因式分解导学案

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《因式分解》导学案

4.1 因式分解导学案【学习导言】了解因式分解的概念和意义;了解因式分解与整式乘法的关系——互逆变形课前学习：尝试体验（对话课本，记下问题，尝试练习）【对话课本】阅读教材98页到99页【记下重点与问题】1. 什么是整式的乘法___________________________________.2. 看书本98页然后填写下表3.因式分解的概念:把一个多项式化成_____________的______的形式,叫做________.[记下问题]【尝试练习】1.请你写出整式相乘的两个例子(其中至少一个是多项)_______________________________________;____________________________________由此你能得到相应的两个多项式的因式分解吗?_______________________________________;____________________________________2.下列代数变形中,哪些是因式分解?哪些不是?写出为什么. 2(1)2()22m m n m mn -=- 211(2)(2)22ab ab ab b -=-x x x x-+=-+(4)31(3)1-+=-2(3)41(21)x x x422课内学习：合作体验（检评预习，审视问题，独立练习，纠错反审）【检评预习】同桌交换学案，检查评价批语：【审视问题】审视下面的学习要点，思考提出的问题【尝试例题】：例：检验下列因式分解是否正确22x x x(2)21(21)(21)-=+-(1)()x y xy xy x y-=-22++=++x x x x(3)32(1)(2)解：（1）（2）（3）想一想：检验因式分解是否正确的方法是【练习】检验下列因式分解是否正确(1)m2+nm=m(m+n) (2)a2－b2=(a+b)(a-b)(3)x2-x-2=(x+2)(x-1) (4)5x2y-10xy=5xy(x-2y)【独立练习】A组1.把左右两边相等的代数式连接起来：2a2-2a (2-a)(2+a)a2+6a+9 2a(a-1)4-a2 (a+2)23a2+12a 3a(a+4)2.把下列各式分解因式：(1)am+bm (2)a2-9 (3)a2+2ab+b23.计算下例各题,并说明你的理由(1)242+24 (2)872+87×13 (3)1012-992解：解：解：B组4.若x2+kx+1/4因式分解的结果为(x+1/2)2,则k=____________.5.关于x的二次三项式x2+px+q能分解成(x-1)(x+6)，求p+3q-2的值6.（1）已知x-y=2，x2-y2=12,求x+y的值（2）已知m+n=9,mn=14,求m2-mn+n2的值课后学习：反审体验（审查错误原因，检查练习，完成作业）【反思审查】再仔细审查学案，用红笔作出示意.【作业练习】作业本学案。

因式分解法导学案—2025学年人教版数学九年级上册

第21 章一元二次方程（5）——因式分解法一、复习回顾：1、解下列方程x²−7=0x²−2x−3=03x2−2√3x+2=02、因式分解的常见方法有那些?二、新知探究：从小学的知识我们知道：如果a·b=0；那么根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度为10x-4.9x²,根据上述规律，要求物体经过多少秒落回地面? 即高度为0m时，可列方程：10x−4.9x²=0由上可知，解一元二次时也可以不通过开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再得到两个一元一次方程，从而实现降次。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

三、典例分析：例1、解下列方程(1)2x²+3x=0 (2) x(x--2)+x-2=0 (3)5x2−2x−14=x2−2x+34注意：用因式分解法必须保证方程右边；一般当方程比较繁杂时，我们可以先将方程四、巩固练习：解下列方程(1)x²+x=0(2)x2−2√3x=0 (3) 3x(2x+1)=4x+2(4)3x²−6x=−3(5)4x²−121=0(6)x²+x−2=0五、拓展提升：例2、解方程((x−4)²=(5−2x)²(多种方法解)六、知识小结：1、解一元二次方程有哪些方法?2、如何尝试用因式分解法解一元二次方程? (因式分解法的选择)中午作业：1、解方程(1)x²+9x=0(2)x²+9=6x(3)(2+x)²−9=0(4)3x(x−2)=2(2−x) (5)(x−2)(x+3)=−6(6)(x−1)2=(2x−3)2(7)x²−x−6=0(8)x²−5x+6=02、若一个多边形共有20条对角线，求这是个几边形?。

因式分解 (导学案)

《因式分解》导学案第1课时先市中学祝茂山一、教材分析1.学习目标①理解因式分解的概念和意义，能判断一个多项式的变形是否为因式分解；②能找出多项式中的公因式，能熟练运用提公因式法因式分解。

2.学习重点：①理解因式分解的含义；②能观察出多项式的公因式，并能提公因式法因式分解。

3.本节难点：准确找出公因式，并用提公因式法分解因式。

二、过程设计（一）预热：填空：22(21)a a a+=-（）， ()322x 4x 2x 2x +=－（二）提出问题，创设情境请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快。

163433743 ⨯+⨯（） 22 210199（）-在上述运算中，我们将数字分解成两个数的乘积或逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式乘积形式，这就是我们今天要探究的内容----因式分解。

（三）知识回顾，探究新知（对因式分解概念的理解）1．运用前面所学的知识填空 2．根据左面的计算，你会做下面的填空吗?()(1)()()(2)()()(3)()()2m a b c a b a b a b ++=+-=+=()()()()()22222(1)(2)(3)2ma mb mc a b a ab b ++=-++＝＝3.想一想：（1）第1题的变形是什么运算？（2）第2题的变形与第1题的运算有什么关系？（3）第2题变形的结果有什么共同的特点？ 4．总结概念：把一个多项式化成的形式的变形叫做把这个多项式，也叫做把这个多项式分解因式。

5．怎样判断多项式的变形是因式分解？（合作交流，小组讨论）练习1下列各式的变形是否是因式分解?为什么？3222(1)1234x y x xy =⋅ 2(2)() a a b a a b -=- ()(3)()22x y x y x y =+－－ (4)777(1)x x -=- 2(5)5(1)5x x x x +-=+-练习2 比较判断：下列各式由左到右变形，那些是因式分解？(1)105()3225a b a bc a b a 2c -=- 1(2)()(0)2x 1x x x x+=+≠()()(3)222y x 4y x 2x 2+-=++-(4)42)x -=（四）用提公因式法因式分解（依案自学，小组讨论）公因式：多项式中的每一项都含有的公共的因式，我们称之为公因式。

因式分解(3完全平方公式法)导学案

式
a、b 各表示什么
表示（a+b）2 或（a－b）2
⑴提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) ⑵运用公式法： ①a2-b2=(a+b)(a-b)
x2 6x 9
练习把下列各式分解因式 ① ax4 ax2 ② x4-16
4y2 4y 1 1 4a2
2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么？
（3）提高计算：
9(a b)2 12(a 2 b2 ) 4(a b)2
（1） 25x2 10 1
(2)9a2 6ab b2
) 3ax2 6axy 3ay2
(3)49a 2 b2 14ab
（4） a2 10a 25
(y2 x2 )2 4x2 y2
(a 1)2 2(a 2 1) (a 1)2
判断因式分解正误，并写出正确过程
(1） -x2-2xy-y2= -(x-y)2
（2）级
（7） x 2 12 xy 36 y 2
学生
(8)16a4 24a2b2 9b4
五、总结与反思：
1:、整式乘法的完全平方公式是：a b2 a2 2ab b2 2:、利用完全平方公式分解因式的公式是：a2 2ab b2 a b2
（5） a3b 2a2b3 ab3
（6） 9 12(a b) 4(a b)2
（4）已知 x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值
-2-
)2
（6）4x2+4xy+(
=(a-b) 2
=(
)2
) 2=(
)2
例题（先观察再因式分解） ① x2＋14x＋49 ② (m n)2 6(m n) 9 ③ 3ax2＋6axy＋3ay2

因式分解复习课导学案

因式分解复习课导学案
班级姓名
一、知识回顾
1、什么叫做因式分解？
2、怎样确定一个多项式的公因式？什么是提公式因法？
3、因式分解中的平方差公式、完全平方公式是怎样的
二、专项突破之一：对因式分解的理解
1、对象：因式分解是把一个多项式进行恒等变形；
2、方向：因式分解与整式的乘法是互逆的过程，具有方向性；
3、目标：是要把一个多项式化成几个整式的乘积；
4、最终：把一个多项式分解到不能再分解为止．
5、针对训练：
(1)、判断下列各等式从左至右是因式分解的是：_____________(填序号)
①；②；
③；④．
（2）、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）.
A．a（a－b）＝a2－ab；B．a2－2a＋1＝a（a－2）＋1
C．x2－x＝x（x－1）；D．x2－＝（x＋）（x－）（3）、下列从左到右的变形，是分解因式的为( )
A.x2－x=x(x－1)
B.a(a－b)=a2－ab
C.(a+3)(a－3)=a2－9
D.x－2x+1=x(x－2)+1
三、专项突破之二：提公因式法归类练习
（一）提单项式
（二）提多项式
四、专项突破之三：平方差公式
（一）、基本型练习
（二）、两个数都是单项式
（三）、两个数都是多项式的练习
五、专项突破之四：完全平方公式
（一）、基本型练习
3、若是一个完全平方式，则m的值是；
六、分解因式：
（1）（2）
（3）（4）。

4.1《因式分解》导学案

4.1《因式分解》导学案班级姓名时间学习目标1.了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．一、基础回顾与练习（独学）1、简便运算（1）736×95+736×5（2）992-12、补充下列公式：乘法分配律： a×（a+b）=_________________平方差公式：（a+b）×(a-b)=_______________完全平方公式：2±=_______________________()a b单项式乘以多项式法则：______________________________________________ 多项式乘以单项式法则：______________________________________________3、根据上面的公式完成：（1）2x(2- x)= ；（2）m(a+b-1)= ；（3）（n+4）(n-4)= ；（4）（y-3）2= ；二、课堂交流展示1、（1）、993-99可以被100三个连续整数整除吗？你是如何想的？（2）、将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?3-=a a2、完成课本92页做一做，并填空：___________________________________的形式叫做把这个多项式分解因式。

3、根据基础回顾3的结果完成下列各题：（1）4x- x2= ；（2）ma+mb-m= ; （3）n2-16= ；（4）y2-6y+9= ．4、思考：因式分解与整式乘法有什么关系？三、当堂检测课本第93页第1、2题，完成在书上。

四：课堂小结：本节课你的收获是什么？还有什么困惑吗？五、家庭作业：将下列公式及法则再写一次乘法分配律： a×（a+b）=_________________法则：平方差公式：（a+b）×(a-b)=_______________法则：完全平方公式：2±=_______________________()a b法则：单项式乘以多项式法则：______________________________________________ 多项式乘以单项式法则：______________________________________________ 自我评价：小组评价：老师评价：。

因式分解导学案

14.3 因式分解1．因式分解(1)定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．(2)因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：(a＋b)(a－b)a2－b2.即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性．谈重点因式分解的理解(1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式．(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解．(3)因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底．【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()．A．a(x＋y)＝ax＋ayB．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4C．10a2－5a＝5a(2a－1)D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y2．公因式(1)定义多项式的各项中都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．(2)确定多项式的公因式的方法确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数．解技巧确定公因式的方法确定公因式的方法：(1)对于系数(只考虑正数)，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数．(2)对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂．最后还要根据情况确定符号．【例2】把多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式时，应提取的公因式是()．A．3a2b B．3ab2C．3a3b3D．3a2b23．提公因式法(1)定义一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．(2)提公因式的步骤①确定应提取的公因式；②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式．警误区提公因式要彻底(1)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；(2)如果多项式的首项系数是负数，应先提出“－”号．可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”．【例3】用提公因式法分解因式：(1)12x2y－18xy2－24x3y3；(2)5x2－15x＋5；(3)－27a2b＋9ab2－18ab；(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)．4．用平方差公式分解因式(1)因式分解的平方差公式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来．(2)平方差公式的特点左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数(或整式)的和与这两个数(或整式)的差的积．凡是符合平方差公式左边特点的多项式都可以用这个公式分解因式．【例4】把下列多项式分解因式：(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.5．用完全平方公式分解因式(1)因式分解的完全平方公式两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来．(2)完全平方公式的特点左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号．【例5】把下列多项式分解因式：(1)x2＋14x＋49；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9；(3)3ax2＋6axy＋3ay2；(4)－x2－4y2＋4xy.6．因式分解的一般步骤根据多项式的特点灵活选择分解因式的方法，其一般步骤可概括为：一提、二套、三查．一提：如果多项式的各项有公因式，首先考虑提取公因式；二套：提公因式后或没有公因式可提，就要考虑运用公式法，即平方差公式或完全平方公式；三查：因式分解一定要分解到不能分解为止，要检查每个因式是否还可以继续分解．7．运用公式法分解因式易出现的错误在分解因式时，多项式的项数若是两项，且含有平方项，则考虑用平方差公式进行分解因式．若多项式是三项式，则考虑用完全平方公式．在应用公式法分解因式时常出现的错误是：对公式的结构特征掌握不熟，理解不透彻，易出现符号、项数上的错误，二次项、一次项系数搞错，把两个公式混淆等．8 关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).事实上：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.例如：把x2+3x+2分解因式.(分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)例3 把下列各式分解因式.(1)x2+7x+10；(2)x2-2x-8；(3)y2-7y+10；(4)x2+7x-18.【例6】把下列各式分解因式：(1)18x 2y －50y 3；(2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2.【例7】下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )．①4x 2－4xy －y 2；②x 2＋25x ＋125；③－1－a －a 24；④m 2n 2＋4－4mn ；⑤a 2－2ab ＋4b 2；⑥x 2－8x ＋9.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个练习：（1）6a-a 2-9；2）-8ab-16a 2-b 2；（3）2a 2-a 3-a ；（4）4x 2+20（x-x 2）+25（1-x ）2 自我评价知识巩固1.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于( )A.3B.-5C.7.D.7或-12.若(2x)n -81=(4x 2+9)(2x+3)(2x-3)，则n 的值是( )A.2B.4C.6D.83.把(a +b)-4(a 2-b 2)+4(a -b)2分解因式的结果是( )A.(3a -b)2B.(3b+a )2C.(3b-a )2D.(3a +b)24.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式为( )A.2(5x-2y)2B.-2(5x-2y)2C.29(x 2+y 2)D.以上都不对5.若多项式x 2+pxy+qy 2=(x-3y)(x+3y)，则p,q 的值依次为( )A.-12,-9B.-6,9C.-9,-9D.0,-96.分解因式：4x 2-9y 2= .7.利用因式分解计算：2224825210000 = . 8.若x=3.2，y=6.8，则x 2+2xy+y 2= .9.把多项式4-4(a -b)+(a -b)2分解因式的结果是 .10.计算：12-22+32-42+52-62+72-82+92-102= .11.分解因式.(1)(x+y)2-9y 2；(2)a 2-b 2+a +b ；(3)10b(x-y)2-5a (y-x)2；(4)(a b+b)2-(a +1)2；(5)(a 2-x 2)2-4a x(x-a )2；(6)(x+y+z)2-(x-y+z)2.12.已知x-y=1,xy=2，求x 3y-2x 2y 2+xy 3的值.13.已知x-y=2，x 2-y 2=6，求x 与y 的值.14.利用因式分解计算19992+1999-20002.15.解方程(65x+63)2-(65x-63)2=260.16.已知a ,b,c 是△ABC 的三边，且满足关系式a 2+c 2=2a b+2bc-2b 2，试说明△ABC 是等边三角形.17.当a ，b 为何值时，多项式a 2+b 2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值.18利用因式分解计算下列各题.(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9；(2)20022-4006×2002+20032；(3)5652×11-4352×11；(4)(543)2-(241)2.例10 计算200420032004200365654343212122222222+-+++-++-++- .2.已知多项式x 3+kx+6有一个因式x+3，当k 为何值时，能分解成三个一次因式的积？并将它分解.3.如果x+y=0，试求x 3+x 2y+xy 2+y 3的值.4.试说明无论m ，n 为任何有理数，多项式4m 2+12m+25+9n 2-24n 的值为非负数.11.分解因式.(1)(a -2b)2-16a 2； (2)x 3-x 2-4x+4.12.若3x 3-x=1，则9x 4+12x 3-3x 2-7x+2004的值等于多少？。

第一章因式分解导学案

因式分解【学习目标】：（1）了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. （2）通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养观察能力和语言概括能力. （3）通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，了解事物间的因果联系. 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．【学习重难点】重点：1.理解因式分解的意义.2.识别分解因式与整式乘法的关系.难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.【预习案】一．学习准备1．因式分解是：把的形式。

2．请同学们阅读教材，预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；二．教材精读：1、整式乘法公式类：()()a b a b +-=2()a b += 2()a b -= (1)单⨯单：34a ab = (2) 单⨯多：(35)a a b -=(3) 多⨯多：(3)(2)x y x y -+= (4) 混合乘：(1)(1)a a a +-=2、把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式如：⑴22a b -=()()a b a b +- ⑵222a ab b ++=2()a b +⑶222a ab b -+=2()a b - ⑷235a ab -=(35)a a b - ⑸3a a -=(1)(1)a a a +-定义解析：（1）等式左边必须是（2）分解因式的结果必须是以的形式表示；（3）分解因式必须分解到每个因式都有不能分解为止。

3、分解因式与整式乘法的关系是：【探究案】探究一：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1）22111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()222424ab ac a b c +=+（3）24814(2)1x x x x --=--（4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=-（6）2(3)(3)9x x x +-=- 解:（7）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A 、29)3)(3(x x x -=+-B 、))((2233n mn m n m n m ++-=-C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y yD 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242探究二：连一连：9x 2－4y 2 a （a ＋1）2 4a 2－8ab ＋4 b 2－3a （a ＋2）－3 a 2－6a 4（a －b ）2 a 3＋2 a 2＋a （3x ＋2y ）（3x －2y ）【检测案】1．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）.A ．a （a －b ）＝a 2－ab ；B ．a 2－2a ＋1＝a （a －2）＋1C ．x 2－x ＝x （x －1）；D ．x 2－yy ⨯1＝（x ＋y 1）（x －y 1）2.连一连：a 2－1 (a +1)(a －1) a 2+6a +9(3a +1)(3a －1) a 2－4a +4 a (a －b ) 9a 2－1(a +3)2 a 2－ab(a －2)2【训练案】1.若分解因式x 2+mx-15=(x+3)(x+n),则m 、n 的值是多少？2．把下列各式分解因式正确的是（） A ．x y 2－x 2y ＝x （y 2－xy ）； B ．9xyz －6 x 2y 2＝3xyz （3－2xy ）C ．3 a 2x －6bx ＋3x ＝3x （a 2－2b ）；D ．21x y 2＋21x 2y ＝21xy （x ＋y ）【教（学）后反思】提公因式法（第一课时）【学习目标】：（1）经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式（单项式式）；（2）会用提取公因式法进行因式分解（单项式式）．（3）通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强直觉思维，培养观察能力；进一步发展类比思想；【学习方法】．自主探究与小组合作交流相结合．【学习重难点】重点:能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.难点：让学生识别多项式的公因式.【预习案】一．学习准备：1．请同学们阅读教材的内容，并完成书后习题2．预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；二．教材精读：1、一个多项式中各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的．2、公因式是各项系数的与各项都含有的字母的的积多项式ma+mb+mc 都含有的相同因式是，多项式3x 2－6xy+x 都含有的相同因式是。

因式分解法导学案

一元二次方程因式分解法因式分解法导学案一、新课导入1.导入课题：情景：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖起上抛，那么经过x s后物体离地面的高度（单位：m）为：10x-4.9x2.问题1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？问题2：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程.问题3：你能用配方法或公式法解这个方程吗？是否还有更简单的方法呢？（板书课题）2.学习目标会用因式分解法解一元二次方程．3.学习重、难点：重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：熟练运用.二、分层学习第一层次学习1.自学指导（1）自学内容：课本P12——P13页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：可先解答②，再解答①.（4）自学参考提纲：①解方程10x-4.9x2=0.分解因式：左边提公因式，得___________=0，降次：把方程化为两个一次方程，得___________或___________，求解：解这两个一次方程，得x1= , x2= .②将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果ab=0，则__________或___________.③请小结因式分解法解一元二次方程的步骤：④解下列方程：(2)(3)0x x-⋅-=；24110x x-=.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：是否理解用因式分解法解一元二次方程的依据，用因式分解法解方程的步骤有哪些？②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.（2）生助生：小组内互相交流、研讨.4. 强化：第一步，把方程变形为的形式；第二步，把方程变形为的形式；第三步，把方程降次为两个一次方程( )=0或( )=0的形式；第四步，解两个一次方程求出方程的根.②点两名学生板演第④题，并点评.第二层次学习1.自学指导（1）自学内容：课本P14例3.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先独立作业，然后小组订正.（4）自学参考提纲：①方程x(x-2)+x-2=0左边可用____________法进行因式分解，分解为______________.②方程（2）左右两边都有含未知数的项，因式分解的方式不明确，因此，可先将其化为一般形式_____________________，再用____________法对左边进行因式分解.③说说运用因式分解法解一元二次方程要注意哪些问题.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生对运用因式分解法解一元二次方程的方法是否掌握了.②差异指导：指导学生观察题目特点，选用适当的方法分解因式.（2）生助生：同桌之间互相改错、分析错因.4.强化：（1）点6名学生板演，并点评.（2）运用因式分解法解一元二次方程要注意的问题.三、评价1.学生学习的自我评价：我知道哪些因式分解的方法？会运用因式分解法解一元二次方程吗？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习效果和存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.。

因式分解教案【优秀5篇】

因式分解教案【优秀5篇】在教学工作者开展教学活动前，时常会需要准备好教案，通过教案准备可以更好地根据具体情况对教学进程做适当的必要的调整。

那么问题来了，教案应该怎么写？下面是小编辛苦为大家带来的因式分解教案【优秀5篇】，在大家参照的同时，也可以分享一下给您最好的朋友。

因式分解教案篇一15．1．1 整式教学目标1．单项式、单项式的定义．2．多项式、多项式的次数．3、理解整式概念．教学重点单项式及多项式的有关概念．教学难点单项式及多项式的有关概念．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题1．要表示ⅠABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？结论：1、要表示ⅠABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示ⅠABC的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，那么ⅠABC的周长可以表示为a+b+c；ⅠABC的面积可以表示为？c?h．2．小王的平均速度是．问题：这些式子有什么特征呢？（1）有数字、有表示数字的字母．（2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．判断上面得到的三个式子：a+b+c、ch、是不是代数式？（是）代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．Ⅰ．明确和巩固整式有关概念（出示投影）结论：（1）正方形的周长：4x．（2）汽车走过的路程：vt．（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，所以它的表面积为6a2；正方体的体积为长×宽×高，即a3．（4）n的相反数是－n．分析这四个数的特征．它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、ch、中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．结论:4x、vt、6a2、a3、-n、ch是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次单项式；vt、6a2、ch都是二次单项式；a3是三次单项式．问题:vt中v和t的指数都是1，它不是一次单项式吗？结论:不是．根据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式．生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？写出下列式子（出示投影）结论:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即ab-3.12r2．（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18．我们可以观察下列代数式：a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．a+b+c的项分别是a、b、c．t-5的项分别是t、-5，其中-5是常数项．3x+5y+2z的项分别是3x、5y、2z．ab-3.12r2的项分别是ab、-3.12r2．x2+2x+18的项分别是x2、2x、18．找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式．Ⅰ．随堂练习1．课本P162练习Ⅰ．课时小结通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，发展符号感．Ⅰ．课后作业1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题．2．预习“整式的加减”．课后作业：《课堂感悟与探究》15．1．2 整式的加减（1）教学目的：1、解字母表示数量关系的过程，发展符号感。

14.3因式分解(十字相乘法)导学案

＄14.3因式分解（十字相乘法）导学案备课时间 201（ 3 ）年（ 9 ）月（ 18 ）日星期（三）学习时间201（）年（）月（）日星期（）学习目标1.理解二次三项式的意义；2.理解十字相乘法的根据；3.能用十字相乘法分解二次三项式；4.难点是．学习重点掌握十字相乘法学习难点首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法学具使用多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等学习内容学习活动设计意图一、创设情境思考（课前20分钟） 1、阅读课本P 121～页，思考下列问题：（1）))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++你能理解吗？（2）课本P121页最下面4道题你能解答吗？ 2、思考后我还有以下疑惑：二、答疑解惑我最棒（约8分钟）甲：乙：丙：丁：同伴互助答疑解惑＄14.3因式分解（十字相乘法）导学案学习活动设计意图三、合作学习探索新知（约15分钟）1、小组合作分析问题2、小组合作答疑解惑3、师生合作解决问题【1】二次三项式◆多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． ◆在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．◆在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．◆多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．【2】十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一＄14.3因式分解（十字相乘法）导学案学习活动设计意图项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．◆这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=◆它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．◆学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．＄14.3因式分解（十字相乘法）导学案学习活动设计意图用十字相乘◆用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x【3】因式分解一般要遵循的步骤◆多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．四、归纳总结巩固新知（约15分钟）1、知识点的归纳总结：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-．点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．＄14.3因式分解（十字相乘法）导学案学习活动设计意图解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ；（2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ；（2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式；＄14.3因式分解（十字相乘法）导学案学习活动设计意图（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；（3）以)8(2a a +为整体，化为关于)8(2a a +的二次三项式．解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x ＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2] ＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．（3） 120)8(22)8(222++++a a a a)108)(128(22++++=a a a a )108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．五、课堂小测（约5分钟）六、作业我能行1、完成＄第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习工具单2、作业七、课后反思：1、学习目标完成情况反思：＄14.3因式分解（十字相乘法）导学案学习活动设计意图2、掌握重点突破难点情况反思：3、错题记录及原因分析：自我评价课上1、本节课我对自己最满意的一件事是：2、本节课我对自己最不满意的一件事是：作业完成（）求助后完成（）未及时完成（）未完成（）五、课堂小测（约5分钟）◆将多项式分解因式 ①672+-x x ； ②1232-+x x ；③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x五、作业（约20分钟）一、选择题1.如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2.如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63.多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－2 4.不能用十字相乘法分解的是 ( )A. 22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x 二、填空题6.=-+1032x x __________．7.=--652m m (m ＋a )(m ＋b )．a ＝__________，b ＝__________． 8.=--3522x x (x －3)(__________)． 9.+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 10.22____)(____(_____)+=++a mna ．。

《因式分解》导学案

《因式分解》导学案【复习目标】1．了解因式分解的意义。

2．区别因式分解与整式乘法。

3．掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法（直接用公式不超过两次），十字相乘法，分组分解法。

4．能选择适当方法实行因式分解。

【复习难点】能选择适当方法实行因式分解【教学过程】一、课前热身1、计算①a(x+y+z) ②(a+b)(a-b)2、分解因式①ax+ay+az ②a2-b2二、旧知回顾1、分解因式①3a2-a ②3x2-6x2y+3xy ③(x+y)2-3(x+y)2、分解因式①a2-4 ②(x-1)2-9 ③（a+b）2-6（a+b）+93、分解因式①x2-2x-8 ②x2-5x+6 ③x2+3x-184、分解因式①x2+7x-xy-7y ②a2-b2-2a+1 ③m2-n2+2m-2n 三、归纳总结。

因式分解的一般步骤：一、因式分解1、因式分解：2、因式分解与整式乘法的关系二、因式分解的方法1、提公因式法公因式：2、公式法①平方差公式②完全平方公式3、十字相乘法4、分组分解法四、反馈检测（一）填空题：1、分解因式：16x 2 -9y 2 =2、分解因式：a 3 +2a 2 +a = （二）选择题3、下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A a(x +y) = ax + ay B x 2 -4x + 4 = x(x -4) +4 C 10x 2 -5x =5x(2x -1) D x 2 -16 +3x = (x +4)(x -4) +3x 5．下列各式中，能用提公因式法分解因式的是( ) A x 2 -y B x 2 +2x C x 2 +y 2 D x 2 -xy +y 2 （三）解答题 6、分解因式（1）2m(a-b)-3n(b-a) （2）x 3-9x .（3）a 2+a+ 41(4) 3（x －y ）3－6（y －x ）2（5）22()()a x y b x y --- （6）x 4 – 2x 2+1（7）x 2－7xy ＋12 y 2 （8）x 2- 2xy + y 2+ 2x - 2y + 17、已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，试判断此三角形的形状。

因式分解导学案

因式分解（1）导学案蛟河市漂河镇青背九年制学校李文静教学目标：1.理解因式分解的意义，能区分整式的乘法与因式分解；认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。

2.会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解教学重难点：重点：理解因式分解的意义；判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解难点：多项式因式分解和整式乘法的关系一、自学探究阅读课本P1——P4的内容，思考下列问题：1、因数：如8=2×4，则与都是8的一个因数。

2、素数（质数）：因数只有1和它的正整数叫作素数。

如：2，3,5,7，113、36与60的最大公因数是4、因式：一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh, 那么和叫作f的一个因式。

如：ma+mb+mc = m(a+b+c)，则ma+mb+mc的因式是和；a3 -a= a(a+1)(a-1)，则a3 -a的因式是、和5、因式分解：一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个的形式，称为把这个多项式因式分解。

如：a 3 -a= a(a+1)(a-1)，就叫把a 3 -a 因式分解。

二、合作探究探究一、整式乘法与因式分解的关系1、计算：公式：()()a b a b +-= 2()a b + = 2()a b -= (1)单⨯单：34a ab ⨯=(2) 单⨯多：(35)a a b -= (3) 多⨯多：(3)(2)x y x y -+=2、因式分解：由上述计算可知：（1）22a b -= 222a ab b ±+=（1）22a b -= 222a ab b ±+=(2) 235a ab -= ( 3) 22253x xy y --=归纳：（1）、整式乘法与因式分解的关系是（2）、因式分解的特点是：探究二、判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解下列变形是因式分解吗？为什么？（1）a+b=b+a （2）4x 2y –8xy+1=4xy(x –y)+1（3）a(a –b)=a 2–ab （4）a 2–2ab+b 2 =(a –b)2探究三、因式分解的简单应用：解方程（选做）解方程：x 2-4=0 (提示：如果A ×B=0，那么A=0或B=0)通过这节课你有什么收获？。

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a 2-b 2内式分解整式乘法 (a + b)(a — b)(3) (5a-l) 2=25a 2-10a+l (4) X 2+4X +4=(X + 2)2(6) =3(^b6ac (4.1因式分解【学习目标】1.了解因式分解的概念和意义；2. 了解因式分解与整式乘法的关系。

一、提出问题：1、请你完成下列填空：(1) __________________________ T a(a +1) = _______________________ ； .I / + Q = _________________________________ ；(2) V(x+l)(x-l)= _________________ ; /.x 2 -1 =(x+l )( ________ ;(3) J(a+b)2 = ________________ ;・•・ a 2 +2ab+b 2 =( ________ )22、请观察上述代数式变形的例了，思考它们Z 间的关系。

归纳：把-个 _____________ 分解成几个整式的 ______________ ,像这样的式子变形叫做把这个多项式 ___________ ，也叫做 ____________ .因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即3、说明： (1) 从右往左是积化和差，其特点是：由整式的积的形式化为和差的形式(多项式)；(2) 从左往右是 ____________ ,其特点是：由 _______ 的形式(多项式) ________ 为整式的 ______ 的形式；(3) 因式分解与整式乘法的相互关系是 _____________ ,它们是互逆过程。

二、新知体验：1. 判断下列各式哪些是整式乘法？哪些是因式分解？(1) x 2 - 4 y 2 = (x + 2y\x - 2y)(2) 2x (x~3y) =2 x 2 - 6xy(5) 2兀R+ 27ir = 2?i(R+r)- 2•下列从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是?(1) 丄ab 2 - ah =丄ab(b - 2)( (3) &-4x+l=(2x+矿( ))(2) (°一3)(。