宁夏--平面向量数量积的物理背景及其含义(说课稿)
2015年高中数学省级优质课说课稿：平面向量数量积的物理背景及其含义
《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》说课稿说课内容：人教版普通高中课程标准实验教科书A 版必修4，第二章第4节《平面向量的数量积》的第1课时——《平面向量数量积的物理背景及其含义》基于“以学生为主体，促进学生全面发展” 的理念，结合我校的外语特色，本节课运用双语教学，采用我校的“三三式”有效课堂教学模式。
下面我以“课前三问，课中三段，课后三思”为思路，从背景、教学目标、教学媒体、课堂结构、教学过程及教学评价六个方面谈一谈我对本节课的思考与设计。
课前三问——为何教？平面向量的数量积是继向量的线性运算后的又一种运算，也是高中数学的一个重要概念，它能有效解决长度、夹角、垂直等几何问题，在数学、物理学科中应用广泛。
本节内容教材共安排两个课时，第一课时主要研究平面向量数量积的概念，第二课时主要研究平面向量数量积的坐标运算，本节课是第一课时。
本节课的主要学习任务是研究平面向量数量积的概念、几何意义，在此基础上探究数量积的性质与运算律。
在学习过程中，使学生体会类比，数形结合的数学思想方法，进一步培养学生的推理论证和自主学习的能力。
其中，数量积的概念是研究其性质与运算律的基础，而且从它的概念可以看出它与几何、代数、三角都有交汇，因此，数量积的概念是本节课教学的重点。
课前三问——教给谁？ “三三式”双主体和谐式有效课课前三问课中三段课后三思思想有高度吗？知识丰富了吗？ 统帅课堂全局了吗？第一段：教学导入第二段：学习新知 第三段：总结归纳 为何教？——分析内容、重点 教给谁？——明晰对象、难点 怎样教？——研究教法、学法在此之前，学生已熟知实数的运算体系，理解了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，具有了一定的英语听、说、读、写的能力，这为本节课的学习奠定了基础。
但在理论知识层面，学生易受向量的线性运算及实数乘法运算的影响，在数量积概念及几何意义的理解上存在困惑，在数量积运算律的理解和推导上存在困难。
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标：1. 理解平面向量数量积的概念及其物理意义；2. 掌握平面向量数量积的计算公式；3. 能够运用平面向量数量积解决实际问题。
教学重点：1. 平面向量数量积的概念及其物理意义；2. 平面向量数量积的计算公式。
教学难点：1. 平面向量数量积的理解和应用；2. 平面向量数量积的计算公式的推导和运用。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量数量积的物理背景和计算公式；2. 教师准备一些实际问题，用于引导学生运用向量数量积解决实际问题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过PPT或黑板，展示一些物理场景，如力的作用、位移等，引导学生思考向量数量积的物理背景；2. 学生分享自己对向量数量积的理解和疑问。
二、向量数量积的概念及其物理意义（15分钟）1. 教师通过PPT或黑板，介绍向量数量积的概念，即两个向量的点积；2. 教师解释向量数量积的物理意义，如力的作用、位移等；3. 学生跟随教师一起回顾向量数量积的定义和物理意义。
三、向量数量积的计算公式（15分钟）1. 教师通过PPT或黑板，推导出向量数量积的计算公式，即两个向量的点积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积；2. 教师解释计算公式的推导过程和含义；3. 学生跟随教师一起推导计算公式，并理解其含义。
四、向量数量积的运用（15分钟）1. 教师提出一些实际问题，如力的合成、位移的计算等，引导学生运用向量数量积解决实际问题；2. 学生分组讨论，尝试解决实际问题；3. 各组汇报解题过程和结果，教师进行点评和指导。
2. 学生分享自己的学习收获和反思。
教学延伸：1. 教师可以引导学生进一步学习向量数量积的应用，如力的分解、动量的计算等；2. 教师可以组织学生进行小组讨论或研究，深入研究向量数量积的性质和应用。
教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，包括教学内容的掌握情况、学生的参与程度、教学方法的适用性等，以便于改进教学策略，提高教学质量。
必修四 2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义说课稿
（2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义）说课
（姓名）
一、教材分析
1.教材所处地位、作用
向量是近代数学中重要和基本的教学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。
2.教学目标
本节课的教学目标、教学重点和难点如下：
（1）知识目标
①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
②掌握向量a与b的数量积公式。
③掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。
（2）技能目标：
①能根据数量积公式求两向量的数量积。
②能根据数量积的运算律化简向量的数量积。
（3）情感目标
①体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化；
②通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力；
3.重难点
教学重点：平面向量的数量积。
教学难点：平面向量数量积的几何意义。
突破难点的关键：从已有的初中物理中关于做功的知识出发，结合功的定义，引入力F和位移S不在同一直线上的情况的功的计算方法。
二、学情分析
前面已学习了向量的加法、减法和数乘运算，学生对向量已有了一定的了解。
本节课中向量的数量积是一种新的运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样有
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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教案)
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义三维目标：1、知识与技能：（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；（3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；（4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、过程与方法（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。
（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。
3、情态与价值观（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。
（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；教学重点：平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题)教学难点：平面向量的数量积与向量投影的关系；运算律的理解和平面向量数量积的应用。
教学过程：一、情景导入、引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义二、合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
平面向量数量积的物理背景及其含义教案
课 题§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义（第一课时）数学组 黄凌晨教学目标(一)知识目标1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及了解其几何意义；2、体会平面向量的数量积与向量夹角、向量投影的关系；3、体会类比、分类讨论的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括的能力。
(二)能力目标通过对平面向量数量积定义的探究,体会各学科之间是密不可分的，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练.继续培养学生的探究能力和创新的精神。
(三)情感目标通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,.培养学生思考问题认真严谨的学习态度。
教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义。
教学难点：平面向量数量积的概念。
教学方法：启发探究式,讲练结合法。
教学准备：多媒体、粉笔。
课型：新授课.教学过程(一)知识复习1.功的概念： 如果一个物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
如果一个物体在力F 作用下产生位移S ，那么F 所做的功为:(图1)中力所做的功W=F s (图2)中力所做的功cos W F s θ=,a bθθ与向量的关系以及的范围；r r 0=90=0a b a b θ⊥⇒当时，r r r r g =a b r r 与的数量积_________cos a b a b θ=r r r r g 即[]0θπ∈，b r 000=________=________=1________a b a b a b θθθθ⋅=⋅=⋅=r r r r r r 当为特殊角时，即当0， 即当90， 即当80，05,4,=120a b a b a b θ==r r r r r r g 例1 已知则与的夹角，求 ；(二)知识引入结合物理学中功大小的定义cos W F s θ=和前面我们说的把功看成是F 和s 两个向量的运算结果，两者是等价的.如果把F 和s 这两个向量推广到一般的向量，引出平面向量数量积的概念．(三)数量积定义的形成 思考一：类比物理学功的公式，你能推出两个非零向量 思考二：引导学生分析 (四)数量积的定义分析通过数量积定义的上述推导，得到数量积的定义．1、数量积的定义：已知两个非零向量a r 和b r ，把数量cos a b θr r 叫做a r 与b r 数量积（或内积），记作a b r r g θ为向量a b r r ，的夹角，且 我们规定：零向量与任何向量的数量积为0.2、书写要求与条件分析 ①a b r r 与的数量积记作：a b r r g （类比数量乘法，但二者有本质区别，不可省略“.”，不可写成“×” ）②定义中，向量a r 和 是非零向量，若=________a b a b ⋅r r r r 与中有一个为零向量，则3、数量积的定义分析 探究一：从平面向量数量积定义来看，cos a b a b θ=r r r r g①数量积a b r r g 的运算结果最终是一个数还是一个向量？② ③数量积在什么时候是正数？在什么时候是负数？在什么时候为0？讨论结果： 当[)︒︒∈90,0θ时，0cos >θ，0a b >r r g ； ;当(]︒︒∈180,90θ时，0cos <θ，0a b <r r g .④例题演练cos a θr(五)投影的概念1.投影的定义 cos a θr （cos b θr ）叫做向量a r 在b r 方向上(b r 在a r 方向上）的投影.探究二：我们该如何理解投影，从投影定义来看，a r 在b r 方向上(b r 在a r 方向上）的投影 有正、负、零之分吗？在什么时候为正？什么时候为负？什么时候为0？2、引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义： 数量积a b a r r r g 等于与b r 在a r 方向上的投影cos b θr 的乘积3.例题解析（六）提升检验，学生解析，并分析对错原因，教师补充不足。
7、平面向量数量积的物理背景及其含义-说课稿
《2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义》尊敬的各位各位老师、评委：大家好！我说课的内容是人教版高中课程标准实验教材《数学》必修4第2章第4节函数的概念第一课时。
下面我将围绕本节从教材分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程设计、教学反思等六个方面来进行我的说课。
一、教材分析1、教材的地位和作用平面向量数量积的物理背景及其含义,包括数量积的定义、几何意义、性质及运算律。
它是继向量的加法，减法,实数与向量的积等线性运算之后又一新的运算，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用。
由于它在数学、物理等学科中的广泛应用,因此，我把本节内容分为两个课时,其中第一课时主要研究数量积的概念。
2、学情分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，再与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。
鉴于上述分析我制定了本节课的教学目标。
二、教学目标根据新课标对本节课的教学要求，结合学生已有的认知能力结构和以上教材分析，我将从知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观三个方面来设计本节课的三维目标。
1、知识与技能目标（1）理解平面向量数量积、投影的定义。
（2）掌握平面向量数量积的性质。
（3）了解用平面向量数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。
2、过程与方法目标通过对平面向量数量积性质的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练，继续培养学生的探究能力和创新的精神.3、情感态度与价值观目标通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐，体会各学科之间是密不可分的，培养学生思考问题认真严谨的学习态度。
三、教学重、难点根据根据新课程的标准要求结合学生的学习情况，本节课注重培养学生的创新精神和探究能力。
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教案章节：一、向量数量积的定义及计算公式【教学目标】1. 了解平面向量数量积的定义及其物理意义；2. 掌握平面向量数量积的计算公式；3. 能够运用向量数量积解决实际问题。
【教学内容】1. 向量数量积的定义：两个向量相乘的结果称为向量数量积，记作a·b，其中a、b为平面向量。
2. 向量数量积的物理意义：表示两个向量在空间中的投影长度乘积。
3. 向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|、|b|分别为向量a、b的长度，θ为向量a、b之间的夹角。
【教学过程】1. 引入新课：通过讲解物理中力的作用效果，引导学生思考力的方向和大小对作用效果的影响，从而引出向量数量积的概念。
2. 讲解向量数量积的定义：结合图形，解释向量数量积的含义，让学生理解它是两个向量在空间中的投影长度乘积。
3. 推导向量数量积的计算公式：引导学生利用向量的长度和夹角，推导出向量数量积的计算公式。
4. 应用实例：让学生运用向量数量积的计算公式，解决实际问题，如力的合成与分解。
【课堂练习】1. 已知两个向量a、b，长度分别为|a|=3，|b|=4，夹角为θ=60°，求向量a与向量b的数量积。
2. 如图，在直角坐标系中，向量OA=(2,3)，向量OB=(4,6)，求向量OA与向量OB的数量积。
教案章节：二、向量数量积的性质及运算规律【教学目标】1. 掌握向量数量积的性质；2. 熟悉向量数量积的运算规律。
【教学内容】1. 向量数量积的性质：（1）交换律：a·b = b·a；（2）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c；（3）数乘律：k·a = a·k（k为实数）。
2. 向量数量积的运算规律：（1）结合律：(a·b)·c = a·(b·c)；（2）分配律：(a+b)·c = a·c + b·c。
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标：1. 了解平面向量数量积的物理背景；2. 掌握平面向量数量积的定义及其计算公式；3. 理解平面向量数量积的几何意义；4. 能够运用平面向量数量积解决实际问题。
教学重点：1. 平面向量数量积的物理背景；2. 平面向量数量积的定义及其计算公式；3. 平面向量数量积的几何意义。
教学难点：1. 平面向量数量积的计算公式的推导；2. 平面向量数量积的几何意义的理解。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 教学用具（如直尺、三角板等）；3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入物理背景：以力的合成与分解为例，说明平面向量数量积的重要性；2. 引导学生思考：如何量化两个力的合力的大小和方向？二、平面向量数量积的定义及其计算公式（15分钟）1. 介绍平面向量数量积的定义：两个向量的数量积是它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积；2. 推导平面向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ；3. 讲解计算公式的含义：数量积表示两个向量共线的程度，正值表示共线同方向，负值表示共线反方向，零值表示不共线。
三、平面向量数量积的几何意义（15分钟）1. 解释平面向量数量积的几何意义：数量积等于两个向量夹角的余弦值，表示两个向量之间的夹角的余弦值；2. 绘制图示：通过图示解释数量积的计算公式及几何意义；3. 讲解数量积的性质：交换向量a和b，数量积不变；数量积为零，表示两个向量垂直。
四、平面向量数量积的运算律（15分钟）1. 介绍平面向量数量积的运算律：交换律、分配律、结合律；2. 通过示例讲解运算律的应用：解决实际问题，如力的合成与分解。
五、练习与巩固（10分钟）1. 出示练习题：让学生独立完成，检验对平面向量数量积的理解；2. 讲解答案：解析学生答案，解答疑问，巩固知识点。
教学反思：本节课通过引入物理背景，引导学生了解平面向量数量积的重要性，接着讲解其定义、计算公式、几何意义、运算律，通过练习题进行巩固。
平面向量数量积的物理背景及其含义教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 引导学生了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义。
3. 培养学生运用数量积解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：平面向量数量积的物理意义，数量积的计算公式。
2. 教学难点：数量积在坐标系中的表示，数量积的性质。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生从实际问题中提炼出向量数量积的概念。
2. 利用多媒体课件，直观展示向量数量积的物理背景。
3. 运用实例分析，让学生体会向量数量积在实际问题中的应用。
四、教学内容1. 向量的概念及表示方法：向量的大小、方向，向量的几何表示。
2. 向量数量积的物理背景：力的合成与分解，功的计算。
3. 向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a与b之间的夹角。
4. 数量积的性质：交换律、分配律、共线向量的数量积为零。
5. 数量积在坐标系中的表示：利用坐标计算向量的数量积。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个简单的物理问题，引导学生思考向量数量积的必要性。
2. 讲解向量的概念及表示方法：结合图形，解释向量的大小、方向及几何表示。
3. 阐述向量数量积的物理背景：以力的合成与分解为例，说明向量数量积的含义。
4. 推导向量数量积的计算公式：引导学生从物理意义出发，推导出公式。
5. 讲解数量积的性质：通过实例，演示交换律、分配律、共线向量的数量积为零。
6. 数量积在坐标系中的表示：利用坐标计算向量的数量积，让学生理解坐标与向量数量积的关系。
7. 课堂练习：布置一些有关向量数量积的题目，让学生独立完成。
8. 总结与拓展：回顾本节课所学内容，引导学生思考向量数量积在实际问题中的应用。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对向量概念、数量积物理背景的理解程度。
2. 课堂练习：检查学生运用数量积解决实际问题的能力。
3. 课后作业：评估学生对数量积计算公式、性质的掌握情况。
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标：1. 了解平面向量数量积的物理背景；2. 掌握平面向量数量积的定义及其计算方法；3. 理解平面向量数量积的性质及其在几何中的应用。
教学重点：1. 平面向量数量积的物理背景；2. 平面向量数量积的定义及其计算方法；3. 平面向量数量积的性质及其在几何中的应用。
教学难点：1. 平面向量数量积的计算方法；2. 平面向量数量积的性质及其在几何中的应用。
教学准备：1. 教学PPT；2. 教学黑板；3. 教学素材（如图片、实例等）。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用PPT展示一些与向量相关的物理现象，如力的合成与分解、速度与加速度等；2. 引导学生思考这些现象与向量有何关系；3. 提问：同学们是否了解向量的数量积？如果有，请简要介绍一下。
1. 讲解平面向量数量积的物理背景，如力的合成与分解、速度与加速度等；2. 引导学生理解平面向量数量积的概念及其在物理中的意义。
三、平面向量数量积的定义及其计算方法（10分钟）1. 讲解平面向量数量积的定义；2. 引导学生掌握平面向量数量积的计算方法，如三角形法则、平行四边形法则等；3. 举例讲解平面向量数量积的计算方法。
四、平面向量数量积的性质及其在几何中的应用（10分钟）1. 讲解平面向量数量积的性质，如交换律、分配律等；2. 引导学生理解平面向量数量积在几何中的应用，如求解三角形、平行四边形等问题。
五、课堂练习与总结（5分钟）1. 布置一些有关平面向量数量积的练习题，让学生独立完成；2. 对学生的练习情况进行点评，解答学生的问题；3. 总结本节课所学内容，强调平面向量数量积的物理背景、定义、计算方法和性质等。
教学反思：本节课通过讲解平面向量数量积的物理背景、定义、计算方法和性质等内容，使学生了解了平面向量数量积的概念及其在几何中的应用。
在教学过程中，要注意引导学生主动思考、积极参与，提高学生的学习兴趣和动手能力。
结合实例和练习题，让学生更好地理解和掌握平面向量数量积的相关知识。
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[精品高中数学说课稿］平面向量数量积的物理背景及其含义《平面向量数量积的物理背景及其含义》教案授课教师:宁夏银川唐徕回民中学马海军课题:?2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教材:普通高中课程标准实验教科书,人教A版,数学必修4 一、教学目标1、了解平面向量数量积的物理背景～理解数量积的含义及其物理意义,2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系～理解掌握数量积的性质和运算律～并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算,3、体会类比的数学思想和方法～进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
二、教学重、难点教学重点:1、平面向量数量积的含义与物理意义2、性质与运算律及其应用教学难点:1、平面向量数量积的概念2、平面向量数量积的运算律,2,、,3,的证明三、教学过程活动一:创设问题情景～引出新课1、提出问题1:请同学们回顾一下～我们已经研究了向量的哪些运算,这些运算的结果是什么,期望学生回答:向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2:请同学们继续回忆～我们是怎么引入向量的加法运算的,我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的,期望学生回答:物理模型?概念?性质?运算律?应用3、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:平面向量数量积的物理背景及其含义活动二:探究数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3: F,1,如图所示～一物体在力F的作用下产生位移S～那么力F所做的功:W= |F| |S| cosα。
α S ,2,这个公式的有什么特点,请完成下列填空:?W,功,是量～?F,力,是量～?S,位移,是量～?α是。
,3,你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答:功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义,1, 数量积的定义:已知两个非零向量与～它们的夹角为～我们把数量 ,,〃,,cos叫b,,abab做与的数量积,或内积,～记作:〃～即:〃= ,,〃,,cos ,abababab,2,定义说明:?记法“〃”中间的“〃”不可以省略～也不可以用“，”代替。
平面向量数量积的物理背景及其含义说课稿
平面向量数量积的物理背景及其含义说课稿尊敬的各位评委：上午好！今天我说课的课题是《平面向量数量积的物理背景及其含义》,我尝试利用新课标的理念来指导教学，对于本节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这样教”为思路，从教材分析、目标分析、教法学法分析、教学过程分析和评价分析五个方面来谈谈我对教材的理解和教学的设计，敬请各位评委批评指正。
一、教材分析（一）地位与作用向量是近代数学中非常重要的数学概念之一，它是联系几何、代数与三角函数的一个桥梁，不仅其本身有着丰富的内容，更由于它在数学、物理等学科及其他生产、生活领域中的广泛应用，从而在高中数学中占据着举足轻重的地位。
平面向量数量积的物理背景及其含义，包括数量积的定义、几何意义、性质及运算律。
它是继向量的加、减法，实数与向量的积等线性运算之后又一新的运算，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用。
（二）学情分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，学习过任意角的三角函数和物理学中的力做功知识，应该能解决简单的物理问题。
所以我主要采用从物理知识出发引导学生，激发学生学习的兴趣与热情，让学生自主探究逐步得出数学上的重要结论。
二、目标分析“三维目标”是一个密切联系的有机整体，应该在获得知识与技能的同时，学会学习和树立正确价值观。
教学中以知识技能的培养为主线，渗透情感态度与价值观，并把这两者充分体现在教学过程中，教学的主体是学生，因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发，根据余弦定理在教材内容中的地位与作用，结合学情分析，本节课教学应实现如下教学目标：（一）教学目标1、知识与技能1)理解平面向量数量积、投影的定义；2)掌握平面向量数量积的性质及其运算律3)了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4)掌握向量垂直的条件.2．过程与方法通过对平面向量数量积性质及运算律的探究，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，使学生的思维能力得到训练。
平面向量数量积的物理背景及其含义说课稿
“平面向量数量积的物理背景及其含义”说课稿说课内容：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第一课时---平面向量数量积的物理背景及其含义。
下面，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学过程设计、教学媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。
一、背景分析1、学习任务分析平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。
本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。
其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。
2、学生情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。
但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。
因而本节课教学的难点数量积的概念。
二、教学目标设计《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求有以下三条：（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
高中数学《平面向量数量积物理背景及其含义》说课稿获奖范文(6)
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《平面向量数量积的物理背景及其含义》教案授课教师：宁夏银川唐徕回民中学马海军课题：§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修4一、教学目标1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
二、教学重、难点教学重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义2、性质与运算律及其应用教学难点：1、平面向量数量积的概念2、平面向量数量积的运算律（2）、（3）的证明三、教学过程活动一：创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义活动二：探究数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W=|F||S|cosα。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量，④α是。
（3）你能用文字语言表述”功的计算公式”吗?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量︱︱·︱b︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·=︱︱·︱︱cos（2）定义说明：①记法”·”中间的”·”不可以省略，也不可以用”“代替。
平面向量数量积的物理背景及其含义说课稿教案教学设计(20210712091022)
平面向量的数目积的物理背景及其含义教课目标：1.掌握平面向量的数目积及其几何意义；2.掌握平面向量数目积的重要性质及运算律；3.认识用平面向量的数目积能够办理相关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件 .教课要点：平面向量的数目积定义教课难点：平面向量数目积的定义及运算律的理解和平面向量数目积的应用讲课种类：新讲课教具：多媒体、实物投影仪内容剖析：本节学习的要点是启迪学生理解平面向量数目积的定义，理解定义以后即可指引学生推 导数目积的运算律， 而后经过观点辨析题加深学生关于平面向量数目积的认识 .主要知识点： 平面向量数目积的定义及几何意义； 平面向量数目积的 5 个重要性质； 平面向量数目积的运算律 .教课过程：一、复习引入：1． 向量共线定理向量 b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：假如 e 1 ， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内的任一直量a ，有且只有一对实数λ使 a =λ1 e 1 +λ2 e 21， λ23．平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y 轴方向同样的两个单位向量 i 、 j .a ，由平面向作为基底 任作一个向量量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y ，使得 axiyj把 (x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a( x, y)4．平面向量的坐标运算若 a( x 1 , y 1 ) ， b ( x 2 , y 2 ) ，则 a b (x 1 x 2 , y 1 y 2 ) ， a b ( x 1x 2 , y 1 y 2 ) ，a( x, y) .若A ( x 1 , y 1 )， B(x 2 , y 2 ) ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 15．a∥b( b0 )的充要条件是x1 y2 -x2y1=06．线段的定比分点及λP1， P2是直线 l 上的两点， P 是 l 上不一样于 P1， P2的任一点，存在实数λ，使P1P =λ PP2，λ 叫做点P分P1 P2所成的比，有三种情况：λ >0(内分 )(外分 )λ<0 ( -1)λ<( 外分 ) λ <0 (-1<λ <0)7.定比分点坐标公式：若点P １ (x1， y1 ) ，Ｐ２ (x2， y2) ，λ为实数，且P1P＝λPP2，则点P 的坐标为（x1x2 ,y1y2），我们称λ为点 P 分P1P2所成的比 . 118.点 P 的地点与λ的范围的关系：①当λ＞０时， P1 P 与 PP2同向共线，这时称点P 为P1P2的内分点 .②当λ＜０ ( 1 )时， P1P 与 PP2反向共线，这时称点P 为P1P2的外分点 .9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设OP1＝ａ， OP2＝ｂ，可得 OP =ab1a b . 11110．力做的功： W = |F| |s|cos ，是 F 与 s 的夹角 .二、解说新课：1．两个非零向量夹角的观点已知非零向量ａ与ｂ，作 OA ＝ａ， OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角 .说明：（ 1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（ 2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（ 3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；2（ 4）注意在两向量的夹角定义，两向量一定是同起点的.范围 0 ≤ ≤180C2．平面向量数目积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数目|a||b|cos 叫ａ与ｂ的数目积，记作 a b，即有 a b = |a||b|cos ，（０≤θ≤π） .并规定 0 与任何向量的数目积为0.研究：两个向量的数目积与向量同实数积有很大差别（1）两个向量的数目积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定 .（2）两个向量的数目积称为内积，写成 a b；此后要学到两个向量的外积a×b，而 a b 是两个向量的数目的积，书写时要严格划分.符号“·在”量运算中不是乘号，既不可以省略，也不向能用“×”取代 .（3）在实数中，若 a 0，且 a b=0，则 b=0；可是在数目积中，若 a 0，且 a b=0，不可以推出b=0.由于此中 cos 有可能为 0.（4）已知实数a、 b、 c(b 0)，则 ab=bc a=c .可是 a b = b c a = c如右图： a b = |a||b|cos = |b||OA|， b c = |b||c|cos = |b||OA|a b = b c但a c(5) 在实数中，有 ( a b)c = a(b c)，可是 (a b)c a(b c)明显，这是由于左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与 c 不共线.3．“投影”的观点：作图定义： |b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数目，不是向量；当为锐角时投影为正当；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当 = 0 时投影为|b|；当 = 180 时投影为|b|.4．向量的数目积的几何意义：数目积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘积 .5．两个向量的数目积的性质：设 a、 b 为两个非零向量， e 是与 b 同向的单位向量 .1 e a = a e =|a|cos2 a b a b = 03当 a 与 b 同向时，a b = |a||b|；当 a 与 b 反向时，a b = |a||b|. 特其他 a a = |a|2或| a | a a4cosa b =| a || b |5|a b|≤a||b||三、解说典范：例 1o已知 |a|=5， |b|=4， a 与 b 的夹角θ=120，求 a·b.例 2 已知 |a|=6， |b|=4， a 与 b 的夹角为 60o求(a+2b) ·(a-3b).例 3已知 |a|=3， |b|=4，且 a 与 b 不共线， k 为什么值时，向量a+kb 与 a-kb 相互垂直 .例 4判断正误，并简要说明原因 .①ａ·0＝ 0；② 0·ａ＝０；③ 0－AB＝BA；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中起码有一个为0；⑦对随意愿量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则２２ａ＝ｂ .解：上述8 个命题中只有③⑧正确；关于①：两个向量的数目积是一个实数，应有0·ａ＝０；关于②：应有０·ａ＝0；关于④：由数目积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜ cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜· ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；ａｂ关于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；关于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ ｂ能够都非零；关于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则 (ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评论：这一种类题，要修业生的确掌握好数目积的定义、性质、运算律.例 6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是 60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜ cos0°＝ 3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜ cos180°＝ 3×6×（ -1）＝－ 18；②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜ cos60°＝ 3×6×1＝ 92评论：两个向量的数目积与它们的夹角相关，其范围是［0°， 180°］，所以，当ａ∥ｂ时，有 0°或 180°两种可能 .四、讲堂练习：1.已知 |a|=1， |b|= 2 ，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（）A.60 °B.30 °C.135 °D. ４５°2.已知 |a|=2， |b|=1， a 与 b 之间的夹角为，那么向量m=a-4b 的模为（）3A.2B.23C.6D.123.已知 a、b 是非零向量，则|a|=|b|是 (a+b) 与(a-b)垂直的（）A. 充足但不用要条件B.必需但不充足条件C.充要条件D. 既不充足也不用要条件五、小结1.平面向量数目积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数目|a||b|cos 叫ａ与ｂ的数目积，记作 a b，即有 a b = |a||b|cos ，2.向量的数目积的几何意义：数目积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘积 .。
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案)
平面向量数目积的物理背景及其含义三维目标：1、知识与技术：（1）理解平面向量数目积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数目积及其几何意义；掌握平面向量数目积的重要性质及运算律；（3）理解平面向量的数目积与向量投影的关系；（4）认识用平面向量的数目积可以办理有关长度、角度和垂直的问题能运用数目积表示两个向量的夹角，会用数目积判断两个平面向量的垂直关系。
2、过程与方法（1）在学习和运用向量的数目积的过程中，进一步领会平面向量实质及它与生活和自然科学联系，认识事物的一致性，并经过学习向量的数目积感觉数形联合的思想方法；（2）培育学生数形联合的思想方法以及解析问题、解决问题的能力及研究精神，培育学生的运算能力、慎重的思想习惯以及解题的规范性。
（3）经过对向量的数目积的研究、交流、总结，从各角度、用各方法来领会向量之间的关系和作用，不停从感性认识提升到理性认识，。
3、神态与价值观（1）经过用向量数目积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，领会数学知识抽象性、概括性和应用性，培育起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培育学好数学的信心，为远大的理想而不懈奋斗。
（2）经过对向量数目积及所产生的思想方法的学习及研究，不停培育自主学习、主动研究、擅长反思、勤于总结的科学态度和持之以恒的研究精神，并提升参加意识和合作精神；教课要点：平面向量的数目积定义及应用( 能利用数目积解决求平行、垂直、夹角等问题)教课难点：平面向量的数目积与向量投影的关系；运算律的理解和平面向量数目积的应用。
教课过程：一、情形导入、引出新课1、提出问题 1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？希望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题 2：请同学们连续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是依据如何的序次研究了这类运算的？希望学生回答：物理模型→看法→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍旧依据这类研究思路来研究向量的别的一种运算：平面向量数目积的物理背景及其含义二、合作研究，精讲点拨研究一：数目积的看法1、给出有关资料并提出问题3：F （ 1）以以下图，一物体在力 F 的作用下产生位移 S，αS那么力 F 所做的功： W= | F| |S| cos α 。
2022年精品 《平面向量数量积的物理背景及其含义》优秀教案
平面向量数量积平面向量数量积的物理背景及其含义〔刘季梅〕一、教学目标〔一〕核心素养由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想、类比思想，体验法那么学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯〔二〕学习目标1会算一个向量在另一个向量上的投影，会运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义2以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数和形两个方面引导学生对向量数量积的定义进行探究通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别〔三〕学习重点1平面向量数量积的概念和几何意义2平面向量数量积的性质及运算律〔四〕学习难点1平面向量数量积的概念及运算律的理解2平面向量数量积的应用二、教学设计〔一〕课前设计1预习任务〔1〕读一读：阅读教材第103页至105页，填空：①两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|叫做a与b的数量积或〔内积〕，记作ab，即②|a| |b|叫做向量a在b方向上〔b在a方向上〕的投影③；a与b同向；a与b反向④平面向量数量积的运算律：；= ；〔1〕假设，那么a与b的夹角为〔〕B C D【答案】B〔2〕，，a与b的夹角为，那么a与b的数量积为〔〕B C D【答案】C〔3〕a与b的数量积为，且，a与b的夹角为，那么b的长度为〔〕B C D【答案】D〔二〕课堂设计1知识回忆〔1〕两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|叫做a与b的数量积或〔内积〕，记作ab，即〔2|a||b|叫做向量a在b方向上〔b在a方向上〕的投影〔3〕当a与b同向时，；当当a与b反向时，；；；；〔4〕平面向量数量积的运算律：；= ；2问题探究探究一平面向量数量积的概念和几何意义●活动①引出并理解向量数量积的概念如图，如果一个物体在力F的作用下产生位移，其中是F与的夹角，请答复以下问题：〔抢答〕〔1〕力F所做的功W=F〔2〕公式中的F、、W是矢量还是标量？，F、是矢量，W是标量这给我们一个启示，我们可以把“功〞看成是F与这两个向量的一种运算的结果为此，我们引入向量“数量积〞的概念：两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|叫做a与b的数量积或〔内积〕，记作ab，即规定：零向量与任一向量的数量积为0，即【设计意图】以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念，感受数学的实用性，体会概念的得出过程●活动②探究向量数量积的几何意义对于，是a 与b 的夹角，其中〔〕叫做向量a 在b 方向上〔b 在a 方向上〕的投影如图，按照投影的定义，非零向量b 在a 方向上的投影为，其具体情况，请借助下面的图形进行分析并填空〔举手答复〕；≠；<；≠ ；；0【设计意图】从图形的角度引导学生对投影的概念和向量数量积的几何意义进行探究通过数形结合，使学生明确向量的数量积的概念 探究二 平面向量数量积的性质 ●活动①归纳总结数量积的简单性质a 与b 是两个非零向量，是a 与b 的夹角，请按要求填空〔集体口答〕 ________；a 与b 同向________；a 与b 反向________ 0；；特别地：，从而有【设计意图】结合向量数量积的概念和几何意义，引导学生总结当两个向量具有特殊位置关系时，向量数量积的特征，从而让学生掌握本节课的重点 ●活动②公式变形，提炼性质由向量数量积公式易得：，当且仅当a 与b 共线且同向时，等号成立那么通过数量积公式变形，可以来求哪些量？〔举手答复〕；也就是可以求向量的模长和向量夹角的余弦值A OBba O探究三平面向量数量积的运算律●活动①探究平面向量数量积的运算律你能证明以下平面向量数量积的运算律吗？〔举手答复〕〔1〕；〔2〕=；〔3〕证明：〔1〕∵，又∵，∴〔2〕∵，，又∵∴=〔3〕如图，任取一点，作，，∵〔即〕在方向上的投影等于在方向上的投影的和，即：∴∴∴注：指向量a与b的夹角提示：，如当时，就不成立不一定等于，因为表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线【设计意图】以向量数量积的概念和几何意义为根底探究向量数量积的运算律●活动②简单应用数量积的运算律证明例1 对任意，恒有，对任意向量，是否也有成立？【知识点】向量数量积的运算律的应用【解题过程】【思路点拨】按照向量数量积的分配律翻开，再使用交换律化简【答案】成立同类训练对任意，恒有，对任意向量，是否也有成立？【知识点】向量数量积的运算律的应用BOAC abc【思路点拨】按照向量数量积的分配律翻开，再使用交换律化简【答案】成立【设计意图】简单应用向量数量积的运算律●活动③稳固根底，检查反应例2〔1〕，a与b的夹角，求；〔2〕，且，求a与b的夹角【知识点】向量数量积的定义和性质【解题过程】〔1〕；〔2〕∵，又∵，∴【思路点拨】熟悉向量数量积公式以及公式变形【答案】〔1〕；〔2〕a与b的夹角为同类训练填空：〔1〕，且，那么a与b的夹角为___________；〔2〕，a在b方向上的投影为，那么___________【知识点】向量数量的性质【解题过程】〔1〕∵，又∵，∴；〔2〕【思路点拨】明确向量数量积的几何意义和性质【答案】〔1〕；〔2〕【设计意图】掌握向量数量积的相关计算、投影的计算、向量数量积的性质的相关计算●活动④强化提升，灵活应用例3 ，a与b的夹角，求【知识点】向量数量积的运算律【解题过程】【思路点拨】借助向量数量积运算律【答案】同类训练设m与n是两个单位向量，其夹角，求的模长【知识点】向量数量积的性质和运算律【思路点拨】借助向量数量积的性质和运算律【答案】7【设计意图】掌握并熟悉向量数量积的运算律所涉及的相关应用例4 ，且a与b不共线为何值时，向量与互相垂直【知识点】向量数量积的性质和运算律【解题过程】∵向量与互相垂直，∴，即：，，∴，解得：【思路点拨】两向量垂直其数量积为【答案】时，向量与互相垂直同类训练，，且，那么向量a与b的夹角为多少？【知识点】向量数量积的性质和运算律【解题过程】∵，∴，又∵，∴，解得：又∵，∴【思路点拨】两向量垂直其数量积为【答案】【设计意图】向量垂直的相关应用3课堂总结知识梳理〔1〕两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|叫做a与b的数量积或〔内积〕，记作ab，即〔2|a||b|叫做向量a在b方向上〔b在a方向上〕的投影〔3〕当a与b同向时，；当当a与b反向时，；；；；〔4〕平面向量数量积的运算律：；= ；〔1〕掌握数量积的定义、重要性质及运算律；〔2〕能应用数量积的重要性质及运算律解决问题；〔3〕了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直、共线等问题〔三〕课后作业根底型自主突破，b满足，，且，那么a与b的夹角为〔〕A B C D【知识点】向量数量积的性质【解题过程】∵，又∵，∴【思路点拨】根据数量积公式的变形求向量夹角【答案】C2假设，那么为〔〕A锐角三角形B钝角三角形C等边三角形D直角三角形【知识点】向量数量积的运算律和性质【解题过程】∵，∴，故为直角三角形【思路点拨】数量积分配律的逆运算和数量积的性质【答案】D3，a在b方向上的投影为，那么〔〕A B C D【知识点】向量数量积的几何意义【解题过程】∵a在b方向上的投影为，∴，∴【思路点拨】投影的定义和数量积的几何意义【答案】B的夹角为，，那么向量的长度为〔〕A B C D【知识点】向量数量积的运算律和数量积的概念【解题过程】由，，∴【思路点拨】向量数量积的运算律【答案】A满足，，且，那么与夹角的余弦值为〔〕A B C D【知识点】向量数量积的性质【解题过程】【思路点拨】向量数量积公式变形求向量的夹角【答案】C满足，，，那么〔〕B C D【知识点】向量数量积的性质和运算律【解题过程】∵，∴又∵，∴【思路点拨】根据向量数量积公式变形求长度结合数量积的运算律【答案】D能力型师生共研满足，，，那么〔〕B C D【知识点】向量数量积的性质和运算律数学思想：方程消元的思想【解题过程】由：，∴，即，又，∴【思路点拨】根据垂直向量的数量积为0和消元解方程组【答案】B8，，a与b的夹角是，，，问实数取何值时，【知识点】向量数量积的性质和运算律数学思想：方程的思想，即，解得：【思路点拨】根据垂直向量的数量积为0和消元解方程组【答案】探究型多维突破9，，a与b的夹角是，计算向量在向量方向上的投影【知识点】投影的概念和表示，数量积的运算律数学思想：方程的思想【解题过程】∵，，∴所求投影为：【思路点拨】表示出投影进而求值【答案】10平面内有四点，记假设且试判断△ABC的形状，并求其面积【知识点】数量积的运算律，三角形的面积数学思想：方程的思想，数形结合【解题过程】∵abc=0，∴aabc=0，∴｜a｜2a·ba·c=0又∵a·b=a·c=-1，∴| a |2=2，同理| b |2=| c |2，又，∴，∴同理，，∴△ABC为等边三角形【思路点拨】观察联想从而对式子进行合理处理【答案】△ABC为等边三角形，自助餐满足，那么〔〕B C D【知识点】向量数量积的性质和运算律【解题过程】由，得：，，解得：【思路点拨】根据向量数量积公式变形求长度结合数量积的运算律【答案】A，b满足|b|＝4|a|，且a⊥2a＋b，那么a与b的夹角为〔〕A B C D【知识点】向量数量积的性质【解题过程】因为a⊥2a＋b，所以a2a＋b＝0，得到ab＝－2|a|2，设a与b的夹角为θ，那么＝错误!＝错误!＝－错误!，又0≤θ≤π，所以θ＝【思路点拨】根据数量积公式的变形表示向量的夹角【答案】C，b是向量那么“|a|＝|b|〞是“|a＋b|＝|a－b|〞的________条件【知识点】向量数量积的性质和运算律，充分条件与必要条件【解题过程】|a＋b|＝|a－b|⇔a＋b2＝a－b2⇔ab＝0，∴|a＋b|＝|a－b||a|＝|b|；|a|＝|b|ab＝0，从而得不到|a＋b|＝|a－b|，因此“|a|＝|b|〞是“|a＋b|＝|a－b|〞的既不充分又不必要条件【思路点拨】明确|a＋b|＝|a－b|的等价变形【答案】既不充分也不必要4，，且与的夹角，那么________【知识点】向量数量积的运算律和数量积的概念【解题过程】由，，∴【思路点拨】向量数量积的运算律【答案】5中，，，，求【知识点】向量数量积的概念【解题过程】由，【思路点拨】找准向量的夹角【答案】〔1〕求a与b的夹角θ；〔2〕求|a＋b|；〔3〕假设错误!＝a，错误!＝b，求△ABC的面积【知识点】向量数量积的性质、运算律，解三角形【解题过程】〔1〕∵2a－3b2a＋b＝61，∴4|a|2－4ab－3|b|2＝61又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4ab－27＝61，∴ab＝－6，∴＝错误!＝－错误!又，∴〔2〕|a＋b|2＝a＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×－6＋32＝13，∴|a＋b|＝〔3〕∵错误!与错误!的夹角，∴∠ABC＝＝错误!|错误!||错误!|in∠ABC＝错误!×4×3×错误!＝3错误!又|错误!|＝|a|＝4，|错误!|＝|b|＝3，∴S△ABC【思路点拨】依据向量的模长的公式、向量数量积的运算律，三角形面积公式解题【答案】〔1〕；〔2〕；〔2〕。
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《平面向量数量积的物理背景及其含义》教案
课题：§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修4
一、教学目标
1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；
3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
二、教学重、难点
教学重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义
2、性质与运算律及其应用
教学难点：1、平面向量数量积的概念
2、平面向量数量积的运算律（2）、（3）的证明
三、教学过程
活动一：创设问题情景，引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：
平面向量数量积的物理背景及其含义
活动二：探究数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移
那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是量，
②F（力）是量，
③S（位移）是量，
④α是。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、明晰数量积的定义
（1）数量积的定义：
已知两个非零向量a与，它们的夹角为α，我们把数量︱a︱〃︱b︱cosα叫做a与的数量积（或内积），记作：a〃，即：a〃=︱a︱〃︱︱cosα（2）定义说明：
①记法“a〃”中间的“〃”不可以省略，也不可以用“⨯”代替。
②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
3、提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a与的模有关，还和它们的夹角有关。
4、学生讨论，并完成下表：
5
（1）给出向量投影的概念：
如图，我们把││cosα（│a│cosα）
叫做向量在a方向上（a在方向上）的投影，
=︱│b│︱cosα
记做：OB
1
（2）提出问题5：数量积的几何意义是什么？
期望学生回答：数量积a〃等于a的长度︱a︱与在a的方向上的投影
︱b︱cosα的乘积。
6、研究数量积的物理意义
（1）请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。
（2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①、竖直下降10米；
②、竖直向上提升10米；③、在水平面上位移为10米；④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；分别求重力做功的大小。
活动三：探究数量积的运算性质
1、提出问题6：
（1）将尝试练习中的①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？
（2）比较︱a〃︱与︱a︱×︱︱的大小，你有什么结论？
2、请证明上述结论。
3、明晰：数量积的性质
活动四：探究数量积的运算律
1、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？
预测：学生可能会提出以下猜想：
①a〃= 〃a
②（a〃）c=a (〃c)
③（a+ b）〃c =a〃c+b〃c
2、分析猜想：
猜想①的正确性是显而易见的。
关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？
期望学生回答：左边是与向量c共线的向量，而右边则是与向量a共线的向量，显然在向量c与向量a不共线的情况下猜测②是不正确的。
3、明晰：数量积的运算律：
4、学生活动：证明运算律2
在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当λ<0时，向量a与λa，b与λb的方向的关系如何？此时，向量λa与b及a与λb 的夹角与向量a与b的夹角相等吗？
5、师生活动：证明运算律（3）
活动五：应用与提高
1、学生独立完成：已知︱a︱=5,︱b︱=4, a与b的夹角θ=120°，求a〃b
2、师生共同完成：已知︱a︱=6，︱b︱=4, a与b的夹角为60°，求（a+2b）〃（a-3b），并思考此运算过程类似于哪种实数运算？
3、学生独立完成：对任意向量a，b是否有以下结论：
（1）(a+)2=a2+2a〃+2
（2）(a+ )〃(a-)=a2—2
4、师生共同完成：已知︱a︱=3，︱︱=4, 且a与不共线，k为何值时，向量a+k b与a-k b互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？
5、反馈练习
1、判断下列各题正确与否：
①、若a≠0，则对任一非零向量b，有a〃b≠0．
②、若a≠0，a〃b＝a〃c，则b＝c．
2、已知△ABC中，AB=a, AC=，当a〃<0或a〃＝0时，试判断△ABC 的形状。
活动六：小结
1、本节课我们学习的主要内容是什么？
2、平面向量的数量积有哪些应用？
3、本节课主要采用了什么研究方法？
4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？
布置作业：
习题2.4A组1、2、3。
1、课本P
121
2、拓展与提高：
已知a与都是非零向量，且a+3与7a -5垂直，a-4与 7a-2垂直，求a与的夹角。
（本题供学有余力的同学选做）
教学设计说明
平面向量的数量积是一种非常重要的运算，同其线性运算一样，既有其深刻的数学背景，也有其现实的物理背景。
本节课从总体上说是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，在数量积概念的引入过程中，我从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白研究这种运算不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。
相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，为了让学生理解这一点，我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。
通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。
数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以
探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。
比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。
在应用这个环节中，对教材中提供的四个例题，我重点讲解例2和例4，例1和例3则由学生独立完成，这样既加强了学生的练习，同时也便于通过观察、问答等方式对学生的掌握情况做出适当的评价。
在小结这个环节中，我主要是让学生从知识技能、思想方法两个方面对本节课的内容进行全面回顾总结，达到提高认识，形成体系的目的，同时也为下一节课的内容做好铺垫，不断激发学生的求知欲。
以上就是我对本节课设计的简单说明。