第二章 矩阵·矩阵的初等变换与矩阵的秩-1
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线性代数中的矩阵变换
线性代数中的矩阵变换一、引言矩阵变换是线性代数中的一个核心概念，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。
矩阵变换通过对矩阵进行一系列的操作，实现向量空间中的向量变换，从而达到解决问题的目的。
本文将详细探讨线性代数中的矩阵变换，包括其基本概念、性质、应用以及与其他数学领域的联系。
二、矩阵变换的基本概念1. 矩阵变换的定义矩阵变换是指对矩阵进行一系列的操作，如行列变换、初等变换等，从而得到一个新的矩阵。
矩阵变换可以看作是对向量空间中的向量进行一种线性变换。
2. 矩阵变换的分类矩阵变换主要包括以下几种类型：（1）行列变换：通过对矩阵的行列进行交换、倍乘、倍加等操作，实现矩阵的简化。
行列变换在求解线性方程组、计算矩阵秩等方面具有重要作用。
（2）初等变换：初等变换包括初等行变换和初等列变换，它们是对矩阵进行一系列基本操作的组合。
初等变换在矩阵的标准化、求逆矩阵、解线性方程组等方面具有广泛应用。
（3）相似变换：相似变换是指将一个矩阵通过一个可逆矩阵相乘，得到一个与原矩阵相似的矩阵。
相似变换在研究矩阵的性质、求解线性方程组、计算特征值等方面具有重要意义。
（4）合同变换：合同变换是指将一个矩阵通过一个可逆矩阵的转置相乘，得到一个与原矩阵合同的矩阵。
合同变换在矩阵的等价性判断、求解二次型等方面具有重要作用。
三、矩阵变换的性质1. 等价性质：矩阵变换不改变矩阵的等价性。
如果两个矩阵可以通过有限次矩阵变换相互转化，则称这两个矩阵是等价的。
等价矩阵具有相同的秩和相同的行（列）向量组。
2. 可逆性质：可逆矩阵的变换是可逆的。
如果一个矩阵可以通过一系列矩阵变换得到另一个矩阵，那么这两个矩阵之间的变换是可逆的。
这意味着，如果存在一个从矩阵A到矩阵B的变换，那么也存在一个从矩阵B到矩阵A的变换。
3. 传递性质：矩阵变换具有传递性。
如果矩阵A可以通过变换得到矩阵B，矩阵B又可以通过变换得到矩阵C，那么矩阵A也可以通过变换直接得到矩阵C。
矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答
矩阵与线性方程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。
换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。
于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。
其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。
问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有非零解。
非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解：b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔有解的情况下：b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解；b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。
其中),(~b A A = 为增广矩阵。
问题3：已知A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。
证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。
则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从而.)()(n B r A r ≤+问题4：设非齐次线性方程组b Ax =，其中A 是n m ⨯矩阵，则b Ax =有唯一解的充要条件是（ ）(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解；若1)(-=n A r ,无解。
矩阵的分块 初等行变换 初等矩阵 矩阵的秩
Matrix and determinant
教学目的与要求：掌握矩阵的初等变换，会求矩阵的 标准形，能应用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵，理 解矩阵秩的的概念，会求矩阵的秩 。 教学内容：初等变换,矩阵等阶,初等方阵,矩阵求逆,矩 阵的秩。
重点：矩阵的初等变换，矩阵求逆，矩阵的秩 。
难点：矩阵的秩 。 教学方式：讲授。
A
即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
1 例１ 设 A 2 3 1 解 A E 2 3
1 0 0 c5 4c1 3c2 3c3 0
c3 c4 c4 c1 c2
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.
特点：F的左上角是一个单位矩 阵，其余元素全
为零.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
Er O F O O mn 此标准形由m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
A ~ E , 故 E 经有限次初等变换可变A,
即存在有限个初等方阵P1 , P2 ,, Pl , 使
P1 P2 Pr EPr 1 Pl A
即
A P1 P2 Pl .
推论 m n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q , 使 PAQ B.
1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7 B1 4 2 2 9
2 r2 31 1 1 r 1 r3 21 0 2 2r 1 B1 1 r4 21 0 5 3r 3 3 0 3 9 6
1 4 1 2 1 2 2 2 1 2 3 5 7 9 4 3
矩阵的秩与初等变换
由于 |AT| = |A|, 即行列式与其转置行列式相等，从而有 R(AT) = R(A)。
对于 n 阶矩阵 A，当 |A|≠0 时 R(A)=n， |A|=0 时 R(A)<n。
当 R(A)=r时，即 A 中所有的 r+1 阶子式全等于 0，则A中 所有高于 r+1 阶的子式 = ？
这些子式必0 的子式的最高阶数。
在 B 中总能找到与D相对应的 r 阶子式 D1，且有 D1=D 或 D1 = -D 或 D1 = kD，
因此 D1≠0，从而 R(B) ≥ r = R(A)。 2) 把某行的倍数加到另一行的初等变换。
由于对交换两行的初等变换已经证明结论成立，故只需证明 把第二行的某个倍数加到第一行时，秩不减即可。
即经过一系列初等行变换后，有
重复以上的作法。如果原来矩阵 A中第一列的元素全为零， 那么就依次考虑它的第二列元素，等等。
如此作下去直到变成行阶梯形为止。 上边的叙述可按归纳法给予严格的证明。
定理：初等变换不改变矩阵的秩。 证明：先证明若 A 经一次初等行变换变为 B，则 R(A) ≤ R(B); 设 R(A)=r，且 A 的某个 r 阶子式 D≠0。 1) 对交换两行与把某一行乘以非0常数k的初等变换，比如
注意行阶梯形矩阵与上三角矩阵的关系。
二 初等变换与矩阵秩的求法
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
(i) 对调两行(对调 i, j 两行，记作
)；
(ii) 以数 k≠0乘某一行中的所有元素(第i行乘k,记作ri×k)；
(iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去
(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记作
R(A) ≤R(B).
又注意到 B 亦可经由一次初等行变换变为 A，故 R(B) ≤ R(A)，
对于 n 阶矩阵 A，当 |A|≠0 时 R(A)=n， |A|=0 时 R(A)<n。
当 R(A)=r时，即 A 中所有的 r+1 阶子式全等于 0，则A中 所有高于 r+1 阶的子式 = ？
这些子式必0 的子式的最高阶数。
在 B 中总能找到与D相对应的 r 阶子式 D1，且有 D1=D 或 D1 = -D 或 D1 = kD，
因此 D1≠0，从而 R(B) ≥ r = R(A)。 2) 把某行的倍数加到另一行的初等变换。
由于对交换两行的初等变换已经证明结论成立，故只需证明 把第二行的某个倍数加到第一行时，秩不减即可。
即经过一系列初等行变换后，有
重复以上的作法。如果原来矩阵 A中第一列的元素全为零， 那么就依次考虑它的第二列元素，等等。
如此作下去直到变成行阶梯形为止。 上边的叙述可按归纳法给予严格的证明。
定理：初等变换不改变矩阵的秩。 证明：先证明若 A 经一次初等行变换变为 B，则 R(A) ≤ R(B); 设 R(A)=r，且 A 的某个 r 阶子式 D≠0。 1) 对交换两行与把某一行乘以非0常数k的初等变换，比如
注意行阶梯形矩阵与上三角矩阵的关系。
二 初等变换与矩阵秩的求法
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
(i) 对调两行(对调 i, j 两行，记作
)；
(ii) 以数 k≠0乘某一行中的所有元素(第i行乘k,记作ri×k)；
(iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去
(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记作
R(A) ≤R(B).
又注意到 B 亦可经由一次初等行变换变为 A，故 R(B) ≤ R(A)，
矩阵的初等变换与矩阵的秩
对于 AT， 显有 R( AT ) R( A).
15
例3
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
16
2 1 0 3 2
例4
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
3
定义 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B． 等价关系的性质： （1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
k n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素,不改
变它们在 A中所处的位置次序而得 的k阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 2 3 0
12 3 2 3 0
例如
A
2 4
3 7
5 1
2 4
，
则
2 4
3 7
5 ，3 17
－5 1
－2 4
1 3 0 12 0 2 －5 －2 ，2 3 －2 都是A的全部4个3阶子式. 4 1 4 47 4
Br13 r4
22r1 332r1
01 03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 23 9 4
r3 r4
36032rr11
15
例3
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
16
2 1 0 3 2
例4
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
3
定义 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B． 等价关系的性质： （1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
k n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素,不改
变它们在 A中所处的位置次序而得 的k阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 2 3 0
12 3 2 3 0
例如
A
2 4
3 7
5 1
2 4
，
则
2 4
3 7
5 ，3 17
－5 1
－2 4
1 3 0 12 0 2 －5 －2 ，2 3 －2 都是A的全部4个3阶子式. 4 1 4 47 4
Br13 r4
22r1 332r1
01 03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 23 9 4
r3 r4
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第2章 线性方程组与矩阵初等变换-郑成勇主编教材配套课件
11
−2
r3
−3r2
0
−10
11
−2
11 3
0
11
r2 r3
−3r1 −11r1
0
−30
33
0
0
0 0 6
最后一个矩阵所对应的线性方程组为
0
x1 + 3x2 x1 −10x2
− 3x3 = 1 +11x3 = −2
.
0x1 + 0x2 + 0x3 = 6
方程组最后一个方程显然矛盾，故方程组无解.
矩阵总可以经过若干次初等变换化为它标准形 F
=
Er O
O
O
mn
，
04 其中 r 为行阶梯形矩阵中非零行的行数.
OPTION
Linear Algebra
2.3 矩阵初等行变换解线性方程组
第2章 线性方程组与矩阵初等变换 14
定义2.1 矩阵的秩 将一个矩阵 A化成行阶梯阵后, 其非零行的行数称为矩阵的
a21
a22
阵
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
未 知
x
=
x2
变
量
xn
b1
常 数 列
b
=
b2
bm
Ax = b
a11 a12
增广矩阵
B =[A
b]
=
a21
a22
am1 am2
a1n b1
a2n
b2
amn bm
A = [a1, a2 , , an ] 其中 ai ( i = 1, 2, , n ) 为矩阵 A 的第i 列，则按分块矩阵乘法运算，
矩阵的秩和初等变换.
2.4矩 阵 的 秩
本节先建立矩阵的秩的概念,讨论矩阵的初等变换，
并提出求秩的有效方法．
再利用矩阵的秩来研究齐次线性方程组有非零解
的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程
组的方法．
内容丰富，难度较大.
1矩阵的秩
2矩阵的初等变换
3用初等变换求矩阵的秩
4线性方程组与矩阵的初等变换
一.矩阵的秩
定义1 在 m n 矩阵 A中任取k行与 k 列(k m, k n) , 位于这些行列交叉处k2 个元素不改变它们在A中 所处的位置次序而得的k 阶行列式称为矩阵 A 的 k 阶子式.
下面的定理对此作出肯定回答.
定理 1：初等变换不改变矩阵的
秩
(即若 A B , 则 R( A) R(B) .)
初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例2
设
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413求矩阵 A的秩 .
1 0 0
1 0 0
1 1 0
0 03
B1
可见用初等行变换可把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
由前例可知，对于一般的矩阵当行数与列数较高 时，按定义求秩是很麻烦的. 对于行阶梯形矩阵， 它的秩就等于非零行的行数。
因此可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵.
可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
但两个等价矩阵的秩是否相等？
定义 3 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
()对调两行(对调 i , j两行记作 ri rj ) ; ( )以数 k o 乘某一行中所有元素(第 i 行乘 k ,记
本节先建立矩阵的秩的概念,讨论矩阵的初等变换，
并提出求秩的有效方法．
再利用矩阵的秩来研究齐次线性方程组有非零解
的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程
组的方法．
内容丰富，难度较大.
1矩阵的秩
2矩阵的初等变换
3用初等变换求矩阵的秩
4线性方程组与矩阵的初等变换
一.矩阵的秩
定义1 在 m n 矩阵 A中任取k行与 k 列(k m, k n) , 位于这些行列交叉处k2 个元素不改变它们在A中 所处的位置次序而得的k 阶行列式称为矩阵 A 的 k 阶子式.
下面的定理对此作出肯定回答.
定理 1：初等变换不改变矩阵的
秩
(即若 A B , 则 R( A) R(B) .)
初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例2
设
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413求矩阵 A的秩 .
1 0 0
1 0 0
1 1 0
0 03
B1
可见用初等行变换可把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
由前例可知，对于一般的矩阵当行数与列数较高 时，按定义求秩是很麻烦的. 对于行阶梯形矩阵， 它的秩就等于非零行的行数。
因此可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵.
可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
但两个等价矩阵的秩是否相等？
定义 3 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
()对调两行(对调 i , j两行记作 ri rj ) ; ( )以数 k o 乘某一行中所有元素(第 i 行乘 k ,记
微课：矩阵的初等变换与初等矩阵
二. 初等矩阵——用矩阵的乘法表示初等变换
2. 矩阵的乘法表示矩阵的初等变换：
例题3.
设 2 A 1
4 3
2 5
3 6
,E(2,3)是三阶初等矩阵E(13(4))
3 7 2 1
是四阶初等矩阵。计算：E2,3A和AE134
28
矩阵的初等变换及矩阵的秩（1）——第八学习单元补充资料
二. 初等矩阵——用矩阵的乘法表示初等变换
19
矩阵的初等变换及矩阵的秩（1）——第八学习单元补充资料
二. 初等矩阵——用矩阵的乘法表示初等变换
20
矩阵的初等变换及矩阵的秩（1）——第八学习单元补充资料
二. 初等矩阵——用矩阵的乘法表示初等变换 1. 初等矩阵：
（1）E i，j: 将单位矩阵的第i 行与第j行交换（或者将第i列与
第j列交换）所得：
二. 初等矩阵——用矩阵的乘法表示初等变换
0 1 2 1
0 0 0 0
1 0 1 r1 r2 0 1 2
0 0 0
021的 还形 原式 为方程组x2x12xx33
2 1
11
矩阵的初等变换及矩阵的秩（1）——第八学习单元补充资料
一. 矩阵的初等变换
2. 用矩阵记述线性方程组的消元法（r表示行，c表示列）
解：从化简得到的同解方程组
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21x1
a22 x2
... ...
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 ... amn xn bm
矩阵
a11 a12
a1n
A
a21
am1
a22 ... am2
... ...
线性代数-矩阵的初等变换
求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量 的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中 应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等 于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于 其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n， 其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩 阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的 性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全 为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1， 且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。
第2章_矩阵的初等变换与线性方程组
解
3 − 7 r2 + r1 1 4 r3 − 3r1 r1 ↔ r3 A → − 1 − 3 − 17 4 → 3 2 6 9
3 − 7 3 − 7 1 4 1 4 r3 +10r2 0 1 − 14 − 3 → 0 1 − 14 − 3 0 0 − 143 0 0 − 10 − 3 30
= = = =
B
3 − 7 1 4 即为行阶梯形矩阵。 B = 0 1 − 14 − 3 即为行阶梯形矩阵。 0 0 − 143 0
特点： 特点： (1) 可划出一条阶梯线，线的下方全为零； 可划出一条阶梯线，线的下方全为零； (2) 每个台阶只有一行，阶梯数即是非零行 每个台阶只有一行， 的行数， 的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元 素为非零元，即非零行的非零首元。 素为非零元，即非零行的非零首元。
1 0 0 5 称为行最简形矩阵 行最简形矩阵。 → 0 1 0 − 3 = C 称为行最简形矩阵。 0 0 1 0
r2 + 14 r3 r1 − 59 r3
在具备行阶梯形矩阵特点的同时， 在具备行阶梯形矩阵特点的同时，非零行的 特点： 特点： 非零首元为1，且其所在列的其他元素全为 。 非零首元为 ，且其所在列的其他元素全为0。
将方程组的消元过程与增广矩阵的变换过程 消元过程与增广矩阵的 解 将方程组的消元过程与增广矩阵的变换过程 进行对比。 进行对比。
x1 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x1 − x2 + 2 x3 x + 3x 2 1 = −7 = −8 =7
1 2 3 − 7 2 − 1 2 − 8 1 3 0 7
矩阵的秩与矩阵的初等变换
（1）Dr中不含第i行； （2）Dr中同时含第i行和第j行； （3）Dr中含第i行但不含第j行；
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
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对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri rj ri rj Dr Dˆ r ,
m
n
矩阵
A的
k
阶子式共有
Ck m
Ck n
个.
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
2 上一页 下一页 返 回
定义5.2 矩阵 A 中不为零子式的最高阶数称为 矩阵 A 的秩，记作 R( A) 或r( A). 规定：零矩阵的秩等于零，即R(o) 0. 由定义5.2可得下列结论； 1、 R( AT ) R( A).
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
10 上一页 下一页 返 回
当A ri rj B或 A ri B时， 在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,.
由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr Dr ,
因此 Dr 0，从而 R(B) r. 当A ri rj B时，分三种情况讨论：
7 上一页 下一页 返 回
二、矩阵的初等变换
定义12 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 互换两行（互换i, j 两行,记作ri rj）；
2以数 0 乘以某一行
（第 i 行乘 ,记作 ri）
3 把某一行各元素乘 后加到另一行对应
的元素上去（第 j 行乘 加到第 i 行上去， 记作ri rj）.
R( A) R(B). 综上,若 A 经初等变换变为 B,则 R( A) R(B).
证毕
第1讲-矩阵的秩与初等变换资料讲解
在 B 中总能找到与D相对应的 r 阶子式 D1，且有 D1=D 或 D1 = -D 或 D1 = kD，
因此 D1≠0，从而 R(B) ≥ r = R(A)。 2) 把某行的倍数加到另一行的初等变换。
由于对交换两行的初等变换已经证明结论成立，故只需证明 把第二行的某个倍数加到第一行时，秩不减即可。
R(AT) = R(BT)， 又 R(A)=R(AT), R(B)=R(BT)，因此 R(A)=R(B)。
总之，若 A 经过有限次初等变换化为 B，则秩不变，即 R(B) = R(A)。
例：求矩阵 A 的秩： A=
R(A) = 4.
三 矩阵的标准形 对于m×n 矩阵 A，总可经过初等变换化成如下形式
分两种情形。 (a) A 的 r 阶非零子式 D 不包含 A 的第一行，这时 D 也是 B
的 r 阶非零子式，故 R(B) ≥r； (b) D 包含 A 的第1行，这时把 B 中与 D 对应的 r 阶子式 D1
记作
从而有 R(B) ≥r = R(A)。 以上证明了矩阵A经一次初等行变换化为B后秩不减，即
B 等价，记作
。
定理：任意一个矩阵可经过一系列初等行变换化为与之行等 价的行阶梯形与行最简形矩阵。 证明：由于只需对行阶梯形矩阵中的非零行乘以特定的非0常 数，即可变成行最简形。因此只需证初等行变换可化矩阵为 行阶梯形即可。
设
对第一列的元素a11, a21,…, as1，只要其中一个不为零，用交换 两行的初等行变换，总能使第一列的第一个元素不为零，然 后从第二行开始，每一行都加上第一行的一个适当的倍数， 于是第一列除去第一个元素外就全是零了。
行阶梯形矩阵特点：若第i行元素全为0，则i+1,…, m行的元 素全为0；否则从左数找到第一个不为0的元素，位于该元 素下及其左下的所有元素全为0。
因此 D1≠0，从而 R(B) ≥ r = R(A)。 2) 把某行的倍数加到另一行的初等变换。
由于对交换两行的初等变换已经证明结论成立，故只需证明 把第二行的某个倍数加到第一行时，秩不减即可。
R(AT) = R(BT)， 又 R(A)=R(AT), R(B)=R(BT)，因此 R(A)=R(B)。
总之，若 A 经过有限次初等变换化为 B，则秩不变，即 R(B) = R(A)。
例：求矩阵 A 的秩： A=
R(A) = 4.
三 矩阵的标准形 对于m×n 矩阵 A，总可经过初等变换化成如下形式
分两种情形。 (a) A 的 r 阶非零子式 D 不包含 A 的第一行，这时 D 也是 B
的 r 阶非零子式，故 R(B) ≥r； (b) D 包含 A 的第1行，这时把 B 中与 D 对应的 r 阶子式 D1
记作
从而有 R(B) ≥r = R(A)。 以上证明了矩阵A经一次初等行变换化为B后秩不减，即
B 等价，记作
。
定理：任意一个矩阵可经过一系列初等行变换化为与之行等 价的行阶梯形与行最简形矩阵。 证明：由于只需对行阶梯形矩阵中的非零行乘以特定的非0常 数，即可变成行最简形。因此只需证初等行变换可化矩阵为 行阶梯形即可。
设
对第一列的元素a11, a21,…, as1，只要其中一个不为零，用交换 两行的初等行变换，总能使第一列的第一个元素不为零，然 后从第二行开始，每一行都加上第一行的一个适当的倍数， 于是第一列除去第一个元素外就全是零了。
行阶梯形矩阵特点：若第i行元素全为0，则i+1,…, m行的元 素全为0；否则从左数找到第一个不为0的元素，位于该元 素下及其左下的所有元素全为0。
第二章 第一讲 矩阵的秩
互换变换：A的i行与j行交换变为B，则B 的子式或为A的子式，或与A的子式差一个符号， 秩不变。 倍乘变换：A的i 行元素乘以 k (k≠0) 得到B， 则B 的子式成为A的子式，或与A的子式差一个 因子 k≠0。则秩不变。
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倍加变换：A由i行的k倍加到 j行，得到
矩阵B。 ：B的一个子式若不包含第j行元素，则 也为A的一个子式；
1 2 1 1 0 3 4 4 , 0 5 1 0
5 0 , 由r(A)=2, 得 1 0
5. 即 1
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铃
四、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1) 利用定义 寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2) 初等变换法
解： 对Ａ作初等行变换，变成行阶梯形矩阵。
1 1 2 1 A 1 2 4 1
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2 2 0 4
1 4 3 2
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r2 2 r1 r3 r1 r4 4 r1
返回
1 1 2 1 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 4 2
对A作初等行变换，变成行 阶梯形矩阵：
1 r r 1 3 2 5 1 1 8 1 1 3 4 7 3 5 0 1 2 4 11
解
A
7 11
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结束
铃
5 1 2 1 7 1 11 8 r2 2r1
无解。
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因此，r(A) = 2 , r(B) = 3.
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结束
矩阵的秩8个公式及证明
矩阵的秩8个公式及证明
矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它描述了矩阵中线性无关的列（或行）的最大数量。
下面我将列举并证明矩阵的秩的八个公式。
1. 零矩阵的秩为0，证明很简单，因为零矩阵中没有非零的行或列。
2. 对角矩阵的秩等于非零对角元素的个数，证明也比较简单，因为对角矩阵中只有对角线上的元素可能非零，所以秩等于非零对角元素的个数。
3. 初等变换不改变矩阵的秩，初等变换包括交换矩阵的两行（列），用非零常数乘以矩阵的某一行（列），以及用一个非零常数乘以矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上。
这些操作不改变矩阵的秩。
4. 行（列）等价的矩阵具有相同的秩，行等价指的是通过一系列的初等行变换可以相互转化的矩阵，列等价类似。
由于初等变换不改变矩阵的秩，所以行（列）等价的矩阵具有相同的秩。
5. 矩阵的秩不超过它的行数和列数中的较小值，这是因为矩阵
的秩描述的是矩阵中线性无关的列（或行）的最大数量，而这个数
量不可能超过矩阵的行数或列数。
6. 对于任意的矩阵A和B，秩(A + B) ≤ 秩(A) + 秩(B)，证
明过程比较复杂，可以使用矩阵的行列式性质和秩的定义进行证明。
7. 对于任意的矩阵A和B，秩(AB) ≤ min(秩(A), 秩(B))，
证明过程比较复杂，可以使用矩阵的行列式性质和秩的定义进行证明。
8. 对于任意的矩阵A，秩(A) = 秩(A^T)，这个公式的证明比
较简单，可以通过矩阵的转置操作和秩的定义进行证明。
综上所述，这是矩阵的秩的八个公式及其证明。
这些公式在线
性代数中具有重要的应用和意义。
矩阵的秩与矩阵的初等变换
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例3
设
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413, 求矩阵 A 的秩．
解 对A作初等行变换，变成行 阶梯形矩阵：
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3 2 0 5 0
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
1 43
r1 r4
4 上一页 下一页 返 回
1 2 3 例1 求矩阵 A 2 3 5 的秩.
4 7 1 解 在 A 中，1 2 0.
23 又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
5 上一页 下一页 返 回
1 3 2 2 例2 已知 A 0 2 1 3，求该矩阵的秩．
4 0
r1 r2
1 0
03
r2
r3
0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4
3
3 0
C
矩阵C也是个行阶梯形矩阵，进一步矩阵C还称为矩阵 A的行最简形阶梯矩阵（行最简形），即每一个非零 行的第一个非零元为1，而且含这些“1”的列的其他 元素都为0.
对于任何矩阵Am n，总可经过有限次初等行变换把 它变为行阶梯形和行最简形。
注： （1） 任何一个矩阵均可经过初等变换化为标准形；
（2） 秩相等的同型矩阵有相同的标准形。 22
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k 1 1
例2
设
A
1 1
k 1
1 k
,
求 r(A)。
解 对A施行初等行变换
k
1 1
1 k 1
3 2 0 5 0
例3
设
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413, 求矩阵 A 的秩．
解 对A作初等行变换，变成行 阶梯形矩阵：
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3 2 0 5 0
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
1 43
r1 r4
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1 2 3 例1 求矩阵 A 2 3 5 的秩.
4 7 1 解 在 A 中，1 2 0.
23 又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
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1 3 2 2 例2 已知 A 0 2 1 3，求该矩阵的秩．
4 0
r1 r2
1 0
03
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r3
0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4
3
3 0
C
矩阵C也是个行阶梯形矩阵，进一步矩阵C还称为矩阵 A的行最简形阶梯矩阵（行最简形），即每一个非零 行的第一个非零元为1，而且含这些“1”的列的其他 元素都为0.
对于任何矩阵Am n，总可经过有限次初等行变换把 它变为行阶梯形和行最简形。
注： （1） 任何一个矩阵均可经过初等变换化为标准形；
（2） 秩相等的同型矩阵有相同的标准形。 22
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k 1 1
例2
设
A
1 1
k 1
1 k
,
求 r(A)。
解 对A施行初等行变换
k
1 1
1 k 1
第二章矩阵的运算及与矩阵的秩
第二章矩阵的运算及与矩阵的 秩
第1页，共80页。
一、矩阵的线性运算
§2.1 矩阵的基本运算
A=(aij ) m×n ，B=(bij ) m×n ，l为给定的数． （1）加法：C=(aij+bij)为矩阵A与B相加的和，记作A+B
（2）数乘：C=l(aij)为数 l与矩阵A相乘的积，记作lA
l 0 0
§2.1 矩阵的基本运算 ➢ 推论：若m×n矩阵A与B等价，则存在若干个m×m初等矩阵Pi(i=1,2-----,s)和若干个n×n初等矩阵Qj(j=1,2-----,t)使得
P 1 P 2 P sA Q 1 Q 2 Q tB
第26页，共80页。
三、矩阵的转置 定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
001 a 31a 32a 33a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
100 a 11 a 12 a 13 a 1 4a 11 a 12 a 13 a 14 E ( 2 ,3 ( k )A ) 01k a 21 a 22 a 23 a 2 4 a 2 1 k3a 1 a 2 2 k3a 2 a 2 3 k3a 3 a 2 4 k3 a 4
上述过程也可以等同于：
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 r 2 r3 a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33 a34
a21 a22 a23 a24
第20页，共80页。
§2.1 矩阵的基本运算
100 a 11a 12a 13a 1 4 a 11 a 12 a 13 a 14 E (2 (k)A ) 0k0 a 21a 22a 23a 2 4 k2a 1k2a 2k2a 3k2a 4
第1页，共80页。
一、矩阵的线性运算
§2.1 矩阵的基本运算
A=(aij ) m×n ，B=(bij ) m×n ，l为给定的数． （1）加法：C=(aij+bij)为矩阵A与B相加的和，记作A+B
（2）数乘：C=l(aij)为数 l与矩阵A相乘的积，记作lA
l 0 0
§2.1 矩阵的基本运算 ➢ 推论：若m×n矩阵A与B等价，则存在若干个m×m初等矩阵Pi(i=1,2-----,s)和若干个n×n初等矩阵Qj(j=1,2-----,t)使得
P 1 P 2 P sA Q 1 Q 2 Q tB
第26页，共80页。
三、矩阵的转置 定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
001 a 31a 32a 33a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
100 a 11 a 12 a 13 a 1 4a 11 a 12 a 13 a 14 E ( 2 ,3 ( k )A ) 01k a 21 a 22 a 23 a 2 4 a 2 1 k3a 1 a 2 2 k3a 2 a 2 3 k3a 3 a 2 4 k3 a 4
上述过程也可以等同于：
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 r 2 r3 a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33 a34
a21 a22 a23 a24
第20页，共80页。
§2.1 矩阵的基本运算
100 a 11a 12a 13a 1 4 a 11 a 12 a 13 a 14 E (2 (k)A ) 0k0 a 21a 22a 23a 2 4 k2a 1k2a 2k2a 3k2a 4
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线 性 代 数
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
行阶梯形矩阵为 定义4 一般地，称同时满足下列条件的行阶梯形矩阵 定义4 一般地，称同时满足下列条件的行阶梯形矩阵为 行最简形矩阵. 行最简形矩阵. （1）各非零行的第一个非零元素都是1； 各非零行的第一个非零元素都是1 （2）该非零元所在列的其余元素全都是零。 该非零元所在列的其余元素全都是零。
A1 为A的行阶梯形矩阵. 的行阶梯形矩阵.
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
2 1 −3 3 −1 r1 × (−1) 8 0 −1 2 − 3 0 0 0 1 − 4 r2 × (−1) 0 0 0 0 0
~
1 − 2 − 1 3 − 3 r 3r 2− 3 1 − 2 3 − 8 0 0 0 0 1 − 4 r1 − 3r3 0 0 0 0 0 0 −5 1 −2 0 0 0 0 17 4 = 1 − 4 0 0 0 0
例如
1 0 2 0 A= 0 1 3 0 0 0 0 1
1 −2 0 0 C = 0 1 1 0 0 0 0 1
B=
1 0 0 1 2 0 1 0 −1 3 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0
线 性 代 数
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
例如
1 0 2 −1 A= 0 −2 3 1 0 0 0 −3
C = 1 0 0 1 2 0 1 0 −1 3 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0
换把化为行阶梯形阵， 换把化为行阶梯形阵， 并进而化成 行最简形阵 .
定义5 左上角是单位阵， 定义5 左上角是单位阵，其余元素全为零的行最简形阵 标准形矩阵. 称为标准形矩阵 称为标准形矩阵. 1 0 0 0 1 0 0 0 例如
A= 0 1 0 0 0 0 0 0
所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个 等价类，标准形F 是这个等价类中最简单的矩阵. 等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵 则矩阵A经过有限次初等 阶可逆矩阵， 推论 如果A为n阶可逆矩阵， 行变换可化为单位矩阵E，即A~E. ，
化为 标准形 :
线 性 代 数
行阶梯形
说明 将矩阵初等变换至单位阵即证明了该矩阵可逆 将矩阵初等变换至单位阵即证明了该矩阵可逆.
线 性 代 数
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
[例3] 先用初等行变换把矩阵
A= 1 −1 3 − 4 3 3 −3 5 −4 1 2 −2 3 −2 0 3 − 3 4 − 2 −1
1
化为行最简形，然后再用初等列变换将其化为等价标准形. 化为行最简形，然后再用初等列变换将其化为等价标准形
解
A
行最简形
r1 − 3r2 1
r2 −3r3 3r ~ r3 −2r3 r4 −3r3
1 −1 3 − 4 0 0 −4 8 0 0 −3 6 0 0
（ 3 r2 × − ） 4 −8 ~ r3 × − 1） （ −6 3 − 5 10 − 10 r4 × − 1） （
[例1] 用初等行变换将矩阵
2 1 − 3 3 −1 2 −5 0 3 2 A= 3 −8 1 4 3 1 − 2 −1 2 1
化为行阶梯形矩阵及行最简形矩阵. 化为行阶梯形矩阵及行最简形矩阵.
解 A r
~
r
2 1 −1 0 −1 2 0 −2 4 0 0 0
第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
第二章
矩阵
第一节 矩阵及其运算 第二节 逆矩阵 第三节 矩阵的初等变换与矩阵的秩 第四节 矩阵的分块
线 性 代 数
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
第三节
第二章
矩阵的初等变换与矩阵的秩
一、 矩阵的初等变换 二 、 等价矩阵 三 、 初等矩阵 四 、 矩阵的秩
结束
~
C
~
线 性 代 数
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
总可经过有限次初等变 换 定理2 定理2 对于任何矩阵 Am×n ，
Er O F = , O O m× n 三个数唯一确定， 此标准形由 m , n , r 三个数唯一确定， 其中 r 就是行阶梯形 矩阵中非零行的行数 .
ri + kr j
线 性 代 数
ri + ( − k )r j 或 ri − kr j .
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
二、 等价矩阵
定义2 定义2
则称A 若矩阵A经有限次初等行变换变成B ,则称
行等价, 与B行等价, 记为 A ~ B ; 若矩阵A经有限次初等列变换 c 记为 A ~ B ;若矩阵A经有限 若矩阵 列等价, 变成B , 则称A与B列等价, 等价, 次初等变换变成B , 则称A与B等价,记为 A ~ B .
~
3 0 0
~
1 0 0 2 0 0 3 0 0
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线 性 代 数
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
矩阵的标准形
定义3 定义3 若矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个
行阶梯形矩阵. 非零元素所在的下方全为零， 则称该矩阵为行阶梯形矩阵 非零元素所在的下方全为零， 则称该矩阵为行阶梯形矩阵
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
1 2 − 1 是否可逆， 如果可逆 [例2] 矩阵 A = 2 3 1 是否可逆， 3 4 − 3 先用初等行变换把化为行阶梯形，然后再将其化为单位阵. 先用初等行变换把化为行阶梯形，然后再将其化为单位阵
解
Q A = 6 ≠ 0,
r2 − 2 r1 r3 − 3 r1
∴ A−1 存在.
1 2 − 1 r + 2r 1 2 − 1 3 2 r2 A ~ 0 1 − 3 ~ 0 1 − 3 r2 ×( −1) r3 ×( − 1 ) 0 0 1 0 − 2 0 6 r2 + 3 r3 1 0 0 行最简形 r1 + r3 0 1 0 ~ r1 − 2 r2 0 0 1
1 2 −2 1 B= 0 0 0 0
是行阶梯形矩阵. 行阶梯形矩阵
1 0 2 −1 G= 0 2 3 1 0 2 1 3 1 −2 0 0 F = 0 0 1 0 0 2 0 1
不是行阶梯形矩阵 不是行阶梯形矩阵. 行阶梯形矩阵
B= 0 1 0 0 0 0 1 0
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形． 例如 矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形 .
1 0 B = 0 0 0 −1 0 1 −1 0 0 0 1 11 4 c3 ↔ c4 c +c +c 4 1 2 0 3 00 0 00 0 1 − 3 c5 − 4c1 − 3c2 + 3c3 00 0 0 0 0
是行最简形矩阵. 行最简形矩阵
1 0 0 0 F = 0 −1 0 0 0 0 1 0
不是行最简形矩阵 不是行最简形矩阵. 行最简形矩阵
线 性 代 数
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
定理1 定理1
A × 对于任何矩阵 m×n , 总可经过有限次初等行 变
~
1 9 1 − 2 −1 0 r1 + 2r2 1 −2 0 4 0 0 0 0 0 0 1 − 4 0 0 0 0 0 0
~
A2
A2为A的行最简形矩阵. 的行最简形矩阵.
注意到
1 0 0 0 0 − 5 0 17 1 −2 0 4 0 0 1 − 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 C 2 ↔ C3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
线 性 代 数
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
一、 矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 矩阵的初等行变换: (1) 对调两行； ri ↔ r j 对调两行；
( 2 ) 以数 k ≠ 0 乘以某一行的所有元素 ; ri × k ( 3) 把某一行的 k 倍加到另一行对应的元 素上去 . ri + kr j
特点
1 0 0 0
0 −1 0 4 1 −1 0 3 = B5 0 0 1 −3 0 0 0 0
（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零； 可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数， 每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数， 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元， 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的 第一个非零元． 第一个非零元．
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
行阶梯形矩阵为 定义4 一般地，称同时满足下列条件的行阶梯形矩阵 定义4 一般地，称同时满足下列条件的行阶梯形矩阵为 行最简形矩阵. 行最简形矩阵. （1）各非零行的第一个非零元素都是1； 各非零行的第一个非零元素都是1 （2）该非零元所在列的其余元素全都是零。 该非零元所在列的其余元素全都是零。
A1 为A的行阶梯形矩阵. 的行阶梯形矩阵.
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
2 1 −3 3 −1 r1 × (−1) 8 0 −1 2 − 3 0 0 0 1 − 4 r2 × (−1) 0 0 0 0 0
~
1 − 2 − 1 3 − 3 r 3r 2− 3 1 − 2 3 − 8 0 0 0 0 1 − 4 r1 − 3r3 0 0 0 0 0 0 −5 1 −2 0 0 0 0 17 4 = 1 − 4 0 0 0 0
例如
1 0 2 0 A= 0 1 3 0 0 0 0 1
1 −2 0 0 C = 0 1 1 0 0 0 0 1
B=
1 0 0 1 2 0 1 0 −1 3 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0
线 性 代 数
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
例如
1 0 2 −1 A= 0 −2 3 1 0 0 0 −3
C = 1 0 0 1 2 0 1 0 −1 3 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0
换把化为行阶梯形阵， 换把化为行阶梯形阵， 并进而化成 行最简形阵 .
定义5 左上角是单位阵， 定义5 左上角是单位阵，其余元素全为零的行最简形阵 标准形矩阵. 称为标准形矩阵 称为标准形矩阵. 1 0 0 0 1 0 0 0 例如
A= 0 1 0 0 0 0 0 0
所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个 等价类，标准形F 是这个等价类中最简单的矩阵. 等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵 则矩阵A经过有限次初等 阶可逆矩阵， 推论 如果A为n阶可逆矩阵， 行变换可化为单位矩阵E，即A~E. ，
化为 标准形 :
线 性 代 数
行阶梯形
说明 将矩阵初等变换至单位阵即证明了该矩阵可逆 将矩阵初等变换至单位阵即证明了该矩阵可逆.
线 性 代 数
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
[例3] 先用初等行变换把矩阵
A= 1 −1 3 − 4 3 3 −3 5 −4 1 2 −2 3 −2 0 3 − 3 4 − 2 −1
1
化为行最简形，然后再用初等列变换将其化为等价标准形. 化为行最简形，然后再用初等列变换将其化为等价标准形
解
A
行最简形
r1 − 3r2 1
r2 −3r3 3r ~ r3 −2r3 r4 −3r3
1 −1 3 − 4 0 0 −4 8 0 0 −3 6 0 0
（ 3 r2 × − ） 4 −8 ~ r3 × − 1） （ −6 3 − 5 10 − 10 r4 × − 1） （
[例1] 用初等行变换将矩阵
2 1 − 3 3 −1 2 −5 0 3 2 A= 3 −8 1 4 3 1 − 2 −1 2 1
化为行阶梯形矩阵及行最简形矩阵. 化为行阶梯形矩阵及行最简形矩阵.
解 A r
~
r
2 1 −1 0 −1 2 0 −2 4 0 0 0
第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
第二章
矩阵
第一节 矩阵及其运算 第二节 逆矩阵 第三节 矩阵的初等变换与矩阵的秩 第四节 矩阵的分块
线 性 代 数
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
第三节
第二章
矩阵的初等变换与矩阵的秩
一、 矩阵的初等变换 二 、 等价矩阵 三 、 初等矩阵 四 、 矩阵的秩
结束
~
C
~
线 性 代 数
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
总可经过有限次初等变 换 定理2 定理2 对于任何矩阵 Am×n ，
Er O F = , O O m× n 三个数唯一确定， 此标准形由 m , n , r 三个数唯一确定， 其中 r 就是行阶梯形 矩阵中非零行的行数 .
ri + kr j
线 性 代 数
ri + ( − k )r j 或 ri − kr j .
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
二、 等价矩阵
定义2 定义2
则称A 若矩阵A经有限次初等行变换变成B ,则称
行等价, 与B行等价, 记为 A ~ B ; 若矩阵A经有限次初等列变换 c 记为 A ~ B ;若矩阵A经有限 若矩阵 列等价, 变成B , 则称A与B列等价, 等价, 次初等变换变成B , 则称A与B等价,记为 A ~ B .
~
3 0 0
~
1 0 0 2 0 0 3 0 0
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线 性 代 数
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
矩阵的标准形
定义3 定义3 若矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个
行阶梯形矩阵. 非零元素所在的下方全为零， 则称该矩阵为行阶梯形矩阵 非零元素所在的下方全为零， 则称该矩阵为行阶梯形矩阵
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结束
第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
1 2 − 1 是否可逆， 如果可逆 [例2] 矩阵 A = 2 3 1 是否可逆， 3 4 − 3 先用初等行变换把化为行阶梯形，然后再将其化为单位阵. 先用初等行变换把化为行阶梯形，然后再将其化为单位阵
解
Q A = 6 ≠ 0,
r2 − 2 r1 r3 − 3 r1
∴ A−1 存在.
1 2 − 1 r + 2r 1 2 − 1 3 2 r2 A ~ 0 1 − 3 ~ 0 1 − 3 r2 ×( −1) r3 ×( − 1 ) 0 0 1 0 − 2 0 6 r2 + 3 r3 1 0 0 行最简形 r1 + r3 0 1 0 ~ r1 − 2 r2 0 0 1
1 2 −2 1 B= 0 0 0 0
是行阶梯形矩阵. 行阶梯形矩阵
1 0 2 −1 G= 0 2 3 1 0 2 1 3 1 −2 0 0 F = 0 0 1 0 0 2 0 1
不是行阶梯形矩阵 不是行阶梯形矩阵. 行阶梯形矩阵
B= 0 1 0 0 0 0 1 0
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形． 例如 矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形 .
1 0 B = 0 0 0 −1 0 1 −1 0 0 0 1 11 4 c3 ↔ c4 c +c +c 4 1 2 0 3 00 0 00 0 1 − 3 c5 − 4c1 − 3c2 + 3c3 00 0 0 0 0
是行最简形矩阵. 行最简形矩阵
1 0 0 0 F = 0 −1 0 0 0 0 1 0
不是行最简形矩阵 不是行最简形矩阵. 行最简形矩阵
线 性 代 数
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
定理1 定理1
A × 对于任何矩阵 m×n , 总可经过有限次初等行 变
~
1 9 1 − 2 −1 0 r1 + 2r2 1 −2 0 4 0 0 0 0 0 0 1 − 4 0 0 0 0 0 0
~
A2
A2为A的行最简形矩阵. 的行最简形矩阵.
注意到
1 0 0 0 0 − 5 0 17 1 −2 0 4 0 0 1 − 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 C 2 ↔ C3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
线 性 代 数
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第二章
矩 阵
第一节 矩阵及其运算
一、 矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 矩阵的初等行变换: (1) 对调两行； ri ↔ r j 对调两行；
( 2 ) 以数 k ≠ 0 乘以某一行的所有元素 ; ri × k ( 3) 把某一行的 k 倍加到另一行对应的元 素上去 . ri + kr j
特点
1 0 0 0
0 −1 0 4 1 −1 0 3 = B5 0 0 1 −3 0 0 0 0
（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零； 可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数， 每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数， 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元， 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的 第一个非零元． 第一个非零元．