人教版八年级数学上册三角形中的数学思想

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八年级数学几何图形第02讲三角形中的数学思想方法与热点题型(学生版)

第02讲三角形中的数学思想与热点题型（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一方程思想典例1在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠A的3倍与∠B的2倍相等，∠B的5倍与∠C的6倍相等，求∠A：∠B：∠C：∠D．典例2（江阴市期中）如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC＝132°，∠BGC ＝118°，则∠A的度数为（）A．65°B．66°C．70°D．78°针对训练11．（2018秋•安庆期末）已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为（）本*号资料皆来源于微信公众号：数学第六感A．85°B．95°C．100°D．110°3．（2020春•江都区期中）如图，△ABC的面积为18，BD＝2DC，AE＝EC，那么阴影部分的面积是．4．（2021•柳南区校级模拟）一个正多边形的一个内角比它的外角的2倍多60°，则它的边数是．2．（2021春•锡山区期中）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠DCE ＝10°，∠B＝60°，求∠A的度数．类型二分类讨论思想典例3（永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）* 本号@资料皆*来源于微信公众号：数学第六感①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．典例4（平泉市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝；当∠BAD＝∠BDA时，x＝．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．针对训练25．（2017春•景德镇期中）已知一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为6cm，那么这个等腰三角形的周长为（）A．14cm B．16cm C．14cm或16cm D．以上都不对6．将长为24的木棒截成互不相等的且长都为整数的三段，使这三段能构成一个三角形的三条边，则不同的截法有种．。

第十一章三角形-2022-2023学年八年级数学上册单元复习(人教版)

2
归纳三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分.
针对训练
3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ C ）
4.如图所示，请按照要求填空.
(1) 若AD⊥BC，垂足为点D，
则(∠ADB )=(∠ADC )=90°； B
A
C
D F E
(2) 若点E是边BC的中点，则( BE )=( CE )，
∵∠1=∠2=60°，
∴∠EDA=∠DAB=60°，∴AB∥DE.
∵∠C=120°，∠2=60°，
∴∠2+∠C=180°，∴AD∥BC.
针对训练
8.一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数
是（ C ）
A.4
B.5
C.6
D.7
解：设这个多边形的边数为n，则(n-2)×180°= 720°，
解得n=6.
长分别为6,4，符合三边关系.
综上所述，另两边长为5,5或6,4.
【变式题】已知等腰三角形的一边长为4，另一
边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ( C )
A.16
B.20或16
C.20
D.12
归纳等腰三角形的腰、底边不明确时，要分情况讨
论，还要注意三边能否构成三角形.
针对训练
2.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的
且线段AE为( △ABC的中线 )；
(3) 若AF是△ABC的角平分线，则(∠BAF )= (∠CAF).
考点三有关三角形内、外角的计算
例5 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三个内角，且分别满足
下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.
(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；

人教版八年级上册数学等腰三角形数学思想与求角

人教版八年级上册数学等腰三角形数学思想与求角1. 如图，△ABC和△DEC均为等边三角形，∠ADB＝80°，（1）求证：△DAC≌△EBC；（2）求∠DBE的度数．2. 如图，OA＝OB＝OC，∠AOB＝20°，∠BOC＝2∠BAC，求∠ACB的度数．3. 如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠FDE的两边分别交直线AC、BC于F、E，若AF＝AD，BD＝BE，∠FDE ＝30°，求∠ACB的度数．4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，M为△ABC内一点，且AB＝BM＝CM，求∠CAM的度数．5. 如图，在等腰Rt△ACD中，AC＝DC，点E在AC上，且BE＝ED，∠BED＝90°，求∠CDE+∠EBA的度数．6．如图，O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠D＝50°，∠OAD+∠OCD＝2∠ABC，求∠AOC的度数．7．如图，∠A＝∠D，AB＝AC，∠DBC+∠DCA＝70°，求∠A的度数．8．如图，△ADC与△DEB均为等腰三角形，AC＝CD，ED＝EB，点E在CA延长线上，∠DEB＝∠C，连接AB，若∠CDE＝∠ABE＝75°，求∠C的度数．9．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝40°，若∠DCE＝130°，求∠BDC的度数．10．如图，∠ACD＝∠BED＝40°，AC＝DC，BE＝DE，点E在AC上，求∠CDE+∠EBA的度数．11．如图，在等腰△ABC中，AB＝CB，M为△ABC内一点，∠MAC+∠MCB＝∠MCA＝30°．（1）求证：△ABM为等腰三角形；（2）求∠BMC的度数．12.如图，AB＝AC，D为BC上一点，BD＝AB，E为AD延长线上一点，DC＝CE，AE＝AC．（1）求∠A BC的度数；（2）求证：AB＝DE+EC．13.如图，在△A BC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．14.如图，∠MAN＝16°，点A1在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1＝AA1，再在AM上取一点A2使A3A2＝A2A1，…，如此一直做下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（）A．A5B．A6 C．A7D．A815.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点E，交AB于点D，CD＝DB，点F在CD上，EF＝EC．（1）求证：△AEC≌△BEF；（2）若∠DFB＝3∠DBF，求∠DEB的度数．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝AE，求∠EDC的度数．17．如图，一钢架中，∠A＝15°，焊上等长的钢条来加温钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…，则这样的钢条最多能焊上（）A．4条B．5条C．6条D．7条18．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，点E在AB上，BD＝BC＝BE，AE＝ED，求∠C的度数．19．如图，在△ABD与△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE．（1）求证：CD＝BE；（2）若∠ABE＝15°，DC与AB，BE分别交于点F，点O，DF＝DB，求∠BOD的度数．20．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝BP，∠PBC＝30°，BD＝CP．（1）求∠PAC的度数；（2）试探究线段PC和线段PD之间的关系．21．如图，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，CM⊥CD，点M在AB的垂直平分线上，AM交BC于点O，MG⊥AC于点G．（1）求证：∠BCM＝∠GCM；（2）若CG＝2，求BC－AG的长；（3）若点D在BC的垂直平分线上，求∠AMB的度数．22.等腰三角形的一腰上的高与另一腰上的夹角为45°，求这个三角形的底角的度数．23. 如图，在啊平面直角坐标系中，已知A（3，3）,B（0，5）．点C为坐标轴上一点，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．3个 B．4个 C ．5个 D．7个24.定义：如果两条线段一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，求∠C的度数．25.（1）等腰△ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数；（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰△ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．26.如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，BC交DE于点O，设∠BAD＝α（1）求证：∠BOD＝α；（2）求证：OA平分∠BOE；（3）如图2，设AC与DE交于点F，若△AOF是等腰三角形，∠C＝30°，直接写出∠α的度数是．基础训练1．等腰三角形有一个角为50°，其底角为．2．等腰三角形有一个角为100°，其底角为．3．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线所夹的锐角为50°，则∠B的度数是．4．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则底角的度数为（）A．60° B．120° C．60°或120° D．60°或30°5．如图，已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合）．连接AC交射线OE于点D，当AB⊥OM，且△ABD为等腰三角形时，∠OAC的度数为．6．如图，在Rt△ABC中，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4 B．5 C．6 D．7第6题图第7题图7．如图，直线a，b相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．已知E是等边△ABC内一点，∠AEB＝100°，∠BEC＝α，以EC为边作等边△CEF，连接AF，当△AEF为等腰三角形时，试求α的度数．9．一个三角形可被剖为两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36°，求原三角形最大内角的所有可能值．。

三角形中的数学思想

教师寄语春来春去，燕离燕归，枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华，白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。

三角形中的数学思想学习数学知识,掌握蕴含在其中的数学思想方法是重中之重，现举例说明本部分知识中的数学思想，以期对同学们有所帮助.一、方程思想例1 如图1，在△ABC 中，∠B=70°，∠BAC ：∠BCA=3：2，CD ⊥AD 于D ，且∠ACD=35°，求∠BAE 的度数.分析：因∠BAE 不是三角形的内角，但∠BAD 与其互为补角，为此欲求出∠BAE ，可先求出∠BAD ，即先求出∠BAC 和∠CAD ，∠BAC 是△BAC 的内角，且∠B=70°，∠BAC ：∠BCA=3：2，根据三角形的内角和为180°，可求出∠BAC ，而∠CAD 是△ACD 的内角，根据CD ⊥AD ，∠ACD=35°，由直角三角形的两个锐角互余可求∠CAD ，则问题可解.解：在△ABC 中，因为∠B=70°，∠BAC ：∠BCA=3：2所以可设∠BAC=3x°，则∠BCA=2x°因为∠B+∠BAC+∠BCA=180°所以70+3x+2x=180所以x=22所以∠BAC=3×22°=66°又因为CD ⊥AD ，A DC BE 图１所以∠D=90°所以∠CAD+∠ACD=90°所以∠CAD=90°-∠ACD=90°-35°=55°因为∠DAE是平角所以∠BAE=180°-∠BAC-∠CAD=180°-66°-55°=59°评注：运用代数列方程的方法解决几何问题，是解几何题的基本方法之一，要学会并熟练运用这一方法.二、分类讨论思想例2有四条线段，分别是x-3，x，x+1，x+2（x＞3），则以其中的三条为边，能不能组成三角形？分析：四条线段由三条组成一组，共有四种情况，可一一列出再用三角形三边关系判断.解：可组合的情况为：①x-3，x，x+1；②x-3，x，x+2；③x-3，x+1，x+2；④x，x+1，x+2①中x-3+x=2x-3与x+1相比较，已知x＞3，则①不一定能构成三角形，因为2x-3有可能等于x+1，如x=4．②中x-3+x=2x-3与x+2相比较，因为当x=5时，2x-3=x+2=7，则也可能组不成三角形.③中x-3+x+1=2x-2与x+2相比较，不保证2x-2＞x+2，则不一定构成三角形.④中x+x+1=2x+1与x+2相比较，因为x＞3，所以x+x+1-（x+2）＞0，则可以组成三角形.评注：由于x为大于3的数，则可先将各数排序后再讨论，分类讨论思想能提高同学们解题思路的严谨性.。

2022八年级数学上册第十一章三角形方法专题思想方法在求角度或边长中的运用习题课件新人教版

类型四运用转化思想求角度 7.“转化”是数学中的一种重要思想，可以把不规则图形的角度和问题转化为规则图形的角度和问题. (1)如图1，请你根据已经学过的知识求出下面星形中∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E的度数； (2)如图2，若将星形截去一个角，请你求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋ ∠F的度数.
∵∠BGO＝∠BAG＋∠ABG，
∴∠BGO－∠ACF＝∠BAG＋∠ABG－∠ACF＝2∠BAC＋∠ABG－∠BAC＝ 1
∠ABG＋∠BAC＝90°－2n°.
类型二运用方程思想求角度或边长 3.三角形的三边长是三个连续的奇数，且三角形的周长小于18，求三角形的三边长. 解：依题意，设三角形的三边长为x－2，x，x＋2， ∴x－2＋x＋x＋2＜18，x－2＋x＞x＋2，即4＜x＜6. ∵x为整数， ∴x＝5， ∴三边长为3，5，7.
解：∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD.设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，分为两种情况： ①AC＋CD＝60，AB＋BD＝40，则4x＋x＝60，x＋y＝40，解得x＝12，y＝28，即AC＝4x＝48，AB＝28； ②AC＋CD＝40，AB＋BD＝60，则4x＋x＝40，x＋y＝60，解得x＝8，y＝52，即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此时不符合三角形三边关系定理．综上所述，AC＝48，AB＝28.
解：(1)∵∠1＝∠2＋∠D＝∠B＋∠E＋∠D，∠1＋∠A＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＋ ∠C＋∠D＋∠E＝180°.(2)∵∠1＝∠2＋∠F＝∠B＋∠E＋∠F，∠1＋∠A＋∠C＋∠D ＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
类型五运用多种思想方法求边长 8.在△ABC中，AC＝2BC，边BC上的中线AD把△ABC的周长分成60和40 两部分，求AC和AB的长.

三角形问题中的数学思想方法

三角形问题中的数学思想方法数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用.一、分类讨论思想由于题目的约束较弱(条件趋一般)或图形位置的变化常常使同一问题具有多种形态，因而有必要考查全面(所有不同情况)才能把握问题的实质.此种情况下应当进行适当分类，就每种情形研究讨论结论的正确性.例1 在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm 和6cm 两部分，求三角形各边的长.分析:要注意等腰三角形有两边相等，一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为15cm ，哪一段为6cm ，故需分类讨论.解:设腰长为xcm ，底边为ycm ，即AB=x ，则AD=CD=21x ，BC=y ⑴ 若x+21x=6时，则y+21x=15. 由x+21x=6得x=4.把x=4代入y+21x=15得y=13. 因为4+4<13，所以不能构成三角形. ⑵ 若x+21x=15时，则y+21x=6. 由x+21x=15得x=10.把x=10代入y+21x=15得y=1. 10+1>10符合题意，所以三角形三边分别为10cm 、10cm 、1cm.例2 已知非直角三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 和CE 所在直线交于H ，求∠BHC 的度数.分析:三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分两种情况加以讨论.解:⑴当△ABC 为锐角三角形时(图2)∵BD 、CE 是△ABC 的高， ∠A=45°， ∴∠ADB=∠BEH=90°. 在△ABD 中， ∠ABD=180°－90°－45°=45°.图1图2ABC D H E∵∠BHC 是△BHE 的外角， ∴∠BHC=90°+45°=135°. ⑵当△ABC 为钝角三角形时(图3)∵H 是△ABC 两条高所在直线的交点 ∠A=45°， ∴∠ABD=180°－90°－45°=45°.在Rt △BEH 中， ∠BHC=180°－90°－45°=45°. ∴∠BHC 的度数是135°或45°.注意：涉及三角形高的问题，常常会因为高的位置而需要讨论，否则就会漏解. 二、整体思想研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将待解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构做整体处理后，达到解决问题的目的.例3 如图4，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数.分析:观察图形可得，图由一个四边形和一个三角形构成，可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和.解:因为∠A +∠C+∠E=180°，又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.剖析:例题中若直接求出每一角的度数再求其和显然是做不到的.因此，设法整体求值是解题的关键.事实上，有些数学问题，如果从局部去考虑，拘泥于常规，则举步维艰.如果从全局着手，突破常规，则会柳暗花明.三、方程思想求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数继之建立方程.用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想.例4 如图5，在△ABC 中，∠B =∠C ，∠1=∠2，∠BAD=40°.求∠EDC. 分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于∠EDC 的方程. 解:设∠EDC=x.因为∠1是△DEC 的外角，所以∠1=x+∠C. 又因为∠1=∠2，所以∠2=x+∠C.又因为∠2是△ABD 的外角，所以∠ADC=∠B+∠BAD. 所以∠B+∠BAD =∠2+x ，即∠B+40°=∠C+2x. 因为∠B =∠C ，所以2x=40°，解得x=20°.A BDHCE图3图5AEGFB CD图4剖析:方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上，用设未知数的方法表示所求，可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系.四、转化思想用简单、已学过的知识解决复杂、未知的知识，把复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题来解.这种解题思想叫转化思想.例5 如图6，求五角星各顶角之和.分析:因为∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E 较分散，本例中又不知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形来处理.根据三角形外角性质和内角和定理可以求解．解:因为∠1=∠C+∠E ，∠2=∠B+∠D ，又因为∠1+∠2+∠A=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.点拨:此题还可以连接CD 求解.当我们求多个角之和不能直接计算时，应考虑转化为三角形求解.五、数形结合思想例6 如图7，在△ABC 中，已知AD 是角平分线， ∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB 和∠ADC 的度数.分析:在△ABD 中，∠ADB 是一个内角，它等于180°－∠B －∠BAD ，故求出∠BAD 即可求出∠ADB 的度数，这由已知条件不难求得;同理可求出∠ADC 的度数.解:在△ABC 中，∵∠B=60°， ∠C=45°， ∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°－∠B －∠C=180°－60°－45°=75°. 又∵AD 是角平分线， ∴∠BAD=∠DAC=21∠BAC=37.5°. 在△ABD 中，∠ADB=180°－∠B －∠BAD=180°－60°－37.5°=82.5°. 同理∠ADC=180°－∠C －∠DAC=180°－45°－37.5°=97.5°.点拨:几何与代数是患难兄弟，密不可分.在求解几何题中，通常数与形要结合起来才能打开思路，进行运算.否则，一头舞水，扑朔迷离，茫然不知所措.图6A D 图7数学思想方法在三角形中的应用一、方程思想方法：例1、已知：等腰三角形的周长是24cm ，腰长是底边长的2倍，求腰长.分析：根据等腰三角形的周长=腰长+腰长+底边长和腰长是底边长的2倍，可设一腰长的长为xcm ，可列方程为x +2x +2x =24，解之即可.解：(1)设底边长x cm ，则腰长为2x cm x +2x +2x =24 x =4.8∴腰长=2x =2×4.8=9.6 (cm)点拨：用设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题用代数方法解和方程思想.二、分类讨论的思想方法：例2、已知斜三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 和CE 所在直线交于H ，求∠BHC 的度数.分析：三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同，斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形，故应分两种情况讨论.图1ACD解：∵△ABC 为斜三角形，∴△ABC 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，（1）当△ABC 为锐角三角形时（如图1）， ∵BD 、CE 是△ABC 的高，∠A=45°， ∴∠ADB=∠BEH=90°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.（2）当△ABC为钝角三角形时（如图2），H为△ABC的两条高所在直线的交点，∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，在Rt△EBH中，∠BHC= 90°-∠ABD=90°-45°=45°.综上所述，∠BHC的度数是135°或45°.点拨：当问题出现的结果不唯一时，我们就需要分不同的情况来解决，这就是分类的思想.此类问题的出现，往往会被同学们忽视，或考虑不全面，希望大家在平时就要养成分类解析的习惯.本题易犯的错误是只考虑锐角三角形的情况，而造成解答不全面的错误.三、转化的数学思想方法：例3、如图3，已知五角星形的顶点分别为A、B、C、D、E，请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.分析：直接求这五个角的度数和显然比较难，又考虑到此图中提供的角应与三角形有关，我们应该想办法将这几个角转化成三角形的内角，然后利用三角形的内角和定理求解.解法一：∵∠1是△CEM的外角，∴∠1=∠C+∠E，∵∠2是△BDN的外角，∴∠1=∠B+∠D.在△AMN中，由三角形内角和定理，得∠A+∠1+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.解法二：如图4，连结CD，在△BOE和△COD中，∠5=∠6，∵∠3+∠4+∠6=∠B+∠E+∠5=180°，∴∠3+∠4=∠B+∠E.在△ACD中，∠A+∠ACE+∠ADC=180°，∴∠A+∠ACE+∠ADC+∠3+∠4+∠ADB=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.点拨：在遇到不熟悉的数学问题时，要善于研究分析该问题的结构，通过“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法将之转化为熟悉问题来解决.这种将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决，这就是转化的思想.在运用三角形知识解决有关问题时，通过添加辅助线将一般图形转化为三角形来解决是常用解答方法之一.。

人教版八年级数学上册第12章全等三角形教材分析文字讲稿

《全等三角形》教材分析一、学习本章的原因（一）在研究几何图形的过程中起到了承上启下的作用全等三角形，是初中数学“空间与图形”领域当中的第四部分，前面分别为图形认识初步、相交线和平行线、三角形，在全等三角形后，将继续学习轴对称，勾股定理、四边形等知识。

可以说，全等三角形的知识是承前启后的。

（二）在研究“三角形”这个模块的过程中功不可没我们知道，“相等”是数学中的基本关系。

定义相等关系的目的在于说明在所讨论的事物中什么是自己最关心的，两个三角形全等就是它们能够完全重合，这表明，对于三角形，我们只关心形状和大小，而它的位置则不是我们感兴趣的，由此还可以得到“确定一个三角形所需的条件”，给出三角形稳定性的理论解释。

同时这也是“尺规作图”的理论基础。

（三）学生在解题技能上又多了一个“重量级的武器”二、本章的内容和蕴含的思想中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，本章以三角形为例研究全等。

对全等三角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础。

本章还借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几何命题的一般过程。

三、学习本章的方法（一）课时安排学习概念和性质第一节全等三角形1课时全等三角形掌握判定方法第二节三角形全等的判定 6课时利用全等三角形证明第三节角平分线的性质 2课时复习与小结共2课时.（二）本章的重点和难点：【重点】 (1)三角形全等的性质和判定以及角平分线的性质.(2)使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；【难点】 (1)掌握用综合法证明的格式；(2)选用合适的判定证明两个三角形全等；(3)初步理解图形的全等变换，从而恰当添加辅助线.（三）学习目标判定性质1．用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学学生在前面的几何学习中研究了相交线与平行线、三角形等几何图形，对于研究几何图形的基本问题、思路和方法形成了一定的认识，本章在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的思想方法，用几何思想贯穿全章的教学。

人教版八年级上册数学第十一章三角形教材分析课件(43张)

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18
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
例．等腰三角形一腰上的中点与这边所对的顶点的连线把该等腰三角形的周长分为13.5 和10.5两部分，求这个等腰三角形个边的长。(9,9,7)(7,7,10) 易错易混：分类讨论、三边关系检验、方程思想教学建议：
变式训练：已知：在△ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC
五、重点、难点及四基：
• 5．基本的数学思想：
• 类比的思想（如多边形的有关概念可类比三角形的有关概念给出）；
• 方程的思想（计算三角形的边、角时常用）；
• 转化的思想（如多边形的内角和转化为三角形的内角和，三角形的内角和转化为平角或同旁内角）；
五、重点、难点及四基：
• 数形结合的思想（以数定形，以形驭数）；
五、重点、难点及四基：
• 1．重点：画任意三角形的高、中线、角平分线，三角形三边关系，三角形的内角和定理及推论，多边形的内角和与外角和公式． • 2．难点：画钝角三角形的高，三角形三边关系的应用，三角形的内角和定理及推论的应用．
五、重点、难点及四基：
• 3．基础知识：与三角形有关的线段，有关的角，多边形的有关概念，多边形的内角和与外角和公式． • 4．基本技能：会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形，会画出任意三角形的高、中线、角平分线．会证明三角形内角和定理及推论，能灵活运用三角形的边与角知识进行线段、角度的计算。
三边关系定理
内角外角
内角和定理
六、教学建议：
3．加强推理能力的培养．
在本章中加强推理能力的培养，一方面可以提高学生已有的水平，另一方面又可以为握好教学要求．
(1)与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到了解（认识）的程度就可以了，进一步的要求可通过后续学习达到．如三角形的角平分线交于一点为内心，三条中线交于一点为重心，高线所在直线交于一点为垂心．遇到就直接肯定这个结论，证明留以后．程度好的学生可以让他们动手量一量，寻找它们的特性，以获得感性认识，做到提前渗透。三条重要线段，要达到会画、会用（遇到知道往哪儿想）。

人教版八年级数学上册教材分析

人教版八年级数学上册教材分析一、教材整体结构人教版八年级数学上册教材在整体结构上，按照课程标准的要求，遵循数学知识内在的逻辑顺序，全面涵盖了各章节的内容，构建了清晰的知识体系。

教材的编排注重知识的连贯性和系统性，旨在帮助学生逐步加深对数学概念和方法的理解。

二、知识体系与知识点本册教材涉及的知识点主要包括实数、一次函数与反比例函数、三角形以及全等三角形等。

这些知识点是初中数学的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力具有重要意义。

教材通过这些知识点的讲解和练习，使学生能够掌握数学的基本概念、性质和定理，提高数学素养。

三、数学思想方法本册教材注重数学思想方法的渗透，通过具体问题的解决，引导学生理解数学的本质。

例如，通过探究三角形全等的条件，培养学生的推理能力和演绎思维；通过函数的学习，培养学生的数形结合思想和模型思维。

这些数学思想方法的掌握，有助于学生更好地理解和应用数学知识。

四、教学内容组织本册教材在教学内容的组织上，遵循由浅入深、由易到难的原则。

在讲解每个知识点时，教材都提供了丰富的实例和图形，帮助学生更好地理解。

此外，教材还设置了一些探究活动和思考题，引导学生主动思考和探索，培养其解决问题的能力。

五、练习与习题设计本册教材的练习与习题设计得较为丰富，覆盖了各个知识点，题型多样。

这些练习题旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

同时，教材还设计了一些具有一定难度的习题，旨在激发学生的挑战精神，培养其创新能力。

六、学习评价建议为了更好地评价学生的学习情况，本册教材在各章节末尾都提供了学习评价建议。

这些建议包括知识掌握、技能应用、学习态度等方面。

教师可以通过这些评价建议了解学生的学习状况，以便调整教学策略。

同时，学生也可以根据评价建议进行自我反思和改进。

七、教师用书特点本册教材的教师用书提供了丰富的教学资源，包括课程讲解、例题解析、习题答案等。

此外，教师用书还针对教学中的重点和难点进行了详细的分析和讲解，为教师提供了有力的教学支持。

人教版初中数学《第十一章三角形》单元教材教学分析

人教版初中数学《第十一章三角形》单元教材教学分析
学段及学科
初中数学
教材版本
人教版
单元名称
《第十一章三角形》
单元教材主题内容与价值作用
11.1节研究与三角形有关的线段．首先结合引言中的实际例子给出三角形的概念，进而研究三角形的分类．对于三角形的边，证明了三角形两边的和大于第三边．接下来，给出了三角形的高、中线与角平分线的概念．结合三角形的中线介绍了三角形的重心的概念．最后结合实际例子介绍三角形的稳定性．
单元目标
（1）理解三角形及与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）的概念，证明三角形两边的和大于第三边，了解三角形的重心的概念，了解三角形的稳定性.
（2）理解三角形的内角、外角的概念，探索并证明三角形内角和定理，探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形，掌握三角形的一个外角等于与她不相邻的两个内角的和.
教学方法和手段的设计
1.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力
学生思想教育和行为习惯的培养及学习方法
通过学习三角形、多边形的有关概念，以及从对三角形内角和定理的探索与应用，到多边形内角和、外角和定理的探索与应用过程中，关注学生对类比思想的领悟，对证明的必要性的认识和推理的规范性的掌握；关注学生能否感悟到由实验几何到论证几何，由具体到抽象，由特殊到一般等研究几何问题的方法，培养学生的数学抽象能力和逻辑推理能力.
（3）了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并掌握多边形的内角和与外角和公式.
重点、难点与关键

八年级数学上册三角形的内角和

1
6
5
4
3
2
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 +∠6=3×180°－180°=360°
解：
7
8
9
如图，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____
解：连结BD，则 ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°＋180°＝360°
A
B
C
2
3
1
4
Dห้องสมุดไป่ตู้
思考题：
如图，已知∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°，求证：AB∥CD（用两种方法证明）
三角形内角和定理
已知
90°
直角三角形的性质：两个锐角互余.
B
C
A
直角三角形的表示 ------Rt△ABC
（1）如图（1），∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由. （2）如图（2），∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.
证法１：过A作EF∥BA， ∴∠B=∠2 (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠1 (两直线平行,内错角相等) 又∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180°
F
2
1
E
C
B
A
三角形的内角和等于1800.
证法２：延长BC到D，过C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
解：在△CGF中， ∠GCF=180°－∠CGF－∠F=180°－70°－30°=80° ∴∠ACB=180°－∠GCF=180°－80°=100° 在△ABC中，∠A=180°－∠B－∠ACB =180°－45°－100° =35°

八上数学三角形模型归纳

八上数学三角形模型归纳三角形是数学中极具普遍性和复杂性的几何图形，有着重要的实际应用价值。

学习三角形是高中数学教学的重中之重，是学习数学的重要基础。

八上知识教学中，三角形也具有重要的地位和作用。

中学数学课程中对三角形的介绍，一般以三角形的性质和三角函数的研究为主要内容，了解三角形的性质，就是针对三角形定义的一系列要求，比如三角形的等边性、等腰性、等分性、等高性、有理和无理和无穷性等，并从中推导出一定的定理。

此外，三角形的结构和内外部特性对该领域研究也具有重要意义，它不仅是三角函数本身，也与更多的数学知识有关，如抛物线、椭圆等。

为此，科学的方法解决实际中的三角形问题，首先应当从掌握八年级上册三角形知识模型入手，将三角形知识模型抽象为归纳性思想框架，以完成三角形模型归纳，从而进一步推进高中数学教学。

首先，八年级上册课程介绍了三角形的基础知识，包括三角形的性质、关于三角形的定理，以及关于三角函数的相关内容，这些内容可以作为三角形模型归纳的切入点。

其次，八年级上册教材用直角三角形的定义和一些定理，如勾股定理、正弦定理等，来讲解三角形的特性，并用此作为基础，来讨论更多关于三角形的问题，例如抛物线、圆形等。

最后，要通过研究三角函数的积分，以及三角形的定义和性质，去推导出相应的三角形的定理，最终归纳出三角形模型的基本结论。

此外，在研究三角形模型的过程中，还要注意全面考虑三角形的数学性质，并建立复杂的模型，以求解复杂的三角形问题。

例如，求解复杂的正多面体的三角形的面积；求正实角三角形的边长等；研究三角形折叠等。

通过以上方法，可以形成一个系统的三角形模型，便于用相应的模型去解决实际存在的复杂问题，为学生完成高中数学教学提供科学的支持和帮助。

综上所述，解决实际的三角形问题，应从八年级上册教学中的三角形知识模型入手，从抽象的角度去归纳三角形模型，从而形成一个系统化、归纳性的思想框架，使学生能够在有效的经营中，把握三角形的精髓，攻破高中数学教学的难关，去探索更多有趣的数学实践。

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形中的证明思路及常用辅助线学案(无答案)

证明三角形全等解题思路【知识点复习】一、全等三角形的概念与性质1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，记作ABC ∆≌DEF ∆ 2、性质：（1）对应边相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等二、全等三角形的判定1 全等三角形的判定方法：（SAS ）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)三边对应相等的两三角形全有两角和它们两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.2．全等三角形证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS ③②①【对应练习】1、如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN2、某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去AB CD E第11题第1题第2题第5题3、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一条直角边和它所对的锐角对应相等D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等4、AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝4，AC＝6，则AD的取值范围是（）A.AD＞1B.AD＜5C.1＜AD＜5D.2＜AD＜105、如图所示，△ABE≌△ACD，∠B＝70°，∠AEB＝75°，则∠CAE＝__________°. 三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。

八年级上册人教版数学知识点7篇

八年级上册人教版数学知识点7篇八年级上册人教版数学知识点11全等三角形的对应边、对应角相等2边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等3角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等4推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等5边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等6斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等7定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等8定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上9角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合10等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)11推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边12等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合13推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°14等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)15推论1三个角都相等的三角形是等边三角形16推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形17在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半18直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半19定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等20逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上初二数学求定义域口诀求定义域有讲究，四项原则须留意。

负数不能开平方，分母为零无意义。

指是分数底正数，数零没有零次。

限制条件不唯一，满足多个不等式。

求定义域要过关，四项原则须注意。

负数不能开平方，分母为零无意义。

分数指数底正数，数零没有零次。

限制条件不唯一，不等式组求解集。

初中提高数学成绩诀窍很多初中生认为自己只要上数学课听得懂就够了，但是一做到综合题就蒙了，基础题会做，但是会马虎。

人教版八年级数学上册三角形中的数学思想

八年级数学几何图形第02讲 三角形中的数学思想方法与热点题型(学生版)

第十一章 三角形-2022-2023学年八年级数学上册单元复习(人教版)

人教版八年级上册数学 等腰三角形 数学思想与求角

最新人教版八年级上册数学第十一章三角形 中考重难点(模型思想) 三角形中的角平分线模型