垂径定理习题课1
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CD平分弧ADB
A
. O
B A C
O E
.
D
B
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连结半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。
小结
1、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思 想来解决问题. 2、对于一个圆中的弦长 a、圆心到弦的距离 d、圆半径 r、弓 形高 h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出 另外两个量，如图有：
9、圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和5， 则两条平行弦间的距离为（ ） A、7 B、3 C、5 D、7或3
提示
A C
●
O
B D
A C
●
O
B D
两条弦在圆心的同侧
两条弦在圆心的两侧
10、 ⊙O的半径为13，弦AB//CD，AB=24， CD=10。求：画图形，并求AB和CD的距离。
1、如图，AB、CD为⊙O的两弦， AB=CD，M、N分别为AB、CD的中点。 M 试说明∠AMN=∠CNM。 A
O A M C B
O A P B
A O
B
已知：如图１，在以O为圆 心的两个同心圆中，大圆的 弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。
A C
O
E
.
D
B
图１
8、在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面是圆O.若油面宽AB = 6m，求油的深度.
提示
A
●
O
B
A
●
O
B
弦AB在圆心的下方
弦AB在圆心的上方
垂径定理几何表达语言
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∵ OM ⊥AB
∴AM=BM,
∴AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD.
CD平分弦AB
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒ =BD. AC
⌒
D
条件
CD为直径 CD⊥AB
结论 CD平分弧ACB
⑴d+h=r
⑵
a2 2 2 r d ( ) 2
a 2
h d
推理
C
由 ① CD是直径 可推 得 ③AE=BE,
② CD⊥AB A ⌒ ⌒ ④AC=BC,
E└
●
B
⌒径）的直径垂
直于这弦,并且平 分弦所对的两条弧.
数学语言
如图∵ CD是直径, AE=BE, ⌒ =BC, ⌒ AD=BD. ⌒ ⌒ ∴ CD⊥AB, AC
O
B
2、如图，⊙Ｏ直径ＡＢ与弦ＣＤ 相交于Ｅ，已知ＡＥ＝１cm， ＢＥ＝５cm,∠DEB=60º,求弦 D ＣＤ的长．
A C E O
C
N D
B
A. 4cm B. 5cm C. 8cm D.10cm
C E
O B
A
D
D
3、如图，⊙O的直径CD与弦(非直径) 交于点M，添加一个条件： , 就可以得到点M是AB的中点. 4、如图，已知⊙O的半径为5，弦 AB = 8，P是AB上任意一点，则 OP的取值范围是 . 5、如图，有一圆弧形桥拱，拱的 圆心角∠AOB = 120°，拱形的半 径R = 30 m，则拱形的跨度 AB 等 于 .
A
C O B
AB为直径时
D
加深理解
1、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦， CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成 立的是（ C ）. C A. ∠OCE = ∠ODE B. CE = DE C. OE = BE D. BD = BC
O
E
A
D B
2、如图，在⊙O中，AB、AC是互 相垂直的两条弦，OD⊥AB于D， OE⊥AC 于E，且AB = 8cm，AC = 6cm，则⊙O的直径为 （ D ）.
A
. O
B A C
O E
.
D
B
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连结半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。
小结
1、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思 想来解决问题. 2、对于一个圆中的弦长 a、圆心到弦的距离 d、圆半径 r、弓 形高 h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出 另外两个量，如图有：
9、圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和5， 则两条平行弦间的距离为（ ） A、7 B、3 C、5 D、7或3
提示
A C
●
O
B D
A C
●
O
B D
两条弦在圆心的同侧
两条弦在圆心的两侧
10、 ⊙O的半径为13，弦AB//CD，AB=24， CD=10。求：画图形，并求AB和CD的距离。
1、如图，AB、CD为⊙O的两弦， AB=CD，M、N分别为AB、CD的中点。 M 试说明∠AMN=∠CNM。 A
O A M C B
O A P B
A O
B
已知：如图１，在以O为圆 心的两个同心圆中，大圆的 弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。
A C
O
E
.
D
B
图１
8、在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面是圆O.若油面宽AB = 6m，求油的深度.
提示
A
●
O
B
A
●
O
B
弦AB在圆心的下方
弦AB在圆心的上方
垂径定理几何表达语言
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∵ OM ⊥AB
∴AM=BM,
∴AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD.
CD平分弦AB
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒ =BD. AC
⌒
D
条件
CD为直径 CD⊥AB
结论 CD平分弧ACB
⑴d+h=r
⑵
a2 2 2 r d ( ) 2
a 2
h d
推理
C
由 ① CD是直径 可推 得 ③AE=BE,
② CD⊥AB A ⌒ ⌒ ④AC=BC,
E└
●
B
⌒径）的直径垂
直于这弦,并且平 分弦所对的两条弧.
数学语言
如图∵ CD是直径, AE=BE, ⌒ =BC, ⌒ AD=BD. ⌒ ⌒ ∴ CD⊥AB, AC
O
B
2、如图，⊙Ｏ直径ＡＢ与弦ＣＤ 相交于Ｅ，已知ＡＥ＝１cm， ＢＥ＝５cm,∠DEB=60º,求弦 D ＣＤ的长．
A C E O
C
N D
B
A. 4cm B. 5cm C. 8cm D.10cm
C E
O B
A
D
D
3、如图，⊙O的直径CD与弦(非直径) 交于点M，添加一个条件： , 就可以得到点M是AB的中点. 4、如图，已知⊙O的半径为5，弦 AB = 8，P是AB上任意一点，则 OP的取值范围是 . 5、如图，有一圆弧形桥拱，拱的 圆心角∠AOB = 120°，拱形的半 径R = 30 m，则拱形的跨度 AB 等 于 .
A
C O B
AB为直径时
D
加深理解
1、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦， CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成 立的是（ C ）. C A. ∠OCE = ∠ODE B. CE = DE C. OE = BE D. BD = BC
O
E
A
D B
2、如图，在⊙O中，AB、AC是互 相垂直的两条弦，OD⊥AB于D， OE⊥AC 于E，且AB = 8cm，AC = 6cm，则⊙O的直径为 （ D ）.