江西省宜春市高安市四校(二中、丰城中学、樟树中学)2017-2018学年高考数学一模试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年江西省宜春市高安市四校（二中、中学、丰城中学、樟树中学）高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．集合M={1，2}，N={3，4，5}，P={x|x=a+b，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
2．已知复数z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，若为纯虚数，则|z1|=（）
A． B． C． 2 D．
3．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0，和直线3x+my+9=0垂直”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在边长为1的正方形ABCD内任取一点P，则P到点A和C的距离都小于1的概率为（）
A． B． C． D．
5．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（）
A． k＜6？ B． k＜7？ C． k＜8？ D． k＜9？
6．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
7．直线x+y+=0截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）
A． B． C． D．
8．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=y﹣ax取得最小值时的唯
一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，﹣1） B．（0，1） C． [1，+∞） D．（1，+∞）
9．已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（）
A． 6π B． C． 3π D．
10．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有
相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为（）
A． B． 4 C． D． 9
11．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，
若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）
A． B．
C． D．（﹣3，﹣1）
12．设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x ≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）
A． 1 B． C． e D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在△ABC中，若（a2+c2﹣b2）•tanB=•ac，则角B= ．
14．已知是单位向量，．若向量满足|的取值范围是．
15．数列{a n}中相邻两项a n与a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根，已知a10=﹣13，则b21等于．
16．已知函数f（x）是定义在[﹣4，+∞）上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式f （cosx﹣b2）≥f（sin2x﹣b﹣3）恒成立，则实数b的取值范围是．
三、解答题：本大题共六个大题，满分60分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知某学校高一、高二、高三年级分别有16、12、8个班．现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级中抽取9个班进行调查，
（1）求从高一、高二、高三年级分别抽取的班级个数；
（2）若从抽取的高二、高三年级各个班中再随机抽取2个进行调查，求抽取的2个班中至少有1个来自高三年级的概率
（3）已知高二年级的A班和高三年级的B班在所抽取的9个班中，现再从这9个班中按高一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查，求高二年级的A班和高三年级的B班都被抽取的概率．
18．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）记数列{a n}前n项的和为S n，若数列{b n}满足b n=a n log2（S n+2），试求数列{b n}前n项的和T n．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．
（1）求证：AE⊥平面A1BD；
（2）求点B1到平面A1BD的距离．
20．已知方向向量为=（1，）的直线l过点（0，﹣2）和椭圆C：+=1（a＞b
＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点P（﹣8，0）的直线与椭圆相交于不同两点A、B，F为椭圆C的左焦点，求三角形ABF面积的最大值．
21．已知函数f（x）=+tx﹣1．
（Ⅰ）若f（x）在（0，2）上无极值，求t的值；
（Ⅱ）若存在x0∈（0，2），使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最大值，求t的取值范围；（Ⅲ）当t＞0时，若f（x）≤xe x﹣1（e为自然对数的底数）对任意x∈[0，+∞）恒成立，求t的取值范围．
选做题（在22、23、24三题中任选一题作答）【选修4-1：几何证明选讲】
22．选修4﹣1：几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．
（1）求证：CE•EB=EF•EP；
（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r=．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若，直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C 于A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣1，其中a＞1．
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；
（Ⅱ）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤1的解集为，求a的值．
2015年江西省宜春市高安市四校（二中、中学、丰城中学、樟树中学）高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．集合M={1，2}，N={3，4，5}，P={x|x=a+b，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
考点：元素与集合关系的判断．
专题：集合．
分析：根据集合元素之间的关系，分别讨论a，b的取值即可得到结论．
解答：解：∵M={1，2}，N={3，4，5}，a∈M，b∈N
∴a=1或2，b=3或4或5，
当a=1时，x=a+b=4或5或6，
当a=2时，x=a+b=5或6或7，
即P={4，5，6，7}，
故选：B．
点评：本题主要考查集合元素个数的判断，比较基础．
2．已知复数z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，若为纯虚数，则|z1|=（）
A． B． C． 2 D．
考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．
专题：数系的扩充和复数．
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式得答案．
解答：解：∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，
∴，
由为纯虚数，则，解得a=1，
则z1=2+i，
∴|z1|=．
故选：D．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
3．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0，和直线3x+my+9=0垂直”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据直线垂直的条件以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
解答：解：若直线mx+（2m﹣1）y+1=0，和直线3x+my+9=0垂直，则3m+m（2m﹣1）=0，即2m（m+1）=0，
解得m=0或m=﹣1，
则“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0，和直线3x+my+9=0垂直”的充分不必要条件，故选：A
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的条件求出m是解决本题的关键．
4．在边长为1的正方形ABCD内任取一点P，则P到点A和C的距离都小于1的概率为（）
A． B． C． D．
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及动点P到定点A的距离|PA|＜1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．
解答：解：满足条件的正方形ABCD，
其中满足动点P到点A和C的距离都小于1的平面区域如图中阴影所示：
则正方形的面积S正方形=1
阴影部分的面积S阴影=2（）
故动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率P==；
故选D．
点评：本题考查的知识点是几何概型，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解
决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据公式解答．
5．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（）
A． k＜6？ B． k＜7？ C． k＜8？ D． k＜9？
考点：循环结构．
专题：算法和程序框图．
分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．
解答：解：根据程序框图，运行结果如下：
S k
第一次循环 log23 3
第二次循环 log23•log34 4
第三次循环 log23•log34•log45 5
第四次循环 log23•log34•log45•log56 6
第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7
第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8
故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k＜8．
故选：C．
点评：本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．
6．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
考点：正弦函数的对称性．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ω
x+φ=即可得到答案．
解答：解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到
函数；
再将图象向右平移个单位，得函数，根据
对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．
故选A．
点评：本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．
7．直线x+y+=0截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）
A． B． C． D．
考点：直线与圆相交的性质．
专题：计算题；直线与圆．
分析：先解劣弧所对圆心角的一半，就是利用弦心距和半径之比求之．
解答：解：设劣弧所对圆心角的一半为α，则
因为圆到直线的距离为：=1，半径是2，
所以cosα=0.5，∴α=60°，劣弧所对圆心角为120°．
故选C．
点评：直线与圆的关系中，弦心距、半径、弦长的关系，是高考考点，本题是基础题．8．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=y﹣ax取得最小值时的唯
一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，﹣1） B．（0，1） C． [1，+∞） D．（1，+∞）
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目标函数z=y﹣ax 取得最小值时的唯一最优解是（1，3），得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值范围．
解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
平移直线y=ax+z，要使目标函数z=y﹣ax取得最小值时的唯一最优解是（1，3），
即直线y=ax+z经过点A（1，3）时，截距最小，
由图象可知当阴影部分必须在直线y=ax+z的右上方，
此时只要满足直线y=ax+z的斜率a小直线AB的斜率即可，
直线AB方程为x+y﹣4=0，即y=﹣x+4，直线的斜率为﹣1，
∴a＜﹣1．
故a的取值范围是（﹣∞，﹣1）
故选：A．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．根据目标函数在A（1，3）取得最小值，得到直线斜率的关系是解决本题的关键．
9．已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（）
A． 6π B． C． 3π D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：由三视图判断出几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，求出对应的高和底面的边长，根据它的外接球是对应直三棱锥的外接球，由外接球的结构特征，求出它的半径，代入体积公式进行求解．
解答：解：由三视图知该几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，如图所示
直三棱锥的高是，底面的直角边长为，斜边为2，
则直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，
设几何体外接球的半径为R，因底面是等腰直角三角形，则底面外接圆的半径为1，
∴R2=1+=，故外接球的体积是πR3=π，
故选B．
点评：本题考查球的体积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力．
10．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有
相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为（）
A． B． 4 C． D． 9
考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出，由此能求出4e12+e22的最小值．
解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①
由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②
又∵PF1⊥PF2，
∴=4c2，③
①2+②2，得=，④
将④代入③，得，
∴4e12+==+
=
≥=．
故选：C．
点评：本题考查4e12+e22的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．
11．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，
若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）
A． B．
C． D．（﹣3，﹣1）
考点：函数奇偶性的性质．
专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：作出f（x）在y轴右边的图象，从而由题意可得x2+ax+b=0的两根分别为x1=，1＜x2＜或0＜x1≤1，1＜x2＜，再由两根之和，结合不等式的性质，从而求解．
解答：解：作出的图象如右，
又∵函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，
且关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R
有且仅有6个不同实数根，
∴x2+ax+b=0的两根分别为x1=，1＜x2＜或0＜x1≤1，1＜x2＜；
由韦达定理可得，x1+x2=﹣a；
若x1=，1＜x2＜，
则＜﹣a＜3，
即﹣3＜a＜﹣；
若0＜x1≤1，1＜x2＜；
则1＜﹣a＜，
即﹣＜a＜﹣1；
综上可得，﹣3＜a＜﹣或﹣＜a＜﹣1．
故选C．
点评：本题考查了函数的零点与方程的根的联系，属于中档题．
12．设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x ≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）
A． 1 B． C． e D．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；新定义；导数的概念及应用；导数的综合应用．
分析：函数y=H（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为y=g（x）=（2x0+
﹣6）（x﹣x0）+x02﹣6x0+4lnx0．由此能推导出y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．
解答：解：函数y=h（x）在其图象上一点P（x0，h（x0））处的切线方程为：
y=g（x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）+x02﹣6x0+4lnx0，
设m（x）=h（x）﹣g（x）=x2﹣6x+4lnx﹣（2x0+﹣6）（x﹣x0）﹣x02+6x0﹣4lnx0，
则m（x0）=0．
m′（x）=2x+﹣6﹣（2x0+﹣6）=2（x﹣x0）（1﹣）=（x﹣x0）（x﹣）
若x0＜，m（x）在（x0，）上单调递减，
∴当x∈（x0，）时，m（x）＜m（x0）=0，此时＜0；
若x0，φ（x）在（，x0）上单调递减，
∴当x∈（，x0）时，m（x）＞m（x0）=0，此时＜0；
∴y=h（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”．
若x0=，（x﹣）2＞0，
∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x0时，m（x）＞m（x0）=0，
当x＜x0时，m（x）＜m（x0）=0，故＞0．
即此时点P是y=f（x）的“类对称点”
综上，y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．
故选B．
点评：本题考查函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，此题是难题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在△ABC中，若（a2+c2﹣b2）•tanB=•ac，则角B= 60°或120°．
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：已知等式变形后，利用余弦定理化简，再利用同角三角函数间基本关系求出sinB 的值，即可确定出B度数．
解答：解：由余弦定理得：cosB=，即a2+c2﹣b2=2accosB，
代入已知等式得：2accosB•tanB=•ac，即sinB=，
∵B为三角形内角，
∴B=60°或120°，
故答案为：60°或120°
点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
14．已知是单位向量，．若向量满足|的取值范围是[2﹣，2+] ．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由是单位向量，．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．由向量满足||=2可得（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．其圆心C（1，1），半径r=2．利用|OC|﹣r≤||=≤|OC|+r即可得出．
解答：解：由是单位向量，．
设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．
因为向量满足||=2可得（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．其圆心C（1，1），半径r=2．
因为|OC|﹣r≤||=≤|OC|+r
∴|OC|=．
∴2﹣≤||=≤2+．
∴||的取值范围是[2﹣，2+]．
故答案为：[2﹣，2+]
点评：本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
15．数列{a n}中相邻两项a n与a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根，已知a10=﹣13，则b21等于992 ．
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由于a n与a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根，可得a n+a n+1=﹣3n，a n•a n+1=b n．由a n+a n+1=﹣3n，a n+1+a n+2=﹣3（n+1），可得a n+2﹣a n=﹣3，可得n为奇数、偶数时分别成等差数列，由a10=﹣13，可得a22，进而得到a21．
解答：解：∵a n与a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根，
∴a n+a n+1=﹣3n，a n•a n+1=b n．
由a n+a n+1=﹣3n，a n+1+a n+2=﹣3（n+1），
∴a n+2﹣a n=﹣3，
可得n为奇数、偶数时分别成等差数列，
由a10=﹣13，
∴a22=﹣13+6×（﹣3）=﹣31，
∴a21=﹣3×21﹣（﹣31）=﹣32，
∴b21=a21•a22=﹣31×（﹣32）=992．
故答案为：992．
点评：本题考查了等差数列的通项公式、一元二次方程的根与系数的关系、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．已知函数f（x）是定义在[﹣4，+∞）上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式f
（cosx﹣b2）≥f（sin2x﹣b﹣3）恒成立，则实数b的取值范围是．
考点：函数单调性的性质．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：根据函数f（x）是定义在[﹣4，+∞）上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式f（cosx﹣b2）≥f（sin2x﹣b﹣3）恒成立，可得cosx﹣b2≥sin2x﹣b﹣3≥﹣4，即cosx﹣sin2x≥b2﹣b﹣3且sin2x≥b﹣1，从而可求实数b的取值范围．
解答：解：∵函数f（x）是定义在[﹣4，+∞）上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式f（cosx﹣b2）≥f（sin2x﹣b﹣3）恒成立，
∴cosx﹣b2≥sin2x﹣b﹣3≥﹣4，
∴cosx﹣sin2x≥b2﹣b﹣3且sin2x≥b﹣1，
∵cosx﹣sin2x=（cosx+）2﹣∈[﹣，1]，sin2x∈[0，1]，
∴b2﹣b﹣3≤﹣且b﹣1≤0，
∴实数b的取值范围是．
故答案为：．
点评：本题考查函数单调性的性质，考查解不等式，转化为cosx﹣b2≥sin2x﹣b﹣3≥﹣4是关键．
三、解答题：本大题共六个大题，满分60分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知某学校高一、高二、高三年级分别有16、12、8个班．现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级中抽取9个班进行调查，
（1）求从高一、高二、高三年级分别抽取的班级个数；
（2）若从抽取的高二、高三年级各个班中再随机抽取2个进行调查，求抽取的2个班中至少有1个来自高三年级的概率
（3）已知高二年级的A班和高三年级的B班在所抽取的9个班中，现再从这9个班中按高一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查，求高二年级的A班和高三年级的B班都被抽取的概率．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：（1）由题意知总体个数是16+12+8，要抽取的个数是9，做出每个个体被抽到的概率，分别用三个年级的数目乘以概率，得到每一个年级要抽取的班数．
（2）从高二年级的3个班，高三年级的2个班，不妨分别记为 1，2，3，4，5，5个班中随机抽取2个班的基本事件为10个，找到满足条件的基本事件有7个，根据概率公式计算即可
（3）从这9个班中按高一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查共有4×3×2=24种，其中高二年级的A班和高三年级的B班都被抽取的有4×1×1=4种，根据概率公式计算即可解答：解：（1）由题意知总体个数是16+12+8，要抽取的个数是9，
×9=4，×9=3，×9=2，
故应从高一年级抽取4个班；高二年级抽取3个班，高三年级抽取2个班
（2）由（1）知，从高二年级的3个班，高三年级的2个班，不妨分别记为 1，2，3，4，5 5个班中随机抽取2个班的基本事件为，（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10个，
设“抽取的2个班中至少有1个来自高三年级”为事件A，
则事件A包括（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共7个，
故P（A）=
（3）从这9个班中按高一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查共有4×3×2=24种，其中高二年级的A班和高三年级的B班都被抽取的有4×1×1=4种，
故高二年级的A班和高三年级的B班都被抽取的概率为
点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，以及古典概率的问题，属于基础题．
18．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）记数列{a n}前n项的和为S n，若数列{b n}满足b n=a n log2（S n+2），试求数列{b n}前n项的和T n．
考点：数列的求和；等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由，利用等比数列的前n项和公式可得S n=2n+1﹣2，可得b n=a n log2（S n+2）=（n+1）
•2n，再利用“错位相减法”与等比数列的前n选和公式即可得出．
解答：解：（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
∵a3+2是a2，a4的等差中项，
∴2（a3+2）=a2+a4，
代入a2+a3+a4=28，得a3=8，
∴，
解之得a1=2，q=2或，
又{an}单调递增，∴a1=2，q=2，
∴
（2）由，
∴，
∴，
∴．
∴，
，
∴
=2+（21+22+…+2n）﹣（n+1）•2n+1
=
∴．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．
（1）求证：AE⊥平面A1BD；
（2）求点B1到平面A1BD的距离．
考点：直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．
专题：证明题；空间位置关系与距离．
分析：（1）以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，确定向量坐标，利用数量积为0，即可证得结论；
（2）=（0，2，0），平面A1BD的法向量取=（2，1，0），利用距离公式可求点B1到
平面A1BD的距离．
解答：（1）证明：以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），C（﹣1，0，0），E（﹣1，﹣1，0），A1（1，﹣2，0），C1（﹣1，﹣2，0），B（0，0，），
∴=（﹣2，﹣1，0），=（﹣1，2，0），=（0，0，﹣），
∴•=0，•=0，
∴⊥，⊥，
又A1D与BD相交，
∴AE⊥面A1BD．
（2）=（0，2，0），
设面DA1B的法向量为=（x1，y1，z1），则，不妨取=（2，1，0），
则B1到平面A1BD的距离为d=||=．
点评：本题考查向量知识的运用，考查线面垂直，考查面面角，考查点到面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．已知方向向量为=（1，）的直线l过点（0，﹣2）和椭圆C：+=1（a＞b ＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点P（﹣8，0）的直线与椭圆相交于不同两点A、B，F为椭圆C的左焦点，求三角形ABF面积的最大值．
考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）由直线的方向向量可得斜率为，求得直线l的方程，椭圆的焦点为直线l 与x轴的交点，求得右焦点，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设AB方程为x=my﹣8，代入椭圆方程，消去x，运用判别式大于0和韦达定理，由S
=S△PBF﹣S△APF=|PF|•|y2﹣y1|，化简整理，结合基本不等式，即可得到最大值．
△ABF
解答：解：（1）∵直线l的方向向量为=（1，），
∴直线l的斜率为k=，又∵直线l过点（0，﹣2），
∴直线l的方程为y=x﹣2，
∵a＞b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，
∴椭圆的右焦点为（2，0），
∴c=2，又∵，
∴a=4，∴b2=12
∴椭圆方程为；
（2）设AB方程为x=my﹣8，代入椭圆方程，
整理得（3m2+4）y2﹣48my+144=0，
△=（48m）2﹣4×144（3m2+4）＞0，y1+y2=，y1y2=，
则S△ABF=S△PBF﹣S△APF=|PF|•|y2﹣y1|=×6
===≤=3，
当且仅当3=即m2=（此时适合△＞0的条件）取得等号．
则三角形ABF面积的最大值是3．
点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的运用，同时考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，以及三角形面积的求法，由基本不等式求得最大值是解题的关键．
21．已知函数f（x）=+tx﹣1．
（Ⅰ）若f（x）在（0，2）上无极值，求t的值；
（Ⅱ）若存在x0∈（0，2），使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最大值，求t的取值范围；（Ⅲ）当t＞0时，若f（x）≤xe x﹣1（e为自然对数的底数）对任意x∈[0，+∞）恒成立，求t的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；分类讨论；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求导f′（x）=x2﹣（t+1）x+t=（x﹣t）（x﹣1），从而由f（x）在（0，2）上无极值可得t=1；
（Ⅱ）由f′（x）=（x﹣t）（x﹣1）知，分t≤0，0＜t＜1，t=1，1＜t＜2与t≥2五种情况讨论函数的单调性，从而确定函数的最大值点，从而求t．
（Ⅲ）当t＞0时，f（x）≤xe x﹣1对任意x∈[0，+∞）恒成立可化为
对任意x∈[0，+∞）恒成立，令
，从而由导数确定函数的单调性，从而转化为最值问题．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=+tx﹣1，
∴f′（x）=x2﹣（t+1）x+t=（x﹣t）（x﹣1），
又∵f（x）在（0，2）无极值，
∴t=1；
（Ⅱ）（1）当t≤0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，2）单调递增，不合题意；（2）当0＜t＜1时，f（x）在（0，t）单调递增，在（t，1）单调递减，在（1，2）单调递增，
∴f（t）≥f（2），
由f（t）≥f（2）得，﹣t3+3t2≥4在0＜t＜1时无解；
（3）当t=1时，不合题意；
（4）当1＜t＜2时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，t）单调递减，在（t，2）单调递增，
∴即；
∴≤t＜2；
（5）当t≥2时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，2）单调递减，满足条件；
综上所述：时，存在x0∈（0，2），使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最
大值．
（Ⅲ）当t＞0时，若f（x）≤xe x﹣1对任意x∈[0，+∞）恒成立，
即对任意x∈[0，+∞）恒成立，
令，
，
，
g′（x）在x∈[0，+∞）上是递增函数，
，
g（x）在x∈[0，+∞）上递增，
g（x）≥g（0）=1﹣t≥0，
即t≤1；
故t的取值范围为0＜t≤1．
点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想应用，应用到了二阶求导，同时考查了恒成立问题，属于难题．
选做题（在22、23、24三题中任选一题作答）【选修4-1：几何证明选讲】
22．选修4﹣1：几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．
（1）求证：CE•EB=EF•EP；
（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：选作题．
分析：（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行线的性质可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA．于是得到EA•ED=EF•EP．利用相交弦定理可得EA•ED=CE•EB，进而证明结论；
（II）利用（I）的结论可得BP=，再利用切割线定理可得PA2=PB•PC，即可得出PA．
解答：（I）证明：∵DE2=EF•EC，∠DEF公用，
∴△DEF∽△CED，
∴∠EDF=∠C．
又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，
∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA
∴△EDF∽△EPA．
∴，∴EA•ED=EF•EP．
又∵EA•ED=CE•EB，
∴CE•EB=EF•EP；
（II）∵DE2=EF•EC，DE=3，EF=2．
∴32=2EC，∴．
∵CE：BE=3：2，∴BE=3．
由（I）可知：CE•EB=EF•EP，∴，解得EP=，
∴BP=EP﹣EB=．
∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB•PC，
∴，解得．
点评：熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、平行线的性质、对顶角的性质、相交弦定理、切割线定理是解题的关键．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r=．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若，直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C 于A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围．
考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（I）先得出圆的直角坐标方程，再利用化为极坐标方程．
（Ⅱ）将，代入C的直角坐标方程可得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣6=0，则△＞0，设A，B对应参数分别为t1，t2，利用根与系数的关系可得
，即可得出．
解答：解：（Ⅰ）由得，C直角坐标（2，2），
∴圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，
由得，圆C的直角坐标方程为ρ=4cosθ+4sinθ．
（Ⅱ）将，代入C的直角坐标方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，
得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣6=0，则△＞0，
设A，B对应参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2（cosα﹣sinα），t1t2=﹣6，
∴，
∵，∴sin2α∈[0，1]
∴|AB|的取值范围为．
点评：本题考查了圆的直角坐标方程化为极坐标方程、直线的参数方程的应用、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣1，其中a＞1．
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；
（Ⅱ）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤1的解集为，求a的值．
考点：绝对值不等式的解法．
专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥5，运用零点分区间，求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥5的解集即可；。