第四届大学生数学竞赛决赛试题及解析
第四届全国大学生数学竞赛决赛试题及解答
1x− − − − a −第四届全国大学生数学竞赛决赛试题标准答案一、(本题15分): 设A 为正常数，直线ℓ与双曲线x 2 − y 2 = 2 (x > 0) 所围的有 限部分的面积为A . 证明：(i) 所有上述ℓ与双曲线x 2 − y 2 = 2 (x > 0) 的截线段的中点的轨迹为双曲线. (ii)ℓ总是(i)中轨迹曲线的切线. 证明：将双曲线图形进行45度旋转，可以假定双曲线方程为y = 1 , x > 0. 设直线ℓ交双曲线于(a, 1/a )和(ta, 1/ta ), t > 1, 与双曲线所围的面积为A . 则有1 1 ∫ ta1 1 1 1 1A = 2 (1 + t )(t − 1) −dx = + )(t 1) log t = t ) log t. x 2 t 2 t令f (t ) = 1 (t − 1 ) − log t . 由于 2 t1 1 2f (1) = 0, f (+∞) = +∞, f ′(t ) = 2 (1 − t )> 0, (t > 1),所以对常数A 存在唯一常数t 使得A = f (t ) (5分). ℓ与双曲线的截线段中点坐标 为1 1 1 1 x =2 (1 + t )a, y = 2 (1 + t ) a .于是，中点的轨迹曲线为1 1 xy = 4 (1 + t )(1 + t ).(10分) 故中点轨迹为双曲线, 也就是函数y = 1 (1 + t )(1 + 1 ) 1 给出的曲线. 该曲线在上述中点处的切线斜率4 t x1 1 1 1 k = − 4 (1 + t )(1 + t ) x2 = − ta 2 ,它恰等于过两交点(a, 1/a )和(ta, 1/ta )直线ℓ的斜率:1 11故ℓ为轨迹曲线的切线. (15分)ta − a ta − a= .二、(本题15分): 设函数f (x )满足条件: 1) −∞ < a ≤ f (x ) ≤ b < +∞, a ≤ x ≤ b ; 2) 对于任意不同的x, y ∈ [a, b ]有|f (x ) − f (y )| < L |x − y |, 其中L 是大222 2 k =1 32. 3 .于0小于1的常数. 设x 1 ∈ [a, b ], 令x n +1 = 1 (x n + f (x n )), n = 1, 2, · · · . 证明： lim n →∞ x n = x 存在, 且f (x ) = x .证明：由题设x 1 ∈ [a, b ], f (x ) ∈ [a, b ], x 2 = 1(x 1 + f (x 1)) ∈ [a, b ], ·· · , 继续下 去, 对任意n ≥ 1有a ≤ x n ≤ b , 所以x n 对任意n ≥ 1有意义(3分).由条件2), 有1 1|x 3 − x 2 | = 2 |(x 2 − x 1) + (f (x 2) − f (x 1))| ≤ 2(|x 2 − x 1| + |f (x 2 ) − f (x 1 )|)1 1≤ 2 (|x 2 − x 1| + L |x 2 − x 1|) = 2(1 + L )|x 2 − x 1|.1 1 + L 1 + L 2|x 4 − x 3| = 2|(x 3 − x 2 ) + (f (x 3) − f (x 2))| ≤ 继续下去得2 |x3 − x 2| ≤ () |x 2 − x 1|.|x n +1 − x n | ≤ ( 1 + L ) 2n −1|x 2 − x 1|, ∀n ≥ 3. 由于∑+∞ 1+L k +∞ +∞k =1 ( ) 收敛, 从而∑k =1 |x k +1 − x k |收敛, 当然∑k =1 (x k +1 − x k )也收敛. 故其前n 项部分和∑n即lim n →∞ x n 存在. (12分)(x k +1 − x k ) = x n +1 − x 1 当n → ∞时极限存在, 记lim n →∞ x n = λ, a ≤ λ ≤ b . 由条件2)知, f (x )满足Lipschitz 条件, 从而是连 续的. 在x n +1 = 1 (x n + f (x n ))中令n → ∞, 得λ = 1 (λ + f (λ)), 即f (λ) = λ. 22(15分)三、(本题15分): 设n 阶实方阵A 的每个元素的绝对值为2. 证明：当n ≥ 3时,|A | ≤ 1 · 2n +1 n !.证明：(i) 首先, |A | = 2n |A 1|, 其中A 1 = 1 A , 它的所有元素为1或−1. (1分)(ii)当n = 3时, . . .a 11 a 12 a 13.. |A 1 | = .. a 21a 22 . a 23.. .a 31 a 32 a 33. . .= a 11 a 22a 33 + a 12a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 31 a 22 a 13 − a 32 a 23a 11 − a 33 a 21a 12¾ b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + b 6上式b i 中每项为±1, 且六项乘积为−1, 至少有一个b i 为−1，从而这六项中至少有两项相消, 故有|A 1| ≤ 4 = 1·2 · 3!. 于是命题对n = 3成立(9分). (iii) 设此命3题对于一切这样的(n − 1)阶方阵成立, 那么对n 阶矩阵的情形, 将|A | 按第一行 展开, 记1行k 列的代数余子式为M 1k , 便有|A | = ±2M 11 ± 2M 12 ± · · · ± 2M 1n ≤ 2(|M 11 | + |M 12 | + · · · |M 1n |)1 n 1n +1≤ 2n · 3 · 2 (n − 1)! = 3 · 2n !. · · · · · · (15分)四、(本题15分): 设f (x )为区间(a, b )上的可导函数. 对x 0 ∈ (a, b ), 若存在x 0的邻域U 使得任意的x ∈ U \{x 0}有f (x ) > f (x 0 )+f ′(x 0)(x −x 0), 则称x 0为f (x )的 凹点. 类似地, 若存在x 0的邻域U 使得任意的x ∈ U \ {x 0}有f (x ) < f (x 0) + f ′(x 0)(x − x 0), 则称x 0为f (x )的凸点. 证明: 若f (x )为区间(a, b )上的可导函数, 且不是一次函数, 则f (x )一定存在凹点或凸点.证 明：因 为f (x )不 是 一 次 函 数, 故 存 在a < x 1 < x 2 < x 3 < b , 使 得 三 点(x 1 , f (x 1)), (x 2, f (x 2 )), (x 3, f (x 3))不共线. 不妨设( f (x 3) − f (x 1))f (x 2 ) −令f (x 1 ) + x 3 − x 1x 2 − x 1) > 0. ·· · · · · (3分) g (x ) = −ε(x − x 2 )2+ f (x 2) + f (x 3 ) − f (x 1 ) x 3 − x 1x − x 2).取定ε > 0充分小, 使得g (x 1) > f (x 1)和g (x 3) > f (x 3). 令h (x ) = g (x ) − f (x ).则有h (x 1) > 0和h (x 3) > 0, 且h (x 2) = 0. 令h (ξ) = min x ∈[x 1 ,x 3 ] h (x ), 则h (ξ) ≤ 0, ξ ∈ (x 1, x 3), 并且f ′(ξ) = g ′(ξ) (10分).故f (x ) ≤g (x ) −h (ξ), x ∈ (x 1 , x 3).注意到g (x ) − h (ξ)的图像是一个开口向下的抛物线, 故对x = ξ有g (x ) − h (ξ) < g ′(ξ)(x − ξ) + g (ξ) − h (ξ) = f ′(ξ)(x − ξ) + f (ξ),即f (x ) < f ′(ξ)(x − ξ) + f (ξ), x ∈ (x 1, x 3) \ {ξ}. · · · · · · (15分)4. xx x . . x x 2. x 1 −3a 11 a 12 a 13 五(本题20分): 设A = a 12 a 22 a 23 为实对称矩阵, A ∗为A 的伴随矩阵. 记 a 13 a 23 a 33. x 2 . 234 . . 1 . f (x 1 , x 2, x 3 , x 4) = .−.a 11a 12 . a 13 . . . .−x 3 a 12 a 22 a 23 . . . . . .−x 4a 13 a 23a 33 .若|A | = −12, A 的特征值之和为1, 且(1, 0, −2)T 为(A ∗ − 4I )x = 0的一个解. 试y 1 给出一正交变换 x = Q y , 使得f (x , x , x , x )化为标准型.2 2 1 23 4x 3 y 3 4 y 4 解：首先，. . . . . ..−x 2 a 12 a 13 . .−x 2 a 11 a 13. .−x 2 a 11 a 12 . . . . . . . f (x 1, x 2, x 3, x 4) = x 2|A |−x 2 . x 3 a 22 a 23 .+x 3 .−x 3 a 12 a 23.−x 4 .−x 3 a 12 a 22 .1 .− . . . . . . . . . . . . . . . . ..−x 4 a 23 a 33 . .−x 4 a 13 a 33. x 2 .−x 4 a 13 a 23 .= −12x 2 + (x 2, x 3, x 4)A ∗ x 3 . 1 x 4 由此f (x 1, x 2 , x 3, x 4)为关于x 1, x 2, x 3 , x 4的二次型(2分).其次, 由(A ∗−4I )x = 0得(|A |I −4A )x = 0, 即(A +3I )x = 0. 故由(1, 0, −2)T 为(A ∗− 4I )x = 0的一个解知, A 有特征值−3 (4分). 现可设A 的特征值为λ1 , λ2, −3. 于 是由|A | = −12及A 的特征值之和为1, 得方程组λ1 + λ2 − 3 = 1, −3λ1 λ2 = −12,得λ1 = λ2 = 2. 所以A 的全部特征值为2, 2, −3. 结果, 对应特征值−3的特征空 间V −3的维数为1, 对应特征值2的特征空间V 2的维数为2 (6分).注意到(1, 0, −2)T 是A 相应于特征值−3的一个特征向量, 因此它是V 的基. 求解下列线性方程组的基础解系: t 1 − 2t 3 = 0, 得到正交基础解: α =(0, 1, 0)T , β = ( 2 , 0, 1 )T , 且令γ = ( 1 , 0, − 2 )T , 则α, β为V 2的标准正交√√√√5553 0 0 √ x y 0 0 1 ∫ b +ab2n +1 5 − 5−基, α, β, γ为R 3的标准正交基. 事实上, 因为A 为实对称矩阵, V 2 =V ⊥, 它 2 0 0 是唯一的, 维数为2 (12分). 现在A 可写成A = P 0 2 0 P −1, 其中P = 0 0 −32 1 √ √ 5 1 0 2 1/2 0 01 0 0 , 从而得A = 02 0 , A −1 = P 0 1/2 0 P T . 1 2√5 0 0 −20 0 −1/3 1/2 0 0 6 0 0 A ∗ = |A |A −1 = −12P 0 1/2 0 P T = P 0 −6 0 P T , 0 0 −1/30 0 4(1 0 ) x 1 xy 1y (15分). 令Q = , = Q 则由P 为正交矩阵知： 2 2 , 0 P x 3 y 3x 1 y 14 41 0 0 0( (x y 0 0 2 1 2 = Q 2 为正交变换, 其中Q =√5√5 , 它使得 x 3 y 3 0 1 0 0 x 4 y 42√5 − √5−6 0 0 x 2 f (x 1, x 2, x 3 , x 4) = −12x 2 + (x 2, x 3, x 4)P 0 −6 0 P T x 3 1 0 0 4 x 4= −12y 2 − 6y 2 − 6y 2 + 4y 2 ,1 2 3 4 为f (x 1, x 2, x 3, x 4)的标准型(20分).六、(20分): 设R 为实数域, n 为给定的自然数, A 表示所有n 次首一实系数多项 式组成的集合. 证明：infb ∈R ,a>0,P (x )∈Ab|P (x )|dx > 0.a n +1证明：我们证明对任意n 次首一实系数多项式, 都有∫ b +a|P (x )|dx ≥ c n a n +1 ,其中c n 满足c 0 = 1, c n = n c n −1, n ≥ 1 (3分). 我们对n 用归纳法. n =620时P (x ) = 1. 则∫ b +a b|P (x )|dx = a ≥ c 0a,结论成立(5分). 下设结论在k ≤ n − 1时成立. 设P (x )是一个n 次首一多项式, 则对任意给定的a > 0来说Q (x ) = 2 (P (x + a ) − P (x ))是一个(n − 1)次首一多项式. 由归纳法假设, 有∫ b +a/2 na|Q (x )|dx ≥c n −1 2a n. · · · · · · (10分) b2n由此推出∫ b +ab|P (x )|dx = ∫ b +a/2 b(|P (x )| + |P (x + a/2)|)dx∫ b +a/2 na ∫ b +a/2 na a nn+1 ≥ (|P (x +a/2)−P (x )|)dx = b b |Q (x )|dx ≥ 2 c n −1( 2 ) = c n a . (20分)。
第四届全国大学生数学竞赛决赛试题与解答
1 1 x2 [(` 1 + x 2 ) ln(1 + x 2 ) − x 2 ]arctan x − ∫ [ln(1 + x 2 ) − ]dx 1 + x2 2 2 1 x 3 (1 + x 2 )ln(1 + x 2 ) − x 2 − 3⎤ = arctan x ⎡ − ln(1 + x 2 ) + x + C (3 分) ⎣ ⎦ 2 2 2 =
(2 分)
f ′( x) = − f 2 ( x) ，并且 f (0) = e0 = 1
由此可求得 f ( x ) =
1 . (3 分) x +1
1 ≤1 x
即 f ( x ) ≤ f (1) + 1 ， f ( x ) 有上界. (4 分) 由于 f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上单调增加且有上界，所以 lim f ( x ) 存在. (1 分)
−u ( x )
求 y ( x) = e ，
x
−2 x
f ( x, x) 所满
，其中 u =
∫
0
f (t ) d t .
⎡ ⎛ ⎞⎤ ln x − ln a ln x + ln(ln a ) 2ln a ⎢ ⎜ ln ax ⎟ ⎥ ln x − ln a 2 ln a ⎞ 2ln a ⎛ 1. 解 lim ⎢ ln( x ln a ) ⋅ ln ⎜ (4 分) = lim ln ⎜1 + ⎥ ⎟ ⎟ x →0 + x ⎥ x →0+ ⎝ ln x − ln a ⎠ ⎢ ⎜ ln ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ a ⎠⎦ ⎣
2 z 2 = 2 z , 就有
Fz = ∫ G ρ
历届全国大学生数学竞赛真题
高数竞赛预赛试题（非数学类）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x y________________. 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim 0，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+⎪⎝⎭。
全国大学生数学竞赛初赛2012年第四届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版
2012年第四届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）试卷及参考答案一、简答下列各题(本题共5个小题，每题6分，共30分) 1．求极限()12lim!.n n n →∞【参考答案】：因为2211ln !!,n n n n e而211ln1ln 2ln ln !,12n n n n n且ln lim 0.n n n 所以1ln1ln 2ln lim 0.12n n n n即 21lim ln !0n n n 21lim ! 1.n n n 2．求通过直线2320,:55430x y z L x y z ⎧⎪+-+=⎪⎪⎨⎪+-+=⎪⎪⎩的两个相互垂直的平面12,ππ，使其中一个平面过点()4,3,1.-【参考答案】：过直线L 的平面束方程为 23255430x y z x y z ，即 (25)534230.x y z 若平面1 过点 4,3,1 ，代入得0 ，即 ，从而1 的方程为3410.x y z 若平面束中的平面2 与1 垂直，则 3(25)451340. 解得3, 从而平面2 的方程为2530.x y z 3．已知函数(,),ax byz u x y e+=且20ux y∂=∂∂，确定常数,a b ，使函数(,)z z x y =满足方程20.z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂ 【参考答案】：(,),ax by z u e au x y x x (,),ax by zu e bu x y y y2(,),ax by z u ue b a abu x y x y x y21(1)(1)(,),ax by z z z u uz e b a ab a b u x y x y x y x y若是上式等于0，只有 1(1)(1)(,)0u ub a ab a b u x y x y，由此可得 1.a b 4．设()u u x =连续可微，(2)1u =，且()()32d d Lx y u x x uu y +++⎰在右半平面上与路径无关，求().u x 【参考答案】：由32u x u x y u yx，得34x u u u ，即214dx x u du u， 这是一个一阶线性微分方程，于是由公式有通解为ln 2ln 2442uux e u edu C uudu C u uC 由(2)1u 得0C ，所以1/3.2x u5．求极限lim d .x x x t +【参考答案】：因为当1x 时，x x xxdt0x所以lim0.x xx第二题：(10分)计算20|sin |d .xe x x +∞-⎰【参考答案】：由于220(1)1|sin ||sin |nn k xxk k ex dx ex dx12(1)11sin nk k x k k e xdx应用分部积分法，有1222(1)11sin 15k k x k k e xdx e e所以有 222011|sin |15n n x k k e x dx e e212221151n e e e e 当(1)n x n 时，(1)2220|sin ||sin ||sin |n x n x x x e x dx e x dx e x dx当n ，由两边夹法则，得2222011|sin |lim |sin |.51xxxx e ex dx ex dx e【注】如果最后不用夹逼准则，而用2222011|sin |lim |sin |.51n xxn e ex dx ex dx e需要先说明20|sin |x e x dx收敛。
大学生数学知识竞赛题库
大学生数学知识竞赛题库
一、竞赛介绍
该竞赛为大学生数学知识竞赛，旨在提高大学生的数学素养和综合应用能力。
竞赛内容包括数学知识与技能应用、数学模型的建立、分析、解决问题等。
二、竞赛题库
以下为该竞赛的题库示例：
1. 题目一
交换两个变量的值（不使用临时变量）。
示例：
输入: a = 1, b = 2
输出: a = 2, b = 1
2. 题目二
如果当前的月份数字为 m，第一天是星期 w，那么当月的天数
n 是多少？（不考虑闰年）
示例：
输入: m = 3, w = 2
输出: n = 31
3. 题目三
某工程项目需要两年时间完成，项目分为 n 个子任务，需要 m 个人来完成。
假设所有子任务可以分开进行，并且其完成时间不同，存在时间瓶颈。
设计一种算法，使得项目可以在两年内完成，同时
尽可能均衡各个子任务的完成时间。
示例：
输入: n = 5, m = 2, time = [12, 8, 10, 5, 7]
输出: [12, 10], [8, 7], [5]
三、总结
该竞赛题库涵盖了多个数学领域，从基础运算到综合应用均涉及，对于大学生的综合应用能力提高有很好的促进作用。
第四届全国大学生数学竞赛决赛试题及答案(非数学组)
于是 I = I1 + I 2 = 1 + π
3 8
六、 （本题 15 分） 若对任意收敛于 0 的数列 { xn } 级数 ∑ an xn 都收敛，证明级数 ∑ an 收敛.
n =1 n =1
∞ ∞
令 Sn = ∑ ak ，xn = 证明： 用反证法. 若级数 ∑ an 发散，
n =1 k =1
∞
而 g (0) = f 2 (0) + [ f '(0)] = 4 且 0 ∈ [ξ1 , ξ 2 ] ， 知 g (ξ ) = max g ( x) ≥ 4 ， 由此可得 ξ ∈ (ξ1 , ξ 2 ) ， 根据 Fermat
2
x∈[ξ1 ,ξ 2 ]
定理， g '(ξ ) = 0 ，即
g '(ξ ) = 2 f (ξ ) f '(ξ ) + 2 f '(ξ ) f ''(ξ ) = 0 .
3 2
3 2 2
⋅ 2dxdy =
=
G ρ 2π 2 1 ⋅ rdr = G ρπ ln 2. 2 ∫0 ∫1 r 2
三、 （本题 15 分）
f ( x) 在 [1, +∞] 连续可导， f ' ( x) =
x
⎡ 1 1 1 ⎤ − ln(1 + ) ⎥ , 证明 ⎢ 2 x ⎦ 1 + f ( x) ⎣ ⎢ x ⎥
证明：在 [−2,0] 和 [0, 2] 上分别使用 Lagrange 中值定理，分别 ∃ξ1 ∈ (−2,0), ξ 2 ∈ (0, 2) 使得 f (0) − f (−2) = 2 f '(ξ1 ), f (2) − f (0) = 2 f '(ξ 2 ) . 令 g ( x) = f 2 ( x) + [ f '( x)] ，考虑 g ( x) 在闭区间 [ξ1 , ξ 2 ] 上的最大值，记 g (ξ ) = M = max g ( x) . 由于
2001年陕西省第四次大学生高等数学竞赛试题及答案
期 封底照片 由王慧娟摄像提供 特此补充说明 并向王女士
致歉∀
∂ 1 ⁄
1
高等数学研究
≥× ⁄ ∞≥ ≤ ∞ ∞ × ∞ × ≤≥
竞赛之窗
陕西省第四次大学生高等数学竞赛 月 日 复赛 试题 附答案 上午 年 Β ) Β
一! 二! 足方程 Υ ψ 三! 分 求
5ζ 5ξ
ν ν
ξ
ξ ξ ν 当 ν 为奇数 分 设函数 Υ ξ ! φ ξ 有一阶连续导数 且 φ χ ξ 又函数 ζ ξ ψ 5ζ 5ψ
≈
νψ ]
ξ ν 1≈
分 求幂级数6ν]ν νν ξ 的收敛域与和函数∀
ξ
ξ
ξ ξ
ξ
六!
ζ ψ Π ξ
分 计算曲面积分
[ ξ [
κ
Σ
ξ
ψ ζ
ψ
ξ
ζ ξ ο
ξ ζ ξ ψ 其中 Σ 是由弧段 Π ≈
绕 ξ 轴旋转一周的旋转曲面 Σ 的法向量 ν 与 οξ 轴的夹角大于
七! 分 设曲线 Χ 为曲面 ξ 的正向看过去为逆时针方向∀
χ Θ
外 还满足方程
χ χ ξ ψ
5υ 5ξ ζ
5υ 5Η 5υ 5υ 5ψ 5ζ
及
1
5υ 5Υ
χ
分 一个底半径为
尺 高为
尺的开口圆柱形水桶 在高出水桶底面的
≈
尺处 有
Π
两个小孔 两小孔的连线与水桶轴线相交 问该桶最多能盛多少水而不漏水 十二! 分 设 ξ∴ 试证明不等式
Θ
上接第
τ [ τ τ τ
第四届全国大学生数学竞赛(非数学类)决赛试题及解答2012
∫
求 u ( x) ； (5) 求极限 lim 解
1 1 3
x →+∞
x∫
x +1
x
sin t dt . t + cos t
（1） 而
因为 ( n !)
n2
=e
n2
ln( n!)
……………………………………（1 分） ………………………（3 分）
1 1 ⎛ ln1 ln 2 ln n ⎞ ln n ln( n !) ≤ ⎜ + +"+ =0 ⎟ ，且 lim 2 n →∞ n n n⎝ 1 2 n ⎠
x 2 + y 2 + z 2 = t 2 (t > 0) 所围起来的部分. 定义三重积分
F (t ) = ∫∫∫ f ( x 2 + y 2 + z 2 )dv 。
Ω
求 F (t ) 的导数 F ' (t ) .
解法 1.
记 g = g (t ) =
1 + 4t 2 − 1 2 2 , 则 Ω 在 xy 面上的投影为 x + y ≤ g 2
若平面束中的平面 π 2 与 π 1 垂直，则
……………………………………（2 分）
3 ⋅ (2λ + 5μ ) + 4 ⋅ (λ + 5μ ) + 1 ⋅ (3λ + 4 μ ) = 0
解得 λ = −3μ ，从而平面 π 2 的方程为 x − 2 y − 5 z + 3 = 0 ，………………………………（2 分） （3）
(
)
(
)
.（2 分）
方程通解为
x = e ln u
乐山师范学院第4届数学建模竞赛试题
乐山师范学院第4届数学建模竞赛试题A 题自动灌溉洒水系统的定位和移动的设计灌溉田地有多种技术，例如先进的滴水系统、周期灌溉等。
其中有一种“手动”灌溉系统可以在较小的农牧场使用。
数条装有若干个花洒莲蓬头的轻质铝管横放在田地上，它们被人手周期地移动，确保整块田地都获得数量充足的水分。
这种灌溉系统跟别的灌溉系统相比又便宜又易于维护，而且灵活地适用于各种土地和农作物。
但是缺点是它每隔一定的时间就要移动和设置，需要很多时间和人力。
现在要使用这种灌溉系统去灌溉一块80 30米2的田地。
一套水管装置包括能连成一条直线的几条水管。
每条水管的内直径为10厘米，带有若干个内直径为0.6厘米的旋转水雾喷嘴。
几条水管若连接起来，整条水管有20米长。
水源的压力是420千帕，流速为每分钟150升。
田地的任何部分都不应每小时获得超过0.75厘米的水量，又都要每四天至少获得2厘米的水量。
总水量应尽可能均匀地分布。
怎样配置它才能用最短的时间去灌溉完这块田地？为此任务你须找到一个算法，使得灌溉一块矩形田地的时间最短，以满足农场主维护灌溉系统的要求。
田地里正在使用一套水管装置。
你须确定花洒莲蓬头的数目和间距，并须制定计划，确定何时移动哪些水管，并且移动它们到哪里。
B题教学质量评价为了了解掌握学生数学学习情况，教学管理人员拟定了一份调查问卷（见附件一），分别对一年级、二年级学生进行了问卷调查。
问卷调查时，一年级学生正在学习高等数学下册，二年级学生已经学习完高等数学、线性代数、概率论与数理统计。
请根据调查数据（附件二中给出了调查统计数据），回答下面的问题：1、从总体上分析学生的学习状况；2、建立一定的数学模型标准，对调查的教学班进行分类；3、从学习态度、学习方法、师资水平等方面进行量化分析；4、撰写一份学生数学学习情况的调查报告，以便向有关教学管理部门介绍调查结果。
（800-1200字）C题服务机构劳务安排的优化设计在一些大型服务机构中，不同的时间段内需要的服务量有显著的不同。
第四届全国大学生数学竞赛试题(非数学类)2012
第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类，2012)一、（本题共5小题，每小题各6分，共30分）解答下列各题 （1）求极限21lim(!);n n n →∞ （2）求通过直线2320:55430x y z L x y z +−+=⎧⎨+−+=⎩的两个相互垂直的平面1π和2π，使其中一个平面过点（4，-3,1）； （3）已知函数(,)ax byz u x y e +=，且20u x y ∂=∂∂，确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满足方程20z z z z x y x y∂∂∂−−+=∂∂∂∂； （4）设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)()L x y udx x u udy +++∫在右半平面上与路径无关，求();u x（5）求极限1lim ;x x x + 二、(本题10分) 计算20sin x e x dx +∞−∫三、(本题10分) 求方程21sin 2501x x x=−的近似解，精确到0.001. 四、(本题12)设函数()y f x =二阶可导，且()0,(0)0,(0)0,f x f f ′′′>== 求330()lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距。
五、(本题12)求最小实数C ，使得对满足10()1f x dx =∫的连续的函数()f x ，都有10f dx C ≤∫。
六、(本题12)设()f x 为连续函数，0t >，区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面2222x y z t ++=所围起来的上半部分，定义三重积分222()()F t f x y z dv Ω=++∫∫∫。
求()F t 的导数()F t ′。
七、(本题14) 设1n n a∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数，那么（1） 若111lim(0,n n n nn a a b b →∞++−>则1n n a ∞=∑收敛； （2） 若111lim(0,n n n n n a a b b →∞++−<且1n n b ∞=∑发散，则1n n a ∞=∑发散。
重庆工商大学第四届大学生数学建模竞赛试题
重庆工商大学第四届大学生数学建模竞赛试题参赛说明1. 数学建模竞赛试题共有三道（A、B、C、D），请选择一道与熟悉的题目回答，不必做其他题目。
2. 请按规定的时间内 ( 5月15号下午5：00以前) 上交论文，过期无效。
试卷要在用A4纸打印完成，手写无效。
3. 论文请交到南实验楼403，交论文时间：5月15号上午9：00——下午5：00。
4. 由于竞赛题目有一定的难度，因此不必做完上一个问题，才能回答下一个问题，而是需要完整地把解题的思想表达出来。
由于有些题目中的问题较多，很可能在竞赛期间做不完，你可以对某些问题不作回答，有兴趣的同学可以在竞赛后再作深入研究。
5. 由于题目难度不可能完全相同，评审中将向难度较大的题目倾斜，请参赛选手在选题时加以考虑。
A题：阅卷方案的确定在确定数学建模竞赛的优胜者时，常常需要评阅大量的论文。
某次竞赛有两个题目，组委会共收到744个队完成的竞赛论文，其中A题有343份论文，由12位阅卷人组成的小组来完成评阅任务；B题有401份论文，由14位阅卷人组成的小组来完成评阅任务。
最理想的评阅方法是每位阅卷人评阅所有的论文，并且最终给所有论文排序，不过，这种评阅方法工作量太大，花费时间过长。
目前评阅论文是采用筛选方式，在一次筛选中，每位阅卷人只评阅一定数量的论文，并给出分数，论文满分为100分；阅卷人的任务是从中选出1/3的优胜者；每份论文最多有3个阅卷人评阅。
在这次数学建模竞赛中，A题和B题采用以下两种不同的评阅方案：（1）A题评阅方案第一轮：阅卷人随机抽取论文进行评阅，当每份论文都由两位不同的阅卷人进行过评阅后，阅卷结束。
对每份论文，当两位阅卷人给分相近时，将两个评阅成绩累加作为该答卷的总分；当两位阅卷人给分相差大于10分时，进入第二轮。
第二轮：对进入第二轮的论文，阅卷人随机抽取自己没有评阅过的论文进行评阅；从每份论文的三个评阅成绩中取两个相近的分数之和作为该论文的总分。
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
又 ，那么 ，因此 …（3分）
…………………（2分）
五、（总分值14分）设 是一个滑腻封锁曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分 。试确信曲面 ，使积分I
的值最小，并求该最小值。
解 记 围成的立体为V，由高斯公式
……………（3分）
为了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空间区域 ，即
取 ，曲面 ……（3分）
为求最小值，作变换 ，那么 ，
从而 ……………………………………（4分）
利用球坐标计算，得
……………………（4分）
六、（总分值14分）设 ，其中 为常数，曲线C为椭圆 ，取正向。求极限
解 作变换 （观看发觉或用线性代数里正交变换化二次型的方式），曲线C变成 平面上的椭圆 （实现了简化积分曲线），也是取正向…（2分）
(2)方式一：
方式二（将一型曲面积分转化为二型）：
记 ，取面 向下， 向外，
由高斯公式得：
，求该三重积分的方式很多，现给出如下几种常见方式：
1先一后二：
②先二后一：
③广义极坐标代换：
六．（此题12分）设f(x)是在 内的可微函数，且 ，其中 ，任取实数 ，概念 证明： 绝对收敛。
证明：
由拉格朗日中值定理得： 介于 之间，使得
，又 得
级数 收敛， 级数 收敛，即 绝对收敛。
七．（此题15分）是不是存在区间 上的持续可微函数f(x)，知足 ，
？请说明理由。
解：假设存在，当 时，由拉格朗日中值定理得：
介于0，x之间，使得 ，
同理，当 时，由拉格朗日中值定理得：
介于x，2之间，使得
即
，
显然，
，又由题意得
即 ，
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
关于举办第四届全国大学生数学竞赛通知
关于举办第四届全国大学生数学竞赛的通知各省、市、自治区数学会、解放军院校协作中心数学联席会：为了培养人才、服务教学、促进高等学校数学课程的改革和建设，增加大学生学习数学的兴趣，培养分析、解决问题的能力，发现和选拔数学创新人才，为青年学子提供一个展示基础知识和思维能力的舞台，经中国数学会批准，第四届全国大学生数学竞赛将由电子科技大学数学学院承办。
4月初，中国数学会普及工作委员会（奥林匹克委员会）在重庆召开工作会议，决定成立全国大学生数学竞赛工作小组，具体领导、协调、组织全国大学生数学竞赛工作。
本届比赛预赛在2012年10月27日（星期六）上午9：00—11：30举行，决赛于2013年3月份的第三周周六上午在电子科技大学（成都）举行。
现将竞赛的具体事宜通知如下：（1）参赛对象：大学本科二年级或二年级以上的在校大学生。
竞赛分为非数学专业组和数学专业组(含数学与应用数学、信息与计算科学专业的学生)。
数学专业学生不得参加非数学专业组的竞赛。
（2）竞赛内容：非数学专业组竞赛内容为本科高等数学内容（高等数学内容为理工科本科教学大纲规定的高等数学的教学内容）。
数学专业组竞赛内容含数学分析、高等代数和解析几何（均为数学专业本科教学大纲规定的教学内容），所占比重分别为50%、35%及15%左右。
（3）报名办法：2010年9月30日前按所在省、直辖市、自治区数学会或学会委托的承办大学的要求报名。
（4）竞赛组织工作：分区预赛由各省（市、区、军队院校）数学会负责组织选拔，使用全国统一试2题，在同一时间内进行考试。
决赛由全国大学生数学竞赛工作小组和承办单位负责组织实施。
（5）竞赛收费标准：每个参赛学生要向参赛单位交报名费60元，其中50元用于分赛区，10元交给全国大学生数学竞赛组委会，分别用于分区预赛和决赛阶段竞赛工作的组织、命题、评奖、颁奖以及召开竞赛工作领导小组会议的费用。
（6）奖项的设立：设预赛（以省、市、自治区作为赛区，军队院校为一个独立赛区）奖与决赛奖。
大学数学竞赛试题
大学数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数 \( f(x) = \sin x + \cos x \)，求\( f(\frac{\pi}{4}) \) 的值是：A. \( \sqrt{2} \)B. \( 1 \)C. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)D. \( 0 \)E. \( -1 \)2. 若 \( a, b \) 是方程 \( x^2 + 3x - 4 = 0 \) 的根，求\( a^2 + 3a - 4 \) 的值是：A. \( 0 \)B. \( 1 \)C. \( 4 \)D. \( 8 \)E. \( 16 \)3. 设 \( a, b, c \) 是三角形的三边长，且 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，根据勾股定理，这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形E. 不规则三角形4. 一个函数 \( g(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) 的导数 \( g'(x) \) 是：A. \( 3x^2 - 6x \)B. \( 3x^2 - 6 \)C. \( x^2 - 6x + 4 \)D. \( -3x^2 + 12x - 4 \)E. \( 3x^2 - 12x \)5. 圆 \( x^2 + y^2 = 4 \) 上到直线 \( 2x - y + 6 = 0 \) 的距离最远的点是：A. \( (0, 2) \)B. \( (-2, 0) \)C. \( (2, 0) \)D. \( (0, -2) \)E. \( (1, \sqrt{3}) \)6. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 的值是：A. \( 2 \)B. \( 1 \)C. \( 0 \)D. \( \frac{1}{2} \)E. \( \infty \)二、填空题（每题4分，共20分）7. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x dx = \) __________。
2013年第四届山东省大学生数学竞赛初赛(专科)试卷答案2013
山东省大学生数学竞赛（专科）试卷（非数学类，2013）一、填空（每小题5分，共20分）.1.7x -11.2 3.n！ 4.211二、(10分)证因为)(),(),(x h x g x f 在),(+∞-∞上单增，所以对任意1221),,(,x x x x >+∞-∞∈，有)()(),()(),()(212121x h x h x g x g x f x f ≤≤≤.又对任意),(+∞-∞∈x ，有)()()(x h x g x f ≤≤，所以)]([)]([)]([x g g x g f x f f ≤≤,)]([)]([)]([x h h x h g x g g ≤≤,即)]([)]([)]([x h h x g g x f f ≤≤.三、（10分）解对xy y f x f y x f 2)()()(++=+，令0=y 得)0()()(f x f x f +=，即0)0(=f ,x x x x f x x f x x f x f x x ∆∆⋅+∆=∆-∆+=→∆→∆2)(lim )()(lim )('00x x f x xf x f x 212)0('2)0()(lim 0+=+=+∆-∆=→∆,所以c x x x f ++=2)(，再由0)0(=f 得.0=c 故.)(2x x x f +=四（10分）、证作辅助函数)()(x xf x F =，则)(x F 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而在(a,b)内至少存在一点ξ，使)(')()(ξF a b a F b F =--，可见，)(')()()(ξξξf f ab a af b bf +=--.五（10分）、解记⎰=10,d )(I x x f 则,111)(22I x xx f ⋅-++=x x I x x I x x f d 1d 11d )(10210102⎰⎰⎰-⋅++==，所以.4414d 11d 11102102ππππ-=-=--+=⎰⎰x x x x I 六（12分）、解⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--=→=-→x xx x u t x x x x x u u f x t t tf t t f x t t x f x t t tf t t f x 00000000d )(d )(d )(lim d )(d )(d )(lim 设原式)0()0()0()()()(lim )(d )()()(d )(lim )0(000000f f f x xf xf xf x xf u u f x xf x xf t t f x xx x +=+=+-+=→→→⎰⎰ξξξ之间。