(浙江专用)2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算练习
高考数学一轮总复习第三章导数及应用1导数的概念及运算课件理
(2)求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标 P′(x1，f(x1))； 第二步，写出过 P′(x1，f(x1))的切线方程为 y－f(x1)＝f′ (x1)(x－x1)； 第三步，将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出 x1； 第四步，将 x1 的值代入方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过 点 P(x0，y0)的切线方程．
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(5)y＝－lnx＋e－2x,∴y′＝－1x＋e－2x·(－2x)′＝－1x－2e－2x. 【答案】 (1)y′＝24x3＋9x2－16x－4 (2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2 (3)y′＝x2＋x（1－x2＋2x12·）l2nx (4)y′＝2sin(4x＋23π) (5)y′＝－1x－2e－2x
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2．计算： (1)(x4－3x3＋1)′＝________； (2)(ln1x)′＝________； (3)(xex)′＝______； (4)(sinx·cosx)′＝______． 答案 (1)4x3－9x2 (2)－xln12x (3)ex＋xex (4)cos2x
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为 k1，k2，则 k1，k2 的大小关系为( )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
答案 A
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
π k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
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5．(2018·陕西检测)已知直线 y＝－x＋m 是曲线 y＝x2－3lnx
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题型二 导数的基本运算
求下列函数的导数： (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (3)y＝x2ln＋x1； (5)y＝ln1x＋e－2x.
浙江专用高考数学一轮复习第三章函数导数及其应用第一节函数及其表示教案含解析
浙江专用高考数学一轮复习第三章函数导数及其应用第一节函数及其表示教案含解析第一节函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]1．(2018·台州模拟)下列四组函数中，表示相等函数的是( )A．f(x)＝x2，g(x)＝x2B ．f (x )＝x 2x，g (x )＝x x2C ．f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0D ．f (x )＝x 2－9x ＋3，g (x )＝x －3解析：选B 选项A 中，f (x )＝x 2与g (x )＝x 2的定义域相同，但对应关系不同；选项B 中，二者的定义域都为{x |x ＞0}，对应关系也相同；选项C 中，f (x )＝1的定义域为R ，g (x )＝(x －1)0的定义域为{x |x ≠1}；选项D 中，f (x )＝x 2－9x ＋3的定义域为{x |x ≠－3}，g (x )＝x －3的定义域为R.2．若函数y ＝f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤8，x ≠5}，值域为{y |－1≤y ≤2，y ≠0}，则y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选B 根据函数的概念，任意一个x 只能有唯一的y 值和它对应，故排除C 项；由定义域为{x |－3≤x ≤8，x ≠5}排除A 、D 两项，故选B.3．函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x ＞1，则f (f (2))＝________.解析：由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1， 所以f (f (2))＝1. 答案：15．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则f (2)＝________. 解析：∵函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝－a ＋2，∴a ＝－2，即f (x )＝－2x 3－2x ， ∴f (2)＝－2×23－2×2＝－20. 答案：－201．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1．(2018·嘉兴模拟)已知函数f (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x，x＞0，x2＋x，x≤0，则f⎝⎛⎭⎪⎫f⎝⎛⎭⎪⎫12＝________，方程f(x)＝2的解为________．解析：f⎝⎛⎭⎪⎫f⎝⎛⎭⎪⎫12＝f⎝⎛⎭⎪⎫log212＝f(－1)＝0.当x＞0时，log2x＝2，得x＝4；当x≤0时，x2＋x＝2，得x＝－2或x＝1(舍去)．所以f(x)＝2的解为－2或4.答案：0 －2或42．已知f⎝⎛⎭⎪⎫1x＝x2＋5x，则f(x)＝________.解析：令t＝1x，∴x＝1t.∴f(t)＝1t2＋5t.∴f(x)＝5x＋1x2(x≠0)．答案：5x＋1x2(x≠0)考点一函数的定义域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．y＝x－12x－log2(4－x2)的定义域是( )A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2)C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x－12x≥0，x≠0，4－x2＞0，解得x∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]3．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为________． 解析：若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ， 则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2， 即实数a 的取值范围为[－2,2]． 答案：[－2,2][谨记通法]函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．考点二 求函数的解析式重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )； (4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x，求f (x )的解析式．解：(1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.(2)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x ＞0，所以t ＞1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x ＞1. (3)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.(4)(解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x，② ①×2－②，得，3f (x )＝2x ＋1－2－x.即f (x )＝2x ＋1－2－x3. 所以f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3. [由题悟法]求函数解析式的4种方法[即时应用]1．已知函数f (x －1)＝xx ＋1，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x ＋1x ＋2 B ．f (x )＝xx ＋1C ．f (x )＝x －1xD ．f (x )＝1x ＋2解析：选A 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝t ＋1t ＋2， 即f (x )＝x ＋1x ＋2. 2．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )＝________. 解析：设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .答案：3x 2－2x3．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.解析：∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，①把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧2fx ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x(x ≠0)考点三 分段函数题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小． 常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数与方程、不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的函数求值问题1．(2018·浙江五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，x ≥0，3x，x ＜0，则f (－2)＋f (4)＝( )A.109 B.19 C ．87D.7309解析：选B 由题意可得，f (－2)＋f (4)＝3－2＋4－4＝19.角度二：分段函数与方程、不等式问题2．(2018·浙江考前冲刺卷)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ＜1，3x－7，x ≥1，则不等式f (x )＜2的解集为( )A ．(－3,2)B ．(－2,3)C ．(2,3)D ．(－3，－2)解析：选A 当x ＜1时，f (x )＜2可化为log 2(1－x )＜2，即0＜1－x ＜4，解得－3＜x ＜1；当x ≥1时，f (x )＜2可化为3x－7＜2，即3x＜9，得1≤x ＜2.综上，不等式f (x )＜2的解集为(－3,2)．3．(2019·嘉兴高三基础测试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝________，若f (f (a ))＝1，则实数a 的值为________．解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f (1)＝2.对f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3f a －1，f a ＜1，2f a，f a ≥1，当a ＜23时，f (a )＝3a －1＜1；当23≤a ＜1时，f (a )＝3a －1≥1；当a ≥1时，f (a )＝2a ≥2＞1，∴f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧33a －1－1，a ＜23，23a －1，23≤a ＜1，22a，a ≥1，由f (f (a ))＝1，得3(3a －1)－1＝1，∴a＝59＜23，符合题意；23a －1＝1，a ＝13＜23，舍去；22a＝1不成立，舍去．故所求实数a 的值为59. 答案：2 59[通法在握]1．分段函数的求值问题的解题思路求分段函数的函数值先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＋2x －2，x ≥0，f x ＋3，x ＜0，则f (－2 019)＝________.解析：因为当x ＜0时，f (x )＝f (x ＋3)，所以f (－2 019)＝f (－3×673)＝f (0)＝10＋1＋20－2＝0.答案：02．(2018·浙江十校联盟适考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________．解析：当a ＞0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a＋2＝0，无解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3.答案：－33．(2018·杭州七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (|a |)，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，－x －12＋1，x ＜0，作出函数f (x )的大致图象如图所示，由图象可知，函数f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)＞f (|a |)，得2－a 2＞|a |.当a ≥0时，有2－a 2＞a ，即(a ＋2)(a －1)＜0，解得－2＜a ＜1，所以0≤a ＜1；当a ＜0时，有2－a 2＞－a ，即(a －2)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜2，所以－1＜a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是(－1,1)．答案：(－1,1)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2019·杭州调研)函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是( ) A ．(2,3)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是(2,3)∪(3，＋∞)． 2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B ．74C ．43D ．－43解析：选B 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.3．(2018·萧山质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C ∵f (1)＝12＋2＝3，∴f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.4．已知f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－710＝________. 解析：令3x －1＝－710，得x ＝10，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－710＝lg 10＝1. 答案：15．(2018·绍兴模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________，方程f (f (x ))＝1的解集为____________．解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＜0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝eln 12＝12.∵x ＜0时，0＜e x＜1，x ＝0时，e x＝1，∴当f (x )≤0时，由方程f (f (x ))＝1，可得f (x )＝0， 即ln x ＝0，解得x ＝1.当f (x )＞0时，由方程f (f (x ))＝1， 可得ln f (x )＝1，f (x )＝e ， 即ln x ＝e ，解得x ＝e e. 答案：12{1，e e}二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：选B 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解． 所以x 0＝2，故选B.2．(2019·台州模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.3．(2018·金华模拟)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x ＞2且x ≠3，∴3＜x ≤4或2＜x ＜3，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．4．(2018·金华联考)若函数f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是( )A ．[0,2 018]B ．[0,1)∪(1,2 018]C ．(1,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B 由题知，1≤x ＋1≤2 019，解得0≤x ≤2 018，又x ≠1，所以函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是[0,1)∪(1，2 018]．5．(2019·义乌质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a ＞0，且a ≥－1，解得－1≤a ＜12，故选C. 6．(2018·湖州月考)定义在R 上的函数g (x )满足：g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2e x －9，则g (x )＝________.解析：∵g (x )＋2g (－x )＝e x＋2e x －9， ①∴g (－x )＋2g (x )＝e －x＋2e －x －9，即g (－x )＋2g (x )＝2e x＋1e x －9，②由①②联立解得g (x )＝e x－3.答案：e x－37．(2018·嘉兴高三测试)已知a为实数，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x ＜2，log 2x －2，x ≥2，则f (2a ＋2)的值为________．解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x ＜2，log 2x －2，x ≥2，而2a＋2＞2，∴f (2a ＋2)＝log 2(2a＋2－2)＝a . 答案：a8．(2018·稽阳联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x－a ，x ＞0，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12，则a ＝________；若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x－a ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋1＝12， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋412－a ＝12＋8－a ＝12，得a ＝8.由y ＝x ＋1，x ≤0，得y ≤1； 由y ＝x ＋4x－a ，x ＞0，得y ≥4－a ，∵f (x )的值域为R ，∴4－a ≤1，解得a ≥3. 答案：8 [3，＋∞)9．记[x ]为不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[2.3]＝2，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2[x ]－1，x ≥1，x 2＋1，x ＜1，则f (f (－1.2))＝________，f (x )≤3的解集为________．解析：根据[x ]的定义，得f (f (－1.2))＝f (2.44)＝2[2.44]－1＝3. 当x ≥1时，由f (x )＝2[x ]－1≤3， 得[x ]≤2，所以x ∈[1,3)； 当x ＜1时，由f (x )＝x 2＋1≤3，得－2≤x ＜1.故原不等式的解集为[－2，3)． 答案：3 [－2，3)10．如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m x的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为B (1,4)在反比例函数y ＝m x上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 上的点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.所以y ＝4x，y ＝2x ＋2.(2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)，所以△AOC 的面积为：S ＝12×2×2＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－34解析：选B 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a的值为－34，故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln －x ，x ＜0，－ln x ，x ＞0，若f (m )＞f (－m )，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln －x ，x ＜0，－ln x ，x ＞0，当m ＞0时，f (m )＞f (－m )，即－ln m ＞ln m ，即ln m ＜0，解得0＜m ＜1；当m ＜0时，f (m )＞f (－m )，即ln(－m )＞－ln(－m )， 即ln(－m )＞0，解得m ＜－1. 综上可得，m ＜－1或0＜m ＜1. 答案：(－∞，－1)∪(0,1)3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，∴y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件 文 北师大版
0
3
2
得 x0=-ln 2, 又e-������ 0 =eln 2=2, (1)A (2)( -ln 2,2) (-ln 2,2). 故点 P 的坐标是
-4-
1.导数与导函数的概念 (1)平均变化率:对于一般的函数 y=f(x),在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中,若设 Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是
������(������1 )-������(������0 ) ������1 -������0 ������ ������
-15考点1 考点2 知识方法 易错易混
考点Байду номын сангаас导数的运算 例1分别求下列函数的导数:
(1)y=ex· cos x; 解:(1)y'=(ex)'cos x+ex(cos x)'=excos x-exsin x. 1 1 2 (2)y=x ������ 3 + + 1 2 3 ; ������ ������ (2)∵y=x +1+ 2,∴y'=3x2- 3. ������ ������
1
1
2 2 1 1 ∴y'=- sin x- xcos x. 2 2
2 2
2
2
答案
-16考点1 考点2 知识方法 易错易混
思考:函数求导应遵循怎样的原则? 解题心得:函数求导应遵循的原则: (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式变形等对函数进行化简, 然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错. (2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切 忌记错记混.
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数
§3.2 导数的计算第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学习目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一 几个常用函数的导数原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x知识点二 基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0，且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x1．若y ＝3，则y ′＝12×3＝32.( × )2．若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ．( × ) 3．因为(ln x )′＝1x，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝ln x ．( × )类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y 35x(4)y ＝2sin x 2cos x2；(5)y ＝12log x ；(6)y ＝3x.考点 基本初等函数的导数公式 题点 利用导数公式求函数的导数 解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11.(2)y ′＝(x －4)′＝－4x－4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝35x )′＝35x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝31535x -＝2535x -255x (4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(5)y ′＝12log x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝1x ln12＝－1x ln2. (6)y ′＝(3x )′＝3xln3.反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导． 跟踪训练1 求下列函数的导数．(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋x ；(2)y ＝2cos 2x2－1.考点 基本初等函数的导数公式 题点 利用导数公式求函数的导数解 (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋x＝1－x x ＋x ＝1x＝12x -，∴y ′＝3212x --.(2)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x . 类型二 导数公式的应用 命题角度1 求切线方程例2 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由． 考点 导数的应用 题意 导数的应用解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线． 设切点为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12.所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 所以所求切线方程为y －14＝(－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 即4x ＋4y ＋1＝0. 引申探究若本例条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． 解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则0'|x x y =＝2x 0，又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用 (1)切点处的导数是切线的斜率． (2)切点在切线上．(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练2 已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 考点 导数的应用 题点 导数的应用解 设存在一个公共点(x 0，y 0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝0'|x x y =＝cos x 0，k 2＝0'|x x y =＝－sin x 0.要使两切线垂直，必须有k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin2x 0＝2，这是不可能的．所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 命题角度2 求切点坐标例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离． 考点 导数的应用 题点 导数的应用解 依题意知抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， ∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大． 考点 导数的应用 题点 导数的应用解 设M (x 0，y 0)为切点，过点M 与直线l 平行的直线斜率k ＝y ′＝2x 0， ∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0＝1.故可得M (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点， ∴|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大， 故点M (1,1)即为所求弧AOB 上的点P ，使△ABP 的面积最大．1．下列结论：①(sin x )′＝cos x ；②53x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝23x ；③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个考点 基本初等函数的导数公式 题点 利用导数公式求函数的导数 答案 C解析 ∵②⎝ ⎛⎭⎪⎫x 53′＝2353x ；③(log 3x )′＝1x ln3，∴②③错误，故选C.2．质点的运动方程是s ＝1t4(其中s 的单位为m ，t 的单位为s)，则质点在t ＝3s 时的速度为( )A ．－4×3－4m/sB ．－3×3－4m/sC ．－5×3－5m/sD ．－4×3－5m/s考点 几个常用函数的导数 题点 几个常用函数导数的应用 答案 D解析 ∵s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t4′＝－4t －5，∴s ′|t ＝3＝－4×3－5.则质点在t ＝3s 时的速度为－4×3－5m/s. 3．曲线y ＝ln x 在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4C.π4D.5π4考点 基本初等函数的导数公式 题点 指数函数、对数函数的导数 答案 C解析 y ′|x ＝1＝1，则切线的倾斜角为π4.4．曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线方程为________． 考点 基本初等函数的导数公式 题点 常数、幂函数的导数 答案 x －y ＋1＝0 解析 y ′|x ＝0＝1，∴切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.5．当常数k 为何值时，直线y ＝kx 与曲线y ＝x 2相切？请求出切点． 考点 几个常用函数的导数 题点 几个常用函数导数的应用解 设切点为A (x 0，x 20)，因为y ′＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝k ，x 20＝kx 0，所以k ＝0，故当k ＝0时，直线y ＝kx 与曲线y ＝x 2相切，且切点坐标为(0,0)．1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.一、选择题1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln2，则y ′＝12；②y ＝f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227；③y ＝2x，则y ′＝2x ln2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2. A ．0B ．1C ．2D ．3考点 基本初等函数的导数公式 题点 基本初等函数的导数公式的应用 答案 D解析 ①中y ＝ln2为常数， 所以y ′＝0.①错．2．已知f (x )＝1x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15等于( ) A ．－25 B ．－125C.125D ．25考点 几个常用函数的导数 题点 几个常用函数导数的应用 答案 B解析 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2.故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝－25，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝f (－25)＝－125. 3．已知f (x )＝x a，若f ′(－1)＝－4，则a 等于( ) A ．4B ．－4C ．5D ．－5考点 基本初等函数的导数公式 题点 常数、幂函数的导数 答案 A解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4.4．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－32或⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π3，32 (k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π3，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，－32 (k ∈Z )考点 基本初等函数的导数公式 题点 正弦、余弦函数的导数 答案 D解析 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，k ∈Z ，∴y 0＝32或－32. 5．函数y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2C ．e 2D.e 22考点 基本初等函数的导数公式 题点 指数函数、对数函数的导数 答案 D解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S ＝12×1×|－e 2|＝12e 2.6．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b 等于( ) A ．4B ．－4C ．28D ．－28 考点 基本初等函数的导数公式 题点 常数、幂函数的导数 答案 C解析 ∵点(2,8)在切线上，∴2k ＋b ＝8，① 又y ′|x ＝2＝3×22＝12＝k ，②由①②可得k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28.7．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．eB ．－eC.1e D ．－1e考点 基本初等函数的导数公式 题点 指数函数、对数函数的导数 答案 C解析 设切点坐标为(x 0，ln x 0)， 则切线的斜率为0'|x x y ＝1x 0，又切线斜率可表示为ln x 0－0x 0－0，∴1x 0＝ln x 0x 0，则x 0＝e ，∴切线的斜率为1e.8．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2016(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos xD ．－cos x考点 基本初等函数的导数公式 题点 正弦余弦函数的导数 答案 A解析 f 1(x )＝f ′0(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f ′2(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2016(x )＝f 504×4(x )＝sin x . 二、填空题9．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx 且g ′(2)＝1f ′2，则m ＝________.考点 几个常用函数的导数 题点 几个常用函数导数的应用 答案 －4解析 ∵f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m ，∴f ′(2)＝－14，又g ′(2)＝1f ′2，∴m ＝－4.10．设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．考点 基本初等函数的导数公式 题点 指数函数、对数函数的导数 答案 (1,1)解析 因为y ′＝e x，所以曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1， 所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，则关于x 的不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0的解集为___________．考点 基本初等函数的导数公式题点 正弦、余弦函数的导数答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝π2＋2k π，k ∈Z 解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，g ′(x )＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，则sin x ＝1，解得x ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴其解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 12．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.考点 几个常用函数的导数题点 几个常用函数导数的应用答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32， ∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32， ∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )． 令x ＝0，得y ＝32a －12；令y ＝0，得x ＝3a ， ∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64.三、解答题13．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．考点 基本初等函数的导数公式题点 指数函数、对数函数的导数解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近，则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，所以e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 四、探究与拓展14．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点 基本初等函数的导数公式题点 指数函数、对数函数的导数答案 B解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝2. 15．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝sin x 考点 导数的应用题点 导数的应用答案 D解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.因为A 项中，(e x )′＝e x >0，B 项中，(x 3)′＝3x 2≥0，C 项中，x >0，即(ln x )′＝1x>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.。
导数的概念及其意义 、导数的运算(高三一轮复习)
；
gfxx′＝f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ 16 cf′(x)
．
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝ 17 f(g(x)) ．
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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命题点2 导数的几何意义
考向1 求切线方程
例2
(1)(2022·湖南衡阳二模)函数f(x)＝xln(－2x)，则曲线y＝f(x)在x＝－
e 2
处的
切线方程为 4x－2y＋e＝0
.
(2)(2y0＝22－·新1e高x 考Ⅱ卷.)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为
(2)f1x′＝－f[′fxx]2(f(x)≠0)． (3)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次函数的图 象相切只有一个公共点． (4)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变 化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越 “陡”．
f(x)＝xα(α∈Q且α≠0) f′(x)＝ 7αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ 8 cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝ 9 －sin x
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f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝ 10 axln a
高考数学一轮复习 第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算教学案 理
第三章 导数及其应用3.1 导数、导数的计算考纲要求1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义，求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y =.2．导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每一个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是在区间(a ，b )内____构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′.3．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________．45(1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝__________(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数y ＝f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝________，即y ′x ＝________.1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 22．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )． A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末D ．1秒末和2秒末3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1)4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )．A ．－1B ．－2C ．2D ．05．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________．6．y ＝sin 2x 的导数为__________． 一、根据导数的定义求函数的导数【例1－1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2f (x )－3x －2＋1的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．方法提炼1．根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法．确定y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数有两种方法：一是导数的定义法，二是导函数的函数值法．2．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的求解步骤：请做演练巩固提升1二、利用求导公式、法则求导 【例2】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －3)2； (2)y ＝tan x ；(3)y ＝x 2＋2x ＋5. 方法提炼一般来说，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数的要先化简；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式．请做演练巩固提升2三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程． 方法提炼1．求曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线方程(1)求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)即为曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率；(2)由切点(x 0，f (x 0))和斜率f ′(x 0)，用点斜式写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再化为一般式即可．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.2．求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)解出x 1，进而确定过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 1)(x －x 0)，再化为一般式即可．3．“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，首先都是求(或设)切点坐标得出切线的斜率，再解决问题．曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条．请做演练巩固提升4对“在某点处”与“过某点”字眼的区分【典例】若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x－9都相切，则a 等于( )．A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：因为点(1,0)不在曲线y ＝x 3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切求a 的值．设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 03)，所以切线方程为y －x 03＝3x 02(x －x 0)，即y ＝3x 02x －2x 03.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A ．答案：A答题指导：1．在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系，而必须设出切点．2．解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握； (3)对于直线的方程与斜率公式的求解，要熟练掌握．1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )．A ．2B ．－1C ．1D ．－22．y ＝cos(x 2＋3)的导数y ′＝__________.3．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________．4．(2012安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a ＞0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．f ′(x )3．y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)4．nx n －1 cos x －sin x a xln a (a ＞0)e x1x ln a (a ＞0，且a ≠1) 1x5．(1)f ′(x )±g ′(x )(2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]26．f ′(u )·v ′(x ) y u ′·u x ′ 基础自测1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝4＋2Δx . 2．D 解析：∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1，t 2＝2.3．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3. ∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1.4．B 解析：∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4， ∴x 0＝1.∴y 0＝1.∴l 的方程为4x －y －3＝0. 6．y ′＝2cos 2x 考点探究突破【例1－1】C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2f (x )－3x －2＋1 ＝lim Δx →0f (Δx ＋2)－f (2)Δx＋1 ＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3.【例1－2】解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx ).∴Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11＋Δx (1＋1＋Δx ) ＝－12.∴f ′(1)＝－12.【例2】解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′ ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x＝1cos 2x. (3)y ′＝(x 2＋2x ＋5)′ ＝12(x 2＋2x ＋5)－12·(2x ＋2)＝x ＋1x 2＋2x ＋5.【例3】解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率为：0|x x y '=＝x 02.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3 x 02＋4＝0，∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0，∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则x 02＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎪⎫1，53，∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0. 演练巩固提升1．B 解析：lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝lim x →0f (1－2x )－f (1)－2x＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2．－2x sin(x 2＋3) 解析：y ′＝[cos(x 2＋3)]′＝2x ·[－sin(x 2＋3)]＝－2x sin(x 2＋3)．3．(－∞，0) 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x(x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，即3ax 2＋1x ＝0有解，a ＝－13x3.∵x ＞0，∴－13x 3＜0.∴a ＜0.4．解：(1)(方法一)由题设和基本不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中当且仅当ax ＝1时，等号成立，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(方法二)f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上递增； 当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上递减．所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)f ′(x )＝a －1ax 2.由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.。
高考数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第1讲 变化率与导数、导数的运算教案 理
第1讲 变化率与导数、导数的运算【2013年高考会这样考】1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.基础梳理1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li mΔx →0 Δy Δx＝ li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 Δy Δx . (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式 若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0；若f (x )＝x α(α∈R )，则f ′(x )＝αxα－1；若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； 若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ；若f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝a xln_a ； 若f (x )＝e x，则f ′(x )＝e x；若f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝1x ln a ；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x.5．导数四则运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x gx′＝f ′x g x －f x g ′x[g x ]2(g (x )≠0)． 6．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 一个区别曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 两种法则(1)导数的四则运算法则． (2)复合函数的求导法则． 三个防范1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别． 3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．双基自测1．下列求导过程中①⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2；②(x )′＝12x；③(log a x )′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ln a ′＝ 1x ln a；④(a x )′＝(eln a x )′＝(e x ln a )′＝e x ln a ln a ＝a xln a其中正确的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D2．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )．A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2) D ．3(x 2＋a 2)解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．答案 C3．(2011·湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )．A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析 本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力．y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin xsin x ＋cos x2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为12.答案 B4．(2011·江西)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )．A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0) 解析 令f ′(x )＝2x －2－4x＝2x －2x ＋1x＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x ＜0或x ＞2，又x ＞0，所以x ＞2.故选C. 答案 C5．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝______；li mΔx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝________(用数字作答)．答案 2 －2考向一 导数的定义【例1】►利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处切线与曲线f (x )＝x 3的交点． [审题视点] 正确理解导数的定义是求解的关键．解 f ′(x 0)＝lim x →x 0 f x －f x 0x －x 0＝lim x →x 0 x 3－x 30x －x 0 ＝lim x →x 0 (x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20.曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30，得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0. 若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)； 若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量Δy ；(2)求平均变化率Δy Δx ；(3)求极限li mΔx →0 ΔyΔx. 【训练1】 利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．证明 法一 设y ＝f (x )是奇函数，即对定义域内的任意x 都有f (－x )＝－f (x )f ′(x )＝li mΔx →0 f x ＋Δx －f x Δx则f ′(－x )＝li mΔx →0 f －x ＋Δx －f －x Δx＝li m Δx →0 f x －Δx －f x －Δx＝f ′(x )因此f ′(x )为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数． 法二 设y ＝f (x )是奇函数，即对定义域内的任意x 都有f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－f (－x )因此f ′(x )＝[－f (－x )]′＝－ [f (－x )]′＝f ′(－x ) 则f ′(x )为偶函数同理可证偶函数的导数是奇函数．考向二 导数的运算【例2】►求下列各函数的导数：(1)y ＝x ＋x 5＋sin xx2； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝11－x ＋11＋x；[审题视点] 先把式子化为最简式再进行求导． 解 (1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x －32＋x 3＋sin xx2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －32′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x －52＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)法一 y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)· (x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.(3)∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝－12sin x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(4)y ＝11－x ＋11＋x＝1＋x ＋1－x1－r(x 1＋x)＝21－x， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－21－x ′1－x 2＝21－x2.(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础．(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导． 【训练2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x； (2)y ＝cos xsin x ；(3)y ＝e xln x ；(4)y ＝(x ＋1)2(x －1)． 解 (1)y ′＝nxn －1e x ＋x n e x ＝xn －1e x(n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x.(3)y ′＝e xln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋ln x .(4)∵y ＝(x ＋1)2(x －1)＝(x ＋1)(x 2－1)＝x 3＋x 2－x －1， ∴y ′＝3x 2＋2x －1.考向三 求复合函数的导数【例3】►求下列复合函数的导数． (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)．[审题视点] 正确分解函数的复合层次，逐层求导． 解 (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5， 由y ＝u 5与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′＝5u 4·2 ＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x . 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成．y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′＝12u －12(－1)＝－12u －12＝－123－x ＝3－x2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.(4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y x ′＝y u ′·u x ′y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程． 【训练3】 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋1； (2)y ＝sin 22x ； (3)y ＝e －xsin 2x; (4)y ＝ln 1＋x 2.解 (1)y ′＝12 x 2＋1·2x ＝x x 2＋1， (2)y ′＝(2sin 2x )(cos 2x )×2＝2sin 4x (3)y ′＝(－e －x)sin 2x ＋e －x(cos 2x )×2 ＝e －x(2cos 2x －sin 2x )．(4)y ′＝11＋x 2·121＋x2·2x ＝x1＋x 2.规范解答6——如何求曲线上某一点的切线方程【问题研究】 利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题.这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致错误., 【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程.【示例】►(本题满分12分)(2010·山东)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1(a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．(1)求出在点(2，f (2))处的斜率及f (2)，由点斜式写出切线方程；(2)求f ′(x )，再对a 分类讨论．[解答示范] (1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，x ∈(0，＋∞)．所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，(1分)因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.(3分)(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)．(4分)令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；(6分)②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1. a ．当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(7分)b ．当0＜a ＜12时，1a－1＞1＞0. x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a －1时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；(9分)c ．当a ＜0时，由于1a－1＜0，x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．(11分)综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当0＜a ＜12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减， 函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，1a －1上单调递增， 函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞上单调递减．(12分)求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在．。
第1讲 导数及其应用(知识点串讲)(解析版)
第1讲 导数及其应用（知识点串讲）知识整合考点1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆. (2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0()()f x x f x x+∆-∆为f (x )的导函数． 例1、(2018·山东东营期中)曲线f (x )＝x 2－3x ＋2ln x 在x ＝1处的切线方程为____________.【答案】x －y －3＝0 [f ′(x )＝2x －3＋2x ，f (1)＝－2，f ′(1)＝1，故切线方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0.][跟踪训练]1、(2019·山东济南联考)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2【答案】B [设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )． 又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )， 所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.]考点2．基本初等函数的导数公式考点3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)()()()()()()()2'''f x f xg x f x g xg x g x⎡⎤-=⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦(g(x)≠0)．考点4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积．例2、(2019·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝f′(1)x2＋2x＋2f(1)，则f′(2)的值为()A．－2B．0C．－4D．－6【答案】D[由题意f(1)＝f′(1)＋2＋2f(1)，化简得f(1)＝－f′(1)－2，而f′(x)＝2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，f(x)＝－2·x2＋2x＋2f(1)．所以f′(x)＝－4·x＋2.所以f′(2)＝－4×2＋2＝－6.] [跟踪训练]2、(2019·山东临沂期中)设函数f(x)在(0，＋∞)可导，其导函数为f′(x)，若f(ln x)＝x2－ln x，则f′(1)＝________.【答案】2e2－1[设ln x＝t，则x＝e t，∵f(ln x)＝x2－ln x，∴f(t)＝e2t－t，∴f(x)＝e2x－x，∴f′(x)＝2e2x －1，∴f′(1)＝2e2－1.]考点5.与导数相关的重要结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．(3)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．考点6．函数的单调性(1)在(a ，b )内函数f (x )可导，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. f ′(x ) ≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数. f ′(x ) ≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数.(2)在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(3)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x ) ≥0(f ′(x ) ≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．例3、(2019·山东青岛模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞)【答案】B[f (x )＝x 2＋a x 在x ∈[2，＋∞)上单调递增，则f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2 ≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 则a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 所以a ≤16.][跟踪训练]3、(2019·山东临沂阶段检测)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )＜f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是( )A ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)B ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＞e 2f (0)C ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＞e 2f (0)D ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＜e 2f (0)【答案】A [令()()xf xg x e =，则()()()2''x x x e f x e f x g x e -=＝()()'x f x f x e -.∵f ′(x )＜f (x )，∴g ′(x )＜0，∴g (x )是减函数，则有g (ln 2)＜g (0)，g (2)＜g (0)，即()ln 2ln 2f e ＜()00f e，()()2020f f e e <，所以f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)．]考点7．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(3)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 例4、(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3 C ．5e －3D ．1【答案】A [函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0，所以a ＝－1. 所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1＞0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x ＜－2时，f ′(x )＞0； －2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；x ＞1时，f ′(x )＞0. 所以x ＝1是函数f (x )的极小值点． 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.] [跟踪训练]4、(2019·山东淄博模拟)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 【答案】D [因为f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，f ′(x )值有正有负，所以f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不同的根，Δ＝(4c )2－12＞0，解得c ＜－32或c ＞32.]考点8．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．例5、已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________.【答案】－13 [f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，根据已知2a3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1，1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1，1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9.[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13.]。
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算教学案
第三章导数及其应用知识点最新考纲变化率与导数、导数的计算了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数).导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修2－2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sinx .2．(选修2－2P18A 组T6改编)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝2.故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．(选修2－2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：因为s ＝t 2＋3t ，所以s ′＝2t －3t2，所以s ′|t ＝2＝4－34＝134.答案：134[易错纠偏](1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误； (2)不会用方程法解导数求值．1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ′(x )＝________． 解析：f ′(x )＝[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3]′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案：2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 答案：－ 2导数的计算求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x＋e ；(4)y ＝ln(2x －5)．【解】 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2. (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5.[提醒] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．1．已知f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B.因为f (x )＝x (2 017＋ln x )， 所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′(x 0)＝2 018， 所以2 018＋ln x 0＝2 018， 所以x 0＝1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x；(2)y ＝cos x sin x ；(3)y ＝e xln x ；(4)y ＝(1＋sin x )2. 解：(1)y ′＝nxn －1e x＋x n e x ＝xn －1e x(n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x .(3)y ′＝e x ln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x .(4)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x .导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．主要命题角度有：(1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程(或斜率)求参数值． 角度一 求切线方程(1)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为____________________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．【解析】 (1)因为y ′＝2x －1x2，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1， 所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. (2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， 所以设切点为(x 0，y 0)． 又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以切点为(1，0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1. 所以直线l 的方程为y ＝x －1. 【答案】 (1)y ＝x ＋1 (2)y ＝x －1 角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y ＝e－x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，因为y ＝e －x， 所以y ′＝－e －x，所以点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， 所以－x 0＝ln 2，所以x 0＝－ln 2， 所以y 0＝eln 2＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)． 【答案】 (－ln 2，2)角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值(1)(2020·宁波调研)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2(2)(2020·绍兴调研)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________．【解析】 (1)依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.(2)依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12.【答案】 (1)C (2)2e －12(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．1．(2020·杭州七校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析：选D.因为y ′＝12e 12x ，所以k ＝12e 12×4＝12e 2，所以切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，所以所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.2．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x(其中e 是自然对数的底数，a ∈R )，若f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，则a ＝________．解析：f ′(x )＝(x 2＋ax －1)′e x ＋(x 2＋ax －1)(e x )′＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋(a －1)]e x，故f ′(0)＝[02＋(a ＋2)×0＋(a －1)]e 0＝a －1.因为f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，故f ′(0)＝1，即a －1＝1，解得a ＝2.答案：23．(2020·台州高三月考)已知曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017的值为________．解析：f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1. 所以x 1·x 2·…·x 2 017＝12×23×34×…×2 0162 017×2 0172 018＝12 018.则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017＝log 2 018(x 1·x 2·…·x 2 017)＝log 2 01812 018＝－1.答案：－1两条曲线的公切线若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．【解析】 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.【答案】 1－ln 2求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解． (2)利用公切线得出关系式．设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，y 1)，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，y 2)，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.1．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋4，g (x )＝x －1，则f (x )和g (x )的公切线的条数为( ) A ．三条 B ．二条 C ．一条D ．0条解析：选A.设公切线与f (x )和g (x )分别相切于点(m ，f (m ))，(n ，g (n ))，f ′(x )＝2x－4，g ′(x )＝－x －2，g ′(n )＝f ′(m )＝g （n ）－f （m ）n －m ，解得m ＝－n －22＋2，代入化简得8n 3－8n 2＋1＝0，构造函数f (x )＝8x 3－8x 2＋1，f ′(x )＝8x (3x －2)，原函数在(－∞，0)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上单调递增，极大值f (0)＞0，极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜0，故函数和x 轴有3个交点，方程8n 3－8n 2＋1＝0有三个解，故切线有3条．故选A.2．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )． 则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1，0)．所以过切点且与该切线垂直的直线方程为y ＝－1·(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝0[基础题组练]1．函数y ＝x 2cos x 在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．2cos 1－sin 1 C ．cos 1－sin 1D ．1解析：选B.因为y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2·(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.2．(2020·衢州高三月考)已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2－4)＝3x 2－2tx －4，所以f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝12.3．(2020·温州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为( )A.12 B ．1C.32D ．2解析：选B.因为x 1＜x 2＜0，f (x )＝x 2＋2x ， 所以f ′(x )＝2x ＋2，所以函数f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为f ′(x 1)，f ′(x 2)， 因为函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2＜0，2x 2＋2＞0，所以x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥－（2x 1＋2）（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32，x 2＝－12时等号成立．所以x 2－x 1的最小值为1.故选B.4．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.5.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.6．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.7．已知f (x )＝ln x x 2＋1，g (x )＝(1＋sin x )2，若F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (x )的导函数为________．解析：因为f ′(x )＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2， g ′(x )＝2(1＋sin x )(1＋sin x )′＝2cos x ＋sin 2x ，所以F ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x .答案：x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x8．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________．解析：设切点为(m ，n )(m ＞0)，y ＝14x 2－3ln x 的导数为y ′＝12x －3x ，可得切线的斜率为12m －3m ＝－12，解方程可得，m ＝2. 答案：29．(2020·金华十校高考模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2 018，若对任意的x ∈R ，都有f ′(x )＜2x 成立，则不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x 2－2 014，则g ′(x )＝f ′(x )－2x ＜0，所以函数g (x )在定义域上为减函数，且g (－2)＝f (－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f (x )＜x2＋2 014有f (x )－x 2－2 014＜0，即g (x )＜0＝g (－2)，所以x ＞－2，不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为(－2，＋∞)．答案：(－2，＋∞)10．如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f （x ）x，则g ′(4)＝________． 解析：g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.由题图可知，直线l 经过点P (0，3)和Q (4，5)， 故k 1＝5－34－0＝12.由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4，5)在曲线y ＝f (x )上，故f (4)＝5. 故g ′(4)＝4×f ′（4）－f （4）42＝4×12－542＝－316. 答案：－31611．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18， 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.12．已知函数f (x )＝ax ＋bx(x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0. (1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －b x2(x ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝34，3×2－4f （2）＋4＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a －b 4＝34，5－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20，曲线在P 处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20(x －x 0)．即y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1x20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0.即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0，2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0，0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2.即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．[综合题组练]1．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．(2020·金华十校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B.12＜x 0＜1 C.22＜x 0＜ 2 D.2＜x 0＜ 3解析：选D.令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln 22＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x 0＜3，选D.3．(2020·宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x.解析：①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒小于0.④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x(x ＋2)＞0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函数．答案：①②③4．(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f (x )＝a e x＋x 2，g (x )＝cos (πx )＋bx ，直线l 与曲线y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1))，则a ＋b＝________，直线l 的方程为________．解析：f ′(x )＝a e x＋2x ，g ′(x )＝－πsin (πx )＋b ，f (0)＝a ，g (1)＝cos π＋b ＝b －1， f ′(0)＝a ，g ′(1)＝b ，由题意可得f ′(0)＝g ′(1)，则a ＝b ， 又f ′(0)＝b －1－a1－0＝a ，即a ＝b ＝－1，则a ＋b ＝－2； 所以直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：－2 x ＋y ＋1＝05．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②－2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.④将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4. 6．(2020·绍兴一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
浙江专版高考数学一轮复习第三章函数导数及其应用第十一节第一课时导数与函数的单调性课件
上单调递增，无极值点．故选 A.
答案：A
2．已知 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则 a 的最大值 是________．
答案：3
3．(2018·台州模拟)设在定义域上的可导函数 f(x)满足 f(ex)＝x －ex，则函数 f(x)的解析式为 f(x)＝________，它的单调递 增区间是________． 解析：设 t＝ex，则 x＝ln t， 则 f(ex)＝x－ex，等价为 f(t)＝ln t－t， 即 f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)， 函数的导数为 f′(x)＝1x－1， 由 f′(x)＝1x－1>0 得1－x x>0，得 0<x<1， 即函数的单调递增区间为(0,1)． 答案：ln x－x (0,1)
3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最
小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 为函数的最小值，
__f_(b_)__为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减， 则 f(a) 为函数的最大值， f(b) 为函数的最小值．
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 判断或证明函数的单调性
[典例引领]
(2018·杭州模拟)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)， 试讨论 f(x)的单调性．
解：f′(x)＝3x2＋2ax，令 f′(x)＝0， 解得 x1＝0，x2＝－23a. 当 a＝0 时，因为 f′(x)＝3x2≥0， 所以函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
答案：B
2．函数 y＝2x3－2x2 在区间[－1,2 ]上的最大值是________． 解析：y′＝6x2－4x，令 y′＝0，得 x＝0 或 x＝23. ∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f 23＝－287，f(2)＝8. ∴最大值为 8. 答案：8
(浙江专)高考数学一轮复习第三章导数3.1导数学案
§3.1导数考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 2014 2015 2016 20171.导数的概念及其几何意义1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.理解22(1),4分8(文),5分21(文),约6分03(2)(自选),5分2.导数的运算会用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数,并能求简单的复合函数的导数.掌握22(1),2分22(2),2分21(文),约3分22(1),7分21(文),约2分03(2)(自选),约2分20(1),约6分分析解读 1.导数是高考中的重要内容.导数的运算是高考命题的热点,是每年的必考内容.2.本节主要考查导数的运算,导数的几何意义,考查函数与其导函数图象之间的关系.3.预计2019年高考中,导数运算的考查必不可少,同时要注意对切线的考查,复习时应引起高度重视.五年高考考点一导数的概念及其几何意义1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3答案 A2.(2014课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )A.0B.1C.2D.3答案 D3.(2017课标全国Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=04.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案 15.(2016课标全国Ⅲ,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.答案y=-2x-16.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.答案-37.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.答案(-ln 2,2)8.(2016浙江自选,“复数与导数”模块,03(2),5分)求曲线y=2x2-ln x在点(1,2)处的切线方程.解析 因为(2x 2-ln x)'=4x-,所以曲线在点(1,2)处的切线的斜率为3.因此,曲线在点(1,2)处的切线方程为y=3x-1.9.(2013浙江,22,14分)已知a∈R,函数f(x)=x 3-3x 2+3ax-3a+3. (1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程; (2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.解析 (1)由题意得f '(x)=3x 2-6x+3a, 故f '(1)=3a-3.又f(1)=1,所以所求的切线方程为y=(3a-3)x-3a+4.(2)由于f '(x)=3(x-1)2+3(a-1),0≤x≤2.故(i)当a≤0时,有f '(x)≤0,此时f(x)在[0,2]上单调递减, 故|f(x)|max =max{|f(0)|,|f(2)|}=3-3a.(ii)当a≥1时,有f '(x)≥0,此时f(x)在[0,2]上单调递增, 故|f(x)|max =max{|f(0)|,|f(2)|}=3a-1. (iii)当0<a<1时,设x 1=1-,x 2=1+,则0<x 1<x 2<2,f '(x)=3(x-x 1)(x-x 2). 列表如下:x 0 (0,x 1) x 1 (x 1,x 2) x 2 (x 2,2) 2 f '(x)+ 0 - 0 + f(x) 3-3a 单调递增 极大值f(x 1) 单调递减 极小值f(x 2)单调递增 3a-1由于f(x 1)=1+2(1-a),f(x 2)=1-2(1-a)·,故f(x 1)+f(x 2)=2>0,f(x 1)-f(x 2)=4(1-a)·>0. 从而f(x 1)>|f(x 2)|.所以|f(x)|max =max{f(0),|f(2)|,f(x 1)}. ①当0<a<时,f(0)>|f(2)|.又f(x 1)-f(0)=2(1-a)-(2-3a)=>0,故|f(x)|max =f(x 1)=1+2(1-a).②当≤a<1时,|f(2)|=f(2),且f(2)≥f(0).又f(x 1)-|f(2)|=2(1-a)-(3a-2)=,所以当≤a<时,f(x 1)>|f(2)|. 故f(x)max =f(x 1)=1+2(1-a).当≤a<1时,f(x 1)≤|f(2)|.故f(x)max =|f(2)|=3a-1.综上所述,|f(x)|max =10.(2013浙江文,21,15分)已知a∈R,函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2+6ax. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程; (2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.解析 (1)当a=1时, f '(x)=6x 2-12x+6,所以f '(2)=6.又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.f '(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).令f '(x)=0,得到x1=1,x2=a.当a>1时,x 0 (0,1) 1 (1,a) a (a,2a) 2a f '(x) + 0 - 0 +f(x) 0 单调递增极大值3a-1 单调递减极小值a2(3-a) 单调递增4a3比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得g(a)=当a<-1时,x 0 (0,1) 1 (1,-2a) -2af '(x) - 0 +f(x) 0 单调递减极小值3a-1单调递增 -28a3-24a2得g(a)=3a-1.综上所述, f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为g(a)=11.(2017北京文,20,13分)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解析本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值.(1)因为f(x)=e x cos x-x,所以f '(x)=e x(cos x-sin x)-1, f '(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=e x(cos x-sin x)-1,则h'(x)=e x(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2e x sin x.当x∈时,h'(x)<0,所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x∈有h(x)<h(0)=0,即f '(x)<0.所以函数f(x)在区间上单调递减.因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f=-.12.(2017山东文,20,13分)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3, f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析本题考查导数的几何意义;用导数研究函数的单调性;用导数求函数的极值、最值.(1)由题意f '(x)=x2-ax,所以当a=2时, f(3)=0, f '(x)=x2-2x,所以f '(3)=3,因此,曲线y=f(x)在点(3, f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,所以g'(x)=f '(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x),令h(x)=x-sin x,则h'(x)=1-cos x≥0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0;当x<0时,h(x)<0.(1)当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x),当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-a3-sin a,当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.(2)当a=0时,g'(x)=x(x-sin x),当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增;所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.(3)当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x),当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-a3-sin a.综上所述:当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=-a3-sin a,极小值是g(0)=-a;当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-a3-sin a.教师用书专用(13—19)13.(2015陕西,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)14.(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .答案815.(2014广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.答案5x+y-3=016.(2017山东,20,13分)已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=e x(cos x-sin x+2x-2),其中e=2.718 28…是自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(π, f(π))处的切线方程;(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析本题考查导数的几何意义和极值.(1)由题意知,f(π)=π2-2,又f '(x)=2x-2sin x,所以f '(π)=2π,因此曲线y=f(x)在点(π, f(π))处的切线方程为y-(π2-2)=2π(x-π),即y=2πx-π2-2.(2)由题意得h(x)=e x(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x),因为h'(x)=e x(cos x-sin x+2x-2)+e x(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x)=2e x(x-sin x)-2a(x-sin x)=2(e x-a)(x-sin x),令m(x)=x-sin x,则m'(x)=1-cos x≥0,所以m(x)在R上单调递增.因为m(0)=0,所以当x>0时,m(x)>0;当x<0时,m(x)<0.(i)当a≤0时,e x-a>0,当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;(ii)当a>0时,h'(x)=2(e x-e ln a)(x-sin x),由h'(x)=0得x1=ln a,x2=0.①当0<a<1时,ln a<0,当x∈(-∞,ln a)时,e x-e ln a<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(ln a,0)时,e x-e ln a>0,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,e x-e ln a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以当x=ln a时h(x)取到极大值,极大值为h(ln a)=-a[(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;②当a=1时,ln a=0,所以当x∈(-∞,+∞)时,h'(x)≥0,函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;③当a>1时,ln a>0,所以当x∈(-∞,0)时,e x-e ln a<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(0,ln a)时,e x-e ln a<0,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(ln a,+∞)时,e x-e ln a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;当x=ln a时h(x)取到极小值,极小值是h(ln a)=-a[(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].综上所述:当a≤0时,h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当0<a<1时,函数h(x)在(-∞,ln a)和(0,+∞)上单调递增,在(ln a,0)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(ln a)=-a[(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],极小值是h(0)=-2a-1;当a=1时,函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;当a>1时,函数h(x)在(-∞,0)和(ln a,+∞)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(ln a)=-a[(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].17.(2013湖南,22,13分)已知a>0,函数f(x)=.(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.解析(1)当0≤x≤a时,f(x)=;当x>a时,f(x)=.因此,当x∈(0,a)时,f '(x)=<0,f(x) 在(0,a)上单调递减;当x∈(a,+∞)时,f '(x)=>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=.②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.所以g(a)=max{f(0), f(4)}.而f(0)-f(4)=-=,故当0<a≤1时,g(a)=f(4)=;当1<a<4时,g(a)=f(0)=.综上所述,g(a)=(2)由(1)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求.当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线y=f(x)在(x1,f(x1)),(x2, f(x2))两点处的切线互相垂直,则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f '(x1)·f '(x2)=-1.即·=-1.亦即x1+2a=.(*)由x1∈(0,a),x2∈(a,4)得x1+2a∈(2a,3a),∈.故(*)成立等价于集合A={x|2a<x<3a}与集合B=的交集非空.因为<3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a<时,A∩B≠⌀.综上所述,存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是.18.(2015安徽,18,12分)设n∈N*,x n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)记T n=…,证明:T n≥.解析(1)y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2.从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标x n=1-=.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知T n=…=….当n=1时,T1=.当n≥2时,因为==>==.所以T n>×××…×=.综上可得对任意的n∈N*,均有T n≥.19.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解析(1)设f(x)=,则f '(x)=.所以f '(1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f '(x)=.当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.考点二导数的运算1.(2014大纲全国,7,5分)曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A.2eB.eC.2D.1答案 C2.(2013江西,13,5分)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f '(1)= .答案 23.(2017浙江,20,15分)已知函数f(x)=(x-)e-x.(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间上的取值范围.解析本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的能力.(1)因为(x-)'=1-,(e-x)'=-e-x,所以f '(x)=e-x-(x-)e-x=.(2)由f '(x)==0,解得x=1或x=.因为x 1f- 0 + 0 - '(x)f(x) ↘0 ↗↘又f(x)=(-1)2e-x≥0,所以f(x)在区间上的取值范围是.4.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xe a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解析(1)因为f(x)=xe a-x+bx,所以f '(x)=(1-x)e a-x+b.依题设,知即解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f '(x)=e2-x(1-x+e x-1)及e2-x>0知,f '(x)与1-x+e x-1同号.令g(x)=1-x+e x-1,则g'(x)=-1+e x-1.所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).综上可知,f '(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一导数的概念及其几何意义1.(2018浙江镇海中学12月测试,2)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )A.2B.1C.-1D.-2答案 A2.(2017浙江测试卷,4)已知直线y=ax是曲线y=ln x的切线,则实数a=( )A. B. C. D.答案 C3.(2017浙江衢州质量检测(1月),14)已知函数f(x)=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1,则实数a= ,此时函数y=f(x)在[0,1]最小值为.答案-;4.(2017浙江台州质量评估,20)已知函数f(x)=x3+|x-a|(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最小值(用a表示).解析(1) 当a=1,x<1时,f(x)=x3+1-x,f '(x)=3x2-1,所以f(0)=1,f '(0)=-1,所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=-x+1.(2) 当a∈(0,1)时,由已知得f(x)=当a≤x≤1时,由f '(x)=3x2+1>0,知f(x)在(a,1)上是单调递增的.当-1≤x<a时,f '(x)=3x2-1,(i)当a∈时,f(x)在上递增,在上递减,在上递增,所以在区间[-1,1]上,f(x)min=min=min=a-.(ii)当a∈时,f(x)在上递增,在上递减,所以在区间[-1,1]上,f(x)min=min{f(-1),f(a)}=min{a,a3}=a3.综上所述,f(x)min=考点二导数的运算5.(2018浙江镇海中学12月测试,1)下列求导结果正确的是( )A.(1-x2)'=1-2xB.(cos 30°)'=-sin 30°C.[ln(2x)]'=D.()'=答案 D6.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,4)设f1(x)=sin x+cos x,对任意的n∈N*,定义f n+1(x)=f n'(x),则f2 017(x)等于( )A.sin x-cos xB.sin x+cos xC.-sin x-cos xD.-sin x+cos x答案 B7.(2017浙江镇海中学阶段测试(二),13)已知函数f(x)=sin x-f 'cos x,若f '=0,则f'= .答案-1B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2017浙江湖州期末调研,2)函数y=e x(e是自然对数的底数)的图象在点(0,1)处的切线方程是( )A.y=x-1B.y=x+1C.y=-x-1D.y=-x+1答案 B二、解答题2.(2018浙江重点中学12月联考,20)已知函数f(x)=-ln(x+b)+a(a,b∈R).(1)若y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=-x+3,求a,b的值;(2)当b=0时,f(x)≥-对定义域内的x都成立,求a的取值范围.解析(1)由f(x)=-ln(x+b)+a,得f '(x)=-,所以得(6分)(2)当b=0时,f(x)≥-对定义域内的x都成立,即-ln x+a≥-恒成立,所以a≥ln x-恒成立,则a≥(ln x-)max.(9分)令g(x)=ln x-,则g'(x)=-=.(11分)令m(x)=-x,则m'(x)=-1=,令m'(x)>0,得x<1,所以m(x)在上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以m(x)max=m(1)=0,(13分)所以g'(x)≤0,所以g(x)在定义域上单调递减,所以g(x)max=g=ln ,所以a≥ln .(15分)3.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,20)已知函数f(x)=+aln x(a>0).(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=-x平行,求函数y=f(x)的单调区间;(2)若对任意x∈(0,+∞),都有f(x)>0成立,试求实数a的取值范围;(3)记g(x)=f(x)+2x-b(b∈R),当a=1时,函数g(x)在区间[e-1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围. 解析(1)直线y=-x的斜率为-1.函数f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=-+,所以f '(1)=-3+a=-1,解得a=2,(3分)所以f(x)=+2ln x,f '(x)=.由f '(x)>0,得x>;由f '(x)<0,得0<x<,所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.(5分)(2)f '(x)=-+=(a>0),由f '(x)>0,得x>,由f '(x)<0,得0<x<,所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,当x=时,f(x)取极小值,也是最小值,即f(x)min=f,(7分)∵对任意x∈(0,+∞),都有f(x)>0成立,∴f>0,即a+aln >0,(9分)又a>0,∴ln >-1,得0<a<3e.∴实数a的取值范围为(0,3e).(10分)(3)当a=1时,g(x)=+ln x+2x-b(x>0),g'(x)==,由g'(x)>0,得x>1,由g'(x)<0,得0<x<1.所以g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞),则x=1时,g(x)取得极小值g(1).(12分)因为函数g(x)在区间[e-1,e]上有两个零点,所以得∵-=e--2>0,∴5<b≤2e++1.所以b的取值范围是.(15分)4.(2017浙江宁波二模(5月),20)设函数f(x)=x2-ax-ln x,a∈R.(1)若函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为1,求实数a的值;(2)当a≥-1时,记f(x)的极小值为H,求H的最大值.解析(1)f '(x)=(x>0),由题知,f '(1)=1,解得a=0.(2)令f '(x0)=0,则2-ax0-1=0,解得x0=,且2-1=ax0.可知f(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,则H=f(x)极小值=f(x0)=-ax0-ln x0=-+1-ln x0.记g(a)=(a≥-1),当a≥0时,g(a)为增函数;当-1≤a<0时,g(a)=,此时g(a)为增函数,故x0≥g(-1)=.设y=-x2+1-ln x.易知,函数y=-x2+1-ln x在上为减函数,所以H的最大值为+ln 2.5.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,20)已知函数f(x)=2aln x+x2-(a+2)x,a∈R.(1)当a=时,求曲线y=f(x)在点M(1, f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值.解析(1)当a=时, f(x)=ln x+x2-x,所以f(1)=-2.又f '(x)=+x-,所以f '(1)=-.由点斜式得所求切线方程为y=-x-.(2)f '(x)=+x-(a+2)==,因为x∈[1,2],所以有①当a≥2时,函数f(x)在区间[1,2]上为增函数.此时f(x)max=f(2)=2aln 2-2a-2.②当1≤a<2时,函数f(x)在区间[1,a]上为增函数,在区间[a,2]上为减函数.此时f(x)max=f(a)=2aln a-a2-2a.③当a<1时,函数f(x)在区间[1,2]上为减函数.此时f(x)max=f(1)=-a-.故函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(x)max=6.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,20)已知函数f(x)=ln x-+1.(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(2)当x∈(0,1)时,函数g(x)=af(x)-x2在x=m处取得极大值,求实数a的取值范围.解析(1)由f '(x)=+,得f '(1)=3.又f(1)=-1,∴曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=3x-4.(2)g(x)=a-x2,∴g'(x)=+-x=-(x>0),∵g(x)在x=m处取得极大值,∴g'(m)=0,∴m3-2am-4a=0,即a=(0<m<1),设h(m)=(0<m<1),则h'(m)==>0.∴h(m)在(0,1)上单调递增,∴0<a<.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 导数运算的解题策略1.求下列函数的导数:(1)y=x;(2)y=1+sin cos;(3)y=xsin x+;(4)y=-2x.解析(1)因为y=x+2+,所以y'=1-.(2)因为y=1+sin cos=1+sin x,所以y'=cos x.(3)y'=(xsin x)'+()'=sin x+xcos x+.(4)y'='-(2x)'=-2x ln 2=-2x ln 2.方法2 导数的几何意义的解题策略2.(2017浙江镇海中学模拟卷一,20)已知函数f(x)=x3+3ax2.(1)判断函数f(x)的单调性;(2)若过点(1,0)可作曲线y=f(x)的三条切线,求a的取值范围.解析(1)f '(x)=3x2+6ax=3x(x+2a),所以当a=0时,f '(x)≥0恒成立,因此f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,-2a)上单调递减,在(-2a,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(-∞,-2a)上单调递增,在(-2a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)设切点坐标为(t,f(t)),则过该点的切线方程为y-f(t)=f '(t)(x-t).易知该直线经过点(1,0),则有-f(t)=f '(t)(1-t),即t[2t2+(3a-3)t-6a]=0,由题可知,上述方程有三个互不相等的实根,即2t2+(3a-3)t-6a=0有两个互不相等的非零实根,所以有解得所以a的取值范围是(-∞,-3)∪∪(0,+∞).3.(2017浙江镇海中学模拟卷四,20)已知函数f(x)=ax2-ln x(其中a为正常数).(1)当a=时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)试求函数f(x)在[1,2]上的最小值.解析(1)当a=时,f(x)=x2-ln x,则f '(x)=x-=,所以f '(2)=,且f(2)=2-ln 2,因此曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(2-ln 2)=(x-2),即y=x-(1+ln 2).(6分)(2)f '(x)=2ax-=,其中x>0,因此,f(x)在上单调递减,在上单调递增. (8分)当≤1,即a≥时,f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=a;(10分)当≥2,即0<a≤时,f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)min=f(2)=4a-ln 2;(12分)当1<<2,即<a<时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)min=f=+ln(2a).(14分)综上,f(x)min=(15分)。
浙江高考数学第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件
-4知识梳理 双击自测
1.平均变化率 ������(������2 )-������(������1 ) ������2 -������1 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为 2.导数的概念
f(x0 + ������x)-f(x0 ) Δ������ →0 ������x
-17-
考点一
考点二
对点训练(1)(2018重庆第三次诊断)设函数f(x)=sin x-cos x,f(x)的 导函数记为f'(x),若f'(x0)=2f(x0),则tan x0=( )
A.-1
B.
1 3
C.1
D.3
关闭
根据题意,得f'(x)=cos x+sin x,由f'(x0)=2f(x0),得cos x0+sin x0=2sin x02cos x0,化简可得sin x0=3cos x0,即tan x0=3,故选D. D
解析
关闭
-22答案
考点一
考点二
类型二 求切点坐标 【例3】 曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点 P的坐标为( ) A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)
关闭
f'(x)=3x2-1,令f'(x)=2,则3x2-1=2,解得x=1或x=-1,∴P(1,3)或(-1,3),经检验, 点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,故选C. C
⑤y'=(22x+1)'+[ln(3x+5)]'
=(22 x+1 · ln 2)(2x+1)'+
(浙江专版)高考数学一轮复习专题3.1导数概念及其几何意义(讲)
第 01 节导数观点及其几何意义考点导数观点及其几何意义考纲内容认识导数的观点与本质背景，理解导数的几何意义 .【考纲解读】5 年统计剖析展望1.求切线方程或确立切点坐标问题为主；2.独自考察导数观点的题目很少 .3.导数的几何意义为全国卷高考热门内容，常有的命题研究角度有：(1)求切线斜率、倾斜角、切线方程．(2)确立切点坐标问题．2013 ·浙江卷文21；理 22; (3) 已知切线问题求参数．2018 ·浙江卷22.(4) 切线的综合应用．4.备考要点：(1)娴熟掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法例；(2)娴熟掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式 .【知识清单】1．导数的观点1．函数y＝f ( x) 在x＝x0处的导数定义：称函数y＝ f ( x)在 x＝x0处的刹时变化率lim f ( x0x) f (x0 )lim y为函数 y＝ f ( x)在 x＝x0处的导数，记作 f ′(x0)或x0x x 0xy′|x＝ x ，即f (x0)lim y f ( x0x) f ( x0 ) 0x 0x x0x2．函数f ( x) 的导函数称函数 f ( x) lim f ( x x)f ( x)为 f ( x)的导函数．x0x2．函数y f (x) 在x x0处的导数几何意义函数f () 在点x0 处的导数f′( 0)的几何意义是在曲线y＝(x)上点 (x0，(x0))处的切线x x f f的斜率 ( 刹时速度就是位移函数s( t) 对时间t的导数 ) ．相应地，切线方程为y－ f ( x0)＝f ′(x0)( x－ x0)．【要点难点打破】考点 1利用导数的定义求函数的导数【1-1 】一质点运动的方程为s 8 3t 2 .（ 1）求质点在 [1 ， 1+ t] 这段时间内的均匀速度；（ 2）求质点在 t=1 时的刹时速度（用定义及求求导两种方法）【答案】（ 1）6 3 x ；（ 2） 6 .【意会技法】1. 依据导数的定义求函数 yf ( x) 在点 x 0 处导数的方法：①求函数的增量 yf ( x 0x)f (x 0 ) ；②求均匀变化率y f ( x 0x) f ( x 0 )；xx③得导数 f ( x 0 )limy ，简记作：一差、二比、三极限.x 0x2. 函数的导数与导数值的区间与联系：点的函数值，导数值是常数【举一反三】【变式一】若f ( x 0 )3 ，则 limh 0A ．3B． 12导数是本来函数的导函数， 而导数值是导函数在某一f (x 0 h)f ( x 0 3h) （）hC．9D．6【答案】 B【分析】法一（着重导数观点的应用的解法）：因为f ( x 0 )limf (x 0h) f (x 0 )3 ，h 0h所以limf ( x 0 h) f ( x 0 3h)f ( x 0 h) f ( x 0 ) [ f (x 0 3h)f ( x 0 )]hlimhh 0h 0lim f ( x0 h) f ( x0 )lim f (x0 3h) f ( x0 )lim f (x0 h) f (x0 ) 3 lim f ( x0 3h) f (x0 )h h h3hh 0h 0h 03h 0f (x0 ) 3 f (x0 ) 4 f ( x0 )12 ，选B；法二（着重导数定义中各变量的联系的解法）：因为 f ( x )lim f (x0h) f (x0 ) 3 ，0h 0h所以lim f ( x0 h) f ( x03h)4lim f ( x0h) f ( x03h) 4 f'(x0 )12 （此中：h 0h h 04h( x0h) ( x03h)4h ），应选 B.考点 2 导数的几何意义【2-1 】【 2018 年全国卷 II 文】曲线在点处的切线方程为 __________．【答案】 y=2x–2点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.【2-2 】【 2018 年全国卷Ⅲ理】曲线在点处的切线的斜率为，则________ ．【答案】【分析】剖析：求导，利用导数的几何意义计算即可。
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【创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算练习基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·山东师大附中月考)曲线y ＝a x在x ＝0处的切线方程是x ln 2＋y －1＝0，则a ＝( ) A.12B.2C.ln 2D.ln 12解析 由题知y ′＝a xln a ，y ′|x ＝0＝ln a ，又切点为(0，1)，故切线方程为x ln a －y ＋1＝0，∴a ＝12.答案 A2.若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A.2B.0C.－2D.－4解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，∴令x ＝1，得f ′(1)＝－2， ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4. 答案 D3.(2016·保定调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.eB.－eC.1eD.－1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e .答案 C4.(2016·湖州高三模拟)曲线y ＝e －2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( ) A.13B.12C.23D.1解析 y ′|x ＝0＝(－2e－2x)|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，故围成的三角形的面积为12×1×23＝13.答案 A5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案 B 二、填空题6.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________.解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 37.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________.解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2，0)，所以切线方程为x －y －2＝0. 答案 x －y －2＝08.(2015·陕西卷)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1) 处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1). 答案 (1，1) 三、解答题9.求下列函数的导数： (1)y ＝x nlg x ； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝log 3(2x ＋1). 解 (1)y ′＝nx n －1lg x ＋x n·1x ln 10＝xn －1⎝ ⎛⎭⎪⎫n lg x ＋1ln 10. (2)∵y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3，∴y ′＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3′ ＝－12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.(3)y ′＝1（2x ＋1）ln 3·(2x ＋1)′＝2（2x ＋1）·ln 3.10.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2，4)的切线方程.解 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1，或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0，或4x －y －4＝0.能力提升题组 (建议用时：40分钟)11.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 015(x )等于( )A.－sin x －cos xB.sin x －cos xC.－sin x ＋cos xD.sin x ＋cos x解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A. 答案 A12.已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为( )A.x ＋4y －2＝0B.x －4y ＋2＝0C.4x ＋2y －1＝0D.4x －2y －1＝0解析 y ′＝－ex（e x ＋1）2＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x＋1e x ≥2e x×1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≤－14当(x ＝0时取等号).当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A.答案 A13.已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________. 解析 f ′(x )＝12x，g ′(x )＝ax (x ＞0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x＝ax ，解得a ＝e 2，x ＝e 2. ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e ，∴切线的方程为y －e＝12e (x －e 2)，即y ＝12e x ＋e 2. 答案 y ＝12e x ＋e 214.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12 ＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0).令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0). 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.。