平面几何常考五大模型---等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、 燕尾
小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边)
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏
模型),共边(含燕尾模型和风筝模型),掌握五大面积模型的各种变形
知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;S1S2
A B
两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
a b C D
如右图 S1: S 2 a : b
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图 S△ACD
S△BCD;反之,如果 S△ACD S△BCD,则可知直线 AB 平行于
CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平
行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;三两个平行四边形
底相等,面积比等于它们的高之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在△ABC 中,D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上,E在AC 上),
则 S△ABC: S△ADE( AB AC ) : ( AD AE)
D
A
A
D
E
E
B
C B C
图⑴图⑵
三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):
① S1: S2 S4: S3或者S1S3S2S4②AO:OC S1S2:S4S3
D
A S 1
S 4
S 2O
S 3
B C
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;
小学奥数平面几何五种面积模型(等积-鸟头-蝶形-相似-共边)汇总
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上),
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理"):
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造
小学奥数平面几何五种面积模型(等积-鸟头-蝶形-相似-共边)
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上),
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造
小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型与沙漏模型),共边(含燕尾模型与风筝模型), 掌握五大面积模型得各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高得两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们得底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们得高之比;
如右图
③夹在一组平行线之间得等积变形,如右图; 反之,如果,则可知直线平行于、
④等底等高得两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们得底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们得高之比、 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形、 共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边得乘积之比、 如图在中,分别就就是上得点如图 ⑴(或在得延长线上,在上), 则
E
D
C
B
A
图⑴ 图⑵
三、蝶形定理
任意四边形中得比例关系(“蝶形定理”):
①或者②
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形得面积问题得一个途径、通过构造模型,一方面可以使不规则四边形得面积关系与四边形内得三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应得对角线得比例关系、 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”):
D
C B
A S 4
S 3
S 2
S 1O D
C
B
A A B
C D
O b
a S 3
S 2
S 1S 4
① ②;
③得对应份数为、 四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
几何五大模型
WORD格式
.
五大模型
一、等积变换模型
⑴等底等高的两个三角形面积相等;
其它常见的面积相等的情况
⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
S1S2
如上图S1:S2a:b
⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图S
;
△ACD=S△BCD
反之,如果S△ACD S△BCD,则可知直线AB平行于CD。⑷正方形
的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等
底等高的平行四边形面积的一半;
二、鸟头定理(共角定理)模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角 )两夹边的乘积之比。
如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点(如图1)或D在BA的延长线上,E在AC上(如
word
图2),则S△ABC:S△ADE(AB AC):(AD AE)
图1 图2
三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”):
①S1:S2S4:S3或者S1S3S2S4②AO:OC S1 S2:S4 S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的
对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
2 2
①S1:S3a:b
②S1:S3:S2:S4a2:b2:ab:ab;
2
③梯形S的对应份数为a b。
2
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.
四、相似模型
相似三角形性质:
金字塔模型沙漏模型
①AD AE DE AF;
小学的奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上),
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;
小学奥数平面几何五种面积模型(等积-鸟头-蝶形-相似-共边)
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边) 目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上), 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系. 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”): ①2213::S S a b =
小学的奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上),
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;
小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上),
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造
几何五大模型
一、等积变换模型
⑴等底等高的两个三角形面积相等;
其它常见的面积相等的情况
⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =
⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACD BCD S S =△△;
反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;
⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
二、鸟头定理(共角定理)模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上(如图2),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
五大模型
1S 2
S
图1 图2
三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
①2213::S S a b =
②221324::::::S S S S a b ab ab =; ③梯形S 的对应份数为()2
小学奥数平面几何五种面积模型(等积-鸟头-蝶形-相似-共边)
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上),
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造
小学奥数平面几何五种面积模型[等积,鸟头,蝶形,相似,共边]
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上),
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;
小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)汇总
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上),
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造
平面几何部分五大模型
平面几何部分
知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD
BCD S S =△△;
反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上), 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
图⑴ 图⑵
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造
模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系. 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”): ①2213::S S a b = ②22
小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边)
1 BS H 2 36
S 、 A H FHB B
1 SCHB 2
、
1 SDHG SDHC 2
, 而
1 1 即 SEHB SBHF SDHG (SAHB SCHB SCHD ) 36 18 ; 2 2 SEHB SBHF SDHG S阴影 SEBF 而
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型) ,共 边(含燕尾模型和风筝模型) , 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 A B ①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; S S 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如右图 S1 : S2 a : b a b C D ③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图
根据图形的容斥关系,有 S ABC S丙 S ABN S AMC S AMHN , 即 400 S丙 200 200 S AMHN ,所以 S丙 S AMHN .
又 S阴影 SADF S甲 S乙 S AMHN ,所以
1 S阴影 S甲 S乙 S丙 SADF 143 400 43 . 4
以三角形 AOE 和 DOG 的面积之和为 120 70 20 ;
又三角形 AOE 、 DOG 和四边形 EFGO 的面积之和为 120 30 ,所以四边形 2 4 1 1
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型
⑴等底等高的两个三角形面积相等;
其它常见的面积相等的情况
⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b =
⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;
⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; 二、鸟头定理(共角定理)模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上(如图2),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
图1 图2
三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b =
②221324::::::S S S S a b ab ab =; ③梯形S 的对应份数为()2
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平面几何常考五大模型---(解答几何题的五大法宝)
等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾
思路提示:在求边长之比时常转化为面积之比,求面积之比常转化为边长之比。 模型一:等积变化原理:两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之比。
b
S 1︰S 2 =a ︰b ;
模型一的拓展: 等分点结论(“鸟头定理”):如下图,三角形AED 占三角形ABC 面积的
23×14=1
6
模型二:等积变化原理之四边形应用
S 4
S 3
s 2
s 1O D
C B
A
1414
23213
S S =S S S S DO OB S S +==
+
模型三:梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
(1)相似图形,面积比等于对应边长比的平方S 1︰S 3=a 2︰b
2
(2)S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2
︰ab ︰ab (3)S 2=S 4 ;
(4)
141423213
S S =S S S S DO OB S S +==
+ :
模型四:相似三角形性质
①
a b c h
A B C H
=== ; ②相似三角形面积之比等于对应连长之比的平方S 1︰S 2=a 2
︰A 2
h
h H c
b a C
B A
a
c b H
C B
模型五:燕尾定理
F E
D C
B
A
S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △GEC =BE :EC ; S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △GFC =AF :FC ; S △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB ;
【例1】:如右图,在△ABC 中,BE=3AE ,CD=2AD .若△ADE 的面积是1平方厘米,那么三角形ABC 的面积是多少?
【解答】连接BD,S △ABD 和S △ AED 同高,面积比等于底边比,所以三角形ABD 的面积是4,
S △ABD 和S △ABC 同高面积比等于底边比,三角形ABC 的面积是ABD 的3倍,是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。
【例 1】已知正方形的面积是120 平方厘米, B、E 为正方形边上的中点,求题中阴影部分的面积是多少平方厘米?
【分析】由巩固可知BAEG的面积为整个正方形面积的五分之一为:120÷5=24 (平方厘米),由此对于阴影部分的面积可以有两种求法.
方法一:连接FE 由图可知BAF 、AEF 和EFC 的面积相等,又因为ABC 的面积为 120÷4=30 (平方厘米),所以BAF 、AEF 和EFC 的面积为:30÷3=10 (平方厘米),所以阴影部分的面积为:24-10=14 (平方厘米). 方法二:本题用沙漏也可以解答能看见BAF 和CDF 是沙漏(形象演示) AB:CD=BF:FC=1:2所以以BF为底的三角形 ABF占整个三角形的1/3, 为30×1/3=10 (平方厘米).所以阴影面积为:24-10=14 (平方厘米).
【练习】已知:如图,D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点,F是DE的中点。求△DFG的和四边形AEFG 的面积的比是多少?
【解析】因为F为DEF的中点,所以△CFD=△CEF△AFE=△AFD
因为E为AC的中点,所以△CEF=△AEF
所以△CFD=△CEF=△AEF
所以△CFA: △CFD=2:1
根据燕尾定理:△AGF: △DGF=△CFA: △CFD=2:1
所以△DFG:AEFG=1:(2+1+2)=1:5