高中数学第六章推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.2类比课件湘教版选修2_2
高中数学第6章推理与证明6.3数学归纳法(2)课堂讲义配
答 与正整数n有关的命题
[预习导引]
1．归纳法的含义由特殊到一般
完全归纳法
归纳法是一种
的推理方法，分
和
不完全归纳法 两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，
必须用数学归纳法进行严格证明．
2．数学归纳法
(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与 正整数
规律方法 应用数学归纳法证明整除性问题
时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆
项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬
提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的 项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的 式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，
从而达到利用假设的目的．
跟 踪 演 练 2 用 数 学 归 纳 法 证 明 62n － 1 ＋
6.3 数学归纳法(二)
[学习目标]
1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌 握用数学归纳法证明等式、不等式、整除 问题、几何问题等数学命题．
2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：
提公因式、添项、拆项、合并项、配方 等．
[知识链接]
1．数学归纳法的两个步骤有何关系？ 答 使用数学归纳法时，两个步骤缺一不 可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推 的依据．
1(n∈N*)能被7整除． 证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整
除．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1
能被7整除．
那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋
1
＝36(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
高中数学第六章推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.3演绎推理6.1.4合情推理与演绎推理的关系课件湘教版选
解 (1)所有的金属都能导电——大前提(一般原理) 铀是金属——小前提(特殊情况) 所以铀能够导电——结论(对特殊情况的判断)． (2)一切奇数都不能被2整除——大前提． (2100＋1)是奇数——小前提． 所以(2100＋1)不能被2整除——结论． (3)大前提：三角函数都是周期函数， 小前提：y＝tan α是三角函数， 结论：y＝tan α是周期函数．
2．若a，b是正实数，且a≠b，试比较aabb与abba的大小． 解 根据同底数幂的运算法则，可考虑用比值比较法， aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b. 当a>b>0时，ab>1，a－b>0，则aba－b>1， 于是aabb>abba； 当b>a>0时，0<ab<1，a－b<0，则aba－b>1， 于是aabb>abba. 综上所述，对于不相等的正数a，b都有aabb>abba.
点评 用三段论写推理过程中，关键是明确大前提、小前 提，有些推理有时省略了大前提，寻找大前提时，可找一个 使结论成立的充分条件作为大前提．
1．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”写成三段论的 形式． 解 二次函数的图象是一条抛物线，(大前提) 函数y＝x2＋x＋1是二次函数，(小前提) 所以，y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线．(结论)
[正解] 推理形式是正确的，但小前提是错误的．因为若三 点共线可确定无数平面，只有不共线的三点可满足．推理的 结论不正确． 纠错心得 判断一个三段论推理是否正确，要从大前提、小 前提、推理形式三个方面去考虑，只要有一个方面错误，结 论就可能是错误的.
6．1.3 演绎推理
6．1.4 合情推理与演绎推理的关系
【课标要求】 1．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式． 2．并能运用演绎推理进行一些简单推理． 3．掌握合情推理和演绎推理的联系和差异． 4．了解合情推理和演绎推理在数学发现中的作用．
高中数学 第6章 推理与证明 6.1 合情推理和演绎推理 6.1.1 归纳课堂讲义配套课件 湘教版选修2-2
解析 由已知的两个特殊等式可归纳得出： f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝0，证明如下： f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝12(ex＋e－x)·12(ey－e－y)＋12(ex－e－x)·12 (ey＋e－y)－12(ex＋y－e－x－y)＝ ex＋y－ex－y＋e－x＋y－e－x＋y＋4 ex＋y＋ex－y－e－x＋y－e－x＋y－ ex＋y－2e－x＋y＝2ex＋y－42e－x＋y－ex＋y－2e－x＋y＝0.
即 an－a1n＝－(an－1＋an1－1)． 所以 a2－a12＝－2，又因为 a2＞0，所以 a2＝ 2－1. a3－a13＝－2 2，又因为 a3＞0，所以 a3＝ 3－ 2. a4－a14＝－2 3，又因为 a4＞0，所以 a4＝2－ 3. 将上面 4 个式子写成统一的形式：a1＝ 1－ 0， a2＝ 2－ 1，a3＝ 3－ 2，a4＝ 4－ 3， 由此可以归纳出：an＝ n－ n－1(n∈N＋)．
当n＝4时，f(4)＝17＝42＋1；
当n＝5时，f(5)＝26＝52＋1；
归纳猜想：f(n)＝n2＋1(n≥2)．
证明如下 设n条抛物线将平面分成f(n)个部分；有 (n＋1)条抛物线时，由于第n＋1条抛物线与前n条 物线共有2n个交点，这2n个交点将第n＋1条抛物线 共分成2n＋1段，而每一段都把原来所在的部分分 了两部分，从而增加了2n＋1个部分，所以f(n＋1) ＝f(n)＋2n＋1(n≥2)． ∴f(3)＝f(2)＋5； f(4)＝f(3)＋7； f(5)＝f(4)＋9；
再见
编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花
高中数学第6章推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.2
S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当 前问题的需要，选择适当的类比对象，可以 从几何元素的数目、位置关系、度量等方面 入手．由平面中的相关结论可以类比得到空 间中的相关结论．
(2)平面图形与空间图形类比
跟踪演练 1 若 a1，a2∈(0，＋∞)，则有不等式a21＋2 a22≥(a1＋2 a2)2 成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广． 解 可以从 a1，a2 的个数以及指数上进行推广，第一类型： a21＋a322＋a23≥(a1＋a32＋a3)2， a21＋a22＋4 a23＋a24≥(a1＋a2＋4 a3＋a4)2，…， a21＋a22＋n …＋a2n≥(a1＋a2＋n …＋an)2；
例3 三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单 的封闭图形；四面体是空间中由三角形围 成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线 外一点与这条线段的两个端点的连线所围 成的图形；四面体可以看作是由三角形所 在平面外一点与这个三角形三个顶点的连 线所围成的图形．
要点二 类比推理的应用
例2 如图所示，在△ABC中，射影定理可 表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b， c分别为角A，B，C的对边．类比上述定
理，写出对空间四面体性质的猜想．
解 如右图所示，在四面体P－ABC中， 设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC， △PCA，△ABC的面积，α，β，γ依 次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面 ABC所成二面角的大小．
一般说来，合情推理所获得的结论仅仅是 一种猜想，未必可靠.
高中数学第六章推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.1归纳训练湘教版选修2-2(2021年整理)
2017-2018学年高中数学第六章推理与证明6.1 合情推理和演绎推理6.1.1 归纳分层训练湘教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第六章推理与证明6.1 合情推理和演绎推理6.1.1 归纳分层训练湘教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第六章推理与证明6.1 合情推理和演绎推理6.1.1 归纳分层训练湘教版选修2-2的全部内容。
6．1.1 归纳一、基础达标1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是（) A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A2．由集合{a1｝，｛a1,a2}，｛a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…,a n}的子集个数为（）A．n B．n＋1C．2n D．2n－1答案C解析集合｛a1}的子集有∅，｛a1}共2个；{a1，a2｝的子集有∅，｛a1｝,{a2}，｛a1，a2｝共4个；集合{a1，a2，a3｝的子集共8个，猜测含n个元素的集合的子集有2n个，故选C。
3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于（) 1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111 234×9＋5＝1111112 345×9＋6＝111111A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113答案B解析由数塔运算积的知识易得B。
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案第一章：合情推理概述1.1 推理的定义与分类引导学生理解推理的定义介绍合情推理与演绎推理的区别与联系举例说明合情推理在数学中的应用1.2 合情推理的方法介绍归纳推理、类比推理、归纳猜想等合情推理方法通过具体例子讲解各种合情推理方法的步骤与特点引导学生掌握合情推理的方法并能够运用到实际问题中第二章：演绎推理的基本形式2.1 演绎推理的定义与特点引导学生理解演绎推理的定义与特点强调演绎推理的逻辑严密性与结论的必然性2.2 演绎推理的基本形式介绍演绎推理的三段论形式及其结构引导学生理解假言推理、选言推理等演绎推理的基本形式通过例题讲解各种演绎推理形式的应用与解题步骤第三章：演绎推理的应用3.1 演绎推理在数学证明中的应用引导学生理解演绎推理在数学证明中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在证明题中的应用与步骤3.2 演绎推理在解决实际问题中的应用介绍演绎推理在解决实际问题中的应用范围与方法通过具体例子讲解演绎推理在实际问题解决中的步骤与技巧第四章：合情推理与演绎推理的综合应用4.1 合情推理与演绎推理的综合案例分析提供综合案例，要求学生运用合情推理与演绎推理的方法进行分析与解答引导学生理解合情推理与演绎推理在不同情境下的作用与重要性4.2 合情推理与演绎推理的综合练习提供综合练习题目，要求学生运用合情推理与演绎推理的方法进行解答引导学生通过练习巩固合情推理与演绎推理的知识与技能第五章：推理能力培养5.1 推理能力的培养方法介绍推理能力的培养方法与技巧引导学生掌握推理能力的培养方法并能够运用到实际学习中5.2 推理能力的学习与应用提供推理能力的学习与应用题目，要求学生进行练习与解答引导学生通过练习与应用提高自己的推理能力并能够运用到实际问题中第六章：数学归纳法与合情推理6.1 数学归纳法的概念与步骤介绍数学归纳法的定义与基本步骤通过具体例子讲解数学归纳法的应用与解题技巧6.2 数学归纳法在合情推理中的应用引导学生理解数学归纳法在合情推理中的作用与重要性提供合情推理题目，要求学生运用数学归纳法进行解答与证明第七章：演绎推理与数学证明7.1 演绎推理在数学证明中的作用强调演绎推理在数学证明中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在数学证明中的应用与步骤7.2 演绎推理在证明题中的综合应用提供证明题目，要求学生运用演绎推理的方法进行解答与证明引导学生通过练习巩固演绎推理在数学证明中的知识与技能第八章：逻辑推理与演绎推理8.1 逻辑推理的基本概念介绍逻辑推理的定义与基本概念强调逻辑推理在演绎推理中的重要性8.2 逻辑推理在演绎推理中的应用提供演绎推理题目，要求学生运用逻辑推理的方法进行解答与证明引导学生通过练习与应用提高逻辑推理在演绎推理中的能力第九章：演绎推理与问题解决9.1 演绎推理在问题解决中的作用强调演绎推理在问题解决中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在问题解决中的应用与步骤9.2 演绎推理在实际问题解决中的综合应用提供实际问题题目，要求学生运用演绎推理的方法进行解答与解决引导学生通过练习与应用提高演绎推理在问题解决中的能力第十章：总结与提高10.1 合情推理与演绎推理的总结对本课程的合情推理与演绎推理进行总结与回顾强调合情推理与演绎推理在数学学习与问题解决中的重要性10.2 推理能力的进一步提高提供推理能力提高的练习与题目，要求学生进行解答与实践引导学生通过练习与实践不断提高自己的推理能力，并能够运用到实际学习中。
2022高考数学统考第六章不等式推理与证明第四节合情推理与演绎推理
第四节合情推理与演绎推理授课提示：对应学生用书第112页[基础梳理]1．合情推理类型定义特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．类比推理的几个角度方法解读适合题型类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来解已知熟悉定义类比新定义类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键平面几何与立体几何；等差数列与等比数列类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法类比结构有些是类比等式或不等式形式的推理，可以从结构特点上类比，如两项类比三项，长度类比面积，平方类比立方，面积类比体积，平面类比空间几何问题的结论1．(基础点：归纳推理)已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1答案：C2．(基础点：三段论)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x ＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确答案：A3．(基础点：类比推理)在R t△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝a2＋b22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________．答案：a2＋b2＋c22授课提示：对应学生用书第113页考点一归纳推理挖掘1与数字(数列)有关的推理/自主练透[例1](1)(2020·新乡模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为()A．2 011B．2 012C．2 013 D．2 014[解析]根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a＋7，a ＋8，a＋9，第三层的五个数为a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，这九个数之和为a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.由9a＋104＝2 012，得a＝212，是自然数．[答案] B(2)(2020·湖北襄阳优质高中联考)将三项式(x2＋x＋1)n展开，当n＝0，1，2，3，…时，得到以下等式：(x2＋x＋1)0＝1，(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1，(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1，(x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1，……观察多项式系数之间的关系，可以依照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的，缺少的数记为0)的和，第k行共有(2k＋1)个数，若(x2＋x＋1)5(1＋ax)的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为________．[解析] 根据题意可得广义杨辉三角第5行的数为： 1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，故(1＋ax )(x 2＋x ＋1)5的展开式中，x 7项的系数为30＋45a ＝75，得a ＝1. [答案] 1[破题技法] 与数字有关的等式的归纳推理，观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．挖掘2 与等式(不等式)有关的推理/互动探究[例2] (1)观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．[解析] 因为所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，所以由底数内在规律可知，第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212. [答案] 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 (2)观察下列特殊的不等式： 52－225－2≥2×72，45－3542－32≥52×⎝⎛⎭⎫723， 98－2893－23≥83×⎝⎛⎭⎫1125， 910－51095－55≥2×75， ……由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b sa r －br ≥________．[解析] 52－225－2≥2×72＝21×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋222－1，45－3542－32≥52×⎝⎛⎭⎫723＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋325－2，98－2893－23≥83×⎝⎛⎭⎫1125＝83×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋228－3， 910－51095－55≥2×75＝105×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋5210－5， 由以上特殊不等式，可以猜测，当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b s a r －b r ≥s r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r.[答案]sr⎝⎛⎭⎫a＋b2s－r[破题技法]与式子有关的归纳推理(1)与不等式有关的归纳推理，观察每个不等式的特点，注意从纵向看，找到规律后可解．(2)与数列有关的归纳推理，通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可求解．挖掘3与图形有关的推理/互动探究[例3](1)下图中①②③④为四个平面图形．表中给出了各平面图形中的顶点数、边数以及区域数．平面图形顶点数边数区域数①33 2②812 6③69 5④10157现已知某个平面图形有图形的边数为________．[解析]由表归纳各平面图形的顶点数、边数、区域数的关系如下表：平面图形顶点数边数区域数关系①3323＋2－3＝2②81268＋6－12＝2③6956＋5－9＝2④1015710＋7－15＝2V E F V＋F－E＝2其顶点数V、边数E、区域数F满足关系式V＋F－E＝2，故可猜想此平面图形的边数为1 009＋1 007－2＝2 014.[答案] 2 014(2)如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N＋，则第n个图形的顶点个数是()A．(2n＋1)(2n＋2) B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)[解析]由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n ＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6， 当n ＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7， ……由此可以推断：第n 个图形的顶点个数为(n ＋2)(n ＋3)，故选D. [答案] D[破题技法] 与图形变化有关的归纳推理，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．考点二 类比推理挖掘 类比方法、类比结论、类比运算/ 互动探究[例] (1)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O -ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面△ABC 的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23 B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3[解析] 如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝⎝⎛⎭⎫12OB ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12OC ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23.[答案] A(2)若点P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)外，过点P 0作该椭圆的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.那么对于双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为______________．[解析] 若点P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过点P 0作该双曲线的两条切线，切点分别为P 1，P 2(图略)，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1.[答案] x 0x a 2－y 0yb 2＝1[破题技法] 类比推理是由一类事物的特殊性推另一类事物的特殊性，首先要找出两类事物之间的联系与不同，然后找出“特殊性”是什么内容，定义方面、性质方面、方法方面、运算方面等，从而推导结论．考点三 演绎推理挖掘1 简单的三段论/ 自主练透[例1] (1)(2020·洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数 B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数 C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数 D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 [解析] A 中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A 错误；C ，D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以C ，D 都不正确，只有B 正确． [答案] B (2)(2020·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论．错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误 [解析] 因为当a >1时，y ＝log a x 在定义域内单调递增，当0<a <1时，y ＝log a x 在定义域内单调递减，所以大前提错误．故选A. [答案] A[破题技法] 用演绎推理证明问题时，大前提往往是定义、定理或一些固定结论，小前提为问题的条件，一般大前提可省略，当大前提、小前提及推理正确时，结论就正确． 挖掘2 演绎推理、合情推理的生活应用/自主练透 [例2] (1)(2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm[解析] 设某人身高为m cm ，脖子下端至肚脐的长度为n cm ，则由腿长为105 cm ，可得m －105105＞5－12≈0.618，解得m ＞169.890.由头顶至脖子下端的长度为26 cm ， 可得26n ＞5－12≈0.618，解得n ＜42.071.由已知可得26＋nm －（n ＋26）＝5－12≈0.618，解得m ＜178.218.综上，此人身高m 满足169.890＜m ＜178.218，所以其身高可能为175 cm.故选B.[答案] B (2)(2020·福建泉州一模)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜．该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a ＝cos θ，b ＝sin θ＋cos θ，c ＝cos θ－sin θ当0＜θ＜π4时，我方必胜的排序是( )A ．a ，b ，cB ．b ，c ，aC ．c ，a ，bD ．c ，b ，a[解析] 因为当0＜θ＜π4时，cos θ－sin θ＜cos θ＜sin θ＋cos θ，sin θ＜tan θ＜ 2.由“田忌赛马”事例可得：我方必胜的排序是c ，b ，a ，故选D. [答案] D[破题技法] 生活中的各种推理，是综合运用了各种推理方法与思维，正向思维，逆向思维，理性思维，特值思维等或结合一些数学运算等，培养学生的综合素养．。
高中数学湘教版选修2-2：(课件)第6章 推理与证明
推理与证明
6．1 合情推理和演绎推理 6．1.1 归 纳
学习目标
课前自主学案 6.1.1 课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.了解归纳的含义，能利用归纳进行简单的推理． 2．了解归纳在数学发现中的作用．
课前自主学案
温故夯基 1．学习等差数列时，如何推导其通项公式？ 设等差数列 {an} 的首项为 a1 ，公差为 d ，则有： a1 ＝ a1 ＋ 0 d ， a2 ＝ a1 ＋ d ， a3 ＝ a2 ＋ d ＝ a1 ＋ 2d ， „，an＝a1＋(n－1)d. 2．1,3,5,7,9，„，____________. a n＝ 2 n － 1
归纳在不等式中的应用
对于与正整数 n 有关的指数式与整式的大小 比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、 猜想、证明的方法，解题时对 n 的取值的个 数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大 计算量．对有些复杂的式子的大小比较，往 往通过作差后变形 ( 通分、因式分解等 ) ，变 成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．
自我挑战 2 已知数列 {an}的第 1 项 a1＝ 1，且 an an＋ 1＝ (n＝ 1,2,3，„)，试归纳出这个数列的 1＋an 通项公式． 解：当 n＝1 时，a1＝1， 1 1 当 n＝2 时，a2＝ ＝ ， 1＋1 2 1 2 1 当 n＝3 时，a3＝ ＝ ， 1 3 1＋ 2
归纳在数列中的应用
根据数列前几项的特征，归纳出其通项公式 或求和公式．
已知数列 {an} 满足 a1 ＝ 1 ， an ＋ 1 ＝ 2an ＋ 1(n＝1,2,3„) (1)求a2，a3，a4，a5； (2)归纳猜想通项公式an.
【思路点拨】 由 a1＝ 1求 a2 → 由 a2求 a3 →
2017学年高中数学第6章推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.1归纳课堂讲义配套课件湘教版选修22
证明如下 设 n 条抛物线将平面分成 f(n)个部 分；有 (n ＋ 1) 条抛物线时，由于第 n ＋ 1 条抛 物线与前n条抛物线共有2n个交点，这2n个交 点将第n＋1条抛物线共分成2n＋1段，而每一 段都把原来所在的部分分成了两部分，从而 增加了2n＋1个部分，所以f(n＋1)＝f(n)＋2n ＋1(n≥2)． ∴f(3)＝f(2)＋5； f(4)＝f(3)＋7； f(5)＝f(4)＋9；
y
－y
ex＋y－ex－y＋e－x＋y－e－x＋y＋ex＋y＋ex－y－e－x＋y－e－x＋y － 4 ex＋y－e－x＋y 2ex＋y－2e－x＋y ex＋y－e－x＋y ＝ － ＝0. 2 4 2
要点二 运用归纳推理探索解题思路，能寻 找解题方法 例2 平面上有n(n≥2)条抛物线，其中每两条 都相交于两点，并且每三条都不相交于同 一点，试求这n条抛物线把平面分成多少个 部分？并证明你的结论． 解 当 n ＝ 2 时，即两条相交抛物线把平面 分成5部分，记f(2)＝5＝22＋1； 当n＝3时，f(3)＝10＝32＋1； 当n＝4时，f(4)＝17＝42＋1； 当n＝5时，f(5)＝26＝52＋1； 归纳猜想：f(n)＝n2＋1(n≥2)．
解析
由已知的两个特殊等式可归纳得出：
f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝0，证明如下： 1 x －x 1 y －y 1 x －x 1 f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝ (e ＋e )·(e －e )＋ (e －e )· 2 2 2 2 1 x＋y －x－y (e ＋e )－2(e －e )＝
跟踪演练 2 已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 1 1 Sn＝2(an＋a )，求出 a1，a2，a3，a4，并推测 an. n 1 1 解 a1＝S1＝ (a1＋ )，又因为 a1＞0，所以 a1＝1. 2 a1 1 1 1 1 当 n≥2 时，Sn＝ (an＋ )，Sn－1＝ (an－1＋ )， 2 an 2 an－1 两式相减得： 1 1 1 1 an＝2(an＋a )－2(an－1＋ )， an－1 n
高考数学一轮复习课件6.6合情推理与演绎推理
•(2)类比推理
•①定义：由两类对象具有某类些似特征
____________和其中一类对象的某些已知特
征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
称为类比推理(简称类比)． 特殊
•②特点：类比推理是由特殊到________的
推理．
类比
•(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据
已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，
【解析】 观察每个不等式的特点，可知第n个不等式 为1＋212＋312＋…＋（n＋1 1）2<2nn＋＋11，
故第五个不等式为1＋212＋312＋412＋512＋612<161. 【答案】 1＋212＋312＋412＋512＋612<161
设函数f(x)＝
x x＋2
(x＞0)，且f1(x)＝f(x)＝
x x＋2
，当
n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]，则f3(x)＝________，猜 想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．
•【审题视点】 由fn(x)＝f[fn－1(x)]分别求f2(x)， f3(x)，然后观察f1(x)，f2(x)，f3(x)中等式的分 子与分母，分母中常数项与x的系数相差为1， 且常数项为2n.
•1．(人教A版教材习题改编)已知数列{an}中， a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
•A．3n－1
B．4n－3
•C．n2
D．3n－1
•【解析】 a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16， 猜想an＝n2. •【答案】 C
2．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝(
因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝nnb－－mma，
2020学年高中数学第6章推理与证明6.1.1合情推理(一)——归纳课件湘教版选修2_2
1．给出下列推理： ①由 A，B 为两个不同的定点，动点 P 满足||PA|－|PB||＝2a<|AB|， 得点 P 的轨迹为双曲线； ②由 a1＝1，an＝3n－1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前 n 项和 Sn 的表达式；
③由圆 x2＋y2＝r2 的面积为 πr2，猜想出椭圆xa22＋by22＝1 的面积为 S
A．28
B．76
C．123
D．199
解析：选 C.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从 第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值 的和，照此规律，则 a10＋b10＝123.
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
观察下列不等式： 1＋212<32， 1＋212＋312<53， 1＋212＋312＋412<74， … 照此规律，第五个不等式为________________________．
解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数 的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且每行右端分数的 分子构成等差数列． 所以第五个不等式为 1＋212＋312＋412＋512＋612＜161.
解：由左、右两边各项幂的底数之间的关系： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， 可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2， 即 13＋23＋33＋…＋n3＝n（n2＋1）2.
归纳在几何图形中的应用 如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边 (包括两个端点)有 n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为 an，则 a6＝________，an＝________(n>1，n∈N*)．
解析：观察规律可知，左边为 n 项的积，最小项和最大项依次 为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以 2n，则第 n 个等式 为：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
高中数学 第6章 推理与证明 6.1.2 合情推理(二)——类比课件 湘教版选修2-2
解析：内切圆半径 r―类―比→内切球半径 R， 三角形的周长：a＋b＋c―类―比→三棱锥各面的面积和： S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD， 三角形面积公式系数12 ―类―比→三棱锥体积公式系数13. 所以类比得三棱锥体积 VABCD＝13R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)． 答案：13R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
所以 a1＋a2＋…＋an ＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n. 因为 b15＝1，所以 b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1， 即 b29－nbn＋1＝b28－nbn＋2＝…＝b14b16＝1. 所以有 b1b2…bn＝b1b2…b29－n(n<29，n∈N＋)． 【答案】 b1b2…b29－n(n<29，n∈N＋)．
1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)类比是由特殊到一般的推理．( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( ) 答案：(1)× (2)×
2．下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的 为( ) A．三角形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形
答案：C 3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2，则它们的面 积比为 1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为________． 答案：18
解析：选 C.由类比推理的特点可知．
3．对于命题： 若 O 是线段 AB 上一点，则有|O→B|·O→A＋|O→A|·O→B＝0. 将它类比到平面的情形是： 若 O 是△ABC 内一点，则 S△OBC·O→A＋S△DCA·O→B＋S△OBA·O→C ＝0， 将它类比到空间的情形应该是： 若 O 是四面体 ABCD 内一点，则有_______________________．
6.1 推理与演绎推理概述 课件
(2)形式逻辑从前提与结论之间是否有必然联系的角度,将推理分为必然推理和或然推理。
演绎推理是必然推理
归纳推理(除完全归纳推理外)和类比推理是或然推理。
演绎推理逻辑要义
02
议学环节二从聪明县令巧断案中认识演绎推理
01
02
02
04
【议学情境】聪明县令巧断争子案？
子议题二：结合议学情境，小组合作，分析聪明县令是运用什么方法推断出婴儿是娇娇的？县令断的争子案为什么能够让大家心服口服？
⑴作为推理根据的前提是真实的判断。如果前提虚假，由前提推出的结论就不能保证真实可靠。
⑵推理结构正确。如果推理结构不正确，也就是说，前提和结论的逻辑联系方式是错误的，那么，尽管前提真实，也不能保证推出正确的结论。
1、正确进行演绎推理必备的条件
所有的中学生都是勤奋好学的，
小丽是中学生，
示例
大前提（假）
01
02
02
04
【议学情境】如何找到提前潜伏的杀手？
子议题一：结合议学情境，小组合作，分析如何才找到提前潜伏的杀手？侦探是依据什么得出这样的推理？
1、判断形成的两条途径
通过实践,直接对对象进行观察或调查,然后作出判断;
借助已有的判断,合乎逻辑地推出一个新的判断。(推理)
02
04
①
②
推理的组成要素：前提与结论
结论（不一定真）
小丽是勤奋好学的。
小前提（真）
如果前提虚假，由前提推出的结论就不能保证真实可靠。
放火行为是危害公共安全的行为，
电信诈骗不是放火行为，
以电信诈骗不是危害公共安全的行为。
所有S不是M（真）
如果推理结构不正确，也就是说，前提和结论的逻辑联系方式是错误的，那么，尽管前提真实，也不能保证推出正确的结论。正确演绎推理结构是找不出“反例”的。
高中数学第六章推理与证明章末归纳课件湘教版选修2_2
3．数学归纳法
学习数学归纳法时，首先要明确不完全归纳和完全 归纳的作用、区别与联系．数学归纳法事实上是一 种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的 问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不 成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必 须进行恒等变换．
垂直，锐角对应着侧面与底面所成的二面角．
【例 2】 设 f(x)＝ax＋2a－x，g(x)＝ax－2a－x，其中 a>0 且 a≠1. (1)5＝2＋3，请你来表 示； (2)从(1)中的解能获得什么结论？能否将其推广？
解 (1)由 f(3)g(2)＋g(3)f(2) ＝a3＋2a－3·a2－2a－2＋a3－2a－3·a2＋2a－2＝a5－2a－5， 又 g(5)＝a5－2a－5， 因此 g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
点评 通过此例可看到观察、归纳、猜想、证明的 思想方法．其基本思路是：在探讨某些问题时，可 以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题 的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出合理 的猜想；最后用数学归纳法给出证明．
编后语
有的同学听课时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都 不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
【例 3】 a≥0，b≥0，且 a＋b＝2，则
A．ab≤12 C．a2＋b2≥2
B．ab≥12 D．a2＋b2≤3
( )．
解析 因为 a≥0，b≥0，所以 a＋b≥2 ab.又因为 a＋b＝2，
高中数学第六章推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.1归纳课件湘教版选修2_2
典例剖析
题型一 归纳推理的证明
【例们1】有一直个线交l1与点l2，是如同果一在平这面个内平的面两内条再相画交第直3线条，直它线，
那么这3条直线最多可能有________个交点，如果在 这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可 能有________个交点，由此可以猜想：在同一个平
面内6条直线最多可有________个交点，n(n为大于1 的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n的
方法技巧 如何进行归纳推理
【例14,】2,3已，知…数)．列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝
(1)求a2，a3，a4，a5； (2)归纳猜想通项公式an. 解 (1)当n＝1时，知a1＝1， 由an＋1＝2an＋1，得a2＝3， a3＝7，a4＝15，a5＝31
(2)由a1＝1＝21－1， a2＝3＝22－1， a3＝7＝23－1， a4＝15＝24－1， a5＝31＝25－1. 可归纳猜想，an＝2n－1(n∈N＋)．
2．已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝12an＋a1n，求出 a1，a2，a3，a4，并推测an. 解 a1＝S1＝12a1＋a11，又因为a1＞0，所以a1＝1. 当n≥2时，Sn＝12an＋a1n，Sn－1＝12an－1＋an1－1， 两式相减得：
…
f(n)＝f(n－1)＋2n－1，
以上各式相加得：
f(n)＝f(2)＋(5＋7＋9＋…＋2n－1)＝n2＋ 1(n≥2)．
所以满足题意的n条抛物线将平面分成n2＋1个部
分．
点评 运用归纳推理需要考查部分对象的情形，从 而归纳猜想出一般规律，这样往往有时计算量大， 易出偏差，且内部潜在的规律性有时难于看出来， 就用“递推法”取代“经验归纳法”，转向考察问 题每递进一步所反映的规律，即探求递推关系，最 后用初始值及递推关系来寻找一般规律，从而得出 问题的结论．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[正解] 三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积
之和的乘积的13.
纠错心得 解决这类问题的关键是：先充分认识两 个系统的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质 联系，再进行类比.
编后语
有的同学听课时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都 不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
＝14(AB2＋AC2)(AE2＋DA2)
＝14AB2·DA2＋14AC2·AD2＋14BC2·AE2， 所以S2△DBC＝S△2 DAB＋S2△DAC＋S2△ABC. 法二：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，
则BC＝ a2＋b2，CD＝ b2＋c2，DB＝ a2＋c2.
S2△ABC＝12ab2，S2△ACD＝12bc2，S2△ADB＝12ac2.
＝S2△ABC＋S2△ACD＋S△2 ADB.
答案 S2△DBC＝S△2 DAB＋S2△DAC＋S2△ABC
点评 将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积 等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进 行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．
2．在 2D△FD·EEFF中·c有os余∠弦D定FE理.拓：展D到E2空＝间D，F2＋ 类E比F三2－角形的余 弦 积定 与理 其中，两写个出侧斜面三所棱成柱二AB面C角－之A1间B1的C1关的系三式个，侧并面予面
解析 类比直角三角形中的勾股定理，在四面体A－BCD 中，我们猜想： S2△ABC＋S2△ACD＋S△2 ADB＝S2△BCD.下面证明结论正确．
法一：如图所示，过A作BC的垂线AE与BC交于E，连结 DE，则BC⊥DE.因为S△2 ABC＝14 BC2·AE2， S2△DAB＝14AB2·DA2， S2△DAC＝14AC2·DA2，S2△DBC＝14BC2·(AE2＋DA2)
3．类比推理的特点：①类比是从人们已经掌握了 的事物的属性推测正在研究中的事物的属性，它 以旧的认识作基础，类比出新的结果．②类比是 从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属 性．③类比的结果是猜测性的，尽管不一定可靠， 但它却具有发现的功能．
4．类比推理是以比较为基础的，在对两个或两类 对象的属性进行比较时，若发现它们有较多的相 同点或相似点，则可以把其中一个或一类对象的 另外一种属性推移到另一个或另一类对象中去．
6．1.2 类 比
【课标要求】 1．了解类比推理的意义，能利用类比进行简单的 推理． 2．了解类比在数学发现中的作用．
自学导引
1．类 之比 处，是根推据测两出个这不两同个对象的在对其象他在方某面方也面可的相能似 有
之处．
相似
2．类比推理可以用下面的公式来表示：
A对象具有属性abcd
B对象具有属性abc B对象也具有属性d
以证明．
解 猜想：S2AA1C1C＝S2ABB1A1＋S2BCC1B1－ 2SABB1A1·SBCC1B1·cos θ(θ为面ABB1A1与面BCC1B1所成二面 角的平面角)． 证明 作斜三棱柱ABC－A1B1C1的直截面DFE，则∠DFE为 面ABB1A1与面BCC1B1所成的角，在△DEF中有余弦定理： DE2＝DF2＋EF2－2DF·E新中小学教学课件
26
在△BCD中，设∠CBD＝α，由余弦定理，
cos α＝BD2＋2BBDC·B2－C CD2＝
a2 a2＋c2a2＋b2
sin2α＝1－cos2α＝aa2b2＋2＋cb22ca22＋＋cb2a22
∵
S2△DBC＝12BC·BD·sin
α2
＝14(a2＋b2)·(a2＋c2)·aa2b2＋2＋cb22ca22＋＋cb2a22
1．若a1，a2∈(0，＋∞)，则有不等式a21＋2 a22≥a1＋2 a22成立， 此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广． 解 可以从a1，a2的个数以及指数上进行推广，第一类型： a21＋a322＋a23≥a1＋a32＋a32， a21＋a22＋4 a23＋a24≥a1＋a2＋4 a3＋a42，…， a21＋a22＋n …＋a2n≥a1＋a2＋n …＋an2；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学 的成绩都是100分；
④三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，
五边形的内角和为540°，由此推断出凸n边形内角 和是(n－2)×180°.
A．①② D．②④
答案 C
B．①③
C．①
2．下面使用类比推理恰当的是
()
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋c b＝ac＋bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋c b＝ac＋bc(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”
解析 由类比推理的特点可知． 答案 C
3．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S
底×高 ＝ 2 ，可推知扇形的面积公式S扇形等于________．
自主探究 类比推理的一般步骤是什么？ 提示 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得 出一个明确的命题(猜想)．
预习测评
1．下面几( 种推)理．是类比推理的是
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角 和是
180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
二、同步听课法
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
当n为偶数时，令n＝2k，k∈N＋，则
Sn＝S2k＝k(a＋b)＝n2(a＋b)．
所以它的前n项的和Sn＝nn2＋ 2a＋1ab＋，n－n2为1b偶，数n为. 奇数，
点评 本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过 对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的 定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力．
题型二 类比推理的应用
【例边2】AB在、平AC面互几相何垂里直，，有则勾A股B2定＋理A：C2“＝设BC△2A”B．C的拓两展
到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的 侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结
论是：“设三棱锥A－BCD的三个侧面ABC、ACD、 ADB两两相互垂直，则________．”
典例剖析
题型一 知识间的类比
【例有1】等和我数们列已呢经？学过了等差数列，你是否想到过有没 ①类比“等差数列”给出“等和数列”的定义．
②探索等和数列{an}的奇数项与偶数项各有什么特
点？并加以说明．
③ 前在 n项等的和和数S列n. {an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的
解 ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列． ②由①知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2. 所以an＋2＝an. 所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等． ③当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈N＋，则 Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝2k－2 2(a＋b)＋a ＝n－2 1(a＋b)＋a＝n＋2 1a＋n－2 1b，
第二类型： a31＋2 a23≥a1＋2 a23，a41＋2 a24≥a1＋2 a24，…，a1n＋2 an2≥a1＋2 a2n. 第三类型： a31＋a323＋a33≥a1＋a32＋a33，…，am1 ＋am2 ＋n …＋anm ≥a1＋a2＋n …＋anm. 上述 a1，a2，…，an∈R＋，m，n∈N＋.
老师没提了一个问题，同学们就应当立即主动地去思考，积极地寻找答案，然后和老师的解答进行比较。通过超前思考，可以把注意力集中在对这些“难点”的理解 上，保证“好钢用在刀刃上”，从而避免了没有重点的泛泛而听。通过将自己的思考跟老师的讲解做比较，还可以发现自己对新知识理解的不妥之处，及时消除知识 的“隐患”。
平面
空间
三角形的面积等于任意一边的长 度与这边上高的乘积的12
三棱锥的体积等于任一底 面的面积与这底面上的高 的乘积的13
三角形的面积等于其内切圆半径
与三角形周长乘积的12
[错解一] 三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面 积乘积的12. [错解二] 三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面周 长乘积的13. 错因分析 错解的原因有两个，其中之一是“三角形周长” 的类比，其中之二是“12”的类比．第一个“a＋b＋c”可类 比为“S1＋S2＋S3＋S4”；第二个“12”应类比为“13”．
DE2·AA21＝DF2·AA21＋EF2·AA12－2DF·AA1·EF·AA1cos θ 即S2AA1C1C＝S2ABB1A1＋S2BCC1B1－2SABB1A1·SBCC1B1 cos θ. (θ为侧面ABB1A1与BCC1B1所成二面角的平面角)
误区警示 不合理类比导致出错
【例3】 请用类比推理完成下表：
答案 三角形三条角平分线交于一点，且这个点是 三角形内切圆的圆心
要点阐释
1．类比推理是由特殊到特殊的推理，其思维过程 大致如下：观察、分析、比较→联想、类推→猜 测新的结论(提出猜想)．
2．类比推理是在两个(或两类)不同的对象之间进行 对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他 方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式， 类比推理所引出的结论并不一定真实．