【课题】5.5诱导公式(第二课时)

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高中数学三角函数的诱导公式(第二课时)导学案苏教版必修4高一

公式五：

公式六：

小组
总结：诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角之间的关系.换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系. 二.课堂活动（认真阅读教材 P21 例 3，例 4，尝试完成下列例题）例 1 求证： sin( a) cos a, cos( a) sin a
3 ，且是第二象限的角，则 tan( ) 的值是_____ 5 2 3.已知 sin( ) 1 ，则 sin(2 ) sin(2 3 ) ____
4.计算 sin 2 10 sin 2 2 0 sin 2 89 0 的值是______ 5.计算 lg tan 10 lg tan 2 0 lg tan 890 的值是______ 6.已知 x (0,2 ) ，且 tan(3 x ) 7.已知 cos
师生共用三角函数的诱导公式（第二课时）导学案
年级：高一学科：课时及内容：三角函数的诱导公式（第二课时）学习目标:1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式 2.能利用诱导公式求任意角的三角函数值，化简，三角恒等式的证明. 学习重难点：
一.课前准备姓名

2
角的正弦、余弦诱导公式的推导
9.若 4 sin( )

诱导公式说课

本节课教学分为两个课时，第一课时探究诱导公式并能利用诱导公式求三角函数值；第二课时会利用诱导公式进行化简证明。
教学目ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：

能正确运用诱导公式将任意角的三角函 0, 数值化为内的角的三角函数值，并 2 能对简单的三角函数式进行化简. 能运用计算器求三角函数值. 能通过公式的运用，了解由复杂到简单地转化过程，提高分析问题和解决问题的能力.
三、教法分析：
在教师的组织和引导下学生以自主探索、
动手实践、合作交流的方式进行学习。在学习
过程中体会公式的发生发展过程，让学生体会
诱导公式是三角函数定义，角的终边对称性等
知识的延续和推广，应用迁移规律，引导学生
联想、类比、归纳推导公式。
在教学中可能会遇到如下几个问题：

在利用多媒体引导学生从特殊到一般的学习过程中，部分学生对公式的推导不够重视。为了避免这种情况出现，我在教学设计中设置了环环相扣的问题，如：终边相同的角的三角函数值一定相等，然而两个角的
终边关于x,y轴对称,你有什么结论?两个角的终边关于
原点对称呢？目的引起学生注意并思考。

公式的记忆是个难点，结合几何画板帮助学生
理解角的任意性，但是公式记忆时将其看成是
锐角。另外，在归纳总结过程时，体会角的终
边的对称性与三角函数值之间的关系也有利于

诱导公式第二课时

太谷县职业中学校学案纸（一）

课题

三角函数的

诱导公式2

课型新授备课时间3、28

授课班级时间班月日班月日班月日班月日

教学目标知识目标

⑴理解正弦、余弦的诱导公式．

⑵培养学生化归、转化的能力．

能力目标

（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简

以及简单三角恒等式的证明．

德育目标

通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．

教

材分析

教学重点

公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，

熟练驾驭公式．

教学难点

运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等

式的证明．

学情分析

由于学生在初中接触三角函数少，所以对三角函数比较陌

生，讲课的时候要速度放慢点

教学媒体多媒体教学教学时数1课时

教、学方法分析

由于本节课的内容与点的对称、三角函数的定义、三角函数在各个象限的符号有关，因此，本节课教学过程中，要先复习，再推导的教学

方法教学，还要结合多媒体共同教学。

学习的时候，要动手操作，讨论，关键是付诸行动。

太谷县职业中学校学案纸（二）

板书设计

三角函数的诱导公式2 一、复习：三、：例题

二、公式五、

απ

ααπ

s in 2

cos (

cos )2

s in(

）＝－－= 四、小结

公式六、

απ

sin )2

cos(

cos 2

sin =++）＝（

作业（实习实训）存在问题

学生学习本节内容的时候，公式不能灵活用运，公式的符号经常错，所以要多练。

教学反思

在讲授这节内容的时候，不是特别的顺利，尤其在遇到公式的符号的确定是，相对容易出错，在这方面的讲课中，需要增加一定的习题，让学生动手操作。

5.3诱导公式(第二课时)课件-高一上学期数学人教A版

sin y
cos x
sin( ) x cos
2
sin( ) y sin
cos( ) y sin
2
cos( ) x cos
sin( 3 ) x cos
2
sin( 2 ) y sin
cos(3 ) y sin
2
cos(2 ) x cos
课堂小结
诱导公式五
诱导公式六
奇变偶不变，符号看象限
＝ 1－cos231°＝ 1－m2.
给值（式）求值问题
典型例题 2 给值(式)求值问题
跟踪训练 2 给值(式)求值问题
跟踪训练 2 给值(式)求值问题
综合应用
A＋B－C
A－B＋C
例 2 在△ABC 中，sin 2 ＝sin 2 ，试判断△ABC 的形状.
因为A＋B＋C＝π，所以A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又因为 sin A＋B2－C＝sin A－B2＋C，所以 sin π－22C＝sin π－22B，所以 sinπ2－C＝sinπ2－B，所以cos C＝cos B. 又B，C为△ABC的内角，所以C＝B，所以△ABC为等腰三角形.
角α与角α的终边关于 y=对x 称
(y,x)
诱导公式五
(x,y)
？思考2
如图，在直角坐标系内，设任意角α的终

5.3 诱导公式(2)--新人教版高中数学第一册

[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1ห้องสมุดไป่ตู้若 sin52π＋α＝15，则 cos α＝
A．－25
B．－15
()
C．15
D．25
解析：sin52π＋α＝sin2π＋π2＋α＝sinπ2＋α＝cos α＝15.
答案：C
2．已知 tan θ＝2，则ssiinnπ2π2＋＋θθ－－csionsππ－－θθ等于
2．[变结论]本例(1)条件不变，求 cos56π－α的值．解：cos56π－α＝cosπ2＋π3－α ＝－sinπ3－α＝－12.
3．已知 sinθ－32π＋cos32π＋θ＝35，求 sin3π2＋θ－cos332π－θ的值．
解：∵sinθ－32π＋cos32π＋θ＝－sin32π－θ－cosπ2＋θ＝ sinπ2－θ＋sin θ＝cos θ＋sin θ＝35， ∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12×295－1＝－285. ∴sin3π2＋θ－cos332π－θ＝cos3θ＋cos3π2－θ＝cos3θ＋sin3θ＝ (sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝35×1－－285＝19295.
＝co－s2θ2＋cossinθ2sθin－θ2－sin12θ＝ssiinn2θθ＋－ccooss2θθ2
＝sin sin

《诱导公式(第二课时)》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】

归纳小结
问题3 教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（3）能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？
（3）通过观察发现，如果是一个角加的奇数倍，那么变换后会改变三角函数的名字；如果是一个角加的偶数倍，那么变换后会不改变三角函数的名字．
归纳小结
关于原点的对称性公式二
圆的对称性
β 2kπ ( π α)(k Z) 2
公式六
sin( π α) cos α 2
cos( π α) sin α 2
新知探究
追问4 除了上面的两次对称关系，角 π α 的终边与角α的终边还具 2
有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？
角α的终边旋转 π 角，就得到角 π α 的终边．
2
2
如图，由两个三角形全等易得点P8与P1坐标间关系，进一步可得公式六．
新知探究
问题2 回顾利用公式一～公式四，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，并且建立了流程图的求解程序，那么公式五或公式六的作用是什么？可能在哪个环节用到这两组公式？
利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．如图所示可以在变成锐角的过程中发生作用．
例2
化简：
2
2
．
cos(π α)sin(3π α)sin(π α)sin(9π α)
2
解：原式

《诱导公式(第二课时)》示范教学方案

《5.3 诱导公式（第二课时）》教学设计

1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（

±α的正弦、余弦、正切）；通过经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，发展直观想象素养．

2．初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，发展数学运算素养．

教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、

化简与恒等式的证明．

教学难点：诱导公式的有效识记和应用．

PPT 课件．

资源引用：【知识点解析】诱导公式五和六的认识【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图

（一）新知探究

引导语：通过上一节课的研究，我们知道了将圆的对称性代数化就得到了诱导公式，这些都是三角函数的对称性．本节课沿着上一节课的思路继续进行．

问题1：通过圆关于原点、x 轴、y 轴对称，我们得到了诱导公式二、三、四，你还能找到一些特殊的直线对称，或者两次对称，类比前面的方法，写出相应的问题，并解决吗？试一试．

预设的师生活动：教师根据学生完成情况，挑选如下内容进行展示．其他拓展内容视情况而定，可以展示，也可以由学生课下交流．

预设答案：

（1）提出问题：如图1，点P 1关于直线y ＝x 的对称点

◆ 教学过程

◆ 课前准备

◆ 教学重难点 ◆

◆ 教学目标

图2

P 5，以OP 5为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？

解：如图1，以OP 5为终边的角β都是与角2π－α终边相同的角，即β=2k π＋(2

－α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角

－α与α的三角函数值之间的关系即可．设P 5（x 5，y 5），由于P 5是点P 1关于直线y ＝x 的对称点，可以证明：x 5＝y 1，y 5＝x 1．根据三角函数的定义，得sin （2π－α）＝y 5，cos （2

诱导公式(二)学案

第二课时诱导公式(二)

预习课本P26～27，思考并完成以下问题 (1)π

2－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？

(2)诱导公式五、六有哪些结构特征？

[新知初探]

诱导公式五和公式六

[点睛]这两组公式实现正弦和余弦的相互转化．

[小试身手]

1．判断以下命题是否准确．(准确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．() (2)sin(90°＋α)＝－cos α.() 答案：(1)×(2)×

2．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝1

5，那么cos α＝() A ．－2

B ．－15

C ．15

D ．25

答案：C

3．若cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝1

2，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝() A ．－1

B ．12

C ．－

D ．

答案：A

4．化简：sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________. 答案：－cos α

利用诱导公式化简

[典例]化简： sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭

⎫π

2－αcos (π＋α)

＋sin (π－α)cos ⎝⎛⎭

⎫π

2＋αsin (π＋α)

[解]∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π

2－α＝sin α， cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α， cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，

∴原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·

(－sin α)－sin α

＝－sin α＋sin α＝0.

用诱导公式实行化简的要求

(1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号． (4)能求值的一定要求值．

《诱导公式》第2课时参考教案

《诱导公式》

第二课时

诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭

角的三角函数值问题．诱导公式中的公式五的推导过程，使学生学会用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，而公式六的推导过程，使学生能用已有公式二至五，运用角的变换进行演绎推演，使培养学生逻辑推理、数学运算核心素养落到实处．

1．在诱导公式二至四推导方法的基础上，启发学生探索发现诱导公式五并能借助公式推演得到公式六；

2．借助单位圆中的对称关系及三角函数定义的应用，培养学生形数结合，归纳转化的思想方法；同时借助公式的结构特点培养学生从未知到已知、复杂到简单的化归思想；

3．通过对公式的推导过程，以及通过理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题，培养学生逻辑推理、数学运算素养．

教学重点：诱导公式五、六的推导探究，诱导公式的应用；

教学难点：发现终边与角α的终边关于直线y x =对称的角与α之间的数量关系．

1．教学问题：（1）如何把角α终边关于直线y x =对称的角的终边几何对称关系与角的数量关系对应起来是一个教学问题，处理这个问题主要利用信息技术，引导学生归纳不同象限角的情况，再以第一象限角为例发现角的关系，此过程强调归纳转化思想和逻辑推理素养；

（2）应用诱导公式解决相关三角函数值的求解、化简、证明等是一个教学问题，处理这个问题主要是引导学生在理解公式的基础上适量典型例题的推演．

《诱导公式(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】

《诱导公式(第二课时)》示范公开课教学设

计【高中数学人教版】

诱导公式(第二课时)示范公开课教学设计【高中数学人教版】

教学目标：

1. 知识目标：学习掌握诱导公式的原理和应用方法，能够运用诱导公式解决相关数学问题。

2. 能力目标：培养学生的逻辑思维和推理能力，提高解决实际问题的能力。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作和交流能力。

教学重点：

1. 掌握诱导公式的概念和基本性质。

2. 理解诱导公式的应用方法。

3. 运用诱导公式解决相关的数学问题。

教学难点：

1. 综合运用诱导公式解决复杂的问题。

2. 培养学生的逻辑思维和推理能力。

教学准备：

1. 教学课件和教辅资料。

2. 板书工具和学习用具。

3. 学生小组活动所需材料。

教学过程：

一、导入（5分钟）

1. 教师简要复习上节课所学的诱导公式的概念和基本性质，并提问

学生以回顾巩固。

2. 引入本节课的主要内容，明确学习目标和重点。

二、知识讲解（15分钟）

1. 教师通过课件和板书，详细讲解诱导公式的应用方法和解题思路，包括基本类型和常见的变式。

2. 示范解决一个简单的例题，引导学生逐步掌握解题的步骤，注意

计算过程和思维逻辑。

三、应用练习（20分钟）

1. 学生个别或小组完成练习题，运用诱导公式解决。教师巡回指导

和解答疑惑。

2. 学生自主思考和讨论，提高解题的灵活性和准确性。

3. 随机选几位学生上台展示解题过程，帮助全班学生共同理解。

四、拓展应用（15分钟）

1. 教师提供一道较复杂的诱导公式应用题，引导学生在小组内进行合作解答。

2. 学生展示解题过程，并分析解题策略和思考方法，共同探讨解决难题的思路。

诱导公式(第二课时)

《5.3.2诱导公式》（第二课时）

一、学习目标

1在诱导公式二～四的基础上，掌握诱导公式五～六的推导过程. 2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题．

二、思维导图

三、导学指导与检测

导学指导

阅读相关材料完成相应练习知识点二公式五

【思考1】设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P2，点P 2的坐标是什么？

1．角

2－α与角α的终边关于直线_____对称，如图所示．

2．公式：sin⎝⎛⎭⎫

2－α＝___ __，cos⎝

⎛

⎭

⎫

2－α＝___ _ .

知识点二公式六

思考.能否利用已有公式得出π

+a的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系?

1．公式：sin⎝⎛⎭⎫

2＋α＝___ __，cos⎝

⎛

⎭

⎫

2＋α＝___ __.

2．公式五与公式六中角的联系

2＋α＝π－⎝

⎛

⎭

⎫

2－α.

知识点三诱导公式的推广

（1）sin(3π

-α)= ，cos(3π

-α)= ,

（2）sin(3π

+α)= ，cos(3π

+α)= .

诱导公式

公式五

sin(π/2－α)＝cos α

cos(π/2－α)＝sin α

公式六

sin(π/2+α)＝cos α

cos(π/2+α)＝-sin α

口诀纵变横不变，符号看象限

【例1】已知cos (α+π

6)=3

5,求sin α+2π

3的值.

三、巩固诊断

1.若sin (π

+θ)<0，且cos (π

-θ)>0，则角θ是( )

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三角限角

D.第四象限

角

2.化简sin (α+π

三角函数的诱导公式第二课时学案

1．3诱导公式（一）

教学目标

（一）知识与技能目标

⑴理解正弦、余弦的诱导公式．

⑵培养学生化归、转化的能力．

（二）过程与能力目标

（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．

（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角

恒等式的证明．

教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．

教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．

一、复习：

诱导公式（一）

tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k 诱导公式（二）

tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒ 诱导公式（三）

tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-

诱导公式（四）

tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒ 对于五组诱导公式的理解：

①可以是任意角；公式中的α

②这四组诱导公式可以概括为：

符号。

看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k

总结为一句话：函数名不变，符号看象限

练习1：P27作业1、2、3、4。

2：P25的例2：化简二、新课讲授： 1、诱导公式（五） sin )2cos( cos )2sin(

ααπααπ=-=- 2、诱导公式（六） sin )2cos( cos )2sin(

5.3.2 诱导公式(第二课时课件)

（公式四）
对形如π-α、π+α的角的三角函数可以转化
为α角的三角函数，对形如

2

、 2 的角
的三角函数与α角的三角函数，是否也存在着
某种关系？
2 诱导公式(二)

角与的正弦（余弦）值之间的关系
2
思考：如果α为锐角，你能得到什么结论？
a

（ − ） =
2
2
证明：左边＝
3π
3π
sinα＋ cosα＋
2
2
tan－α－sinαcosα
＝
－cosαsinα
－tanαsinαcosα
＝
＝－tanα＝右边，
cosαsinα
∴原等式成立．
课堂小结
一、本节课学习的新知识
诱导公式的推导
任意角三角函数化归流程
诱导公式的应用
课堂小结
二、本节课提升的核心素养
数学抽象
逻辑推理
数据分析
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
数形结合
转化与化归
类比思想
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
给授课教师的建议：
1. 素养篇与思维篇中的问题，建议以学生分析为主，由

5.3诱导公式课件(第二课时)-高一上学期数学人教A版【04】

3
2π
-
3
2π
-
3
=cos
=
2π
-
3
3
=- .
3
3
.
3
=
3
.
3
课堂小结
①三角函数的简化过程图：
任意负角的
三角函数
用公式
三或一
任意正角的
三角函数
用公式一
锐角的三
角函数
用公式
二或四或
五或六
0 ~ 2 的
三角函数
②三角函数的简化过程口诀：负化正，正化小，化到锐角就行了
诱导公式记忆口诀：奇变偶不变符号看象限
(37 ) 90 (53 )
sin(37 ) sin[90 (53 )] cos(53 )
270 90
90 270, 从而143 53 323,
1
由 sin(53 ) 0得 143 53 180
5.3
诱导公式
（第二课时）
复习回顾
公式一
sin(α+2kπ)=sinα
cos(α+2kπ)=cosα
tan(α+2kπ)=tanα
(cos , sin )
p1 ( x, y )
复习回顾
(cos , sin )