2016高中数学第一章三角函数单元质量评估新人教版必修4

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高中数学第1章三角函数单元质量测评新人教A版必修4

高中数学第1章三角函数单元质量测评新人教A版必修4第一章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)等于( )A.45B．－45C.35D．－35答案 B解析∵r＝42＋(－3)2＝5，∴cosθ＝45，∴cos(π－θ)＝－cosθ＝－45.2．若α是第二象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 A解析α为第二象限角，不妨取α＝120°，则180°－α为第一象限角．3．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( )A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)答案 A解析设P(x，y)，由三角函数定义知sinθ＝y，cosθ＝x，故P点坐标为(cosθ，sinθ)．4．设α为第二象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1＝( ) A ．1 B ．tan 2α C ．－tan 2α D ．－1答案 D 解析 sin αcos α·1sin 2α－1＝sin αcos α·cos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α，又∵α为第二象限角，∴cos α<0，sin α>0. ∴原式＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 答案 C解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝π，∴3π4－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32.6．设f (n )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)等于( )A ．－ 2B ．－22C ．0 D.22答案 A解析 f (n )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π2＋π4的周期T ＝4；且f (1)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝cos 3π4＝－22，f (2)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－22， f (3)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π4＝22，f (4)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝22. 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2018)＝f (2017)＋f (2018)＝f (1)＋f (2)＝－ 2.7．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π12的值域是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[－23，2]D ．[－3，1]答案 C解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π12，∴x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6∈[－23，2]，故选C.8．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ的值为( ) A ．－81727 B.81727 C.82027 D ．－82027答案 C解析 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，∴sin θ＝3cos θ.∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝3cos 2θ＋127cos 2θ＝8227cos 2θ. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝3cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1得cos 2θ＝110，∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝82027. 9．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 答案 C解析将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x 变为12x ，即可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，然后将其图象向左平移π3个单位，即将x 变为x ＋π3，∴y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.10．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >b答案 A解析 a ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos23π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－8π－π4＝－sin π4＝－22，所以b >a >c .11．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，17π12答案 D解析由图象可以知道：14T ＝2π3－5π12＝π4，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又5π12×2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，且|φ|<π2，得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．当k ＝1时，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，17π12.故选D.12．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 答案 C解析函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2＝sin x 2，x ∈[0,2π]，图象如图所示，直线y ＝12与该图象有两个交点．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知函数f (x )＝3x ＋sin x ＋1，若f (t )＝2，则f (－t )＝________. 答案 0解析令g (x )＝3x ＋sin x .因为g (x )为奇函数，且f (t )＝3t ＋sin t ＋1＝2，所以g (t )＝3t ＋sin t ＝1，则f (－t )＝g (－t )＋1＝－g (t )＋1＝－1＋1＝0.14．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析记f (x )的最小正周期为T .由题意知T 2≥π2－π6＝π3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，且2π3－π2＝π6. 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2π3×12＝7π12，∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧22－x，x ≥2，sin πx4，－2≤x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)解析在同一坐标系中作出f (x )与y ＝k 的图象：观察图象知0<k <1.16．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)答案 ①②③解析函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期为π2，故①正确．对于②，当x ＝7π12时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3×7π12－π4＝2sin 3π2＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－34，故③正确．对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3长度73＞2π3，显然④错误．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3弧度．求：(1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积．解 (1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3弧度，所以半径r ＝1sinπ3＝23，所以这个圆心角所对的弧长l ＝23×2π3＝43π9.(2)由(1)得扇形的面积S ＝12×23×43π9＝4π9.18．(本小题满分12分)已知f (α)＝ sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.。

人教版高中数学必修四练习第一章《三角函数》质量评估

章末质量评估(一) 三角函数(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列各对角中，终边相同的是( )． A.32π和2k π－32π(k ∈Z ) B ．－π5和225π C ．－79π和119π D.203π和1229π解析 ∵119π＝2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π9，故－7π9与11π9的终边相同．答案 C2．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( )．A ．－32 B ．－12 C.32D ．12解析由正弦函数的定义，知sin α＝y ＝－12. 答案 B3．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－196π的值等于( )．A.12 B ．－12 C.32D ．－32解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－196π＝－sin 196π＝－sin 76π＝sin 16π＝12.4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )．A.π3 B ．2π3 C. 3D ．2解析设圆的半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，即为弧长，利用弧长公式l ＝α·r ，∴3r ＝α·r ，∴α＝ 3. 答案 C5．要想得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象( )．A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度 D ．向左平移π6个单位长度解析函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3可化为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.要想得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移π6个单位长度．答案 A6．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一个对称中心是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0解析由题意得3x －π4＝k π2(k ∈Z )，解得x ＝(2k ＋1)π12(k ∈Z )．当取k ＝－2，x ＝－π4.即选项C 正确．7．(2012·云南检测)下列各函数值中符号为负的是( )． A ．sin(－1 000°)B ．cos(－2 200°)C ．tan(－10)D ．sin 7π10cos πtan 17π9解析 sin(－1 000°)＝sin 80°>0； cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0； tan(－10)＝tan(3π－10)<0； sin 7π10cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan 17π9，sin 7π10>0， tan 17π9<0，故sin 7π10cos πtan 17π9>0.故选C. 答案 C8．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )．A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象 D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象解析因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，故将其图象向右平移π2个单位，得y ＝g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图象．答案 D9．如图所示是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一段，它的一个解析式为( )．A ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4C ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3D ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋23π 解析由图象可知，A ＝23，T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝23sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，23代入，得23＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ，φ－π6＝π2，∴φ＝2π3， ∴y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，故选D. 答案 D10．函数y ＝tan(sin x )的值域为( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析 ∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.又∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴tan (－1)≤y ≤tan 1，即y ∈[－tan 1，tan 1]．答案 C11．(2012·潍坊检测)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)开始走时，点P 的纵坐标y 与时间t 的函数解析式为( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3解析由题意知，函数的周期为T ＝60，∴ω＝2π60＝π30. 设函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋φ.∵初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴t ＝0时，y ＝12，∴sin φ＝12，∴φ可取π6，∴函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6.故选C.答案 C12．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，以下说法正确的是( )．A ．周期为π4 B ．偶函数C ．函数图象的一条对称轴为直线x ＝π3 D ．函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6上为减函数解析该函数的周期T ＝π2；因为f (－x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此它是非奇非偶函数；函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6上是减函数，但y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6上是增函数，因此只有C 正确．答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．(2012·广州期末)已知sin α＝35，cos α＝－45，则角α的终边在第________象限．解析由sin α＝35>0，得角α的终边在第一、二象限；由cos α＝－45<0，得角α的终边在第二、三象限，故角α的终边在第二象限．答案二14．已知f (x )＝ax 3＋b sin x ＋1且f (1)＝5，f (－1)的值为________．解析 ∵f (1)＝5，∴a ＋b sin 1＝4， ∴－a －b ·sin 1＝－4，∴f (－1)＝－a －b ·sin 1＋1＝－3. 答案－315．已知函数f (x )＝3sin πx k 的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2＋y 2＝k 2上，则f (x )的最小正周期为________．解析 T ＝2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪πk ＝2|k |.由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫|k |2，3在圆上，∴|k |24＋3＝k 2，∴|k |＝2，∴T ＝4. 答案 4 16．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π2，k ∈Z；③在同一直角坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图象；⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．解析对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，因为k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，作出y ＝sin x 与y ＝x 的图象，可知两个函数只有(0,0)一个交点，故③错；对于④，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝3sin 2x ，故④对；对于⑤，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，在[0，π]上为增函数，故⑤错．答案 ①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值； (3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．解 (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.(2)∵r ＝x 2＋y 2＝5|a |，∴当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝－3a 5a ＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－3a －5a ＝35，cos α＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.(3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2；当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.18．(本小题满分12分)已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)3cos (－π－α)－sin (π＋α)3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α；(2)2sin 2α－3sin αcos α－1.解 (1)原式＝－3cos α＋sin α－3sin α－cos α＝－3＋tan α－3tan α－1＝3－3－33－1＝6－5313.(2)原式＝2sin 2α－3sin αcos α－sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α－tan 2α－1tan 2α＋1＝18－9－9－19＋1＝－110.19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？解 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以所求的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2x ――――――――→向左平移π12个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋π12)―――――→将图象上各点向上平移32个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.20．(本小题满分12分)交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解 (1)当t ＝0时，E ＝1103，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为150 s. (3)电压的最大值为220 3 V.当100πt ＋π6＝π2，t ＝1300，即第一次获得最大值的时间为1300 s.21．(本小题满分12分)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0≤φ≤π2在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π时，y min ＝－3.(1)求此函数的解析式； (2)求此函数的单调递增区间．解 (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π， ∴T ＝10π，∴ω＝2πT ＝15. ∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋φ.∵点(π，3)在此函数图象上， ∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＋φ＝3.∴π5＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . ∵0≤φ≤π2，∴φ＝3π10.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋3π10.(2)当－π2＋2k π≤15x ＋3π10≤π2＋2k π，即－4π＋10k π≤x ≤π＋10k π时，函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋3π10单调递增，所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10k π，π＋10k π](k ∈Z )．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．解 (1)观察图象，得A ＝2，T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－π6×43＝π.∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)． ∵函数经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的情况，相当于f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6与g (x )＝m 的交点个数情况，且0<x <π，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2；当－2<m <1时，此时两交点关于直线x ＝23π对称，两根和为43π；当1<m <2时，此时两交点关于直线x ＝π6对称，两根和为π3.高中数学-打印版精校版。

高中数学(人教,必修4)第一章《三角函数》测试题B卷.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作高中数学必修4第一章《三角函数》测试题B 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．sin(－103π)的值等于 ( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为 ( )A ．0 B.33C ．1 D. 33．函数y ＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可能是 ( )A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π124．已知f (sin x )＝x ，且x ∈[0，π2]，则f (12)的值等于( )A ．sin 12 B.12 C ．－π6 D.π65．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于 ( )A ．－2 2B ．22C ．－24 D.246．如果sin α＋cos α＝34，那么|sin 3α－cos 3α|的值为 ( )A.2512823 B ．－2512823 C.2512823或－2512823 D ．以上全错7．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ的值为 ( )A ．－81727 B.81727 C.82027D ．－820278．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan 2(2π－α)cos (π2－α)cos (π2＋α)sin (π＋α)＝ ( )A.35B.53C.45D.549．若函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移π2个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( ) A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1 10．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y (米)可看作是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b ，下表是某日各时的浪高数据：t /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y /米2321322320.99322则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12cos π6t ＋1B ．y ＝12cos π6t ＋32C ．y ＝2cos π6t ＋32D ．y ＝12cos6πt ＋32二、填空题（每小题6分，共计24分）.11．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ－cos 3θ＝________.12．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是____________．13．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________. 14．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )，有下列命题：①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π6)；②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f (x )的图象关于点(－π6，0)对称；④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中，正确的是________．(填上你认为正确命题的序号) 三、解答题（共76分）.15.（本题满分12分）已知：f (x )＝2010x ＋2011sin 3x ＋1，且f (5)＝7，求f (－5)．16.（本题满分12分）已知α是第三象限的角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋32π)·tan (－α－π)sin (－α－π)，(1)化简f (α)；(2)若cos(α－32π)＝15，求f (α)；(3)若α＝－313π，求f (α)．17.（本题满分12分）设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一个对称中心是(π8，0)．(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．18.（本题满分12分）已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1，x ∈R . 求：(1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合；(2)函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1的图象？19.（本题满分14分）如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .试求A 、ω的值和M 、P 两点间的距离．20.（本题满分14分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如下表：x －π6 π3 5π6 4π3 11π6 7π3 17π6 y－1131－113(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．高中数学必修4第一章《三角函数》测试题B 卷参考答案一、选择题1.【答案】C.【解析】 sin(－103π)＝sin(－4π＋2π3) ＝sin 2π3＝sin(π－π3)＝sin π3＝32.2. 【答案】D.【解析】∵点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，∴9＝3a ，∴a ＝2，∴tan a π6＝tan π3＝ 3.3. 【答案】D.【解析】 y ＝sin(2x ＋π3)的对称轴方程为2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )．∴x ＝k ·π2＋π12(k ∈Z )，令k ＝0即得．4. 【答案】D.【解析】∵f (sin x )＝x ，且x ∈[0，π2]， ∴求f (12)，即解sin x ＝12，且x ∈[0，π2]，∴x ＝π6，故选D.5.【答案】A.【解析】sin(α＋π2)＝cos α＝13. ∵α∈(－π2，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.6. 【答案】 C【解析】由已知，两边平方得sin αcos α＝－732. ∴|sin 3α－cos 3α|＝|(sin α－cos α)(sin 2α＋cos 2α＋sin αcos α)|＝1－2sin αcos α·|1＋sin αcos α|＝2523128.∴sin 3α－cos 3α＝±2523128. 7. 【答案】 C【解析】 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，∴sin θ＝3cos θ ， ∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝3cos 2θ＋127cos 2θ＝8227cos 2θ 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝3cos θsin 2θ＋cos 2θ＝1得cos 2θ＝110， ∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝82027. 8. 【答案】 B【解析】方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2.则sin α＝－35 ，原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53.9.【答案】B【解析】逆向法解决，将y ＝12sin x 的图象沿y 轴向上平移1个单位，得函数y ＝12sin x ＋1的图象；再将函数y ＝12sin x ＋1的图象向右平移π2个单位，得函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＋1的图象；再将函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＋1图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1. 10. 【答案】 B【解析】 ∵T ＝12－0＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6. 又最大值为2，最小值为1，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝2，－A ＋b ＝1，解得A ＝12，b ＝32，∴y ＝12cos π6t ＋32.二、填空题11.【答案】107【解析】sin θsin 3θ－cos 3θ＝sin θ(sin 2θ＋cos 2θ)sin 3θ－cos 3θ ＝sin 3θ＋sin θcos 2θsin 3θ－cos 3θ ＝tan 3θ＋tan θtan 3θ－1 ＝23＋223－1＝107.12. 【答案】[－32，3]【解析】由对称轴完全相同知两函数周期相同，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x －π6)．由x ∈[0，π2]，得－π6≤2x －π6≤56π，∴－32≤f (x )≤3.13.【答案】 2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋6【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6. 周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＋6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1，取φ＝－π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋6. 14. 【答案】 ①③【解析】①f (x )＝4sin(2x ＋π3)＝4cos(π2－2x －π3)＝4cos(－2x ＋π6)＝4cos(2x －π6)．②T ＝2π2＝π，最小正周期为π.③∵2x ＋π3＝k π，当k ＝0时，x ＝－π6，函数f (x )关于点(－π6，0)对称．④2x＋π3＝π2＋k π，当x ＝－π6时，k ＝－12，与k ∈Z 矛盾．∴①③正确．二、解答题15. 解：法一：f (－x )－1＝－2010x －2011sin 3x ＝－[f (x )－1]， ∴f (x )－1为奇函数．∴f (－5)－1＝－[f (5)－1]＝－(7－1)＝－6.∴f (－5)＝1－6＝－5，即f (－5)＝－5即为所求．法二：⎭⎪⎬⎪⎫f (5)＝2010×5＋2011·sin 35＋1＝7f (－5)＝－2010×5－2011·sin 35＋1二式相加，得：f (－5)＋7＝2，∴f (－5)＝2－7＝－5.16. 解：(1)f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan[π＋(π2－α)]tan[－(α＋π)]sin[－(π＋α)]＝sin α·cos α·tan (π2－α)[－tan (π＋α)][－sin (π＋α)]＝sin αcos α·cot α(－tan α)sin α＝－cos α.(2)由cos(α－32π)＝15得：cos[－2π＋(α＋π2)]＝cos(π2＋α)＝－sin α＝15.∴sin α＝－15.∵α是第三象限的角，∴cos α<0.∴f (α)＝－cos α＝1－sin 2α＝1－125＝265. (3)若α＝－313π，∵－313π＝－5×2π－π3，∴cos(－313π)＝cos(－5×2π－π3)＝cos(－π3)＝cos π3＝12.∴此时，f (α)＝－cos(－313π)＝－12.17. 解：(1)∵(π8，0)是函数y ＝f (x )的图象的对称中心，∴sin(2×π8＋φ)＝0，∴π4＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π4(k ∈Z )．∵－π<φ<0，∴φ＝－π4.(2)由(1)知φ＝－π4，因此y ＝sin(2x －π4)，由题意得：2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即：k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z ，所以函数y ＝sin(2x －π4)的单调增区间为：[k π－π8，k π＋3π8]，k ∈Z .18. 解： (1)函数f (x )的最小值是3×(－1)－1＝－4，此时有12x ＋π4＝2k π－π2，解得x ＝4k π－3π2(k ∈Z )，即函数f (x )的最小值是－4，此时自变量x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π－3π2，k ∈Z . (2)步骤是：①将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象； ②将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象；③将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象；④将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象向下平移1个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1的图象． 19. 解： ∵函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)图象的最高点为S (3,23)， ∴A ＝2 3.由图象，得T4＝3，∴T ＝12.又T ＝2πω，∴ω＝π6，即y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3. ∴M (4,3)．又P (8,0)． ∴|MP |＝42＋32＝5，即MP 的长是5.20. 解： (1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－(－π6)＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k >0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]，如图，sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解，则s ∈[32，1]，∴方程 f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3]，即实数m 的取值范围是[3＋1,3]．。

(典型题)高中数学必修四第一章《三角函数》检测卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图像如图所示，则()f x 的解析式为（）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．函数()2cos 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πf x x 在[]0,π的单调递增区间是（） A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2π,π33．一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径长为30m ，2AM BP m ==，巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为（）A ．30sin 30122t ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭B ．30sin 3062t ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭C ．30sin 3262t ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭D ．30sin 62t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 4．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（）A ．35B ．45-C ．D ．5．将函数()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，对于函数()y g x =有以下四个判断： ①该函数的解析式为2sin 210y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③该函数在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④该函数在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 其中，正确判断的序号是（） A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④6．已知函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，0πϕ-<<）的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且其相邻对称轴间的距离为23π，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（）A ．()f x 的最小正周期23T π= B ．58πϕ=-C ．()317cos 248πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O 的半径为4米，盛水筒M 从点0P 处开始运动，0OP 与水平面的所成角为30，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M 距离水面的高度H （单位；m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．8．下列结论正确的是（） A ．sin1cos1< B ．2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()tan 52tan 47->-D ．sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．使函数()3)cos(2)f x x x θθ=+++是偶函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 10．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则（）A ．()f x 是奇函数B ．π2π33f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 的一个周期是πD ．()f x 的最小值小于011．如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m 设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min 后距离地面的高度为H m ，则在转动一周的过程中，高度H 关于时间t 的函数解析式是（）A ．()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭B ．()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭C ．()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭D ．()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭12．已知函数()()()3cos 0g x x ωϕω=+>在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3g π=，则ω的取值共有（） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个二、填空题13．已知3()tan 1f x a x x =+（a ，b 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____________．14．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x π+=，且当[]0,x π∈时，()sin f x x =.若对任意的(],x m ∈-∞，都有()2f x ≤，则实数m 的取值范围是______. 15．如图，某公园要在一块圆心角为3π，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .16．若函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为________. 17．设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的1x ∈D ，总存在2x ∈D ，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()f x 具有性质M ．下列结论：①函数3y x x =-具有性质M ； ②函数35x x y =+具有性质M ；③若函数()[]8log 2,0,y x x t =+∈具有性质M ，则510t =； ④若3sin y x a =+具有性质M ，则5a =．其中正确结论的序号是____________．18．函数251612()sin (0)236x x f x x x x ππ-+⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的最小值为_______. 19．关于函数()4sin(2)(),3f x x x R π=+∈有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；③()y f x =的表达式可改写为4cos(2);6y x π=-④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确命题的序号是_________.20．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =是偶函数，则ω的最小值为________．三、解答题21．已知函数()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R .（1）用“五点法”画出函数()f x 一个周期内的图象；（2）求函数()f x 在[],ππ-内的值域；（3）若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在[],ππ-内的单调增区间.22．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，求()g x 的单调递减区间；（3）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()32f x ≥，求x 的取值范围．23．已知向量a ＝(cosωx －sinωx ，sinωx)，b ＝(－cosωx －sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a b ⋅＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围 24．已知函数()()()f x g x h x =，其()22g x x =，()h x =_____. （1）写出函数()f x 的一个周期（不用说明理由）；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值. 从①cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭，②2sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分. 25．已知sin(3)(),cos x f x x R xπ-=∈（1）若α为第三象限角，且3sin 5α=-，求()f α的值．（2）若,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且21()2()1cos g x f x x =++，求函数()g x 的最小值，并求出此时对应的x 的值．26．函数()cos()(0)f x x ωφω=+>的部分图像如图所示.（1）求()f x 的表达式；（2）若[1,2]x ∈，求()f x 的值域；（3）将()f x 的图像向右平移112个单位后，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】本题首先可根据33π44T 求出ω，然后根据当43x π=时函数()f x 取最大值求出ϕ，最后代入30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可求出A 的值. 【详解】因为4π7π3π3124，所以33π44T ，T π=，因为2T πω=，所以2ω=，()sin(2)f x A x ϕ=+，因为当43x π=时函数()sin(2)f x A x ϕ=+取最大值，所以()42232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，()26k k Z πϕπ=-+∈，因为2πϕ<，所以6πϕ=-，()sin 26f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，3sin 26A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3A =，()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数图像求函数解析式，对于()sin()f x A x ωϕ=+，可通过周期求出ω，通过最值求出A ，通过代入点坐标求出ϕ，考查数形结合思想，是中档题.2．C解析：C 【分析】先求出函数的单调增区间，再给k 取值即得解. 【详解】令22223+<+<+ππk πx πk π(k ∈Z ) ∴42233+<<+ππk πx k π(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间为4[2,2]33ππk πk π++(k ∈Z )，当1k =-时，5233ππx -<<- 当0k =时，433x ππ<<又∵[]0,x π∈，故选：C 【点睛】方法点睛：求三角函数()cos()f x A wx ϕ=+的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.3．B解析：B 【分析】先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点B 的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点B 的纵坐标减2. 【详解】如图所示，以点M 为坐标原点，以水平方向为x 轴，以OM 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.因为巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，则转动的角速度为6π每分钟，经过t 分钟之后，转过的角度为6BOA t π∠=，所以，在转动的过程中，点B 的纵坐标满足：3230sin 30sin 322662y t t ππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则吊舱距离地面的距离30sin 32230sin 306262h t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B ．【点睛】建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题：审清楚题目条件、要求、理解数学关系；（2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型；（3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得到结论.4．B解析：B 【分析】求出函数()f x 在(0,)π上的对称轴，然后由正弦函数性质得1223x x π+=，这样12sin()x x -化为2222sin(2)sin 2cos(2)336x x x πππ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，而已知条件为23sin(2)65x π-=，再由正弦函数性质确定226x π-的范围，从而由平方关系求得结论．【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=，结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：0πx <<，则112666x πππ-<-<，23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，120x x π<<<，则2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的性质，考查平方关系．解题时根据自变量的范围求得此范围内函数的对称轴，从而得出两个变量12,x x 的关系，可化双变量为单变量，再根据函数值及函数性质确定出单变量的范围，从而求得结论．注意其中诱导公式的应用，目的是把求值式与已知条件中的角化为一致．5．A解析：A 【分析】根据函数平移变换得sin 2y x =，再根据正弦函数的性质依次讨论即可得答案. 【详解】解：由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后解析式为sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，选项①错误；令2x k =π，k Z ∈，求得2k x =π，k Z ∈，故函数的图象关于点,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π对称，令1k =，故函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项②正确；则函数的单调递增区间满足：222()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项③正确，④错误.故选:A. 【点睛】本题考查三角函数平移变换，正弦型函数的单调区间，对称中心等，考查运算求解能力，解题的易错点在于平移变换时，当1ω≠时，须将ω提出，平移只针对x 进行平移，具体的在本题中，sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后得sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而不是sin 2sin 251010y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是中档题. 6．D解析：D 【分析】首先根据三角函数的性质，可知相邻对称轴间的距离是半个周期，判断A ；再求函数的解析式，判断B ；根据平移规律得到函数()g x ，判断C ；最后根据函数()g x 的解析式，利用整体代入的方法求函数的单调递减区间. 【详解】相邻对称轴间的距离是半个周期，所以周期是43π，故A 不正确； 243T ππω==，解得：32ω=，()f x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，3,282k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，解得：5,16k k Z πϕπ=+∈ 0πϕ-<<, 1116πϕ∴=-，故B 不正确； ()311cos 216f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向左平移3π个单位长度后得()31133cos cos 2316216g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故C 不正确；当02x π≤≤时，3339,2161616x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当3390,21616x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，即 ,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据三角函数的性质求得函数()f x 的解析式，第四个选项是关键，需根据整体代入的方法，先求33216x π-的范围，再确定函数的单调递减区间. 7．D解析：D 【分析】先根据题意建立坐标系，写出盛水筒M 距离水面的高度H 与时间t 之间的函数关系式，再根据关系式即可判断. 【详解】解：以O 为圆心，过点O 的水平直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：0306xOP π∠==，OP ∴在()t s 内转过的角为：26030t t ππ=， ∴以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为：306t ππ-，P ∴点的纵坐标为：4sin 306t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， H ∴与t 之间的函数关系式为：4sin 2306H t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，当sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，max 426H =+=，当sin 1306t ππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭时，max 422H =-+=-，对A ，B ，由图像易知max min H H =-，故A ，B 错误；对C ，max min H H <-，故C 错误；对D ，max min H H >-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解题意，根据题意写出H 与t 之间的函数关系式.8．D解析：D 【分析】利用正弦函数的单调性可判断AD 选项的正误；利用正切函数的单调性可判断C 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且01122ππ<-<<，则sin1sin 1cos12π⎛⎫>-=⎪⎝⎭，A 选项错误；对于B 选项，因为余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，23233cos cos cos 555πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，1717cos cos cos 444πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 3045πππ<<<，则3cos cos 54ππ<，即2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，当900x -<<时，正切函数tan y x =单调递增，因为9052470-<-<-<，所以，()()tan 52tan 47-<-，C 选项错误；对于D 选项，因为正弦函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，因为021018πππ-<-<-<，所以，sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.9．B解析：B 【解析】1())cos(2))cos(2))2sin(2)26f x x x x x x πθθθθθ=+++=+++=++,由于()f x 为偶函数，则(0)2sin()26f πθ=+=±，sin()1,662k πππθθπ+=±+=+，3k πθπ=+，当0k =时，3πθ=，()2sin(2)2sin(2)362f x x x πππ=++=+2cos2x =，当[0,]4x π∈时，2[0,]2x π∈，()2cos2f x x =为减函数，符合题意，所以选B.10．D解析：D 【分析】利用奇函数的性质判断A ，分别求3f π⎛⎫⎪⎝⎭和23f π⎛⎫⎪⎝⎭判断大小，取特殊值验证的方法判断C ，分区间计算一个周期内的最小值，判断选项D 。

高中数学第一章三角函数单元素养评价(含解析)新人教A版必修4

单元素养评价（一）（第一章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分）1。

若=2kπ+(k∈Z)，则的终边在（）A。

第一象限 B.第四象限C。

x轴上D。

y轴上【解析】选D。

由=2kπ+，k∈Z,可得α=6kπ+π,k∈Z，所以=3kπ+，k∈Z,当k为奇数时,的终边在y轴的非正半轴上，当k为偶数时,的终边在y轴的非负半轴上，综上可知，终边在y轴上。

2。

若一个α角的终边上有一点P（—4，a）,且sin α·cos α=,则a的值为（）A。

4 B.±4C。

—4或-D。

【解析】选C。

由三角函数定义可知，r=，sin α=，cos α=,sin α·cos α==，解得a=—4或—.3.（2020·宜昌高一检测）已知扇形AOB的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB等于( ) A.2 B。

sin 1 C。

2sin 1 D。

2cos 1【解析】选C。

设扇形的半径为r，可得出扇形的弧长为l=4—2r(0<r〈2)，所以，扇形的面积为S=lr=r(4—2r)=—r2+2r=—（r—1）2+1，当r=1时，该扇形的面积取到最大值1，扇形的弧长为l=4—2r=2，此时∠AOB==2，如图所示。

取AB的中点C,则OC⊥AB,且∠AOC=1，因此，AB=2AC=2rsin 1=2sin 1。

4。

点P从(1,0）点出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为 ( ）A。

B。

C。

D。

【解析】选A.设∠POQ=θ,则θ=.又设Q(x,y），则x=cos=，y=sin=。

5。

(2020·天津高考）已知函数f（x）=sin。

给出下列结论：①f（x）的最小正周期为2π;②f是f（x)的最大值；③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y=f(x）的图象.其中所有正确结论的序号是（）A.① B.①③ C。

第一章三角函数单元测试含试卷分析高中数学人教A版必修4

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1．下列角中终边与330°相同的角是( )A ．30°B ．－30°C ．630°D ．－630°解析：选B.与330°终边相同的角为{α|α＝330°＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝－1时，α＝－30°.2．半径为π cm ，圆心角为60°所对的弧长是( )A.π3 cmB.π23cm C.2π3 cm D.2π23cm 解析：选B.l ＝|α|·r ＝π3×π＝π23(cm)，故选B. 3．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( )A.45 B ．－45C.35 D ．－35解析：选B.∵角θ的终边过(4，－3)，∴cos θ＝45. ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45. 4．已知tan α＝2，则cos （π＋α）cos （π2＋α）的值为( ) A ．－12B ．－2 C.12D ．2 解析：选C.cos （π＋α）cos （π2＋α）＝－cos α－sin α＝1tan α＝12. 5．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．是非奇非偶函数解析：选A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋π8＝sin 2x ，为奇函数，故选A.6．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin(π2＋A )＝( ) A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：选B.cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，则cos A ＝12，sin(π2＋A )＝cos A ＝12. 7．函数y ＝sin(3x ＋3π4)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π12 B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝－5π4解析：选A.令3x ＋34π＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝－π12＋13k π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π12. 8．函数y ＝tan(π2－x )(x ∈[－π4，π4]且x ≠0)的值域为( ) A ．[－1，1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．[－1，＋∞)解析：选B.∵－π4≤x ≤π4，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan(π2－x )的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．9．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是2πB ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：选D.因为y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，所以T ＝2π，A 正确；y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数，y ＝－cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，B 正确；由图象知y ＝－cos x 关于直线x ＝0对称，C 正确；y ＝－cos x 是偶函数，D 错误．故选D.10．当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f (3π4－x )是( ) A ．奇函数且图象关于点(π2，0)对称 B ．偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D ．偶函数且图象关于点(π2，0)对称解析：选C.当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝A sin(x －3π4)(A ＞0)，所以y ＝f (3π4－x )＝A sin(3π4－x －3π4)＝－A sin x ，所以函数为奇函数且图象关于直线x ＝π2对称，故选C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时函数取得最大值．答案：2k π＋π(k ∈Z )12.cos （－585°）sin 495°＋sin （－570°）的值等于________．解析：原式＝cos （360°＋225°）sin （360°＋135°）－sin （360°＋210°）＝cos （180°＋45°）sin （180°－45°）－sin （180°＋30°）＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－2 13．一正弦曲线的一个最高点为(14，3)，从相邻的最低点到这个最高点的图象交x 轴于点(－14，0)，最低点的纵坐标为－3，则这一正弦曲线的解析式为________．解析：由题知A ＝3，由T ＝4×⎣⎡⎦⎤14－⎝⎛⎭⎫－14＝2，求得ω＝π，再利用当x ＝14时，πx ＋φ＝π2，求出φ＝π4. 答案：y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4 14．函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3－x 恒成立，设g (x )＝3cos(ωx ＋φ)＋1，则g ⎝⎛⎭⎫π3＝________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3－x ，∴函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)关于直线x ＝π3对称，即f ⎝⎛⎭⎫π3＝±3.∴h (x )＝3cos(ωx ＋φ)关于⎝⎛⎭⎫π3，0对称，即h ⎝⎛⎭⎫π3＝0. ∴g ⎝⎛⎭⎫π3＝h ⎝⎛⎭⎫π3＋1＝1. 答案：115．已知ω＞0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：因为ω＞0，f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，所以函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)的周期T ≥2(π－π2)＝π.又ω＞0，所以0＜ω≤2. 因为π2＜x ＜π，所以ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜ω≤2，ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54. 答案：[12，54] 三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知f (α)＝sin 2（π－α）·cos （2π－α）·tan （－π＋α）sin （－π＋α）·tan （－α＋3π）. (1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值．解：(1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α（－sin α）（－tan α）＝sin α·cos α. (2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知， (cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34. 又∵π4＜α＜π2， ∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0.∴cos α－sin α＝－32. 17．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间．(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值．解：(1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2. 即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2. 18. 如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果从水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数；(2)点P 第一次到达最高点大约需要多长时间？解：(1) 建立如图所示的直角坐标系．设角φ(－π2＜φ＜0)是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟所转过的角为5×2π60＝π6，则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t . 由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin(π6t ＋φ)＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6. 故所求的函数关系式为z ＝4sin(π6t －π6)＋2. (2)令z ＝4sin(π6t －π6)＋2＝6，得sin(π6t －π6)＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 19．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，已知它的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ.(2)求函数f (x )的递减区间．(3)画出f (x )在[0，π]上的图象．解：(1)因为函数f (x )的一条对称轴是直线x ＝π8，所以2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . 因为－π＜φ＜0，所以φ＝－3π4. (2)由(1)知f (x )＝sin(2x －3π4)， π2＋2k π≤2x －3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，即5π8＋k π≤x ≤9π8＋k π，k ∈Z .所以函数f (x )的递减区间为⎣⎡⎦⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z )． (3)由f (x )＝sin(2x －3π4)列表如下： x 0 π8 3π8 5π8 7π8π y －22 －1 0 1 0 －2220．已知函数f (x )＝2cos(π2－π4x －π4)． (1)求函数f (x )的对称轴；(2)将函数f (x )的图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数y ＝g (x )＋k 在(－2，4)上有两个零点，求实数k 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝2cos(π2－π4x －π4)，所以f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．令π4x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z . 解得x ＝1＋4k ，k ∈Z ，所以函数f (x )的对称轴为x ＝1＋4k ，k ∈Z .(2)依题意，将函数f (x )的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin[π4(x ＋1)＋π4]＝2cos π4x ，函数y ＝g (x )＋k 在(－2，4)上有两个零点，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在x ∈(－2，4)上有两个交点，如图所示，所以0＜－k ＜2，即－2＜k ＜0，所以实数k 的取值范围为(－2，0)．。

人教A版数学必修四(新课标人教A版)必修四《第一章三角函数》质.docx

高中新课程数学（新课标人教A 版）必修四《第一章三角函数》质量评估(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求)1．在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是( )． A ．① B ．①② C ．①②③ D ．①②③④解析 160°角显然是第二象限角；480°＝360°＋120°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．答案 C2．若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )．A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．1 cm 2解析由弧长公式得2＝2R ，即R ＝1 cm ，则S ＝12Rl ＝12×1×2＝1(cm 2)．答案 D3．函数y ＝cos x ·tan x 的值域是( )． A ．(－1,0)∪(0,1) B ．[－1,1] C ．(－1,1)D ．[－1,0]∪(0,1)解析化简得y ＝sin x ，由cos x ≠0，得sin x ≠±1.故得函数的值域(－1,1)．答案 C4．三角函数y ＝sin x2是( )．A ．周期为4π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数解析 x ∈R ，f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－sin x 2＝－f (x )，是奇函数，T ＝2π12＝4π. 答案 A5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为( )． A.13 B ．－13 C ．－223 D.223解析根据题意得：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13，故选B. 答案 B6．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的最小值和最小正周期分别是( )．A ．－3－1，πB ．－3＋1，πC ．－3，πD ．－3－1,2π解析 f (x )min ＝－3－1，T ＝2π2＝π. 答案 A7．要得到函数y ＝f (2x ＋π)的图象，只要将函数y ＝f (x )的图象( )． A ．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变解析把y ＝f (x )的图象向左平移π个单位得到y ＝f (x ＋π)，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到y ＝f (2x ＋π)．答案 C8．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象( )． A ．关于原点成中心对称 B ．关于y 轴成轴对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称D ．关于直线x ＝π12成轴对称解析本题考查三角函数的图象与性质．由形如y ＝A sin(ωx ＋φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，故函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称．答案 C9．(2012·宜昌高一检测)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则该函数的表达式为( )．A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋56πB ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －56πC ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析本题考查由图象求三角函数解析式．由图象可知，A ＝2，ω＝2ππ＝2，当x ＝π6时，y ＝2，从而有2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，故选C.答案 C10．下列说法正确的是( )．A ．在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内sin x >cos xB ．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5的图象的一条对称轴是x ＝45πC ．函数y ＝π1＋tan 2x的最大值为πD ．函数y ＝sin 2x 的图象可以由函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位得到解析在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4内有sin x <cos x ，所以A 错；当x ＝45π时， y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5＝0，所以x＝45π不是函数图象的一条对称轴，故B 错；函数y ＝sin 2x 的图象应该由函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位得到，所以D 错；而在函数y ＝π1＋tan 2x 中，由于1＋tan 2x ≥1，所以y ≤π，即函数y ＝π1＋tan 2x 的最大值等于π.答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域为________．解析 2x －π4≠π2＋k π，即x ≠3π8＋k π2，k ∈Z .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠3π8＋k π2，k ∈Z12．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx 的最小正周期是4π，则ω＝________. 解析 T ＝2π|ω|＝4π，∴|ω|＝12，ω＝±12.答案 ±1213．若sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－32，且π<x <2π，则x 等于________．解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－32，∴cos x ＝－32，又∵π<x <2π，∴x ＝7π6.答案7π614．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ－cos 3θ＝________. 解析 sin θsin 3θ－cos 3θ＝sin θsin 2θ＋cos 2θsin 3θ－cos 3θ ＝tan 3θ＋tan θtan 3θ－1 ＝23＋223－1＝107. 答案107三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)(2011·临沂高一检测)已知tan α＝12，求1＋2sin π－αcos －2π－αsin 2－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解原式＝1＋2sin αcos ()2π＋αsin 2α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2αsin α－cos αsin α＋cos α ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝1＋tan αtan α－1＝1＋1212－1＝－3.16．(10分)已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．解 ∵sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，得(－3cos α)2＋cos 2α＝1，即10cos 2α＝1.∴cos α＝±1010. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴α在第二、四象限．①当α是第二象限角时，sin α＝31010，cos α＝－1010.②当α是第四象限角时，sin α＝－31010，cos α＝1010.17．(10分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0且ω>0,0<φ<π2的部分图象，如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．解 (1)由图象易知函数f (x )的周期为T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π6－2π3＝2π，A ＝1，所以ω＝1.法一由图可知此函数的图象是由y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位得到的，故φ＝π3，所以函数解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.法二由图象知f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0.则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，∴－π3＋φ＝k π，k ∈Z .∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)方程f (x )＝a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )与y ＝a 的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个交点，在图中作y ＝a 的图象，如图为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上的图象，当x ＝0时，f (x )＝32，当x ＝5π3时，f (x )＝0，由图中可以看出有两个交点时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1∪(－1,0)．18．(12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？解 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以所求的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2xy ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π12――――――――――――――――――――――――――→将图象上各点向上平移32个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.19．(12分)如右图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π. (1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解 (1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得cos θ＝32，因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6.由已知T ＝π，且ω>0，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3.又因为点P 在y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6，从而得4x 0－5π6＝11π6，或4x 0－5π6＝13π6，即x 0＝2π3，或x 0＝3π4.。

高中数学第一章三角函数单元综合测试新人教A版必修

【红对勾】2015-2016学年高中数学第一章三角函数单元综合测试新人教A 版必修4时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．－4 3 B ．±4 3 C. 3D ．4 3解析：因为tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝3，故a ＝－4 3. 答案：A2．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33B.33C ．－ 3 D. 3解析：由cos(π2＋φ)＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，∴cos φ＝12，∴tan φ＝－ 3.答案：C3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π6)B ．y ＝sin(x 2＋π6)C ．y ＝sin(2x －π6)D ．y ＝sin(2x －π3)解析：∵最小正周期为π，∴ω＝2，又图象关于直线x ＝π3对称，∴f (π3)＝±1，故只有C 符合．答案：C4．若2k π＋π<θ<2k π＋5π4(k ∈Z )，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( ) A ．sin θ<cos θ<tan θ B ．cos θ<tan θ<sin θ C ．cos θ<sin θ<tan θD ．sin θ<tan θ<cos θ解析：设π<α<54π，则有sin θ＝sin α，cos θ＝cos α，tan θ＝tan α， ∵tan α>0，而sin α<0，cos α<0， ∴B 、D 排除，又∵cos α<－22<sin α，即cos α<sin α，排除A.选C. 答案：C5．已知A 是三角形的内角，且sin A ＋cos A ＝52，则tan A 等于( ) A ．4＋15 B ．4－15 C ．4±15D ．以上均不正确解析：因为sin A ＋cos A ＝52，所以2sin A cos A ＝14>0.所以A 为锐角．又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1－14＝34，所以sin A －cos A ＝±32.从而可求出sin A ，cos A 的值，从而求出tan A ＝4±15.答案：C6．函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[0，π])的单调递增区间是( )A ．[0，π3]B ．[π12，7π12]C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]解析：由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π可得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )．∵x ∈[0，π]，∴单调递增区间为[π3，5π6]．答案：C7．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，∴只需将y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度．答案：C8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，17π12解析：由图形可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫512π，2. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )，取k ＝1，即得选项D. 答案：D9．设a 为常数，且a >1,0≤x ≤2π，则函数f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1的最大值为( ) A ．2a ＋1 B ．2a －1 C ．－2a －1D ．a 2解析：f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1 ＝1－sin 2x ＋2a sin x －1 ＝－(sin x －a )2＋a 2，∵0≤x ≤2π，∴－1≤sin x ≤1，又a >1，∴f (x )max ＝－(1－a )2＋a 2＝2a －1. 答案：B 10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝1D ．x ＝2解析：函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值为1，最小值为－1，所以周期T ＝2222－22＝4，所以ω＝π2，又函数为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)⇒φ＝π2，所以函数解析式为y ＝cos(π2x ＋π2)＝－sin π2x ，所以直线x ＝1为该函数图象的一条对称轴．答案：C11．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮进行5分钟后离地面的高度为( )A ．41米B ．43米C ．78米D ．118米解析：摩天轮转轴离地面高160－⎝⎛⎭⎪⎫1562＝82(米)，ω＝2πT ＝π15，摩天轮上某个点P 离地面的高度h 米与时间t 的函数关系是h ＝82－78cos π15t ，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h ＝82－78cos π15t ＝82－78×12＝43(米)．答案：B12．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23 B.43 C.32D ．3解析：方法一：函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y ＝sin[ω(x －4π3)＋π3]＋2＝sin(ωx －4π3ω＋π3)＋2的图象．∵两图象重合，∴ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝32k ，k ∈Z .又ω>0，∴当k ＝1时，ω的最小值是32.方法二：由题意可知，4π3是函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2(ω>0)的最小正周期T 的正整数倍，即4π3＝kT ＝2k πω(k ∈N *)，ω＝32k ，ω的最小值为32.答案：C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．解析：圆心角α＝l r ＝128＝32，扇形面积S ＝12lr ＝12×12×8＝48.答案：324814．方程sin x ＝lg x 的解的个数为________．解析：画出函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象(图略)，结合图象易知这两个函数的图象有3个交点．答案：315．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数．若f (2 013)＝－1，则f (2 014)＝________.解析：f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β) ＝－1，f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β)＝a sin[π＋(2 013π＋α)]＋b cos[π＋(2 013π＋β)] ＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝1. 答案：116．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1有以下结论：①函数f (x )的值域是[0,2]；②点⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π，0是函数f (x )的图象的一个对称中心；③直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴；④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数是偶函数．其中，所有正确结论的序号是________．解析：①∵－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1≤2；②∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π3＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋1＝1≠0，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π，0不是函数f (x )图象的一个对称中心；③∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＋1＝cosπ＋1＝0，函数取得最小值，∴直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴；④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数解析式为g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＋1＝cos2x ＋1，此函数是偶函数．综上所述，①③④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知sin θ＝45，π2<θ<π，(1)求tan θ；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．解：(1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925.又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857. 18．(12分)(1)已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值；(2)已知π<θ<2π，cos(θ－9π)＝－35，求tan(10π－θ)的值．解：(1)cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)] ＝－sin(75°＋α)． ∵α为第三象限角，∴75°＋α为第三或第四象限角，又cos(75°＋α)＝13>0，∴75°＋α为第四象限角，∴sin(75°＋α)＝－1－cos 275°＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223，∴cos(105°－α)＋sin(α－105°) ＝－13＋223＝22－13.(2)由已知得cos(θ－9π)＝－35，∴cos(π－θ)＝－35，∴cos θ＝35，∵π<θ<2π，∴3π2<θ<2π，∴sin θ＝－45，∴tan θ＝－43，∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝43.19．(12分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos(2x －π4)，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为增函数，在区间[π8，π2]上为减函数，又f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝2cos(π－π4)＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.20．(12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式； (2)把f 1(x )的图象向右平移π4个单位长度得到f 2(x )的图象，求f 2(x )取得最大值时x 的取值．解：(1)由图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.将y ＝A sin2x 的图象向左平移π12，得y ＝A sin(2x＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋π6)，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意，f 2(x )＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝－2cos(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2.此时x 的取值为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． 21．(12分)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)－1.(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α2－π12)的值；(2)若x ∈[－π6，π3]，求f (x )的值域．解：(1)因为点P (1，－3)在角α的终边上，所以sin α＝－32，cos α＝12，所以f (α2－π12)＝2sin[2×(α2－π12)＋π6]－1＝2sin α－1＝2×(－32)－1＝－3－1. (2)令t ＝2x ＋π6，因为x ∈[－π6，π3]，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，而y ＝sin t 在[－π6，π2]上单调递增，在[π2，5π6]上单调递减，且sin(－π6)＝－12，sin 5π6＝12，所以函数y ＝sin t 在[－π6，5π6]上的最大值为1，最小值为－12，即－12≤sin(2x ＋π6)≤1，所以f (x )的值域是[－2,1]．22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的最小正周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得T ＝11π6－(－π6)＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的最小正周期为2π3，又k >0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3， ∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]，若sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解，则s ∈[32，1)， ∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．。

高中数学第一章三角函数质量评估检测(含解析)新人教

第一章质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3的值是( ) A ．－32 B.32 C.12 D ．－12解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋2π3＝sin 2π3＝32.答案：B2．下列说法：①30°与－30°角的终边方向相反；②－330°与－390°角的终边相同；③α＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )与β＝(4k ±1)·180°(k ∈Z )角的终边相同；④设M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }，N ＝{y |y ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }，则M N .其中所有正确说法的序号是( ) A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．①③④解析：①中，30°和－30°角的终边关于x 轴对称，故①不正确．②中，－330°＝－360°＋30°，因而与30°角的终边相同；－390°＝－360°－30°，因而与－30°角的终边相同，故②不正确．③中，集合{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }与集合{x |x ＝4k ±1，k ∈Z }是同一个集合，都表示所有的奇数，所以α，β为同一个角，故③正确．④中，集合M 表示角的终边落在两条直线(x ＋y ＝0和x －y ＝0)上，集合N 表示角的终边落在四条直线(x ＝0，y ＝0，x ＋y ＝0和x －y ＝0)上，故④正确．综上，故选C.答案：C3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π3x ，x ≤2 011，f x －4，x ＞2 011，则f (2 012)＝( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：f (2 012)＝f (2 008)＝sin2 0083π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫668π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3＝－32. 答案：D4．已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( ) A.π3 B ．1 C.23π D．3 解析：弧长l ＝3r －2r ＝r ，则圆心角＝l r＝1. 答案：B解析：因为y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋54，又－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－12时，y max ＝54.答案：5415．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________． ①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ②y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ③y ＝f (x )的最小正周期为2π；④y ＝f (x )的图象的一条对称轴为x ＝－π6.解析：4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，故①②正确，③④错误．答案：①②16．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．解析：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈π，2π].作出函数y ＝f (x )和函数y ＝k 的图象，如图所示．则k 的取值范围是1＜k ＜3. 答案：1＜k ＜3三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)(1)计算3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－203πtan 113π－cos 134π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－374π.(2)已知tan α＝43，求下列各式的值．①sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α；②sin αcos α. 解析：(1)原式＝3sin 43πtan 53π－cos π4tan π4＝－3·cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－tan π3－cos π4tan π4＝－3×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33－22×1。

高中数学第一章三角函数单元质量评估新人教A版必修

第一章三角函数(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.与-525°终边相同的角可表示为( )A.525°-k·360°(k∈Z)B.165°+k·360°(k∈Z)C.195°+k·360°(k∈Z)D.-195°+k·360°(k∈Z)【解析】选C.-525°=-360°×2+195°，所以-525°与195°终边相同，所以与-525°终边相同的角可表示为195°+k·360°(k∈Z).2.若点P在的终边上，且|OP|=2，则点P的坐标为( )A.(1，-)B.(，-1)C.(-1，-)D.(-1，)【解析】选A.由任意角的三角函数定义知x P=|OP|cos=2×=1，y P=|OP|sin=2×=-，故点P坐标为(1，-).【补偿训练】若点A(x，y)是240°角终边上异于原点的一点，则的值为( )A.-B.C.-D.【解析】选D.由题意知=tan240°=tan(180°+60°)=tan60°=.3.(2015·合肥高一检测)已知tanα>0，且sinα+cosα<0，则( )A.cosα>0B.cosα<0C.cosα=0D.cosα符号不确定【解析】选B.由tanα>0知α是第一或第三象限角.又因为sinα+cosα<0，所以α是第三象限角，所以cosα<0.4.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得的图象的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A.y=sin，x∈RB.y=sin，x∈RC.y=sin，x∈RD.y=sin，x∈R【解析】选D.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=sin的图象，再将所得的图象的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y=sin的图象.5.在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中a>0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )【解析】选D.当0<a<1时，y=sinax的周期T=>2π，B不正确，D正确；当a>1时，y=sinax的周期T=<2π.A，C都不正确.【补偿训练】不等式l og a x>sin2x(a>0且a≠1)对任意x∈都成立，则a的取值范围为( )A. B.C.∪D.【解题指南】先分析临界位置，如l og a x过点，再确定范围.【解析】选D.当y=log a x的图象恰好过点时有log a=1，所以a=.结合图形知≤a<1时在上y=log a x总在y=sin2x上方.即log a x>sin2x成立.6.下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f(x)=f(-x)和f(x-π)=f(x)的函数是( )A.f(x)=sinxB.f(x)=sinx·cosxC.f(x)=cosxD.f(x)=cos2x【解析】选D.由f(x)=f(-x)知f(x)为偶函数，排除A，B.由f(x-π)=f(x)知x=是f(x)图象的一条对称轴，排除C，故选D.7.(2015·汕头高一检测)下列比较大小错误的是( )A.sin(-70°)>sin(-80°)B.cos>cosC.tan<tanD.tan38°<tan43°【解析】选C.-90°<-80°<-70°<0°且y=sinx在上为增函数，所以sin(-80°)<sin(-70°)，故A正确；cos=cos=cos>0，cos=cos=cos<0，所以cos>cos，故B正确；tan=tan=-tan=-，tan=tan=-tan=-，所以tan>tan，C错误，易知D正确.8.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)，y=f(x)的部分图象如图，则f=( )A.3B.C.1D.【解析】选A.由题干图知，T=2×=，所以ω==2.又图象过点，所以Atan=0，所以tan=0，所以φ+=kπ，k∈Z.所以φ=kπ-，k∈Z.又|φ|<，所以φ=，所以f(x)=Atan.又图象过点(0，1)，所以Atan=1，所以A=，即f(x)=tan，所以f=tan=3.【补偿训练】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，当x∈时，满足f(x)=1的x的值为( )A. B. C. D.【解析】选B.由图象知A=2.=2×=π，ω=2.故f(x)=2sin(2x+φ)，x=-时y=0，代入上式，得0=2sin，所以-+φ=kπ，k∈Z，故φ=kπ+，k∈Z，又|φ|<，所以φ=，所以f(x)=2sin.由f(x)=1得sin=，又2x+∈，所以2x+=，所以x=.9.(2015·安徽高考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x=时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f<f<fB.f<f<fC.f<f<fD.f<f<f【解析】选A.因为函数f=Asin(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，所以T==π⇒ω=2，所以f=Asin，当x=时，2×+φ=+2kπ，k∈N⇒φ=+2kπ，k∈N，所以f=Asin，当2x+=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时函数f取得最大值.下面只需要判断2，-2，0与最近的最高点处对称轴的距离，距离越大，函数值越小.当k=0时，x=，≈0.52，≈1.48；当k=1时，x=，≈1.67；当k=-1时，x=-，≈0.62，所以f<f<f，故选A.【补偿训练】(2015·宜昌高一检测)设y=f(t)是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.根据上述数据，函数y=f(t)的解析式为( )A.y=12+3sin，t∈[0，24]B.y=12+3sin，t∈[0，24]C.y=12+3sin，t∈[0，24]D.y=12+3sin，t∈[0，24]【解析】选A.由已知得A==3，k==12.=15-3，所以ω=，所以y=12+3sin，t=3，y=15代入上式得sin=1，解得φ=2kπ，k∈Z.所以y=12+3sin，t∈[0，24].10.(2015·武汉高一检测)函数f(x)=asinx+blog2(x+)+4(a，b为常数)，若f(x)在(0，+∞)上有最小值-4，则f(x)在(-∞，0)上有( )A.最大值-2B.最大值4C.最大值10D.最大值12【解析】选D.设g(x)=f(x)-4，则g(x)为奇函数.因为f(x)在(0，+∞)上有最小值-4，所以g(x)在(0，+∞)上有最小值-8.又因为g(x)为奇函数，所以g(x)在(-∞，0)上有最大值8.所以f(x)在(-∞，0)上有最大值12.11.定义在R上的函数满足f(x+2)=f(x)，且x∈[1，3]时，f(x)=cos x，则下列大小关系正确的是( )A.f(tan1)>fB.f<fC.f(sin2)>f(cos2)D.f(cos1)>f(sin1)【解析】选C.由题意知函数f(x)是以2为周期的函数，且在区间[-1，0]上为减函数，在区间[0，1]上是增函数，x=1是函数f(x)的一条对称轴，于是f(cos2)=f(2-cos2)=f(-cos2)，又因<2<，所以1>sin2>-cos2>0，因此有f(sin2)>f(-cos2)=f(cos2).12.(2015·厦门高一检测)已知函数f(x)=sinx+x，则使不等式f(sinθ)+f(cosθ)≥0成立的θ的取值范围是( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】选C.函数f(x)=sinx+x的定义域为R，因为f(-x)=sin(-x)+(-x)=-sinx-x=-(sinx+x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，不等式f(sinθ)+f(cosθ)≥0可化为f(sinθ)≥-f(cosθ)=f(-cosθ)，又因为y=sinx和y=x在[-1，1]上均为增函数，所以f(x)=sinx+x在[-1，1]上为增函数，且sinθ∈[-1，1]，-cosθ∈[-1，1]，所以sinθ≥-cosθ，即sinθ+cosθ≥0，角θ终边所在区域如图所示，所以θ∈(k∈Z).二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.弧长为3π，圆心角为的扇形的面积为________.【解析】设扇形的半径为R，由已知得·R=3π，所以R=4.所以扇形的面积S=××42=6π.答案：6π14.(2015·黄冈高一检测)函数y=2sin，x∈[-π，0]的单调递增区间为__________. 【解析】y=2sin=-2sin，由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，设A=，B=[-π，0]，A∩B=，所以y=2sin，x∈[-π，0]的单调递增区间为[-，-]答案：【补偿训练】若f(x)=2sinωx(ω>0)在区间上的最大值是，则ω=__________.【解析】f(x)=2sinωx在即上为增函数.由题意知且f=.所以所以ω=6k+或6k+且0<ω<，所以ω=.答案：15.(2015·南昌高一检测)如图是一个半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动四圈，水轮上的点P相对于水面的高度y(米)与时间x(秒)满足函数关系式y=Asin(ωx+φ)+2(A>0，ω>0，φ∈(-，))，且初始位置(即x=0)时y=，则函数的表达式为__________.【解析】函数表达式为y=Asin(ωx+φ)+2，则由题意得A=3；T==15，故ω==π；由初始位置时y=知，=3sinφ+2；故sinφ=；再由φ∈知，φ=，所以函数表达式为y=3sin+2.答案：y=3sin+216.给出下列4个命题：①函数y=的最小正周期是；②直线x=是函数y=2sin的一条对称轴；③若sinα+cosα=-，且α为第二象限角，则tanα=-；④函数y=cos(2-3x)在区间上单调递减.其中正确的是__________.(写出所有正确命题的序号).【解析】函数y=sin的最小正周期是π，故①正确.对于②，当x=π时，2sin=2sinπ=-2，故②正确.对于③，由(sinα+cosα)2=得2sinαcosα=-，因为α为第二象限角，所以sinα-cosα==，所以sinα=，cosα=-，所以tanα=-，故③正确.对于④，函数y=cos(2-3x)的最小正周期为，而区间长度>，显然④错误.答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)若cosα=，α是第四象限角，求的值.【解析】由已知得sinα=-，===-=.18.(12分)(1)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(-3，4)，求cos(π-α)+cos的值.(2)若tanβ=3，求的值.【解析】(1)r=|OP|==5.所以sinα==，cosα==-，所以cos(π-α)+cos=-cosα-sinα=--=-.(2)原式===.19.(12分)(2015·宜昌高一检测)已知函数f(x)=2sin(2ωx+)+1(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心，(1)试求ω的值.(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[-π，π]上的图象.【解析】(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，所以-+=kπ，k∈Z，所以ω=-3k+，k∈Z，因为0<ω<1，所以k=0，ω=.(2)由(1)知f(x)=2sin+1，x∈[-π，π]列表如下，-ππ则函数f(x)在区间x∈[-π，π]上的图象如图所示.【拓展延伸】“巧”画图象“妙”解题在利用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，如果能正确利用函数的性质就能更快、更准确地画出函数图象的简图.例如定出第一个关键点后，就可以根据五个关键点横坐标之间的距离都为，画出另外四个关键点.20.(12分)(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式.(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.【解析】(1)根据表中已知数据，得A=5，ω=2，φ=-.数据补全如表：π且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知f(x)=5sin，得g(x)=5sin.因为y=sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x+2θ-=kπ，k∈Z，解得x=+-θ，k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称，令+-θ=，k∈Z，解得θ=-，k∈Z.由θ>0可知，当k=1时，θ取得最小值.【补偿训练】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：(1)请将表数据补全，并直接写出函数f(x)的解析式.(2)将函数f(x)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)的单调递减区间.【解析】(1)函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)函数g(x)=2sin.令2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数y=g(x)的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z.21.(12分)已知f(x)=3sin-1.(1)f(x)的图象是由y=sinx的图象如何变换而来？(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x的值.【解析】(1)将函数y=sinx图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y=3sinx的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin2x的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=3sin的图象，再把所得函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f(x)=3sin-1的图象.(2)最小正周期T=π，由2x+=+kπ(k∈Z)，得对称轴方程为x=+(k∈Z).当2x+=+2kπ(k∈Z)，即x=+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值2.【补偿训练】(2015·都江堰高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中的周期为π，其图象上一个最高点为M，(1)求f(x)的解析式.(2)当x∈时，求f(x)的最值及相应的x的值.【解析】(1)由T=π得ω===2，由最高点为M得A=2，且2sin=2，即sin=1，所以+φ=2kπ+，故φ=2kπ+(k∈Z)，又因为φ∈，所以φ=，所以f(x)=2sin.(2)因为x∈，所以2x+∈，所以当2x+=，即x=0时，f(x)取得最小值1；当2x+=，即x=时，f(x)取得最大值2.22.(12分)(2015·南通高一检测)某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°.(1)设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域.(2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用. 【解析】(1)因为在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，所以OE=.在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，所以OF=.又∠EOF=90°，所以EF===，所以l=OE+OF+EF=++，即l=，当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=；当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=.故此函数的定义域为.(2)由题意知，要求建设总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可.由(1)得，l=，α∈，设sinα+cosα=t，则sinα·cosα=，所以l===，由≤α+≤，得≤t≤，所以≤t-1≤-1，从而+1≤≤+1，当α=，即BE=25时，l min=50(+1)，所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为200000(+1)元.。

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作单元质量评估（一）第一章：三角函数一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.把-495°表示成k×360°+θ(k∈Z)的形式，则θ可以是（）(A)-135° (B)45° (C)-225° (D)135°【解析】选A.由题意可知-495°=k×360°+θ,从而θ=-495°-k×360°.当k=-1时,θ=-135°.2.若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）(A)4 cm2 (B)2 cm2(C)4π cm2 (D)1 cm2【解析】选D.由弧长公式得2=2R,即R=1 cm,则S=R l=×1×2=1 (cm2).3.（2009·济南高一检测）化简sin600°的值是（）【解析】选D.sin600°=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=.4.（2009·上海高一检测）已知a∈R，函数f(x)=sinx-|a|,x∈R为奇函数，则a=（）（A）0 （B）1 （C）-1 （D）±1【解析】选A.∵f(x)是奇函数，x∈R,∴f(0)=0,即-|a|=0,∴a=0.5.已知角θ的终边过点(4,-3),则cos(π-θ)等于（）6.（tanx+）cos2x等于( )(A)tanx (B)sinx (C)cosx (D)7.下列四个函数中，周期为π的是( )（A） y=sinx （B）y=2cosx（C）y=sin（D）y=|cosx|【解析】选D.对A、B，周期均为2π,对C，T==4π,对D,结合y=|cosx|的图象知，其周期为π.8.（2009·辽宁高考）已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=( )9.已知函数f(x)=3sin(),则下列不等式中正确的是（）(A)f(1)<f(2)<f(3)(B)f(2)<f(3)<f(1)(C)f(3)<f(2)<f(1)(D)f(2)<f(1)<f(3)12.（2009·烟台模拟）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）=50+4sin (其中0≤t≤20)给出，F（t）的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )(A)［0,5］ (B)［5,10］(C)［10,15］ (D)［15,20］【解析】选C.由得4kπ-π≤t≤4kπ+π(k∈Z),由于0≤t≤20,∴0≤t≤π或3π≤t≤5π,从而车流量在时间段［10,15］内是增加的.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13.函数y=tan(2x- )的定义域为_______.14.（2009·辽宁高考）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω=______.15.（2009·上海模拟）已知x= 是方程3tan(x+α)= 的一个解,α∈（-π,0），则α=______.16.（2009·盐城高一检测）把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标不变，再把图象向左平移个单位，这时对应的图象的解析式为_______.21.（12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+m(A>0,ω>0,|φ|< )的最大值是4,最小值是0,最小正周期是,直线x= 是函数图象的一条对称轴,求其解析式.22.（12分）已知，如图表示电流强度I与时间t的关系I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象.(1)试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式；(2)为了使I=Asin(ωt+φ)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值|A|与最小值-|A|，那么，正整数ω的最小值是多少？。

人教a版数学高一必修四习题：第一章_三角函数_单元质量评估

单元质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.扇形的周长是4,面积为1,则该扇形的圆心角的弧度数是 ( C )A. B.1 C.2 D.42.若120°角的终边上有一点(-4,a),则a的值为 ( C )A.-4B.±4C.4D.23.下列三角函数值的符号判断正确的是 ( C )A.sin 156°<0B.cos>0C.tan<0D.tan 556°<04.sin 300°+tan600°的值等于 ( B )A.-B.C.-+D.+5.已知函数f(x)=3sin x-4cos x(x∈R)的一个对称中心是(x0,0),则tan x0的值为 ( D )A.-B.C.-D.6.下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x=对称的是 ( B )A.y=sinB.y=sinC.y=cosD.y=cos7.函数f(x)=Asinx(A>0)的图象如图所示,P,Q分别为图象的最高点和最低点,O 为坐标原点,若OP⊥OQ,则A= ( B )A.3B.C.D.18.函数y=sin的图象可由函数y=cos x的图象至少向右平移m(m>0)个单位长度得到,则m= ( A )A.1B.C.D.9.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是 ( B )A.2,-B.2,-C.4,D.4,10.函数y=cos2x+sin x-1的值域为 ( C )A. B.C. D.[-2,0]11.已知函数f(x)=tan ωx在内是减函数,则实数ω的取值范围是( B )A.(0,1]B.[-1,0)C.[-2,0)D.12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点, x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为 ( B )A.11B.9C.7D.5二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.若2sin α-cos α=0,则=-.14.函数f(x)=sin+cos的最大值为.15.设函数f(x)=cos x,先将f(x)纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再将图象向右平移个单位长度后得g(x),则函数g(x)到原点距离最近的对称中心为.16.给出下列命题:①存在实数x,使sin x+cos x=;②函数y=sin是偶函数;③若α,β是第一象限角,且α>β,则cos α<cosβ;④函数y=sin 2x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin的图象. 其中结论正确的序号是②.(把正确的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知tan α+=,求2sin2(3π-α)-3cos·sin+2的值.【解析】因为tan α+=,所以2tan2α-5tan α+2=0.解得tan α=或tan α=2.2sin2(3π-α)-3cos sin+2=2sin2α-3sin αcos α+2=+2=+2.当tan α=时,原式=+2=-+2=;当tan α=2时,原式=+2=+2=.18.(本小题满分12分)已知f(α)=.(1)化简f(α).(2)当α=-时,求f(α)的值.【解析】(1)f(α)===-cos α.(2)当α=-时,f(α)=-cos=-cos=-.19.(本小题满分12分)(1)已知x是第三象限的角,化简三角式-.(2)已知tan θ=(0<a<1).求证:+=-2.【解析】(1)因为x是第三象限的角,所以-=-=-=-=-2tan x.(2)因为tan θ=,所以==-1,所以a=cos2θ,所以+==== =-2,故原式成立.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式.(2)求f(x)在上的最大、最小值及相应的x的值.【解析】(1)由图象可知,A=2.因为周期T==π,所以=π,ω>0,解得ω=2.所以f(x)=2sin(2x+φ).代入点,得sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z.又|φ|<,所以φ=-.所以f(x)=2sin.(2)因为x∈,所以2x-∈.所以当2x-=,即x=时,f(x)max=2;当2x-=-或,即x=0或时,f(x)min=-.21.(本小题满分12分)平潭国际“花式风筝冲浪”集训队,在平潭龙凤头海滨浴场进行集训,海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)随着一天的时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,某天各时刻t的水深数据的近似值如表: t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24y(米) 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5(1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图,从①y=Asin(ωt+φ),②y=Acos(ωt+φ)+b,③y=-Asin ωt+b(A>0,ω>0,-π<φ<0)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的函数解析式.(2)为保证队员安全,规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练,根据(1)中的选择的函数解析式,试问:这一天可以安排什么时间段组织训练,才能确保集训队员的安全.【解析】(1)根据表中近似数据画出散点图,如图所示:依题意,选②y=Acos(ωt+φ)+b做为函数模型,所以A==0.9,b==1.5.因为T==12,所以ω=.所以y=0.9cos+1.5.又因为函数y=0.9cos+1.5的图象过点,所以2.4=0.9×cos+1.5.所以cos=1.所以sin φ=-1.又因为-π<φ<0,所以φ=-.所以y=0.9cos+1.5=0.9sin t+1.5.(2)由(1)知,y=0.9sin t+1.5.令y≥1.05,即0.9sin t+1.5≥1.05.所以sin t≥-.所以2kπ-≤t≤2kπ+(k∈Z).所以12k-1≤t≤12k+7(k∈Z).又因为5≤t≤18,所以5≤t≤7或11≤t≤18.所以这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练,才能确保集训队员的安全.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式,并求出f(x)的单调递增区间.(2)将函数f(x)的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2倍,再将图象向右平移个单位,得到g(x)的图象,若存在x∈使得等式3g(x)+1=2[a+g2(x)]成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)设函数f(x)的周期为T,由图象可知=-=.所以T=π,即=π,又ω>0,解得ω=2.所以f(x)=sin(2x+φ).因为点在函数f(x)的图象上,所以sin=1,即+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z.又因为|φ|<,所以φ=.所以f(x)=sin.令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)经过图象变换,得到函数g(x)=f=sin x.于是问题即为“存在x∈,使得等式3sin x+1=2(a+sin2x)成立”.即2a=-2sin2x+3sin x+1在x∈上有解.令t=sin x∈[0,1],则2a=-2t2+3t+1在t∈[0,1]上有解,因为-2t2+3t+1=-2+∈,所以2a∈,即实数a的取值范围为.。

高中数学第一章三角函数阶段质量评估新人教A版必修4

阶段质量评估(一) 三角函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．15°的弧度是( ) A.π12 B.3π12 C.π6D.5π12解析：15°＝15×π180＝π12.答案：A2．圆的半径为r ，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是( )A.23 rad B.32 rad C.23π D.32π 解析：由弧度数公式|α|＝l r 得α＝32r r ＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.答案：B3．三角函数y ＝sin x2是( ) A ．周期为4π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数解析：x ∈R ，f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－sin x 2＝－f (x )，是奇函数，T ＝2π12＝4π. 答案：A4．如图，曲线对应的函数是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |解析：由图象知函数为偶函数，x ∈(0，π)时，y ＜0. 答案：C5．在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A ．sin A ＋sin C ＝sin B B ．sin(A ＋B )＝cos C C ．cos(B ＋C )＝－cos A D ．tan(A ＋C )＝tan B解析：∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＋C ＝π－A . ∴cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A . 答案：C6．下列表示最值是12，周期是6π的三角函数的表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6B ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6解析：函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6的最大值为12，周期为6π，初相为π6，故选A.答案：A7．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的图象向右平移π8个单位长度，所得图象对应函数的最小正周期是( )A ．πB ．2πC ．4πD.π2解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的图象向右平移π8个单位长度可得函数y ＝cos 2x 的图象，所以最小正周期是π.故选A.答案：A8．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y ＜0，cos α＝35，则tan α＝( )A ．－34B.34C.43 D ．－43解析：由已知332＋y 2＝35，∴y ＝±4. ∵y ＜0，∴y ＝－4.∴tan α＝y 3＝－43.故选D.答案：D9．已知tan α＝2，则sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α的值为( ) A ．－43B.54 C ．－34D.45解析：原式＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2 α＋cos 2 α＝tan 2α＋tan α－21＋tan 2α＝4＋2－21＋4＝45，故选D.答案：D10．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝1，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6解析：由题图可知T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫712π－π3＝π.又T ＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)．代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝1，又|φ|＜π2， ∴φ＝－π6.答案：D11．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( ) A ．关于原点对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π6对称解析：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3既不是奇函数也不是偶函数，所以排除A ，C ；x ＝－π6时，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋π3＝0，所以B 正确．答案：B12．(2014·四川高考)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析：y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象，即函数y ＝sin (2x ＋1)的图象．答案：A第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中横线上) 13．不等式1＋3tan x ≥0的解集是________．解析：不等式1＋3tan x ≥0可化为tan x ≥－33，解得－π6＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π6＋k π，π2＋k π(k ∈Z )14．若三角形的两个内角A ，B 满足sin A ·cos B ＜0，则此三角形是______________．(形状)解析：∵0＜A ＜π，∴sin A ＞0.又0＜B ＜π，由sin A ·cos B ＜0，∴cos B ＜0.∴π2＜B ＜π.∴△ABC 为钝角三角形．答案：钝角三角形15．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝________.解析：由题中图象知，T ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π3＝2π|ω|，不妨取ω＝3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝0，所以3π4＋φ＝k π，k ∈Z .不妨取φ＝π4，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3×7π12＋π4＝0.答案：016．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3有下列说法：①函数f (x )是以2π为最小正周期的函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③函数f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的是________．(填序号)解析：①T ＝2π2＝π；②2x ＋π3＝k π，k ＝0时，x ＝－π6，故关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③2x ＋π3＝k π＋π2，x ＝－π6时，k ＝－12，与k ∈Z 矛盾，所以只有②正确．答案：②三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知角α的终边与单位圆相交于点P (a ，b )，若sin α＝45，求a 、b 的值，并说明α是第几象限角．解：由正弦函数的定义可知b ＝sin α＝45.又a 2＋b 2＝1，∴a 2＝1－b 2＝925.∴a ＝±35. 故a ＝±35，b ＝45.当a ＝35，b ＝45时，点P 在第一象限，此时角α是第一象限角；当a ＝－35，b ＝45时，点P 在第二象限，此时角α是第二象限角．18．(本小题满分12分)已知cos(π＋α)＝－12，且α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋2n ＋1π]＋sin π＋αsin π－α·cos α＋2n π(n ∈Z )．解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12.又∵α在第四象限， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋2n ＋1π]＋sin π＋αsin π－αcos α＋2n π＝sin α＋2n π＋π－sin αsin αcos α＝sin π＋α－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(2)写出f (x )的值域、周期、对称轴、单调区间．解：(1)列表如下：x ＋π40 π2 π 3π2 2π x－π4π4 3π4 5π4 7π4 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π41－13sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π40 3 0 －3 0(2)由上图可知：值域为[－3,3]，周期为2π，对称轴为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π4＋k π，k ∈Z，单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )． 20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0且以π2为最小正周期．(1)求f (0)； (2)求f (x )的解析式； (3)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α4＝95，求sin α的值．解：(1)f (0)＝3sin π6＝32.(2)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6且π2为最小正周期，所以2πω＝π2，ω＝4，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.(3)f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝3cos α. 即3cos α＝95，∴cos α＝35.∴sin α＝±45.21．(本小题满分12分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．解：(1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π， ∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．22．(本小题满分14分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示．(1)求此函数的解析式；(2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间．解：(1)由题图可知，其振幅为A ＝23，由T2＝6－(－2)＝8，∴周期为T ＝16. ∴ω＝2πT ＝2π16＝π8.解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ.∵点(2，－23)在函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ的图象上，∴π8×2＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． ∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )．又|φ|＜π，∴φ＝－3π4.故所求函数的解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4. (2)由2k π－π2≤π8x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得16k ＋2≤x ≤16k ＋10(k ∈Z )，∴函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4的递增区间是[16k ＋2,16k ＋10](k ∈Z )．当k ＝－1时，有[－14，－6]，当k ＝0时，有[2,10]与定义区间求交集得此函数在(－2π，2π)上的递增区间为(－2π，－6]，[2,2π)．。

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高一数学必修4第一章三角函数单元测试班级姓名座号评分一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（48分） 1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A CD ．A=B=C 2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（）A ．3πB ．－3π C ．6π D ．－6π 3、已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为（）A ．－2B ．2C ．2316 D ．－23164、已知角α的余弦线是单位长度的有向线段;那么角α的终边（） A ．在x 轴上 B ．在直线y x =上C ．在y 轴上D ．在直线y x =或y x =-上 5、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ︒等于 ( )A ．32-B ．32C ．12D ． 12-6、要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象（）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位7、如图，曲线对应的函数是（）A ．y=|sin x |B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |8、化简1160-︒2sin 的结果是 ( )A ．cos160︒B ．cos160-︒C ．cos160±︒D ．cos160±︒ 9、A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25A A +=,则这个三角形的形状为（） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数)32sin(2π+=x y 的图象（）A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称 11、函数sin(),2y x x R π=+∈是（）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数C ．[,0]π-上是减函数D ．[,]ππ-上是减函数 12、函数2cos 1y x =+的定义域是（） A ．2,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．22,2()33k k k Z ππππ++∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．222,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：共4小题，把答案填在题中横线上．（20分） 13、已知απβαππβαπ2,3,34则-<-<-<+<的取值范围是 . 14、)(x f 为奇函数，=<+=>)(0,cos 2sin )(,0x f x x x x f x 时则时 .15、函数])32,6[)(8cos(πππ∈-=x x y 的最小值是． 16、已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos .三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（8分）求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒18、（8分）已知3tan 3,2απαπ=<<,求sin cos αα-的值.19、（8分）绳子绕在半径为50cm 的轮圈上，绳子的下端B 处悬挂着物体W ，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W 的位置向上提升100cm?20、（10分）已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+21、（10分）求函数21()tan 2tan 5f t x a x =++在[,]42x ππ∈时的值域(其中a 为常数)22、（8分）给出下列6种图像变换方法：①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21； ②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图像向右平移3π个单位； ④图像向左平移3π个单位；⑤图像向右平移32π个单位；⑥图像向左平移32π个单位。

(2021年整理)2015-2016学年度第二学期高一数学必修四第一章三角函数测试题及答案(一)

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2015—2016学年度第二学期高一数学必修四测试题测试范围：第一章三角函数(一)本试卷共4页，20小题,满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题和非选择题答案必须统一填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不按要求作答的答案无效．3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.若点P 在32π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标 A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(-2．()sin 240-的值等于A ．12- B ．3- C ．12 D ．33．如图,在直角坐标系xOy 中,射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ,则点P 的坐标是 A ．(cos θ,sin θ） B ．(－cos θ，sin θ) C ．（sin θ，cos θ）D ．（－sin θ，cos θ）4.已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈,则()f x 是A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D 。

高中数学第一章三角函数单元评估验收新人教A版必修

【金版学案】2016-2017学年高中数学第一章三角函数单元评估验收新人教A 版必修4(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α＝－5，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：因为－2π<－5<－3π2，所以角α在第一象限．答案：A2．角α终边经过点(1，－1)，则cos α＝( ) A ．1 B ．－1 C.22D ．－22解析：角α终边经过点(1，－1)，所以cos α＝ 112＋（－1）2＝22. 答案：C3．已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( ) A.π3 B ．1 C.2π3D ．3 解析：因为弧长l ＝3r －2r ＝r ，所以圆心角α＝l r＝1. 答案：B4．把函数f (x )＝sin 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，则g (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4解析：由题意知g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×12x ＋1＝sin x ＋1.故T ＝2π. 答案：A5．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >b解析：a ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π6＝－tan π6＝－33， b ＝cos 234π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－334π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8π－π4＝－sin π4＝－22，所以b >a >c . 答案：A6．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象的对称轴重合，则φ的值可以是( )A.π4 B.3π4 C.π2 D.π6解析：函数f (x )＝sin(2x ＋θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )＝sin(2x ＋θ－2φ)，若f (x )，g (x )的图象的对称轴重合，则－2φ＝k π(k ∈Z)，即φ＝－k π2(k ∈Z)，当k ＝－1得φ＝π2. 答案：C7．如图是函数y ＝f (x )图象的一部分，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：14T ＝π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，排除A 、C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1代入可排除B.答案：D8．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1解析：由函数是偶函数，排除选项B 、C ，又选项D 中函数没有零点，排除D. 答案：A 9．设f (n )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)等于( )A. 2 B ．－22C ．0D.22 解析：f (n )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π2＋π4的周期T ＝4；且f (1)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝cos 3π4＝－22，f (2)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－22， f (3)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π4＝22，f (4)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝22. 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝－22. 答案：B10．函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫||φ<π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝( ) A.π6 B.π3C.π4D ．－π4解析：由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z)，可得3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，则φ＝k π＋π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以k ＝0，故φ＝π4.答案：C11．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则下列说法中正确的是( ) A ．函数f (x )的周期是π4B ．函数f (x )的图象的一条对称轴方程是x ＝π3C ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6上为减函数D ．函数f (x )是偶函数解析：当x ＝π3时，f (x )＝1，所以x ＝π3是函数图象的一条对称轴．答案：B12．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4且x ≠0的值域为( ) A ．[－1，1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4且x ≠0，所以π2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4且π2－x ≠π2，即π2－x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，当π2－x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2时，y ≥1；当π2－x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4时，y ≤－1，所以函数y 的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．解析：因为点P (tan α，cos α)在第三象限，所以tan α<0，cos α<0，则α是第二象限角．答案：二14．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，则f (x )的值域为________．解析：因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，所以x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，根据函数f (x )的单调性，计算f (0)＝2sin π3＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＝2，所以f (x )∈(3，2]．答案：(3，2]15．(2015·四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2. 所以2sin αcos α－cos 2α＝ 2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 答案：－116．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )有两个零点，即m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实根．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，结合正弦曲线知m ∈[1，2)．答案：[1，2)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求tan α的值；(2)求sin （α＋π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）的值．解：(1)因为0<α<π2，sin α＝45，所以cos α＝35，故tan α＝43.(2)sin （α＋π）－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝ sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝4.18．(本小题满分12分)求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．解：y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝4sin 2x －4sin x －1＝4⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122－2，令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1，所以y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－2(－1≤t ≤1)．所以当t ＝12，即x ＝π6＋2k π或x ＝5π6＋2k π(k ∈Z)时，y min ＝－2；当t ＝－1，即x ＝3π2＋2k π(k ∈Z)时，y max ＝7.19．(本小题满分12分)(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，||φ<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0. 20．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解：(1)因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＋1＝3，即A ＝2，因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T ＝π，所以ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12，因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以α－π6＝π6，故α＝π3.21．(本小题满分12分)已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|ω|<π)的一段图象如图所示．(1)求此函数的解析式；(2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间．解：(1)由图可知，其振幅为A ＝23，由于T2＝6－(－2)＝8，所以周期为T ＝16，所以ω＝2πT ＝2π16＝π8，此时解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ.因为点(2，－23)在函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ的图象上，所以π8×2＋φ＝2k π－π2，所以φ＝2k π－3π4(k ∈Z)．又|φ|<π，所以φ＝－3π4.故所求函数的解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4.(2)由2k π－π2≤π8x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得16k ＋2≤x ≤16k ＋10(k ∈Z)，所以函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4的递增区间是[16k ＋2，16k ＋10](k ∈Z)．当k ＝－1时，有递增区间[－14，－6]，当k ＝0时，有递增区间[2，10]，与定义区间求交集得此函数在(－2π，2π)上的递增区间为(－2π，－6]和[2，2π]． 22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1，即π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z.因此－π<φ<0，所以当k ＝－1时得φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4.由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π＋π8≤x ≤k π＋58π，(k ∈Z) 所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.(3)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4知：令z ＝2x －34π，x ∈[0，π]①列表如下：。