人教A版2019年高中数学必修1导学案：2.1指数函数_含答案
高中数学人教A版必修1全册导学案及答案
高中数学必修1导学案§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.[知识要点]1． 集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉.2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图.4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R .[预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学;（3）不等式217x +>的整数解;（4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与 {}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集（D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素2．下列四个集合中，是空集的是 （）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B= .[归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。
人教A版高中数学必修一全册导学案指数函数(1)
2.2.2指数函数(1)【自学目标】1. 掌握指数函数的概念、图象和性质；2. 能借助于计算机画指数函数的图象；3. 能由指数函数图象归纳出指数函数的性质。
【知识描述】1．指数函数的定义。
【预习自测】例1．下列函数中是指数函数的是 。
⑴2x y =； ⑵x 3y =；⑶x 4y -=； ⑷x )4(y -=； ⑸x x y =； ⑹x e y =； ⑺1x 3y -=； ⑻x )1a 2(y -=（21a >，1a ≠）例2．已知指数函数)x (f y =的图象经过点（1，π），求下列各个函数值：⑴)0(f ； ⑵)1(f ； ⑶)(f π。
例3．比较大小：⑴5.27.1和37.1； ⑵1.08.0-与2.025.1； ⑶3.07.1与1.39.0。
例4．作出下列函数的图象，并说明它们之间的关系：⑴x 3y =； ⑵1x 3y -=； ⑶1x 3y +=。
【课堂练习】1．在下列六个函数中： ①x a y 2=；②2+=x a y ；③3+=x a y ；④x a y =；⑤x a y )(-=；⑥x ay )1(=。
若0a >，且1a ≠，则其中是指数函数的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．函数323+=-x y 恒过定点 。
3．函数x ay )1(=和)1,0(≠>=a a a y x 的图象关于 对称。
4．已知函数x a y =（0a >，1a ≠）在[0，1]上的最大和最小值之和是3，求实数a 的值。
5．设4323)5.0(2--≤x x ，求x 的取值范围。
【归纳反思】1．要根据指数函数的图象特征来熟记和研究指数函数的性质，并根据需要，对底数a 分两种情况加以讨论，体会其中的数形结合和分类讨论思想；2．注意图象的的平移变换的方法和规律，并能正确地运用这一方法和规律解有关函数图象的问题，加深对指数函数的图象和性质的认识和理解。
【巩固提高】1．若集合}R x ,2y |y {A x ∈==，}R x ,x y |y {B 2∈==，则 （ ） A ．A B B ．B A ⊆ C ．B A D ．B A = 2．已知1b ,1a 0-<<<，则函数b a y x +=的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．图中曲线4321,,,C C C C 分别是指数函数x x x x d y c y b y a y ====,,,的图象，则d c b a ,,,与1的大小关系是（ ） A ．d c b a <<<<1 B ．c d b a <<<<1 C ．d c a b <<<<1 D ．c d a b <<<<14．已知0a >，且1a ≠，1a a 3a M ++=，1a a 2a N ++=，则（ ）A ．N M >B ．N M =C ．N M <D ．M 、N 大小关系不确定 5．函数xy -=)41(的值域是 ；6．若指数函数x a y )1(2-=在R 上是减函数，则a 的取值范围是 。
人教A版高中数学必修一全册导学案指数与指数幂的运算(1)
§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 了解根式的概念及表示方法；3. 理解根式的运算性质.4850复习1：正方形面积公式为 ；正方体的体积公式为 .复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的 ，记作 ；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 ，记作 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：指数函数模型应用背景探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，求对折后的面积与厚度？问题1：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x 年后GDP 为2000年的多少倍？问题2：生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14关系为57301()2t P . 探究该式意义？小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.探究任务二：根式的概念及运算考察： 2(2)4±=，那么2±就叫4的 ；3327=，那么3就叫27的 ；4(3)81±=，那么3±就叫做81的 .依此类推，若n x a =,，那么x 叫做a 的 .新知：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根 ( n th root )，其中1n >,n *∈N .例如：328=2=.反思：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？3=3=-, 记：x =当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？例如：81的4次方根就是 ，记：.强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是00=.试试：4b a =，则a 的4次方根为 ；3b a =，则a 的3次方根为 .新知根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）.试试：计算2.反思：从特殊到一般，n结论：n a =. 当n a =；当n (0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.※ 典型例题例1求下类各式的值：（1） ； （2） ；（3； （4） a b <）.变式：计算或化简下列各式.（1 （2.推广：（a ≥0）.※ 动手试试练1. -.练2. 化简三、总结提升※ 学习小结1. n 次方根，根式的概念；2. 根式运算性质.※ 知识拓展1. 整数指数幂满足不等性质：若0a >，则0n a >.2. 正整数指数幂满足不等性质： ① 若1a >，则1n a >； 01n a <<. 其中n ∈N *.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 的值是（ ）.A. 3B. －3C. ±3D. 812. 625的4次方根是（ ）.A. 5B. －5C. ±5D. 253. 化简2是（ ）.A. b -B. bC. b ±D.1b4. = .5. 计算：3= ；1. 计算：（1 （2）2. 计算34a a -⨯和3(8)a +-，它们之间有什么关系？ 你能得到什么结论？3. 对比()n n n ab a b =与()nn n a a b b=，你能把后者归入前者吗？。
高中数学人教A版必修1学案：2.1指数函数知识导学案及答案
2.1 指数函数知识导学在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x 3=a,那么x 就叫a 的立方根.如此类推,我们便得出了n 次实数方根的定义.当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,直接比较指数即可;当底数和指数不同时,要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析,因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.关于函数的图象和性质,需注意的几个问题:(1)单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x 轴是函数图象的渐近线.当0<a<1时,x →+∞,y →0;当a>1时,x →-∞,y →0.当a>1时,a 的值越大,图象越靠近y 轴,递增速度越快;当0<a<1时,a 的值越小,图象越靠近y 轴,递减的速度越快.(2)熟悉指数函数y=10x ,y=2x ,y=(21)x ,y=(101)x 在同一直角坐标系中的图象的相对位置,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.记忆口诀:(1)方根口诀正数开方要分清,根指奇偶大不同,根指为奇根一个,根指为偶双胞生.负数只有奇次根,算术方根零或正,正数若求偶次根,符号相反值相同.负数开方要慎重,根指为奇才可行,根指为偶无意义,零取方根仍为零.(2)指数函数性质口诀指数增减要看清,抓住底数不放松,反正底数大于0,不等于1已表明;底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减.无论函数增和减,图象都过(0,1)点.疑难导析用语言叙述这三个公式:(1)非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.(2)n 为奇数时,实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身;n 为偶数时,实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.(3)若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变.在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a>0,且a ≠1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.判断一个函数是否是指数函数,关键是看它是否能写成y=a x (a>0,a ≠1)的形式.问题导思指数函数是同学们完全陌生的一类函数,也是一类非常重要的函数,对指数函数的性质的理解和掌握是学习的关键,找出函数的共同特征,把共同的特点和性质归纳和总结出来. 另外,底数a 对图象特征的影响也可这样来叙述:当a>1时,底数越大,函数图象就越靠近y 轴;当0<a<1时,底数越小,函数图象就越靠近y 轴.一定要注意底数a 对函数值变化的影响. 典题导考绿色通道根据第(1)题的思考,在这里把计算中的不同运算形式统一成分数指数幂更方便些. 第(1)题能把式中的数化成3的指数幂的形式来做吗？黑色陷阱做这类带有指数幂和根式的混合运算,容易发生解答过程中的形式混乱,从而影响解题. 典题变式1.计算下列各式(式中字母都是正数): (1)(232a 21b )(-621a 31b )÷(-361a 65b ); (2)(41m 83-n )8. 答案:(1)4a;(2)32nm . 2.已知21a +21-a =3,求a 2+a -2的值. 答案:47.3.已知函数f(x)=a x +a -x (a>0且a ≠1),f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值为_________.答案:12绿色通道比较而言,还是第二种方法更简便些.但对学生的思维要求较高,不仅要求迅速画出略图,而且能对m 、n 的定位进行判断.黑色陷阱如果不注意原题中的条件:1>n>m>0,而取m=2,n=3,将会出现误选B 的情形.典题变式 如图2-1-5,曲线C 1、C 2、C 3、C 4分别是指数函数y=a x 、y=b x 、y=c x 和y=d x 的图象,则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )图2-1-5A.a<b<1<c<dB.a<b<1<d<cC.b<a<1<c<dD.b<a<1<d<c 答案:D绿色通道1.对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性.首先,必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值;其次,必须要明确所给指数函数的底与1的大小关系;再根据指数函数图象的性质来判断.2.对不同底数幂的大小的比较可以与中间值1进行比较.典题变式1.设y 1=40.9,y 2=80.44,y 3=(21)-1.5,则( ) A.y 3>y 1>y 2 B.y 2>y 1>y 3 C.y 1>y 2>y 3 D.y 1>y 3>y 2答案:D2.当x>0时,函数f(x)=(a 2-1)x 的值总大于1,则实数a 的取值范围是( )A.1<|a|<2B.|a|<1C.|a|>1D.|a|>2 答案:D绿色通道本题实际上是一个平均增长率的问题,求解非常简单,但是该题从科学家富兰克林的介绍入手设置了一个情景.这是一个比较典型的模型,背景也可以更换为增长率问题.典题变式1.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是( )A.增加7.84%B.减少7.84%C.减少9.5%D.不增不减答案:B2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).答案:约经过4年,剩留量是原来的一半.黑色陷阱解这类题容易出现的问题是,对于个体问题生搬硬套公式,从而导致解题失误.典题变式 家用电器(如冰箱)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q 呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q 0e -0.002 5t ,其中Q 0是臭氧的初始量,t 的单位是年.(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加了还是减少了？(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？答案:(1)减少;(2)用计算器完成,大约277年.。
人教A版必修1导学案 必修1 2.1.2指数函数及其性质
必修1高一数学第一章§ 2.1.2 指数函数及其性质一、学习目标1.会判断给定的函数是不是指数函数；2.会画指数函数的图象；会从图象中得出指数函数的性质； 二、学习重点难点学习重点：指数函数的图象和性质；学习难点：从指数函数的图象得出指数函数的性质以及对底数a 的讨论。
三、教学过程：（一）引入课题 1. 阅读课本48页问题1和问题2，回答问题：问题（1）中时间x 与GDP 值中的*1.073(,20)xy x N x =∈≤，问题（2）中的t 和14C -含量()15730573011022tt P t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥==≥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，请问这两个函数有什么共同特征？ 小结：两个关系式中底数都是正数，自变量为指数，即都可用()0,1xy aa a =>≠且表示。
(二)新课教学（Ⅰ）指数函数的概念： ，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．注：（1）规定0,1a a >≠且？（2）函数)10(≠>=a a a y x 且中，x a 前面的系数为1. 变式训练1：指出下列哪些是指数函数？（ ）（1）x y 4=；（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）x y )4(-=；（5）x y π=；（6）24x y =；（7）xx y =；（8）)121()12(≠>-=a a a y x 且. （Ⅱ）指数函数的图象和性质研究：1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：（2x y =，x )21(y =；3xy =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,x 5y =2．从画出的图象中你能发现函数x2y =的图象和函数x )21(y =的图象有什么关系？可否利用x 2y =的图象画出x )21(y =的图象？3．从画出的图象（x 2y =、x 3y =和x5y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？例1：已知指数函数的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.变式训练:若指数函数的图象经过点()3,27，则a 的值为例2:比较下列各题中两个值的大小：（1）5.27.1，37.1； （2）1.08.0-，2.08.0-； （3）3.07.1，1.39.0.变式训练：比较下列各题中两个值的大小：（1）0.60.522，； （2）2 1.50.90.9--，； （3）0.5 2.12.10.5，例3：求下列函数的定义域、值域：⑴114.0-=x y ⑵153-=x y ⑶12+=xy解（1）由x-1≠0得x ≠1, 所以，所求函数定义域为{x|x ≠1}由 ，得y ≠1,所以，所求函数值域为{y|y>0且y ≠1}说明：对于值域的求解，可以令11t x =-，考察指数函数y=t 4.0,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理。
2019-2020学年数学高中人教A版必修1学案：2.1.2.1 指数函数及其性质
第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数2.1.2 指数函数及其性质(第一课时)学习目标①通过实际问题了解指数函数的实际背景;②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质; ③体会从具体到一般的数学讨论方式及数形结合的思想.合作学习一、设计问题,创设情境情境1:我们来考虑一个与医学有关的例子:大家对“水痘”应该并不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时间里病原体在机体内不断地繁殖,病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一种.我们来看一种球菌的分裂过程:某种球菌分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,…一个这样的球菌分裂x 次后,得到的球菌的个数y 与x 的关系式是y=2x .情景2:某种机器设备每年按6%的折旧率折旧,设机器的原来价值为1,经过x 年后,机器的价值为原来的y 倍,则y 与x 的关系为y=0.94x .问题1:你能从上面的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗? 共同点: ; 不同点: .二、自主探索,尝试解决 指数函数的概念:一般地,函数y=a x (a>0,且a ≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 问题2:为什么指数函数对底数有“a>0,且a ≠1”的要求呢?三、信息交流,揭示规律问题3:你能类比以前研究函数性质的思路,提出研究指数函数性质的方法和内容吗? 研究方法: .研究内容:定义域、值域、 、 、 . 问题4:如何来画指数函数的图象呢?画函数图象通常采用: 、 、 .有时,也可以利用函数的有关性质画图.问题5:画出指数函数y=2x ,y=(12)x 的图象并观察图象有什么特征?问题6:函数y=2x 与y=(12)x 的图象有什么关系?能否由y=2x 的图象得到y=(12)x 的图象?问题7:选取底数a的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图象.观察图象,能否发现它们有类似于问题5与问题6中的性质?问题8:通过你们画的图象以及老师的演示,你们能发现怎样的规律呢?问题9:从特殊到一般,指数函数y=a x(a>1)有哪些性质?并类比得出y=a x(0<a<1)的性质.指数函数y=a xa>1 0<a<1强调:利用函数图象研究函数性质是一种直观而形象的方法,记忆指数函数性质时可以联想它的图象,记住性质的关键在于要脑中有图.四、运用规律,解决问题【例1】已知指数函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的图象经过点(3,π),求f(0),f(1),f(-3)的值.【例2】指出下列函数哪些是指数函数.(1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=πx;(6)y=4x2;,且a≠1).(7)y=x x;(8)y=(2a-1)x(a>12五、变式演练,深化提高1.若函数y=(a2-3a+3)·a x是指数函数,则a=.2.函数f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,则a的取值范围是()A.|a|>1B.|a|<2C.a<√2D.1<|a|<√23.函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)对于任意的实数x,y都有()A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)4.函数f(x)=a x与g(x)=ax-a的图象大致是()5.若a>1,-1<b<0,则函数y=a x+b的图象一定在()A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限6.函数y=a|x|(a>1)的图象是()六、反思小结,观点提炼本节课的目的是掌握指数函数的概念、图象和性质.在理解指数函数的定义的基础上,掌握指数函数的图象和性质是本节课的重点.1.知识点:、和.2.研究步骤:定义→图象→性质→应用.3.思想方法:、.七、作业精选,巩固提高1.课本P59习题2.1A组第6,9题;2.课本P60习题2.1B组第3题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:共同点:变量x与y构成函数关系式,是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数不同点:底数的取值不同二、自主探索,尝试解决问题2:若a=0,当x>0时,a x恒等于0,没有研究价值;当x≤0时,a x无意义;若a<0,例如当a=-2,x=1时,√-2无意义,没有研究价值;2若a=1,则1x=1,a x是一个常量,也没有研究的必要.所以规定a>0且a ≠1. 三、信息交流,揭示规律问题3:研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质 研究内容:图象 单调性 奇偶性 问题4:列表 描点 连线问题5:函数y=2x 的图象位于x 轴的上方,向左无限接近 x 轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是上升的,与y 轴交于(0,1)点.函数y=(12)x 的图象位于x 轴的上方,向右无限接近x 轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是下降的,与y 轴交于(0,1)点.问题6:y=2x 与y=(12)x 的图象关于y 轴对称.实质是y=2x 上的点(-x ,y )与y=(12)x 上的点(x ,y )关于y 轴对称.所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象.问题7:分别取a=3,13,4,14,即在同一平面直角坐标系内作出指数函数y=3x ,y=(13)x ,y=4x ,y=(14)x 的图象.可用多媒体画出y=3x ,y=(13)x ,y=4x ,y=(14)x 的图象如下:问题8:底数分a>1和0<a<1两种情况. 问题9:R (0,+∞) (0,1) R R 四、运用规律,解决问题【例1】解:因为f (x )=a x 的图象经过点(3,π),所以f (3)=π, 即a 3=π,解得a=π13,于是f (x )=πx3. 所以,f (0)=π0=1,f (1)=π13=√π3,f (-3)=π-1=1π.【例2】解:(1)(5)(8)为指数函数;(2)是幂函数(后面2.3节中将会学习); (3)是-1与指数函数4x 的乘积; (4)底数-4<0,故不是指数函数;(6)指数不是自变量x ,而底数是x 的函数; (7)底数x 不是常数.除(1)(5)(8)外,其他都不符合指数函数的定义. 五、变式演练,深化提高1.22.D3.C4.D5.B6.B六、反思小结,观点提炼1.知识点:指数函数的概念图象性质3.思想方法:数形结合分类讨论。
高中数学人教版A版必修一课时作业及解析：第二章2-1指数函数
∴原式＝－－24x1－≤2x<3 －3<x<1 .
12．解
1
1
1
原式＝
a3
2
a 8b
1
2
a3
2b3
1
1
×a3
4b3 2a3 a 3
a3
13．解 ∵x－ xy－2y＝0，x>0，y>0， ∴( x)2－ xy－2( y)2＝0， ∴( x＋ y)( x－2 y)＝0， 由 x>0，y>0 得 x＋ y>0， ∴ x－2 y＝0，∴x＝4y， ∴y2＋x－2 xxyy＝8yy＋－42yy＝65.
6
1
－32>0， 33
<0，C
选项错．故选
D.]
6．B [①中，当 a<0 时，
a2
3 2
a2
1 2
3
＝(－a)3＝－a3，
∴①不正确；
②中，若 a＝－2，n＝3，
则3 －23＝－2≠|－2|，∴②不正确；
x－2≥0， ③中，有3x－7≠0，
即 x≥2 且 x≠73，
故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)，∴③不正确； ④中，∵100a＝5,10b＝2， ∴102a＝5,10b＝2,102a×10b＝10，即 102a＋b＝10.
1 2
3
xy
1 2
·(xy)－1
12
＝ x3 ·y 3
1
x6
y
1 6
x
1 2
y
1 2
＝x1 3·x1 31， ＝－1，x<0
x>0
.
(2)原式＝ 1 ＋ 1 ＋ 2＋1－22 22
＝2 2－3.
人教A版高中数学必修一学新导学案指数函数及其性质,(1)
§2.1.2 指数函数及其性质（1）1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.5457复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？（1）0a = ；（2）n a -= ；（3）m n a = ；m na -= .其中*0,,,1a m n N n >∈>复习2：有理指数幂的运算性质. （1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念实例：A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？ 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？新知：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .反思：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？试试：举出几个生活中有关指数模型的例子？探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？回顾：研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1()2x y =， 2x y =讨论：（1）函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1()2x y =的图象？（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或13后呢？※ 典型例题例1函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象过点(2,)π，求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值.小结：①确定指数函数重要要素是 ；② 待定系数法.例2比较下列各组中两个值的大小：（1）0.60.52,2； （2）2 1.50.9,0.9-- ；（3）0.5 2.12.1,0.5 ； （4）1.小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数.※ 动手试试练1. 已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：（1）22()()33m n >； （2） 1.1 1.1m n <.练2. 比较大小：（1）0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===；（2）01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.三、总结提升※ 学习小结①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法.※知识拓展因为(01)x y a a a =>≠，且的定义域是R ， 所以()(01)f x y a a a =>≠，且的定义域与()f x 的定义域相同. 而()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的定义域，由()y t ϕ=的定义域确定.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为（ ）.A. 1B. 2C. 1或2D. 任意值2. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（ ）.A. (0,1)B. (0,2)C. (2,1)D. (2,2)3. 指数函数①()x f x m =，②()x g x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（ ）.4. 比较大小：23( 2.5)- 45( 2.5)-.5.函数y =的定义域为 .1. 求函数y =1151xx --的定义域.2. 探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？。
人教新课标版数学高一A版必修1 2.1指数函数 教案
模式与方法
启发式
教学目的
1.使学生理解指数函数的含义；
2.并能正确作出其图象，探索并理解指数函数的性质。
重点
指数函数的概念、图象、性质
难点
指数函数的图象、性质
教学内容
师生活动及时间分配
1.引入课题
1.指数函数定义：
一般地，函数叫做指数函数，其中x是，函数定义域是，值域是。
引导学生学会分类讨论的思想
学生通过自学，完成学习目标.
师引导学生思考
练习讲解，增强记忆.
（由学生完成，师生共同分析讲评）
归纳、提升、补充，便于学生理解.
①1.72.5，1.73；
②0.8－0.1，0.8－0.Leabharlann ；③1.70.3，0.93.1
二、【举一反三、能力拓展】
1、已知指数函数 （ ＞0且 ≠1）的图象过点（3，π），求
分析：要求 再把0，1，3分别代入 ，即可求得
作业：求函数y＝（ ） 的单调区间，并证明。
教师引导学生总结
函数y=ax的图象的两域三性
2.研究指数函数y=ax的图象与性质：
a>1
0<a<1
图像
性质
(1)定义域：
（2）值域：
（3）图像过定点：
单调性：
单调性：
1．判断下列函数是否为指数函数：
① ②
③ （ 且 ）
④ ⑤
⑥ ⑦
⑧ ．
2.若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是___________
3.解不等式：
4.比较下列各题中两个值的大小：
高中数学人教A版必修1《指数函数及其性质》导学案
指数函数及其性质学案一、高考目标：1、了解指数函数模型的实际背景.2、理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.3、知道指数函数是类重要的函数模型.二、知识再现：1、指数函数的定义：一般地，函数_____________叫做指数函数，其中____是自变量，定义域为________.2、指数函数()1,0≠>=a a a y x且的图像与性质如下表所示：图象 1>a 10<<a定义域值域过定点 单调性奇偶性 函数值的变化情况 x>0时， x<0时，x>0时，x<0时， 三、考点例析：例1的变式训练 见PPT例2的变式训练函数1)a 0(a 41-≠>+=且x a y 的图像恒过定点P ，则定点P 的坐标是（ ）A. (1,5)B.(1,4)C. (0,4)D.(4,0)例3的变式训练求下列函数的定义域、值域例4的变式训练1261012x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭求函数 的单调区间和值域。
四、课后练习： 必做题1、如右图中的曲线分别是函数xx x x d y c y b y a y ====,,,的图象，则d c b a ,,,与1的大小关系是（ ） d c b a A <<<<1.c d b a B <<<<1.d c a b C <<<<1.c d a b D <<<<1.2、下列四个命题中，是真命题的是（ ）12.+=x y A 和22ky =都是指数函数 .B 指数函数x a y =的最小值是0 .C 对任意的R x ∈，都有x x 23> .D 函数x a y =与x a y -=的图象关于y 轴对称3、若,01,1<<->b a 则函数b a y x+=的图象一定经过第（ ）象限 .A 一、二、三 .B 一、二、四 .C 二、三、四 D .一、二、四4、函数)1(>=a a y x的图象是（ ）A B C D5、函数x a x f )23()(-=在),(+∞-∞上是减函数，则a 的取值范围是 。
高中数学人教A版必修学案指数函数互动课堂学案(含答案)
1
(2)因为 y=( ) |x|中的|x|≥0,所以 x∈R,0<y≤1.所以所求函数的定义域为 R,值域为{y|0<y
3
≤1}.
(3)将已知函数整理成 y=4 x+2 x+1+1=(2 x) 2+2(2 x)+1=(2 x+1) 2.由此可知定义域为 R,值域
为{y| y>1}.
4
1
1
1
(4)已知函数可化为 y=2 x1 ,由
42
【探究】
1
通过代换 u=( ) x,则 y 就成了关于 u 的二次函数.
2
1
13
令 u=( ) x,则 y=u 2-u+1=(u- ) 2+ .
2
24
1
1
∵x∈［-3,2］,∴ ≤u=( ) x≤8.
4
2
5
3
∴ ≤y≤57.
4
3
∴值域为［ ,57］.再求单调区间.
4
1
111 1
1
13
(1) ≤u≤ ,即 ≤( )x≤ ,故 x∈［1,2］时,u=( ) x 是单调减函数,y=(u- ) 2+
不相同,则首先考虑能否化成同底数,然后根据指数函数的性质得出结果;不能化成同底数的, 要考虑引进第三个数(如 0,1 等)分别与之比较,从而得出结果.总之比较时要尽量转化成同底
的形式,根据指数函数的单调性进行判断. ●案例 2 求下列函数的定义域与值域:
1
(1)y=2 x3 ;
1
(2)y=( ) |x|;
0.7,(
2
)
1 3
的大小关系？
3
【探究】
高中数学人教A版必修1高中数学必修一2.1.2《指数函数及其性质》导学案
优质资料---欢迎下载指数函数及其性质（导学案）一、学习目标1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系2. 理解指数函数的概念和意义3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（重点单调性）教学重点：指数函数的概念的产生过程教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般地探索概括指数函数性质过程与方法：理解指数函数，能利用指数函数图像和性质比较两个值的大小，利用指数函数的图象，清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想.情感态度与价值观：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型二、教学过程：（一）引入1、单位长为1的木棍，每次截取一半，截取x次后，得到的木棍长度y与次数x之间的函数关系是。
2、某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，······如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与分裂次数x的函数关系是。
思考：上面两个函数关系式有什么共同特征？（二）指数函数的定义：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（说明：a是底数，自变量x在幂指数的位置且是单个x）探究1：为什么要规定a>0,且a≠1呢？①若a<0，②若a=0③若a=1为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1在规定以后，对于任何x∈R，xa都有意义，且x a>0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).探究2：函数x a y ⋅=2，1+=x a y ,1+=x a y 是指数函数吗？ (1)指数函数的解析式y=x a 中，x a 的系数是 (2)自变量x 必须在（三）尝试练习（你一定能完成好！） 1.判断下列函数哪些是指数函数xx xxx x x x x y y a a a y x y y y y y x y y 224)10(2)9();121()12()8(;)7(;4)6(;)5(;)4()4(;4)3(;)2(;4)1(2ππ==≠>-====-=-===且2.若函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值例题示范：已知指数函数()x f x a =（a>0且1a ≠）的图象经过点（3,π）求(0)f ，(1)f ，(3)f -的值（四）指数函数x y a =（a>0且1a ≠）的图象和性质1. 用列表法在坐标系中分别作出函数y=x2，y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛21的图象.y= x2 y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛212、指数函数x y a=（a>0且1a ≠）的图象和性质：1a >01a <<图 象定义域值域定点 单调性函数值的范围3、达标练习：指数函数单调性应用（相信你有能力完成好！）当x ＞0时， y当x ＜0时， y当x ＞0时， y当x ＜0时， y1.（P 56例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与1.73 （2）0.10.8-与0.20.8-（3）1.70.3 与0.93.1 43)5.0(2)4(-与的取值范围求已知x a a a x x ),1(.275>>+-的取值范围求且：已知变式x a a a a x x),10(175≠>>+-的取值范围为常数，求其中已知变式x a a a a a x x 7252)2()2(.2+-++>++思考题：讨论函数的单调性xx y 22)31(-=（六）总结：（自我总结，你一定会有很大的提高）本节课收获了哪些?（七）作业：P59习题2.1 A组第5、7、8题课后记：。
人教A版高中数学高一必修1教案 2.1.2(1)指数函数
2.1.1（1）指数函数（教学设计）教学目标1. 理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用.2. 通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.3. 通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣.教学重点和难点重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质.难点是认识底数对函数值影响的认识.教学过程一、复习回顾，新课引入问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂次后,得到的细胞分裂的个数与之间,构成一个函数关系,能写出与之间的函数关系式吗?由学生回答: 与之间的关系式,可以表示为.问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了次后绳子剩余的长度为米,试写出与之间的函数关系.由学生回答: .在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数.二、师生互动，新课讲解：1.定义:形如的函数称为指数函数.2.几点说明(1) 关于对的规定:教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有困难,可将问题分解为若会有什么问题?如,此时, 等在实数范围内相应的函数值不存在.若x a对于都无意义,若则无论取何值,它总是1,对它没有研究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定且.(2)关于指数函数的定义域教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实当指数为无理数时, 也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为 .扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值.(3)关于是否是指数函数的判断学生课堂练习1：根据指数函数的定义判断下面函数是否是指数函数. (1), (2), (3)(4), (5).解：指出只有(1)和(3)是指数函数,其中(3)可以写成 ,也是指数图象.最后提醒学生指数函数的定义是形式定义,就必须在形式上一摸一样才行,然后把问题引向深入,有了定义域和初步研究的函数的性质,此时研究的关键在于画出它的图象,再细致归纳性质.3.归纳性质（1）在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛21的图象.列表如下：x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 … y=x2… 0.130.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 … y=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21 … 8 421.410.710.50.250.13…（2）一般地，指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象和性质如下表所示．1a > 01a <<图 象定义域 R值域(0)∞，+性质（1）过定点(0,1)，即0x =时，1y =．（2）在R 上是增函数（2）在R 上是减函数（3）指数函数的图象的特征与性质图象特征函数性质1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +函数图象都过定点（0，1） 1a 0=自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 1a ,0x x >> 1a ,0x x <>在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于11a ,0x x << 1a ,0x x ><图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；例1（课本P56例6）：已知指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象经过点（3，π），求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值．例2（课本P57例7）：比较下列各题中两个值的大小： （1）35.27.1,7.1 （2）2.01.08.0,8.0-- （3）1.70.3，0.93.1解：利用函数单调性 ①5.27.1与37.1的底数是1.7，它们可以看成函数 y=x7.1，当x=1.7和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=x7.1在R 是增函数，而2.5<3，所以，5.27.1<37.1；②1.08.0-与2.08.0-的底数是0.8，它们可以看成函数 y=x8.0，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y=x8.0在R 是减函数，而-0.1>-0.2，所以，1.08.0-<2.08.0-；③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：3.07.1>1；1.39.0<1；3.07.1>1.39.0小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.变式训练2：（1）比较下列各组数的大小 1)与; 2)与; 3)与1 ；4)与解: 在 上是增函数,且< .⑵已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：（1）n m)32()32(>；（2）n m 1.11.1<. 三、课堂小结，巩固反思：1、理解并掌握指数函数的图像与性质。
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.2.1指数函数的概念学案
4.2.1 指数函数概念学习目标：1.通过实际问题了解指数函数的实际背景2.理解指数函数的概念与意义3.理解指数函数增长变化的特点学习过程：[问题探究]问题1：今年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年。
11月23日，国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽。
Ａ，Ｂ两个贫困县，依靠旅游业成功实现了脱贫攻坚，随着旅游人数的不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票．课本111页表格给出了Ａ，Ｂ两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．观察数据，你能有什么发现？显然，从2001年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：１年后，游客人次是2001年的＿＿＿倍；２年后，游客人次是2001年的＿＿＿倍；３年后，游客人次是2001年的＿＿＿倍；……x年后，游客人次是2001年的＿＿＿倍．如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿．这是一个函数，其中指数x是自变量．问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关系式？【探究新知】问: [)[)11.110,+0,+2x x y x y x =∈∞=∈∞ ，；（） ，.这类函数的解析式有何共同特征？ 指数函数的定义：一般地，函数＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做指数函数，其中指数＿＿是自变量，定义域为＿＿.概念辨析：1.判断下列函数是不是指数函数（1）y =3×2x （2）y =(−2)x（3）y =x 3 （4）y =(15)x 2.已知函数f(x)＝(3a +2)5x 是指数函数，则实数a 的值为________．【典例探究】例1 已知指数函数f (x )=a x(a >0且a ≠1),且f (3)=π,求f (0)，f (1)，f (-3)的值.例２ 在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元．试比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况．经过x 年，A 地的游客数y =600+10x ，经过x 年，设B 地的游客数是2001年（278万人次）的y 倍，则y =1.11x设经过x 年，游客给A ，B 两地带来的收入分别为f(x)和g(x). 请给出f(x)和g(x)的解析式.形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．【当堂达标】已知函数y=f(x),x∈R,且f(0)=3,f(1)f(0)=2,f(2)f(1)=2,…,f(x)f(x−1)=2,x∈N∗,求函数y=f(x)的一个解析式。
最新人教A版必修一《2.1.2指数函数及其性质》导学案
最新人教版数学精品教学资料2.1.2 指数函数及其性质【学习目标】1．了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系．2．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点．3．在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．4．熟练掌握指数函数的图象和性质．5．会求指数型函数y ＝ka x (k ∈R ，a ＞0且a ≠1)的定义域、值域，并能判断其单调性．6．理解指数函数的简单应用模型，培养数学应用意识．【自主梳理】1．函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做__________，其中x 是自变量．因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数a ＞0的前提下，x 可以是任意实数，所以指数函数的定义域为______．2．底数为什么不能是负数、零和1?(1)当a ＜0时，如y ＝(－2)x ，当x ＝21，41，…等时，在实数范围内函数值不存在； (2)当a ＝0时，若x ≤0，y ＝0x 无意义；(3)当a ＝1时，y ＝1x＝1是一个常数，没有讨论的必要．3．在指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的表达式中，a x 的系数必须是1，自变量x 在指数的位置上．例如：函数y ＝2x ，y ＝(2)x 是________；但y ＝2·3x ，y ＝2x ＋1等不是指数函数． 答案：1.指数函数R3.指数函数【重点领悟】4．指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象和性质：(1)图象(2)性质5．将函数y＝2x的图象向右平移一个单位即可得到函数____________的图象．6．设f(x)＝a x(a＞0且a≠1)，则有：①f(0)＝______，f(1)＝______；②若x≠0，则__________________；③若x≠1，则__________________；④f(x)取遍所有正数当且仅当：________.7．指数函数增长模型：设原有量为N，年平均增长率为p，则经过时间x年后的总量y＝__________.答案：5．y＝2x－16．①1 a②f(x)＞0且f(x)≠1③f(x)＞0且f(x)≠a④x∈R7.N(1＋p)x y【探究提升】1）．如何判断指数函数？指数函数的定义域是什么？解析：形如y＝x a(a＞0且a≠1)的函数叫指数函数，它是一种形式定义．因为a＞0，x是任意一个实数时，x a是确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.2）．指数函数中，规定底数a大于零且不等于1的理由？解析：①如果a＝0，②如果a＜0，比如y＝()x4-，这里对于x＝41，x＝21，…，在实数范围内函数值不存在．③如果a＝1，比如y＝x a＝1，是一个常量，对他就没有研究必要．为避免上述情况，所以规定a＞0且a≠1.3）．指数函数的图象变化与底数大小的关系是什么？解析：底数越大，函数的图象在y轴右侧部分越远离x轴，此性质可通过x＝1的函数值大小去理解．4）．指数函数y＝x2的函数值域为[1，＋∞)，则x的范围是多少？[0，＋∞)5）．指数函数y＝x2的函数值能否为负值？不能【学法引领】【例1】函数y＝(a－2)2a x是指数函数，则( ) A．a＝1或a＝3B．a＝1C．a＝3D．a＞0且a≠1解析：由指数函数定义知2(2)1,0,1,aa a⎧-=⎨>≠⎩且所以解得a＝3．答案：C【例2】下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．①yx；②y＝2x－1；③y＝π2x⎛⎫⎪⎝⎭；④y＝x x；⑤y＝13x-；⑥y＝13x．解析：答案：③【例3】函数y＝1)x在R上是( )A．增函数B．奇函数C．偶函数D．减函数解析：由于01＜1，所以函数y＝1)x在R上是减函数．因为f(－1)＝1)－1 f(1)1，则f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函数y＝1)x不具有奇偶性．答案：D【例4】如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d 与1的大小关系是( )A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c解析：(方法一)在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x 轴，故有b＜a．在③④中底数大于1，底数越大，图象越靠近y轴，故有d＜c．故选B．(方法二)设x＝1与①②③④的图象分别交于点A，B，C，D，如图，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得c＞d＞1＞a＞b．故选B．答案：B析规律底数的变化对函数图象的影响当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于x轴，简称x＞0时，底大图象高．【例5】某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式．分析：在此增长模型中，基数是360，人口的平均增长率为1.2%，粮食总产量的平均增长率为4%，由此可列出1,2,3，…年后的人均一年占有量，观察得到所求的函数解析式．解：设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M kg．1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%) kg，人口数量为M(1＋1.2%)，则人均一年占有粮食为360(14%)(1 1.2%)MM++kg，2年后，人均一年占有粮食为22360(14%)(1 1.2%)MM++kg，……x年后，人均一年占有粮食为y＝360(14%)(1 1.2%)xxMM++kg，即所求函数解析式为1.043601.012xy⎛⎫= ⎪⎝⎭(x∈N*)．点技巧指数增长模型的计算公式在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示．这是非常有用的函数模型．【巩固训练】1．函数f(x)＝1－2x的定义域是( )A．(－∞，0) B．[0，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，＋∞)解析：由1－2x≥0，得2x≤1，由指数函数y＝2x的性质可知x≤0.答案：C2．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，……每天分裂一次，现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器的一半时需要的天数是( )A．5天B．6天C．8天D．9天答案：D3．若0＜a＜1，b＜－2，则函数y＝a x＋b的图象一定不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A3．函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有( )A．f(xy)＝f(x)f(y)B．f(xy)＝f(x)＋f(y)C．f(x＋y)＝f(x)f(y)D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)解析：f(x＋y)＝a x＋y＝a x a y＝f(x)f(y)．故选C.答案：C4．将函数y＝2x的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数__________的图象．答案：y＝2x－1＋25．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2x 在区间[－1, 1]上的最大值为________．解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2x 在区间[－1,1]上是单调减函数，∴当x ＝－1时，有最大值为52. 答案：52【知识网络】1.根式的定义：n a 叫做根式 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.根式的性质：（1）当n 为奇数时，a a a n n n n ==)(，（R a ∈）；（2）当n 为偶数时，||a a n n =，（R a ∈）； a a n n =)(，（0≥a ）.注意：当n 为偶数时，n a 包含两个隐含条件①0≥a ；②0≥n a .3.根式与指数幂的转化：(1)分数指数幂：n m n m a a=； (2)0指数幂：10=a ，)0(≠a ；(3)负指数幂：nn a a 1=-，)0(≠a . 4.幂运算法则： （1）s r s r aa a +=⋅，s r s r a a a -=÷； （2）sr s r a a ⋅=)(，s r s r a a =； （3）r rr ba b a =)(. 【学习反思】1．熟记整数幂的运算性质．2．理解n 次方根与根式的概念．3．掌握根式运算性质．进行指数幂的运算时，一般将指数化为正指数，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.。
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2.1 指数函数
知识导学
在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们
在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x 3=a,那么x 就叫a 的立方根.如此类推,我
们便得出了n 次实数方根的定义.
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.
比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,直接比较指数即可;当底数和指数不同时,要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.
指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析,因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.关于函数的图象和性质,需注意的几个问题:
(1)单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x 轴是函数图象的渐近线.
当0<a<1时,x →+∞,y →0;当a>1时,x →-∞,y →0.
当a>1时,a 的值越大,图象越靠近y 轴,递增速度越快;当0<a<1时,a 的值越小,图象越靠近y 轴,递减的速度越快.
(2)熟悉指数函数y=10x ,y=2x ,y=(21)x ,y=(10
1)x 在同一直角坐标系中的图象的相对位置,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.
记忆口诀:
(1)方根口诀
正数开方要分清,根指奇偶大不同,
根指为奇根一个,根指为偶双胞生.
负数只有奇次根,算术方根零或正,
正数若求偶次根,符号相反值相同.
负数开方要慎重,根指为奇才可行,
根指为偶无意义,零取方根仍为零.
(2)指数函数性质口诀
指数增减要看清,抓住底数不放松,
反正底数大于0,不等于1已表明;
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减.
无论函数增和减,图象都过(0,1)点.
疑难导析
用语言叙述这三个公式:
(1)非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.
(2)n 为奇数时,实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身;n 为偶数时,实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.
(3)若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变.
在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a>0,且a ≠1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.
判断一个函数是否是指数函数,关键是看它是否能写成y=a x (a>0,a ≠1)的形式.
问题导思
指数函数是同学们完全陌生的一类函数,也是一类非常重要的函数,对指数函数的性质的理解和掌握是学习的关键,找出函数的共同特征,把共同的特点和性质归纳和总结出来. 另外,底数a 对图象特征的影响也可这样来叙述:当a>1时,底数越大,函数图象就越靠近y 轴;当0<a<1时,底数越小,函数图象就越靠近y 轴.一定要注意底数a 对函数值变化的影响. 典题导考
绿色通道
根据第(1)题的思考,在这里把计算中的不同运算形式统一成分数指数幂更方便些. 第(1)题能把式中的数化成3的指数幂的形式来做吗？
黑色陷阱
做这类带有指数幂和根式的混合运算,容易发生解答过程中的形式混乱,从而影响解题. 典题变式
1.计算下列各式(式中字母都是正数): (1)(232a 21b )(-621a 31b )÷(-361a 65b ); (2)(41m 83
-n )8
. 答案:(1)4a;(2)32
n
m . 2.已知21
a +21
-a =3,求a 2+a -2
的值. 答案:47.
3.已知函数f(x)=a x +a -x (a>0且a ≠1),f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值为_________.
答案:12
绿色通道
比较而言,还是第二种方法更简便些.但对学生的思维要求较高,不仅要求迅速画出略图,而且能对m 、n 的定位进行判断.
黑色陷阱
如果不注意原题中的条件:1>n>m>0,而取m=2,n=3,将会出现误选B 的情形.
典题变式 如图2-1-5,曲线C 1、C 2、C 3、C 4分别是指数函数y=a x 、y=b x 、y=c x 和y=d x 的图象,
则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )
图2-1-5
A.a<b<1<c<d
B.a<b<1<d<c
C.b<a<1<c<d
D.b<a<1<d<c 答案:D
绿色通道
1.对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性.
首先,必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值;
其次,必须要明确所给指数函数的底与1的大小关系;再根据指数函数图象的性质来判断.
2.对不同底数幂的大小的比较可以与中间值1进行比较.
典题变式
1.设y 1=40.9,y 2=80.44,y 3=(2
1)-1.5,则( ) A.y 3>y 1>y 2 B.y 2>y 1>y 3 C.y 1>y 2>y 3 D.y 1>y 3>y 2
答案:D
2.当x>0时,函数f(x)=(a 2-1)x 的值总大于1,则实数a 的取值范围是( )
A.1<|a|<2
B.|a|<1
C.|a|>1
D.|a|>2 答案:D
绿色通道
本题实际上是一个平均增长率的问题,求解非常简单,但是该题从科学家富兰克林的介绍入手设置了一个情景.这是一个比较典型的模型,背景也可以更换为增长率问题.
典题变式
1.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是( )
A.增加7.84%
B.减少7.84%
C.减少9.5%
D.不增不减
答案:B
2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).
答案:约经过4年,剩留量是原来的一半.
黑色陷阱
解这类题容易出现的问题是,对于个体问题生搬硬套公式,从而导致解题失误.
典题变式 家用电器(如冰箱)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q 呈
指数函数型变化,满足关系式Q=Q 0e -0.002 5t ,其中Q 0是臭氧的初始量,t 的单位是年.
(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加了还是减少了？
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？
答案:(1)减少;(2)用计算器完成,大约277年.。