伯努利方程伯努利Bernoulli

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9.2.4 伯努里方程

[
]
用适当的变量代换解下列微分方程: 例6. 用适当的变量代换解下列微分方程:
1. 2yy′ + 2xy = xe ;
2 −x2
1 − x 2 −1 y ′ + xy = xe y , 解 2 dz dy 令z = y1−(−1) = y2, 则 dx = 2 y dx ,
− ∫ 2 xdx dz − x 2 ∫ 2 xdx − x2 [ ∫ xe e dx + C ] ∴ + 2 xz = xe , z = e dx x2 2 x 所求通解为 y = e − ( + C ). 2
2
dy 1 y 2. = − ; 2 dx xsin (xy) x dz dy 解令z = xy, 则 = y+ x , dx dx dz 1 y 1 , = y + x( − )= 2 2 dx x sin ( xy ) x sin z
分离变量法得 2 z − sin 2 z = 4 x + C ,
三、设有一质量为 m 的质点作直线运动从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正比(比例系数为 k 1 )的力作用于它,此外还受一与速度成正比(比例系数为 k 2 )的阻力作用,求质点运动的速度与时间的函数关系 .
四、求下列伯努利方程的通解: 1 1 − 1 1、 y ′ + y = 2 x 2 y 2 ； x 2、 xdy − [ y + xy 3 (1 + ln x )]dx = 0 .

伯努利方程伯努利Bernoulli

dz 2xz xex2 ,
z
e
2
xdx
[
xe
x2
e
2
xdx
dx
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
例 5 求解微分方程
解令u y，则 dy xdu udx， x
( x ux cos u)dx x cos u(udx xdu) 0, cos udu dx , sin u ln x C,
x
微分方程的解为
例 6 求解微分方程
积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:
对应齐次方程通解
非齐次方程特解
例8
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
sin x
x
eln
xdx
C
1 x
si
n
Biblioteka Baidu
xdx
C
1 cos x C .
x
例9 如图所示，平行与轴的动直线被曲
P( x)dx,
设
Q( x)dx为v( y
x
),
ln y v( x) P( x)dx,
即 y e e v( x) P( x)dx . 非齐次方程通解形式

伯努利(Bernoulli)方程

伯努利（Bernoulli ）方程

一、定义：

形如()()n dy P x y Q x y dx

+= （01n ≠、）称为伯努利方程（bernoulli ），当n=0、1，这是线性微分

方程，当方程不是线性的，但是可以通过变量代换，可以把它化成线性的。

01n ≠、二、计算方法：

① 方程两边同时除以n y

1()()n n dy y P x y Q dx

−−+=x ② 变量代换：令1n z y −= ，则：(1)n dz dy n y dx dx

−=− 由此代换可以把伯努利这个非线性方程化为线性微分方程，把方程两边同时乘以（1-n ）：

(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx

+−=− 然后求出这个方程通解之后，以1n y z −=带入方程。

③ 最后化为一阶线性非齐次微分方程。

④ 根据一阶线性非齐次微分方程的解法求得通解（通解公式） ⑤ 反带。

伯努利流体方程

伯努利方程（Bernoulli's equation）是流体力学基本方程之一，常用于描述静止流体或运动流体在流经不同位置时，压力、速度、高度等物理量的变化关系。伯努利方程最早由瑞士数学家和物理学家伯努利（Daniel Bernoulli）在1738年提出，被称

为伯努利定理，也称作伯努利方程或伯努利流体方程。

伯努利方程的数学形式为：

P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant

其中，P表示流体的压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的

速度，g表示重力加速度，h表示流体的高度，constant表示一个常数。

伯努利方程可以表达出一个流体在液体静压力、动能和势能三者之间的平衡状态。在一个理想的流体中，如果流体穿过一段水管，那么在这段水管的任何位置，液体静压力、动能和势能总和相等。

应用伯努利方程，可以计算液体在不同位置的压力、速度和高度等物理量的变化。伯努利方程可以应用在气体、液体等不同介质的流体力学问题中，如风力发电机、水压机等。

伯努利方程

伯努利方程是描述理想流动的基本方程之一，它是在瑞士数学家伯努利(James Bernoulli)在1738年发表的一篇论文中提出的。该方程对于理解流体力学以及飞行、水力、空气动力学等领域具有重要的应用。

伯努利方程是基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律推导而来的方程。该方程表达式为：

P + ½ρv² + ρgh = 常数

其中，P为流体的压力，ρ为流体的密度，v为流体的速度，h为流体的高度，g为重力加速度。

伯努利方程是在假设部分没有粘性损失的情况下成立的，也就是无黏性流动。在实际的情况下，流体会存在一定的粘性损失，因此伯努利方程只适用于无粘流体，但在低速流动下，伯努利方程可近似地应用于粘性流体。

对于伯努利方程，我们可以从以下角度来解释其中的每个项：

① P：压力项，它表示了流体在流动过程中所受到的压力。当流体速度增

加时，压力往往会降低，例如在突缩管中，当管道的截面积变小时，流体的速

度会增加，而压力会降低。

②½ρv²：动能项，它表示了流体的动能。在流体的流动过程中，当速度

增加时，动能也会增加，例如在水力发电站中，当水流的速度增加时，水的动

能也会增加，从而推动水轮发电。

③ρgh：势能项，它表示了流体的势能。当流体在重力作用下流动时，流

体会从高处向低处移动，势能也随之降低。例如当我们用pump把水从低处抽

到高处时，水的势能就会增加。

由于伯努利方程中的常数在同一条流线上保持不变，因此可以利用伯努利

方程来分析流体在不同位置的流速、压力和高度之间的关系。这在飞行、水利

及空气动力学等领域的设计和应用中具有重要的作用。

欧拉-伯努利方程

欧拉-伯努利方程是流体力学中的一种重要方程，描述了流体在不可压缩、定常、理想流动条件下沿流线的行为。它是基于质量守恒和动量守恒原理推导而来的。

欧拉-伯努利方程可以表示为：

P + 1/2ρv²+ ρgh = 常数

其中：P是流体的压力，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度。

这个方程的意义是，沿着流体的流线，在没有外力做功的情况下，流体的总能量保持不变。方程左边的三项分别代表了流体的压力能、动能和重力势能。

欧拉-伯努利方程在流体力学中有广泛的应用，例如可以用来解释飞机的升力产生、水流的速度和压力分布、水泵和风扇的工作原理等。它为理解和分析流体力学问题提供了重要的工具和方法。需要注意的是，欧拉-伯努利方程是一种基于一些假设条件的简化模型，在特定的情况下有效，但也有其适用范围和限制。

伯努利方程

伯努利方程（Bernoulli equation）

理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。因著名的瑞士科学家 D.伯努利于1738年提出而得名。对于重力场中的不可压缩均质流体，方程为

p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C

式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；z 为铅垂高度；g为重力加速度。

上式各项分别表示单位体积流体的压力能p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2＝常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此

公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。在粘性流动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项。

图为验证伯努利方程的空气动力实验。

补充：p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2（1）

p+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量（2）

伯努利(Bernoulli)方程

伯努利（Bernoulli ）方程

一、定义：

形如()()n dy P x y Q x y dx

+= （01n ≠、）称为伯努利方程（bernoulli ），当n=0、1，这是线性微分

方程，当方程不是线性的，但是可以通过变量代换，可以把它化成线性的。

01n ≠、二、计算方法：

① 方程两边同时除以n y

1()()n n dy y P x y Q dx

−−+=x ② 变量代换：令1n z y −= ，则：(1)n dz dy n y dx dx

−=− 由此代换可以把伯努利这个非线性方程化为线性微分方程，把方程两边同时乘以（1-n ）：

(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx

+−=− 然后求出这个方程通解之后，以1n y z −=带入方程。

③ 最后化为一阶线性非齐次微分方程。

④ 根据一阶线性非齐次微分方程的解法求得通解（通解公式） ⑤ 反带。

伯努利方程

上式各项分别表示单位体积流体的压力能 p、重力势能ρgh 和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。对于气体，可忽略重力，方程简化为 p+(1/2)*ρv ^2=常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。在粘性流动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项[1]。图为验证伯努利方程的空气动力实验。补充：p1+[ρ(v1)^2]/2+ρgh1=p2+[ρ(v2)^2]/2+ρgh2（1） p+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量（2）均为伯努利方程其中ρv^2/2 项与流速有关，称为动压强，而 p 和ρgh 称为静压强。伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。由伯努利方程可以看出，流速大处压力低，流速小处压力高。编辑本段应用要点

伯努利方程及其特异解分析

伯努利方程及其特异解分析伯努利方程（Bernoulli's equation）是物理学和工程学中经典的方程之一，用于分析和描述流体的动力学和流体力学。它的形式如下：

$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=C$

其中，$p$表示流体的静止压力，$\rho$表示流体密度，$v$表示流体的速度，$h$表示流体的高度，$g$表示重力加速度，$C$为常数。

伯努利方程采用了能量守恒原理，即流体的总能量在管道或介质中的任意两点是相等的。这意味着，若在某一位置流速增加，则与之相对应的静态压力下降。这种关系在所谓的伯努利效应中非常明显，它解释了为什么过狭缝流动的液体速度较高，而从狭缝出来时压力较低的现象。

伯努利方程的一般解可以通过积分和代数法求得，但对于一些特殊的情况，我们可以采用特定的技巧找到更简单的解析解，这

些特殊解被称为特异解（particular solutions）。下面，我将介绍几个常见的伯努利方程特异解的情况。

1. 管道水平流动

对于管道水平流动的情况，即$h$不变，$g=0$，$p_1=p_2$，我们可以将伯努利方程简化为：

$\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1=\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2$

其中，$v_1$和$v_2$分别是管道两端的流体速度，$h_1$和$h_2$分别是管道两端的高度。这个方程告诉我们，即使管道的横截面积不同，流体速度和高度也会自适应的变化，以使得伯努利方程仍然成立。

2. 自由落体式

另一种特殊情况是自由落体式，即$h_1=h_2$，$v_1=0$，

关于伯努利方程的理论推导

《伯努利方程》，又称《伯努利假设》，是20世纪著名数学家Andrey Kolmogorov提出的一种概率论模型。伯努利方程（Bernoulli Equation）表示一个有限的概率分布，它描述了一个变量的取值依赖于另外一个变量取值所产生的不同情况之间的关系。它是概率论中最基础而重要的概念，广泛用于统计学、机器学习、金融数学以及一些实际应用场景。

伯努利方程的公式表示为：

P（X=x）=p^x (1-p)^（1-X）

其中，X为事件的发生与否，取值为0或1；p为在某种条件下某事件发生的概率。

伯努利方程的推导如下：

当X取值为1时，事件发生，其发生概率为p，即P（X=1）=p；

当X取值为0时，事件不发生，其发生概率为1-p，即P（X=0）=1-p；

以上两式相乘可得：

P（X=1）P（X=0）=P（X=1）（1-p）=p（1-p）

根据概率乘法定律，把X取值为0或1的两种情况统一表示，可得如下公式：

P（X=x）=p^x (1-p)^（1-x）

如此，便完成了伯努利方程的推导。

伯努利方程的概念广泛应用于实际，如经济统计学中经常使用它

来表示经济变量的概率分布，在信息论中，可以把它用来衡量某个信息源的信息熵，在机器学习中，用它来表示决策树以及逻辑回归算法，而且在金融数学中，还可以使用它来模拟股市中的收益概率分布。伯努利模型的推导及应用，即实现了统计学与概率论的完美结合。

总之，伯努利方程（Bernoulli Equation）是一种有限的概率分布模型，它比较简单，易于理解，而且应用广泛，因而在统计学、信息论、机器学习以及金融数学等领域均有着重要的应用。

伯努利方程

Bernoulli equation

流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。这个理论是由瑞士数学家丹尼尔第一·伯努利在1738年提出的，当时被称为伯努利原理。后人又将重力场中欧拉方程在定常流动时沿流线的积分称为伯努利积分，将重力场中无粘性流体定常绝热流动的能量方程称为伯努利定理。这些统称为伯努利方程，是流体动力学基本方程之一。

流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。

方程的形式对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：

式中Z为距离基准面的高度;p为静压力;u为流体速度;ρ为流体密度;g为重力加速度。方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N·m/kg，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。当流体在水平管道中流动时Z不变，上式可简化为：

此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。

对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：

式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。

方程的应用伯努利方程阐明的位能、动能、静压能相互转换的原理，可用来分析计算一些实际问题，例如：

流体的伯努利方程

中文名称：伯努利方程

英文名称：Bernoulli equation

定义及摘要：流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。

这个理论是由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在1738年提出的，当时被称为伯努利原理。后人又将重力场中欧拉方程在定常流动时沿流线的积分称为伯努利积分，将重力场中无粘性流体定常绝热流动的能量方程称为伯努利定理。这些统称为伯努利方程，是流体动力学基本方程之一。

伯努利方程实质上是能量守恒定律在理想流体定常流动中的表现,它是流体力学的基本规律。在一条流线上流体质点的机械能守恒是伯努利方程的物理意义。

理想正压流体在有势体积力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。对于重力场中的不可压缩均质流体，方程为p+ρgh+(1/2)*ρv^2=c式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；h为铅垂高度；g为重力加速度；c为常量。

上式各项分别表示单位体积流体的压力能p、重力势能

ρgh和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2=常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。在粘性流动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项。

2-2伯努利方程

A, D :
υ D = 2 g (hA − hD )
CO2
B
A
h
2.2 伯努利方程
2、均匀管中压强与高度的关系( 均匀管中压强与高度的关系(
1 2 ρυ + ρgh + p = 常量 2
不变) 2.6） υ 不变)（图2.6）
ρgh + p = 常量
∴ ρgh1 + p1 = ρgh2 + p2
s1 = s 2 ⇒ υ 1 = υ 2
静止时，静止时，… 计示压强： p − p0 = ρg∆h 计示压强：
pa = pb = p0
S a >> Sb
υ a << υb
1 1 2 2 ρυa + ρgha = ρυb + ρghb 2 2 1 2 0 + ρgha = ρυb + ρghb 2
1 ρυb 2 = ρg (ha − hb ) = ρg∆h 2
υ b = 2 g∆ h
2.2 伯努利方程
综合利用三种关系：综合利用三种关系：虹吸管: 虹吸管:
υ1 = υ2 = 0, p2 = p0
p1 = p0 + ρg∆h
∆h 水银柱
3、两端等压的管中流速与高度的关系( 两端等压的管中流速与高度的关系(
1 2 ρυ + ρgh + p = 常量 2

伯努利方程的一个简单推导方法

伯努利方程推导：

1、伯努利方程（Bernoulli equation）理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。

2、对于重力场中的不可压缩均质流体，方程为p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C 式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；z 为铅垂高度；g为重力加速度。上式各项分别表示单位体积流体的压力能p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2＝常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。

伯努利方程原理及其应用

伯努利方程原理是流体力学中的一个重要定理，描述了流体在不同位

置的压力、速度和高度之间的关系。它是基于质量守恒和动量守恒定律得

出的。伯努利方程的应用非常广泛，涉及许多领域，如水力工程、航空航

天工程、血液循环等。

P + 1/2ρv² + ρgh = 可以称之为 Bernoulli's Principle 分成三

个代表量就是 (pressure), (velocity) and (height)

其中，P代表流体的压力，ρ代表流体的密度，v代表流体的流速，

g代表重力加速度，h代表流体的高度。这个方程的意义是，当流体在稳

定非粘性的情况下沿着流线流动时，流体在不同位置上的压力、速度和高

度之间是相互关联的。

1.水力工程：伯努利方程可以用来研究液体在管道流动中的压力和速

度变化。在水力工程中，通过伯努利方程可以计算水管中的液体流速、压

力等参数，从而确定水力机械设备的设计和运行参数。

2.航空航天工程：伯努利方程可以用来研究气体在飞行器周围的流动。当气体流动速度增加时，伯努利方程能够说明气体的压力减小。这一原理

被应用在飞机的翼型设计中，通过加速飞行器周围的气流，可以产生升力，从而使飞机升起。

3.血液循环：伯努利方程可以用来研究血液在血管中的流动。血液在

动脉和静脉中的流速和压力变化可以通过伯努利方程来描述。在生理学中，伯努利方程被用来分析血管疾病的发生机制，如动脉瘤、血栓形成等。

4.分离气体传输：伯努利方程在管道气体输送过程中也有重要应用。通过伯努利方程可以计算气体在管道中的流速和压力变化，从而确定管道的设计和运行参数。