二阶常系数非齐次线性微分方程讲解
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高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
(1)如果 不是特征方程r2 pr q 0的根y* 则Qm(x)e x
(2)如果 是特征方程r2 pr q 0的单根y,*则 xQm(x)e x
提示
此时 2 p q 0 但2 p 0 要 使 ( ＊ ) 式 成 立 Q(x) 应 设 为 m 1 次 多 项 式
Q(x) xQm(x) 其中Qm(x) b0xm b1xm 1
x 3x 1
0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y* b0x b1 把它代入所3给b0方x程2b03得b1=3x1 比 较 两 端 x 同 次 幂 的 系 数 得 b 0 = 1 b 1 = 1 3
因 此 所 给 方 程 的 特 解 为 y * = x 1 3
=)e[Qx(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)]ex
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一、 f(x) Pm(x)e x 型
设方程y
py qy Pm(x)e x y特* 解Q形(x式)e为 则x 得
Q (x) (2 p)Q (x) ( 2 p q)Q(x) Pm
(1)如果 不是特征方程r2 pr q 0的根y* 则Qm(x)e x
x xe2x
2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为 y* x(b0x b>1>)e>2x
把它代入所2给b0方x程2b0b得1=x 比 较 系 数 得 b 0 = 1 2 b 1 = 1 故 y * = x ( 1 2 x 1 ) e 2 x
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题讲解
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为
y*=Q(x)ex
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则
y*=Qm(x)ex
提示 此时2pq0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
特解形式
y
=
C1e
2x
C2e3x
1 2
(
x
2
2
x)e
2
x
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二、f(x)=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型
结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]
一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的概念与结构.
*
2 自由项 f (x) 为 Aeax 型 设二阶常系数线性非齐次方程为
y + py + qy = Aeax， ② 其中 a，A 均为常数. 由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指 数函数， 因此，我们可以设 ② 的特解
y Bx e . 其中 B 为待定常数， 当 a 不是 ② 式所对应的线性齐
第六章
微分方程初步
第五节二阶常系数线性非齐次微分方程 一、二阶常系数线性非齐次微分 方程解的概念与结构
二、二阶常系数线性非齐次微分方程 的解法
一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构
形如 y + py + qy = f (x) 的方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程，
二阶常系数线性非齐次方程的解的结构
1 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x).
设二阶常系数线性非齐次方程为
① 其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式. 因为方程中 p、q 均为 常数且多项式的导数仍为多项式， 所以可设 ① 式的 特解为 * k y + py + qy = Pn(x),
y x Qn ( x),
其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式， 当原方程 ① 中 y 项的系数 q 0 时， k 取 0；当 q = 0，但 p 0 时， k 取 1；当 p = 0， q = 0 时，k 取 2.
2 自由项 f (x) 为 Aeax 型 设二阶常系数线性非齐次方程为
y + py + qy = Aeax， ② 其中 a，A 均为常数. 由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指 数函数， 因此，我们可以设 ② 的特解
y Bx e . 其中 B 为待定常数， 当 a 不是 ② 式所对应的线性齐
第六章
微分方程初步
第五节二阶常系数线性非齐次微分方程 一、二阶常系数线性非齐次微分 方程解的概念与结构
二、二阶常系数线性非齐次微分方程 的解法
一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构
形如 y + py + qy = f (x) 的方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程，
二阶常系数线性非齐次方程的解的结构
1 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x).
设二阶常系数线性非齐次方程为
① 其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式. 因为方程中 p、q 均为 常数且多项式的导数仍为多项式， 所以可设 ① 式的 特解为 * k y + py + qy = Pn(x),
y x Qn ( x),
其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式， 当原方程 ① 中 y 项的系数 q 0 时， k 取 0；当 q = 0，但 p 0 时， k 取 1；当 p = 0， q = 0 时，k 取 2.
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
多项式法：
设常系数线性微分方程
y''+py'+qy =pm (x)pm ex
y=Y+y*.
两种特殊类型
e 1.f(x)= x Pm （x）型 e 2. f(x)= x[ P(lx) cos ωx+ (xP) )nsin ωx]型
例题
解法 通解=非齐次方程特解+齐次方程通解
对二阶常系数线性非齐次微分方程形式
ay''+by'+cy=p(x) ex
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
多项式法：
设常系数线性微分方程
y''+py'+qy =pm (x)pm ex
y=Y+y*.
两种特殊类型
e 1.f(x)= x Pm （x）型 e 2. f(x)= x[ P(lx) cos ωx+ (xP) )nsin ωx]型
例题
解法 通解=非齐次方程特解+齐次方程通解
对二阶常系数线性非齐次微分方程形式
ay''+by'+cy=p(x) ex
同济第三版-高数-(6.6) 第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程
+ Q( x )[ Y( x )+ y *( x )] = [ Y ( x )+ P( x )Y ( x )+ Q( x )Y( x )]
+[( y* ) + P( x )( y* ) + Q( x )y* ] = 0 + f( x )= f( x ). 故 y = Y( x )+ y *( x )是二阶非齐线性方程的通解。
式就可确定 b 0 ,b1 ,…，b m ．于是相应特解为 y * = Q m +1( x )e x =( b 0 x m+1 + b 1 x m + … + b m x + b m +1 )e x .
对于剩下的一个系数 b m+1 可作如下考虑，由于此 时 是特征方程 r 2 + pr + q = 0 的单根，故对应齐次方程 y + p y + q y = 0 的通解为 Y = C1 y1 + C 2 e x. 非齐次方程的通解为 y = Y + y * = C1 y1 + C 2 e x + y * = C1 y1 + C 2 e x +( b 0 x m+1 + b 1 x m + … + b m x + b m +1 )e x = C1 y1 + C 2 e x +( b 0 x m+1 + … + b m x )e x + b m +1 e x = C1 y1 +( C 2 + b m +1 )e x + x( b 0 x m + … + b m )e x. 由于 C 2 为任意常数，b m+1 取何值并不重要，为讨 论方便可取 b m+1 = 0，于是非齐次方程特解可完全确定 y * = x( b 0 x m+1 + b 1 x m + … + b m )e x = x Q m( x )e x .
二阶常系数非齐次微分方程的特解公式
二阶常系数非齐次微分方程的特解公式
文章标题：深度解读二阶常系数非齐次微分方程的特解公式
在数学领域中，微分方程是一种非常重要的数学工具，它被广泛应用
于物理、工程、生物等领域。其中，二阶常系数非齐次微分方程是微
分方程中的一种重要类型，而其特解公式更是其核心内容之一。本篇
文章将以从简到繁，由浅入深的方式深度解读二阶常系数非齐次微分
方程的特解公式，帮助读者更深入地理解并掌握这一重要数学工具。
一、二阶常系数非齐次微分方程的基本概念
在开始深入讨论特解公式之前，首先需要了解二阶常系数非齐次微分
方程的基本概念。二阶常系数非齐次微分方程可以表示为：
$$y''(x) + ay'(x) + by(x) = f(x)$$
其中，y是未知函数，a和b为常数，f(x)为非齐次项。这种微分方程
的解包括其通解和特解，而特解公式则是在给定非齐次项f(x)的情况下，求特解的方法和公式。
二、二阶常系数非齐次微分方程的特解公式
针对二阶常系数非齐次微分方程，我们可以使用特解公式来求得其特解。具体来说，当非齐次项f(x)为指数函数、三角函数、多项式函数或其组合时，我们可以利用常数变易法或超级位置法来求得相应的特解
公式。以常数变易法为例，当f(x)为e^{\alpha x}时，特解公式可以表示为：
$$y_p(x) = Ae^{\alpha x}$$
其中A为待定常数。在具体计算中，我们可以通过将特解代入原方程，并求解出A的值来得到特解。类似地，对于其他类型的f(x)，也可以
应用相应的特解公式进行求解。
三、深入探讨特解公式的应用与意义
二阶常系数非齐次线性微分方程
x 由于 f ( x) = e sin2x, (λ = 1,ω = 2, Pl ( x) = 0, Pn ( x) = 1, m = 0)
λ±iω=1±2i 是特征方程的根，取 ± ± 是特征方程的根，
y* = xe x ( A cos 2 x + B sin 2 x ) 故原方程特解设为： 故原方程特解设为：
7
7 2
二 、 f ( x) = e [ pl ( x)cosω x + pn ( x)sinω x] 型
λx
eix + e−ix cos x = y′′ + py′ + qy = f1 ( x) + f2 ( x) 2 由欧拉公式： 由欧拉公式： ix −ix , sin x = e − e 2i 变为： 把 f ( x ) 变为：
0⋅ x 又 f ( x) = 3x + 1 = (3x + 1)e , λ=0不是特征根， 不是特征根， 不是特征根
故原方程特解设为： 故原方程特解设为：y* = (b0 x + b1 )e 0⋅ x = b0 x + b1 代入所给方程， 代入所给方程，得 − 3b0 x − 2b0 − 3b1 = 3 x + 1 b0 = −1, b1 = 1 所以 3 于是得原方程的一个特解为 y* = − x + 1 3 x 3x 所求通解为 y = C 1 e − + C 2 e − x + 1 ; 3
λ±iω=1±2i 是特征方程的根，取 ± ± 是特征方程的根，
y* = xe x ( A cos 2 x + B sin 2 x ) 故原方程特解设为： 故原方程特解设为：
7
7 2
二 、 f ( x) = e [ pl ( x)cosω x + pn ( x)sinω x] 型
λx
eix + e−ix cos x = y′′ + py′ + qy = f1 ( x) + f2 ( x) 2 由欧拉公式： 由欧拉公式： ix −ix , sin x = e − e 2i 变为： 把 f ( x ) 变为：
0⋅ x 又 f ( x) = 3x + 1 = (3x + 1)e , λ=0不是特征根， 不是特征根， 不是特征根
故原方程特解设为： 故原方程特解设为：y* = (b0 x + b1 )e 0⋅ x = b0 x + b1 代入所给方程， 代入所给方程，得 − 3b0 x − 2b0 − 3b1 = 3 x + 1 b0 = −1, b1 = 1 所以 3 于是得原方程的一个特解为 y* = − x + 1 3 x 3x 所求通解为 y = C 1 e − + C 2 e − x + 1 ; 3
二阶线性非齐次微分方程的特解
二阶线性非齐次微分方程的特解
二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为
y''+py'+qy=f(x)，其特解y*设法分为：1.如果f(x)=p （x），pn（x）为n阶多项式；2.如果f(x)=p（x）e^αx，pn（x）为n阶多项式。
二阶常系数齐次线性微分方程
标准形式
y″+py′+qy=0
特征方程
r^2+pr+q=0
通解
1.两个不相等的实根：y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)
2.两根相等的实根：y=(c1+c2x)e^(r1x)
3.一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：
y=e^(αx)*(c1cosβx+c2sinβx)
特解y*设法
1、如果f(x)=p（x），pn（x）为n阶多项式。
若0不是特征值，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=0，λ=0；因为qm(x)与pn（x）为同次的多项式，所以qm(x)设法要根据pn（x）的情况而定。
比如如果pn（x）=a（a为常数），则设qm(x)=a（a为另一个未知常数）；如果pn（x）=x，则设qm(x)=ax+b；如果pn （x）=x^2，则设qm(x)=ax^2+bx+c。
若0是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=1，λ=0，即y*=x*qm(x)。
若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=2，λ=0，即y*=x^2*qm(x)。
2、如果f(x)=p（x）e^αx，pn（x）为n阶多项式。
若α不是特征值，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^αx中，k=0，即y*=qm(x)*e^αx，qm(x)设法要根据pn（x）的情况而定。
第九节二阶常系数非齐次线性微分方程
第九节二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程
x x
f(x) [P(x)cos x Q(x)sin x]ef(x) P(x)emmm教学目的：掌握自由项为和的二
阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法
教学重点：二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的待定系数法教学难点：二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的待定系数法教学内容：
二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为：
y py qy f(x)
根据二阶线性微分方程解的结构，要求解二阶常系数非齐次线性微分方程，只需先求得
对应齐次线性微分方程的通解和该非齐次线性微分方程的一个特解即可。而齐次线性微分方程的通解已在上一目得到解决，因此本节将解决非齐次线性微分方程的特解问题。为此，针对自由项的特点，采用如下待定系数法：
根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，要求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，
__yy Y就是非齐次方程的通Y只需先求得非齐次方程的特解和对应齐次方程的通解，则
解。而用待定系数法求二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f(x)的特解分两种
情形讨论：
一、f(x) e xPm(x)型
这里是常数,Pm(x)是m次多项式.
由于指数函数与多项式之积的导数仍是同类型的函数,而现在微分方程右端正好是这种类型的函数.因此,不妨假设方程y py qy f(x)的特解为y* Q(x)e x 其中Q(x)是x的多项式,将y*代入方程并消去e x得
Q (2 p)Q ( 2 p q)Q Pm(x)
(1) 若不是y py qy 0的特征方程r2 pr q 0的根,那么2 p q 0这时
7-7.二阶常系数非齐次线性微分方程
y*′′ = eλ x λ 2Q ( x ) + 2λQ′ ( x ) + Q′′ ( x )
代入原方程(2)整理得： 代入原方程 整理得： 整理得
Q′′( x) + (2λ + p )Q′( x) + (λ 2 + pλ + q )Q ( x) = Pm ( x) (3)
Q′′( x) + (2λ + p )Q′( x) + (λ 2 + pλ + q )Q ( x) = Pm ( x) (3)
r − 2r − 3 = 0
2
r1 = − 1, r2 = 3 ,
不是特征方程的根， 由于 λ = 0 不是特征方程的根，
设特解为 代入方程得
y = b0 x + b . 1
∗
一次多项式
−3b0 x − 2b0 − 3b1 = 3 x + 1
比较系数得
1 b0 = −1, b1 = . 3
原方程特解为
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法
P (x)表示m次多项式 m
f ( x) = eλx P ( x) 型 m •一、
* λx 设非齐方程特解为 y = Q(x)e 代入原方程
y′′ + py′ + qy = f (x)
二阶常系数非齐次微分方程的特解公式
二阶常系数非齐次微分方程是微分方程中的一类基本形式，在实
际问题中具有广泛的应用。它的一般形式可以表示为：
[ay’’ + by’ + cy = F(x)]
其中 (a, b, c) 是常系数，(F(x)) 是非零的连续函数。解此方
程的一般步骤是先求其对应的齐次线性微分方程的通解，再找到特解，将二者相加，得到非齐次微分方程的通解。
在这里，我将向你介绍二阶常系数非齐次微分方程特解的具体求
解方法，并给出其特解公式。通过这篇文章，你将全面了解并深入理
解这一概念。
1. 二阶常系数非齐次微分方程的特解求解步骤
我们来看如何求解二阶常系数非齐次微分方程的特解。求解步骤
如下：
步骤1：求解对应的齐次线性微分方程的特征方程，得到其通解。
对于给定的二阶常系数非齐次微分方程(ay’’ + by’ + cy =
F(x))，其对应的齐次线性微分方程是(ay’’ + by’ + cy = 0)。
我们先解这个齐次微分方程，得到其特征方程。特征方程的根将决定
齐次微分方程的通解形式。
步骤2：求特解。
接下来，我们要找到对于非齐次项 (F(x)) 的特解。特解的形式取决于 (F(x)) 的具体形式，可以通过待定系数法或者叠加原理等方法求解。
步骤3：组合通解和特解。
我们将齐次微分方程的通解与非齐次微分方程的特解相加，得到非齐次微分方程的通解。这样，我们就得到了原方程的完整解。
2. 二阶常系数非齐次微分方程的特解公式
对于二阶常系数非齐次线性微分方程(ay’’ + by’ + cy = F(x))，其特解的一般形式如下：
[y_p(x) = K(x) e^{mx}]
第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程讲解
r 2 4r 4 0
特征根 r1, 2 2
* y2 Dx 2e 2 x（重根）
* y1 Ax 2 Bx C
* 2 2x * 2 y * y1 y2 Ax Bx C Dx e .
作辅助方程 y y xe 2 jx ,
2 j 不是特征方程的根 ,
设 y * ( Ax B)e 2 jx ,
代入辅助方程
4 Aj 3 B 0 3 A 1
*
1 4 A ，B j , 3 9
1 4 y ( x j )e 2 jx , 3 9
2 2x y* e . 7
例2 求微分方程y2y3y3x1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30 因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0xb1 把它代入所给方程 得 3b0x2b03b13x1
代入原方程
2 Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x )
2 (1) 若不是特征方程的根， p q 0,
可设 Q( x ) Qm ( x ),
y Qm ( x )e ;
2 p 0,
x
f ( x ) e [ Pl cosx Pn sinx ] 利用欧拉公式
二阶常系数非齐次线性微分方程
例3 求微分方程y′′+y=xcos 2x的一个特解． 解 f(x)是eλx [Pl(x)cos ω x+Pn(x)sin ω x ]型的，其中λ=0， ω=2，Pl(x)=x，Pn(x)=0． 与所给方程对应的齐次方程为 y′′+y=0， 它的特征方程为 r2+1=0． λ+iω=2i 不是特征方程的根，所以应设特解为 y*=xky*=(ax+b)cos 2x+(cx+d )sin 2x． x]， eλ x[R(1)m (x)cos ω x+R(2)m (x)sin ω 把它代入所给方程，得 (3ax3b+4c)cos 2x(3cx+3d+4a)sin 2x=xcos 2x． 比较两端同类项的系数，得 3a = 1, 1 4 a = ，b=0．c=0， d = ． 3b + 4c = 0 , 3 9 于是求得一个特解为 3c = 0 , 1 4 3dsin42x．0 , y* = x cos 2x + a = 3 9
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx的特解形式为y*=Q(x)eλx，则得等式 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x)． (1)如果λ 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，则y*=Qm(x)eλx． (2)如果λ 是特征方程 r2+pr+q=0 的单根，则y*=xQm(x)eλx． (3)如果λ 是特征方程 r2+pr+q=0 的重根，则 λ2+pλ+q =0，2λ+p=0， 要使等式 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x)． 成立，Q(x)应设为m+2 次多项式：Q(x)=x2Qm(x)， Q m(x)=b0 xm+b1xm1+ +bm1x+bm ， 通过比较等式两边同次项系数，可确定b0，b1， ，bm ，并得 所求特解 y*=x2Q m(x)eλx．
二阶常系数非齐次线性微分方程
练 习 题
求下列微分方程的通解: 一、求下列微分方程的通解: 1、 y ′′ + a 2 y = e x ； 2、 y ′′ + 3 y ′ + 2 y = 3 xe − x ； 3、 y ′′ + 4 y = x cos x ； 4、 y ′′ − y = sin 2 x . 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解: 二、求下列各微分方程满足已给初始条件的特解: 1、 y ′′ − 4 y ′ = 5 , y x = 0 = 1 , y ′x = 0 = 0 ； 2、 y ′′ − 2 y ′ + y = xe x − e x , y x =1 = 1 , y ′x =1 = 1；
λx
(待定系数法 待定系数法) 待定系数法
(1) f ( x ) = e Pm ( x ), (λ可以是复数） 可以是复数）
y* = xkeλ xQm( x);
(2) f ( x ) = e
λx
( A cos ω x + B sin ω x ) ,
y* = xkeλ x ( acosωx + bsinωx) ;
( −2a + 4b ) cos 2 x + ( −4a − 2b ) sin 2 x = cos 2 x
1 1 cos 2 x + sin 2 x ). 所求非齐方程特解为 y = e ( − 10 5
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
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例3 求微分方程y+yxcos2x的一个特解 解 齐次方程y+y0的特征方程为r2+10 因为f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]xcos2x +iw2i不是 特征方程的根 所以所给方程的特解应设为 y*(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x 把它代入所给方程 得 >>> (3ax3b+4c)cos2x(3cx+4a+3d)sin2xxcos2x
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一、 f(x)Pm(x)ex 型 设方程y+py+qyP (x)e 特解形式为y*Q(x)e
m x x
则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
提示
y*+py*+qy* [Q(x)ex]+[Q(x)ex]+q[Q(x)ex] [Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex [Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
第九节 二阶常系数线性非齐次微分方程讲解
高 2x y 5 y 6 y xe 例 2 求微分方程的通解 等 数 2 Q ( x ) ( 2 p ) Q ( x ) ( p q)Q( x) pm ( x)(3) 分析 : 特征方程为 学 电 * k x y x Q ( x ) e m 子 教 r 2 5r 6 (r 2)(r 3) 0,r1 2, r2 3 案
3a0 1
4b0 3a1 0 3b0 0
4a0 3b1 0 a0wenku.baidu.com 1 4 , a1 0, b0 0, b1 3 9
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数 学 电 子 教 案
例5 求方程的通解
y y 2 sin x
f ( x) 2sin x k 1
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 2 p q 0,2 p 0 (3) 如果特征方程有重根 , 即 等 那么方程(3)左端的次数与Q(x)的次数相同,于是可设 数 学 Q(x)=x2 Qm(x)利用上述的待定系数法确定Qm(x)的 电 子 m+1个系数综上所述,我们有如下的结论: 教 案 如果 f ( x) pm ( x)ex那么二阶常系数非齐次线性方程(1)具有
把(4)代入(3)式,利用待定系数法,比较等式两端的同次 幂,得到m+1个方程将m+1个未知数b求出.这就是一个 特解. (2) 如果特征方程只有单根,即2 p q 0,2 p 0 那么方程(3)左端的次数与Q’(x)的次数相同,于是可设 Q(x)=xQm(x)利用上述的待定系数法确定Qm(x)的m个 系数.
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于是齐次方程的通解为 Y e x C1 cos2 x C 2 sin2 x
x 由于 f ( x ) e sin 2 x , ( 1, 2, Pl ( x ) 0, Pn ( x ) 1, m 0)
λ±iω=1±2i 是特征方程的根，取
k 1,
x Acos2 x B sin2 x y * xe 故原方程特解设为：
代入所给方程，得 A 1 , 4
B0
1 x y* xe cos 2 x 于是得原方程的一个特解为 4 y e x C 1 cos2 x C 2 sin2 x 1 xe x cos 2 x 所求通解为 4
11
例 5 求方程 y' ' y e cos x 的通解。
代入方程(1)并消去e
x
,
得
Q" ( x ) (2 0 p)Q' ( x ) ( 2 0 p q)Q( x ) Pm ( x ) (3)
讨论： （i）如果 2 p q 0, 即λ不是特 征根。 要使(3)成立，
不妨设 Q(x)应是一 个m 次多项式，
由第一种情形及 定理 4 的结论，对于此种类型，特解可设为：
y* x k Qm x e ( i ) x x k Q m x e ( i ) x
x 改写为如下形式： y py qy e [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
仍是比较(3)式两端的系数来确定Qm ( x ) 的系数。
3
总之， 当 f ( x) pm ( x)e x 时，方程(1)具有形如
y* x k Qm ( x )e x
0 其中 λ不是特征根
y" py' qy f x
的特解， 其中 Qm ( x ) 是与 Pm ( x ) 同次(m次)的多项式，
同样可以定出 Qm ( x ) 的系数 bi i 0,1,2 , m,
（iii）如果 2 p q 0且2 p 0，即λ是特征方程的重根。 要使(3)式成立， Q' ' ( x ) 应是m次多项式. 令
Q( x) xQm ( x)
Q( x) x 2Qm ( x)
7
2
二 、 f ( x ) e [ pl ( x ) cos x pn ( x ) sin x ] 型
x
e ix e ix cos x 2 由欧拉公式： ix ix , sin x e e 2i 把 f x 变为：
y py qy f 1 x f 2 x
f ( x) e x [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
ix ix ix ix e e e e x e Pn Pl 2 2 i
Pl Pn i x Pl Pn i x i e i e 2 2 2 2
13
2 例 1 求微分方程 y' x y 满足 y
x
解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 1 0 r1, 2 i 齐次方程的通解为 Y C1 cos x C 2 sinx 因为 y' ' y e x应有 Ae 形式的特解；
x
y' ' y cos x应 有x( B cos x C sin x ) 形式的特解，
代入所给方程，得 2b0 x 2b0 b1 x , b1 1 所以 b0 1 2 1 2x y * x ( x 1 ) e 于是得原方程的一个特解为 2 2x 3x 1 ( x 2 2 x )e 2 x . y C e C e 所求通解为 1 2 2
x f ( x ) p ( x ) e 一、 型 m
其中 为常数，Pm x 是x 的一个m 次多项式：
Pm x a0 x m a1 x m1 am1 x am .
1
x y * Q ( x ) e 可能是方程 (1) 的特解 (其中Q 推测： x x x(x)是某个多项式). Q( x )e Q x e Q x e x x Qx Qx y *' e * Q x e ,x 为了确定Q(x)，将 y Q x Q x e y* e x 2Q x 2Q x Q x
5 5 所以 A , 于是得原方程的一个特解为 y* 2 2 x 2x 5 y C e C e 所求通解为 1 2 2 7 C 5 C 把 y x0 1, y x0 2 代入上式，得 1 2
所以原方程满足初始条件的特解为 y 5e
2x
7 3x 5 e 2 2
(3ax 3b 4c ) cos2 x (3cx 3d 4a ) sin2 x x cos2 x
1 4 所以 a 3 , b 0, c 0, d 9 x cos 2 x 4 sin2 x 于是得原方程的一个特解为 y* 1 3 9
1 2 x cos x Rm x sinx y* x k e x Rm
设所求特解可展开为 x - x0 的幂级数：
y y0 a1 x x0 a2 x x0 an x x0
2 n
(3)
其中 a1 , a 2 , , a n 是待定的系数。 把（3）代入（1）中，比较等 式两边 x - x0 的同次幂的系数， 就可定出常数 a1 , a2 ,, an , 以这些常数为系数的级数（3）就是上面初值问题的解。
故特解应设为 y* Ae x x( B cos x C sinx) 代入所给方程，得 2 Ae x 2C cos x 2B sinx e x cos x 由此求得 A 1 , C 1 , B 0 2 2 于是求得一个特解为 y* 1 e x x si n x 2 2 所求通解为 y (C 1 cos x C 2 sin x ) 1 e x x sin x . 2 2
5
(2) y"5 y'6 y xe2 x .
对应齐次方程的特征方程为； r 2 5r 6 0 r1 2, r2 3 于是齐次方程的通解为
Y C1 e 2 x C 2 e 3 x
由于 f ( x ) xe2 x , λ=2是特征方程的单根， 故原方程特解设为：y* x(b0 x b1 )e 2 x
12
第十二节 微分方程的幂级数解法
一 、一阶线性微分方程 求解微分方程
y' f x , y y
x x0
(1) (2)
l m
y0
其中：
f x, y a00 a10 x x0 a01 y y0 alm x x0 y y0
6
例 2 求解 y 3 y 2 y 5
y
x 0
1, y
x 0
2
解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 3r 2 0 r1 1, r2 2 于是齐次方程的通解为 Y C1e x C 2 e 2 x 由于 f x 5e 0 x , λ=0不是特征方程的根， 故原方程特解设为：y* A 代入方程，得 2 A 5
P( x)e ( i ) x P( x)e ( i ) x f1 ( x) f 2 ( x)
8
Pl Pn P P 其中 P x i 与 P x l n i 都是 m 次多项式， 2 2 2 2 m=max{ l , n }。 y py qy P( x)e ( i ) x P( x)e ( i ) x
Q x Qm ( x) b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定bi i 0,1,2 , m,
x y * Q ( x ) e . 进而得(1)的特解
2
（ii）如果 2 p q 0, 且2 p 0, 即λ是特征方程的单根。 要使(3)成立， Q' ( xຫໍສະໝຸດ Baidu) 应是一个m 次多项式, 令
第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程一般式是
y" py' qy f x
(1)
其中p、q是常数。 由定理3，只要求出(1)的一个特解 y*及(1)对应的齐次方程
y" py' qy 0
* y Y y . 的通解Y， 即可求得(1)的通解 :
对 f(x) 的下面两种最常见形式， 采用待定系数法来求出 y*。
y1 *
y2 *
1 2 x cos x Rm x sinx y* x k e x Rm
1 2 x , Rm x 都是 m 次多项式， m = max{ l , n }，且 其中Rm
0
λ±iω不是特征根 λ±iω是特征根
9
k=
1
例 3 求方程 y' ' y x cos 2 x 的通解。 解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 1 0 r1, 2 i 于是齐次方程的通解为 Y C1 cos x C 2 sinx 由于 f ( x ) x cos 2 x, ( 0, 2, Pl ( x ) x, Pn ( x ) 0即m 1) λ±iω=±2i不是特征方程的根，取 k 0, 故原方程特解设为： y* (ax b) cos2 x (cx d ) sin2 x 代入所给方程，得 y py qy e x [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
k=
1
λ是特征方程的单根
2
注：
λ是特征方程的重根
上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程，
但 k 是特征方程含根λ的重复次数，即 若λ不是特征方程的根，k =0； 若λ是特征方程的 s 重根，k = s.
4
例 1 求下列方程的通解
(1) y"2 y'3 y 3 x 1; (2) y"5 y'6 y xe2 x .
解 （1）对应齐次方程的特征方程为
r 2 2r 3 0
所以特征根为： r1 1, r2 3
于是齐次方程的通解为：Y C1e x C 2 e 3 x
0 x 又 f ( x ) 3 x 1 (3 x 1)e , λ=0不是特征根，
故原方程特解设为：y* (b0 x b1 )e 0 x b0 x b1 代入所给方程，得 3b0 x 2b0 3b1 3 x 1 b0 1, b1 1 所以 3 于是得原方程的一个特解为 y* x 1 3 x 3x ; 所求通解为 y C 1 e C 2 e x 1 3
所求通解为
y C 1 cos x C 2 sin x 1 x cos 2 x 4 sin2 x . 3 9
10
例 4 求方程 y' '2 y 5 y e x sin2 x 的通解。
解 齐次方程的特征方程为 r 2 2r 5 0 r1, 2 1 2i
x 由于 f ( x ) e sin 2 x , ( 1, 2, Pl ( x ) 0, Pn ( x ) 1, m 0)
λ±iω=1±2i 是特征方程的根，取
k 1,
x Acos2 x B sin2 x y * xe 故原方程特解设为：
代入所给方程，得 A 1 , 4
B0
1 x y* xe cos 2 x 于是得原方程的一个特解为 4 y e x C 1 cos2 x C 2 sin2 x 1 xe x cos 2 x 所求通解为 4
11
例 5 求方程 y' ' y e cos x 的通解。
代入方程(1)并消去e
x
,
得
Q" ( x ) (2 0 p)Q' ( x ) ( 2 0 p q)Q( x ) Pm ( x ) (3)
讨论： （i）如果 2 p q 0, 即λ不是特 征根。 要使(3)成立，
不妨设 Q(x)应是一 个m 次多项式，
由第一种情形及 定理 4 的结论，对于此种类型，特解可设为：
y* x k Qm x e ( i ) x x k Q m x e ( i ) x
x 改写为如下形式： y py qy e [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
仍是比较(3)式两端的系数来确定Qm ( x ) 的系数。
3
总之， 当 f ( x) pm ( x)e x 时，方程(1)具有形如
y* x k Qm ( x )e x
0 其中 λ不是特征根
y" py' qy f x
的特解， 其中 Qm ( x ) 是与 Pm ( x ) 同次(m次)的多项式，
同样可以定出 Qm ( x ) 的系数 bi i 0,1,2 , m,
（iii）如果 2 p q 0且2 p 0，即λ是特征方程的重根。 要使(3)式成立， Q' ' ( x ) 应是m次多项式. 令
Q( x) xQm ( x)
Q( x) x 2Qm ( x)
7
2
二 、 f ( x ) e [ pl ( x ) cos x pn ( x ) sin x ] 型
x
e ix e ix cos x 2 由欧拉公式： ix ix , sin x e e 2i 把 f x 变为：
y py qy f 1 x f 2 x
f ( x) e x [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
ix ix ix ix e e e e x e Pn Pl 2 2 i
Pl Pn i x Pl Pn i x i e i e 2 2 2 2
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2 例 1 求微分方程 y' x y 满足 y
x
解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 1 0 r1, 2 i 齐次方程的通解为 Y C1 cos x C 2 sinx 因为 y' ' y e x应有 Ae 形式的特解；
x
y' ' y cos x应 有x( B cos x C sin x ) 形式的特解，
代入所给方程，得 2b0 x 2b0 b1 x , b1 1 所以 b0 1 2 1 2x y * x ( x 1 ) e 于是得原方程的一个特解为 2 2x 3x 1 ( x 2 2 x )e 2 x . y C e C e 所求通解为 1 2 2
x f ( x ) p ( x ) e 一、 型 m
其中 为常数，Pm x 是x 的一个m 次多项式：
Pm x a0 x m a1 x m1 am1 x am .
1
x y * Q ( x ) e 可能是方程 (1) 的特解 (其中Q 推测： x x x(x)是某个多项式). Q( x )e Q x e Q x e x x Qx Qx y *' e * Q x e ,x 为了确定Q(x)，将 y Q x Q x e y* e x 2Q x 2Q x Q x
5 5 所以 A , 于是得原方程的一个特解为 y* 2 2 x 2x 5 y C e C e 所求通解为 1 2 2 7 C 5 C 把 y x0 1, y x0 2 代入上式，得 1 2
所以原方程满足初始条件的特解为 y 5e
2x
7 3x 5 e 2 2
(3ax 3b 4c ) cos2 x (3cx 3d 4a ) sin2 x x cos2 x
1 4 所以 a 3 , b 0, c 0, d 9 x cos 2 x 4 sin2 x 于是得原方程的一个特解为 y* 1 3 9
1 2 x cos x Rm x sinx y* x k e x Rm
设所求特解可展开为 x - x0 的幂级数：
y y0 a1 x x0 a2 x x0 an x x0
2 n
(3)
其中 a1 , a 2 , , a n 是待定的系数。 把（3）代入（1）中，比较等 式两边 x - x0 的同次幂的系数， 就可定出常数 a1 , a2 ,, an , 以这些常数为系数的级数（3）就是上面初值问题的解。
故特解应设为 y* Ae x x( B cos x C sinx) 代入所给方程，得 2 Ae x 2C cos x 2B sinx e x cos x 由此求得 A 1 , C 1 , B 0 2 2 于是求得一个特解为 y* 1 e x x si n x 2 2 所求通解为 y (C 1 cos x C 2 sin x ) 1 e x x sin x . 2 2
5
(2) y"5 y'6 y xe2 x .
对应齐次方程的特征方程为； r 2 5r 6 0 r1 2, r2 3 于是齐次方程的通解为
Y C1 e 2 x C 2 e 3 x
由于 f ( x ) xe2 x , λ=2是特征方程的单根， 故原方程特解设为：y* x(b0 x b1 )e 2 x
12
第十二节 微分方程的幂级数解法
一 、一阶线性微分方程 求解微分方程
y' f x , y y
x x0
(1) (2)
l m
y0
其中：
f x, y a00 a10 x x0 a01 y y0 alm x x0 y y0
6
例 2 求解 y 3 y 2 y 5
y
x 0
1, y
x 0
2
解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 3r 2 0 r1 1, r2 2 于是齐次方程的通解为 Y C1e x C 2 e 2 x 由于 f x 5e 0 x , λ=0不是特征方程的根， 故原方程特解设为：y* A 代入方程，得 2 A 5
P( x)e ( i ) x P( x)e ( i ) x f1 ( x) f 2 ( x)
8
Pl Pn P P 其中 P x i 与 P x l n i 都是 m 次多项式， 2 2 2 2 m=max{ l , n }。 y py qy P( x)e ( i ) x P( x)e ( i ) x
Q x Qm ( x) b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定bi i 0,1,2 , m,
x y * Q ( x ) e . 进而得(1)的特解
2
（ii）如果 2 p q 0, 且2 p 0, 即λ是特征方程的单根。 要使(3)成立， Q' ( xຫໍສະໝຸດ Baidu) 应是一个m 次多项式, 令
第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程一般式是
y" py' qy f x
(1)
其中p、q是常数。 由定理3，只要求出(1)的一个特解 y*及(1)对应的齐次方程
y" py' qy 0
* y Y y . 的通解Y， 即可求得(1)的通解 :
对 f(x) 的下面两种最常见形式， 采用待定系数法来求出 y*。
y1 *
y2 *
1 2 x cos x Rm x sinx y* x k e x Rm
1 2 x , Rm x 都是 m 次多项式， m = max{ l , n }，且 其中Rm
0
λ±iω不是特征根 λ±iω是特征根
9
k=
1
例 3 求方程 y' ' y x cos 2 x 的通解。 解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 1 0 r1, 2 i 于是齐次方程的通解为 Y C1 cos x C 2 sinx 由于 f ( x ) x cos 2 x, ( 0, 2, Pl ( x ) x, Pn ( x ) 0即m 1) λ±iω=±2i不是特征方程的根，取 k 0, 故原方程特解设为： y* (ax b) cos2 x (cx d ) sin2 x 代入所给方程，得 y py qy e x [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
k=
1
λ是特征方程的单根
2
注：
λ是特征方程的重根
上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程，
但 k 是特征方程含根λ的重复次数，即 若λ不是特征方程的根，k =0； 若λ是特征方程的 s 重根，k = s.
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例 1 求下列方程的通解
(1) y"2 y'3 y 3 x 1; (2) y"5 y'6 y xe2 x .
解 （1）对应齐次方程的特征方程为
r 2 2r 3 0
所以特征根为： r1 1, r2 3
于是齐次方程的通解为：Y C1e x C 2 e 3 x
0 x 又 f ( x ) 3 x 1 (3 x 1)e , λ=0不是特征根，
故原方程特解设为：y* (b0 x b1 )e 0 x b0 x b1 代入所给方程，得 3b0 x 2b0 3b1 3 x 1 b0 1, b1 1 所以 3 于是得原方程的一个特解为 y* x 1 3 x 3x ; 所求通解为 y C 1 e C 2 e x 1 3
所求通解为
y C 1 cos x C 2 sin x 1 x cos 2 x 4 sin2 x . 3 9
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例 4 求方程 y' '2 y 5 y e x sin2 x 的通解。
解 齐次方程的特征方程为 r 2 2r 5 0 r1, 2 1 2i