浙江工业大学数学分析2009年考研专业课初试真题
数分试卷
浙江工业大学数学分析(二)期末试卷(A)09-06 班级 学号 姓名 成绩一、填空题(21%)1、封闭曲线θ3cos =r ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-66πθπ所围的面积是 。
2、反常积分⎰∞++02312cos dx x x 是条件收敛还是绝对收敛?答: 。
3、级数ln 112n n ∞=∑是收敛还是发散?答: 。
4、幂级数1(1)2nn x n ∞=-∑的收敛域为 。
5、设)(x f 是以π2为周期的周期函数,在[)ππ,-上22)(x x f -=π,则其Fourier级数的和函数)(x S 在π27处的值72S π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 。
6、设()22y x f z -=,其中f 可导,则=∂∂+∂∂yz x x z y 。
7、函数 xyz z xy u -+=32在点)1,1,1(处的梯度为________________;在点)1,1,1(处沿方向}2,1,0{=l 的方向导数为________________。
二、选择题(16%)1、若),(y x f z =于点()00,y x 处可微,则下列结论错误的是 ( )(A )),(y x f 于点()00,y x 处连续;(B) ),(),,(y x f y x f y x 于点()00,y x 处连续;(C ) ),(),,(y x f y x f y x 于点()00,y x 处存在;(D) 曲面),(y x f z =在()),(,,0000y x f y x 处有切平面。
2、二重极限与累次极限之间的关系正确的是 ( )(A)若二重极限存在,则两个累次极限均存在且相等;(B)若二重极限存在,且其中一个累次极限存在,则另一累次极限存在;(C)若累次极限均存在但不相等,则重极限必不存在;(D)若二重极限不存在,则两个累次极限中至少有一个不存在.3、以下命题中正确的是: ( )(A) 若1()f x dx +∞⎰收敛,则必有:lim ()0x f x →+∞=; (B) 若级数∑∞=1n n u 收敛,且1lim =∞→n n n u v ,则级数∑∞=1n n v 收敛。
2009考研数学(二)真题及参考答案
2009年研究生入学统一考试数学二试题与解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为( )()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.(2)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则( )()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=(3)设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0( )()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.(4)设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰( )()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰(5)若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则()f x 在区间()1,2内( )()A 有极值点,无零点. ()B 无极值点,有零点.()C 有极值点,有零点. ()D 无极值点,无零点.(6)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为1 ()f x -2 0 2 3x-1O则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为( )()A .()B .()C .()D .(7)设A ,B 均为2阶矩阵,**A B ,分别为A ,B 的伴随矩阵.若23A B ==,,则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为( )()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭(8)设A P ,均为3阶矩阵,TP 为P 的转置矩阵,且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若1231223P Q ααααααα==+(,,),(,,),则TQ AQ 为( ) ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()f x 0 2 3x1 -2-11()f x 02 3x1 -1 1()f x 02 3x1 -2-11()f x 0 2 3x1 -2 -11()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在(0,0)处的切线方程为 . (10)已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .(11)1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.(12)设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数,则22x yx=∂=∂ .(13)函数2x y x =在区间(]01,上的最小值为 .(14)设αβ,为3维列向量,T β为β的转置,若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,则T =βα .三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.(16)(本题满分10 分) 计算不定积分1ln(1)xdx x++⎰(0)x >. (17)(本题满分10分)设(),,z f x y x y xy =+-,其中f 具有2阶连续偏导数,求dz 与2z x y∂∂∂.(18)(本题满分10分)设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=,当曲线()y y x = 过原点时,其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. (19)(本题满分10分)计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰,其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.(20)(本题满分12分)设()y y x =是区间-ππ(,)内过点-22ππ(,)的光滑曲线,当-0x π<<时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0x π≤<时,函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式. (21)(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-;(Ⅱ)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.(22)(本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. (Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ;(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任一向量23,ξξ,证明:123,,ξξξ线性无关.(23)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值;(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为( )()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3s i n x x f x xπ-=则当x 取任何整数时,()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±(2)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则( )()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小,则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C . 另外201cos lim3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排D .所以本题选A.(3)设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0( )()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂ 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂又在(0,0)处,0,0z zx y∂∂==∂∂ 210AC B -=>故(0,0)为函数(,)z f x y =的一个极小值点.(4)设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰( )()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分:{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤- 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C.(5)若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则()f x 在区间()1,2内( )()A 有极值点,无零点. ()B 无极值点,有零点.()C 有极值点,有零点. ()D 无极值点,无零点.【答案】 B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即''()0f x <,且在点(1,1)处的曲率322|''|12(1('))y y ρ==+,而'(1)1f =-,由此可得,''(1)2f =-在[1,2] 上,'()'(1)10f x f ≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)'()1(1,2)f f f ζζ-=<- , ∈ , (拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而 (1)10f =>由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点. 故应选(B ). (6)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为( )1 ()f x -2 0 2 3x-1O()A .()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可见,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出几个方面的特征: ①[]0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减. ②[]1,2x ∈时,()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时,()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时,()0F x ≤为线性函数,单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点,可见正确选项为D .(7)设A ,B 均为2阶矩阵,**A B ,分别为A ,B 的伴随矩阵.若23A B ==,,则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为( )()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 0 2 3x1 -2-11()f x 02 3x1 -1 1()f x 02 3x1 -2-11()f x 0 2 3x1 -2 -11【答案】 B【解析】根据CC C E *=若111,C C C CC C*--*==分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式22012360A AB B⨯=-=⨯=()即分块矩阵可逆 111100066000100B BA A AB B BBAA A**---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10023613002BB AA ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭(8)设A P ,均为3阶矩阵,TP 为P 的转置矩阵,且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若1231223P Q ααααααα==+(,,),(,,),则TQ AQ 为( ) ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】 A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,即:12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在(0,0)处的切线方程为 . 【答案】2y x =【解析】221222ln(2)22t dy t t t t dt t ==--⋅=--2(1)1(1)1t t dxe dt --==⋅-=- 所以 2dy dx= 所以 切线方程为2y x =.(10)已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .【答案】2-【解析】1122lim bk xkxkxb e dx e dx e k +∞+∞-∞→+∞===⎰⎰因为极限存在所以0k <210k=-2k =-(11)1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.【答案】0【解析】令sin sin cos x x xn I e nxdx e nx n e nxdx ---==-+⎰⎰2sin cos x xn e nx nenx n I --=---所以2cos sin 1xn n nx nx I e C n -+=-++即11020cos sin lim sin lim()1xx n n n nx nx e nxdx e n --→∞→∞+=-+⎰ 122cos sin lim()110n n n n ne n n -→∞+=-+++= (12)设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数,则22x yx=∂=∂ .【答案】3-【解析】对方程xy 1y e x +=+两边关于x 求导有''1y y xy y e ++=,得'1yyy x e -=+ 对''1y y xy y e ++=再次求导可得''''''22()0y y y xy y e y e +++=,得''2''2()yyy y e y x e +=-+ (*)当0x =时,0y =,'(0)0101y e -==,代入(*)得 ''20''032(0)((0))(0)(21)3(0)y y e y e +=-=-+=-+(13)函数2x y x =在区间(]01,上的最小值为 . 【答案】2ee-【解析】因为()22ln 2xy xx '=+,令0y '=得驻点为1x e =.又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅,得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭,故1x e=为2xy x =的极小值点,此时2e y e -=,又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0y x '<;1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()0y x '>,故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减,在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.而()11y =,()()002022ln limlim11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x xx xxx x x y x e eee++→→+→++--+→→======,所以2xy x =在区间(]01,上的最小值为21ey e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(14)设αβ,为3维列向量,T β为β的转置,若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则T =βα .【答案】2【解析】因为T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,根据相似矩阵有相同的特征值,得到T αβ得特征值是2,0,0而T βα是一个常数,是矩阵T αβ的对角元素之和,则T 2002βα=++=三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.【解析】()[][]244001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim limsin sin x x x x x x x x x x→→-+--+= 22201ln(1tan )lim 2sin sin x x x x x x→-+=201ln(1tan )1lim 2sin 4x x x x →-+== (16)(本题满分10 分) 计算不定积分1ln(1)xdx x++⎰(0)x >. 【解析】 令1x t x+=得22212,1(1)tdtx dx t t -= =-- 22211ln(1)ln(1)1ln(1)11111x dx t d x t t dt t t t ++=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以221ln(1)111ln(1)ln 1412(1)111ln(1)ln(1)2211111ln(1)ln(1)222x t t dx C x t t t x xx x x C x x x x x x x x x x C x ++++=+-+--++=++++-++++=+++++-++⎰ (17)(本题满分10分)设(),,z f x y x y xy =+-,其中f 具有2阶连续偏导数,求dz 与2zx y∂∂∂.【解析】123123zf f yf x zf f xf y∂'''=++∂∂'''=-+∂1231232111213212223331323331122331323()()1(1)1(1)[1(1)]()()z z dz dx dy x yf f yf dx f f xf dyzf f f x f f f x f y f f f x x yf f f xyf x y f x y f ∂∂∴=+∂∂''''''=+++-+∂'''''''''''''''''''=⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅-+⋅++⋅+⋅-+⋅∂∂'''''''''''=+-++++-(18)(本题满分10分)设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=,当曲线()y y x = 过原点时,其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. 【解析】解微分方程20xy y '''-+=得其通解212122,y C x C x C C =++其中,为任意常数又因为()y y x =通过原点时与直线1x =及0y =围成平面区域的面积为2,于是可得10C =1112232220002()(2)()133C C y x dx x C x dx x x ==+=+=+⎰⎰从而23C =于是,所求非负函数223(0)y x x x =+ ≥又由223y x x =+ 可得,在第一象限曲线()y f x =表示为1131)3x y =+-(于是D 围绕y 轴旋转所得旋转体的体积为15V V π=-,其中552210051(131)9(23213)93918V x dy y dyy y dy ππππ==⋅+-=+-+=⎰⎰⎰395117518186V ππππ=-==. (19)(本题满分10分)计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰,其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+,32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰ 3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.(20)(本题满分12分)设()y y x =是区间-ππ(,)内过点-22ππ(,)的光滑曲线,当-0x π<<时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0x π≤<时,函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式.【解析】由题意,当0x π-<<时,'xy y =-,即ydy xdx =-,得22y x c =-+, 又()22y ππ-=代入22y x c =-+得2c π=,从而有222x y π+=当0x π≤<时,''0y y x ++=得 ''0y y += 的通解为*12cos sin y c x c x =+ 令解为1y Ax b =+,则有00Ax b x +++=,得1,0A b =-=, 故1y x =-,得''0y y x ++=的通解为12cos sin y c x c x x =+- 由于()y y x =是(,)ππ-内的光滑曲线,故y 在0x =处连续于是由1(0),(0)y y c π-=± += ,故1c π=±时,()y y x =在0x =处连续 又当 0x π-<<时,有22'0x y y +⋅=,得'(0)0xy y-=-=, 当0x π≤<时,有12'sin cos 1y c x c x =-+-,得2'(0)1y c +=- 由'(0)'(0)y y -+=得210c -=,即 21c =故 ()y y x =的表达式为22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪-- -<<=⎨-+-≤<⎪⎩或22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪- -<<=⎨+-≤<⎪⎩,又过点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪- -<<=⎨+-≤<⎪⎩.(21)(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-;(Ⅱ)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.【解析】(Ⅰ)作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----,易验证()x ϕ满足:()()a b ϕϕ=;()x ϕ在闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理,可得在(),a b 内至少有一点ξ,使'()0ϕξ=,即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--(Ⅱ)任取0(0,)x δ∈,则函数()f x 满足;在闭区间[]00,x 上连续,开区间()00,x 内可导,从而有拉格朗日中值定理可得:存在()()000,0,x x ξδ∈⊂,使得()0'()(0)x f x f fx ξ-=-……()* 又由于()'lim x f x A +→=,对上式(*式)两边取00x +→时的极限可得:()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====- 故'(0)f +存在,且'(0)f A +=.(22)(本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ;(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任一向量23,ξξ,证明:123,,ξξξ线性无关. 【解析】(Ⅰ)解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量,令32x =,由0Ax =解得,211,1x x =-= 求特解,令120x x ==,得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量,令21x =-,由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ,其中2k 为任意常数.(Ⅱ)证明:由于12121212122111121112(21)()2()(21)222210k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关.(23)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- (Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值;(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. 【解析】(Ⅰ) 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+(Ⅱ) 若规范形为2212y y +,说明有两个特征值为正,一个为0.则 1) 若10a λ==,则 220λ=-< ,31λ= ,不符题意2) 若20λ= ,即2a =,则120λ=>,330λ=>,符合3) 若30λ= ,即1a =-,则110λ=-< ,230λ=-<,不符题意 综上所述,故2a =.。
2009--浙大数学分析考研_及答案
1
x2 2
1.4、 ( x y ) sgn( x y )dxdy ,其中 D [0,1] [0,1] 。
D
解答: 原式= =
dx
0 1 0
1
x
0 x
( x y )dy dy ( x y )dx
0 0
1
y
dx
0
( x y )dy dx ( x y )dy
0
2
总结而有
t e tx f ( x)dx C
0
t e tx [ f ( x) C ]dx
0
t e tx [ f ( x) C ]dx t e tx [ f ( x) C ]dx
0 A
A
所以
2
2
。
t 0
lim t e tx f ( x)dx C
tx而写下txtx上可积而有界设为m于是对上述任意的tx总结而有txdx上不一致连续
浙江大学 2009 年数学分析考研试卷答案
1、计算: 1.1、 解答:
cos 2 x sin 2 x dx a 2 cos 2 x b 2 sin 2 x tan 2 x dx 2 a b 2 tan 2 x
b a
dx dx ) n ( )n n n ( f ( x)) (1 )
1
1
1
由 的任意性知
n
(2 ) n 1 1 , 当n . 1
lim(
b
a
dx )n 1 n ( f ( x))
x
浙江工业大学2009年研究生入学考试物化复习资料
研究生入学考试物化复习2009年热力学第一定律一、选择题1.凡是在孤立体系中进行的变化,其ΔU 和ΔH 的值一定是(a) ΔU > 0 , ΔH > 0 (b) ΔU = 0 , ΔH = 0(c) ΔU < 0 , ΔH < 0 (d) ΔU = 0 , ΔH 大于、小于或等于零不确定(答案) d (ΔH =ΔU +∆(pV)=ΔU + V ∆ p )2. 指出下列过程中的可逆过程(a) 摩擦生热(b) 室温、标准压力下一杯水蒸发为同温同压下的汽(c) 373K ,标准压力下一杯水蒸发为汽(d) 手电筒中干电池放电使灯泡发亮(答案) c (在某一温度及与该温度对应的平衡压力下发生的相变化;内、外温差相差dT 的传热过程;内、外压差相差dp 的膨胀或压缩过程;通过的电流为dI 的充电或放电过程等都可看作是可逆过程)3. 将某理想气体从温度T 1加热到T 2。
若此变化为非恒压过程,则其焓变ΔH 应为何值? (a) ΔH =0 (b) ΔH =C p (T 2-T 1)(c) ΔH 不存在 (d) ΔH 等于其它值(答案) b (在该题中,同理ΔU =C V (T 2-T 1),无论过程是否是恒压或恒容)4. 某气体在恒压升温和恒容升温过程中(无非体积功)所升高的温度相同,试比较恒压过程体系所吸收的热量Q p 与恒容过程体系所吸收的热量Q V 大小。
(a) Q p > Q V (b) Q p = Q V(c) Q p < Q V (d) Q p Q V(答案) a ( 若换成恒压和恒容过程吸收的热量相同,问那个过程升高的温度多?)5. 当某化学反应Δr C p,m =0,则该过程的()r m H T ∆$随温度升高而(a ) 下降 (b ) 升高(c ) 不变 (d ) 无规律(答案) c ,r m r p m H C T∂∆=∆∂ , 21 B r m 2r m 1,m ()()(B)d T p T H T H T C T ν∆=∆+∑⎰二、计算题1. 0.500g 正庚烷放在弹形量热计中,燃烧后温度升高2.94K 。
2009考研数学二真题及答案解析
2
dx
2 f ( x, y)dy +
2
dy
4−y f ( x, y) dx = ( )
1
x
1
y
∫ ∫ (A)
2
dx
4−x f ( x, y)dy .
1
1
∫ ∫ (B)
2
dx
4−x f ( x, y)dy .
1
x
∫ ∫ (C)
2
dy
4−y f ( x, y)dx .
1
1
∫ ∫ (D)
2
dy
2 f ( x, y)dx .
(1)函数 f ( x) = x − x3 的可去间断点的个数为( )
sin nx
( A) 1.
( B) 2.
(C ) 3.
( D) 无穷多个.
【答案】C 【解析】
f ( x) = x − x3
sin π x
则当 x 取任何整数时, f ( x) 均无意义
故 f ( x) 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是 x − x3 = 0 的解
.
= y t2 ln(2 − t2 )
∫ (10) 已知 +∞ ek x dx = 1 ,则 k = −∞
∫ (11) lim 1e−x sin nxdx = n→∞ 0
. .
(12)
设y
=
y(x) 是由方程 xy + ey
=x
+
1
确定的隐函数,则
d2 dx
y
2
=
.
x=0
(13) 函数 y = x2x 在区间 (0,1] 上的最小值为
f (x)
2009年数学试题及解答
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1~8小题,每小题8分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内。
(1)当0x →时,()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-等价无穷小,则() (A )11,6a b ==-(B )11,6a b ==(C )11,6a b =-=- (D )11,6a b =-=【解析与点评】考点:无穷小量比阶的概念与极限运算法则。
【答案】A2222sin sin 1cos sin limlimlimlimln(1)()36x x x x x ax x ax a x a ax x bx x bx bxbx→→→→---===----23sin lim166.x a ax ab baxa →==-=-36a b =-意味选项B ,C 错误。
再由21cos lim 3x a ax bx→-=-存在,故有1cos 0(0)a ax x -→→,故a=1,D 错误,所以选A 。
(2)如图,正方形{(,)|||1,||1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域,(1,2,3,4),cos KK K D D k I y xdxdy ==⎰⎰,则14max{}KK I≤≤=()【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
24,D D 关于x 轴对称,而cos y x -即被积函数是关于y 的奇函数,所以2413;,I I D D =两区域关于y 轴对称,cos()cos y x y x -=即被积函数是关于x 的偶函数,由积分的保号性,13{(,)|,01}{(,)|,01}2cos 0,2cos 0x y y x x x y y x x I y xdxdy I y xdxdy ≥≤≤≤-≤≤=>=<⎰⎰⎰⎰,所以正确答案为A 。
(3)设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()x F x f t dt =⎰为()【解析与点评】考点:函数与其变限积分函数的关系、函数与其导函数之间的关系,变限积 分函数的性质(两个基本定理),定积分的几何意义。
浙江工业大学2009年研究生入学考试《化工原理》试题
09年浙工大1.速度分布均匀,粘度为零的流体称()A)牛顿流体 B 非牛顿型流体C)理想渡体; D 实际流体2。
在完全溢流(阻力平方区)对,粗糙管摩擦系数 数值()A)与光滑管一样:B)只取决于Re;c)只取决于相对粗糙度:D)与粗糙度发无关。
3.转子流量计均主要特点是()。
A)恒截面、恒压差;B)变截面、交压差;c)恒流速、恒压差:D)变流速、恒压差。
4. 改变哪个条件对离心泵允许的安装高度没有影响:A)减小泵的出口管路阻力;B)泵出北京搬迂到拉萨;c)改变液体的温度;I))改变泵吸入管道的长度(包含管件的局部阻力当量长度)。
5.计“算下列四种“数”时,其数值大小与单位制选择有关的是()。
A)普兰德准数;B)传热单元数NTUc)离心分离因数;D)过滤常数K。
6.在重力场中,微小颗粒的沉降速度与下列因素无关()。
A)粒子几何形状;B粒子几何尺寸:C)流体与粒子的密度;D)流体的流速。
7.在空气一蒸汽间壁换热过程中采取下列哪种方注来提高传热速率更合理()。
A)提高蒸汽流速;B)采用过热蒸汽以提高蒸汽温度;c)提高空气流速:D)将蒸汽流速和空气流速都提高。
8.沸腾传热的的过热度增大,其传热系数()。
A)始终增大;B)始终减小;C)只在某范围变大;D)沸腾传热系数与过热度无关。
9.棉花保温性能好,主要是因为()。
A)棉纤维素导热系数小;B)棉花中含有相当数量的油脂;c)棉花中含有大量空气,而空气的运动又受到极为严重的阻碍;D)棉花白色,因而黑度小。
10.当系统服从亨利定律时,对同一温度和液相浓度,如果总压增大一倍则与之平衡的气相浓度(或分压)()。
‘A)y增大一倍;B)p增大一倍;C)y减小一倍;D)p减小一倍。
11.气膜控制的逆流解吸塔操作中,如气量与液量同比例减少,而其他操作条件不变,则液体出口组成将A)变大;B)变小;c)不变;D)不确定。
12.某二元混合物,进料量为100kmol/h,轻组分含量X=0.6,要求得到塔顶纯度FX不小于0.9的产品。
2009考研数一真题答案及详细解析
f(t)dt
I: > �f'.J<t)dt+ 八 t)dt�f (x) dx.'
又由定积分的几何意义知,『 g (x)dx>O,故 2<x<3 时 F(x)>O.故应选 D.
(4) C
解
I; 若令
an= bn=
(-l)n
嘉,则nl-im= a
n
=
O, n=
l
从收敛,却有
co
nI=;l a
n从
=
nI=;l — n1
1,1],
和函数为—
ln(l+x).
因为5 (x)=
= I;
(—l)n
X
n=
X
— ln(l+x),令
x= l,得
n= 2 n
S 2= n�= la 加一1 = S(1)= 1- ln 2.
(17) 解
(I)
椭球面 S1
的方程为X— 42
+
沪
+z 3
2 =
1.
。 设切点为
(x
口 Yo),
则
X—+
4
— y
y2dxdyd乏 = 』之2dxdyd之,
{l
所以
w 上�+ ill f I I z'dxd:
。 。 。 上 2
六
(x' 二三) dxdydz� 3
亢 d0
sin钊'P'r'dr�±. 穴. 15
{l
03) 2
n 解 设入是P矿的非零特征值, 是属于入的特征向量,从而p矿T/=入1
由于入=/=-0, TJ =/=-0,故a可=l=-0.
浙江工业大学电路1试卷1答案
I 0 = 0 , P0 = 0
2分
(2)当 k = 1 时,即在基波U&1m = 100/ 0°0/ 0° + j(10 − 10)
=
10/
0°
A
2分
P1
=
1 2
U1m I1m
cos
0°
=
500
W
(3)当 k = 2 时,即在二次谐波U& 2m = 36/ 0° V 作用下,响应为
+
i
R
u
C
L
-
Ikm
R
+
1
Ukm
jkωC
jkωL
图5
图 5-2
解:设ω为基波频率,k 为谐波次数,电路如图 5-2 所示。则电流相量的一般表达式为
I&km =
U& km
R + j(kωL −
1)
kωC
(1)当 k = 0 时,即直流分量U0 = 10 V 作用下,电容相当于开路,电感相当于短路,则:
i3
iS
R
R3
a
b
图 2-1
解:(1)应用电源等效变换,把图 2-1a 等效成图 2-1b,
可求
iS
= uS1 R1
+ uS2 R2
= 3A ,
2分
R = R1 // R2 = 4Ω
2分
(2)由图 2-6b可得流经R3的电流
i3
=
R iS R + R3
= 2A
2分
第2页
浙江工业大学考试命题纸
2-2 要实现图 2-2 所示电路的输出 u0 为:– u0 = 3u1 + 0.2u2 ,并已知R3= 20kΩ,求:R1和R2。
浙江工业大学参考书目
831普通物理
《普通物理学》(第五版),程守洙、江之永,高等教育出版社,1998。
833汉语与写作
《古代汉语》,王力主编,中华书局,1998;《现代汉语》,胡裕树主编,上海教育出版 社,2002。
834传播实务(含公 《公关理论精要》,张雷编著,高等教育出版社,2004;《广告学概论》,陈培爱主编,
845财务管理学
《财务管理》注册会计师全国统考指定教材第1-3,5-9章内容,中国财政经济出版社, 2009年新版。
846信号处理与系统
《信号与系统》(第二版),A.V.Oppenheim编著,刘树棠译,西安交通大学出版社, 1998;《数字信号处理》(第二版),丁玉美,西安电子科技大学出版社,2001。
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器分析)
编,高等教育出版社。
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《化工原理》,何潮洪等, 科学出版社,2001。
805农药制剂学
《农药化学》(第一版),唐除痴主编,南开大学出版社,2003
806汽车理论
《汽车理论》(第3版),余志生,机械工业出版社,2004。
807机械原理
《机械原理》(第七版),孙桓主编,高等教育出版社,2006。
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854设施规划与物流 分析
《物流设施规划与设计》,程国全主编,中国物资出版社,2003。09
855信号与系统
《信号与系统》(第二版),A.V.Oppenheim编著,刘树棠译,西安交通大学出版社, 1998
856通信原理(II) 《通信原理》(第五版),樊昌信,国防工业出版社,2006。
2009考研数学二真题及答案解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无穷多个 【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==- ()B 11,6a b == ()C 11,6a b =-=- ()D 11,6a b =-=【答案】A 【解析】 22000()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a ax bx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛 36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D . 所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点 【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点. (4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰ 【答案】C【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分:{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点()D 无极值点,无零点 【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .(6)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为:则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可见,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出几个方面的特征:①[]0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减。
2009年考研数一真题及答案
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小,则()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】 A【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小,则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx →→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。
另外201cos lim 3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排D 。
所以本题选A 。
(2)如图,正方形(){},1,1x y x y ≤≤四个区域()1,2,3,4k D k =,cos kk D I y xdxdy =⎰⎰,则{}14max k k I ≤≤=()A 1I .()B 2I . ()C 3I .()D 4I .【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
24,D D 两区域关于x 轴对称,而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-,即被积函数是关于y 的奇函数,所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称,而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==,即被积函x数是关于x 的偶函数,所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰;{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为A.(3)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为:则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可见,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出几个方面的特征:①[]0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减。
浙江工业大学2009年考研试题——808微机原理(乙) 试题+答案
MOVC A,@A+DPTR MOV DPTR,#1500H
MOVX @DPTR, A LOOP1: MOV R7,A
CJNE A,#50H,LOOP2 ADD LOOP2: RET TAB: DB DB 38H 35H A,R3
;返回
求程序运行结束时, 寄存器:
A #35H ,R1_#28H_, R3 #38H , R4 #07H ,R7 #35H ,DPTR #1500H 。
六、 设系统时钟振荡频率为 12MHz, 要在 MCS-51 单片机的 P1.0 端输出周期为 12 ms 的方波,该方波的周期用定时器 T0 来确定(T0 工作于模式 0) ,采用中断 方法实现,即在 T0 中设置一个定时常数,使其每隔 6ms 产生一次中断,CPU 响应中断后,在中断服务程序中恢复定时常数,并对 P1.0 端取非,T0 的中断 服务程序入口地址为 000BH,试用 MCS-51 指令编写一个源程序,使之实现上
MOVC A,@A+DPTR
SETB C SUBB A,R1 MOV JC R4,A LOOP1
;因为 C=0,所以继续执行下一条指令
INC CLR
DPTR A
;DPRT=(#TAB+1) ;A=#0 ;A=#35H ;DPTR=#1500H ;(1500)=#35H ;R7=#35H ;因为 A 不等于#50H,跳转至 LOOP2 执行
二、填空题:(共计 10 分,每空 1 分)
1. MCS-51 单片机指令系统中的绝对调用子程序指令是一条 2. 中断服务程序必须使用 RETI 指令返回主程序。 64K 字节数据存储器。 2 字节指令。
3. MCS-51 单片机最多可以外扩
4. 如果操作数的地址并不直接出现在指令中,而是在某寄存器中,则称为 寄存器间接寻 址。 5. 堆栈区存放的数据断电后将 丢失 。 。
2009年考试大纲
掌握络合滴定的方式及计算。
5.氧化还原滴定法
了解氧化还原滴定法的特点。
理解电极电位、条件电极电位、平衡常数、条件平衡常数;电极电位与平衡常数的关系式;氧化还原反应速度及其影响因素;典型氧化还原反应滴定曲线的化学计量点和滴定突跃的电极电位计算;氧化还原指示剂的种类、作用原理及选择原则。
4.炔烃和二烯烃
炔烃的结构与命名。化学性质:①加成反应:加氢、亲电加成(加卤素、加卤化素,加水);②氧化反应;③活泼氢反应;④炔烃的制备与鉴别。
二烯烃的分类和命名。共轭二烯烃的化学性质:①加成反应(1,4及1,2加成),②Diels-Alder反应。
5.脂环烃
脂环烃的分类、命名。环已烷及其衍生物的构象。环烷烃的化学性质:取代反应,加成反应,氧化反应,环烯烃和环二烯烃的反应。
7.立体化学
分子的对称因素。含一个手性碳原子的化合物的旋光异构,外消旋体与外消旋化。含两个手性碳原子的化合物的旋光异构,对映体,非对映体,内消旋体。构型的确定、标记和表示方法。环状化合物的立体异构。立体专一性和立体选择性反应。
8.卤代烃
卤代烃的分类和命名。卤代烷的化学性质:1.亲核取代反应及历程(SN1和SN2);2.消除反应:β-消除反应历程(E1和E2),消除方向,取代与消除的竞争;3.卤代烷与金属作用(格氏试剂,烷基锂)。卤代烃的制备。常见亲核试剂的分类。
掌握常用的氧化还原法及计算。
6.重量分析法
理解条件溶度积常数的意义;影响沉淀溶解度的因素;影响沉淀纯度的各种因素和提高沉淀纯度的措施;重量分析对沉淀形式和称量形式的要求;沉淀的形成过程和沉淀条件对与沉淀类型的影响。
掌握重量分析结果的计算(包括化学换算因数的概念和计算)。
2009考研数三真题及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为 ( )(A) 1.(B) 2. (C) 3.(D) 无穷多个.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则 ( )(A) 11,6a b ==-. (B) 11,6a b ==. (C) 11,6a b =-=-. (D) 11,6a b =-=.(3) 使不等式1sin ln x tdt x t>⎰成立的x 的范围是 ( )(A) (0,1).(B) (1,)2π. (C) (,)2ππ.(D) (,)π+∞.(4) 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为 ( )(A) (B)(C)(D)(5) 设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3A B ==,则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为 ( ) (A) **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(B) **23OB AO ⎛⎫⎪⎝⎭. (C) **32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭.(D) **23OA BO ⎛⎫⎪⎝⎭. (6) 设,A P 均为3阶矩阵,T P 为P 的转置矩阵,且100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+,则TQ AQ 为 ( )(A) 210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B) 110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D) 100020002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.(7) 设事件A 与事件B 互不相容,则 ( )(A) ()0P AB =.(B) ()()()P AB P A P B =. (C) ()1()P A P B =-.(D) ()1P AB =.(8) 设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z的间断点个数为 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) cos x x →= .(10) 设()y xz x e =+,则(1,0)zx ∂=∂ _______ .(11) 幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 ______. (12) 设某产品的需求函数为()Q Q p =,其对价格p 的弹性0.2p ε=,则当需求量为10000件时,价格增加1元会使产品收益增加 _______ 元.(13) 设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=.若矩阵Tαβ相似于300000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则k = ____ .(14) 设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差,记统计量2T X S =-,则ET = _____.三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. (16)(本题满分10 分)计算不定积分ln 1dx ⎛ ⎝⎰ (0)x >. (17)(本题满分10 分)计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰,其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.(18)(本题满分11 分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.(19)(本题满分10 分)设曲线()y f x =,其中()f x 是可导函数,且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍,求该曲线方程. (20)(本题满分11 分)设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ;(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,ξξ,证明:123,,ξξξ线性无关. (21)(本题满分11 分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值;(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.(22)(本题满分11 分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为,0,(,)0,x e y x f x y -⎧<<=⎨⎩其他.(I) 求条件概率密度()Y X f y x ; (II) 求条件概率{}11P X Y ≤≤.(23)(本题满分11分)袋中有1个红球,2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次,每次取一个球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(Ⅰ)求{}10P X Z ==;(Ⅱ)求二维随机变量(),X Y 的概率分布.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)【答案】(C)【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义,故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即1,2,30,1x =±. (2) 【答案】(A)【解析】()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小,则2200232000330()sin sin limlim lim ()ln(1)()sin 1cos sin lim lim lim 36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x axg x x bx x bx x ax a ax a axbx bx bxa ax ab ax b →→→→→→→--=-⋅---=---⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭等洛洛 即36a b =-,故排除B ,C.另外,201cos lim3x a axbx →--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故1,a =排除D.所以本题选A.(3) 【答案】(A)【解析】原问题可转化为求1sin ()ln 0xtf x dt x t=->⎰成立时x 的取值范围. 11111sin sin 1()ln sin 11sin 0.xx x x x tt f x dt x dt dtt tt t t dt dt t t=-=---==>⎰⎰⎰⎰⎰由()0,1t ∈时,1sin 0tt->,知当()0,1x ∈时,()0f x >.故应选(A). (4) 【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可以看出,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出下面几个方面的特征:① []1,0x ∈-时,()0F x ≤为线性函数,单调递增; ② []0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减; ③ []1,2x ∈时,()F x 单调递增; ④ []2,3x ∈时,()F x 为常函数; ⑤ ()F x 为连续函数.结合这些特点,可见正确选项为(D). (5) 【答案】(B)【解析】分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236OAA B B O⨯=-=⨯=(),即分块矩阵可逆,且1116112366.1132O A O A O A O B B O B O B O A O O B O B B O B A OA O A O A *---******⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为(B).(6)【答案】(A)【解析】1223123100100(,,)(,,)110110001001Q P ααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,100100110110001001110100100210010010110110.001002001002TT Q AQ P A P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(7) 【答案】(D)【解析】因为,A B 互不相容,所以()0P AB =.(A)()()1()P AB P AB P A B ==-,因为()P A B 不一定等于1,所以(A)不正确;(B)当(),()P A P B 不为0时,()B 不成立,故排除; (C)只有当,A B 互为对立事件的时候才成立,故排除; (D)()()1()1P AB P AB P AB ==-=,故()D 正确.(8) 【答案】(B)【解析】(){}{0}{0}{1}{1}11{0}{1}2211{00}{1},22Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=由于,X Y 相互独立,所以11(){0}{}22Z F z P X z P X z =⋅≤+≤. (1) 当0z <时,1()()2Z F z z =Φ;(2) 当0z ≥时,11()()22Z F z z =+Φ,因此,0z =为间断点,故选(B).二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9)【答案】32e 【解析】 cos cos 10x x x x -→→=200221(1cos )32lim lim 11233x x e x e x e x x→→⋅-===.(10) 【答案】12ln2+【解析】解法1:由于()xy z x e=+,故()(),01xz x x =+,()ln(1)ln(1)01ln(1)1x x x x x y z x x e e x xx ++=∂'⎡⎤'⎡⎤⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥⎣⎦∂+⎣⎦, 代入1x =,得ln 2(1,0)1ln 22ln 212z e x ∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭.解法2:由于ln()()()ln()yx x e y x y x y y e x e z x x e x e x x x x e +⎡⎤∂⎡⎤∂+∂⎡⎤⎣⎦⎣⎦===+⋅++⎢⎥∂∂∂+⎣⎦, 故000(1,0)1(1)ln(1)2ln 211z e e x e ∂⎡⎤=+⋅++=+⎢⎥∂+⎣⎦. (11) 【答案】1e -【解析】由题意知,()210nn n e a n--=>, ()()()()1121211221lim lim 1111lim ,111n n n nn n n nn n n n n e an a n e e e n e n e e +++→∞→∞++→∞--=⋅+--⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⋅=⎡⎤+⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以,该幂级数的收敛半径为1e -. (12) 【答案】8000【解析】所求即为()Qp Q p Q ''=+. 因为0.2p Q pQε'=-=,所以0.2Q p Q '=-,所以()0.20.8Qp Q Q Q '=-+=. 将10000Q =代入有()8000Qp '=.(13) 【答案】2【解析】T αβ相似于300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,根据相似矩阵有相同的特征值,得到Tαβ的特征值为3,0,0.而T αβ为矩阵Tαβ的对角元素之和,1300k ∴+=++,2k ∴=. (14) 【答案】2np【解析】222()(1)ET E X S E X ES np np p np =-=-=--=.三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)【解析】 2(,)2(2)x f x y x y '=+,2(,)2ln 1y f x y x y y '=++.令(,)0,(,)0,x y f x y f x y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩解得唯一驻点1(0,)e .由于212(0,)1(0,)21(0,)11(0,)2(2)2(2),1(0,)40,11(0,)(2),xxexy e yy eA f y e eB f xy eC f x e e y ''==+=+''===''==+=所以 2212(2)0,B AC e e -=-+<且0A >. 从而1(0,)f e 是(,)f x y 的极小值,极小值为11(0,)f e e=-.(16)(本题满分10 分) 【解析】解法1t =,则21,1x t =-()()2221ln 1ln 11ln 111111dx t d t t dt t t t ⎛⎛⎫+=+ ⎪ -⎝⎭⎝+=-⋅--+⎰⎰⎰而()()()()()()2211112411111111ln 1ln 1,4421dt dt t t t t t t t C t ⎡⎤=--⎢⎥-+-++⎢⎥⎣⎦=--++++⎰⎰所以()()2ln 1111ln 1ln 141211ln 141ln 1ln 211ln 1ln .22t t dx C t t t x C x Cx x C ⎛+++=+-+ --+⎝⎛=++ ⎝⎛=+-+ ⎝⎛=++⎝⎰解法21ln 1ln 11dx x x dx -'⎛⎛⎛=- ⎝⎝⎝⎰⎰1ln 112x dx ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎰11ln 122x x ⎛=++- ⎝(2ln lnudu u C C=++=+分部即)11ln 1ln 1ln22dx x x C ⎛⎛=+-+ ⎝⎝⎰1D1ln 1ln 211ln 1ln .22x Cx x C ⎛=++++ ⎝⎛=+++- ⎝(17)(本题满分10 分)【解析】解法1 如右图所示,区域D 的极坐标表示为302(sin cos ),44r ππθθθ≤≤+≤≤. 32(sin cos )442(sin cos )33404334433443444()(cos sin )1(cos sin )38(cos sin )(sin cos )38(sin cos )(sin cos )3818(sin cos ).343Dr r x y dxdy d r r rdrr d d d θθππθθππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθ+=+=-=-⎡⎤=-⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-+=++=⨯+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法2 将区域D 分成12,D D两部分(如右图),其中(){}(){}12,110,,12.D x y y x D x y x y x =≤≤≤≤=≤≤≤≤由二重积分的性质知()()()12DD D x y dxdyx y dxdy x y dxdy-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,而()1111)D x ydxdy x y dy-=-⎰⎰⎰⎰103122,33x =-=-=-⎰()221020230)122(21242,23xD x y dxdy dx x y dyx dx -=-⎡=---⎣⎡⎤=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 所以()()()1228233DD D x y dxdy x y dxdy x y dxdy -=-+-=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (18)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)取()()()()()f b f a F x f x x a b a-=---,由题意知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()()()()()(),()()()()()().f b f a F a f a a a f a b af b f a F b f b b a f a b a -=--=--=--=-根据罗尔定理,存在(),a b ξ∈,使得()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=-,即()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)对于任意的(0,)t δ∈,函数()f x 在[]0,t 上连续,在()0,t 内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理()()000()0()0lim lim lim ()0t t t f t f f tf f t tξξ++++→→→-'''===-,其中()0,t ξ∈. 由于()0lim t f t A +→'=,且当0t +→时,0ξ+→,所以0lim ()t f A ξ+→'=,故(0)f +'存在,且(0)f A +'=.(19)(本题满分10 分) 【解析】解法1 由题意知211()()t tf x dx t f x dx ππ=⎰⎰,两边对t 求导得21()()()tf t f x dx tf t =+⎰,代入1t =得 (1)1f =或(1)0f = (舍去).再求导得 2()()2()()f t f t f t tf t ''=+,记()f t y =,则112dt t dy y+=,因此, 111222()()dydyy y t eedy C y C --⎰⎰=+=+⎰132222()33y y C y -=+=+.代入1,1t y ==得13C =,从而23t y =+.故所求曲线方程为23x y =+解法2 同解法1,得2()()2()(),(1)1f t f t f t tf t f ''=+=.整理得22dy ydt y t=-. 令y u t =,则 dy duu tdt dt=+, 原方程变成 23221du u u t dt u -=-, 分离变量得211(32)u du dt u u t -=-,即 114332dtdu u u t-⎛⎫+=⎪-⎝⎭, 积分得 21ln (32)ln 3u u Ct --=, 即 1233(32)u u Ct ---=.代入1,1t u ==,得1C =,所以231(32)u u t -=. 代入y ut =化简得2(32)1y t y -=,即23t y =+.故所求曲线方程为23x y =+.(20)(本题满分11 分)【解析】(Ⅰ)对矩阵1()A ξ施以初等行变换()11110221111111111012204220000A ξ⎛⎫-- ⎪---⎛⎫⎪ ⎪⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪---⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可求得 2122122k kk ξ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.又2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,对矩阵21()A ξ施以初等行变换()211110220122201000044020000A ξ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭, 可求得 312a a b ξ⎛⎫-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其中,a b 为任意常数.(Ⅱ)解法1 由(Ⅰ)知12311122211,,102222ka ka kbξξξ--+--=-=-≠-, 所以123,,ξξξ线性无关.解法2 由题设可得10A ξ=.设存在数123,,k k k ,使得1122330k k k ξξξ++=, ①等式两端左乘A ,得22330k A k A ξξ+=,即21330k k A ξξ+=, ②等式两端再左乘A ,得2330k A ξ=,即310k ξ=.由于10ξ≠,于是30k =,代入②式,得210k ξ=,故20k =.将230k k ==代入①式,可得10k =,从而1,ξ23,ξξ线性无关.(21)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)二次型f 的矩阵101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.由于01||01()((1))((2))111aE A aa a a a λλλλλλλ---=-=--+----+,所以A 的特征值为123,1,2a a a λλλ==+=-.(Ⅱ)解法1 由于f 的规范形为2212y y +,所以A 合同于100010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其秩为2,故1230A λλλ==,于是0a =或1a =-或2a =.当0a =时,1230,1,2λλλ===-,此时f 的规范形为2212y y -,不合题意. 当1a =-时,1231,0,3λλλ=-==-,此时f 的规范形为2212y y --,不合题意. 当2a =时,1232,3,0λλλ===,此时f 的规范形为2212y y +.综上可知,2a =.解法2 由于f 的规范形为2212y y +,所以A 的特征值有2个为正数,1个为零.又21a a a -<<+,所以2a =.(22)(本题满分11 分)【解析】(I)X 的概率密度0,0,,0,()(,)0,0.0,0xx x X e dy x xe x f x f x y dy x x --+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰当0x >时,Y 的条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,Y X X y x f x y f y x x f x ⎧<<⎪== ⎨⎪⎩其他.(II)Y 的概率密度,0,()(,)0,0.y Y e y f y f x y dx y -+∞-∞⎧>==⎨≤⎩⎰{}{}{}111111,11|11(,)2.11xx y P X Y P X Y P Y dx e dyf x y dxdye e e e dy--∞-∞--≤≤≤≤=≤-===--⎰⎰⎰⎰⎰(23)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ) 12211{1,0}463(10)1{0}9()2C P X Z P X Z P Z ⋅========. (Ⅱ)由题意知X 与Y 的所有可能取值均为0,1,2.()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0,461112,0,0,1,36311,1,2,10,910,2,91,20,2,20,C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======故(,)X Y 的概率分布为。