2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式学案理

3．5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式

[知识梳理]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C (α∓β)：cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. (2)S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.

(3)T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛

⎭⎪⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin2α＝2sin αcos α.

(2)C 2α：cos2α＝cos 2

α－sin 2

α＝2cos 2

α－1＝1－2sin 2

α. (3)T 2α：tan2α＝2tan α

1－tan 2

α

⎝ ⎛⎭

⎪⎫α≠±π4＋k π，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．公式的常用变形

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.

(3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2

， sin α±cos α＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α±π4.

(4)a sin α＋b cos α＝a 2

＋b 2

sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b

2

，sin φ＝b a 2＋b 2

，

tan φ＝b

a

(a ≠0)．

特别提醒：(1)角：转化三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解．对角变换时：①可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；②注意倍角的相对性；③注意拆角、拼角技巧，例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β

2

＝(α＋2β)－(α＋β)，α－β

＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫π

4

－α

等．

(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin 4

x ＋cos 4

x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2

x ＝1－12

sin 22x .

[诊断自测] 1．概念思辨

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小关系不确定．( ) (4)公式tan(α＋β)＝

tan α＋tan β

1－tan αtan β

可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－

tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )

答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．教材衍化

(1)(必修A4P 131T 5)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－

32 B.32 C ．－12 D.12

答案 D

解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故

选D.

(2)(必修A4P 146A 组T 3)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝13，则tan(α＋β)＝________.

答案 1

解析 ∵α＋β＝⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6，

∴tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋tan ⎝

⎛⎭⎪⎫β－π61－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝12＋131－16＝1.

3．小题热身

(1)sin7°＋cos15°sin8°

cos7－sin15°sin8°的值为( )

A ．2＋ 3

B ．2－ 3

C ．2 D.1

2

答案 B

解析 原式＝sin (15°－8°)＋cos15°sin8°

cos (15°－8°)－sin15°sin8°

＝

sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°

1＋tan45°tan30°

＝1－

3

31＋

33

＝3－13＋1

＝2－ 3.故选B.

(2)若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )

A ．7

B ．－7 C.17 D ．－1

7

答案 C

解析 ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4

5，

∴cos α＝－4

5

.

又α是第二象限角，∴sin α＝35，则tan α＝－3

4.

∴tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－

3

41＋

34

＝17.故选C.

题型1 求值问题

典例 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35

，若17π12

4，求sin2x ＋2sin 2

x 1－tan x 的值． 本题采用“函数转化法”．

解 由17π12

4<2π.

又cos ⎝

⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45，

所以cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4＋x sin π4＝3

5×22－45×22＝－210，

从而sin x ＝－7210，tan x ＝7.

则sin2x ＋2sin 2

x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2

x 1－tan x