a 答案 A解析 b ＝sin 41π6＝sin ⎝⎛⎭⎫6π＋5π6＝sin 5π6＝sin π6＝cos π3，c ＝cos 7π4＝cos π4，因为π3>π4>π12，且y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是单调递减函数，所以a >c >b . 4．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]上的零点个数为3.5．将函数f (x )＝2cos x 向左平移π6个单位，再把图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图像，则函数y ＝g (x )的图像的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π12，0 B.⎝⎛⎭⎫π3，0 C.⎝⎛⎭⎫5π12，0 D.⎝⎛⎭⎫2π3，0答案 D解析依题意g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，令2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，∴g (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫π6＋k π2，0，k ∈Z ，故选D. 6．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4在x ＝________时，y 取最大值．答案 4k π＋π2(k ∈Z )解析当函数取最大值时，12x －π4＝2k π(k ∈Z )，x ＝4k π＋π2(k ∈Z )．7．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋2π3，k ∈Z 解析由2cos x ＋1≥0，得cos x ≥－12，结合图像(图略)知，x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋2π3，k ∈Z . 8．方程x 2＝cos x 的实数解有________个．答案 2解析作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像，如图所示，由图像，可知原方程有两个实数解．9.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)若x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f (x )的取值范围．解 (1)由图知A ＝2，T 4＝π12－⎝⎛⎭⎫－π6＝π4， ∴T ＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2cos(2x ＋φ)．又f (x )过点⎝⎛⎭⎫π12，2代入得2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1， ∴π6＋φ＝2k π，k ∈Z ， ∴φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π6.∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2x －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎝⎛⎦⎤－32，1， ∴f (x )∈(－3，2]．所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f (x )的取值范围是(－3，2]． 10．已知函数f (x )＝2cos ()2x ＋φ，φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (x )的图像关于x ＝3π8对称． (1)求f (x )；(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的减区间； (3)画出f (x )在一个周期上的简图．解 (1)令2x ＋φ＝k π，k ∈Z ，将x ＝3π8代入得2×3π8＋φ＝k π，φ＝－3π4＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴φ＝π4，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)令2k π≤2x ＋π4≤π＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，又0≤x ≤π，∴0≤x ≤3π8或7π8≤x ≤π，∴当x ∈[0，π]时，f (x )的减区间为⎣⎡⎦⎤0，3π8，⎣⎡⎦⎤7π8，π. (3)列表，2x ＋π40 π2 π 3π2 2π x －π8 π8 3π8 5π8 7π8 f (x )2－22作图，如图所示．11．把函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移π6个单位，得到一个最小正周期为2π的奇函数g (x )，则ω和φ的值分别为( ) A ．1，π3B ．2，π3C.12，π6D.12，π3答案 B解析依题意得f (x )第一次变换得到的函数解析式为m (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ω2x ＋φ，则函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx 2＋ωπ12＋φ. 因为函数的最小正周期为2π，所以ω＝2， ∴g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ， ∵g (x )为奇函数， ∴g (0)＝0， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π3.12.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析由图像知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D. 13．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像，只要将y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位答案 A解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4. 若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，所以向左平移π8个单位．14．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像，如图所示．观察图像知，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4.15．当x ∈[0，π]时，方程cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＋1＝a 有两不相等的实数根，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析 cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＋1＝a ， cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝a －1，令t ＝x －π3， ∵x ∈[0，π]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，依题意y ＝cos t ，t ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3与y ＝a －1有两个不同的交点，作出y ＝cos t ，t ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3的图像如图．由图知12≤a －1<1，即32≤a <2.16．设函数y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．解由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得4k π－2π3≤x ≤4k π＋4π3(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π－2π3，4k π＋4π3(k ∈Z )，同理函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋4π3，4k π＋10π3(k ∈Z )．令28π5∈⎣⎡⎦⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在．令28π5∈⎣⎡⎦⎤4k π＋4π3，4k π＋10π3，得k ＝1. ∴28π5∈⎣⎡⎦⎤16π3，22π3，这表明y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在⎣⎡⎦⎤28π5，22π3上是减函数， ∴a 的最大值是22π3.。

7.2.1三角函数的定义+教学设计2023-2024学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册

教学设计题目三角函数的定义第 1 课时内容和内容解析内容本节内容主要包括三角函数的定义，根据定义求任意角的三角函数，判断三角函数在各象限的符号。

内容解析三角函数是一类最典型的周期函数，是解决实际问题的重要工具，是学习数学和物理、天文等其他学科的基础。

整体上任意角三角函数知识体系的建立，与其他基本初等函数类似，强调以周期变换为背景，构建从从抽象研究对象（即定义三角函数概念）到研究它的性质图像再到实际应用的过程。

学情分析学生在以前学习基本初等函数，涉及的量（常量与变量）较少，解析式都有明确的运算含义，而三角中，影响单位圆上点的坐标变化的因素较多，对应关系不以“代数运算”为媒介，而是角与x,y直接对应，无需计算。

目标和目标解析目标1.通过分析问题情境中摩天轮离地面高度问题，体会用坐标定义任意角三角函数的必要性，体会由特殊到一般的归纳思想，发展数学抽象和逻辑推理的学科素养；2.经历任意角三角函数定义的产生过程，理解任意角三角函数的定义，发展逻辑推理的学科素养；3.会运用定义求任意角的三角函数值、会判定给定三角函数值的符号，发展数学运算的学科素养．目标解析1、学生能如了解基本初等函数的背景那样，了解三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具；2、学生能根据定义得出三角函数在各象限取值的符号规律。

教学重点1.任意角三角函数的定义；2.依据定义求三角函数值；3.判定三角函数值的符号.教学难点任意角三角函数定义的建构过程以及三角函数的对应关系。

教学方法分析本节课以新课标教学理念为知道，倡导积极主动、勇于探索的学习方式，采用情境导入借助多媒体的运用，让学生理解三角函数的背景及定义的构建过程。

教学过程设计教师活动与任务设计学生学习活动与任务解决设计意图或评价目标环节一创设情境任务一、情境导入本章导语中提到“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，设其半径为r m，中心离地面高度为，从水平位置B点出发，设半径AB转过的角度为，一、学生独立思考完成，展示答案：，，并作解释说明，进而猜想：．二、师生共研当点B在水平位置上方时，任意角三角函数定义的建构过程是本节课的难点，如何自然地引入坐标，使学生体会到用坐标定义的必要性和问题1：当时，B 点离地面的高度h如何表示？当呢？猜想当角为任意角时，h与之间的关系式如何表示？问题2：随着摩天轮的转动，角从最初的锐角推广到任意角，对任意角，该如何定义呢？这就是本节要学习的内容，任意角三角函数的定义．上述问题的猜想是否合理呢？我们共同分析：问题3：上述式子中，我们能否找到一个量替代，使上述形式更简单？它的绝对值与相等，在水平位置上方为正，下方为负．，当点当点B在水平位置下方时，，所以，结合猜想，得到，即．三、学生活动：学生思考后回答，引入直角坐标系，用点B的纵坐标y替代，所以．合理性是设置该问题情境的原因，并且通过摩天轮周而复始的旋转，让学生感受三角函数的背景就是周而复始的运动。