北师大版高中数学必修3教案备课建立概率模型

2.2建立概率模型
学习
目标核心素养
1.进一步掌握古典概型的概率计算公
式．(重点)
2．对于一个实际问题，尝试建立不
同的概率模型来解决．(重点、难点)
1.通过进一步运用古典概型的概率计算
公式求解概率，提升数学运算素养．
2．通过实际问题尝试建立不同的概率模
型来解决，培养数学建模素养.
由概率模型认识古典概型
(1) 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．
(2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单．
(3)树状图是进行列举的一种常用方法．
思考：若一个试验是古典概型，它需要具备什么条件？
[提示]若一个试验是古典概型，需具备以下两点：
(1)有限性：首先判断试验的基本事件是否是有限个，若基本事件无限个，即不可数，则试验不是古典概型．
(2)等可能性：其次考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则试验不是古典概型．
1．一个家庭有两个小孩，则这两个小孩性别不同的概率为()
A.
3
4 B.
1
2
C.
1
3 D.
1
4
B[这两个小孩的所有可能情况是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，
共4种，其中性别不同的有两种，所以两个小孩性别不同的概率为2
4＝
1
2.]
2．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()
A.1
12 B.
5
12 C.
7
12 D.
5
6
A[由题意知基本事件个数有12个，满足条件的基本事件个数就一个，故所
求概率为P＝1 12.]
3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1
2，甲获胜的概率是
1
3，则甲不输
的概率为()
A.5
6 B.
2
5
C.1
6 D.
1
3
A[先确定甲不输包含的基本事件，再根据概率公式计算．事件“甲不输”
包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为1
2＋
1
3＝
5
6.]
4．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是()
A．一定不会淋雨B．淋雨机会为3 4
C．淋雨机会为1
2D．淋雨机会为
1
4
D[用A、B分别表示下雨和不下雨，用a、b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到，
∴淋雨的概率为P＝1 4.]
“有放回”与“不放回”的古典
概型
121
连续取两次．
(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；
(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．
[解](1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
事件A由4个基本事件组成，因而P(A)＝4
6＝
2
3.
(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝4 9.
1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．
2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．
[跟进训练]
1．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全
相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是1 6.
(1)求红色球的个数；
(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝
色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲、乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．
[解](1)设红色球有x个，依题意得x
24＝1
6，解得x＝4，所以红色球有4个．
(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．
事件A包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，
所以P(A)＝5
12.
“有序”与“无序”问题
察向上的点数．
(1)求两数之积是6的倍数的概率；
(2)设第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，y，则log x(2y)＝1的概率是多少？
[解](1)此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由图①可知，事件A中含有其中的15个等可能基本事件，所以
P(A)＝15
36＝
5
12，即两数之积是6的倍数的概率为
5
12.
661218243036 551015202530 44812162024 3369121518 224681012 1123456
积12345 6 (2)此问题中含有36个等可能基本事件，记“第一次，第二次抛掷向上的点数
分别为x，y，且log x(2y)＝1”为事件B，则满足log x(2y)＝1的x，y有(2,1)，(4,2)，
(6,3)三种情况，所以P(B)＝3
36＝
1
12，即第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，
y且满足log x(2y)＝1的概率是1 12.
若问题与顺序有关，则(a1，a2)与(a2，a1)为两个不同的基本事件；若问题与顺序无关，则(a1，a2)与(a2，a1)表示同一个基本事件.
[跟进训练]
2．任意投掷两枚质地均匀，六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子．
(1)求出现的点数相同的概率；
(2)求出现的点数之和为奇数的概率．
[解](1)任意投掷两枚骰子，由于骰子质地均匀，因此可以看成是等可能事件．其结果可表示为数组(i，j)(i，j＝1,2，…，6)，其中i，j分别表示两枚骰子出现的点数，共有6×6＝36(种)，其中点数相同的数组为(i，i)(i＝1,2，…，6)，共有
6种结果，故出现点数相同的概率为6
36＝
1
6.
(2)法一出现的点数之和为奇数由数组(奇，偶)、(偶，奇)组成(如(1,2)，(2,3)等)．由于每枚骰子的点数中有3个偶数，3个奇数，因此出现的点数之和为奇数
的数组有3×3＋3×3＝18(个)，从而所求概率为18
36＝
1
2.
法二由于每枚骰子的点数分奇、偶数各3个，而按第1枚、第2枚骰子出现的点数顺次写时有(奇数，奇数)、(奇数，偶数)、(偶数，奇数)、(偶数，偶数)
这四种等可能结果，因此出现的点数之和为奇数的概率为2
4＝
1
2.
建立概率模型
1．掷一粒均匀的骰子，若考虑向上的点数是多少，则这个随机试验的基本事件是什么？有多少个基本事件？其概率是多少？
提示：基本事件为出现1,2,3,4,5,6点，共6个基本事件，这6个基本事件出现
的可能性相同，其概率都为1 6.
2．掷一粒均匀的骰子，若考虑向上的点数是奇数还是偶数，则这个随机试验的基本事件是什么？有多少个基本事件？其概率是多少？
提示：基本事件为“向上的点数是奇数”和“向上的点数是偶数”，有2个基本事件，这2个基本事件是等可能性的，所以发生的概率都为0.5.
3．在古典概型中，同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢？为什么？
提示：不一定，因为一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验的结果)是人为规定的．只要基本事件的个数是有限的，每次试验只有一个基本事件出现，且发生是等可能的，就是一个古典概型．【例3】有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．
[思路探究]用树形图表示所求事件的可能性，利用概率模型计算便可．
[解]将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来，等可能基本事件共有24个．
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基
本事件，所以P(A)＝1 24.
(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件B包含9个基
本事件，所以P(B)＝9
24＝
3
8.
(3)设事件C为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个基
本事件，所以P(C)＝8
24＝
1
3.
1．解答古典概型时，要抓住问题实质，建立合适的模型，以简化运算．
2．本题属于对号入座问题，情况较为复杂，所包含的基本事件较多，为清楚地列举出所有可能的基本事件，可借助于树形图处理．
[跟进训练]
3．甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率．
(1)甲在边上；
(2)甲和乙都在边上；
(3)甲和乙都不在边上．
[解]利用树状图来列举基本事件，如图所示．
由树状图可看出共有24个基本事件．
(1)甲在边上有12种情形：
(甲，乙，丙，丁), (甲，乙，丁，丙), (甲，丙，乙，丁)，
(甲，丙，丁，乙), (甲，丁，乙，丙), (甲，丁，丙，乙)，
(乙，丙，丁，甲), (乙，丁，丙，甲), (丙，乙，丁，甲)，
(丙，丁，乙，甲), (丁，乙，丙，甲), (丁，丙，乙，甲)，
故甲在边上的概率为P＝12
24＝
1
2.
(2)甲和乙都在边上有4种情形：
(甲，丙，丁，乙), (甲，丁，丙，乙)，
(乙，丙，丁，甲), (乙，丁，丙，甲)，
故甲和乙都在边上的概率为P＝4
24＝
1
6.
(3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙), (丁，乙，甲，丙)，
故甲和乙都不在边上的概率为P＝4
24＝
1
6.
对古典概型的认识
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，例如，在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验的基本事件只有两个：发芽、不发芽．而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，所以它不属于古典概型．又如，从规格直径为300±0.6 mm的一批合格产品中任意抽取一件，测量其直径d，测量值可能是从299.4 mm到300.6 mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个，因此这个试验也不属于古典概型.
1．思考辨析
(1)古典概型中所有的基本事件的个数是有限个．()
(2)树状图是进行列举的一种常用方法．()
(3)在建立概率模型时，所得的结果越少，问题越复杂．()
(4)计算基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个数时，所选择的观察角度必须统一．() [解析](1)√，由古典概型的特征知(1)正确．
(2)√，用树状图进行列举直观形象．
(3)×，结果越多问题就越复杂．
(4)√，由古典概型的概率公式易知正确．
[答案](1)√(2)√(3)×(4)√
2．甲、乙两人随意入住两间空房，则两人各住一间房的概率是________．1
2[设两间房分别为A，B，则基本事件有(A，A)，(A，B)，(B，A)，(B，B)
共计4种，则两人各住一间房包含(A，B)，(B，A)两个基本事件，故所求概率为1 2.]
3．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取一张卡片，则取得的卡号是7的倍数的概率是________．
7
50[7的倍数用7n(n∈N＋)表示，则7n≤100，解得n≤142
7，即在100以内有
14个数是7的倍数，所以概率为14
100＝
7
50.]
4．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，
(1)从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；
(2)若有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．
[解](1)设取出的2只球颜色不同为事件A.
基本事件有(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)共6
种，事件A包含5种，故P(A)＝5 6.
(2)设两次取得球的颜色相同为事件B.
基本事件有(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，
红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种，故所求概率为P(B)＝6
16＝
3
8.。