#分块矩阵的初等变换和应用
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十.研究创新题
解:
1.分块矩阵的初等变换
分块矩阵的初等变换与初等矩阵
吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到 定义1 分块矩阵的行(列)初等变换是指: (1)交换两行(列)的位置;
(2)第i行(列)的各个元素分别左乘(右乘)该行(列)的一个)
(i h 阶)阶)((i l 左(右)保秩因子H;
(3)第i行(列)的各个元素分别左乘(右乘)一个)
(i h 阶)阶)((i l 矩阵K后加到第j行. 定义2 对应于分块矩阵t s ij A ⨯)(的初等分块矩阵是指:
(1)))((k j i P i +=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛ss ll
ii
E E K E E
11
或ijk P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛ii ll ii
jj E O
E E O E
(2) )(H P il =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛ss ll E H
E 或)(H P ik =⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛ii E H E 11 其中H为第i行(列)的一个左(右)保秩因子;
(1) ))((k j i P i +=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛ss ll
ii E E K E E
11
(2) 或))((k j i P k +=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛ll ll
ii E E K E E
11 初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得:
定理1 (1)交换t s ij A ⨯)(的第i行与第j行,相当于左乘一个m阶初等分块矩阵ijL P ,其中
ijL P 中的元素ii E 为h(i)阶单位矩阵, jj E 为h(j)阶单位矩阵,
当r≠i且r≠j时, rr E 为h(r)阶单位矩阵;交换t s ij A ⨯)(的第i列与第j列相当于
右乘一个n阶初等分块矩阵ijk P ,其中ii E 为l(i)阶单位矩阵, jj E 为l(j)阶单位矩阵, 当r≠i且r≠j时, rr E 为l(r)阶单位矩阵;
(2) t s ij A ⨯)(的第i行的每一个元素左乘一个矩阵H相当于t s ij A ⨯)(左乘一个m阶分块矩阵)(H P iL 中H为h(i)阶方阵; t s ij A ⨯)(的第i列的每一个元素右乘一个矩阵H,相当于t s ij A ⨯)(右乘一个n阶初等到变换矩阵)
(H P ik ,其中H为l(i)阶方阵; (3) t s ij A ⨯)(的第j行的每个元素分别左乘一个h(i)×h(j)矩阵K后加到第i行,相当于t s ij A ⨯)(左乘一个初等分块矩阵))((k j i P L +;第j列的每一个元素分别右乘l(j)×l(i)矩阵K后加到第i列,相当于t s ij A ⨯)(右乘))((k j i P k +. 定理2设A为方阵,则分块矩阵t s ij A ⨯)(施行第一种行初等变换后,对应的行列式为
A j i h )
,()(1-,
其中
h(i,j)=h(i)h(j)-l+h(i+l)]+…+h(j)[h(i)+h(i+j)+…+h(j-l)], l(i,j)=l(i)h(j)-l+l(i+l)]+…+l(j)[l(i)+l(i+j)+…+l(j-l)],
施行第二种初等变换后,对应的行列式为|H|·|A|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变.
证明: H H P i =)
(,A k j i P =+))((显然成立. 下证)
,()(j i h irL P 1-=
,ii E 所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至jj E 前,共进行h
(i)-1+h(i+1)+…+h(j-1)次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至jj E 前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把ii E 所在的行移至jj E 所在的行前,共进行 h(i)[h(i)-1+h(i+1)+…+h(j-1)]次交换两行,然后把jj E 移至适当的位置,同理共进行h(j)[h(i)+h(i+1)+…+h(j-1)]次交换两行,所以交换两行的总次数为h(i,j),故)
,()(j i h irL P 1-=;同理)
,()(j i l irR P 1-=
.
所以有
A P ilj =ilj P ∙A =(-1)),(l i h A 或ilk AP =A ∙ilk
P =(-1))
,(j i l A
A H P il )(=)(H P il A =H ∙A 或A )(H P ik =H ∙A
A k j i p l ))((+=)((k j i P l +A ∙=A ))((k j i AP K +=A ))((k j i P k +=
A
定理3 分块矩阵进行初等变换后,秩不变.
证明: 对于(1),相当于对n m ij a A ⨯=)(进行若干次行(列)的交换,故命题成立;对于(2),根据
定义1,显然成立;对于(3),相当于进行若干次把n m ij a A ⨯=)(行(列)乘以一个倍数后加到另一行(列),故命题成立.
定理4 (1)设A,B的行数均为m,则矩阵方程AX=B,当rank (A)= rank (A,B)=m
时有唯一解,当rank (A)= rank (A,B)<m时有无穷多解, 当rank (A)< rank (A,B)时无解;
(2)设A,B的列数均为n,则矩阵方程XA=B,当rank (A)= )(T
T B A rank ,=n时有唯一解,当rank (A)= )(T
T
B A rank ,<n有无穷多解, 当rank (A)< )(T
T
B A rank ,时无解.
证明: (1)设rank (A)= rank (A,B)<m,则存在可逆矩阵P,Q,使
Q O O O I P A r
⎢⎢
⎣⎡⎥⎦⎤
=,Q O O B B P B ⎢⎢⎣⎡⎥⎦
⎤
=21 其中r I 为r阶单位矩阵, 1B 为r阶方阵,设Q B B B B Q X o
⎢⎣⎡⎥⎦⎤
=-43
211
,
则有: Q O O O I P AX r o ⎢⎢⎣
⎡⎥⎦⎤= Q B B B B Q ⎢⎣⎡⎥⎦⎤-43211
= []⎢⎣⎡⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦⎤4321B B B B O O O I P r = Q O O B B P ⎢⎢⎣
⎡⎥⎦⎤21=B
所以o X 为AX=B的解,其中3B , 4B 是任意的.
当rank (A)= rank (A,B)=m时,A=P(m I O)Q,B=( 1B 2B ),显然,AX=
B有唯一解: Q B B Q X o )(21
1
-=;当rank (A)< rank (A,B)时,AX=B无解.
同理可证(2)成立(当rank (A)= rank ( t
A , T
B )<n时,X=P ⎢⎢
⎣⎡⎥⎦
⎤O O
O I r
1
-P ) 定义3 对于任意的u,v,如果rank ( ij A )= rank ( ij A ,iv A )= rank (T ij A ,T
iv A ),
则称ij A 为极大元.
定理5 分块矩阵22 ij A ⨯)(可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是:
它有一个极大元.
证明: 充分性.不妨设11A 为极大元(否则可以通过第一种分块矩阵的初等变换把极大元移到
第一行,第一列交叉位置).由定理4,存在可逆矩阵P,Q,使
Q O O O I P A r ⎢⎢⎣
⎡⎥⎦⎤=11Q O B O A P A ⎢⎣⎡⎥⎦⎤
=2121,Q O O A A P A ⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤=2'1'12, 令K=-P⎢⎣⎡⎥⎦⎤43
21A A A A 1
-P ,其中3A , 4A 为适当阶数的任意矩阵.则
K 11A + 21A =P -⎢⎣⎡⎥⎦⎤4321A A A A 1-P P ⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤
O O O I r Q , 所以
22 ij A ⨯)( 第一行左乘K加到第二行,得⎢⎢
⎣
⎡⎥⎦⎤+221212
11
A KA O A A .同理,令K'=-1
-Q ⎢⎢⎣⎡⎥
⎥⎦⎤4231,,,,A A A A Q ,
则11A K′+12A =0,所以⎢⎢
⎣⎡⎥⎦⎤
+221212
11
A KA O A A 的第一列右乘K′后加到第二列,
得⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤
+221211
A KA O
O
A .
(如先进行列变换,再进行行变换,得⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤
+222111A K A O
O A ,
, 因为2221A KA +=⎢⎢⎣
⎡⎥⎥⎦⎤-2'
21'22'11'1A A A A A A A A +22A =21'
A K +22A ,故两种运算顺序结果相同) 必要性.反证法,不妨设rank (11A )≠rank (T A 11,T A 21)或rank (T A 11,T
A 221)rank (21A ),
则由定理4, X 11A =-21A 或X 21A =-11A 无解,从而不存在K,使22 ij A ⨯)(对角化.同理,当rank (11A )≠rank (11A ,12A )或rank (11A ,12A )≠rank (12A )时,不存在'
K 使 -A 11K '
=A 12或-'12K A =11A 成立.
定理5表明:并不是所有的2×2分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化,如果分块矩阵没有极大元,则需分得更细,才能对角化.
定理 6 矩阵n m A ⨯的一种分块方法t s ij A ⨯)(可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是:存在s-1行且存在t-1列有极大元.
证明: 用数学归纳法.当s=t=1时,只有一块,命题成立;
设s ≤e,t≤ f时命题成立.当s=e+1,t=f时,存在e行且存在f-1列有极大元,
显然可以用第一种分块矩阵的初等变换,通过交换两行或两列的位置,使t s ij A ⨯)(的前e
行与前f-1列都有极大元,再把前e行,前f-1列看成一块,得到一个新的2×2分块矩
阵,记为22 ij B ⨯)(.显然11B 为极大元,根据定理4, 22 ij B ⨯)(可以化成对角形:
⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+2221B KB O O B ,又)()(111-⨯=
f e ij A B ,它的每行、列都有极大,故由假设11B 可以对角化,从而f e ij A ⨯=)()(1可以对角化.同理可证当s=e,t=f+1时, )
()(1+⨯f e ij A 可以对角化.由此命题成立.
下面讨论对角化后的非零块ii A 进一步化简的方法.
设Q O O
O I P A i ii ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=,121-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=P B O B I L i i 与⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-211C C O I Q R R
i .根据定理1, i L ,i R 为ii A 的左(右)保秩因子,显然也是ii A 所在行(列)的左(右)保秩因子,故对角化后的
分块矩阵第i行、第i列分别左乘i L ,右乘i R 后, ii A 可以化成⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡O O O I i 讨论分块方阵行列式的计算,先讨论分块初等阵的行列式. 设I 为S ×S 分块单位阵:
I=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛s r r r r I I I I
3
21 其中I r i 为r i 阶单位阵(1≤i ≤S),对I 施行一次初等变换可得定义2所述的三种分块初等阵,它们的行列式有下列计算公式.
引理 分块初等阵的行列式有以下性质:
(1)|I(i,j)|= τ
)1(-,其中τ=r i (r i +1+…+r j )+ r j (r i +1+…+ r j -1)(i<j). 特别地,若j=i+1,则| I(i,j)|=(-1) r i r j ; (2)|I(i(K))|=|k|,其中K 是r i 阶可逆阵; (3)|I(j(K),i)|=1,其中K 是r i ×r j 矩阵.证
(1)不难验证,将I(i,j)的元素行进行τ次相邻的对调可将I(i,j)变成I,由行列式的性质,|I(i,j)|= τ
)1(-|I|=τ
)1(-.
(2),(3)由对角分块方阵及三角形分块方阵的行列式计算方法即知.
由于对分块方阵A 施行一次初等行变换,相当于用相应的分块初等阵左乘A,由上述引理,我们有下列分块方阵的行列式计算性质. 定理7 设A 是一个分块方阵.
(1)交换|A|的i,j 两行(列),行列式变为(-1)τ|A|,
其中τ= r i (r i +1+…+ r j )+ r j (r i +1+…+ r j -1);
特别地,交换|A|的相邻两行(列)(i 行和i+1行),行列式变为(-1) r i r i +1|A|; (2)用一个r i 阶可逆阵K 左(右)乘|A|的第i 行(列)的所有矩阵,等于用|K|乘以|A|; (3)用一个矩阵左(右)乘|A|的某一行(列)的所有矩阵再加到另一行(列)的对应元素上,行列式不变. 由定理7的(2)可得
推论 分块行列式|A|的某一行(列)的所有矩阵的可逆左(右)因子K,可以行列式|K|的形式
提到行列式符号外.
2.分块矩阵初等变换的应用
一、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的逆.
廖中行在2002年05期《四川教育学院学报》上的《初等变换在分块矩阵乘法》的一文中提到 例1: 已知⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=C O D B P 其中B是r×r可逆阵,C是s×s可逆阵,求证:P可逆,并求1
-P .分析:本题是一个分块阵的求逆问题,一般可用待定子块法,也可利用广义初等
变换,还可用左乘分块初等阵的方法.解:因B、C可逆,故|B|≠0,|C|≠0.根据拉普拉斯展开,有C B C
O D B P ·==
≠0,故P可逆.求C 有三种办法:
解法一:利用广义初等行变换法.
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛E E
C D B 000B 1-⨯r 1
,C 1
-⨯r 2⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---111000C B E D B E
(B 1
-D)2r ⨯+r 1 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----1111
00C DC B E B E 故P 1-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----1111
0C DC B B 本题对分块矩阵进行广义初等变换是一般矩阵的初等变换的一种推广,其方法和一般矩
阵相同.作初等行(列)变换时,对矩阵P应左(右)乘相应的分块单位阵.上述分块初等变换的过程也可用分块阵左乘相应的分块初等阵,可表示如下: 解法二: 可用左乘分块初等阵的方法求1-P
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100C B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D B 0=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--110C D B E 有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--E D B E 01⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E D B E 01=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛E E 00 即:⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--E D B E 01⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-C B 001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D B 0=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛E E 00=E 故有P 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D B 01-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--E D B E 01⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100C B =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----11110C DC B B 例2:已知A=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1001000000643521100010001,求A 1
-.
分析:本题是一个矩阵的求逆问题,一般可用公式法,矩阵的初等变换法求;可以用分
块矩阵初等变换法求1
-A .
利用分块矩阵初等变换法
先A 化分成分块矩阵,即A=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛--10010000006435
2
1
100010001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D B 0 其中B=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛100010001,C=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001,D=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛654321 从而求得B 1-=⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛100010001,C 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001
然后对A 进行广义初等变换,即:
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛E E
C D B 000B 1-⨯r 1,C 1-⨯r 2⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---111000C B E D B E
(B 1
-D)⨯r 2+r 1 ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-----1111
00C DC B E B E ∴A 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11
110C DC B B =⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--100
0001000651004201031
001
如果用其它方法来求解将会变得很繁琐,用分块矩阵的初等变换发来求解就显的比较简单.
二、利用分块矩阵初等变换求行列式的值
宋玉英在2002年04期的《兰州教育学院学报》上的《“用广义初等变换”法求“分
块矩阵”的逆矩阵》一文中提到
例3 设P=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛D C B A 是一个分块方阵,其中A 是r 阶可逆阵,求|P|.
解: 由推论及定理7的(3):
P =
D C B
A =A D C
B A I
r 1-=A B
CA D B
A I
r 1
10
---=A B CA D 1-- 若A 与D 可乘,则|P|=|AD-ACAB|;又若A 与C 可交换(即AC=CA),则|P|=|AD-CB|.例
例4 设D n 2=
d c d c b
a b a
, 其中a ≠0,求|A|
解: D n 2=
d c
d c b a b
a
=
D
C
B A
由于A,C 可交换,所以
D n 2=CB AD -=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∙⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛bc bc ad ad = =|(ad-bc)I|=(ad-bc)n
例5 设A,B,C 和D 是n 阶方阵,试证明D
C
B A =
A
B
C
D
证 两次利用定理4的(1),得
D C B
A =(-1)
2
n B
A D
C =(-1)2
n (-1)
2
n A
B
C D =
A
B
C D
三、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的秩
史永铨在2002年02期《淮南师范学院学报》上的《分块矩阵初等变换及其应用》一文中提到:
矩阵的秩有以下初等性质:
设A与B分别是r×s与p×q矩阵,则rB
C
A 0≥r(A)+r(B)
并且当A(或B)是方阵且非异时,或者C=0时上式的等号成立. 例6. 设A是m×n阵
D
C
B A 的非异顺序主子阵,
则r
D
C
B A =r(A)+r(D-CA1-B)
证: ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡---r m r
I CA
I 1
0∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--B CA D B A
10
而A是非异阵,由以上性质知r⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A =⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--B CA D B A 10≥r(A)+r(D-CA 1
-B) 例7. 设n阶方阵A=(Qij )为反对称矩阵,证明:r(A)必为偶数 证: 对n用归纳法
n=1,2是命题显然成立
设阶数小于n时命题为真则对n阶及对称矩阵A,将A分块成
A=
D
B
C A 1,其中A1=
012
12a a -不妨设12a ≠0.
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I BA I 1
1
0⎥⎦⎤⎢⎣⎡D B C A 1⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--I C A I 0
11=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--C BA D A 111
00
∴r(A)=r⎥⎦⎤⎢
⎣⎡D B
C A 1
=r⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--C BA D A 11100 =r(A1)+r(D-BA1
1-C) =2+r(D-BA1
1-C)
但D-BA 1
1-C为阶数比A低的反对称矩阵,由归纳假设r(D-BA1
1-C)为偶数,
故r(A)为偶数.
四、分块矩阵的初等变换在矩阵分解中的应用
例8. 设A=(aij )是n阶方阵,它的顺序主子式全不为零,
证明: 存在非异下三角形矩阵B与非异上三角形矩阵C,使A=BC 证: 对n用归纳法
n=1时显然成立
设当n-1时,结论成立,则对n,将A分块成A=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-nn n a A β
α1 由归纳假设对A1-n =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----1,11,11,11,1n n n n a a a a
有A1-n =B1C1其中B1C1分别是n-1阶非异下三角形与上三角形矩阵
⎥⎦⎤⎢⎣⎡----10111n n A I β∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a A n 0
1,其中b=a nn -1
1--n A βa 上式两端取行列式有:A =1-n A ∙b, ∴ b ≠0
∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b A n 001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡I C B 0011∙⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-b a B C 0111 于是得:A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-m n a A βα1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----10111n n A I β∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b B C 0
111α=BC 其中B=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡----10111n n A I β1-∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10111n n A I β⎥
⎦⎤⎢⎣⎡1001B =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-10111
C B β, C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b B C 0
111α
B =1B ≠0,
C =b 1C 0≠
∴B 与C 分别是非奇异的下三角与上三角形矩阵.
类似的例子还可以举出很多,由于篇幅有限,不再赘述.总之,在矩阵乘法中,只要对矩阵进行恰当的分块,结合矩阵初等变换的方法,就能大大的简化其运算.。