【课题】5.5诱导公式(第二课时)
最新人教版高中数学必修4第一章《诱导公式》(第2课时)
第二课时 诱导公式(2)点)1．角α与α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数间的关系 cos[α＋(2k ＋1)π]＝－cos_α， sin[α＋(2k ＋1)π]＝－sin_α， tan[α＋(2k ＋1)π]＝tan_α.通常，称上述公式为诱导公式(三)．归纳总结sin(α＋n π)＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin α，当n 为奇数，sin α，当n 为偶数，cos(α＋n π)＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos α，当n 为奇数，cos α，当n 为偶数，tan(α＋n π)＝tan α，n ∈Z . 【自主测试1－1】sin 19π6的值是( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案：A【自主测试1－2】化简1－sin 2460°为( ) A ．－cos 80° B．－sin 80° C ．cos 80° D ．sin 80° 答案：C2．角α与α＋π2的三角函数间的关系cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α. 通常，将上述公式称为诱导公式(四)．在诱导公式(四)中，以－α替代α，可得另一组公式cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝sin α，sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝cos α. 由三角函数之间的关系又可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cot α，cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－tan α； tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝cot α，cot ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝tan α. 我们知道，任意一个角都可表示为k ²π2＋α⎝⎛⎭⎪⎫其中|α|≤π4的形式．这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到π4之间角的三角函数求值问题．【自主测试2－1】化简sin π＋α cos 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α所得的结果为( )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α 答案：C【自主测试2－2】若|cos α|＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则角α的集合为__________． 解析：∵|cos α|＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α， ∴cos α≥0，∴2k π－π2≤α≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π2≤α≤2k π＋π2，k ∈Z. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π2≤α≤2k π＋π2，k ∈Z诱导公式的作用与规律性剖析：(1)诱导公式的作用是将任意角的三角函数转化为0°～90°角的三角函数值． (2)诱导公式存在的规律： ①α＋k ²2π(k ∈Z )，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”．如sin(300°＋180°)＝－sin 300°，我们把300°看成一个锐角α，则sin(300°＋180°)的符号为负，即sin 300°前面所带的符号为负．②α＋π2，－α＋π2的三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．如cos(100°＋90°)＝－sin 100°，我们把100°看成锐角α，则cos(100°＋90°)的符号为负，即sin 100°前面所带的符号为负．③这两套公式可以归纳为α＋k ²π2(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的异名三角函数值．然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”．值得注意的是，这里的奇和偶分别指的是π2的奇数倍和偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α看成锐角时，原函数值的符号．诱导公式有很多组，使用不同的组合都可以达到共同的效果，但是一般采用以下顺序： ①化负角为正角；②大于360°的角化为[0°，360°)之间的角； ③把90°～360°的角转化为0°～90°之间的角．题型一 利用诱导公式求值【例题1】求sin(－1 920°)²cos 1 290°＋cos(－1 020°)²sin(－1 050°)＋tan 945°的值．分析：求三角函数值一般先将负角化为正角，再化为0°～360°的角，最后化为锐角求值．解：原式＝－sin(5³360°＋120°)²cos(3³360°＋210°)－cos(2³360°＋300°)²sin(2³360°＋330°)＋tan(2³360°＋225°)＝－sin(180°－60°)²cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)²sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin 60°²cos 30°＋cos 60°²sin 30°＋tan 45°＝32³32＋12³12＋1＝2. 反思对于任意给定的角都要将其化成k ²360°＋α，180°±α，360°－α等形式进行求值，大体的求值思路可以用口诀描述为“负变正，大变小，化为锐角范围内错不了”．题型二 利用诱导公式化简【例题2】已知α是第三象限的角，f (α)＝sin π－α cos 2π－α tan ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cot －α－π sin －π－α，(1)化简f (α)；(2)若α＝－1 860°，求f (α)的值．分析：这是一道综合性题目，其实质就是化简求值，在化简求值的过程中，要正确运用十字诀(奇变偶不变，符号看象限)．解：(1)f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2²π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4²π2－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3²π2－αcot ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2²π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2²π2－α＝sin αcos αcot α －cot α sin α＝－cos α. (2)∵－1 860°＝－21³90°＋30°，∴f (－1 860°)＝－cos(－1 860°)＝－cos(－21³90°＋30°)＝－sin 30°＝－12.反思三角函数的化简问题要依据诱导公式进行，关键是诱导公式的选择，要把角进行合理的拆分，再者要与前面所学三角函数基本关系式相互配合使用，化简中应遵循“三个统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式．题型三 利用诱导公式证明【例题3】已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：sin π－α ＋5cos 2π－α3cos π－α －sin －α＝－35.分析：首先将已知条件进行化简，得到一个结构比较简单的式子，然后再化简待求式的左边，最后将化简后的已知条件代入，进一步整理即可证得．证明：因为sin(α－π)＝2cos(2π－α)，所以－sin α＝2cos α，即sin α＝－2cos α.所以待求式的左边＝sin α＋5cos α－3cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－3cos α－2cos α＝3cos α－5cos α＝－35＝右边，所以sin π－α ＋5cos 2π－α 3cos π－α －sin －α ＝－35.反思利用诱导公式证明等式，关键在于公式的灵活运用，就本题而言，主要就是运用诱导公式由左边推导到右边，并先对已知条件进行化简．1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫－16π3的值为( ) A ．－1＋32 B ．1－32 C ．3－12 D ．3＋12解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3＝－cos π3＋sin π3＝3－12.答案：C2．在△ABC 中，下列等式一定成立的是( )A ．sin A ＋B 2＝－cosC 2B ．sin(2A ＋2B )＝－cos 2C C ．sin(A ＋B )＝－sin CD ．sin(A ＋B )＝sin C解析：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ． sin A ＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C 2. sin(2A ＋2B )＝sin(2π－2C )＝－sin 2C ． 答案：D3．已知cos(π＋α)＝－35，且α是第四象限的角，则sin(－2π＋α)的值是( )A ．45B ．－35C ．－45D ．35解析：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.又∵α是第四象限的角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－45.答案：C4．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2n ＋1 π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2n ＋1 π－π3(n ∈Z )．其中函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：对于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3，当n 为偶数时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3. 对于cos ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π－π6＝cos 5π6＝－cos π6＝－sin π3.故①与④中的函数值不等于sin π3.可以验证②③⑤中的函数值均与sin π3的值相同．答案：C5．已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 150°)＝__________. 解析：∵sin 150°＝sin(60°＋90°)＝cos 60°， ∴f (sin 150°)＝f (cos 60°)＝cos 180°＝－1. 答案：－16．已知tan(π＋α)＝－2，求sin(3π－α)和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解：∵tan(π＋α)＝－2， ∴tan α＝－2. ∴sin αcos α＝－2， ∴sin α＝－2cos α.将sin α＝－2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1，整理，得5cos 2α＝1.∴cos 2α＝15.∴cos α＝±55. 又∵tan α＝－2＜0，∴α为第二或第四象限的角．当α为第二象限的角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝cos α＝－55，sin(3π－α)＝sin α＝－2cos α＝255；当α为第四象限的角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝cos α＝55，sin(3π－α)＝sin α＝－2cos α＝－255.。
《诱导公式(二)》教案
1.2.4诱导公式（二）一、学习目标1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+π1)k +2(，α2π+角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；二、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 三、教学方法先由学生自己看书，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.+-=-=x x9017)cos(9017)sin17 480︒)+cos(-330︒)5.3.2同角三角比的关系（2）诱导公式【教学目标】1．通过本节课的教学，使学生掌握五组诱导公式的推导方法和记忆方法．2．在理解、记忆五组诱导公式的基础上，会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明．3．加深理解化归思想，培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生的基本数学思想和数学意识．【教学重点】五组诱导公式的记忆、理解、运用。
【教学难点】五组诱导公式的推导教学过程：【情景引入】与6π终边相同角α的集合如何表示？αsin 与6sin π具有怎样的数量关系？与β终边相同角α的集合如何表示？αsin 与βsin 具有怎样的数量关系？βα,其它的五个三角比数量关系又如何呢？【问题探究】诱导公式一：文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等．sin(k·360°＋α)=sinα，cos(k·360°＋α)=cosα， tan(k·360°＋α)=tanα，cot(k·360°＋α)=cotα．(k ∈Z )试求出sin 2016°的值．由公式一：sin 2016°=sin(5×360°×216°)＝sin 216° 问题二：如何求出进一步sin 216°的值诱导公式二：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°＋α角所在象限(第三象限)角的原三角函数值的符号相同． sin(180°＋α)=－sinα， cos(180°＋α)=－cosα，tan(180°＋α)=tanα， cot(180°＋α)=cot α．诱导公式三：①同名函数关系；②符号规律是：右边符号与－α所在的第四象限角的原三角函数值的符号相同．sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝tanα， cot(－α)＝－cotα．诱导公式四：sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-． t sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。
《诱导公式(第二课时)》示范教学方案
《5.3 诱导公式（第二课时）》教学设计1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（2π±α的正弦、余弦、正切）；通过经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，发展直观想象素养．2．初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，发展数学运算素养．教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．教学难点：诱导公式的有效识记和应用．PPT 课件．资源引用：【知识点解析】诱导公式五和六的认识 【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图（一）新知探究引导语：通过上一节课的研究，我们知道了将圆的对称性代数化就得到了诱导公式，这些都是三角函数的对称性．本节课沿着上一节课的思路继续进行．问题1：通过圆关于原点、x 轴、y 轴对称，我们得到了诱导公式二、三、四，你还能找到一些特殊的直线对称，或者两次对称，类比前面的方法，写出相应的问题，并解决吗？试一试．预设的师生活动：教师根据学生完成情况，挑选如下内容进行展示．其他拓展内容视情况而定，可以展示，也可以由学生课下交流．预设答案：（1）提出问题：如图1，点P 1关于直线y ＝x 的对称点◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标图2P 5，以OP 5为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？解：如图1，以OP 5为终边的角β都是与角2π－α终边相同的角，即β=2k π＋(2π－α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角2π－α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 5（x 5，y 5），由于P 5是点P 1关于直线y ＝x 的对称点，可以证明：x 5＝y 1，y 5＝x 1． 根据三角函数的定义，得sin （2π－α）＝y 5，cos （2π－α）＝x 5． 从而得 公式五 （2）提出问题：如图2，点P 1关于直线y ＝x 的对称点P 5，再作P 5关于y 轴的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？解：接上一题．如图2，以OP 6为终边的角β都是与角2π＋α终边相同的角，即β=2k π＋(2π＋α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角2π＋α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 6（x 6，y 6），由于P 6是点P 5关于y 轴的对称点，因此有：x 6＝－x 5，y 6＝y 5． 根据三角函数的定义，得sin （2π＋α）＝y 6，cos （2π＋α）＝x 6． 从而得 公式六 （3）提出问题：如图3，点P 1关于x 轴的对称点是P 7，再作P 7关于直线y ＝x 的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函sin （2π＋α）＝cos α， cos （2π＋α）＝－sin α． sin （2π－α）＝cos α， cos （2π－α）＝sin α．图4数值之间有什么关系？解：略．★资源名称：【知识点解析】诱导公式五和六的认识★使用说明：本资源展现“诱导公式五和六的认识”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 追问：除了上面的两次对称关系，角2π＋α的终边与角α的终边还具有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？预设的师生活动：如果有学生提前想到了就延续前面的展示活动，如果学生没有想到，则由教师提出这个追问，促进学生思考．预设答案：角α的终边旋转2π角，就得到角2π＋α的终边． 如图4，由两个三角形全等易得点P 8与P 1坐标间关系，进一步可得公式六． 设计意图：通过设置问题1，一方面，使学生更加深入地了解圆具有丰富的对称性，另一方面，让他们通过类比，不断地利用数形结合的思想方法，提高自己提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理、几何直观等核心素养．问题2：回顾利用公式一～公式四，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，并且建立了流程图的求解程序，那么公式五或公式六的作用是什么？可能在哪个环节用到这两组公式？预设的师生活动：在学生思考展示的基础上互相交流，并完善．预设答案：利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．如图5所示可以在变成锐角的过程中发生作用．公式一～六都叫做诱导公式(induction formula)．设计意图：基于前述的求解程序，进行理性思考，完善求解程序，帮助学生提升运算素养．例3 证明：（1）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π3＝－cos α；（2）cos ⎪⎭⎫⎝⎛+α2π3＝sin α．例4 化简：()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+----⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-αααααααα2π9sin πsin π3sin πcos 2π11cos 2πcos πcos π2sin ． 追问：观察题目中的角，对比诱导公式，根据图4，应该怎样化简转化为公式的形式？ 预设的师生活动：学生更具问题的引导，独立思考，并求解．学生展示时紧扣图4进行． 预设答案：例3 证明：（1）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π3＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+α2ππ＝－sin ⎪⎭⎫⎝⎛-α2π＝－cos α；（2）cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+α2π3＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++α2ππ＝－cos ⎪⎭⎫⎝⎛+α2π＝sin α．例4 解：原式＝()()()()()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---αααααααα2ππ4sin πsin πsin cos 2ππ5cos sin cos sin图5＝()()[]⎪⎭⎫⎝⎛+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---ααααααα2πsin sin sin cos 2πcos cos sin 2＝－sin αcos α＝－tan α．设计意图：引导学生理性思考，有序解题，完善求解程序，提升数学运算素养． 例5 已知sin （53°－α）＝15，且－270°＜α＜－90°，求sin （37°＋α）的值．追问：观察题目中的角，它们有怎样的关系？和哪个诱导公式接近？能不能通过换元，使得已知角与所求角之间关系更加明了？由此你确定的求解思路是怎样的？预设的师生活动：让学生通过观察，自己思考并回答． 预设答案：分析：注意到（53°－α）+（37°＋α）=90°，如果设β＝53°－α，γ= 37°＋α，那么β+γ=90°，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题．解：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β．于是sin γ＝sin （90°－β）＝cos β．因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜323°． 由sin β＝51＞0，得143°＜β＜180°． 所以cos β＝－1－sin 2θ＝－2511⎪⎭⎫⎝⎛-＝－562．所以sin （37°＋α）＝sin γ＝－562． 设计意图：引导学生学会观察分析，进行理性思考，学会有序求解，提升数学运算素养． （二）归纳小结问题3：教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（1）你学到了哪些基本知识，它们的作用是什么？能解决什么问题？求解的程序是什么？（2）我们已经知道诱导公式是三角函数的性质，是圆的对称性的代数化，据此，你觉得怎样记忆到目前为止学过的这6组诱导公式？此外，仅仅观察6组诱导公式的形式特征，你还能怎样记忆这些公式？（3）能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？预设的师生活动：以学生的独立思考，展示交流，互相补充为主．教师予以及时的点拨．★资源名称：【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图★使用说明：本资源给出了本节知识结构框图，针对本节内容进行知识点梳理，有助于理解和掌握本节的知识结构．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：（1）本单元学习了三角函数的基本性质——诱导公式；这些诱导公式体现了三角函数的对称性，在求三角函数值时，它们还具有转化作用，另外，还可以实现正弦与余弦的相互转化；求解程序略．基本的思想是：负角变正角，大角变小角．（2）只要了解了诱导公式是通过哪个对称变化得到的，这种变化中点的坐标的关系是怎样的，就可以记住公式，而且还可以进一步推广公式．（3）通过观察发现，如果是一个角加2π的奇数倍，那么变换后会改变三角函数的名字；如果是一个角加2π的偶数倍，那么变换后会不改变三角函数的名字．设计意图：梳理小结，一方面帮助学生进一步明确求解的程序．另一方面，通过帮助学生梳理借助于单位圆记忆公式的过程，进一步认识诱导公式的本质．第三，通过观察形式，分析特点，总结记忆方法，从另一个角度认知诱导公式，进行抽象概括．（三）布置作业 教科书习题5.3． （四）目标检测设计 计算或化简： （1）cos665π； （2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π431； （3）tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π326； （4）cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ25； （5）sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ211＝－cos α．预设答案：（1）－23；（2）22；（3）3；（4）sin α；（5）－cos α． 设计意图：检测学生对基本知识和技能的掌握情况．。
诱导公式2教学设计
编写时间：2020年4 月 17日 第二学期 总第 课时 编写人：马安山 课 题诱导公式（二） 授课班级 高一( 17) 授课时间 2020年 月 日学习目标 1.借助单位圆的对称关系推导诱导公式 2.能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值及三角函数式的化简和证明教学重点 发现并证明诱导公式并运用．教学难点 诱导公式的发现．课 型 新 课主要教学方法 思考、交流、讨论和概括． 教学模式 合作探究，归纳总结 教学手段与教具 智慧黑板．教 学 过 程 设 计各环节教学反思 一、问题探究并应用 问题一：如何把任一角的三角函数的求值问题转化为0º—360º间三角函数的求值问题？（师生活动：学生完成，教师补充）1.已知任意角α的终边与单位圆相交于P （x ，y ），求P 关于x 轴，y 轴，原点对称的三个点的坐标.2.如果角α的终边与角β的终边关于原点对称，那么α与β的三角函数值之间各有什么关系？3.如果角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间各有什么关系？4.如果角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，那么α与β的三角函数值之间各有什么关系？XXK]问题二：你能利用上述诱导公式求下列函数的值吗？(师生活动：学生完成，教师讲解）例题1：利用公式求下列三角函数值()0225cos 1 ()311sin 2π()⎪⎭⎫ ⎝⎛-316sin 3π ()()02040cos 4- 例题2：化简：()()()()αααα--•--+•+0000180cos 180sin 360sin 180cos变式训练：已知cos(6π+α)=33,求cos(65π-α)的值 问题三：对角απαπ±±2,23的三角函数的研究，你能得出什么结论？若角α的终边与角β的终边关于直线y=x 对称则角α的正弦与角β的余弦函数值之间有何关系？角απ-2的终边与角α的终边是否关于直线y=x 对称？（让学生在做题的过程中总结规律）1.利用已推导出的公式，推导 )2tan(),2cos(),2sin(απαπαπ+++ 2.利用前面学过的公式，推导 )23tan(),23cos(),23sin(απαπαπ+++ 问题四：你能概括上述诱导公式五、六吗？能否根据公式化简三角函数值？例题3：证明：()ααπcos 23sin 1-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- ()ααπsin 23cos 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 例题4、化简()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+----⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-απαπαπαπαπαπαπαπ29sin sin 3sin cos 211cos 2cos cos 2sin 二、变式训练：1.化简（1）()()()00180sin cos 180sin ---+ααα ;（2）()()()πααπα--+-tan 2cos sin 3; （3）()()αππααππα-•-•⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2cos 2sin 25sin 2cos ; （4）()()()ααα-+--sin 360tan cos 02 ; 2.对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（ ）A ．α一定是锐角B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角3.若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54-4.已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，求αtan 。
《诱导公式》PPT教学课件(第2课时诱导公式五、六)
＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
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合作探究 提素养
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利用诱导公式化简求值
【例 1】 (1)已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是( )
A.1－mm2
B. 1－m2
C．－1－mm2
D．－ 1－m2
(2)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为________．
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即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0， ∴sin α＋cos α＝1173，③ sin α－cos α＝173，④ (③＋④)÷2得sin α＝1123，(③－④)÷2得cos α＝153.
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1．公式五反映了终边关于直线 y＝x 对称的角的正、余弦函数值之间 的关系，其中角π2－α 的正弦(余弦)函数值，等于角 α 的余弦(正弦)函数值．
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自主预习 探新知
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1．公式五 (1)角π2－α 与角 α 的终边关于 直线 y＝x 对称，如图所示． (2)公式：sinπ2－α＝ cos α ， cosπ2－α＝ sin α .
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2．公式六 (1)公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－π2－α . (2)公式：sinπ2＋α＝ cos α ， cosπ2＋α＝ －sin α . 思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
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2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin76π＋α的值． [解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角， 又sinπ3－α＝12，所以π3－α是第二象限角， 所以cosπ3－α＝－ 23， 所以sin76π＋α＝sinπ＋π6＋α＝－sinπ6＋α＝－cosπ3－α＝ 23.
《诱导公式二》教案(新)
§5.5三角函数的诱导公式(二)教学目标：（一）知识目标理解并掌握三角函数诱导公式二～四的推导过程及应用。
（二）能力目标通过诱导公式的推导，培养学生的创新能力；通过类比、归纳思维的训练，培养学生把未知转化为已知的能力。
（三）情感目标通过诱导公式的引导、发现，让学生感受数学探索的成就感，激发学生的学习热情及兴趣，让学生养成善于观察、思考、发现的好习惯。
教学重点：诱导公式三~四的推导过程及灵活运用。
教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，解决问题．以及推导过程中数形关系的转换，符号的判定。
教学方法：启发诱导式教学课时安排：1课时教学过程：[复习提问]问题1：任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？问题2：2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数之间的关系是什么？（公式一）问题3：－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？（公式二）归纳：利用公式一，可将任意角的三角函数值，转化为00～3600范围内的三角函数值.公式二可将负角三角函数值，转化为正角的三角函数值，其中锐角的三角函数可以查表计算：[新课引入]问题4：而对于900～3600范围内的三角函数值，如何转化为锐角的三角函数值，是我们本节课研究和解决的问题。
[新课讲授]知识探究（一）：π＋α的诱导公式思考1：210°角的三角函数怎样求？210°角与30°角有何内在联系？12 210°=180°+30°思考2：若α为锐角，则（180°，270°）范围内的角可以怎样表示？180°+α思考3：对于任意给定的一个角α，角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？思考4：设角α的终边与单位圆交于点P （x ，y ），则角π＋α的终边与单位圆的交点坐标如何？思考5：根据三角函数定义，sin （π＋α） 、cos （π＋α）、tan （π＋α）的值分别是什么？ sin(π＋α)=-ycos(π＋α)=-xtan(π＋α)= y / x思考6：对比sin α，cos α，tan α的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？公式三：思考7：该公式有什么特点，如何记忆？知识探究（二）：π-α的诱导公式：思考1：利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？公式四：思考2：如何根据三角函数定义推导公式四？思考3：公式三、四有什么特点，如何记忆？思考4：公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α（k ∈Z ），π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？理论升华 整体建构ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=-sin(2π)sin cos(2π)cos tan(2π)tan k k k αααααα+=+=+=sin πsin cos πcos tan πtan αααααα-=-=--=-（）（）（）sin(π+)sin cos(π+)cos tan(π+)tan αααααα=-=-=sin()sin cos()cos tan()tan αααααα-=--=-=-3以上公式统称为诱导公式（或简化公式）．这些公式的正负号可以用口诀：“函数名不变，符号看象限”来记忆．利用它们可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数巩固知识 典型例题例3 求下列各三角函数值： (1) 9cos4π；(2) 8tan 3π；(3) cos930°；(4) sin 690 运用知识 强化练习练习5.5.3求下列各三角函数值（1）tan 225︒ （2）sin 660︒ （3）cos 495︒（4）11πtan3 （5）17πsin 3（6）7πcos()6-． [归纳小结] 1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立.2.以诱导公式一～四为基础，还可以产生一些派生公式，如sin （2π－α）=－sin α， sin （3π－α）=sin α等.3.利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：(1) 任意负角的任意三角函数 , (2) 任意正角的三角函数,(3) 0～2π的角的三角函数, (4) 锐角的三角函数.[布置作业 继续探究](1)阅读:教材章节5.5。
诱导公式(第二课时)教案
当锐角 与锐角 互余时，它们的正、余弦值有什么关系？
解：设 ， ，则
，
借助直角三角形
得到互余两锐角
正、余弦的关系
诱导公式
5
进一步，我们思考对任意的角 与 ，设 ，是否总有 ，
对任意的角
，
聚焦目标
形成概念
诱导公式
6
探寻 与 的三角函数的关系
代数上：
几何上：
数和形两方面
加深对 的
诱导公式的理解
诱导公式
1. 在上节课中，我们学到了哪些诱导公式 ?
2. 它们是如何得到的 ?
3. 如何利用这些公式求特殊角的三角函数值 ?
4. 诱导公式有哪些功能？
整理学习成果
熟悉已有公式
类比已有公式
生成过程
有助于发现
新的公式
为方法迁移
做准备
情境
如果已知 ，你能用 表示 吗？
解：如图所示，
借助直角三角形
得到互余两锐角
正、余弦的关系
三角函数值
2. 寻找题目中的角的关系.
总结提升
画龙点睛
基础性
作业
1. 证明： ，
2. 化简：
（1）
（2）
熟悉本节课的
主要公式
发展性
作业
1. 对任意的 ，角 与 的终边
有何关系
2. 对任意的 ，角 与 的正、余弦值
之间有何关系
体会首先关注
角的关系
再探究三角
函数值的关系
的思维方式
诱导公式（第二课时）教案
教学基本信息
课题
诱导公式（第二课时）
学科
数学
学段：高中
年级
高一
教材
5.3 诱导公式(第2课时)(34张PPT)
2．求值：ctaons2α7＋0°1＋80α°＋＋csions9900°°－＋αα＋－stiann237600°°－＋αα. 解：原式＝ctaons[α1＋80c°o＋s α9＋0°s＋in[α18]－0°s＋in9α0－°－tanαα]
＝－tacnosα＋90c°o＋s αα－－ssinin9α0－°－taαnα
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升 类型一：利用诱导公式化简与求值
典例示范
【例 1】 (1)已知 cos (π＋α)＝－12，α 为第一象限角，求 cosπ2＋α 的值．
(2)已知 cos π6－α＝13，求 cos 56π＋α·sin 23π－α的值．
解：(1)∵cos (π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12.又 α 为第一象限角， ∴cos 2π＋α＝－sin α＝－ 1－cos2α＝－
2．诱导公式五、六的整合与记忆 π2－α，π2＋α 的三角函数值，等于 α 的_异__名__三角函数值，前面加 上一个把 α 看成_锐__角__时__原__函__数__值__的__符__号__，记忆口诀为 “_函__数__名__改__变__，__符__号__看__象__限__”．
3．六组诱导公式的整合与记忆 (1)六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的诱导公式． (2)记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 其中“奇、偶”是指 k·π2±α(k∈Z)中 k 的奇偶性，当 k 为奇数时， 正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变．“符号” 看的是诱导公式中把 α 看成锐角时原函数值的符号，而不是 α 函数 值的符号．
预习验收 衔接课堂
1．已知 cosπ2＋φ＝ 23，且|φ|<π2，则 tan φ＝( C )
《诱导公式》第2课时参考教案
《诱导公式》第二课时诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭角的三角函数值问题．诱导公式中的公式五的推导过程，使学生学会用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，而公式六的推导过程，使学生能用已有公式二至五，运用角的变换进行演绎推演，使培养学生逻辑推理、数学运算核心素养落到实处．1．在诱导公式二至四推导方法的基础上，启发学生探索发现诱导公式五并能借助公式推演得到公式六；2．借助单位圆中的对称关系及三角函数定义的应用，培养学生形数结合，归纳转化的思想方法；同时借助公式的结构特点培养学生从未知到已知、复杂到简单的化归思想；3．通过对公式的推导过程，以及通过理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题， 培养学生逻辑推理、数学运算素养．教学重点： 诱导公式五、六的推导探究，诱导公式的应用；教学难点： 发现终边与角α的终边关于直线y x =对称的角与α之间的数量关系．1． 教学问题： （1）如何把角α终边关于直线y x =对称的角的终边几何对称关系与角的数量关系对应起来是一个教学问题，处理这个问题主要利用信息技术，引导学生归纳不同象限角的情况，再以第一象限角为例发现角的关系，此过程强调归纳转化思想和逻辑推理素养；（2）应用诱导公式解决相关三角函数值的求解、化简、证明等是一个教学问题，处理这个问题主要是引导学生在理解公式的基础上适量典型例题的推演．◆教材分析 ◆教学目标 ◆教学重难点◆ ◆课前准备◆2． 教学支持条件（1）诱导公式一至四推导方法和公式本身是本节诱导公式的重要基础和铺垫．（2）充分利用“智慧课堂”教学系统，及时了解学生思维信息，根据学生的思维状态生成教学过程，充分利用智慧课堂的作业平台，及时反馈检测信息．【问题1】上节课学习了三角函数的诱导公式二到公式四，大家还记得是哪几个公式吗？【设计意图】复习回顾三角函数的诱导公式二到公式四，让学生进一步体会这几个公式分别体现了πα+，α-，πα-与角α之间的关系：【预设师生活动】（1）引导学生回想公式记忆规律，同时上传公式二至四；（2）引导学生回想公式推导方法，同时上传单位圆几何图示（两个角的终边特殊的对称关系：1）终边关于原点对称；2）终边关于x 轴对称；3）终边关于y 轴对称）【问题2】能画出角α关于直线y x =对称的角的终边吗？与角α关于直线y x =对称的角怎样表示？这两个角的终边上点12P ,P 的坐标具有什么关系？【设计意图】 在问题1的基础上，提出问题，调动学生探索问题的积极性．让学生经历由几何直观发现数量关系的学习过程，体验如何把角的终边具有的特定位置关系转化为三角函数值之间的关系．【预设师生活动】（1）引导学生探究：角α在不同象限关于直线y x =对称的角的终边情况；归纳讨论出角α关于直线y x =对称的角的终边是2πα-；要求学生作图上传展示角α在第一象限的情况，并共同得出点12P ,P 的坐标的关系．（2）引导学生思考：角α关于直线y x =对称的角的终边是2πα-上点P,P '的坐标关系已知，角α与2πα-的三角函数值有什么关系？学生拍照上传解答过程与结论．◆教学过程设1(,)P x y ，则2(,)Py x ，有三角函数的定义得： 得诱导公式五： 【问题3】能否用已有公式得出2πα+的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式？能否用公式五的方法推导出以上关系式？【设计意图】引导学生从公式的适用条件（任意角）出发，根据角的结构特点，构造特殊性解决问题，体会演绎推理的过程，培养了逻辑推理素养；另外两个角的终边看成两次对称，再利用点的坐标关系得出三角函数值的关系，进一步体会形数结合思想．【预设师生活动】（1）学生讨论并将推演结果上传（可能不同作法）：（公式六）2）引导学生尝试把角2πα+与角α终边看成两次对称，研究点的坐标关系推导出公式六，学生上传推导过程和方法．角α终边与单位圆交点(,)P x y ，则2πα-终边与单位圆交点1(,)P y x ，又2πα+的终边与2πα-的终边关于y 轴对称，故2πα+终边与单位圆交点2(,)P y x -，于是sin()2cos()2tan()2x y x y παπαπα-=-=-=sin()sin[()]sin()cos 222cos()cos[()]sin()cos 222πππαπαααπππαπααα+=--=-=+=--=--=-sin cos tan yxy x ααα===sin()cos ;2cos()sin ;2tan()cot 2πααπααπαα-=-=-=（公式六）【问题4】你能总结公式五与六的记忆规律吗？你能概况公式五与六的研究思路吗？【设计意图】引导学生学习概括，逐步养成自我总结规律，反思数学思想方法的习惯．【预设师生活动】学生讨论概括，教师再总结：上面的公式五与六也称为三角函数的诱导公式；记忆规律： 2πα±的三角函数值，等于α的互余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．概括：函数名变余，符号看象限．【问题5】 诱导公式的应用研究例1（1）求证：33sin()cos ;cos()sin 22ππαααα-=--=- （2）化简：11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα-++-----+ 【设计意图】这是三角函数值的证明与化简，需要综合运用公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到准确、熟练、灵活应用．【预设师生活动】学生演练并上传结果，同时讨论归纳应用诱导公式的注意事项．例2 已知f （α）＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）． （1）化简f （α）；（2）若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f （α）的值． 【设计意图】这是综合运用诱导公式和同角公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到熟练、正确地应用．【预设师生活动】学生演练并上传结果，同时讨论归纳方法：sin()cos 2cos()sin 2x y πααπαα+==+=-=-[解] （1）f （α）＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin （－α＋3π2）cos （－π－α）sin （－π－α）＝（－sin α）·cos α·（－cos α）（－cos α）·sin α＝－cos α． （2）因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15， 又α是第三象限角，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－256． 所以f （α）＝256． 【问题6】 课堂小结，提高认识【设计意图】引导学生对本课内容进行归纳小结，同时对六个诱导公式进一步概括．【预设师生活动】引导学生从知识方法、思维思想进行总结，学生讨论，共同归纳：（1）诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．（2）这六组诱导公式可归纳为“k ·90°±α（k ∈Z ）”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k 为偶数时得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时得角α的互余三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．（3）简述数学的化归思想：数形结合，由特殊到一般，化未知为已知等思想方法． 习题检测【检测1】课本对应习题．【检测2】请完成本节对应的同步练习．。
三角函数的诱导公式第二课时学案
1．3诱导公式（一）教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力．（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．一、复习：诱导公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k 诱导公式（二）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒ 诱导公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式（四）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒ 对于五组诱导公式的理解 ：①可以是任意角；公式中的α②这四组诱导公式可以概括为：符号。
看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k总结为一句话：函数名不变，符号看象限练习1：P27作业1、2、3、4。
2：P25的例2：化简 二、新课讲授： 1、诱导公式（五） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=- 2、诱导公式（六） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ-=+=+ 总结为一句话：例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan )1(πππ-︒例2．证明：（1）ααπcos )23sin(-=-（2）ααπsin )23cos(-=-例3．化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++-的值。
诱导公式(第二课时)
《5.3.2诱导公式》（第二课时）一、学习目标1在诱导公式二～四的基础上，掌握诱导公式五～六的推导过程. 2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题．二、思维导图三、导学指导与检测导学指导阅读相关材料完成相应练习知识点二公式五【思考1】设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P2，点P 2的坐标是什么？1．角π2－α与角α的终边关于直线_____对称，如图所示．2．公式：sin⎝⎛⎭⎫π2－α＝___ __，cos⎝⎛⎭⎫π2－α＝___ _ .知识点二公式六思考.能否利用已有公式得出π2+a的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系?1．公式：sin⎝⎛⎭⎫π2＋α＝___ __，cos⎝⎛⎭⎫π2＋α＝___ __.2．公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－⎝⎛⎭⎫π2－α.知识点三诱导公式的推广（1）sin(3π2-α)= ，cos(3π2-α)= ,（2）sin(3π2+α)= ，cos(3π2+α)= .诱导公式公式五sin(π/2－α)＝cos αcos(π/2－α)＝sin α公式六sin(π/2+α)＝cos αcos(π/2+α)＝-sin α口诀纵变横不变，符号看象限【例1】 已知cos (α+π6)=35,求sin α+2π3的值.三、巩固诊断1.若sin (π2+θ)<0，且cos (π2-θ)>0，则角θ是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三角限角D.第四象限角2.化简sin (α+π2)·cos (α-3π2)·tan (π2-α)的结果是( ) A.1B.sin 2αC.-cos 2αD.-13.已知cos(75°+α)=13，且-180°<α<-90°，则cos(15°-α)= . 4.已知sin φ=611,求cos (11π2+φ)+sin(3π-φ)的值. 5.求证:sin(π2+θ)-cos(π-θ)sin(π2-θ)-sin(π-θ)=21−tanθ。
《诱导公式(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《诱导公式(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】诱导公式(第二课时)示范公开课教学设计【高中数学人教版】教学目标：1. 知识目标：学习掌握诱导公式的原理和应用方法，能够运用诱导公式解决相关数学问题。
2. 能力目标：培养学生的逻辑思维和推理能力，提高解决实际问题的能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作和交流能力。
教学重点：1. 掌握诱导公式的概念和基本性质。
2. 理解诱导公式的应用方法。
3. 运用诱导公式解决相关的数学问题。
教学难点：1. 综合运用诱导公式解决复杂的问题。
2. 培养学生的逻辑思维和推理能力。
教学准备：1. 教学课件和教辅资料。
2. 板书工具和学习用具。
3. 学生小组活动所需材料。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师简要复习上节课所学的诱导公式的概念和基本性质，并提问学生以回顾巩固。
2. 引入本节课的主要内容，明确学习目标和重点。
二、知识讲解（15分钟）1. 教师通过课件和板书，详细讲解诱导公式的应用方法和解题思路，包括基本类型和常见的变式。
2. 示范解决一个简单的例题，引导学生逐步掌握解题的步骤，注意计算过程和思维逻辑。
三、应用练习（20分钟）1. 学生个别或小组完成练习题，运用诱导公式解决。
教师巡回指导和解答疑惑。
2. 学生自主思考和讨论，提高解题的灵活性和准确性。
3. 随机选几位学生上台展示解题过程，帮助全班学生共同理解。
四、拓展应用（15分钟）1. 教师提供一道较复杂的诱导公式应用题，引导学生在小组内进行合作解答。
2. 学生展示解题过程，并分析解题策略和思考方法，共同探讨解决难题的思路。
3. 教师给予肯定和指导，提供更多的拓展资料供学生继续挑战。
五、归纳总结（10分钟）1. 教师引导学生总结课堂所学的知识要点和解题技巧，梳理思路。
2. 学生在笔记本上整理相关知识，做好归纳和总结。
六、课堂反思（5分钟）1. 教师带领学生反思课堂的学习过程和效果，了解学生的收获和问题。
5.3诱导公式课件(第二课时)-高一上学期数学人教A版【01】
2
2
9
cos ( ) sin ( 3 ) sin ( ) sin
2
( sin )( cos )( sin ) cos 5
2
原式
=
解：
( cos ) sin ( ) sin ( ) sin 4
简记：
函数名不变
符号看象限.
2k (k z)、 、
的三角函数值，等于α的
同名三角函数值前面加
上把α看作锐角时原函数
值的符号。
求任意角的三角函数值的步骤：
(1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
2
cos（ ） sin
2
“函数名改变,符号看象限.”
作用是实现正弦函数与余弦函数的互相转化.
2
3
2
y
2
0
x
3
2
口诀：奇变偶不变，符号看象限
1）当为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐
角时原三角函数值的)符号；
2）当为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐
(37 ) 90 (53 )
sin(37 ) sin[90 (53 )] cos(53 )
270 90
90 270, 从而143 53 323,
5.3诱导公式(第二课时)课件(人教版)
12
5
P13，13.
(1)求sin(α＋π)的值；
根据题意，得 sin α＝
cos α＝
5
13
5
5
12 ＝13，
2
2
＋
13
13
12
13
12
sin α 5
5
12 ＝13，tan α＝cos α＝12，
2
2
＋
13
2. 通过
∆
看∆的奇偶性，奇变偶不变：
∆为奇数则变函数名（sin变为cos，cos变为sin）
∆为偶数则不变函数名.
3. 将α看做第一象限的角，判断符号正负
（一全正、二正弦、三正切、四余弦）
化简求值
典 型 例 题 1
例1.
化简求值问题
11
(2−)(+)( +)(
作P1关于y=x轴的对称点P5，以OP5为终
边的角β与角α有什么关系？角β，α的三
角函数值之间有什么关系？
5
角α与角α的终边关于
诱导公式五
(y,x)
(x,y)
y=x
对称
？ 思考2
如图，在直角坐标系内，设任意角α的终
边与单位圆交于点P1
作P5关于y轴的对称点P6，以OP6为终边的
角与角α有什么关系？
1
，且 −270°
5
< < −90° ，
跟 踪 训 练 2
已知( − )
3
(1)( + )
5.3诱导公式第2课时课件(人教版)
2
2
+2k , k Z
+2k , k Z。
可知，角
2
（2）诱导公式五
sin（ ） cos
2
cos（ ） sin
2
与角α的终边关于直线y=x对称(如图所示).
P点的坐标为（x,y）
y
P1 （y , x )
P1点的坐标为（y,x）
O
P（x, y )
第五章
5.3
三角函数
诱导公式
一.复习回顾
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么：
（1）正弦sinα＝ y
（2）余弦cosα＝
x
（3）正切tanα＝
y
x
诱导公式（一）
sin( k 360 ) sin
sin( 2k ) sin
－cos α
－sin α
＝－2sin α.又
π
1
cos2＋α＝3，所以－sin
2
所以原式＝－2sin α＝3.
3.
sin
α=
·sin
cos
1
α＝3.
例1.
练习
1.
2.已知 cos(
3.
6
)
3
5
，求 cos(
)的值.
cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos
tan( k 360 ) tan
其中
k Z
tan( 2k ) tan
5.3诱导公式(第二课时)课件(人教版)
π
(2)对于π±α和 ±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必
2
须变名.
4
15
”，“第三象限”改为“第二象限”，
本例条件中“cos α＝－5”改为“α 的终边与单位圆交于点 Pm，
4
π
sinα－2
－cos α
因为α为第三象限角，
sin α
＝tan α·sin α＝cos α·sin α
9
3
2
所以 sin α＝－ 1－cos α＝－5.
9
sin2α 32 5
9
＝cos α＝ －5 × －4 ＝－20.
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式
sin(
cos(
2
2
) cos
) sin
口诀：奇变偶不变，符号看象限
sin(
cos(
2
2
) cos
) sin
口诀的意义：
k
（k Z）的三角函数值
2
1）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上
一个把 看作锐角时原三角函数值的符号；
sin 2 cos cos cos
2
2
.
9
cos sin 3 sin sin
【新课标必修】《三角函数的诱导公式(二)》教学案例
课题三角函数的诱导公式（2）教学目标：知识目标：（1）识记诱导公式。
（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。
能力目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。
情感态度与价值观：（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。
教学重点难点：1．重点：诱导公式的推导及应用。
2．难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
教法与学法：1．教法选择：研究性学习方式——“设置问题情境，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”；2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展。
教学过程：一、设置情境，激发探索教学设计说明1．教材地位分析：在本章“任意角的三角函数”一节及全章中起着承上启下的作用。
求三角函数值是三角函数中的重要内容，诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求“0°～90°”角的三角函数值问题。
诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维方式。
这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。
2．学生现实分析：由于学生素质参差不齐，又存在能力差异，不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。
因此进行本堂课的教学，主要是进行问题类比，构建知识系统，从而激发学生学习数学的兴趣和欲望。
高中数学 三角函数的诱导公式(第二课时)导学案 苏教版必修4高一
sin(a) _____ 公式二： cos(a) _____ tan(a) _____ sin( a) _______ 公式四： cos( a) _______ tan( a) _______
sin( a ) _______ 2 cos( a ) _______ 2
sin(a 2k ) _______ 公式一： cos(a 2k ) _______ tan(a 2k ) _______ sin( a) _____ 公式三： cos( a) _____ tan( a) _____
sin( a ) _______ 2 cos( a ) _______ 2
师生共用三角函数的诱导公式（第二课时）导学案
年级： 高一 学科： 课时及内容： 三角函数的诱导公式（第二课时） 学习目标:1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式 2.能利用诱导公式求任意角的三角函数值，化简，三角恒等式的证明. 学习重难点：
一.课前准备 姓名
2
角的正弦、余弦诱导公式的推导
Байду номын сангаас
2
x) b tan( x) ，若 f (1) 3, 则 f (1) ______ .
5.已知 f ( x)
1 x .若 x ( , ) ，化简 f (cos x) f ( cos x). 2 1 x
五.学后反思： ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
《诱导公式》第2课时示范公开课教学设计【高中数学人教】
《诱导公式》教学设计第2课时1.借助单位圆的对称性以及所学的诱导公式，推导出诱导公式（五）到（八）．2.能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明，并从中体会未知到已知、复杂到简单的转化过程.教学重点：诱导公式及诱导公式的综合应用．教学难点：公式的推导和角的旋转、对称思想在学生学习过程中的渗透及应用．一、整体概述二、探索新知1．问题情境问题2：在初中，我们已经知道两个锐角之和为90 时正弦和余弦之间的关系．如图所示，因为 与 中，与一个角相邻的直角边是另一个角相对的直角边，所以sin =cos αβ，cos =sin αβ．那么，这一关系式对任意角是否也成立呢？你能通过考察 与2-πα的终边之间的关系来得出一般结论吗？系．2.新知探究知识点1 角α与2πα-的三角函数值之间的关系 问题3：对于任意一个角α来说， 角α与2πα-的终边有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦之间的关系吗？ 师生活动：学生回顾任意角的三角函数定义，据此可知一个角的三角函数值由它终边上的点决定. 师生一起探讨：如图所示，设α与2πα-的终边与单位圆分别交于P 和'P ，则 (cos ,sin ,(cos(),sin())22P P '--）ππααααα和2πα-的终边关于角()224+-=πααπ的终边所在的直线(即直线y ＝x )对称，所以点P 与点P '关于直线y ＝x 对称，所以有sin()cos ,cos()sin 22-=-=ππαααα． 教师总结：诱导公式（五） sin()cos 2cos()sin 2-=-=πααπαα【想一想】诱导公式(五 )有什么作用呢？预设的答案：利用公式（五），我们可以用0~90o o 的三角函数值表示为0~45o o 的三角函数值． 知识点2 角α与2+πα的三角函数值之间的关系问题4：对于任意一个角α来说， 角α与2+πα的正弦、余弦之间有什么关系呢？师生活动：与学生一起探讨：我们能否利用学过的诱导公式得出角α与2+πα的正弦、余弦之间的关系呢？sin()sin[()]cos()cos 22+=--=-=ππαααα，()()cos()cos[]sin sin 22ππ+=--=-=-αααα. 教师总结：诱导公式（六）：sin()cos 2cos()sin 2+=+=-πααπαα追问：如何从角的转化变形以及变换的几何含义来理解诱导公式（六）呢？师生活动：与学生一起探讨：角的转化变形：()αα--→+2π2π， 变换的几何含义：角α+2π的终边可以看作：是由角α的终边关于x 轴的对称得到角α-的终边，再关于直线y x =对称得到的（如图）.知识点3 角α与32+πα的三角函数值之间的关系 问题5：对于任意一个角α来说， 角α与32+πα的正弦、余弦之间有什么关系呢？ 师生活动：与学生一起探讨：结合公式四和公式六可得：sin()sin[()]sin()cos 2223πππ+=π++=-+=-αααα； cos()cos[()]cos()sin 2223πππ+=π++=-+=αααα. 教师总结：诱导公式（七）：sin()cos 2cos()sin 23π+=-3π+=αααα 追问：如何从角的转化变形以及变换的几何含义来理解诱导公式（七）呢？师生活动：与学生一起探讨：角的转化变形：）（αα++→+2ππ23π， 变换的几何含义：角2α3π+的终边可以看作是：是由角α的终边关于x 轴的对称得到角α-的终边，再关于直线y x =对称得到的α+2π的终边，最后再关于原点对称得到的（如图）.知识点4 角α与32-πα的三角函数值之间的关系π2+的终边π2+问题6：对于任意一个角α来说， 角α与32-πα的正弦、余弦之间有什么关系呢？ 师生活动：与学生一起探讨：结合公式四和公式五可得：sin()sin[()]sin()cos 2223πππ-=π+-=--=-αααα； 3cos()cos[()]cos()sin 222πππαπααα-=+-=--=-. 教师总结：诱导公式（八）：sin()cos 23πcos()sin 23π-=--=-αααα 追问：如何从角的转化变形以及变换的几何含义来理解诱导公式（八）呢？师生活动：与学生一起探讨：角的转化变形：）（αα-+→-2ππ23π， 变换的几何含义：角2α3π-的终边可以看作是：由角α的终边关于直线y x =对称得到2απ-的终边，再关于原点对称得到的（如图）.教师总结：八组诱导公式可以总结为如下口诀：奇变偶不变、符号看象限前四组公式的特点：符号看象限，函数名不变；后四组公式的特点：符号看象限，函数名改变. 事实上，这8组诱导公式可概括为2k απ⋅±()k ∈Z 的各三角函数值. 当k 为偶数时，得到角α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得到角α的余名三角函数值，然后特别需要注意，在前面加上把α看成锐角时原三角函数值的符号.设计意图：综合八个诱导公式总结出诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，了解从特殊到一般的数学思想的探究过程，培养学生用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力．三、初步应用例1 求下列各值（1） sin120o （2）cos135o （3）19cos()4π-师生活动：学生自主完成，教师巡视、点评.预设的答案：（1）sin120sin(9030)cos302o o o o =+==（2）cos135cos(9045)sin 45o o o o =+=-=（3）191933cos()cos cos(4)cos cos()sin 4444424ππππππππ-==+==+=-=设计意图：通过本题，进一步巩固诱导公式（六）以及培养数学运算核心素养．例2 计算()sin 36cos54sin108cos162-+++师生活动：学生自主完成，教师巡视、点评.预设的答案：()sin 36cos54sin108cos162-+++()()()=sin 36cos 9036sin 9018cos 18018-+-+++-sin36sin36cos18cos180=-++-=．设计意图：通过本题，进一步巩固诱导公式，以及灵活利用公式进行计算，培养数学运算核心素养．例3 化简：()()αααα-++-πcos πsin )2πcos()2π3sin(师生活动：学生自主完成，教师巡视、点评. 预设的答案：()()()()()()3ππsin()cos()cos sin 221sin πcos πsin cos -+--==+---αααααααα设计意图：通过本题，进一步巩固诱导公式以及灵活选用公式进行化简．例4 求证：cos(2020+sin(2tan(233cos(π)sin(π)22πθπθπθθθ---+-）））＝－tan θ. 师生活动：学生自主完成，教师巡视、点评.预设的答案：左边＝cos(sin(tantansin(cosθθθθθθ--=--）））＝右边，所以结论成立．设计意图：通过本题，进一步巩固诱导公式以及选用公式进行证明，培养学生数学运算核心素养和逻辑推理素养．练习：第33页练习A3，4四、归纳小结，布置作业1．板书设计：7.2.4 诱导公式(2)诱导公式（五）诱导公式（六）诱导公式（七）诱导公式（八）例1 例2 例3例42．总结概括：教师引导学生回顾本节知识:1．诱导公式的作用是将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，使用过程中的关键：一是符号问题，二是函数名称问题．要熟记口诀“奇变偶不变，符号看象限”，并在解题过程中去理解和掌握．2．由诱导公式可以看出，在三角函数中，角和三角函数值之间是多值对应关系，一个角对应一个三角函数值，而一个三角函数值则对应多个角．作业：教科书第33页练习B 2，3（3），4，5．。
《诱导公式(二)》教案
1.2.4诱导公式（二）一、学习目标1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+π1)k +2(，α2π+角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；二、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 三、教学方法先由学生自己看书，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.+-=-=x x9017)cos(9017)sin17 480︒)+cos(-330︒)5.3.2同角三角比的关系（2）诱导公式【教学目标】1．通过本节课的教学，使学生掌握五组诱导公式的推导方法和记忆方法．2．在理解、记忆五组诱导公式的基础上，会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明．3．加深理解化归思想，培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生的基本数学思想和数学意识．【教学重点】五组诱导公式的记忆、理解、运用。
【教学难点】五组诱导公式的推导教学过程：【情景引入】与6π终边相同角α的集合如何表示？αsin 与6sin π具有怎样的数量关系？与β终边相同角α的集合如何表示？αsin 与βsin 具有怎样的数量关系？βα,其它的五个三角比数量关系又如何呢？【问题探究】诱导公式一：文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等．sin(k·360°＋α)=sinα，cos(k·360°＋α)=cosα， tan(k·360°＋α)=tanα，cot(k·360°＋α)=cotα．(k ∈Z )试求出sin 2016°的值．由公式一：sin 2016°=sin(5×360°×216°)＝sin 216° 问题二：如何求出进一步sin 216°的值诱导公式二：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°＋α角所在象限(第三象限)角的原三角函数值的符号相同． sin(180°＋α)=－sinα， cos(180°＋α)=－cosα，tan(180°＋α)=tanα， cot(180°＋α)=cot α．诱导公式三：①同名函数关系；②符号规律是：右边符号与－α所在的第四象限角的原三角函数值的符号相同．sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝tanα， cot(－α)＝－cotα．诱导公式四：sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-． t sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。
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【课题】5．5 诱导公式(第二课时)
【教学目标】
知识目标：
了解 “360k α+⋅”、“α-”、“180°α±”的诱导公式． 能力目标：
（1）会利用简化公式将任意角的三角函数的转化为锐角的三角函数； （2）会利用计算器求任意角的三角函数值；
（3）培养学生的数学思维能力及应用计算工具的能力．
【教学重点】
三个诱导公式．
【教学难点】
诱导公式的应用．
【教学设计】
（1）利用单位圆数形结合的探究诱导公式； （2）通过应用与师生互动，巩固知识；
（3）通过计算器的使用，体会数字时代科技的进步；
（4）提升思维能力，以诱导公式为载体，渗透化同的数学思想.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
3 -；
2
3
-
3
质疑
质疑
3
-；
2
2。