安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高一上学期第四次统考数学试题 Word版含解析

高一数学试题一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.将23弧度化为角度的结果为（ ） A. 120()π B. 120C. ()270π D. 270【答案】A 【解析】 【分析】根据弧度制与角度的转化,即1801π⎛⎫=⎪⎝⎭,即可求解【详解】根据1801π⎛⎫= ⎪⎝⎭,可得2218012033ππ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选A【点睛】本题考查弧度制与角度制的转化,属于基础题 2.若sin 0tan αα>且cos tan 0αα⋅<，则角α的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据sin ,cos ,tan ααα在不同象限的符号进行推测即可【详解】由题,因为sin 0tan αα>,则α的终边落在第一象限或第四象限； 因为cos tan 0αα⋅<,则α的终边落在第三象限或第四象限；综上,α的终边落在第四象限 故选D【点睛】本题考查象限角,考查三角函数值的符号的应用,属于基础题 3.函数sin()4y x π=+在闭区间（ ）上为增函数.A. 3[,]44ππ-B. [,0]π-C. 3[,]44ππ-D.[,]22ππ-【答案】A 【解析】 【分析】写出函数的单调增区间,23244k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，然后取不同的k 值，从而得到答案. 【详解】函数sin()4y x π=+22242k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得32244k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以函数sin()4y x π=+的单调递增区间为,23244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 当0k =，得到函数sin()4y x π=+在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. 故选：A.【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间，属于简单题. 4.下列函数中，以π为周期的偶函数是（ ） A. sin ||y x =B. cos y x =C. sin(2)3y x π=+D.sin(22)y x π=+【答案】D 【解析】 【分析】对四个选项分别进行判断，是否为以π为周期的偶函数，排除错误选项，从而得到答案.【详解】A 选项，sin ,0sin sin ,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，不是周期函数，故不满足题目要求； B 选项，cos cos y x x ==，是以2π为周期的偶函数，故不满足题目要求；C 选项，sin(2)3y x π=+，周期为π，但不是偶函数，故不满足题目要求；D 选项，sin(2)cos 22y x x π=+=，是以π为周期的偶函数，满足题目要求；故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图像变化，三角函数的奇偶性和周期性，属于简单题. 5.tan 2019∈（ ）A. ⎛ ⎝⎭B. ⎫⎪⎪⎝⎭C. 1,⎛- ⎝⎭D.⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数的周期，得到tan 2019tan 39︒︒=，再根据正切函数的单调性，得到tan 30tan 39tan 45︒︒︒<<，从而得到答案.【详解】因为正切函数tan y x =的周期为180︒， 所以()tan 2019tan 11180+39tan39︒︒︒︒=⨯=，因为tan y x =在090α︒︒<<时单调递增， 所以tan 30tan 39tan 45︒︒︒<<，故tan 393︒⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】本题考查正切函数的周期性和单调性，属于简单题.6.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝()dB ,对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算： 010lgII η=⋅(其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设170dB η=的声音强度为1I ，260dB η=的声音强度为2I ，则1I 是2I 的（ ） A.76倍 B. 10倍C. 7610倍D. 7ln 6倍【答案】B 【解析】 【分析】根据题意代入170dB η=，260dB η=，得到方程组，然后将两式相减，整理化简后得到12I I 的值，得到答案. 【详解】因为010lgI I η=⋅， 代入170dB η=，260dB η=，得10207010lg 6010lg I I I I ⎧=⋅⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩，两式相减，得12001010lglg I I I I ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭得到12lg1I I =，即1210II =， 故选：B.点睛】本题考查利用已知函数模型解决问题，对数运算公式，属于简单题. 7.已知函数()()cos 2f x x ϕ=+的图象的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ=（ ） A.3π B.23π C.56π D.136π【答案】C 【解析】 【分析】把,03π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数中，表述出ϕ，然后选取不同的k 值，从而得到答案.【详解】因为函数()()cos 2f x x ϕ=+的图象的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以把,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得2cos 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以232k ϕππ+=+π，k Z ∈， 整理得6k ϕπ=π-，k Z ∈，所以取1k =时，56πϕ=，故选：C.【点睛】本题考查根据余弦型函数的对称中心求参数的值，属于简单题. 8.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( )A. B. C.D.【答案】D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x xx x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．9.已知函数tan y x ω=在ππ22，⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则( ) A. 01ω≤＜ B. 10ω≤－＜ C. 1ω≥ D. 1ω≤－【答案】B 【解析】【详解】函数y =tan ωx 在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是减函数，首先得ω<0，ππ22x ωωω⎛⎫⎪⎝∈⎭，-， 由题意，得π22π10220πωπωωω⎧≥-⎪⎪⎪-≤⇒-≤<⎨⎪<⎪⎪⎩， 故选B ．10.若定义在实数集R 上的()f x 满足：(3,1)x ∈--时，(1)xf x e +=，对任意x ∈R ，都有1(2)()f x f x +=成立.(2019)f 等于（ ） A. 2e B. 2e -C. eD. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据1(2)()f x f x +=,令2x x =+,可得()()4f x f x +=,则4T =,即()()20191f f =-,依题意代入解析式计算即可【详解】由题,令2x x =+,则()()()()()1122412f x f x f x f x f x ++=+===+,所以()f x 是周期函数,4T =,则()()()201931f f f ==-,令11+=-x ,即2x =-时,此时()21f e --=故选B【点睛】本题考查函数周期性的应用,考查求函数值11.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>，存在实数12,x x ，对任意的x ∈R ，都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，且12x x -的最小值为2π，则方程()ln 0f x x -=的根的个数为 ( )（注：27.389e =） A. 14 B. 16C. 18D. 20【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到函数()f x 的周期，从而求出ω的值，然后在同一坐标系下画出()y f x =和ln y x =的图像，根据两个函数图形的交点个数，得到方程()ln 0f x x -=的根的个数，从而得到答案.【详解】根据题意得到()1f x 和()2f x 分别为函数()f x 的最小值和最大值， 因为12x x -的最小值为2π， 所以22T π=，得T π= 所以22Tπω==， 所以()2sin 2f x x =要求方程()ln 0f x x -=的根的个数，则在同一坐标系下画出()y f x =和ln y x =的图像， 由图像可得，两函数图像共有18个交点， 所以方程()ln 0f x x -=的根的个数为18， 故选：C.【点睛】本题考查正弦函数周期性的应用，函数图像变换，函数与方程，属于中档题.12.已知函数()(2)2f x f x +-=，当(]1,1x ∈-时，(](]22,1,0()1,0,1xx f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，若定义在()1,3-上的()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 1,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭C. (0,6+27D.(0,627-【答案】D 【解析】 【分析】根据()(2)2f x f x +-=得到()f x 图像关于()1,1对称，画出()y f x =在()1,3-上的图像，画出()1y t x =+的图像，该图像恒过()1,0，找到()y f x =和()1y t x =+图像有三个交点的临界位置，从而得到方程组，利用0∆=得到临界时t 的值，从而得到t 的取值范围，得到答案.【详解】因为函数()f x 满足()(2)2f x f x +-=， 所以可得()y f x =的图像关于点()1,1成中心对称，根据(]1,1x ∈-时，(](]22,1,0()1,0,1xx f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩画出()f x 在()1,3-上的图像，画出()1y t x =+的图像，可知该图像是恒过点()1,0-的一条直线()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点即()y f x =和()1y t x =+的图像有三个交点， 如图所示位置为临界位置，其中()1,2x ∈，()()222f x x =--+联立()()2122y t x y x ⎧=+⎪⎨=--+⎪⎩ 得()2420x t x t +-++=，令0∆=，即()()24420t t --+= 求得627t=-或627t =+， 因为()1240x x t +=-->，所以4t <， 所以得到627t =-，因此直线的斜率t 的范围为()0,627-. 故选：D.【点睛】本题考查函数图像的应用，函数图像变换，函数与方程，属于中档题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上. 13.若角θ与2θ的终边关于x 轴对称，且πθπ-≤≤，则θ所构成的集合为___________.【答案】22,0,33ππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】根据角θ与2θ的终边关于x 轴对称，可得22k θπθ=-，k Z ∈，从而表示出θ，然后根据πθπ-≤≤，选取不同的k 值，得到答案.【详解】角θ与2θ的终边关于x 轴对称， 所以得到22k θπθ=-，k Z ∈， 所以23k πθ=，k Z ∈， 因为πθπ-≤≤， 所以1,0,1k =-，所以22,0,33ππθ=-， 故答案为：22,0,33ππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查根据角的终边关系求角，属于简单题. 14.函数2()cos 4sin 1f x x x =+-的最小值为________. 【答案】5- 【解析】 【分析】将函数()f x 转化为()2sin 4sin f x x x =-+，然后令[]sin 1,1t x =∈-，得到()24f t t t =-+，从而得到函数最小值，得到答案.【详解】2()cos 4sin 1f x x x =+-21sin 4sin 1x x =-+- 2sin 4sin x x =-+令[]sin 1,1t x =∈- 则()24f t t t =-+，为开口向下，对称轴为2t =的二次函数， 在[]1,1t ∈-上单调递增，故()()min 1145f t f =-=--=-， 故答案为：5-.【点睛】本题考查同角三角函数关系，求含sin x 二次式的函数的值域，属于简单题. 15.若+1cos 5θ=，∈（0，π），则tan = ． 【答案】43- 【解析】试题分析：由221sin cos {5sin cos 1θθθθ+=+=()0,θπ∈，解得4sin 5{3cos 5θθ==-，所以4tan 3θ=-．考点：平方关系22sin cos 1θθ+=的应用．16.若函数3()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且2()777n n S f f f n N πππ*⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则122020S S S ，，，中，正数的个数是_________.【答案】1732 【解析】 【分析】先利用诱导公式，化简()f x ，得到()sin f x x =，根据23sin,sin,sin sin 7777n ππππ⋅⋅⋅的正负，得到2777n n S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的正负规律，从而得到答案.【详解】函数3()cos sin 2f x x x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 所以sin 077f ππ⎛⎫=>⎪⎝⎭，22sin 077f ππ⎛⎫=>⎪⎝⎭，⋅⋅⋅，66sin 077f ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，707f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，88sin sin 0777f πππ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，992sin sin 0777f πππ⎛⎫==-<⎪⎝⎭，⋅⋅⋅，13136sin sin 0777f πππ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，1414sin 077f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，⋅⋅⋅ 所以可得1sin07S π=>，22sinsin077S ππ=+>，⋅⋅⋅，120S >，1321213sinsinsin sin 07777S ππππ=++⋅⋅⋅++=，141314sin 07S S π=+=， 151415sin0sin 077S S ππ=+=+>，⋅⋅⋅， 可得n S 的规律：1410n S -=，140n S =，其余项均为整数， 所以122020S S S ，，，中，为0的项共有288项，所以122020S S S ，，，中，正数的个数是20202881732-=. 故答案为：1732.【点睛】本题考查诱导公式，正弦函数的周期性，归纳数列的规律，属于中档题. 三、解答题：本大题共6小题，共70分。