内蒙古北方重工三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

内蒙古北方重工三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）不等式|x﹣2|＞x﹣2的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）2．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A．1B．C．2D．33．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）已知a＜0，b＜﹣1，则下列不等式成立的是（）A．a＞＞B．＞＞a C．＞＞a D．＞a＞5．（5分）数列{a n}满足a1=1，a2=，且（n≥2），则a n等于（）A．B．（）n﹣1C．（）n D．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．7．（5分）在等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+…+a10=30，则a5•a6的最大值等于（）A．3B．6C．9D．368．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则{a n}的前8项和为（）A．127 B．255 C．511 D．10239．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两个解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．10．（5分）公比为q的等比数列{a n}的各项为正数，且a2a12=16，log q a10=7，则公比q=（）A．B．C．2D．11．（5分）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列．对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：①，②f（x）=x2，③f（x）=e x，④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A．①②B．③④C．①②④D．②③④二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知数列{a n}为等比数列，若a1+a3=5，a2+a4=10，则公比q=．14．（5分）设x，y满足约束条件x，则目标函数z=3x﹣y的最大值为．15．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．16．（5分）有一道解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知，，求角A．经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=60°，试将条件在横线处补全．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）设函数f（x）=|2x﹣2|+|x+3|．（1）解不等式f（x）＞6；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2a﹣1|的解集不是空集，试求a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．19．（12分）已知a＞0，b＞0且a+b=1．求证：（1）；（2）．20．（12分）公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式T n对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值；（Ⅲ）设f（n）=是否存在m∈N*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．内蒙古北方重工三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）不等式|x﹣2|＞x﹣2的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：方法一：特殊值法，把x=1代入不等式检验，把x=3代入不等式检验．方法二：利用一个数的绝对值大于它本身，这个数一定是负数．解答：解：方法一：特殊值法，把x=1代入不等式检验，满足不等式，故x=1在解集内，排除答案C、D．把x=3代入不等式检验，不满足不等式，故x=3 不在解集内，排除答案B，故答案选A．方法二：∵不等式|x﹣2|＞x﹣2，∴x﹣2＜0，即x＜2∴解集为（﹣∞，2），故选答案A点评：对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值．2．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A．1B．C．2D．3考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a3=6，S3=12，得：解得：a1=2，d=2．故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是基础的会考题型．3．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：正弦定理．分析：根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．解答：解：根据正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴，故选D．点评：正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围．4．（5分）已知a＜0，b＜﹣1，则下列不等式成立的是（）A．a＞＞B．＞＞a C．＞＞a D．＞a＞考点：不等式比较大小．专题：综合题．分析：由已知可得，，然后根据b2＞1比较a与的大小．解答：解：因为a＜0，b＜﹣1，所以，，又因为b2＞1，所以．故选C．点评：本题考查了不等式的大小比较，考查了代数式的意义和性质，是基础题．5．（5分）数列{a n}满足a1=1，a2=，且（n≥2），则a n等于（）A．B．（）n﹣1C．（）n D．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：将递推公式变形，得到一个新的等差数列，再求它的通项公式，然后求a n．解答：解：∵（n≥2），∴∵a1=1，a2=，∴∴数列{} 是以1为首项，以公差的等差数列，∴=∴故答案选A点评：本题通过递推公式再构造新的特殊数列，比如等差或等比数列，利用等差或等比数列的知识求解问题．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．考点：基本不等式；等比数列的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值解答：解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．7．（5分）在等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+…+a10=30，则a5•a6的最大值等于（）A．3B．6C．9D．36考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质得到项数之和为11的两项之和相等，利用此性质化简已知的等式，可得出a5+a6的值，由a n＞0，得到a5＞0，a6＞0，利用基本不等式即可求出a5•a6的最大值．解答：解：解：∵数列{a n}为等差数列，∴a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6，又a1+a2+…+a10=30，∴a1+a2+…+a10=5（a5+a6）=30，可得：a5+a6=6，∵a n＞0，∴a5＞0，a6＞0，∴a5•a6≤=9，当且仅当a5=a6时取等号，则a5•a6的最大值等于9．故选：C．点评：此题考查了等差数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键，是中档题．8．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则{a n}的前8项和为（）A．127 B．255 C．511 D．1023考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据且a1，a3，a2成等差数列，列出方程2a6 =2a4 +48，求出首项a1，再根据等比数列的求和公式，即可得答案．解答：解：∵2a4、a6、48成等差数列，∴2a6 =2a4 +48，∴2a1q5=2a1q3+48，又等比数列{a n}的公比q=2，∴解得，a1=1，∴{a n}的前8项和为故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质、等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式．属于基础题．9．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两个解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．考点：正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：由题意判断出三角形有两解时，A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出x 的范围即可．解答：解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A=90°时，圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，∴45°＜A＜90°，＜sinA＜1，由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：a=x=2sinA，∵2sinA∈（2，）．∴x的取值范围是（2，）．故选：C点评：此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．10．（5分）公比为q的等比数列{a n}的各项为正数，且a2a12=16，log q a10=7，则公比q=（）A．B．C．2D．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的性质将a2a12=16化为，求出a7的值，由log q a10=7得，根据等比数列的通项公式求出q的值．解答：解：因为各项为正数，且a2a12=16，所以，得a7=4，由log q a10=7得，，所以，即q4=4，解得q=，故选：B．点评：本题考查等比数列的性质、通项公式，以及对数的运算性质，属于基础题．11．（5分）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先根据约束条件：，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可．解答：解：满足约束条件：，平面区域如图示：由图可知，直线恒经过点A（0，），当直线再经过BC的中点D（，）时，平面区域被直线分为面积相等的两部分，当x=，y=时，代入直线的方程得：k=，故选A．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．12．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列．对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：①，②f（x）=x2，③f（x）=e x，④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A．①②B．③④C．①②④D．②③④考点：数列的应用．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设数列{a n}的公比为q（q≠1），利用保比差数列函数的定义，验证数列{lnf（a n）}为等差数列，即可得到结论．解答：解：设数列{a n}的公比为q（q≠1）①由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=ln=﹣lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；②由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=lnq2=2lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；③由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=a n+1﹣a n不是常数，∴数列{lnf（a n）}不为等差数列，不满足题意；④由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①②④故选C．点评：本题考查新定义，考查对数的运算性质，考查等差数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知数列{a n}为等比数列，若a1+a3=5，a2+a4=10，则公比q=2．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式和已知即可得出公比q．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由a2+a4=10，可得a1q+a3q=10，即q（a1+a3）=10，又a1+a3=5，所以5q=10．解得q=2．故答案为2．点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件x，则目标函数z=3x﹣y的最大值为5．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解答：解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=3x﹣y过点C（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故填：5．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是4．考点：正弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：由+=6cosC，结合余弦定理可得，，而化简+==，代入可求解答：解：∵+=6cosC，由余弦定理可得，∴则+=======故答案为：4点评：本题主要考查了三角形的正弦定理与余弦定理的综合应用求解三角函数值，属于基本公式的综合应用．16．（5分）有一道解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知，，求角A．经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=60°，试将条件在横线处补全．考点：正弦定理．专题：计算题；开放型．分析：要把横线处补全，就要把A的度数作为已知条件求c的值，由a，A和B的度数，根据正弦定理求出b的长，再由三角形的内角和定理求出C的度数，由a，b及cosC，利用余弦定理即可求出c的长．解答：解：根据正弦定理得：=，a=，sinB=，sinA=，所以b==，又C=180°﹣45°﹣60°=75°，所以cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=，所以c2=a2+b2﹣2abcosC=3+2﹣2×==，则c=．故答案为：点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的余弦函数公式化简求值，是一道中档题．把A的度数看做已知条件求c的长度是解本题的基本思路．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）设函数f（x）=|2x﹣2|+|x+3|．（1）解不等式f（x）＞6；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2a﹣1|的解集不是空集，试求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x﹣2|+|x+3|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞6，（2）把关于x的不等式f（x）≤|2a﹣1|的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）≤|2a﹣1|的解集非空，求函数f（x）的最小值即可求得a的取值范围．解答：解：（1）解：f（x）=①由，解得x＜﹣3；②，解得﹣3≤x＜﹣1；③，解得x＞；综上可知不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣1}．（2）因为f（x）=|2x﹣2|+|x+3|≥4，所以若f（x）≤|2a﹣1|的解集不是空集，则|2a﹣1|≥f（x）min=4，解得：a≥或a≤﹣．．即a的取值范围是：a≥或a≤﹣．点评：考查了绝对值的代数意义，去绝对值体现了分类讨论的数学思想；根据函数图象求函数的最值，体现了数形结合的思想．属中档题，求解问题（2）体现了转化的数学思想，属中档题．18．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．考点：解三角形；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A．（Ⅱ）把（Ⅰ）中a，b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sinB+sinC=1联立求得sinB和sinC的值，进而根据C，B的范围推断出B=C，可知△ABC是等腰的钝角三角形．解答：解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．变形得=（sinB+sinC）2﹣sinBsinC又sinB+sinC=1，得sinBsinC=上述两式联立得因为0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B=C=30°所以△ABC是等腰的钝角三角形．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的．19．（12分）已知a＞0，b＞0且a+b=1．求证：（1）；（2）．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：（1）（）（a+b）利用均值不等式证明．（2）平方转化证明即可．解答：证明：（1）∵a＞0，b＞0且a+b=1，∴=（）=2≥2+2=4．∴；（2）要证．只需a+b+1﹣2≤4，即﹣2≤1，显然成立，∴原不等证成立．点评：本题考查了利用均值不等式法证明不等式，平方转化证明，属于容易题．20．（12分）公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：综合题．分析：（1）设数列的公差为d，根据a3=7，又a2，a4，a9成等比数列，可得（7+d）2=（7﹣d）（7+6d），从而可得d=3，进而可求数列{a n}的通项公式；（2）先确定数列{b n}是等比数列，进而可求数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）设数列的公差为d，则∵a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．∴（7+d）2=（7﹣d）（7+6d）∴d2=3d∵d≠0∴d=3∴a n=7+（n﹣3）×3=3n﹣2即a n=3n﹣2；（2）∵，∴∴∴数列{b n}是等比数列，∵∴数列{b n}的前n项和S n=．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的通项，等比数列的求和公式，属于中档题．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．考点：余弦定理的应用．分析：（Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．（Ⅱ）通过C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出∴sinBcosA=2sinAcosA．当cosA=0时求出a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积；当cosA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积．解答：解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=4，又∵△ABC的面积等于，∴，∴ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，，，，，求得此时当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，．所以△ABC的面积综上知△ABC的面积点评：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式T n对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值；（Ⅲ）设f（n）=是否存在m∈N*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（I）利用当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出；（II）利用“裂项求和”即可得出T n，再利用其单调性即可得出k的最大值；（III）利用（I）求出f（n），再对m分为奇数和偶数讨论即可得出．解答：解：（I）当n=1时，=6．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=n+5．此式对于n=1时也成立．因此．（II）∵==，∴T n===．∵T n+1﹣T n==，∴数列{}单调递增，∴（T n）min=T1=．令，解得k＜671，∴k max=670．（III）f（n）==，（1）当m为奇数时，m+15为偶数，∴3m+47=5m+25，解得m=11．（2）当m为偶数时，m+15为奇数，∴m+20=15m+10，解得（舍去）．综上可知：存在唯一的正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．点评：熟练掌握“利用当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出a n”、“裂项求和”、数列的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键．。